BÀI tập ÁNH xạ TUYẾN TÍNH (bài tập đại số TUYẾN TÍNH)

BÀI TẬP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH... Tìm cơ sở của Imf là tìm cơ sở của fS, với S là tập sinh hoặc cơ sở của U... CÁCH CHO ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH1.. MA TRẬN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNHA gọi là ma trận của f tr

BÀI TẬP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

f: U V là axtt nếu

i) f(x+y) = f(x) + f(y), x, yU

ii)f(x) = f(x), x U,   K

* f(M) = {f(x)/ x M}

* f − 1(N) = {x/ f(x)  N}

* Imf = f(U) : ảnh của f

* Kerf = f −1(0) : nhân của f

Một số tính chất cần nhớ

Chú ý

1 Tìm cơ sở của Imf là tìm cơ sở của f(S), với S là tập

sinh hoặc cơ sở của U

2 Tìm Kerf là tìm không gian nghiệm hệ pt f(x) = 0

3 dimImf + dimKerf = dimU

i Nếu M  U thì f(M)  V

ii M  U, M = < S>  f(M) = < f(S)>

f : U  V tt:

CÁCH CHO ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1 Cho bởi biểu thức tường minh:

2 Cho thông qua ảnh của cơ sở

Cho {e1, …, en} là cơ sở của U, {f1, …, fn} là hệ vector tùy ý trong V

Khi đó tồn tại duy nhất axtt f: U V sao cho f(ei) = fi, i

= 1, 2, …, n

Với x = 1e1 +…+ nen V: f(x) = 1f1 +…+ nfn

 1, ,2 3   1 2 3 , 23 1 2 2 

Cách cho axtt

1 Tìm axtt f: R2  R3 xác định bởi

f (1,1) = (1,−2,0), f (2, − 3) = (1,2,3)

2 Cho axtt f: R 3  R3 xác định bởi :

Tìm f(2,0,1)

1,1,2 1,2,3 ;  0,3,1  1,1,1 ;  2,1, 2  0,3,4

Cách cho axtt

1 Cho f: R3  R3,

Xác định cơ sở cà chiều của Imf và Kerf

2 f: R4  R3,

Xác định cơ sở cà chiều của Imf và Kerf

 1, ,2 3  ( 1 2 2 ,23 1 3,3 1 2 3)

 , , ,  ( 2 , 2 5 3 , 2 5 3 )

f x y z t   x z t  x  y z   t  x y   z  t

Cách cho axtt

3 Cho axtt f: R 3  R3 xác định bởi :

Tìm 1 cơ sở của Imf, Kerf

4 Cho axtt f: R 3  R3 xác định bởi :

Tìm m để u =(1,-2,m) thuộc về Kerf

 1,1,2   1,2,3 ;   0,3,1   1,1,1 ;   2,1, 2   0,3,4 

 1,0, 1   1,2,3 ; 1,1, 1     1,1,1 ;   2,1,2   0,3,4 

Cách cho axtt

5 Tìm cơ sở và chiều của Kerf, Imf nếu f cho bởi

f: R3  R3 : f(1,1,1) = (1,2,1),

f(1,1,2) = (2,1,-1), f(1,2,1)= (5,4,-1)

MA TRẬN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

A gọi là ma trận của f trong 2 cơ sở E, F

f : U  V tuyến tính, dimU = n, dim V = m

E = {e1, …, en}, F = {f1, …, fm} là cơ sở của U và V

  F E   1 F  2  F  n  F 

 f x ( )  F      f F E x E

Ma trận axtt

1 Cho f : R3  R2, f(x,y,z) = (x+y-z, x+z)

a Xác định ma trận của f trong các cơ sở chính tắc

của R3 và R2

b Xác định ma trận của f trong các cơ sở

E = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} và F = {(2,1), (1,-1)}

Ma trận axtt

2 Cho f : R 3  R 3 ,

f(x, y, z) = (x+y − z, y+z, 3x+y)

a Xác định ma trận của f trong cơ sở chính tắc E của R3

b Xác định ma trận của f trong cơ sở chính tắc E và

cơ sở E’ = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}

c Xác định ma trận của f trong cơ sở E’ = {(1,1,1), (1,1,0),

(1,0,0)}

Ma trận axtt

3 Cho axtt Có ma trận trong 2 cơ sở

là:

a) Tìm f(2,0,-1)

b) Tìm 1 cơ sở của Imf, Kerf

:

1,1,0 , 2,1, 1 , 1,1, 1 1,1, 1 , 1,1,2 , 1,2,1

E

F

A



Ma trận axtt

4 Cho axtt Có ma trận trong cơ sở

là:

a) Tìm f(2,0,-1)

b) Tìm m để (m, 2, 0) thuộc về Kerf

:

 1,1,0 , 2,1, 1 , 1,1, 1 

1 1 3

A