Chứng minh các đường thẳng AB và CD chéo nhau. a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua goác toïa ñoä O vaø vuoâng goùc vôùi BC.Tìm toïa.. ñoä giao ñieåm cuûa AC vôùi maët phaúng (P)..[r]
Trang 1BÀI TẬP HèNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHễNG GIAN
Bài 1: Trong khụng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;5;6); B(0;0;1); C(0;2;0);
D(3;0;0) Chứng minh cỏc đường thẳng AB và CD chộo nhau Viết phương trỡnh đường thẳng (D) vuụng gúc với mặt phẳng Oxy và cắt cỏc đường thẳng AB, CD
Bài 2: Trong khụng gian Oxyz cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 2 = 0 Lập phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm nằm trờn d, tiếp xỳc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2; - 1;0)
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng d có phơng trình
x −1
2 =
y
1=
z −1
3 Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ
d tới (P) là lớn nhất
Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d cú phương trỡnh:
x 1 2t
Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuụng gúc với đường thẳng d
Bài 5: Trong khụng gian Oxyz cho đường thẳng d: x −12 = y
1=
z +2
− 3 và mặt phẳng (P):2 x+ y+z −1=0 Tỡm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trỡnh của đường thẳng Δ đi qua điểm A vuụng gúc với d và nằm trong
(P)
Bài 6: Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A (1 ;1;2) , B (2 ;0;2) Tỡm quỹ tớch cỏc điểm cỏch đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy)
Bài 7:Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:
x y z
d2:
và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0 Viết phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng , biết nằm trờn mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2
Bài 8: Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 3 ; - 1 ; 1 ) , đường thẳng và mp ( P) lần lượt cú phương trỡnh :
2 :
, ( P ) : x – y + z - 5 = 0 Viết phương trỡnh tham số của đường thẳng d thỏa cỏc điều kiện :đi qua A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng một gúc 450
Bài 9: Tỡm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z 1 0 để MAB là tam giỏc đều biết A(1;2;3) và B(3;4;1)
Bài 10: Trong khoõng gian vụựi heọ toùa ủoọ Oxyz cho 3 ủieồm A(1;1;0),B(0; 2; 0),C(0; 0; 2)
a) Vieỏt phửụng trỡnh maởt phaỳng (P) qua goỏc toùa ủoọ O vaứ vuoõng goực vụựi BC.Tỡm toùa ủoọ giao ủieồm cuỷa AC vụựi maởt phaỳng (P)
b) Chửựng minh tam giaực ABC laứ tam giaực vuoõng Vieỏt phửụng trỡnh maởt caàu ngoùai tieỏp tửự dieọn OABC
Trang 2Bài 1: Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P) (Oxy) (P): 5x – 4y = 0
(Q) là mặt phẳng qua CD và (Q) (Oxy) (Q): 2x + 3y – 6 = 0
Ta cú (D) = (P)(Q) Phương trỡnh của (D)
Bài 2 : 2 Gọi I là tõm của (S) I(1+t;t – 2;t)
Ta cú d(I,(P)) = AI t = 1; t = 7/13
(S1): (x – 2)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 1; (S2): (x – 20/13)2 + (y + 19/13)2 + (z – 7/13)2 = 121/139
Bài 3: Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và
(P) là khoảng cách từ H đến (P)
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH ≥ HI => HI lớn nhất khi A ≡ I
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận ⃗AH làm véc tơ pháp tuyến
H ∈ d ⇒ H (1+2 t ;t ;1+3 t) vì H là hình chiếu của A trên d nên ⃗u=(2 ;1;3)
AH⊥ d ⇒⃗ AH ⃗u=0¿ là vtcp của d) ⇒ H (3 ;1 ;4)⇒⃗ AH(−7 ;− 1;5)
Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0)
Bài 4: Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn d, ta cú MH là đường thẳng đi qua M, cắt và vuụng gúc với d.
Vỡ H d nờn tọa độ của H cú dạng : (1 + 2t ; 1 + t ; t).
Suy ra : MH
= (2t 1 ; 2 + t ; t)
Vỡ MH d và d cú một vectơ chỉ phương là u⃗ = (2 ; 1 ; 1), nờn :
2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0 t =
2
3 Vỡ thế, MH⃗ =
x 2 t
y 1 4t
z 2t
Bài 5: * Tỡm giao điểm của d và (P) ta được
1 7 2
A ; ;
Ta cú u d 2 1 3; ; ,n P 2 1 1; ; u u ;n d p 1 2 0; ;
Vậy phương trỡnh đường thẳng Δ là
Bài 6: OA OB , 2 2 2; ; 2 1 1 1 ; ;
OAB x y z: 0
Oxy z : 0
; ;
N x y z
và Oxy d N OAB , d N Oxy ,
1 3
x y z z
3
và
x y z
Bài 7: Gọi A = d1(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 (P) suy ra B(2; 3; 1)
Đường thẳng thỏa món bài toỏn đi qua A và B
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là u (1;3; 1)
⃗
Phương trỡnh chớnh tắc của đường thẳng là:
x y z
Trang 3Bài 8: Gọi u d , u ,n P
lần lươt là các vtcp của đt d , đt và vtpt của mp ( P)
Đặt u d ( ; ; ), (a b c a2b2 c2 0)
⃗
Vì d nằm trong ( P) nên ta cĩ : n P u d
=> a – b + c = 0 b = a +
c ( 1 )
Theo gt : gĩc giữa 2 đt bằng 450 Gĩc giữa 2 vtcp bằng 450
2 3
Thay (1) vào ( 2) ta cĩ :
2
0
7
c
c
* Với c = 0 : chọn a = b = 1 Ta cĩ ptts của d là : x = 3 + t ; y = - 1 – t ; z = 1
* Với c =
15
7
a
chọn a = 7 , c = - 15 , b = -8 ptts của d là : x = 3 + 7 t ; y = - 1 – 8 t ; z = 1 – 15t
Bài 9 : MA=MB M thuộc mp trung trực của đoạn AB cĩ PT: x y z 3 0 (Q)
M thuộc giao tuyến của (P) và (Q) cĩ dạng tham số: x2;y t 1;z t
: (2; 1; )
AM 2t2 8 11t
Vì AB = 12 nên MAB đều khi MA=MB=AB
2
6 18 4 18
Bài 10: Ta có BC0, 2,2
mp (P) qua O 0,0,0 và vuông góc với BC có phương trình là
0.x 2y 2z 0 y z 0
Ta có AC 1, 1,2
⃗
, phương trình tham số của AC là
x 1 t
y 1 t
z 2t
Thế pt (AC) vào pt mp (P) Ta có
1
1 t 2t 0 t
3
Thế
1 t 3
vào pt (AC) ta có
2 2 2
M , ,
3 3 3
là giao điểm của AC với mp (P)
2b/ Với A 1,1,0 B 0,2,0 C 0,0,2 Ta có: AB 1,1,0
⃗
, AC 1, 1,2
⃗
AB.AC 1 1 0 AB AC ABC vuông tại A
Ta dễ thấy BOC cũng vuông tại O Do đó A, O cùng nhìn đoạn BC dưới 1 góc vuông Do đó A, O nằm trên mặt cầu đường kính BC, sẽ có tâm I là trung điểm của BC Ta dễ dàng tìm dược I 0,1,1 R 1 12 2 2
Vậy pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là : x2y 1 2z 1 2 2