[r]
Trang 1ONTHIONLINE.NET Đề thi Học sinh giỏi 12 THPT – Môn Toán
Thời gian 180 phút
-o0o -Câu 1: (6 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 = m3 + 3m2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) kẻ từ điểm (1; 5)
d) Trên đường thẳng y = 9x – 4, tìm những điểm có thể kẻ đến (C) 3 tiếp tuyến
Câu 2: (3 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
3
(75 2) (17 12 2) cos3x
b)
3
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:
7
log 11log ( x mx10 4) log (x mx 12)0
b) Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x
1 + 2cosx+ 1 + sin2x 2m – 1
Câu 4: (2,5 điểm)
a) Xác định a, b để hàm số sau có đạo hàm tại x = 0:
1 ax cos x víi x 0 f(x)
ln(1 2x) b 1 víi x 0
b) Tính tích phân:
1 5
2 2
1 5 2
x 1
(x x 1)(1 2006 )
Câu 5: (2,5 điểm)
Cho 2 elíp (E1):
1
15 6 , (E2):
1
6 15 và parabol (P): y2 = 12x
a) Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của 2 elíp trên
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (E1) và (P)
Trang 2Câu 6: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh
a (a> 0) Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a 3 M là một điểm khác B
trên SB sao cho AM MD Tính tỉ số
SM
SB
Đáp án đề thi Học sinh giỏi 12 THPT – Môn Toán
-o0o -Chú ý: + Đáp án gồm 5 trang.
+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa
1 1a - Tập xác định: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = 3x2 + 6x = 0
x 0
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -2) và (0; +);
hàm số nghịch biến trên khoảng (-2; 0)
+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm (0; 1) và đạt cực tiểu tại điểm (-2; 5)
+ Giới hạn: xlim y
đồ thị hàm số không có tiệm cận
+ Tính lồi lõm và điểm uốn: y’’ = 6x + 6 = 0 x = -1
Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (-; -1), lõm trên khoảng (-1; +) và có điểm uốn là (-1; 3)
+ Bảng biến thiên:
- Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-3; 1), (-2; 5), (-1; 3), (0; 1) và (1; 5) Nhận điểm uốn (-1; 3) làm tâm đối xứng
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 31b Ta có: x3 + 3x2 = m3 + 3m2 (1)
x3 + 3x2 + 1 = m2 + 3m2 + 1 = a
số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm
của đồ thị (C) và đường thẳng y = a, từ đồ thị ở câu a ta có:
- Phương trình (1) có 1 nghiệm nếu a > 5 hoặc a < 1
- Phương trình (1) có 2 nghiệm nếu a = 5 hoặc a = 1
- Phương trình (1) có 3 nghiệm nếu 1 < a < 5
Xét hàm số f(m) = m3 + 3m2 + 1 f(m) cũng có đồ thị là
(C), nên từ đồ thị ở câu a ta có:
- a > 5 m > 1; a = 5 m = 1 hoặc m = -2
- a < 1 m < -3; a = 1 m = -3 hoặc m = 1
- 1 < a < 5 -3 < m < 1
Vậy ta có:
+ Với m > 1 hoặc m < -3 thì phương trình (1) có 1 nghiệm
+ Với m = -3 hoặc m = -2 hoặc m = 1 hoặc m = 2 thì
phương trình (1) có 2 nghiệm
+ Với -3 < m < 1 và m -2, m 0 thì phương trình (1) có
3 nghiệm phân biệt
0,25 0,25
0,25
0,25
1c Gọi phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (1; 5) có dạng:
y = k(x – 1) + 5 y = kx + 5 – k
Vì là tiếp tuyến của (C) nên ta có:
2
x 1, k 9
k 3x 6x
Có 2 tiếp tuyến của (C) đi qua điểm (1; 5) là:
y = 5 và y = 9x – 4
0,25
0,50 0,25
1d Gọi M (x0; 9x0 – 4) là điểm trên đường thẳng y = 9x – 4
Đường thẳng đi qua M có phương trình dạng:
y 5
3
1 -3 -2 -1 0 1 x
Trang 4 Ta có:
2
x 3x 1 k(x x ) 9x 4
k 3x 6x
Để có 3 tiếp tuyến qua M thì hệ trên cần có 3 nghiệm
phương trình sau cần có 3 nghiệm phân biệt:
(x – 1)[2x2 + (5 – 3x0)x + 5 – 9x0] = 0
Từ đó ta có điều kiện của x0 là:
0 0 0
x 1/ 3
Vậy các điểm M cần tìm có toạ độ (x; 9x – 4) với điều
kiện:
x 1/ 3
x 1
0,25 0,25
0,25
2 2a Tập xác định: D = R
Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
3
3
(1 2) (1 2) 4 cos x 3cos x (1 2) 3cos x 4 cos x (1 2)
Xét hàm số f(t) = (1 2)t t, ta có f(t) đồng biến với mọi t nên ta có: f(3cosx) = f(4cos3x) 3cosx = 4cos3x
cos3x = 0 x =
k
, k Z
0,25
0,50 0,50 0,25
2b Ta có: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) > 0
x2 – 3x + 1 = 2(x2 – x + 1) – (x2 + x + 1)
Đặt
2 2
t
, t > 0 Phương trình trở thành:
2
3
t 3
2 2
x = 1
0,25 0,25 0,50 0,25
0,25
3 3a Điều kiện: m > 0 và m 1, x2 + mx + 10 0 0,50
Trang 5Bất phương trình đã cho tương đương với:
11
1 log ( x mx 10 4)log (x mx 12)
0 log m
(*) Đặt u = x2 + mx + 10, u 0
+ Với 0 < m < 1: (*) f(u) = log7( u+ 4)log11(u + 2) 1
Ta thấy f(9) = 1 và f(u) là hàm đồng biến nên ta có:
f(u) f(9) u 9 x2 + mx + 10 9 x2 + mx + 1
0
Vì phương trình trên có = m2 – 4 < 0 với 0 < m < 1 nên
phương trình trên vô nghiệm bất phương trình đã cho vô
nghiệm
+ Với m > 1: Ta có: f(u) 1 = f(9) 0 u 9
0 x2 + mx + 10 9
2 2
x mx 10 0 (1)
x mx 1 0 (2)
Xét phương trình x2 + mx + 1 = 0 có = m2 – 4
Nếu 1 < m < 2 < 0 (2) vô nghiệm bất phương
trình đã cho vô nghiệm
Nếu m > 2 > 0 phương trình trên có 2 nghiệm đều
thoả mãn (1) và (2) bất phương trình đã cho có nhiều
hơn một nghiệm
Nếu m = 2 (2) có nghiệm duy nhất x = -1 bất
phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1
Vậy giá trị cần tìm của m là: m = -2
0,50
0,50
0,50
3b Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx Bài toán trở thành:
tìm m sao cho maxf(x) 2m – 1
Ta có f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) +
4sinxcosx
Đặt t = sinx + cosx, 2 t 2 Ta có:
f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 22t2 + 2t – 1 với 2 t 2
Xét sự biến thiên của g(t) ta có:
2
2 ; 2
max g(t) 4( 2 1)
Vì f(x) 0 nên ta có:
maxf(x) = max f (x)2 max g(t) 2( 2 1)
Vậy ta có:
3 2 2 2( 2 1) 2m 1 m
2
0,25 0,25
0,25 0,75 0,25 0,25
Trang 64 4a Hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi nó liên tục tại x = 0.
xlim f(x)0 xlim f(x)0 f(0) b 1
Ta lại có:
x 0
1 a x cos x a
f '(0 ) lim
ln(1 2 x)
x
Vậy hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi a = 6 và b = 1
0,25 0,50 0,25
0,25 0,25
4b Chứng minh được:
1 5
2
1 5 2
1 1 x
1 (x ) 1 x
Đặt
/ 4
/ 4
1
0,50
0,25
0,50
5 5a Toạ độ giao điểm của 2 elíp (E1) và (E2) là nghiệm của hệ
phương trình:
1
60
7
1
6 15
Vậy đường tròn đi qua các giao điểm của 2 elíp là:
7
0,50
0,50
5b Gọi đường thẳng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 0), là tiếp
tuyến chung của (E1) và (P) Ta có:
2
6B 2AC
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: 3x 5y5 30
1,0 0,50
Trang 76
Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ như hình vẽ Suy ra ta
có: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; 0; a 3) và
B =
a a 3
; ;0
2 2
Suy ra phương trình của SB là:
Gọi M(x0; y0; z0) thuộc cạnh SB, ta có:
z a 3 2 3x
Mặt khác AMDN AM.DM 0
x02 – 2ax0 + y02 + z02 = 0 0
3a x
8
3a 3a 3 a 3
3
4
hay
SM 3
SB 4
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,50
-
S
H