Một hộp đựng 12 bóng đèn, trong đó có 4 bóng đền bị hỏng; lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn (không thứ tự) ra khỏi hộp.. Một bì thư chỉ dán một tem thư.[r]
Trang 1Chuyên đề: Đại số tổ hợp
************ @ ************
Bài tập 1:
Bạn Q có 4 chiếc áo dài và 3 quần trắng Khi đến trường bạn Q có bao nhiêu
cách mặc trang phục (Đ/S: 12).
Bài tập 2:
Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên Toán Thành lập 1 Đoàn gồm 2 người dự Hội nghị sao cho có một học sinh chuyên tin và
một học sinh chuyên Toán Hỏi có bao nhiêu cách lập một Đoàn như trên (Đ/S: 216).
Bài tập 3:
Cho một tập A = {1,2,3, 4,5} có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một
khác nhau được tạo nên từ tập hợp A (Đ/S: 60 số).
Bài tập 4:
Cho tập hợp A = {0,1,2,3,4,5} có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác
nhau được tạo từ các chữ số trong tập hợp A (Đ/S: 600 số).
Bài tập 5:
Cho tập hợp A = {1,2,3,4,5,6,7,8}
a Có bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau được tạo nên từ tập hợp A ?
b Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 ?
Bài tập 6 (ĐHSPI - 2000)
Từ các số 0,1,3,5,7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5
II quy tắc cộng
Bài tập 1:
Cho tập A gồm 6 chữ số tự nhiên: 0,1,2,3,4,5,
a Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và đều là số chẵn
(Đ/S: 312 số)
b Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5
(Đ/S: 216 số).
Bài tập 2:
Cho tập hợp A = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số có nghĩa
đôi một khác nhau chia hết cho 5 và luôn có chữ số 0 ? (Đ/S: 2520 số).
Bài tập 3:
Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau tạo từ các số 1,2,3,4,5,6 mà các số đó
nhỏ hơn 345 ? (Đ/S: 50 số).
Trang 2Bài tập 4:
Một mạng đường giao thông nối các tỉnh A, B, C, D, E, F và G như hình vẽ, trong đó chữ số 2 viết trên cạnh AB có nghĩa là: Có 2 con đường nối A và B… Hỏi
có bao nhiêu cách đi từ A đến G (Đ/S: 2538 cách).
Bài tập 5: (Huế - 99)
Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0,1,2,3,4,5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp ngẫu nhiên thành 1 hàng
a Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành ? (Đ/S: 288 số lẻ)
b Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số (Đ/S: 312 số).
Bài tập 6:
Cho các số 1,2,5,7,8 có bao nhiêu cách lập ra một số gồm 3 chữ số khác nhau
từ 5 chữ số đã cho sao cho:
a Số tạo thành là 1 số chẵn (Đ/S: 24 số chẵn)
b Số tạo thành là 1 số không có chữ số 7 (Đ/S: 24 số)
c Số tạo thành là 1 số nhỏ hơn 278 (Đ/S: 20 số)
Bài tập 1:
Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một
khác nhau được lấy ra từ tập A ? (Đ/S: A57 = 2520 số).
Bài tập 2:
Có bao nhiêu số máy điện thoại có 7 chữ số bắt đầu bằng chữ số 8 sao cho:
a Có chữ số đôi một khác nhau (Đ/S: 60480 số máy)
b Các chữ số này tuỳ ý (Đ/S: 1.000.000 số máy)
Bài tập 3:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau ?
(Đ/S: A 93
4
10 A = 4536số)
Bài tập 4:
Cho 8 số: 0,1,2,3,4,5,6,7 Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số mỗi số
có 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10 ? (Đ/S: 1260 số).
Bài tập 1:
Tìm các số có 5 chữ số được viết bởi đúng 5 chữ số: 1,2,3,4,5
Bài tập 2:
Tính số các số có 5 chữ số được viết bởi đúng 5 chữ số cuối là 2 số chẵn
E B
F C
Trang 3(Đ/S: 3!.2! = 12).
Bài tập 3:
Cho các số 0,1,2,3,4,5 Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó
chữ số 5 lặp lại 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần ? (Đ/S: 3 !
35820
= 5880 số n).
Bài tập 4:
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau Hỏi trong tất cả các chữ số đã thiết lập được có bao nhiêu chữ số mà 2 chữ số 1 và 6
không đứng cạnh nhau ? (Đ/S: 720 - 240 = 480 số cần tìm).
Bài tập 5:
Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các số 1,2,3,4,5 như sau: Trong mỗi số viết được có 1 chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số khác xuất hiện 1 lần Hỏi có bao
nhiêu số như vậy ? (Đ/S: 5.360 = 1800 số).
Bài tập 6:
Trong một phòng có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a Các học sinh ngồi tuỳ ý (Đ/S: 10! = 362.8800)
b Các học sinh nam ngồi 1 bàn và các học sinh nữ ngồi 1 bàn
(Đ/S: 5!5!2! = 28.800)
Bài tập 1:
Lớp 11A1 có 54 học sinh trong đó có 27 nam và 27 nữ, chọn ra một đội gồm 7 tình nguyện viên tham dự mùa hè xanh, trong đó phải có 4 nam và 3 nữ Hỏi có bao
nhiêu cách chọn như vậy (Đ/S: C427.C273 )
Bài tập 2:
Một nhóm học sinh gồm 5 nam và 3 nữ Có bao nhiêu cách chọn 5 người để làm ban đại diện sao cho:
a Không phân biệt nam và nữ (Đ/S: C85 = 56 cách)
b Có đúng 3 nam (Đ/S: C35.C32 = 30 cách)
Bài tập 3:
Có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ
Trang 4a Có bao nhiêu cách chọn một tổ hợp có 5 người (Đ/S: C105 = 252)
b Trong đó có nhiều nhất 3 nữ
(Đ/S: C56 C04 + C64 C14+ C36 C24 + C26 C34 = 246)
Bài tập 4:
Từ 12 học sinh ưu tú của một trường THPT người ta muốn chọn 1 Đoàn đại biểu 5 người (gồm Trưởng đoàn, thư ký và 3 thành viên) đi dự trại hè quốc tế Hỏi có bao nhiêu cách chọn Đoàn đại biểu nói trên ?
Bài tập 5:
Một hộp đựng 12 bóng đèn, trong đó có 4 bóng đền bị hỏng; lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn (không thứ tự) ra khỏi hộp Có bao nhiêu cách để lấy để có 1 bóng bị hỏng
(Đ/S: 112).
Bài tập 6:
Có 5 tem thư khác nhau và có 6 bì thư cũng khác nhau Người ta muốn chọn từ
đó ra 3 tem thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư cũng đã chọn Một bì thư chỉ dán một tem thư Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy
(Đ/S: 1200 cách)
Bài tập 7:
Một người muốn chọn 6 bông hoa từ 3 bó hoa để cắm vào 1 bình hoa Bó thứ nhất có 10 bông hồng, bó thứ 2 có 6 bông thược dược và bó thứ 3 có 4 bông cúc
a Hỏi người đó có bao nhiêu cách (Đ/S: 38760 cách)
b Nếu người đó muốn chọn đúng 2 bông hồng, 2 bông thược dược và 2 bông cúc thì người đó có bao nhiêu cách chọn ?
(Đ/S: 4050 cách)
Bài tập 8:
Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự Hội nghị sinh viên trường sao cho trong 3 người có ít nhất một cán bộ lớp
(Đ/S: 384 cách)
Bài tập 9:
Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ; có 6 học sinh được chọn ra để lập 1 tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:
a Nếu phải có ít nhất là 2 nữ (Đ/S: 5.4123.695 cách)
b Nếu chọn tuỳ ý (Đ/S: 8.145.060 cách).
Trang 5Bài tập 10:
Cho đa giác đều A1A2…A2n (n 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết rưàng tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1,A2….,A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2….,A2n Tìm n
*****************Hết*****************
********** @ **********
I Giải các phương trình
1) 2A2x + 50 = A22 x 2) A n3 = 20n
3) A n3 + 5A n2 = 2(n + 15) 4) A10x A x9 9A x8
24
4 3
1
4
n n n
n
C A A
7) . 5 720
x x
x
P A
P
8) 72A1x A x31 72
9) C x1 6C x2 6C x3 9x2 14x
10) P x.A x2726(A x22P x)
11) C5x C6x C7x
14 2 5
0 4
5 2
2
3 1
4
C
13) Tìm m, n Z+ biết: : 1: 11 5:5:3
1
m n
m n
m
n C C C
II Giải các bất phương trình.
5 2
2
3 1
4
C
15 )!
2 (
4 4
n n
A n
6 2
2x x C x
x A A
4) A n 2C n 2 9n
2 3
5) A x3 5A x2 21x
A x 42 )!
2 (
4 4
6 2
2x x C x
x A A
5 2
2
3 1
4
C
1
1
x
x A
11) n n
n
n P C
A
2
2 1
2
Trang 6
III Giải các hệ phương trình sau:
1)
80 2
5
90 5
2
y x
y x
y x
y x
C A
C A
2)
1 )
( 2
3 ) ( 2 ) (
1 3 1
1 1 2
1 2
1
y y
x x
y y
x x
y y
x x
C C
C C C
C
3)
3
1 ) 1 )(
2 (
6 )
( ) 1 ( 4
1 1
3 2
2 2 3
1 1
1 1
y y
C C
x x
A C
A C
y y x
x
y y
x x
y y
x x
IV Bài tập luyện tập.
Bài tập 1:
Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 tìm tất cả các số có 4 chữ số tạo từ các số trên
Bài tập 2:
Từ các số 0,1,2,7,8,9
a Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau
b Có bao nhiêu chữ số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau
Bài tập 3:
Từ các số 0,4,5,7,9
a Tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau
b Có bao nhiêu số lớn hơn 5000
c Có bao nhiêu số chia hết cho 5
Bài tập 4:
Từ các số 0,1,2,3,4,5,6
a Có bao nhiêu chữ số chẵn có 5 chữ số khác nhau
b Có bao nhiêu chữ số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400
Bài tập 5:
Từ các số 1,2,3,4,5
a Tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau nằm trong {300;500}
b Các chữ số không cần khác nhau
Bài tập 6:
Tìm tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau n = a1a2a3a4a5a6
Sao cho a1 +a6 = 10; a2 + a5 = 10; a3 + a4 = 10
Bài tập 7:
Cho các số 0,1,2,3,4,5,6 Hãy lập các số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho
a Chữ số đầu tiên là 5 và chia hết cho 5
b Một trong hai chữ số đầu tiên là 2 và chia hết cho 5
Trang 7Bài tập 8:
Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10
Bài tập 10:
Cho các số 1,2,3,4,5,6,7,8
a Có bao nhiêu tập con của A thoả mãn điều kiện chứa 1 mà không chứa 2
b Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập A
và không bắt đầu từ số 123
****************Hết***************
Bài tập 16: n N và n 2 thì: n
n A A
A
9 1
1 1 1
2 2
4
2 3
2 2
13) M = ( 1)!
3 3 2
1 4
n
A
A n
biết rằng : C n21 2C n22 2C n23 C n23 C n24 = 149 (KD2005) 14) 83 5 36
x
x A
C (x Z*)