Đề thi HSG trường Môn toán 8 năm học 2013 - 2014

[r]

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN: TOÁN - LỚP 8

(Thời gian làm bài: 120 phút)

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).

Cho biểu thức

2

1) Rút gọn A

2) Tìm x để A < 1

Câu 2 (2,0 điểm).

1) Phân tích đa thức thành nhân tử: x2  x 6

2) Giải phương trình: 2 3



Câu 3 (2,0 điểm).

1) Giải bất phương trình:

2x 3 4 x



2) Tìm x, y nguyên dương sao cho x2 y2 2x 4y 10 0  

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho ABC (AB > AC); AD là đường phân giác trong Qua C kẻ tia Cx sao cho CB nằm giữa các tia CA,Cx đồng thời BCx BAD Gọi giao điểm của các tia

AD và Cx là E

1) Chứng minh DCE đồng dạng với DBA

2) chứng minh DBE đồng dạng với DAC

3) Chứng minh AB.AC= AD2 + DB.DC

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c =

3

2 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 

3

4 –––––––– Hết ––––––––

Họ tên thí sinh:……… Số báo danh:………

Chữ kí giám thị 1: ……… Chữ kí giám thị 2:………

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2013-2014

MÔN: TOÁN - LỚP 8

Câu 1

(2,0 điểm)

1

(1,0 đ)

2

2

x x 3 9 x 3 x 3

: 3x x 3 3 x 3 x 3



2

3 x 3 x 3

x 3 x







0.25

0.25 0.25

0,25

2

(1,0 đ)

A<1 

2x 3

0 x





3

x 2



 

Hoặc

3

x 0 2



 

Vậy x<

3 2



hoặcx > o thì A<1

0.25 0.25

0.25

0,25

Câu 2

(2,0 điểm)

1

(1,0 đ)

2

x  x 6 =x2 3x 2x 6  x x  32x 3

=(x-3)(x+2)

0.5 0.5

2

(1,0 đ)

ĐKXĐ: x≠-1 Quy đồng và bỏ mẫu;

2 x 1 x  x  1 2x 1 

2

2

 x=0 ( tm) hoặc x=1 (tm) Vậy phương trình có nghiệm là x=0 hoặc x=1

0.25 0.25 0.25 0.25

Câu 3

(2,0 điểm)

1

(1,0 đ)

2x 3 4 x

3(2x 3) 4(4 x)

7

10

Vậy bất phương trình có nghiệm là

7 x 10



0.5 0.25

0.25

2

(1,0 đ)

(x 2x 1) (y 4y 4) 7

x 12 y 22 7 x y 3 x y 1   7

Vì x;y nguyên dương nên x+y+3>x-y-1 Nên



Vậy cặp (x;y)=(3;1)

0.25 0.25 0.25 0,25

Câu 4

(3,0 điểm)

1 (1,0 đ)

x

E

D

C B

A

Vẽ hình đúng 1)Chứng minh ∆DCE và ∆DBA

Có E C BDAD  ( Đối đỉnh)

 D 

EC DAB ( GT)

∆DCE đồng dạng ∆DBA( g,g)

0.25

0.25 0.25 0.25

2

(1,0 đ)

Chứng minh ∆DBE và ∆DAC

Có BDE CDA  ( Đối đỉnh)

Theo câu1) ∆DCE đồng dạng ∆DBA( g,g)nên 

DE DB

DC DA

∆DBE đồng dạng ∆DAC( c,g,c)

0.25 0.5 0.25

3

(1,0 đ)

∆DCE đồng dạng ∆DBA( g,g) nênDEC DBA 

MàBAD EAC  ( AD là phân giác) Nên ∆ABD đồng dạng ∆AEC(g,g)

AB.AC AE.AD

 

2 AB.AC AD(AD AE)    AB.AC AD   AD.AE 1

0.25 0.25 0.25

Mà

DCDA (cmt)  DE.DA=DB.DC (2)

Từ (1) và (2) ta được AB.AC=AD 2 +DB.DC

0.25

Câu 5

(1,0 điểm)

Ta có:

2

Tương tự ta cũng có:

2 1 4

;

2 1 4

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:

2 2 2 3

4

Vì

3 2

a b c  

nên:

2 2 2 3

4

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =

1

2

0.25 0.25

0.25 0,25

* Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.