Một số phương pháp kết hợp giải bài toán chấp nhận lồi suy rộng

Một số phương pháp kết hợp giải bài toán chấp nhận lồi suy rộng Một số phương pháp kết hợp giải bài toán chấp nhận lồi suy rộng Một số phương pháp kết hợp giải bài toán chấp nhận lồi suy rộng luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

-  -

NGUYỄN THU THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG

DẠNG RUNGE - KUTTA GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG CƯƠNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2014

-  -

NGUYỄN THU THỦY

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG

DẠNG RUNGE - KUTTA GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG CƯƠNG

Chuyên ngành: Toán học tính toán

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Hữu Công

HÀ NỘI - 2014

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kếtquả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trongbất kỳ công trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thu Thủy

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH NguyễnHữu Công Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học

từ khi tác giả đang là học viên cao học Ngoài những chỉ dẫn về mặtkhoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của thầy dành cho tác giả luôn

là động lực lớn giúp tác giả tự tin và say mê trong nghiên cứu Qua đâytác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc và lòng quý mến đối với thầy.Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thày cô và các bạnđồng nghiệp trong xemina Bộ môn Toán học tính toán, trường Đại họcKhoa học Tự nhiên-Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo môi trường họctập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoành thành luận án này Tạiđây tác giả đã nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý cũng như một môi trườngnghiên cứu sôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trong quá trìnhnghiên cứu, hoàn thành luận án của tác giả

Tác giả xin gửi lời cám ơn tới các thày cô trong khoa Toán-Cơ-Tinhọc, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên- Đại họcQuốc Gia Hà Nội, nơi tác giả đã học tập và nghiên cứu

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Ban chủnhiệm khoa Toán-Tin và Bộ môn Toán ứng dụng trường Đại học Sưphạm Hà Nội đã tạo những điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giảhọc tập, công tác và hoàn thành luận án này

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được

sự quan tâm giúp đỡ và góp ý của GS.TSKH Phạm Kỳ Anh, PGS.TSKH

Vũ Hoàng Linh, Tác giả xin chân thành cảm ơn các Giáo sư về sự giúp

đỡ quý báu này

Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến ông bà, bố mẹ,anh chị em hai bên nội ngoại, cùng chồng và bạn bè đã góp ý và độngviên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận án

Tác giả

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỘT SỐ KÍ HIỆU CHUNG 4

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 5

MỞ ĐẦU 7

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 11 1.1 Phương pháp Runge-Kutta 12

1.1.1 Cấp chính xác của phương pháp Runge-Kutta 14

1.1.2 Tính ổn định của phương pháp Runge-Kutta 15

1.2 Các phương pháp Runge-Kutta hiển 16

1.3 Các phương pháp Runge-Kutta ẩn 18

1.4 Phương pháp Runge-Kutta lặp song song (PIRK) 21

1.4.1 Nội dung phương pháp PIRK 23

1.4.2 Cấp chính xác của phương pháp PIRK 24

1.4.3 Sự ổn định của phương pháp PIRK 24

1.4.4 Sự hội tụ của quá trình lặp 26

1.5 Một số mã tính toán tuần tự 26

1.5.1 Phương pháp kẹp thêm có cấp chính xác 5 - mã DOPRI5 27

1.5.2 Phương pháp kẹp thêm có cấp chính xác 8- mã DOPRI853 28

1.5.3 Phương pháp ngoại suy- mã ODEX 31

1.6 Ba bài toán thử 37

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG DẠNG RUNGE-KUTTA HAI BƯỚC MỘT DỰA TRÊN CÁC ĐIỂM TRÙNG KHỚP

GAUSS-LEGENDRE 40 2.1 Phương pháp dạng Runge-Kutta hai bước một dựa trên

các điểm trùng khớp Gauss-Legendre 41

2.1.1 Ổn định tuyến tính 44

2.1.2 Thử nghiệm số 49

2.2 Phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta hai bước một dựa trên các điểm trùng khớp Gauss-Legendre 50

2.2.1 Điều kiện bậc 52

2.2.2 Sự hội tụ của quá trình lặp 54

2.2.3 Miền ổn định 55

2.2.4 Thử nghiệm số 57

2.2.5 So sánh với các phương pháp song song 59

2.2.6 So sánh với các mã tuần tự 62

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG GIẢ RUNGE-KUTTA HAI BƯỚC VỚI CHIẾN LƯỢC ĐIỀU KHIỂN BƯỚC LƯỚI 65 3.1 Phương pháp giả Runge-Kutta hai bước kẹp thêm với bước lưới thay đổi 66

3.1.1 Điều kiện bậc 68

3.1.2 Công thức kẹp thêm 72

3.2 Phương pháp PIPTRK với chiến lược điều khiển bước lưới 73 3.2.1 Điều kiện bậc cho công thức dự báo 75

3.2.2 Sự hội tụ của quá trình lặp 77

3.2.3 Điều khiển bước lưới 77

3.3 Thử nghiệm số 79

3.3.1 Xác lập phương pháp PIPTRKSC 79

3.3.2 So sánh với các mã song song 81

3.3.3 So sánh với các mã tuần tự 83 3.3.4 Tính hiệu quả của chiến lược điều khiển bước lưới 85

Chương 4 PHƯƠNG PHÁP GIẢ RUNGE-KUTTA BA BƯỚC 89

4.1 Phương pháp giả Runge-Kutta ba bước (EPThRK) 90

4.1.1 Điều kiện bậc 92

4.1.2 Tính ổn định 97

4.2 Các thử nghiệm số 98

4.2.1 Chọn phương pháp EPThRK 98

4.2.2 So sánh với các mã song song 100

4.2.3 So sánh với các mã tuần tự 102

4.2.4 So sánh phương pháp EPThRK với phương pháp TBTPIRKG và PIPTRKSC 104

KẾT LUẬN 108

KIẾN NGHỊ MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 109 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 110

TÀI LIỆU THAM KHẢO 111

MỘT SỐ KÍ HIỆU CHUNG

1 Một số kí hiệu thông thường

• Rd− không gian các véc tơ thực d− chiều

• C− tập số phức.

• C−− tập số phức với phần thực không dương

• Với số phức z ∈ C, Re(z), Im(z) lần lượt là phần thực và phần

dnn!dxn +

4 Kí hiệu véc tơ e Véc tơ e luôn hiểu là véc tơ có tất cả các thànhphần bằng 1

5 Véc tơ hàm Giả sử f (x, y) là hàm thực của hai biến x, y Nếuthay x và y tương ứng bởi hai véc tơ v = (v1, v2, , vs)T và w =(w1, w2, , ws)T thì ta được véc tơ hàm với s thành phần:

f (v, w) = [f (v1, w1), f (v2, w2), , f (vs, ws)]T.Nếu x ∈ R, còn y thay bởi w = (w1, w2, , ws)T thì ta có:

f (x, w) = [f (x, w1), f (x, w2), , f (x, ws)]T

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

EPThRK Explicit pseudo three-step Runge-Kutta method

Phương pháp giả Runge-Kutta ba bướcERK Explicit Runge-Kutta

Runge-Kutta hiểnIRK Implicit Runge-Kutta

Rungge-Kutta ẩn

PC Predictor-Corrector

Dự báo-Hiệu chỉnhPIPTRK parallel-iterated pseudo two-step Runge- Kutta methods

Phương pháp lặp song song giả Runge-Kutta hai bướcPIPTRKSC Parallel-iterated pseudo two-step Runge-Kutta method with

step size controlPhương pháp lặp song song giả Runge-Kutta hai bước vớichiến lược điều khiển bước lưới

PTRK Pseudo two-step RK methods

Phương pháp giả Runge-Kutta hai bướcTBTIRKG Two-step-by-two-step IRK methods based on Gauss-Legendre

collocations pointsPhương pháp dạng Runge-Kutta ẩn hai bước một dựa trêncác điểm trùng khớp Gauss-Legendre

TBTRKG Two-step-by-two-step Runge-Kutta-type corrector methods

based on Gauss-Legendre collocation pointsPhương pháp hiệu chỉnh dạng Runge-Kutta hai bước mộtdựa trên điểm trùng khớp Gauss-Legendre

TBTPIRKG two-step-by-two-step parallel-iterated Runge-Kutta-type PC

methods based on Gauss-Legendre collocation points

Phương pháp lặp song song dạng Runge-Kutta hai bước mộtdựa trên các điểm trùng khớp Gauss-Legendre

MỞ ĐẦU

1 Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài

Trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có rất nhiều bài toán qui

về việc tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân thường thỏa mãn một

số điều kiện nào đó (điều kiện ban đầu, điều kiện biên, ) Đa số các

hệ phương trình vi phân mô tả các hệ cơ học, vật lý, hóa học, sinhhọc, đều rất phức tạp và rất khó tìm được nghiệm đúng của bài toán

mà thông thường ta phải giải gần đúng nghiệm của bài toán Phươngpháp giải gần đúng hiệu quả nhất là phương pháp số Việc nghiên cứucác phương pháp số để giải gần đúng phương trình vi phân thường đãđược nghiên cứu trong nhiều năm qua Phương pháp số phổ biến nhất

là phương pháp tuyến tính đa bước và phương pháp Runge-Kutta, cónguồn gốc từ thế kỷ trước, đặc biệt nó có sự đột phá mạnh kể từ khimáy tính điện tử ra đời vào những năm 1950 Kể từ đó, nhiều phươngpháp hiệu quả đã được xây dựng và đã có một số mã tính toán (codetính toán) hiệu quả và đáng tin cậy cho việc giải số phương trình vi phânthường

Do nhiều thuật toán số được thiết kế cho máy tính tuần tự, cácphương pháp hiện có không phải là tốt nhất Điều này đặc biệt đúngcho các phương pháp số giải bài toán thời gian thực của phương trình viphân thường có kích thước lớn Do đó, với mong muốn xem xét các thuậttoán và thay thế các thuật toán cũ một cách phù hợp hơn, chúng tôi đưa

ra mục tiêu chính của luận án là: xây dựng và phân tích các thuật toánmới để giải hiệu quả hơn bài toán giá trị ban đầu không cương của hệphương trình vi phân thường Bài toán giá trị ban đầu không cương của

hệ phương trình vi phân có dạng:

y0(t) = f (t, y(t)), y(t0) = y0, t0 ≤ t ≤ T

hoặc ở dạng autonom:

y0(t) = f (y(t)), y(t0) = y0, t0 ≤ t ≤ T

Với sự phát triển không ngừng của khoa học kỹ thuật, sự xuất hiệncủa máy tính song song đã mang lại một sự phát triển mạnh mẽ của cácphương pháp số Các thuật toán đã được nghiên cứu cần tận dụng lợithế của "siêu máy tính"

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích của luận án là nghiên cứu và xây dựng các phương phápsong song mới dạng Runge-Kutta để giải một cách hiệu quả bài toán giátrị ban đầu không cương trên siêu máy tính (máy tính song song)

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án này, việc nghiên cứu và xây dựng các phương phápsong song mới dạng Runge-Kutta được bắt đầu bằng việc đề xuất cấutrúc của phương pháp Tiếp theo, kỹ thuật trùng khớp kết hợp với kỹthuật khai triển Taylor được sử dụng để xác định hệ số của phương pháptheo điều kiện cấp chính xác Việc nghiên cứu cấp chính xác và miền

ổn định của các phương pháp được dùng để chứng tỏ tính ưu việt củacác phương pháp mới được nghiên cứu trên phương diện lý thuyết Cuốicùng các phương pháp mới được sử dụng để giải một số bài toán thửkinh điển Kết quả tính toán được so sánh với các kết quả khi giải cùngbài toán thử của các phương pháp thuộc loại tốt và tin cậy hiện hành đểkhẳng định tính ưu việt của các phương pháp mới về phương diện thựchành

4 Cấu trúc và các kết quả của luận án

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án gồm 4 chương:

- Chương 1 giới thiệu bài toán giá trị ban đầu và một số kiến thức

cơ bản về phương pháp Runge-Kutta Trong chương này, chúng tôi cũng

giới thiệu một số phương pháp song song và mã tính toán (code) hiệuquả có sẵn Đây là những phương pháp và mã tính toán mà chúng tôi

sẽ sử dụng để so sánh với các phương pháp mà chúng tôi đưa ra

- Chương 2 đề xuất và nghiên cứu các phương pháp dự báo hiệuchỉnh lặp song song dạng Runge-Kutta (RK) hai bước một dựa trên cácđiểm trùng khớp (collocation) Gauss-Legendre Phương pháp dự báo cócông thức dạng Adams Phương pháp hiệu chỉnh được xây dựng trên cơ

sở bộ hệ số của phương pháp RK Gauss-Legendre s nấc với vectơ trùngkhớp c1, , cs và phương pháp RK trùng khớp 2s nấc với vectơ trùngkhớp c1, , cs, 1 + c1, , 1 + cs Tại bước lấy tích phân thứ n, các giátrị xấp xỉ nấc của phương pháp RK trùng khớp 2s nấc được tính tại

tn+ (1 + c1)h, , tn+ (1 + cs)h có thể sử dụng thay cho các giá trị xấp

xỉ nấc của phương pháp RK Gauss-Legendre tại bước lấy tích phân thứ(n+2) Bằng cách này, chúng tôi có phương pháp hiệu chỉnh có quá trìnhlấy tích phân hai bước một Vì vậy, phương pháp dự báo hiệu chỉnh lặpsong song thu được cũng có quá trình tích phân hai bước một và cho taquá trình tích phân nhanh hơn Các thử nghiệm số chứng tỏ các phươngpháp dự báo hiệu chỉnh lặp song song dạng RK hai bước một dựa trêncác điểm trùng khớp Gauss-Legendre (Phương pháp TBTPIRKG) hiệuquả hơn một số đại diện của phương pháp song song và các mã tuần tựhiện có (phương pháp PIRK, mã ODEX, DOPRI5 và DOP853)

- Trong Chương 3, chúng tôi trình bày phương pháp lặp song songgiả Runge-Kutta hai bước với chiến lược điều khiển bước lưới Trongchương này, hai công thức với cấp chính xác s và s − 1 xây dựng kèmđược dùng để đánh giá sai số địa phương phục vụ cho việc chọn bướclưới tự động Các thử nghiệm số cho thấy phương pháp mới của chúngtôi hiệu quả hơn so với các mã có từ trước đó Chiến lược điều khiểnbước lưới cũng cho kết quả tốt hơn so với phương pháp với bước lưới cốđịnh

- Trong Chương 4, chúng tôi trình bày một lớp phương pháp song

song giả Runge-Kutta ba bước Bằng cách sử dụng kỹ thuật trùng khớp

và các chọn các điểm trùng khớp phù hợp chúng ta có thể thu được mộtphương pháp s nấc ổn định giả Runge-Kutta ba bước (phương phápEPThRK) có cấp chính xác p = 2s mà khi tính trên máy tính với s bộ

xử lý song song đòi hỏi chỉ một lần tính toán hàm vế phải f trên mỗi bộ

xử lý Bằng việc giải số một vài bài toán thử thông dụng, chúng tôi chỉ

ra rằng các phương pháp mới EPThRK được đưa ra trong chương nàyhiệu quả hơn các mã song song PIRK và các mã tuần tự ODEX, DOPRI5

và DOP853 đã biết

5 Ý nghĩa của các kết quả của luận án

Các kết quả của luận án góp phần nghiên cứu và xây dựng các phươngpháp song song dạng Runge-Kutta để giải số bài toán giá trị ban đầukhông cương, nhằm góp phần vào lĩnh vực nghiên cứu thời sự này Một

số ý tưởng và phương pháp được dùng trong luận án có thể dùng đểnghiên cứu giải các bài toán trong phương trình vi phân ngẫu nhiên vàphương trình vi phân có trễ

Nội dung chính của luận án này đã được công bố trên các công trìnhđược liệt kê ở mục Danh mục công trình của tác giả (trang 110), vàđược báo cáo tại:

- Xemina Toán học tính toán, trường Đại học Khoa học Tự

Nhiên-ĐH Quốc Gia Hà Nội

- Hội nghị Tối ưu và Tính toán khoa học, Ba Vì - 2011, 2014

- Hội nghị - Đại hội Toán học Toàn quốc, Nha Trang - 2013

- Hội nghị khoa học Khoa Toán -Tin, Trường Đại học Sư phạm HàNội - 2011, 2012, 2014

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Mục đích chính của luận án là nghiên cứu và đưa ra các thuật toán

để giải số bài toán giá trị ban đầu không cương (IVPs) cho hệ phươngtrình vi phân cấp một (xem Mục 2.2 trong [7]):

y0(t) = f (t, y(t)), y(t0) = y0, t0 6 t 6 T, (1.1)hoặc dạng autonom:

y0(t) = f (y(t)), y(t0) = y0, t0 6 t 6 T, (1.2)trong đó y, f ∈ Rd

Bài toán (1.1) có thể không có nghiệm hoặc có nghiệm nhưng khôngduy nhất Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ để bài toán (1.1) cónghiệm duy nhất ([58, tr 5])

Định lý về sự tồn tại nghiệm Cho hàm số f : R × Rd → Rd xác địnhliên tục trên miền D = {(t, y) : t0 6 t 6 T, y ∈ Rd} với t0, T hữu hạn.Giả sử tồn tại một hằng số L sao cho:

||f (t, y) − f (t, y∗)|| 6 L||y − y∗|| với mọi (t, y) , (t, y∗) ∈ DKhi đó với mọi y0 ∈ Rd luôn tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán giátrị ban đầu (1.1) sao cho y(t) liên tục, khả vi với mọi t ∈ [t0, T ]

Trong luận án này, chúng tôi sẽ giả định rằng bài toán (1.1) luôn thỏamãn các giả thiết của định lý trên Ngoài ra, ta giả thiết thêm nghiệm

y của bài toán là đủ trơn

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản vềphương pháp Runge-Kutta, một số phương pháp song song và mã tuần

tự tiêu biểu đã có mà sẽ được sử dụng để so sánh với các phương phápmới được đề xuất ở các chương sau Phần cuối chương này nêu một sốbài toán thử nghiệm kinh điển, được dùng để so sánh tính hiệu quả củacác phương pháp được nghiên cứu trong luận án.

Phương pháp số đơn giản nhất để giải số bài toán (1.1) là phươngpháp Euler Tuy nhiên, phương pháp Euler có độ chính xác thấp và cấpchính xác bằng 1 Năm 1895, Runge đã mở rộng phương pháp Euler bằngcách thêm một bước Euler vào điểm giữa của đoạn lấy tích phân Năm

1901 Kutta đã xây dựng một phương pháp có cấp chính xác 3 và 4 Đếnđầu những năm 1960, Butcher đề xuất phương pháp Runge-Kutta hiển

s nấc Sau đó, đến năm 1963, 1964, Butcher đã có những nghiên cứu sâusắc về phương pháp Runge-Kutta (xem [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]).Phương pháp Runge-Kutta là phương pháp có nhiều tính chất ưu việtnhư cấp chính xác cao, tính ổn định tốt Trong mục này chúng tôi giớithiệu một số kiến thức về phương pháp Runge-Kutta

Phương pháp Runge-Kutta s nấc tổng quát được cho bởi công thức:

trong đó A = (aij)s×svà các vectơ s chiều c = (c1, , cs)T, b = (b1, , bs)T

là ma trận và vectơ tham số của phương pháp

Yn,i là vectơ nấc biểu diễn nghiệm xấp xỉ của nghiệm chính xáctại các điểm nấc tn + cih, tức là Yn,i ≈ y(tn + cih); i = 1, , s; yn ≈y(tn); yn+1 ≈ y(tn+1); h = tn+1 − tn là độ dài bước lưới

Ta giả sử điều kiện:

luôn được thỏa mãn

Để thuận tiện cho việc trình bày ta ghi các hệ số xuất hiện trong cáccông thức (1.3) vào một bảng gọi là bảng Butcher:

• Nếu aij = 0, với mọi j ≥ i, i = 1, s hay A là ma trận tam giácdưới chặt thì phương pháp Runge-Kutta (1.3) gọi là phương phápRunge-Kutta hiển (hay phương pháp Runge-Kutta cổ điển)

• Nếu aij = 0, với mọi j > i, i = 1, s hay A là ma trận tam giácdưới thì phương pháp Runge-Kutta (1.3) được gọi là phương phápRunge-Kutta nửa ẩn (hay phương pháp đường chéo ẩn)

• Trong các trường hợp còn lại thì phương pháp Runge-Kutta (1.3)được gọi là phương pháp Runge-Kutta ẩn

1.1.1 Cấp chính xác của phương pháp Runge-Kutta

Cấp chính xác của một phương pháp phản ánh sai số địa phương củaphương pháp Việc xây dựng một phương pháp số có cấp chính xác cao

và giảm thiểu khối lượng tính toán là cần thiết Trong mục này, chúngtôi trình bày về cấp chính xác của phương pháp Runge-Kutta s nấc tổngquát (1.3)

Định nghĩa 1.1.1 Với giả thiết yn = y(tn), sai số chặt cụt địa phươngcủa phương pháp RK (1.3) tại tn+1 được xác định bởi công thức:

Tn+1 := y(tn+1) − yn+1

Định nghĩa 1.1.2 Cấp chính xác của phương pháp Runge-Kutta (1.3)

là số nguyên p lớn nhất sao cho:

y(tn+ cih) − Yn,i = O(hq+1),

với mọi i = 1, 2, , s Cấp chính xác nấc địa phương là q + 1

đây chỉ ra điều kiện để phương pháp Runge-Kutta có cấp chính xác p

và cấp chính xác nấc lớn nhất của phương pháp Runge-Kutta s-nấc ([7,

Để nghiên cứu tính ổn định của phương pháp Runge-Kutta (1.3),chúng ta dựa vào phương trình thử: y0 = λy, λ ∈ C, Re(λ) < 0 Ápdụng phương pháp Runge-Kutta (1.3) vào phương trình thử và giả sử(I − zA)−1 tồn tại, ta thu được hàm ổn định của phương pháp Runge-Kutta (1.3) là:

R(z) = 1 + zbT(I − zA)−1e (1.7)Định nghĩa 1.1.4 Miền ổn định của phương pháp Runge-Kutta (1.3)là:

Định lí 1.1.3 ([58, tr.199]) Hàm ổn định R(z) của phương pháp Kutta (1.3) thỏa mãn:

đó phương pháp ERK không ổn định tuyệt đối

• Nếu phương pháp Runge-Kutta (1.3) là phương pháp ẩn (IRK)thì hàm ổn định của nó là một hàm phân thức R(z) = Pk(z)

Qm(z),trong đó Pk, Qm là các đa thức bậc k, m tương ứng (k, m ≤ s) Vìvậy, miền ổn định có thể là vô hạn Từ đó suy ra điều kiện cần đểphương pháp RK ổn định tuyệt đối là phương pháp RK đó phải làphương pháp RK ẩn Nếu cấp chính xác của xấp xỉ này so với ez là

k + m, thì ta gọi là (k, m) cặp xấp xỉ Ehle (1969) đã chứng minhđược rằng phương pháp RK với cặp xấp xỉ (s − 1, s) và (s − 2, s)

là L- ổn định và phỏng đoán rằng phương pháp RK có cặp xấp xỉ(k, s) là A-ổn định khi và chỉ khi s − 2 ≤ k ≤ s Điều này đã đượcWanner chứng minh vào năm 1978 [7, tr 87]

Trong những năm 60 của thế kỷ XX, khi công cụ tính toán chưa pháttriển thì người ta chủ yếu nghiên cứu lớp các phương pháp Runge-Kuttahiển (ERK) Các phương pháp hiển không ổn định tuyệt đối nhưng vẫn

là các phương pháp số hiệu quả khi giải bài toán không cương (1.1) Việcnghiên cứu xây dựng các phương pháp ERK có cấp chính xác cao là quátrình xử lý hoàn toàn khác với các phương pháp IRK Butcher là người

đầu tiên cố gắng xây dựng các phương pháp ERK có cấp chính xác cao

và đã thu được một số kết quả sau (xem [13, 14, 15],[7, tr.89])

Định lí 1.2.1 Không tồn tại phương pháp Runge-Kutta hiển s nấc cócấp chính xác p = s với p ≥ 5

Định lí 1.2.2 Không tồn tại phương pháp Runge-Kutta hiển s nấc cócấp chính xác p mà p + δ = s (δ = 1 hoặc δ = 2) với p ≥ 6 + δ

Phương pháp ERK 6 nấc có cấp chính xác 5 và phương pháp ERK

7 nấc có cấp chính xác 6 được đưa ra bởi Butcher (1964) (xem [12]).Phương pháp ERK 11 nấc có cấp chính xác 8 được đưa ra bởi Curtis(1970), Cooper và Verner(1972) ([17, tr 179]) Trong mỗi trường hợpcác hoành độ dựa trên công thức cầu phương Lobatto với 3 điểm Cácphương pháp có cấp chính xác bằng 9 đã không thu hút được nhiều sựquan tâm và không biết trên thực tế cần bao nhiêu nấc để có được cấpchính xác này Phương pháp có cấp chính xác 10 với 18 nấc đã được đưa

ra bởi Curtis năm 1975 [36] Tuy nhiên, với sự kết hợp khéo léo các giảđịnh đơn giản khác nhau, Hairer (1978) đã đưa ra được phương pháp cócấp chính xác 10 với 17 nấc (xem [39]) Và hiện tại, vẫn chưa có phươngpháp nào được đưa ra với số nấc ít hơn Bảng 1.1 dưới đây cho ta mốiquan hệ giữa cấp chính xác p, số nấc lý thuyết và số nấc thực tế nhậnđược

Bảng 1.1: Cấp chính xác của các phương pháp ERK

đã được Butcher (1964) đưa ra câu trả lời như sau ([12],[41, tr.206]).

Định lí 1.3.1 Nếu f : R × Rd → Rd là liên tục và thỏa mãn điều kiệnLipschitz với hằng số L (theo y) và nếu:

Do có độ phức tạp cao trong tính toán nên các phương pháp ẩn chỉđược quan tâm và sử dụng phổ biến khi Butcher (1976) đề xuất kỹ thuậtđưa ma trận A về dạng chuẩn tắc Jordan Lớp các phương pháp IRKđầu tiên (phương pháp Gauss hay Gauss-Legendre) được Butcher (1964)đưa ra dựa trên công thức cầu phương Gauss ([58, tr.190]) Các phươngpháp IRK s nấc dạng này sẽ có cấp chính xác là 2s

Dựa trên công thức cầu phương Radau với c1 = 0 hoặc cs = 1, chúng

ta thu được các phương pháp Radau Các phương pháp Radau có thểđạt được cấp chính xác tối đa là 2s − 1 với các phương pháp s nấc Nổitiếng nhất là các phương pháp Radau IA, Radau IIA được đưa ra bởiEhle (1969) và Chipman (1971) ([58, tr.191])

Dựa trên công thức cầu phương Lobatto với c1 = 0, cs = 1, chúng

ta thu được lớp các phương pháp IRK mà theo phân loại của Butcherthì những phương pháp này thuộc loại ba (xem [11]) và được gọi là lớp

phương pháp Lobatto III Các phương pháp này có số nấc s ≥ 2 và cấpchính xác tối đa là 2s − 2 Các phương pháp điển hình là Lobatto IIIA,Lobatto IIIB của Ehle (1969) và Lobatto IIIC của Chipman (1971) ([58,

tr 193,194]) Cả ba phương pháp này đều có cấp chính xác là 2s − 2.Butcher (1964) đã đưa ra được lớp các phương pháp IRK s nấc cócấp chính xác 2s ([11]) Các hệ số của phương pháp này được xác địnhnhư sau ([17, tr.201]):

Định lí 1.3.2 Một phương pháp RK s nấc có cấp chính xác 2s khi vàchỉ khi các hệ số thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) Các hệ số c1, c2, , cs là nghiệm của đa thức Legendre Ps(x) trên[0, 1]

(ii) Các hệ số b1, , bs thỏa mãn điều kiện B(s)

(iii) Các hệ số aij, i, j = 1, , s thỏa mãn điều kiện C(s)

trong đó Pn(x) := 1

n! · d

n

dxn(x2 − x)n.Định nghĩa 1.3.1 Nếu c1, c2, , cs là nghiệm của đa thức Ps(x) thìvectơ c = (c1, c2, , cs)T được gọi là vectơ s chiều Gauss-Legendre

Các phương pháp IRK cũng có thể được xem xét xem chúng có làphương pháp trùng khớp (collocation) hay không Sự trùng khớp là ýtưởng có từ lâu và được ứng dụng rộng rãi trong giải tích số và nó baogồm một hàm được chọn (thường là đa thức) và tập các điểm trùngkhớp

Định nghĩa 1.3.2 Với s là số nguyên dương và c1, , cs phân biệt thuộc(0, 1), đa thức trùng khớp u(x) có bậc s được xác định bởi:

u(tn) = yn,

u0(tn+ cih) = f (tn+ cih, u(tn+ cih)), i = 1, , s

Guillo, Soulé (1969) và Wright (1970) đã đưa ra cách tính các hệ sốcủa phương pháp RK dạng trùng khớp như sau ([41, tr.212]):

Định lí 1.3.3 Phương pháp RK dạng trùng khớp là phương pháp IRK

s nấc với các hệ số được xác định bởi:

aij =

c iZ

Định lí 1.3.4 Một phương pháp IRK với các ci phân biệt có cấp chínhxác p ≥ s là phương pháp IRK dạng trùng khớp khi và chỉ khi điều kiệnC(s) thỏa mãn

Từ định lý này ta nhận thấy các phương pháp Gauss, Radau IIA vàLobatto IIIA là phương pháp IRK dạng trùng khớp Các phương phápRadau IA, Lobatto IIIB, Lobatto IIIC không là phương pháp IRK dạngtrùng khớp

Định lý sau đây cho ta cấp chính xác của phương pháp IRK dạngtrùng khớp ([41, tr.212])

Chúng ta có thể xây dựng được các phương pháp IRK dạng trùngkhớp bằng cách lựa chọn vectơ trùng khớp c, sau đó ma trận A và vectơ

b được xác định bằng các điều kiện B(s), C(s) (xem [21])

.Khi đó điều kiện B(s), C(s) tương đương với:

P − AQ = O , gT − bTQ = 0

Do các điểm trùng khớp ci là phân biệt nên tồn tại Q−1 Khi đó ta có

A = P Q−1 , bT = gTQ−1.Với cách xây dựng này chúng ta được một phương pháp IRK dạngtrùng khớp có cấp chính xác cao và A- ổn định đó là các phương phápGauss-Legendre, Radau IIA, Lobatto IIIA

song (PIRK)

Cùng với sự ra đời của siêu máy tính và khả năng tính toán song songcủa loại máy tính này, tức là khả năng cho phép nhiều quá trình tínhtoán được thực hiện đồng thời trên các bộ xử lý khác nhau, các phươngpháp song song cũng xuất hiện Ngay từ khi xuất hiện các phương phápsong song thể hiện được ưu điểm vượt trội của mình Có rất nhiều cáchkhác nhau để tiếp cận với các thuật toán song song như: thay đổi và thiết

kế lại các thuật toán tuần tự thành thuật toán song song, xây dựng cácthuật toán song song mới, song song hóa bằng cách chia bài toán thànhcác bài toán nhỏ có khả năng giải đồng thời trên các bộ xử lý của máysong song, song song hóa qua các bước tính toán Năm 1988, Gear [38]

đã đưa ra hai hướng khác nhau để phát triển các kỹ thuật song song choIVPs dựa trên: song song qua bài toán và song song qua thuật toán Banđầu, có cách khá tốt là phân chia các thành phần khác nhau của hệ ODEs

vào các bộ xử lý có sẵn Điều này đặc biệt có hiệu quả trong các phươngpháp hiển, khi cần tính giá trị của hàm vế phải f tại một vectơ y nhấtđịnh, do đó các thành phần của f có thể được đánh giá độc lập với nhau.Theo Gear, điều này được gọi là song song qua bài toán Một cách thú vịhơn đó là song song theo thuật toán Theo cách này ta sử dụng song songvốn có sẵn trong phương pháp Cách thức song song theo thuật toán nàycũng hiệu quả trong trường hợp bài toán vô hướng (d = 1), và rất hiệuquả khi ta song song bài toán trong trường hợp kích thước bài toán lớn.Năm 1990, Bellen [4] đã chỉ ra rằng cách song song này sẽ rất có hiệu quảtrong trường hợp bài toán có kích thước lớn hoặc hàm vế phải f là rấtđắt Một cách để khai thác song song theo thuật toán là thực hiện một

số tính toán hàm vế phải f đồng thời trên các bộ xử lý khác nhau Điềunày chỉ có thể áp dụng được cho các phương pháp đa nấc như phươngpháp Runge-Kutta Nhiều công trình nghiên cứu về các phương phápsong song dạng RK đã ra đời, tiêu biểu là các công trình của các tác giảBurrage [5, 6, 7, 8, 9], Houwen [43, 44, 45, 46, 47], Nørsett [51], R.Weiner[49, 50, 52, 53, 62], Chu [61], Ở Việt Nam, GS Nguyễn Hữu Công làngười đầu tiên nghiên cứu và đã đạt được rất nhiều kết quả trong lĩnhvực này [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35].Trong luận án này, chúng tôi xét song song theo thuật toán

Một trong những phương pháp song song đầu tiên được tiếp cậntheo hướng song song hóa qua các bước tính toán là phương pháp PIRK(Parallel Iterated Runge-Kutta) do hai giáo sư Houwen và Sommeijerxây dựng vào năm 1990 Đây là một phương pháp RK song song kinhđiển được đánh giá là hiệu quả, tin cậy và đến nay vẫn được sử dụng

để giải bài toán không cương Phương pháp PIRK này sẽ được chúngtôi dùng để so sánh với các phương pháp mà chúng tôi đưa ra trong cácchương sau

1.4.1 Nội dung phương pháp PIRK

O O A O

0T 0T 0T bT

Ở đây: O là ma trận cỡ s × s với các thành phần bằng 0 và 0 là vectơ schiều có các thành phần bằng 0

1.4.2 Cấp chính xác của phương pháp PIRK

Giả sử hàm f là liên tục Lipschitz và yn = un = y(tn) Ta có cấpchính xác của phương pháp PIRK (1.9) là: p∗ = min(m + 1; p) (xem [41,tr.260]

Áp dụng phương pháp PIRK (1.9) vào phương trình thử: y0 = λyvới Re(λ) < 0, ta được:

[I − zA)]−1I − (zA)m+1eyn.

Vậy hàm ổn định của phương pháp PIRK (1.9) là:

Rm(z) = 1 + zbT[I − zA)]−1I − (zA)m+1e (1.10)

Miền ổn định của phương pháp PIRK, kí hiệu là Sstab(m), và được xácđịnh bởi:

Sstab(m) := {z ∈ C− : |Rm(z)| ≤ 1}

Định nghĩa 1.4.1 Với số thực m cho trước,

• Số thực βre(m) được gọi là biên ổn định thực của phương phápPIRK (1.9) nếu βre(m) là số thực lớn nhất sao cho trên trục thực[−βre(m); 0] ⊂ Sstab(m)

• Số thực βim(m) được gọi là biên ổn định ảo của phương phápPIRK (1.9) nếu βim(m) là số thực lớn nhất sao cho trên trục ảođoạn [−iβim(m); iβim(m)] ⊂ Sstab(m)

Bảng 1.2 dưới đây cho ta cặp biên ổn định thực βre(p − 1) và ảo

βim(p − 1) của các phương pháp PIRK tối ưu khi phương pháp IRK gốc

là phương pháp IRK Gauss-Legendre (xem [44])

Bảng 1.2: Cặp (βre(p − 1), βim(p − 1)) của phương pháp PIRK tối ưu.Phương pháp cấp p p = 4 p = 6 p = 8 p = 10(βre, βim) (2.78, 2.82) (3.55, 0.00) (4.31, 3.39) (5.07, 0.00)

1.4.4 Sự hội tụ của quá trình lặp

Để xét tính hội tụ của phương pháp PIRK, chúng ta áp dụng vàophương trình thử y0(t) = λy(t), trong đó λ là giá trị riêng của ma trậnJacobian ∂f /∂y, thu được:

Giá trị ρ(A) được gọi là nhân tử hội tụ và 1

ρ(A) được gọi là biên hội tụcủa phương pháp PIRK

Định nghĩa 1.4.2 Miền hội tụ của phương pháp PIRK (1.9) được xácđịnh bởi:

Sconv := {z ∈ C : |z| < 1

ρ(A)}

Phương pháp PIRK được xây dựng từ phương pháp RK Định lí sauđây thể hiện mối quan hệ giữa hàm ổn định của phương pháp PIRK vàphương pháp RK

Định lí 1.4.2 Với điều kiện hội tụ thoả mãn thì hàm ổn định Rm(z)của phương pháp PIRK (1.9) hội tụ đến hàm ổn định R(z) của phươngpháp IRK (1.3) khi m → ∞

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu một số mã tuần tự hiện có vàđược đánh giá vào loại hiệu quả nhất hiện nay trong việc giải bài toánkhông cương như ODEX, DOPRI5, DOP853 Các mã này sẽ được sử dụng

để so sánh với các phương pháp mà chúng tôi đưa ra ở các chương sau

1.5.1 Phương pháp kẹp thêm có cấp chính xác 5

-mã DOPRI5

Các phương pháp ERK có cấp chính xác cao thường được xây dựngdưới dạng một phương pháp kẹp thêm của một phương pháp có cấpchính xác cao và một phương pháp có cấp chính xác thấp hơn đượcdùng để đánh giá sai số địa phương phục vụ cho việc chọn bước lưới h

tự động trong quá trình tính toán với chiến lược bước lưới thay đổi Xétphương pháp Runge-Kutta hiển với hai công thức kẹp thêm có cấp chínhxác là p và ˆp tương ứng:

ra phương pháp ERK hiển với công thức kẹp thêm có cấp chính xác là

5 và 4 tương ứng Phương pháp của Fehberg đưa ra xét với cặp p(ˆp) với

p < ˆp Do đó xấp xỉ bậc thấp được dùng để tính giá trị ban đầu chobước tiếp theo Để thực hiện được phương pháp của mình Fehberg đã cốgắng giảm tối thiểu sai số khi tính yn Tuy nhiên, điều này có thể làmcho sai số ước tính có thể nhỏ hơn rất nhiều so với sai số thực tế

Với mong muốn làm giảm sai số của những kết quả bậc cao, năm

1980 Dormand và Prince đã đưa ra đề xuất thêm giá trị yn+1 như làmột nấc thứ 7 Với ý tưởng này, Dormand và Prince đã đưa ra được họphương pháp ERK cấp chính xác 5 và cấp chính xác kẹp là 4 như sau:

0

1 5

1 5 3 10

3 40

9 40 4

1 40

là 8(6) như sau:

Giả sử s = 12 Ta xét các hệ số ci, bi, aij thỏa mãn hệ phương trình:

nếu c1, c6, , c12 là phân biệt Với mỗi i cố định (1 ≤ i ≤ 8), các điềukiện (1.13b)-(1.13f) xác định một hệ tuyến tính với ẩn là ai1, , ai,i−1.

Do số ẩn nhỏ hơn số phương trình nên cần phải chọn ci Ta có thể chọncác ci thỏa mãn điều kiện:

Nếu b12 6= 0 thì điều kiện (1.13i) với j = 12 suy ra c12 = 1

Các hệ số ˆbi được xác định bằng hệ điều kiện:

Sau đó tính tương tự như phương pháp có cấp chính xác 8 ở trên,

ta được một phương pháp Runge-Kutta có cấp chính xác 6 Hệ phươngtrình (1.18) gồm 12 phương trình với 12 ẩn Tương tự như điều kiện(1.13), ta có b1, , b12 là nghiệm của hệ (1.18) Ngoài ra, hệ phươngtrình (1.15) có nghiệm không tầm thường, nên ta có thể lấy:

ˆ

bi = bi + αei.sao cho ˆbi là nghiệm của hệ (1.18) với mọi α

Dormand và Prince đã chọn α sao cho ˆb6 = 2 Sau đó thuật toán này

đã được Hairer và Wanner lập trình (xem [41]) và gọi là mã DOPRI853

Xét bài toán (1.1) và H > 0 là bước lưới cơ sở Ta chọn một dãy các

số dương:

n1 < n2 < n3 < (1.19)

và xác định các bước lưới h1 > h2 > h3 > với hi = H

ni Sau đó, ta chọnmột phương pháp số có cấp chính xác p và tính toán số kết quả của bàitoán (1.1) bằng cách thực hiện ni bước với bước lưới hi ta được:

yhi(x0 + H) =: Ti,1 (1.20)

Và xét đa thức nội suy:

p(h) = ˆy − ephp− ep+1hp+1− − ep+k−2hp+k−2, (1.21)

sao cho:

p(hi) = Ti,1, i = j, j − 1, , j − k + 1 (1.22)Cuối cùng, cho h → 0 và sử dụng p(0) = ˆy =: Tj,k là kết quả số Điềukiện(1.22) là một hệ gồm k phương trình với k ẩn ˆy, ep, , ep+k−2

Định lí 1.5.1 (Xem [41, tr.225]) Giá trị Tj,k xác định một phương pháp

số có cấp chính xác p + k − 1

Nhận xét 1.5.1 Trường hợp p = 1 (cũng như p = 2 với mở rộng của

h2) có thể được xử lý bằng cách coi sự sai khác y(x0 + H) − ˆy là sai sốcủa phép nội suy

Phương pháp này có một ưu điểm lớn là nó cung cấp một bảng đầy

• Dãy Romberg:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, (1.24)

• Dãy Bulirsch:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, (1.25)xen kẽ giữa lũy thừa của 2 và 1, 5 × 2k Dãy này có số lần tính toánhàm cho các phương pháp bậc cao ít hơn so với trước đó và nó tạo

ra thuật toán Gragg- Bulirsch- Stoer (thuật toán GBS)

Các dãy trên có tính chất là các giá trị của hàm f có thể được sửdụng lại cho bước lưới hi nhỏ hơn Hơn nữa, lim inf(ni+1/ni) bị chặn bởi

1 cho phép các chứng minh hội tụ khi j = k → ∞

Thuật toán Aitken- Neville

Với p = 1 thì (1.21) và (1.22) trở thành bài toán nội suy cổ điển và

ta có thể tính các giá trị Tj,k bằng cách sử dụng các phương pháp cổđiển Khi ta chỉ cần tính giá trị của đa thức nội suy tại h = 0, thì hiệuquả nhất là dùng thuật toán Aitken- Neville (Aitken 1932, Neville 1934)dẫn đến

Tj,k+1 = Tj,k + Tj,k − Tj−1,k

(nj/nj−k) − 1. (1.26)Nếu các phương pháp cổ điển được sử dụng là đối xứng thì ta có thể

mở rộng giới hạn như lũy thừa của h2 và loại bỏ hai ngoại suy của lũythừa của h Do đó ta có thể thay thế h bởi h2 và p = 2 và sử dụng thuậttoán Aitken-Neville với sửa đổi này Điều đó dẫn đến:

Tj,k+1 = Tj,k + Tj,k − Tj−1,k

(nj/nj−k)2 − 1. (1.27)thay thế cho (1.26)

Năm 1964, Bulirsch và Stoer đã chỉ ra rằng tốt nhất là thay thế đathức trong (1.21) bằng hàm hữu tỷ Và trong trường hợp này, công thức(1.26) được thay bởi công thức:

định bởi thuật toán:

h∗ = 2h, t∗k = t0 + kh∗, u0 = v0 = y0, (1.30a)

uk = y2k, vk = y2k+1− hf (t2k, y2k) = 1

2(y2k+1 + y2k−1). (1.30b)Khi đó phương pháp (1.29) có thể viết dưới dạng phương pháp một bướcnhư sau:





f

Cấp chính xác và điều khiển bước lưới

Phương pháp ngoại suy có ưu điểm là ngoài kích thước bước lướithay đổi thì cấp chính xác của phương pháp cũng có thể được thay đổi

ở mỗi bước Vì vậy, để tạo ra một phương pháp tối ưu là khó hơn rấtnhiều so với phương pháp RK có bước lưới cố định Việc điều khiển bướclưới có thể được thực hiện giống như các phương pháp kẹp thêm có cấpchính xác cố định Nếu k dòng đầu tiên của bảng ngoại suy được tính,chúng ta có Tk,k là xấp xỉ với cấp chính xác cao nhất là 2k và Tk,k−1 cócấp chính xác là 2k − 2 Do đó, ta sử dụng

errk = ||Tk,k−1− Tk,k|| (1.32)

để điều khiển bước lưới Ta có bước lưới tối ưu là

Hk = H.0, 94.(0, 65/errk)1/(2k−1), (1.33)

trong đó, theo từng bước chúng ta chọn hệ số an toàn tùy thuộc vào cấpchính xác.

Để lựa chọn cấp chính xác tối ưu, chúng ta cần một tiêu chuẩn để

so sánh các phương pháp Ta có thể sử dụng Ak là số lần tính hàm vếphải khi tính Tk,k làm tiêu chuẩn Với thuật toán GBS, ta có công thức

ta tính dòng k−1 của bảng ngoại suy và các giá trị Hk−2, Wk−2, errk−1, Hk−1,

Wk−1 Ta có cách chọn cấp chính xác và điều khiển bước lưới như sau:Trường hợp 1: Hội tụ trong dòng k − 1 Nếu errk−1 ≤ 1 thì chúng tachấp nhận Tk−1,k−1 là kết quả số và tiếp tục tính tích phân với số liệumới:

không tính errk, vì vậy Hk, Wk là không biết Tuy nhiên, ta có thể chọnđược giải pháp gần tối ưu là Wk ≈ Wk−1 để làm tăng kích thước bướclưới.

Trường hợp 2: Nếu errk−1 > 1, thì có ước lượng giới hạn

Trường hợp 3: Hội tụ trong dòng k Nếu errk ≤ 1, thì chấp nhận Tk,k

là nghiệm số và tính tiếp tích phân với số liệu mới:

Nếu điều kiện (1.40) đúng thì không chấp nhận và bắt đầu lại với

knew ≤ k và Hnew xác định bởi (1.39) Nếu điều kiện (1.40) sai thì chúng

ta tiếp tục

Trường hợp 5: Hội tụ trên dòng k + 1 Tính errk+1, Hk+1 và Wk+1 Nếuerrk+1 ≤ 1, thì chấp nhận Tk+1,k+1 là nghiệm số và tiếp tục tính tích