Đề cương ôn tập HKII môn Toán lớp 12, 11,10

ABDK. Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng AB CD AC DB AD BC. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, các cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a. b)[r]

A Lý thuyết

Đại số và Giải tích

Học sinh cần nắm vững các kết quả liên quan đến cấp số cộng và cấp số nhân Một số dạng toán về giới hạn của dãy số: giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực Một số dạng toán về giới hạn của hàm số: giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, giới hạn tại vô cực.Đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, bài toán tiếp tuyến

Hình học:

Học sinh cần nắm vững quy tắc cộng hai véc tơ, quy tắc trừ hai véc tơ, quy tắc hình bình hành, tích vô hướng của hai véc tơ, quy tắc hình hộp, các khái niệm: ba véc tơ đồng phẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không gian, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc,góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.Hai mặt phẳng vuông góc, góc giữa 2 mặt phẳng Khoảng cách

B Bài tập

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1 (Cấp số cộng).Cho cấp số cộng  u n

thỏa mãn u1 4,u2164.Tính công sai d và tính u8

Bài 2 (Cấp số nhân).Cho cấp số nhân u n

thỏa mãn u1 3,u5 48.Tính công bội q và tính u10

Bài 3 (Giới hạn hữu hạn của dãy số).Tìm giới hạn của dãy số  u n

trong các trường hợp sau

a)

* 2

sin

n

n

* 2



n

c)

*





n

n

n

d)

2

* 2

3

n

n n e)u n  n2 5n  1 n n N  *.

f)

4 5  2 2 3 1 *

n

Bài 4 (Giới hạn vô cực của dãy số)Tìm các giới hạn sau

a)

lim 2n 1 ,

b) lim 5 n 2 ,

c)lim 3 n2 n 7 ,

d) lim 4 n25n11 

Bài 5 (Giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm).Tìm các giới hạn sau

a)

2

2

2

4 lim

x

x





  b)

2 2 1

lim



x

3 2 2

8 lim

x

x

 



  d)

2 2 3

x



Bài 6 (Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực).Tìm các giới hạn sau

a)

6 7

lim

8 2

x

x

x

 



 b)

15 1 lim

24 3

x

x x

  



 c)

2 2

lim

 

x

x x d)

2 2

x

  

Bài 7.(Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm).Tìm các giới hạn sau

a) 1

2

lim

1

x

x

x







b) 2

3

2

x

x x







Bài 8 (Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực)Tìm các giới hạn sau

a)

lim 7 11 ,

  

b) lim 3 20 ,

   

c)lim 5 2 ,

   

d) lim 6 10 

    

Bài 9: Tính các giới hạn sau:

a

3 4 1

lim

(2 1)( 3)

x

x x





3

2 lim

x

  



2 lim

x

x



 

d

2

3

3 lim

3

x

x





 

 e

2 2 1

lim

1

x

x

 

3 2 1

1 lim

1

x

x



  

2 2

4 lim

7 3

x

x x





 

Bài 10:Xét tính liên tục của hàm số:

 





 

 



4

Õu 2

x

x n x tại điểm xo = 2

Bài 11: a Chứng minh phương trình 2x5+4x2+ - =x 3 0 có ít nhất hai nghiệm

b Chứng minh phương trình :m24x5 3mx2 x 1 0

luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Bài 12: Tìm đạo hàm các hàm số sau:

a y=(x2−3 x +3)(x2+2 x − 1) b 1− 2 x2¿5

d y=(2 x +1 x −1 )3 e

x2−2 x +5¿3

¿

y=1

¿

f y=(√x+1)( 1

√x − 1)

j 2+sin22 x¿3

y=¿ k y=sin2

(cos2 x ) l y=2 sin2

4 x −3 cos35 x

Bài 13: Cho hàm số y x  3  6 x  2 (C)

1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A (2; 2)  ;

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y6x2

3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua gốc tọa độ O

4 Tìm điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 14: Cho hàm số

2 1 1







x y

x (C)

1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục Ox

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y x    2 0

3 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến cắt trục Oy tại điểm M sao cho OM=7

Bài 15 Cho hình chóp O.ABC

a) Chứng minh rằng nếu OA AB OA AC.  .

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

thì OA BC   . 0.

b) Chứng minh rằng nếu SA SB SC  và ASB BSC CSA  thì SA BC SB CA SC AB.  .  . 0.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

Bài 16 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác A’BD và CB’D’

Chứng minh: a AC AB  'AD' 2 AC'.



b AG                             AC               c C G               C A d AG GG G C  AC

Bài 17. Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của MN

Chứng minh rằng a GA GB GC GD    0. b OA OB OC OD    4OG O .

Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD

1 Chứng minh rằng BC( SAB); CD  (SAD); BD  (SAC)

2 Chứng minh rằng HK vuông góc với mặt phẳng (SAC) Từ đó suy ra HK vuông góc với AI

Bài 19: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) Gọi BE, DF là hai đường cao của tam

giác BCD; DK là đường cao của tam giác ACD

1 Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mặt phẳng (ADC);

2 Gọi O và H lần lượt là trực trâm của hai tam giác BCD và ACD Chứng minh OH  (ADC)

Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2BC=2a Mặt bên SAB là tam giác

cân tại S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB

1 Chứng minh BC và AD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAB)

2 Chứng minh SI vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

3 Chứng minh ICSID

Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA (ABCD) tan của góc hợp ởi

cạnh bên SC và mặt phẳng chứa đáy bằng

3 2

1 Chứng minh tam giác SBC vuông Chứng minh BD  SC và (SCD)(SAD)

2 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCB)

Bài 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a.

SA = 2a và SA  (ABCD)

1 Chứng minh rằng các tam giác SBC và SDC là các tam giác vuông

2 Gọi J,H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB,SC C/minh (ADH)(SDC) , JAH  SBC

3 Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (SDC) và (ABCD)

4 Xác định và tính độ dài đường vuông góc chung của AD và SB ; AB và SC

Bài 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, các cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a AC cắt BD

tại O

a) Chứng minh rằngSO(ABCD).

b) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD c) Tính góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD)

Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,



minh rằng : a BC SAB, b SB BC, c CD SAD, d SD CD 

e) OS=OA=OB=OC=OD

Bài 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, SA(ABCD Chứng minh ). BDSC.

MỘT SỐ BÀI TẬP Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG

Bài 26 Xác định độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết độ dài của chúng là ba số hạng liên tiếp của

một cấp số cộng với công sai d=2

Bài 26 Tìm các sốx, y biết rằng các số x+1,y+1,x+ +y 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, đồng thời các số y x,3 +2 ,3y x+8y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

Bài 28 Cho cấp số nhân  u n thỏa mãn

30 340





 Tìm u q u (q là công bội).1, , n

Bài 29 Tính giá trị của biểu thức sau

2 4 6 2014 2016 1 3 5 2013 2015

-Bài 30 Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng một phân số

 0, 666666

a b 0, 252525

Bài 31 (Giới hạn vô cực của dãy số)Tìm các giới hạn sau

a)

 



2

12 5

n c)

2

n



Bài 32 (Giới hạn 1 bên của hàm số - giới hạn hữu hạn) Tìm các giới hạn sau

a)

2

2

2

2

4









x

x b)

2 2 3

9







x

x c)

2 2 1





x

x x d)  

2

2 3

5 6

4 3

x



 

 

 

Bài 33 (Giới hạn 1 bên của hàm số - giới hạn vô cực) Tìm các giới hạn sau

a) 1

2 3

lim ,

1









x

x

2 3 lim ,

1









x

x

x c)  2 

3 7

2



 





x

x

x d)  2 

3 5

2



 





x

x x

e) 3

4 11

3









x

x

4 13

3









x

x

5 21

4



 





x

x

x h)  4 

5 19

4

x

x x



 





Bài 34.(Giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm) Tìm các giới hạn sau

1



  



x

x

3 0

x

x b

x



 

2

2 2

x

c

x



  



Bài 35 (Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực) Tìm các giới hạn sau

) lim

3 10

x

a

x

 

) lim 9 9 3

x

    

) lim 9 4 3 2 1

x

) lim

x

d

x

  

 ) lim 4 2 5 2 

x

      ) lim 9 2 4 3   2 3 

x

Bài 36 (Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực) Tìm các giới hạn sau

x

      ) lim 6 3 7 2 2

x

     ) lim 4 3 9 2 2 3 

x

      

x

      ) lim 2 4 4 2 1

x

    ) lim 4 2 2 3 

x

     

Bài 37.(Giới hạn một bên của hàm số) Cho hàm số

 

2 1

2 1

ax a khi x

khi x x



 







Tính: f  2 ,    

2



2

lim



  Tìm a để    

     

Bài 38 Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ACD, I là trung điểm BC Dựng hình bình hành

ABDK Chứng minh I, G, K thẳng hàng.

Bài 39 Cho tứ diện ABCD M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC Chứng minh rằng ba véc tơ AB,

CD

và MN đồng phẳng

Bài 40 Cho lăng trụ ABC A B C ' ' '. IBIB JA', 'JC KC', '2KB'.

Chứng minh A, I, J, K đồng phẳng

Bài 41 Cho 4 điểm A, B, C, D Chứng minh rằng AB CD AC DB AD BC.  .  . 0.

     

Bài 42.Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh bằng 3 Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh CD

và BB' thỏa mãn BN DM 1. Đặt AB a AD b AA ,  , 'c.

Phân tích các véc tơ AC MN',

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

theo a b c, ,

  

và chứng minh AC'MN.

Bài 43.Cho tứ diện SABC có ASB BSC CSA  900. H là trực tâm của ABC. Chứng minh rằng

a)SH (ABC). b)

SH SA SB SC c) S ABC2 S SBC 2 S SCA 2 S SAB2.

Bài 33 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, các cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a Gọi O là

hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)

a) Chứng minh rằngOA=OB=OC.b) Tính cô sin của góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)

Bài 44. Cho tứ diện S.ABC có SAABC,gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và SBC Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng quy b)SC BHK

c)HK SBC

Bài 45 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SAABCD,Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD.Chứng minh: a) HK (SAC),b) HK AI.

Bài 46 Cho hình chóp S.ABC có

Tính cô sin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.

MỘT SỐ BÀI TẬP Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG NÂNG CAO

Bài 47 Chứng minh rằng: 0

1 lim sin 0.

x





Bài 48.Tìm các giới hạn

a)

3

2

2 14

2





x

x b)

3 4

lim

3

x

x



3 0

1 4 1 6

x

x



  

Bài 49.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Một đường thẳng cắt các đường thẳng AA’, BC, C’D’ lần lượt tại

M, N, P sao cho              NM               2NP.

Tính '.

MA MA

Bài 50.Cho tứ diện ABCD có ABAC, AB B , D PA k PB QC kQD k ,   1

Chứng minh

TRẮC NGHIỆM

GIỚI HẠN

1. Biết limu  n và limv  n Khẳng định nào sau đây sai ?

A limu n  v n 0. B

1

n u

 



 

  C limu nv n. D lim 3 v n  .

2.

2 2

6 3

lim

5

n n n



  bằng

3.

3 5

lim

1 5

n



 bằng

4. Nếu limu  n 3 và limv  n 5 thì

5 2 lim n n

u v



 bằng

A

5

5. Biết limu n L. Khoảng định nào sau đây sai?

A lim 2 3  u n 2 3 L B lim 2 u n 2 L

C lim u n  L.

D lim 3  u n  3 L.

6. lim 1 3n n   3

bằng

2

2

3

n n

an n

 



  Khi đó giá trị của a bằng

8. Khẳng định nào sau đây sai ?

A

4 0,121212

33



B

2

0, 222

9



C

1 0,333

3



D 0,555 0,6.

9. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 1 ?

A

2 2

2 3

2 1

n n



2 3

3 1

n n n



3 2

2 3

2 1

n n



2 3

2 3

2 1

n n



 

10.

2

lim

1 3

n n

n

 

 bằng

11.

1 3 5 2 1

lim

1

n n

    

 bằng

Khi đó, S bằng

A

7

2 4 6 2

lim

1

n n

   

 bằng

14.

4

2

2 3 lim

2 3

n

 

  bằng

1 2



bằng

lim

1.2 2.3 3.4 n n 1

A

11

1 2

bằng

18. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng 0?

A

3 3

3 1

n n n



2

2 3

1

n n



2

3

2 3

2 1

n n



  D lim n n 

19. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng ?

A lim 3.2 n  5 n

B lim 2 n n 2

C

2 3

3 lim

2 1

n n



2 3

3 1

n n n



 

20. Biết limu  n và limv  n 0 Khẳng định nào sao đây sai?

A lim (u n) . B lim ( 3 ) 0. v n  C lim ( ) 0.v u  n n D lim (2 )u  n .

21. lim (2.3n 5n 7) bằng

22.

2

3 4

lim

1 4

n





 bằng

23. Biết

2 2 2

2

a n n

n n

 



  với a 0. Khi đó, giá trị của a là

24.

lim

1

x

x x

x

  

 

 bằng

26.

2

2

lim

1

x

x x

x x

 

 

  bằng

27. Biết

2

1

1

1

x

x ax x



 



 Khi đó giá trị của a là

28.

 2 2

0

lim

x

a

x a

x







bằng

     

bằng

lim

2

x

x

x







 bằng

2 3

lim

( 1)

x

x

x

 



 bằng

    

A 1. B   C  D 1.

5 1 3

lim

2

x

x

x



 

 bằng

5

34.

2

1

lim

1

x

x x

x



 

 bằng

bằng

bằng

37. Biết  

2 2 2

lim

2

x

x



 và

2 2 2

2 lim

4

x

x

 

  

 là hai giới hạn hữu hạn, với a b c  , , Tính a b c 

2

2 2

lim

2

x

x





 

 bằng

39. Biết

3 8 lim 12,

x

x a







 với a 0. Khi đó, giá trị của a bằng

    

bằng

1 1

lim



  bằng

42. Biết lim 2 3 3 2

      

Khi đó, giá trị của a là

43.

2

lim

x

x

  

 bằng

lim

1

x

x

x







 bằng

0

x

a x



vớia 0 bằng

3

3 1

1 lim

1

x

x

x

 



 bằng

47. Biết

2

1

1

x

x ax x



 



 Khi đó, giá trị của a là

48. Cho hàm số  

2 3 2 khi 2

f x



 Với giá trị nào của m thì hàm số ( )f x liên tục tại

điểm x 2?

49. Phương trình nào sau đây có ít nhất 1 nghiệm âm?

A x4x2 0. B 2x  3 1 0. C 3x  5 1 0. D x2 x0.

50 Hàm số nào sau đây không liên tục trên  ?

1

y x



51. Phương trình nào sau đây có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 0;1 ?

A 3x  5 1 0. B x3 x0. C  x4x2 0. D x2 x0.

52. Phương trình nào sau đây có ít nhất 1 nghiệm dương ?

A x4x2 0. B x2 x 0. C 2x3 1 0. D 3x  5 1 0.

53. Cho f x x3 3x2 2 với x 2 Cần bổ sung (2)f bằng bao nhiêu thì hàm số ( )f x liên

tục tại điểm x 2?

54. Cho hàm số  

2

2 3 5 khi 1

f x



 Với giá trị nào m của thì hàm số ( )f x liên tục

tại điểm x 1?

55. Cho hàm số

 

2

2

4 khi 2

2

x

x

 





 

 Với giá trị nào m của thì hàm số ( )f x liên tục tại

điểm x 2?

56. Cho hàm số

 

2

khi 1

1

x

  





 

 Với giá trị nào m của thì hàm số ( )f x liên tục

tại điểm x 1?

57 Hàm số nào sau đây không liên tục tại điểm x 0?

1

y x



58. Hàm số nào sau đây liên tục trên ?

A ytan x B ysin x C 2

1

y x



D y x.

ĐẠO HÀM

59. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3 có hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 là

A. y3x và 2 y3x3 B. y3x và 2 y3x2

C y3x và 2 y3x 2 D. y3x 2 và y3x2

60. Đạo hàm của hàm sốy5x3 x21 trên khoảng   ;  là

A. y15x22x B. y15x2 2x C. y15x2 2x1 D. 0

61. Đạo hàm của hàm số y  bằng5

A 0 B. 5 C. Không có đạo hàm D. 5

62. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f x  x3 tại điểm ( 2;8)M  là

63. Số gia của hàm số f x  x3, ứng vớix 0 2 và  x 1 là

64. Một chất điểm chuyển động có phương trìnhs t (t tính bằng giây, s tính bằng mét) Vận tốc2 của chất điểm tại thời điểm t 0 3 (giây) bằng

65. Biết tiếp tuyến của parabol y x 2 vuông góc với đường thẳng y x  Phương trình tiếp2 tuyến đó là

A. x y   1 0 B. x y   1 0 C. 4x 4y  1 0 D 4x4y  1 0

66. Giải phương trình xy  biết 1 y x21

A. x 3 B . Vô nghiệm C. x 1 D. x 2

67. Đạo hàm của hàm số f x  3x1 tại x 0 1 là

68. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 42x21 có tung độ của tiếp điểm bằng 2 là