Cơ sở kỹ thuật mạch điện và điện tử tập 2 mạch điện chức năng (tính toán và mô phỏng với matlab) hồ văn sung

Ví dụ 1 .Hàm ft là một xung vuông có biên độ bằng đơn vị như trênhình 1.3k dược biểu thị dưới dạng: Ví dụ 1.3.Hãy biểu thị sóng vuông góc như trên hình 1.4 dưới dạng khai triển của các

TS HỔ VĂN SUNG

cơ sở

Kf THUẬT MẠCH ĐIỆH & DIỆN ĩử

TẬP HAI

MACH ĐIÊN CHỨC NĂNG

(Tính toán và mô phỏng với matlab)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

Công ty cô phần Sách Đại học - Dạy nghề - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyển công bố tác phẩm.

195 - 2010/CXB/14 - 249/GD Mã số : 7B777Y0 - DAI

C hương 1

C Á C T ÍN H IÊ U C ơ SỞ

1.1 ĐẠI CƯƠNG VỂ CÁC TÍN HIỆU c ơ sở

Tron« cuộc sống hàng ngày, những tín hiệu âm thanh, âm nhạc, các tín hiệu

phát thanh truyền hình là những món ăn tinh thần không thể thiếu được đối với

mỗi người chúng ta Các tín hiệu dó chuyên chở thông tin từ trên trời, dưới biên,

từ vũ trụ bao la đến những nguyên tử, phân tử nằm sâu trong lòng vật chất,

nhằm thỏa mãn nhu cầu hiểu biết ngày một cao về thế giới vật chất xung quanh

ta cũng như trong vũ trụ bao la

Đò mô la các tín hiệu dó, người la dùng một biến số dộc lập x(t); bien số này chi phụ thuộc vào dại lượng dộc lập; dó là thời gian Tín hiệu x(t) dó dặc

trưng cho bủn chất của nguồn vật lý phát ra tín hiệu Ilay nói khác đi, tín hiệu

x(t) chứa dựng tất cả các thông tin về nguồn vật lý phát ra tín hiệu Do dó, để

biết dược các thông tin ve nguồn vật lý, người ta phái xử lý tín hiệu; có nghĩa là

người ta phai biến dổi tín hiệu lối vào dê thu được tín hiệu lôi ra mong muốn;

hay nói khác di, phai lọc ra được những tín hiệu và những thông tin cần thiết

Cho den nay, chúng ta mới chỉ xử lý tín hiệu bằng diện tử; có nghĩa là thiết

bị xử lý chí dược thục hiện với các tín hiệu diện Do vậy tín hiệu x(t) phải dược

chuvến dổi thành tín hiệu diện: Đó là dòng diện i(t) hay diện thế v(t) Việc

chuyên dổi một tín hiệu bất kỳ thành tín hiệu điện được thực hiện nhờ các

lử vật lý.Chẳng hạn biến tử cơ diện chuyển đổi các đại lượng cơ học hay âm

học thành các tín hiệu diện Các tín hiệu diện này dược đưa vào các mạch diện

tứ dê xu lý và lấy ra dược những tín hiệu và những thống tin cần thiết Với mục (lích này thì các mạch diện tứ chính là những hộ thống xử lý tín hiệu

Vì tín hiệu mang dặc tính của nguồn vật lý phát ra tín hiệu, mà nguồn này lại nằm trong một thế giới vật lý dầy biến động và phức tạp; chúng không phái

là những nguồn dộc lập mà tương tác qua lại với nhau, nên tín hiệu nói chung là rât phức tạp Nhưng, cho dù phức tạp den dâu di nữa thì chúng vãn được cấu tạo bới những tín hiệu clon gián nhất Do vậy một tín hiệu bất kỳ luôn dược cấu thành và phát triển tù những tín hiệu đơn gián nhất Đó là những tế bào cơ sở xây nên tín hiệu Những tín hiệu này là những tín hiệu cư sở de lạo nên một tín hiệu bãi kỳ Có ba tín hiệu cơ sử: Xung dơn vị (hay còn gọi là hàm denla, xung Dirac); xung nhay bậc dơn vị và tín hiệu hình sin, cả sin thực lẫn sin phức

1.2 XUNG ĐƠN VỊ

Xung dơn vị hay còn gọi là xung (lenta dược ký hiệu là 5(0 có giá trị bằng dơn vị khi dối số bằng không và bàng không ở các giá trị khác;

ô(t) =

1,0,

Hàm f(t) này chính là một xung vuông có đồ thị cho trên hình l.la Tuy

nhicn, trong thực tế không thể tạo được xung vuông lý tưởng toán học như vậy,

mà thường có dạng như trên hình 1.1 b hoặc như trên trình 1.1 c Ta lấy dạo hàm

bậc nhất cả ba tín hiệu này ta sẽ thu dược ba tín hiệu mới như trên hình 1 ld, e

và f

Hình 1.1 X ung đơn vị và đạo hàm bậc nhất xủa các xung vu ô n g lý tưỏng và th ự c tế.

Từ hình vẽ ta thấy xung đơn vị là xung có dơn Khi

£ —» 0 thì các xung tam giác trở thành xung vuông lý tưởng; khi dó, xumg có

diện tích đơn vị trở thành vô cùng hẹp, biên độ trở nên vô cùng lớn như trên

hình 3 ld

nghĩa, nên nó có tên là xung Dirac hay xung đenta

: làm xung Dirac dược ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực Chẳng hạn như

tronc cơ học, nó biếu hiện sự va dập cơ học; có nghĩa là những cíí đập xảy ra

tronc khoang thời gian rất ngắn Còn trong toán học, nó cho phép tính đạo hàm cua các hàm số có các điểm gián đoạn mà không cẩn phải tính một cách riêng hiệt giá trị trước và sau điểm gián doạn dó Trong diện tử, xung Dirac là cơ sở cua sự truyổn dẫn các thông tin số; trong dó thông tin được biểu diễn dưới dạng các dãy xung mà ta thường gọi là cấc hệ thống lấy mẫu Cuối cùng là trong diện học, ló dưa lại những lời giãi nhanh chóng nhờ các phcp tính toán tử bàng cách lấy dio hàm liên tiếp của các xung

làm denla có hai lính chất quan trọng nhất; đó là: Tính chất lấy mẫu và tính thất dịch chuyển.

lĩnh chất lấy mẫu của xung đơn vị nói rằng nếu ta nhân một tín hiệu bất kỳ

x(t) với dãy xung dơn vị; tức là xung dơn vị bị trễ di thì ta sẽ lấy mẫu tín hiệu đó tại thòi diem trễ đổ Tính chất này dược thổ hiện trên hình 1.2

Hỉnh 1.2 Tính chất lấy mẫu tín hiệu của xung dơn vị.

i rong dó n là những số nguyên; còn T là số thực được gọi là chu kỳ lấy mầu chính là khoáng cách thời gian giữa hai xung dơn vị lien tiếp nhau

ocDại lượng: ^ rỏ (t - n T ) tạo ra một dày xung dơn vị liên tiếp nhau, cách

11 = -0Cdcu nhau một khoang thời gian T giâv

lĩnh chất lấy mầu của xung dơn vị còn dược viết dưới dang:

Nếu ta nhan một hàm f(t) bất kỳ với một xung dơn vị bị trỗ một lượng a là ỏ(t-0, sau dó lấy tích phân theo thời gian t, ta sẽ thu dược giá trị của hàm f(t)

tại tlời diêm t - a T ính chất dó dược gọi là tính chất dịch chuyển của xung dơn

vị Như vậy, tính chất dịch chuyến được viết dưới dạng:

X

— 00Nếu lấy đạo hàm bậc cao của xung vuông, ta sẽ được các hàm đenta bậc cao Vậy, hàm đen ta bậc n có định nghĩa như sau:

Với dịnli nghĩa này thì ỗ'(t) được gọi là còn ô"(t) dược gọi là

Đối với các hàm denta bậc cao này thì tính chất lấy mẫu dược viết dưới dạng:

f(t)5'(l-a) = f(a)S't-a) - f(a)5(l-a) (1.5)

và tính chất dịch chuyển của hàm đen ta được mở rộng thành dạng:

f f(t)ô'(t - a ) d t = (-1 )11 —— f(t)

d tn t = a

QOỊtS(t - 3 )

Ví dụ 1 . 1 .Tính giá trị của các biếu thức sau dây:

QOb)

->.4

3 t'õ ( t- l) = 3t t = l ô ( t - l ) = 3 5 ( t - l )b) Tính chất dịch chuyển cho ta:

J f(t)Ô (t-a )đ t = f(a)

— ocTrong ví dụ này, f(t) = t, còn a = 3, nên

00

jtô ( t- 3 ) d t = t|t=3 = 3-00

(1.6)

c) Biểu thức có chứa doublct, ncn tính chất lấy mẫu đối với doublet cho ta:

f(t)8'(t-a) = f(a)ỗ'(t-a) - f (a)ô(t-a)Đối với ví dụ này thì f(t) = t2, a = 2, nôn

t:ổ'(t-2) = t 2 ô ' ( t - 2 ) - ^ - t 2

= 4ô'(t - 2 ) - 4 ô ( l - 2 )

1.3 XUNG NHẢY BẬC ĐƠN VỊ

Xung nhảy bậc dơn vị có giá trị bằng đơn vị khi đối số lớn hơn hoặc bằng không và bằng không khi dối số nhỏ hơn không Như vậy, xung nhảy bậc đơn vị

ký hiệu u(t), dược định nghĩa bởi:

1

Hình 1.3 Các dạng khác nhau của xung nhảy bậc đơn vị.

Vói dinh nghĩa này, ta thấy xung đen ta chính là đạo hàm bậc nhất của xung nhay bậc dơn vị; có nghĩa là:

du(t)

8(0 =

1 lình 1.3 cho thấy các dạng khác nhau của xung nhảy bậc đơn vị

Một tín hiệu bất kỳ có thể khai triển thành các dạng xung nhảy bậc đơn vị Sau dâ v ta sẽ lấy một số ví dụ minh chứng cho nhận định này

Ví dụ 1 Hàm f(t) là một xung vuông có biên độ bằng đơn vị như trên

hình 1.3k dược biểu thị dưới dạng:

Ví dụ 1.3.Hãy biểu thị sóng vuông góc như trên hình 1.4 dưới dạng khai

triển của các xung nhảy bậc dơn vị

Hình 1.4 Dạng sóng vu ô n g góc của ví dụ 1.3.

Giải

Ta chia sóng vuông góc f(t) thành nhũng đoạn như trên hình vẽ

Trong đoạn 1 được biểu diễn bằng:

Ví dụ 1.4 Khai triến một sóng tam

giác đối xứng như trên hình 1.5 thành

các xung nhảy bực dơn vị

Ta phân sóng tam giác này thành

hai đoạn như trên hình 1.5

Trong đoạn 1, sóng được biểu diễn

Trong đoạn 2, sóng dược biểu diễn dưới dạng:

Chia tín hiệu f(t) thành ba đoạn như trên hình 3.5

Trong vùng 1, tín hiệu dược biểu thị dưới dạng:

= (2t+l )ịu(l) - u(t-l)] + 3[u(t-l) - u(t-2)] + (-t+3)[u(t-2) - u(t-3)]

= (2t+1 )u(t) - 2 (t-l )u (t-l) - tu(t-2) + (t-3)u(t-3)

1.4 HÀM RAMP ĐƠN VỊ

Hàm ramp dơn vị có biểu thức định nghĩa như sau:

't, t > 0

(1.9)

Với định nghĩa này, thì ta thấy hàm ramp liên hộ với xung nhảy bậc dơn vịbàng hệ thức:

du |(t)u(t) =

hay

t

Vậy hàm ramp dơn vị có giá trị bằng diện tích nằm giữa xung nhảy bậc đơn

vị với trục hoành như mô tá trên hình 1.7

bậc đơn vị u(t) được xác định nhờ

hàm Heaviside(t), còn xung dơn

a ) Trước hốt ta phân tín hiệu v(l) thành 5 đoạn như trên hình vẽ Khi đó ta được:

v,(t) = 2t[u(t+l)- 11(1- 1)1v,(t) = 2[u(t-i D - u(l-2)]

V ;(l) = (—t+ 5 )[u (t—21 ) - U (t-4)J v.,(t) = Ị u ( t - 4 ) - u ( t - 5 ) J

Do dó dạo hàm bậc nhất của v(t) bây giờ dược viết dưới dạng:

— — = 2u(t+l ) - 25(1+1 ) - 2u(t-l ) - u(t-2) +ỗ(t-2) + dt

+ u(t-4) - u(t- 5) + u(t-7) + 5(1—7)

Dồ thị của tín hiệu dạo hàm bâc nhất của v(t) cho trẽn hình 1.9

Hình 1.9 Đố th ị m ô tả dạo hàm bậc nhất của tín hiệu th ế v(t) ch o tro n g ví dụ 1.6.

C hư ơng 2

BIẾN ĐỔI LAPLACE

2.1 NHẬP ĐỂ

Trong các chương trước, phương pháp phân tích Fourier hay phương pháp

ma trận dã cho những kốl quả rất tuyệt vời khi nghiên cứu các mạch điện và điện

tử với lối vào là các tín hiệu tuần hoàn Trong chế độ đó, mạch điện hoạt động ở

chế d(5 xác lập, hay còn gọi là chế độ dừng Tuy nhiên, trong thực tố, quá trình chuyển từ chế độ xác lập này sang chế độ xác lập kia dược gọi là chế độ quá dộ\

hoặc khi tín hiệu lối vào không phái là tín hiệu tuần hoàn hình sin mà là một xung diện mà không thể khai triển thành chuỗi Fourier được Doi voi nhwng trwong hop nay thif việc nghiên cứu quá trinh quá độ trong các mạch điện tử hay trong các hộ thống diện tử thường dược thực hiện nhờ giải các phương trình vi pliân, như đã thấy trong chương 3 của tập 1 rất dài dòng và phức tạp Tuy nhiên, với các phương pháp toán tử, đặc biệt là toán tử Laplace, nhờ sự dổi biến, đã chuyển cấc phương trình vi phân phức tạp đó thành các phương trình đại số rất đơn gian

Như vậy, có thể nói biến dổi Fourier vù biến dổi Laplace là hai phép biến dổi dạc tru'm> cho cộng nghệ diện từ tương tự ỉ lai công cụ này giúp cho ta

nghiên cứu mọi quá trình xay ra trong một mạch diện thời gian liên tục: Từ quá trình quá dộ dốn quá trình xác lập và sự chuyên dời từ quá trình xấc lập này này sang một quá trình xác lập khấc Hay nói khấc di, biến đổi Fourier và Laplace

cho phép nghiên cứu tất cá các dap ứng của một mạch diện tử hay của một hệ

thống diện tử đối với một tín hiệu lối vào bất kỳ

Giống như cấc phép tính ma trận, phương pháp toán tử Laplace là một cồng cụ không thể thiếu dược của cấc nhà nghiên cứu trong lĩnh vực chuyển mạch diện /ứ'và dặc biệt là trong lĩnh vực diêu khiển tựdộm*.

ơ dây chỉ trình bày một cách cô dọng nhất cấc tính chất của phép biến dổi

Laplace và dặc biệt chú trọng đốn việc ứng dụng phép biến dổi dó dế phàn tích và xác

dịnh cấc quá trình diện tử xảy ra ở trong một mạch diện tử cơ bán và cụ the

và

Nếu la dùng phép đổi hiên: p = (T + j(0 thì sẽ thu được:

00F(p) = jf(t)c “ p,dt

F(p) còn dược gọi là ảnh của f(t); còn f(t) được gọi là của F(p).

Tron« một hệ thống diện lử luyến tính và nhân quả, thi f(t) = 0 khi t < 0; bởi vì

đáp ứng của hộ thống dó chi dược xác dịnh khi I > 0 và năng lượng ban đầu dự trữ

trong hệ thống dược tính từ thòi diêm t = 0 Khi dó biến đổi Laplace có dạng:

f ( 0 = |F (p )e jpldp

0Đại lượng ơ = Rcp (phần thực của p) được chọn như thế nào đổ tích phân

hội tụ

Cần lưu ý rằng biến dổi Laplacc không phải được áp dụng cho mọi hàm

ĩ(t) Tuy nhiên, khi hàm f(t) là nghiệm của một phương trình vi phân tuyến tính,

thì phép biên dổi này luôn luôn được áp dụng, không có một hạn chế nào

Ví dụ 2 . 1 .Tìm biến dổi Laplace của tín hiệu sau:

í 0, khi t < 0

b) X")(t) — khi t < 0

khi t > 0Trong dó a là một số thực

Từ ví dụ trên cho thấy, hai tín hiệu thời gian liên tục khác nhau cho cùng một biến dổi Laplace, nhưng có miền hội tụ khác nhau Khi (X dương, không có biến dổi Fourier mà chi có biến dổi Laplace.

Rõ ràng let biến dổi Laplace và biến đổi Fourier của một tín hiệu không tuần hoàn là đổng nhất với nhau nếu miền hội tụ ơ có chứa điểm ơ = 0 Vậy, biến dổi Fourier chi là một trường hợp riêng của biến dổi Laplace: Khi thay p = jo), thì biến dổi Laplace trở thành biến dổi Fourier, nếu miền hội tụ của biên dổi Laplace có chứa gốc toạ độ

2.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN ĐỖI LAPLACE

Lấy tích phân riêng phân:

d(uv) = udv + vdu

e _ptVới: V = - và du = f(t)dt.

pNhãn củ hai vố với p, ta dược:

dặt: e pldt = dv; f'(t) = u ;

pF(p) = - e pI f(t)

X+ Je_pt f'(t)dt

1(0) = 0 Với diều kiện dó, thì:

Bảng 2.1 Các tính chất của biến đổi Laplace

Ví dụ 2.2.Biết ảnh Laplace của một hằng số A là A/p

Tìm ảnh Laplace của hàm f(t) = at

Giải

Lấy đạo hàm của f(t) ta đươc:

f(t) = af(t) = a có ảnh là a/p Lấy tích phàn f(t), ta được f(t) Vậy theo (4.12), ta dược:

, _ F (p ) _ a F(p) = — = —ĩr

Nếu biết F(p) = — , thì ta cũng có thể suy ra được hàm gốc của hàm ảnh

Báng 2.2 cho biến đổi Laplace của một số tín hiệu thường gặp trong điện

a t ì-cxt

p 2 + (02 co p2 - co2

p2 4- 0)2 Cứ (p 4- a ) 2 4- 0)2

p 4- a ( p 4 - a ) 4 -co

c0

(p + a ) 2 - co2

p 4 - a (p 4-

■Rữơraĩ íỉoctỉiỉaĩkanố

T H Ơ V I Ệ N»

Nếu dặt a = - ơ + jco, thì hàm e ( ơ+j0>M sẽ có ảnh là:

Biến đổi Fourier của hàm f(t) chính là phổ tần số F(jco) của hàm f(t) đó Nó

có mối liên hệ mật thiết với biến đổi Laplace F(p) của hàm f(t) đó; bởi vì chúng đểu là những phép biến đổi của hàm không tuần hoàn f(t) Nếu biết biến đổi laplace của hàm f(t), thì có thể xác định được biến đổi Fourier cũng của hàm f(t) đó

Thực vậy, nếu biết F(p), thì chỉ cần đổi biến p = jco ta sẽ thu đirợc F(jco) là biến đổi Fourier; tức là

F(jco)= F(p)|p=jt0

Ví dụ 2.4 Dùng mối liên hệ giữa biến đổi Fourier và laplace, tìm

biến đổi Fourier của hàm số sau:

0, khi t < 0

e - ‘ , khi t > 0

1F,(jco) =

P + 1p = jo) + jcoTương tự với f2(t)

r 2(-jco> =

P + 1 p=-jco 1-jCDVậy biến đổi Fourier của hàm f(t) là:

F(jco) = F,(jco) + F2(-jco)

1 + jw 1 - j(0 w2 + 12.5 ĐỊNH LÝ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG

Như đã biết, biến đổi Laplace của một xung nhảy bậc có độ lớn A là A/p Ta phái lìm biến đổi Laplace cũng của xung nhảy bậc ấy nhưng trê đi một lưọng bàng t = X Theo định nghĩa, biến đổi Laplace của xung nhảy bậc trễ là:

c - pTF(p)= Jf(l)c-p(,+T)dt

0Đặt 1=1 + X, thì khi t = 0 thì T = x; khi t = 00, thì T = oo; do dó ta dược:

e “ pTF(p) = Jf(T - x)e_pl dT

TNhư vậy biến dổi Laplace của một hàm trễ một khoảng thời gian X bằng biên dổi Laplace của hàm dó nhân với e~pT

2.5.1 Biên đổi Laplace của một xung vuông

Biến đổi Laplace của một xung vuông (hình 2 la)

Ta có thổ coi tín hiệu xung vuông là tổng của hai xung nhảy bậc đơn vị

(+l) và xung nhảy bậc (-1) trẽ một lượng bằng X (bằng chiều dài của xung

vuông) Do vậy:

F(p) = —- —e -px = —( l - e _pT)

2.5.2 Biến đổi Laplace của một sóng vuông góc

Sóng vuông góc như trên hình 2.ib là chồng chất của các xung vuông góc

dồng nhất như nhau nhưng có dấu ngược nhau: dấu dương và dấu âm N hững

xung vuông có dấu âm trễ một lượng bằng T so với xung dấu dương rrướtìhiió

Do vậy, biến dổi Laplace cúa một xung vuông dương và một xung vuông

âm là (chu kỳ đầu ticn của sóng vuông góc) là:

1 ỉ - n r I 1 -p T ) e -pT

Fị(p) = - - - e pT+ ( - - + - e

2.5.3 Biến đổi Laplace của một tín hiệu tuần hoàn

Giả sử F,(p) là biến đổi Laplacc của chu kỳ đầu tiên của chu kỳ dầui tiên

của tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ T; do đó áp dụng định lý trỗ la sẽ thu được

biến dổi Laplace của tín hiệu tuần hoàn này là:

Biến đổi Laplace cùa một tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T bằng biến đổi Laplace của chu kỳ dầu tiên chia cho dại lượng 1-c pI.

Với sóng vuông góc trong hình 2 lb, thì biến dổi Laplace của 11Ó có dạng:

2.6 BIẾN ĐỔI LAPLACE CỦA XUNG DIRAC VÀ ỨNG DỤNG

Như trên đã nói, xung Dirac ỗ(t) là đạo hàm của xung nhảy bậc đưn vị u(t) Biến dổi Laplace của xung nhảy bậc đơn vị là 1/p, nên biến dổi laplace của xung Dirac sẽ là:

F|(p) = pF(p) = 1Vậy biến đổi Laplace của xung Dirac bằng đơn vị

Bây giờ ta áp dụng biến đổi Laplace của xung Dirac dể tính đạo hàm cho các hàm có điểm gián đoạn Chẳng hạn ta có hcàm số như trong hình 2.2

Dầu tiên lấy dạo hàm bậc nhất f(t) ta được F(t) sẽ thu được hai xung Dirac

1 và hai xung vuông âm Lấy dạo hàm lần hai, ta đươc f'(t), sẽ thu được hai xung Dirac 1 và hai xung Dirac (-1) như trên hình 2.2c

Biến dổi Laplace của dãy xung Dirac thứ nhất là: -— —

l - e ~ 3pBiến dổi Laplace cùa dãy xung Dirac thứ hai và thứ 3 là:

Ç-P e "2p1-C 3p f 1 - e 3,1Như vậy, nếu biết biến dổi Laplace của các dạo hàm, ta có thể biết dược biến dổi Laplace của hàm gốc:

P ( l - C ~ 3p) p2 ( l - e " 3p)Làm tương lự với hàm thứ hai trong hình 2.2d, ta được:

Hình 2.2 ứ ng dụng của xung Dirac.

2.7 BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG CÁC MẠCH ĐIỆN

Biến đổi Laplace là công cụ rất hiệu

nghiệm dể nghiên cứu các quá trinh quá độ

trong các mạch điện tử, khi chúng được tác

động một cách đột ngột bởi một xung điện

ngắn hạn hay trong quá trình chuyển mạch

dột ngột Quá trình dó dược gọi là đáp ứng

cua mạch điện tử dối với một xung nhảy bậc

u(t) ở lối vào tại thời điếm t > 0

biến đổi Laplace.

'lại mỗi thời điểm t, thế tác dụng v(t) phải cân bằng với sụt thế trên các phần tử khác nhau của mạch Điều dó cho phcp viết phương trình vi phân miô tả giá trị tức thời:

v(t) = Ri(t) + ^ ji(t)dt

Ư(p) = RI(p) + Lpl(p) + ~ I(p)

Cp

Trong đó I(p) là biến dổi Laplace của dòng điện i(t)

Ap dụng biến đổi Laplacc cho phương trình vi phân này ta được:

và

Up)

p

là biến đổi Laplace của

pl(p) là biến đổi Laplace của

là biểu thức của dinh luật ôm dưới dạng toán tử của mạch điện.

Nếu biết được định luật ôm dưới Laplace, ta có thể suy ra

dược định luật Ôm dưới dạng phức, khi thế lối vào là dạng sin, bằng cách thay

Trong trường hợp tổng quát, nhờ biến đổi Laplace, người ta có thể nghiên

cứu các mạch diện tứ tuyến tính trong chế độ quá độ nhờ tất cả các phương

pháp mà chúng ta dã áp dụng trong chế độ sin động, như phương pháp mắt

mạng dộc lập, phương pháp nút mạng, phép tính ma trận, Bởi vì tất cả các

phương pháp này dều là hệ quả của dinh ôm và của /ý chổng

2.8 HÀM TRUYỀN CỦA MỘT HỆ THÔNG TUYẾN TÍNH

2.8.1 Định nghĩa

Đối với một hệ thống tuyến tính, không chứa năng lượng ban đầu, thì giữa

tín hiệu lối vào và đáp ứng của hệ thống ở lối ra luôn có sự liên hệ khăng khít

với nhau Mối liên hệ dó có tính nluìn Đáp ứng của hệ thống đối với một

tác dộng xác định ở lối vào phụ thuộc vào đặc tính của hệ thống đó Đặc tính

này chứa trong một đại lượng gọi là hàm của hệ thống Hàm truyền ll(p)

của một hệ thống được xác định bằng tỷ số của biến đổi Laplace của tín hiệu lối

ra trên biến đổi Laplace của tín hiệu lối vào; cổ nghĩa là:

S(p)H(p) =

E(p)Nếu tín hiệu lối vào là thế Vj(t); còn tín hiệu lối ra cũng là tín hiệu thế v0(t),

v 0(p)

H(p) =

Vi(p)Nếu tín hiệu vào là dòng điện ij(t) và tín hiệu lối ra cũng là dòng diện, thì

hàm truyền chính là hệ s ố khuếch dại Hệ thống là một bộ khuếch đại

dòng điện với hệ số khuếch đại chính bằng H(p):

Io(P)II(P) =

Iị(p)

Nếu tín hiệu vào là tín hiệu điện thế; còn tín hiệu lối ra là tín hiệu dòng

điện, thì hệ thống được đặc trưng bằng diện trở kháng Hay nói khác đi hàm

truyền chính là trở kháng của hệ thống:

V(p)H(p) =

I(p) Nếu tín hiộu vào lcà tín hiệu dòng điện; còn tín hiệu lối ra của hệ thống là

điện thế, thì hệ thống dược dặc trưng bằng độ dẫn diện Hay nói khác di hàm

truyền chính là độ dẫn diện của hệ thống:

l(p)H(p) =

V(p)Như vậy, hàm truyền H(p) của một hệ thống, chứa đung mọi tính chất của hộ

thống Phàn tích và tổng hợp hệ thống chính là phân tích và lổng hợp hàm truyền

của hệ thống dó Hình 2.4 mô tá quan hệ vào/ra của một hệ thống có hàm truyền

H(p) trên lĩnh vực biến đổi Laplace (2.4a) và trên lĩnh vực thời gian (2.4b)

Hinh 2.4a) Mô hình hoá quan hệ vào/ra của một mạch diện tuyến tính trên lĩnh vực

biến đổi Laplace và b) thời gian.

I lay nói khác đi, nếu biết hàm truyền của hệ thống, ta có thể biết được đáp

ứng của hệ thống lên một tín hiệu bất kỳ ở lối vàọ Như vậy một hệ thống điện

tuyến tính hay một mạch điện tuyến tính thường dược mô hình hoá như trên

hình 2.4 Vì thế, nếu biết ll(p), ta có thể biết được đáp ứng xung đơn vị của hệ

thống đó như trên hình 2.4b

của hệ thống

Ví dụ 2.5.Tín hiệu lối ra của một hệ thống tuyến tính là:

s(t) = 10.C '.cos4tu(t)khi tín hiệu lối vào là e(t) = e Ti(t) Tìm đáp ứng xung đơn vị của hệ thốn» đó

Giảị Trước hốt phải tìm hàm truyền II(p) của hệ thống đó:

Lấy biến đổi Laplacc ngịch đảo của Il(p), ta tìm được dáp ứng xung dơn

Thật vậy:

Nếu tín hiệu lối vào là một xung Dirac ô(t), khi đó ta có:

nen

H(p) = L[ô(l)l = 1H(p) = S(p); do vậy tín hiệu lối ra của hệ thống:

c(t)=ế)lDặc biệt, nếu tín hiệu lối vào là một sin thực, dạng:

e(t) = coscot thì tín hiệu lối ra SC là:

s(t) = II I(jo))lcos(o3t + cp(co))

Điều đó có nghĩa là nếu tín hiệu lối vào là một tín hiệu hình sin thì tín hiệu

lối ra cũng là tín hiệu hình sin cùng tần số như tín hiệu lối vào nhưng có biên độ

và pha đã bị biển điệu bởi hệ thống Tín hiệu lối ra trong trường hợp này được

gọi là dáp ứng trạng thái dừng của hệ thống Pha của tín hiệu lối ra đã bị dịch đi

một lượng bằng O(co) so với lối vào

Ví dụ 2.6 Hàm truyền của một hệ thống nối tiếp

Giá sử ta có một hệ thống gồm n bộ khuếch đại giống hệt nhau ghép nối

liếp nhau như trên hình 2.4

Hình 2.5 Hàm truyền của n bộ khuếch đại ghép nối tiếp.

Ta có:

n (p ) = m = i 4 E Ị x ẵ í t ẹ x M ậ J< xx

E|(p) E,(p) E,(p) E2(p)Trong đó II|(p) là hàm truyền của một tầng khuếch đại

Như vậy, trong trường hợp tổng quát, hàm truyền của một hệ thống ghép

nối tiếp bằng tích các hàm truyền của các hệ thống thành phần

Trong sơ dồ trên, nếu tác động vào lối vào một xung nhảy bậc dơn vị Hãy

tìm đáp ứng của toàn hệ

Ta thấy lối ra của tầng này là lối vào của tầng sau đó

Đáp ứng của tầng khuếch đại đầu tiên đối với xung nhảy bậc đơn vị là:

c2(t) = - Ae ~l/RCnên hàm truyền của tầng khuếch đại này là:

2.8.2 Giản đố điểm cực/điêm không của hệ thống

Đối với một hệ thống tuyến tính thì hàm truyền luôn được viết dưới dạng:

Đôi với hộ thống tuyên tính và nhân quả thì nói chung m < n; có nghĩa là đa

thức ỏ' mẫu số dối với p luôn có bậc lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức ở tử số

Tất cá các giá trị của p làm cho đa thức ở lử số của hàm truyền bằng không;

tức là N(pk) = 0 thì được gọi là các điểm (zeros) của hệ thống và dược ký

hiệu là zk, k = 1, 2, , m Còn các giá trị của p làm cho đa thức ở mẫu số bằng

không; tức là D(Pi) = 0 thì dược gọi là các điểm cực của hệ thống và được ký

hiệu là p,, i = 1,2 n Khi dó hàm truyền ll(p) có thể viết dưới dạng:

( p - Z | ) ( p - Z 2 ) ( p- Zm)

1 l(p) = C() -— -1 -—

(p — Pl Xp — p.2 )—Cp — Pn )

Cấc điểm cực và điểm không của hệ thống có thể là những số thực hoặc

phức Đối với những hệ thống bậc nhất, thì đó là những số thực; còn đối với

những hệ thống bậc hai thì chúng có thể thực hoặc phức Nếu là phức thì lien

hợp phức với nhau

2.9 BIẾN ĐỔI LAPLACE NGHỊCH ĐẢO

Như dã nói ở trôn, đổ tìm đáp ứng xung dơn vị h(t) của một hệ nào đó, ta

phai lấy biến dổi Laplace nghịch dáo biểu thức của hàm truyền Biến dổi

Laplace nghịch dao được tính theo tích phân Lai place;

ơ + j x

h(t) = - L ÍH(p)cpldp

2tĩ j

o - j - o

Việc lính tích phân phức này là không dơn giản Đổ tránh diều này, ở đây

ta sẽ trình bày một số phương pháp tính biến dổi Laplace nghịch dáo, nhanh

chỏng và thuận lợi

Kluii trien phàn thức ricng phần

Như đã thấy, hàm truyền của một hệ thống tuyến tính luôn có dạng:

H( ) = N(p) = c ( p - z , ) ( p - z2) - ( p - z M)

D(p) 0 ( P - P i ) ( P - P2) - ( P - P n ) Các điếm cực phàn biệt

Nếu N diểm cực phân biệt, thì hàm truyền luôn luôn được khai triển thành dạng:

Q = (p - P k ) H (p )|p=pk , k = 1 ,2 NKhi đó, biến đổi Laplacc nghịch đảo của hàm truyền sẽ tìm dược dưới dạng:

h(t) = C lcp" + C|Cp2‘ + + C,e|,NlTrong MATLAB, để tìm các điểm cực/điểm không của hàm truyền, người

ta dùng hàm rcsidiic(b.a) với cú pháp:

[cK,p,k] = rcsiduc(b,a)

'IVong dó b là véc tơ hệ số của da thức ở tử số viết theo bậc giám dần; còn a

là véc tư các hệ số của da thức ở mẫu số của hàm truyền; CK là các hộ số khai triển; p là các diêm cực còn k là hệ số khuếch dại tĩnh (tức là c„)

= 4P— 2

Do ció: H(p> = — ■ p = — +

p 2 +3p + 2 p + l P + 2Vậy h(t) = [—c 1 +4c 2|]

t > 0

Ta cũng có the tìm các hệ số khai triển và các điểm cực nhờ chương trình MATLAB:

b = [3 2]; a = [1 3 2]; [cK,p,k] = residue(b,a)MATLAB cho các giá trị

C k =

4-1

Chẳng hạn, ta có hàm truyền bậc ba Nếu có điểm cực là phức thì hai điểm cực phức là p2 = - a + jß và p, = - a - j ß; còn p, là điểm cực thực Khi đó đáp ứng tần số của hệ thống này sẽ tìm dược dưới dạng:

h (t) = c , e ph + c 2 c ( a+jP,‘ + c , c ( a J|i)l = c , e p" + A c o s(ß t + ọ )

lương lự: C 2 = ( p + 2)H(p)| = 3p + 2

p + 1

htl=ilaplacc(IIpl)Kết quả MATLAB cho 3 điểm cực là p = -1 và hai điểm cực phức là:

Biến đổi Laplace nghịch đảo cho dáp ứng xung đơn vị cvủa hệ thống là:

ht = -2/5*exp(-2*t)*cos(2*t)+3/10*cxp(-2*t)*sin(2*t)+2/5*exp(-t)

Đáp ứng xung dơn vị này được vẽ trên hình 2.6

0 to 20 30 40 50 60 70 80 90 too

T h o i g ia n ,3 Hỉnh 2.6 Đáp ứng xu n g của hệ th ố n g có hàm tru yề n ch o tro n g ví d ụ 2.8

Trường họp các diêm cực hội

Xét tnrờng hợp hàm F(p) vừa có điểm cực phân biệt lại vừa có điểm cực bội Chẳng hạn điểm cực thứ k là (pk) bội m ta áp dụng công thức khai triển dưới dạng:

-2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 2.0000Í

D a p u n g x u n g d o n vi h(t)

N-M I r

k = M+l (p - Pk )Trong đó m = N -M -l là bội của diem cực pk

Các hệ số khai triển Cj của các điểm cực dem được xác định bằng công thức:

2.10 ĐÁP ỨNG CỦA MẠCH ĐIỆN Đốl VỚI MỘT TÍN HIỆU BẤT KỲ

Nếu biết đáp ứng xung đơn vị của một hệ thống, ta có thể tính được đáp

ứng cua hệ thống lên một tín hiệu bất kỳ ở lối vào như trong sơ đồ hình 2.1b,

bằng cách nhân chập tín hiệu lối vào đó vói đáp ứng xung đơn vị của hệ thống,

tức là de tìm tín hiệu lối ra của một hệ thống có đáp ứng xung dơn vị h(t) đối

với tín hiệu lối vào e(t), ta phải thực hiện phép tính:

s(t) = e(t)* h(t) = je(x)h)t -x)dx = Jh(t)e(t - x)dx

xung đem vị h(t) của hệ thống Như dã thấy, phép nhân chập có tính chất giao

Nếu ta sử dụng hàm truyền, thì tích phân này (tức là phép nhân chập) được

thực hiện một cách dễ dàng nếu dùng biến đổi Laplace

Thực vậy, s(t) chính là biến dổi Laplace nghịch đảo của:

S(p) = E(p).H(p)

Có nghĩa là để tìm tín hiệu lối ra của một hộ thống chỉ việc tính biến đổi

Laplace nghịch đảo của biến đổi Laplace của tín hiệu lối vào với hàm truyền

l l(p) cứa hệ thống

Như vậy, trên lĩnh vực biến đổi Laplace, quan hệ vào ra của một hệ thống

hay cưa một mạng diện được biểu thị bằng tích của hai hàm số E(p) và II(p), thì

trên lĩnh vực thời gian, quan hệ dó dược biểu thị bằng phép nhàn chập Hàm

truyền đặc trưng cho hệ thống ở trên lĩnh vực tần số, trong khi đáp ứng xung

đơn vị dặc trưng cho hệ thống trên lĩnh vực thời gian

Ta lấy một ví dụ để minh họa cho phương pháp tìm đáp ứng của một mạch

diện dối với một tín hiệu lối vào bất kỳ

Ví dụ 2.9.Cho mạch diện RL như trên hình 2.7a.

a) Tìm hàm truyền Il(p) của mạch diện

b) Tun tín hiệu lối ra khi tín hiệu vào là nguồn dòng có dạng một xung

vuông như trôn hình 2.7b

( l - e “ 2p)

p(p + l)

Lấy biến đổi Laplace nghịch đảo của I0(p), ta sẽ thu được tín hiệu lối ra là

dòng điện ở lối ra của mạch điện Trước khi tính biến đổi Laplace nghịch dảo, ta

biến dổi I||(p) thành dạng:

r 1 I 1 o 1 e _2p 1 e ' 2p

U p > = - , (1 - e ~ 2 p ) = — + — — - - —— y

Từ đó tính được:

i„(t) = u(t) + u(t-2) - e"1 - e<-'+2’ u(t-2)

= u(t) - e'1 + (1- e1"^2’) u(t-2) ATrong MATLAb, dể tìm đáp ứng xung của một hệ thống có hàm truyền

1 l(p) người ta dùng hàm impulse với cú pháp:

lmpulse(num,dcn,t)Còn dể tìm đáp ứng của hệ thống đối với xung nhảy bậc, người ta dùng

hàm step với cú pháp:

Step(num,den,t)Còn đê tính đáp ứng của hệ thống lên một tín hiệu u(t) nào đó ở lôi vào,

người ta dùng hàm ¡sim với cú pháp:

Lsim(num,den,u,t)

Ví dụ 2.10.Một hệ thống điện tử có hàm truyền H(p) cho bởi hệ thức sau:

ĩi(pj = (p+l)/(p2 + 5p + 6)

1 ) TÌ1Ĩ1 đáp ứng xung của hệ thống, với t = 0: 0 1 : 15

2) Tìm dáp ứng của hộ thống đối với xung nhảy bậc đơn vị

3) Tìm dáp ứng của hệ thống đối với tín hiệuj u(l) = sin(2t) tác động ở lối vào

4) Tìm đáp ứng của hệ thống dối với tín hiệuj u(.t) = t~M tác động ở lối vào.

Kết quả cho trên hình 2.8a.

2) Tinh và vẽ đáp ứng xung nhảy bậc đơn vị

Kết quả cho trên hình 2.8b

Dap ung xung

Thoi gian.s (see)

Hình 2.8a) Đáp ứng xung và b) Đáp ứng xung nhảy bậc đơn vị

?) Đáp ứng của hệ thống lên tín hiệu u(t) = sin(2t)

ylabel('Bien do')

Kết quả cho trên hình 2.8c

Dap ung voi tin hieu sin

Hình 2.8c Đáp ứng của hệ thông đối vói tín hiệu sin(2t)

4) Đáp ứng của hệ thống lên tín hiệu u^t) = e '

Kết quả cho trên hình 2.8d

Dap ung voi tin hieu exp(-t)

Hình 2.8d Đáp ứng của hệ thông dôi vổi tin hiệu e~*.

C hương 3

PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP MẠCH ĐIỆN

DÙNG BIÊN ĐỔI LAPLACE

mạch diện cụ thể, với các linh kiện thụ dộng R, L c hay các

3.1 ĐỊNH LUẬT ÔM DƯỚI DẠNG BIẾN Đổl LAPLACE

Định luật Ôm đôi với điện trở thuần

Giả sử dòng điện đi qua điện trở thuần R (hình 3 la) là i(t) Theo định luật

Om, sụt thế hai đáu điện trở tại thời điểm t sẽ là:

v(t) = Ri(t)Lấy biến đổi Laplace hệ thức này, ta được:

V(P) = RI(P)Định luật Ồin dôi vói một cuộn cảm

Giả sử dòng điện di qua một cuộn cảm L (hình 3.lb) là i(t) Khi dó, thế ở

hai dầu cuộn cam là:

v (0 = L ~

dtLấy biến dổi Laplace cả hai phía hệ thức trên, ta thu được:

V(p) = L[pl(p) - i(O)]

May: I(p) = 7^-V (p) + —

Trong đó i(0) là dòng điên chạy qua cuộn cảm tại thời điểm ban đầu t = 0

Như vậy, trong lĩnh vực biến đổi Laplace, dòng điện qua cuộn cảm L có sơ

dồ tương dương như trôn hình 3.1 d và e

' I(p)

V(p) pL I(p)

Hình 3.1 Biểu diễn mạch diện một điện trỏ và một cuộn cảm

trên lĩnh vực thời gian và Laplace.

Định luật Ôm trong mạch một tụ diện

Nếu dòng điện chạy qua tụ điện là i(t) và thế ở hai đầu tụ là v(t), thì định luật Ôm thu được:

Trong đó v(0) là thế ở hai đầu tụ tại thời điểm ban đầu t=0

Nhir vậy trên lĩnh vực biến đổi Laplace, mạch điện với một tụ điện c có sơ

Hình 3.2 Mạch điện có tụ điện trên lĩnh vực thời gian và trên lĩnh vực biên đổi Laplace.

Nếu giá thiết điều kiện ban đầu đối với cuộn cảm và tụ điện băng không

Có nghĩa là dòng điện ban đầu qua cuộn cảm bằng không và tại thời điểm ban đầu t = 0, tụ điện c không tích điện, khi đó định luật Ôm đối với mạch điện RLC nối tiếp và song song sẽ có dạng như trên hình 3.3

Trở kháng của mạch RLC nối tiếp sẽ là:

Z(p) = - R + pL + 1

Độ dần điện của mạch RLC song song là:

Hình 3.3 Biểu diễn mạch diện RLC nối tiếp và song song

tro n g lĩnh vực thòi gian và biến đoi Laplace.

Định luật Ôm dạng tổng quát

Như vậy, nếu điều kiện ban đầu bàng không, thì trong biến đổi Laplace, các định luật Ồm có dạng:

V(p) = Z(p)l(p)

Trong đó: Z(p): Trỏ' kháng của toàn mạch

Y(p): Độ dẫn của toàn mạch

Đối với các trường hợp dã nghiên cứu ở trôn thì:

Ta lấy một ví dụ tính tổng trở của một mạch điện dưới dạng biến đổi

La place

Ví dụ 3.1.Tìm dòng điện i chạy trong mạch điện cho trong hình 3.4 sau

dây với các dieu kiện ban đầu bằng không

V=12u(t)V

Hình 3.4 Mạch điện của ví dụ 3.1.

Giải Trước hết, ta biểu diễn mạch điện dưới dạng biến đổi Laplace như trôn

hình 3.5 Khi dó tổng trở của toàn mạch tính được:

z,(p) = R, + ZL1 = 1 + p z2(p)= R4 + Z| 2 = 4 + 2p

lổng trở 7.của toàn mạch:

2(1 + p) p(4 + 2p)Z(p) = R| + z.Tp) + Z4(p) + zL4(p) = 6 + —— — + — + 4p

3 + p) 4 + 3p)Vậy dòng điện chạy trong mạch dưới dạng biến đổi Laplace tìm được là:Un) X M - 1 _ 12

Z(p) p • + 2(1 + P) + 2p(2 + p)

3 + p 4 + 3p)

i(t)

3.2 ĐÁP ỨNG CỦA MẠCH LR Đ ốl VỚ! XUNG NHẢY BẬC

Đây là một ví dụ điển hình của ứng dụng biến đổi Laplace đổ nghiên cứu quá trình quá độ trong một mạch điện

Giá sử ta có mạch LR như trên hình 3.6 K

Trong sơ đồ E là một nguồn thế

không đổi

Tại thời điểm t = 0, ta đóng khóa

K Như vậy, thố tác động vào mạch LR

biên đổi Laplace.

Tại mọi thời điểm, phương trình vi phân mõ ta mạch:

tli(t)u(t) = Ri(t) + L

dtDưới dạng toán tử Laplace:

về dạng quen biết và dùng bảng để tìm i(t)

Trước tiên chia cả tử số và mẫu số của I(p) cho L ta được:

K p ) =

-p(p + R /L )