Cơ sở kỹ thuật mạch điện và điện tử tập 1 mạch điện cơ bản (tính toán và mô phỏng với matlab) hồ văn sung

Các lượng đó Điện tích, dòng điện, hiệu diện th ế hoặc thế và công suất tiêu Các đại lượng vật lý được trình này nhắc lại các định nghĩa cơ sở và dưa nghĩa dó vào trong ngữ cảnh của các

TÍNH TOÁN VÀ MÔ PH Ỏ NG VỚI MATLAB

TS HO V A N S U N G

CO SO

TAP MOT

(Tinh toan vd mo phong vdi matlab)

Công ty cổ phần Sách Đại học - Dạy nghề - Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyền công bố tác phẩm.

LỜI GIỚI THIỆU

Bộ sách "Cơ sở kỹ thuật mạch Điện & Điện tử' gồm hai tập lý thuyết và hai tập

"giải bài tập", tập hợp tất cả các kiến thức mởi nhất về lý thuyết mạch cũng như những công cụ và những phương pháp để phân tích và thiết kế các mạch Điện và Điện tử tương

tự Các tính chất cũng như đáp ứng của các mạch điện từ tần số thấp đến tần số cao và siêu cao đã được mô tả và trình bày một cách rõ ràng, tổng quát và khảo sát chi tiết với hàng trâm ví dụ được mô tả bằng các biểu thức toán học chặt chẽ hoặc trên màn hình máy

vi tính nhờ phần mém MATLAB.

Toàn bộ nội dung của giáo trình "Cơ sở kỹ thuật mạch Điện & Điện t ử " này được

trình bày một cách thống nhất: từ cơ sỏ đến nâng cao và được phân thành hai tập Trong

đó, tập I cung cấp các kiến thức cơ bản cũng như những công cụ và phương pháp để phân

tích các chế độ họat động của các mạch điện và điện tử cơ sở Tập II nghiên cứu, phân tích và thiết kế các mạch điện chức năng; hay nói khác đi, tập hai sử dụng các mạch điện cũng như nhưng kiến thức cơ bản đã thu được trong tập 1 để phân tích và xây dựng các

hệ thống điện và điện tử chức năng Đó là những mạch điện tiên tiến trong các hệ thống

thòng tin hiện đại và là những mạch điện cơ sở để xây dựng nên các loại vi mạch (1C).

Tập 1 gồm 11 chương; trong đó chương 1 mô tả "các đại lượng điện cơ bản và các chức năng cơ sở" của chúng Chương 2 "biểu diễn phức dòng điện và mạch điện xoay chiêu" Chương 3 trình bày những "định luật co bản trong các mạng điện tuyến tính"; trong đó có các định lỳ Thevenin, Kirchhoff và Kenely Các định luật tại các nút mạng và trong các mát mạng dộc lập cũng đả được trình bày chi tiết và vận dụng một

cách thuần thục để phân tích các mạng tuyến tính 1 cổng và 2 cổng Chương 4 mô tả

"mạch điện trong ch ế độ xung" Chương 5 nghiên cứu phép biến đổi Fourier và mật độ phổ công suất của tín hiệu Chương 6 nghiên cứu các "mạch điện trong ch ế độ điểu hoàA C với tẩn sô biến đối" Chương 7, chương 8 và chương 9 nghiên cứu các đặc trưng

và các mạch điện cơ sỏ dùng các linh kiện tích cụt như điôt, tranzito và các bộ khuếch dại thuật toán Đặc biệt là các mạch điện dùng tranzito trường MOS và CMOS để xây

dựng nguồn dòng đối xứng gương và các mạch khuếch đại vi sai Các mạch điện này là

những phần tử cơ sỏ để thiết kế các loại vi mạch cho các hệ thống thông tin quang hay

trong các máy thu cho các hệ thống thông tin hiện đại 3G Chương 9 cung cấp nhiều kiến

thức để thiết kế và thực hiện các máy tính điện tử tương tự Chương 10 nghiên cứu các mạng 1 cống và 2 cống Chương 11 tập trung phân tích các loại mạch lọc thụ động từ

linh kiện rời cho đến vi mạch và mạch dải.

Hai phép biến đổi đặc trưng cho công nghệ analoq; đó là phép biến dổi Fourier và Laplace được tập trung phân tích và áp dụng kỹ càng Nhờ biến đổi Laplace và Fourier, hàm truyền và đảp ứng tẩn s ố của hệ thống dễ dàng được thiết lập Chúng là những đại lượng chứa đựng toàn bộ các tính chất của một hệ thống, nên việc phân tích và thiết k ế

hệ thống chính là phân tích và thiết kế hàm truyền và đáp ứng tần số của hệ thống đó Phương pháp phân tích Fourier đặc biệt hiệu nghiệm để nghiên cứu các mạch điện trong

chế độ dùng; còn phép biến đổi Laplace là một công cụ không thể thiếu được để nghiên cứu các mạch điện trong quá trình quá độ Ngoài ra, tập sách còn cung cấp các phương pháp sô p h ú t và phương pháp ma trận để phân tích và thiết kế các mạng điện tuyến tính

và mạng một cổng và hai cổng rất thuận tiện và nhanh chóng; bởi vì các phương pháp này

rất được ưa chuộng trong các máy tính số và đã được cập nhật trong các chương trình phần mềm bậc cao nhưMATLAB hoặc PSPICE.

Tập II gồm 10 chương nhằm nghiên cửu úng dụng phép biến đổi Laplace cũng như các linh kiện và mạch điện cơ sỏ của tập I để phân tích và thiết kế các mạch điện chức nảng Đó là những mạch điện có mặt trong các 1C của các hệ thống thông tin và truyền thông hiện đại Trong đó, chương 1 mô tả các "tín hiệu cơ sở" Chương 2 trình bày phép

"biến đổi Laplace" Chương 3 "phân tích các mạch điện dùng biến đối Laplace" Chương 4 nghiên cửu các "mạch điện liên kết hỗ cảm" Chương 5 mô tả khái quát "hệ thông thông tin và truyền thông" Chương 6 phân tích và thiết kế các loại "mạch lọc tích cực" Chương 7 nghiên cứu các mạch "điếu chế và giải điều chế" Chương 8 thực hiện các bộ" khuếch đại dải rộng" và các bộ khuếch đại có tạp nhiễu thấp và tiêu thụ điện cực nhỏ (LNA) Chương 9 nghiên cứu các hệ thống" kiểm tra, giám sát và điểu khiển quá trình" Chương 10 phân tích "mạng 3 pha".

Củng vôi hai tập lý thuyết này là hai tập "Giải bài tập cơ sở kỹ thuật mạch Điện & Điện từ' Gần 500 bài tập chứa trong hai tập sách này gắn liền vởi toàn bộ nội dung của

hai tập lý thuyết Các định luật và định lý cũng như tất cả các phương pháp lý thuyết đã được vận dụng để giải quyết các bài tập một cách nhanh chóng, hiệu quả và đưa ra những kết quả chi tiết, cụ thể và hết sức đẹp đẽ nhờ sự trợ giúp của máy tính; đặc biệt là của phần mềm MATLAB.

Sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin và truyền thông, dựa trên sự phát triển vượt bậc của công nghệ xử lý tín hiệu số mà trong đó phần đóng góp chủ yếu, có tính

quyết định là công nghệ các mạch diện và diện tử Vì vậy, tài liệu về mạch điện và điện

tử cũng cực kỳ nhiều và được viết dưới nhiều dạng khác nhau Điều đó nói lên tầm quan trọng và tính ứng dụng rộng lớn của lĩnh vực này trong kỹ thuật và công nghệ Chính vì thế, giáo trình" cơ sỏ kỹ thuật mạch điện và điện tửă' này được giảng dạy ở hầu hết các trường Đại học, Cao đẳng cả Khoa học Tự nhiên lẫn Kỹ thuật và Công nghệ ỏ rất nhiều kỳ với nhiều cấp độ khác nhau.

Với bộ sách này, chúng tôi muốn thể hiện những gì là tồng quát nhất, cơ bản nhất đồng thời cập nhật được những công nghệ mởi nhất Đó là lý do tại sao, trong bộ sách vừa trình bày các mạch điện kinh điển nhưng cũng có rất nhiều mạch điện tiên tiến, có mặt trong các vi mạch hiện đại Bỏi vì, chúng tôi muốn cung cấp cho bạn đọc tất cả các phương pháp củng như những cồng cụ hữu hiệu để phân tích và tổng hợp mạch điện và

để bạn đọc có thể sử dụng được ngay Để làm được điều này, sau mỗi phương pháp phân tích là chương trình mô phỏng, ví dụ minh họa và nhiều bài tập vòi lời giải chi tiết ỏ cuối sách, giúp cho người đọc củng cố và tự mình kiểm chửng những khái niệm, những kiến thức đã thu nhặn được sau khi đọc sách.

Bộ sách này là tài liệu tham khảo hữu ích không những cho sinh viên và học viên cao học của tất cả các trường, từ Cao đẳng đến Đại học, từ Khoa học Tự nhiên đến Kỹ thuật

và Cồng nghệ mà còn cho cả các kỹ thuật viên và kỹ sư thực hành các ngành Điện, Điện

tử, Viễn thông lẫn Công nghệ Thông tin.

TÁC GIẢ

4

Chương 1

CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐIỆN c ơ BẢN

VÀ CHỨC NẮNG C ơ SỞ

sử dụng các khái niệm điện cơ hản Các lượng đó Điện tích, dòng điện,

hiệu diện th ế hoặc thế và công suất tiêu Các đại lượng vật lý được

trình này nhắc lại các định nghĩa cơ sở và dưa nghĩa dó vào trong ngữ

cảnh của các mạch điện và diện tử cụ th Trong dó, thê và dòng đóng vai

trung tâm và có dược xem như các dại lượng cơ của học Tất cả

hệ thống diện tử, từ đơn gián nhất đến phức tạp được cấu tạo từ điện

trở, tụ điện,cuộn cảm và từ các nguồn nguồn dòng Vì mô

tá các linh kiện cơ sở k ế trên dĩ nhiên là Các phương mô tả

một cách chính xác và tỉ mí.Đó là nền để xây dựng'nên giáo cơ sở

mạch điện và điện tử này.

1.1 CÁ C ĐẠI LƯỢNG ĐIỆN c ơ BẢN

1.1.1 Điện tích

Đại lượng cơ sở là điện tích điện Nó cấu thành vật chất Các loại vật liệu,

vật dẫn điện, vật cách điện, đểu được tạo thành từ các nguyên tử và các tính chất

diện của chúng phụ thuộc vào sự có mặt của các điện tử liên kết yếu với các hạt

nhân nguyên tử Mỗi điện tử mang điệr

Culống là dơn vị điện tích dã

dược chuẩn hóa Vì thế nó tương

đương với diện tích khoang 6 X I0lx

điện tử Hạt nhân của nguyên tử mang

điện tích dương

Các điện tử ở lớp ngoài cùng, liên

kết yếu với hạt nhân quyết định tính

chất dẫn diện của vật chất Chúng

dược coi là linh động trong vật liệu và

dược gọi là các điện tử dẫn, phần còn

lại cửa nguyên tử, tích diện dương, được

tích điện cư sở bằng l ,6x 10 lục

Hình 1.1 Vật liệu dẫn điện.

xem như một điện tích cố định Hình 1.1 biểu thị trường hợp một vật liệu chứa hai điện tử dẫn trong một nguyên tử Bản chất tự nhiên dẫn điện hoặc cách điện của vật liệu liên quan với sự tồn tại của các điện tử dẫn Trong trường hợp các chất cách điện, tất cả điện tử liên kết mạnh với hạt nhân nên điện tử dẫn không tồn tại.

Sự dẫn điện gắn liền với sự có mặt của một số lượng nhiều hay ít các hạt tải điện liên kết yếu với các nguyên tử của vật liệu, chúng là điện tử hoặc lỗ trống Các điện tử liên kết yếu với các nguyên tử vật liệu được gọi là điện tử dẫn Nhắc lại, lỗ trống là cách thức đơn giản để trình bày một hiện tượng phức tạp của sự dẫn điện trong bán dẫn Điện tích của nó dương, ngược với dấu của điện tích điện tử Vì vậy, các vật liệu bán dẫn được biểu diễn trên hình 1.2 bằng một tập hợp các nguyên tử Một số chứa một hay nhiều điện tử dẫn Một số khác chứa một hay nhiều lỗ trống liên kết yếu Nguyên tử liên quan, cố định trong vật liệu,

vì thế chúng có điện tích dương hay âm tuỳ theo hạt tải điện tự do là điện tử hay

lỗ trống Trong các chất dẫn điện, mỗi nguyên tử có ít nhất một điện tử dẫn Trong chất bán dẫn (Silic, Germani hoặc Acsenic gali) chỉ một số nguyên tử có chứa điện tử hoặc lỗ trống liên kết yếu

Dòng điện được định nghĩa như một số các điện tử chuyển dời qua một mặt

đã cho trong một đơn vị thời gian Nó được đo bằng lượng điện tích tương ứng

6

và được biểu diễn bằng Ampe Hình 1.2 biểu diễn dòng diện i(t) tương ứng với

N(t) điện tử chuyển qua mặt s Không gian được chia thành hai miền và để mô

tả sự chuyển dời của điện tử từ vùng 1 sang vùng 2 thì chỉ cần chọn một hướng

dương là đủ, hướng này thuần túy là quy ước Hướng này được biểu diễn bằng

mũi tên tương ứng với sự chuyển dời của điện tử từ 2 sang 1

Hình 1.3 minh họa trưÌTng hợp cụ

thể nhất một dây điện thiết diện s Dòng

điện đo được qua thiết diện này vuông

góc với trục của dây Khi cường độ dòng

điện có giá trị không đổi đối với thời

gian, ta nói đó là dòng điện không đổi

biến đổi.Trường hợp của các chất dẫn

điện và các chất cách điện thì đơn giản

Chúng không phải là những vật liệu

được sử dụng nhiều nhất trong công

nghiệp điện tử, như các chất bán dẫn.

Các vật liệu này (Silíc, Germanium và Arsenic Galium) không phải là chất dẫn

điện cũng không phải là chất cách điện nếu tính đến số lượng các điện tử liên kết

yếu có đủ để đảm bảo một số tính chất dẫn điện Không phải có một hoặc nhiều

điện tử trên một nguyên tử như đối với các vật dẫn điện mà phải có một số lượng

lớn các nguyên tử của chất bán dẫn mới tìm thấy được một điện tử dẫn

Quá trình dẫn điện của bán dẫn trở nên phức tạp khi một số điện tử liên kết

mạnh với nguyên tử cũng tham gia vào sự dẫn điện Các điện tử đó được gọi là

các điện tử hóa trị.Lý thuyết của các vật liệu bán dẫn cho thấy rằng ảnh hưởngcủa các diện tử hóa trị này giống với ảnh hưởng của các giả-hạt gần giống như

điện tử, chí sai khác về dấu của các-điện tích của chúng Các hạt này được gọi là

lỗ trống.Điện tích của chúng bằng điện tích của điện tử, ngược lại dấu của điện

tích này lại là dương Do dó các tính chất điện của vật liệu bán dẫn được giải

thích bạng cách coi dòng điện được tạo thành bởi hai loại hạt tải: Điện tử và lỗ

trống Dưới tác dụng của mốt diên trường, các diện tử và lỗ trống dịch chuyển

theo các hướng ngược nhau như chí ra trên hình 1.4

Điện tích dương Lỗ trồng bị đẩy

Vùng điện tích không gian

Hình 1.4 Ánh hưởng của diện trường lên các hạt tải diện.

Thiết diện ngang

Hình 1.3 Dòng điện chạy qua

một dây dẫn.

1.1.3 Điện thê hoặc thê

này được sử dụng thường xuyên trong cuộc sống hàng ngày và chúng ta nói cái pin

4,5V hoặc lưới điện lực 220V không cần đắn đo gì đặc biệt Nhưng về ý nghĩa thực

tế của thế, thì dể giải thích đại lượng này không phải là điểu quá đơn giản

Được xác định tại mọi điểm của không gian, thế V(x, y, z) thực chất là

công phải thực hiện để đưa một đơn vị điện tích từ vô cùng đến điểm đang xét

của không gian Định nghĩa này rất trừu tượng, có thể được minh họa bởi ví dụ

của dây dẫn biểu diễn trên hình 1.3 Hai điểm A và B tương ứng với hai thiết

diện SA và SB của dây Hiệu điện thế VA - VB là công phải cung cấp để đưa một

đơn vị điện tích từ A đến B Để đưa một điện tử có điện tích q„ cần phải thực

hiện công là q„(VA - VB) Định nghĩa này phù hợp với định nghĩa ở trên vì để

đưa một điện tích từ A đến B, có thể dẫn từ A ra vô cùng sau đó từ vô cùng đến

B.VÌ lý do này, chúng ta giả thiết rằng công thực hiện không phụ thuộc vào

đường đi Giả thiết quan trọng này là đúng đối với điện thế trong một số các

điều kiện xác định Lưu ý rằng, nếu công phụ thuộc đường đi thì sẽ không thể

gán cho tại một điểm trong không gian một giá trị và chỉ một mà thôi

Hình 1.5 biểu diên một tập hợp các linh kiện được ghép nối với nhau nhờ

các dây dẫn hoàn hảo (nghĩa là không có bất kỳ sự sụt thế nào trong các dây

dẫn đó) Do đó, thế ở trong các dây dẫn đó là hằng số Vì thế mỗi dây dẫn được

gán với một thế và người ta định nghĩa VA, VB, v c, VD

Hệ thức này, chứng minh rằng tổng các hiệu điện thế tính theo hai đường

khác nhau là bàng nhau như trong trường hợp 1 và 2

8

1.1.4 Công suất của dòng diện

Chúng ta đã đưa vào khái niệm công khi định nghĩa về thế Bây giờ nếu xét công phải cung cấp để dịch chuyển N điện tích cơ bản từ A đến B, ta được:

tế, các linh kiện chỉ có thể tiêu tán một công suất hạn chế và công suất tiêu tán hiệu dụng phải nhỏ hơn giới hạn này Trong trường hợp tổng quát, dòng và thế

là các hàm số của thời gian, công suất tiêu tán là một đại lượng thay đổi theo thời gian Trong thực tế, người ta tính công suất trung binh trong một khoảng thời gian đã cho Giá trị trung bình này được gọi là công suất hiệu dụng, v ề mặt toán học, người ta viết:

Pcrr=Ạj|P(t)dt

* <)Khi có hiệu điện thế tác động vào hai đầu của một điện trở R, công suất tiêu tán được biểu diễn bằng:

V2

p = IV = —

RKhi đó giá trị hiệu dụng của công suất là:

1.2 CÁC LINH KIỆN c ơ BẢN VÀ CÁC CHỨC NĂNG

1.2.1 Điện trở

Lấy ví dụ dây dẫn đã cho trong hình 1.3 Nếu dây đủ dài hoặc nếu vật liệu

sử dụng không phải là một vật dẫn điện quá tốt, thì một hiệu điện thế có thể xuất hiện khi dòng điện chạy trong dây dẫn Quan hệ giữa hiệu điện thế này với

VA(t) - VB(t) = R.I(t) _

Hệ số tỷ lệ là điện trở Nó được đo bằng Ôm (ký hiệu Q) Trong trường hợp dây dẫn dài thiết diện s, giá trị R là:

Hằng số p là đặc trimg riêng của vật liệu, đó là suất Nó đo bằng

ôm mét (Q.m) Để đơn giản ký hiệu, người ta viết:

VA - VB = R.ITrong thực tế, các vật dẫn điện có điện trở nhỏ hơn 1Q và các điện trở dùng trong điện tử thường có phạm vi từ 1 Q đến vài trăm MQ Bảng 1.1 nhắc lại một

số các ký hiệu đã được sử dụng cho các công suất

Bảng 1.1 Các dơn.vị của điện tử học

điện chạy và hướng của hiệu điện thế, ta sẽ xác định một hướng quy Khi đó các đại lượng được tính toán là các đại lượng đại số và dấu của chúng chỉ ra là đại lượng điện có cùng một hướng như hướng quy ước đã chọn hay không Trường hợp của điện trở được minh họa trên hình 1.6

A *

B • -1

Điện trở vật lý

Dòng điện tử

Khi chọn hướng dương của thế như đã chỉ trong hình 1.6a Chiều mũi tên

cho thấy hiệu điện thế V là VA - v u chứ không phải VB VA Cách lựa chọn

này không liên quan gì tới các giá trị của VA và VB; VA có thể lớn hơn VB hoặc

ngược lại VA và VB là dương hoặc âm Nếu sau khi kết thúc tính toán, chúng ta

thấy V dương, tức là thế VA lớn hơn VB Nếu thế V là âm, có nghĩa là VA nhỏ

hơn VB

Bây giờ chọn hướng của dòng I Quy hướng dương được lựa chọn cho

viết các phương trình đại số của các linh kiện Sự lựa chọn này tương ứng với

chiều của mũi tên gắn liền với chiều của dòng điện I Nếu, sau khi tính toán,

chúng ta thu được giá trị dương của I, điều đó chứng tỏ rằng các điện tử chuyển

dời theo hướng ngược với chiều của mũi tên Từ đầu đã giả thiết rằng sự dẫn

điện là kết quả của sự chuyển dời của các điện tích dương Các phát minh khoa

học đã phủ định giả thuyết này nhưng sự quy ước về dấu vẫn giữ nguyên Nhờ

các quy ước này, định luật ôm được viết một cách đại số: V = RI

Nếu chúng ta chọn chiều của thế như trên hình 1,7b, thì nhất thiết chiểu

của dòng điện phải ngược lại và theo chiều đã chỉ trong hình vẽ Định luật Ôm

còn được viết: V = RI Trong ví dụ của hình 1.6, ta giả thiết rằng hiệu điện thế

+5V đặt vào hai đầu của điện trở Các giá trị của V và I được cho với hai cách

lựa chọn ngược nhau Nếu không tuân thủ những quy ước nói trên thì sẽ dẫn đến

những sai lầm trong các tính toán

Bảng 1.2 Đánh dấu điện trở và mã mầu

Vòng thứ ba Chữ số thứ ba

Vòng thứ tư Sai số

Bảng 1.2 chỉ ra cách mà giá trị của điện trở được ghi trên linh kiện như thế nào Nó dược biểu diễn dưới dạng của một hình trụ nhỏ dài một vài milimét hai đầu là hai dây đồng cho phép hàn Các điện trở cũng được biểu diễn dưới dạng các viên vuông nhỏ cho phép hàn trực tiếp trên mạch in Công nghệ lắp ráp trên

bề mặt này hiện nay thường được sử dụng và cho phép sự tích hợp rất mạnh Trong trường hợp này, giá trị của điện trở được ghi ngay trên linh kiện Cáỡ họ chính của điện trở được chỉ ra ở bảng 1.3 Bảng này cũng chỉ ra các giá trị và ứng dụng của linh kiện

Phân cực tranzito và các mạch trong công nghệ bề mặt( plana)

1.2.2 Tụ điện

Là linh kiện được sử dụng thường xuyên trong điện tử, tụ điện được biểu diễn dưới dạng hai bản dẫn diện đặt đối nhau nhưng cách nhau về phương diện điện Hình 1.7 biểu diễn một tụ điện nối với một nguồn thế Trong ví dụ, nguồn thế là một cái pin, tuy nhiên ta cũng có thể sử dụng tất cả các nguồn điện khác Điện tử cúa các bản tụ điện bị cực dương hút và bị cực âm đẩy dưới tác dụng của định luật Culông VI thế, trên bề mặt của các bản cực không còn điện tử hoặc ngược lại phải nhận thêm các điện tử Các bản tụ lúc đầu trung hòa điện, vì các diện tử dẫn cân bằng các ion dương cố định của kim loại, sau đó chúng tích điện khi nối với nguồn thế Các điện tích được tạo ra là điện tích của các nguyên tử bị mất điện tử dẫn của chúng đối với điện cực nối với bản dương và của các nguyên

tử có thừa điện tử đối với điện cực nối với bản âm Điện tích +Q được tạo ra trên bản tụ nối với cực dương và điện tích -Q được tạo ra trên bản tụ nối với cực âm

12

Nếu chúng ta áp dụng cùng quy ước về dấu như đối với điện trở, thì thế định hướng ngược với dòng Vậy hệ thức cơ bản của tụ diện có thể viết:

Q(t) = C[VA(t) - VB(t)]

Hằng số c đặc trirng cho tính chất hình học của linh kiện Đó là dưng của

tụ điện Nó dược biểu diễn bằng Fora, ký hiệu bằng F VI vậy Fara là điện dung

cần thiết để tích trữ một lượng điện tích một Culông dưới hiệu điện thế 1 vôn Vì Culông là diện tích của một số rất lớn các điện tử, nên Fara có giá trị rất cao Các linh kiện diện tử hiện tại được đo bằng ước số của Fara: microfara (pF) hoặc picofara (pF) Trong ví dụ đã cho, điện dung của tụ điện cho bởi công thức sau đây:

Hình 1.7 Tụ diện.

Trong hệ thức này, s là diện tích bể mặt của bản tụ và d là khoảng phân cách giữa hai bản tụ Hằng số 8 đặc trưng cho môi trường phân cách giữa hai bản cực, nó được gọi là hằng số điện môi Giá trị của nó đối với chân không hoặc không khí khô là 8,8.10 12 C2/N.m2 Đối với các môi trường khác, nó có thể cao hơn nhiều Biểu thức của thế ở hai đầu của một tụ điện được biểu diễn dưới dạng được áp dụng nhiều nhất trong tính toán các mạch bằng đạo hàm bậc nhất đối với thời gian Vì dòng điện là đạo hàm của điện tích, theo định nghĩa của chúng dòng diện chạy từ các bản tụ, nên ta thu được:

I(t) = c 4 ( V A- V B)

dthoặc để đơn giản ký hiệu:

I - c £

dt

Quy ước về dấu, áp dụng cho hệ thức này như trong định luật Ôm Hình 1.8 cho các giá trị của V và Q với hai sự lựa chọn khả dĩ về chiều của thế Phải lưu ý rằng dòng điện chọn quy chiếu để luôn luôn chạy từ điện tích quy chiếu dương.Trong thực tế, tụ điện dùng để tích trữ điện tích và để ngăn dòng một chiều Chức năng lưu trữ này suy ra từ phương trình cơ bản của.tụ điện Giả sử giá trị ban đầu bằng không, hiệu thế ở hai đầu là:

1piF tới 100000piF

Lọc trong các nguồn nuôi

1000pF tới 10pF

Lọc và kết nối các mạch tần số cao và các mạch

bề mặt

Để giải thích tụ điện ngăn dòng điện một chiều và cho qua dòng điện xoay chiểu, chỉ cần chú ý rằng dòng điện đi qua tụ điện tỷ lệ với đạo hàm của thế tác dụng Bảng 1.4 mô tả các loại tụ điện chủ yếu và công dụng chính của chúng

14

1.2.3 C ảm kháng và tự cảm

V

ọ

ầI

theo các định luật điện từ

rằng định luật Ôm không

còn áp dụng được nữa Thế

ở hai đầu không còn tỷ lệ với

dòng điện đi qua linh kiện mà là đạo hàm của dòng này đối với thời gian Hằng sô'

tỷ lệ L là tự cảm.Nó được đo bằng Henry, ký hiệu H Hệ thức đại số được viết với

cùng một quy ước về dấu như đối với một điện trở đơn thuần:

VA( t ) - V B(t) = L ®

dtTrong thực tế, các giá trị nhỏ hơn mH thu được đối với các linh kiện cổ

điển Để dơn giản ký hiệu hệ thức trên được viết:

v - l ®

dt

Vì thế, tự cảm chống lại sự thay đổi của dòng điện chạy qua Đối vói thế đã

cho, giá trị cao eủa L có tác dụng làm giảm giá trị của đạo hàm của dòng điện

Cuộn cảm có điện trở nhỏ đối với dòng điện một chiều Đó là phần điện trở

ôm - míc của dây dẫn Ngược- lại nó có điện trở rất lớn đối với dòng điện biến

đổi nhanh Cũng giống như tụ điện ngăn cản dòng điện một chiều, cuộn cảm

ngàn cản dòng điện biến đổi Bảng 1.5 mô tả các cuộn cảm khác nhau thường

găp trong điện tử học và các lĩnh vực ứng dụng của chúng

1.3 N G U Ồ N T H Ế V À NGUỒN DÒNG

Một số linh kiện biểu hiện tính chất đặc biệt là cung cấp một hiệu điện thế

hoặc dòng điện độc lập với những linh kiện khác nối với hai đầu củạ chúng

*- I

Nguồn thế (xung)

u V

t

Nguồn dòng (xung)

Hình 1.12 Các nguòn xung.

Hình 1.13 Các nguồn thế và dòng (tượng trung).

16

Lý thuyết mạch và các biểu tượng của các linh kiện và của các chức năng

có tính chất là khi thế và dòng cung cấp không phụ thuộc vào các linh kiện khác

của mạch Thực ra thì biểu thức toán học cho biết giá trị của nó cũng có thể phụ

thuộc vào một hoặc nhiều các đại lượng điện khác của mạch dã xét Trong phẩn

lớn các trường hợp được nghiên cứu, nguồn liên kết chỉ phụ thuộc một đại lượng

điện và quan hệ thường là tuyến tính Hình 1.14 biểu diễn một nguồn thế liên

kết mô tả một bộ khuếch đại lý tưởng Hiệu điện thế ở lối ra v c - VD là một

hàm số tuyến tính của hiệu điện thế của lối vào:

Vc- V d = A(Va- V b)

Hình 1.14 Nguốn thế liên kết (ví dụ)

Hằng số A là hệ số khuếch đại của bộ khuếch đại Đối với nguồn dòng liên

kết có thể áp dụng cùng một lý luận Hình 1.15 biểu diễn một nguồn dòng liên

kết được sử dụng để biểu diễn một tranzito bậc nhất Trong trường hợp này,

cường độ dòng điện cung cấp tỷ lộ với hiệu điện, thế lối vào theo qưy luật:

I = G(Va - VB)

G được gọi là độ truyền dần của nguồn dòng liên kết Khi đó, hệ thức này

dược kiểm chứng cho tất cả các mạch chứa linh kiện này

I = G (VA - VB]

Hình 1.20 Nguồn thế liên kết (ví dụ)

Bảng 1.6 Bảng tổng hợp các linh kiện cơ sở

BIỂU DIỄN PHỨC DÒNG ĐIỆN

VÀ MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỂU

Hinh 2.1 Biểu diễn số phức trong tọa độ vuông góc.

Trong tọa độ cực, sô' phức z đó được biểu thị dưới dạng (r,cp>:

z = 2.0000 + 2.0000Ĩ

r = 2.8284phi = 0.7854Góc lấy theo lệnh trên dược cho bằng radian Để cho ra góc bằng độ, ta phải nhân với 180/pi nữa, nghĩa là ta dùng lệnh:

phi = (180/pi)*angle(z)

kết quả thu được:

phi = 45

Cũng như vậy, khi nhập số phức za = 2\Ỉ2c , ta gõ:

za = 2*sqrt(2)*exp((pi/4)*j)Cần lưu ý rằng khi nhập số phức, thì giữa phần thực và phần ảo không được nhấn cách nhau Ví dụ nhập số phức y = 2 + j4, phải gõ:

y=3+4*j

thì trong trường hợp này, giữa số 3 và dấu cộng, giữa dấu cộng với sô' 4 ấn cách nhau, thì MATLAB sẽ coi như u là tổng của hai sô' 3 và 4j Như vậy y và u là hai số khác nhau!

Đặc biệt sô' phức z = ej<l> nằm trên vòng tròn đcm vị như trên hình 2.2

Có một sô' giá trị đặc biệt:

tp = 0, ejn =cosO + jsinO = l

và: cp = atan ———-b J + b ,

ai + a 2Hiệu hai sô phức

Z = Z, - z2 = (aị- a2) + j(b, b2) = rej,f>

Hình 2.3 Biểu diễn đố thị tổng và hiệu hai số phức

Nhân hai sô phức

Ap = 1.0000 - 1.0000Í 3.0000 - 2.0000Ĩ

2.0000 + 2.0000Í 4.0000 - 3.0000Ĩ

Nếu muốn lấy chuyển vị nhưng không có liên hợp phức, thì gõ thêm dấu

chấm (.) trước dấu phẩy Nghĩa là khi gõ:

At = A.' thì sẽ thu được:

Kết quả cho trên hình 2.4.

Do thi cong va tru hai so phuc z3=z1 +z2;z4=z1-z2

Hình 2.4 Đổ thị tính tổng và hiệu hai số phức theo MATLAB.

Để thực hiện nhân và chia hai số phức, ta dùng tọa độ cực Chẳng hạn nhân

và chia hai số phức Z, và Z j để được Z , = Z ị z 2và z4 = Z| / Z j, ta dùng lệnh:

title('Do thi nhan chia hai so phuc ')

Kết quả cho trên hình 2.5

Do thi nhan chia hai so phuc

24

Từ đồ thị ta thấy Zy là một véc tơ có độ dài bằng 6 và góc bằng 90"; còn z4 là

véc tơ có độ dài bằng 2/3 và có góc bằng 330" (hoặc -30"), đúng như máy đã cho:

2.2 BIỂU DIỄN PHỨC TÍN HIỆU TUẦN HOÀN

Tín hiệu tuần hoàn được biểu thị bởi một hàm tuần hoàn với chu kỳ T:

x(t) = x(t + nT), n = 1,2, 3,

T là chu k ỳ của tín hiệu Giá trị nhỏ nhất của T thoả mãn hệ thức trên được gọi là chu kỳ cơ b ả Chẳng hạn tín hiệu:

x(t) = Acos(cot + (p)Trong đó:

* A là biên độ, giá trị giữa đỉnh tới đinh là 1A

* t là biến số thời gian độc lập, đo bằng giây (s)

* co tần số góc, đo bằng radians/giây (rad/s); T = 27i/co là chu kỳ cơ bản; nó

chính là khoảng thời gian giữa hai đỉnh dương hoặc hai đỉnh âm liên tiếp nhau

* (p là pha ban đầu; nó xác định gốc tính thời gian t Đại lượng —tp/co là

độ dịch thời gian, khi tín hiệu đạt tới đỉnh đầu tiên của nó Khi đó, tín hiệu được

biểu diễn dưới dạng:

x(t) = Acosco(t - t )

* Khi X>0 thì tín hiệu bị dịch về phía phủi I giây, nên được gọi là phép

* Khi X < 0 thì thì tín hiệu bị dịch về phía trái giây, nên được gọi là phép

Chảng hạn tín hiệu ba tín hiệu:

x,(t) = 2cos(2nt) x2(t) = 2cos2n(t-0,125),

thì x2(t) là phicn bản dịch của tín hiệu X|(t) về phía phải một lượng thời

gian X = 0,125 s; còn x,(t) dịch trái cùng một lượng bằng 0,125s

Đổ thấy rõ điều này, ta vẽ đồ thị cả ba tín hiệu trên với t từ —1 đến 1, nhờ lệnh:

Kết quả cho trên hình 2.6.

Cac tin hieu tuan hoan

Hình 2.6 Đồ thị mô tả dịch phải và dịch trái tín hiệu tuần hoàn.

Các phép toán trên tín hiệu tuần hoàn được thực hiện nhanh chóng, thuận lợi và đơn giản nếu các tín hiệu đó được biểu diễn dưới dạng số phức Thực vậy, tín hiệu tuần hoàn x(t) = A cos(cot + cp) chính là phần thực của số phức:

x(t) = A.ej(“1+,|” = Acos(cot+(J)) + jAsin(cot+(p)Với cách biểu diễn phức này, thì phần thực và phần ảo của tín hiệu phức đều là những tín hiệu tuần hoàn, chúng vuông pha đối với nhau (phần thực là hàm cos, phần ảo là hàm sin) Lệnh dưới đây biểu thị tín hiệu sin phức:

x(t) = ej2’'(,-,U25)

26

ylabel('Bien do’);

text(-0.3,0.5,'Phan thuc')lext(-0.1,-0.5,'Phan ao')subplot(212);

plot(x,'r.')axis squaretitle('exp(j2pit’)xlabel('Phan thuc')ylabel('Phan ao')Kết quả cho trên hình 2.7

Do thi bieu dien tin hieu sin phuc

Phan thuc

Hình 2.7 Đồ thị biểu diễn phức một tín hiệu tuần hoàn.

" \ i ệ ĩ b f A^e '

Với cách biểu diễn phức như trên, ta

có thể cộng hai tín hiệu tuần hoàn cùng tần

số một cách đơn giản nhờ giản đồ pha

Chẳng hạn thực hiện phép cộng hai tín

hiệu tuần hoàn sau:

x(t) = AịCos(cot + (Pị) + A2cos(cot + cp2)

= Re[(Aleiq,, + A 2ert'2 )c

Như vậy, cộng hai tín hiệu điều

hòa là cộng hai véc tơ A leí<l>' và A2eJ<í>2

Với giản đồ pha như vậy, ta có thể dễ dàng tổng hợp hai tín hiệu tuần hoàn

cùng bien độ:

Hỉnh 2.8 Giản đổ pha cộng hai pha.

x(t) = A Cos[(ro(l+Cûm)t+(P|] + A cos[(cö()-com)t+cp2]

_ ReỊ^AeJI‘""+“"’,,+'1’1 + Aeí<‘0,’~l0",>l+<1’2 JPha có thể đặt ọ, = o + \Ị/ và (p, = <t> — V|/

Khi dó hệ thức trên được viết dưới dạng:

x(t) = Re AeJj(to„i + )t / O j(o*„,l+v) + e-j(íO,

= 2Acos(com+0)cos(củ(,t +1|/)

Trong đó: o = ị(cp, + <p2) và y = ị(<p, - (p2)

L~t Tín hiệu x(t) này dược gọi là tín hiệu điều trong đó, tín hiệu

với tần số 0)0 được gọi là tín hiệu m a g; còn tín hiệu với tần số (0m được gọi là

tín hiệu diều chế.

Đoạn chương trình dưới đây, vẽ tín hiệu điều chế biên độ với:

co„ = 2tt 1400rad/s; (0,n = 2n 100rad/s và (p, = cp2 = 0.

Tin hieu bi diêu cho bien do

Thoi gian.s

Hình 2.9 Đồ thị biểu diễn tín hiệu b| điều chế biên độ.

Như vậy, trong tính toán, tín hiệu sin thường được biểu thị dưới dạng sin phức như sau:

x(t) = Aej(<,)l+l|>) = Acos(cot+(p) + jAsin(cot+cp)Các tín hiệu hình sin được sử dụng để tính dáp ímg của các mạch điện

Trong mật* phăng phức, tín hiệu sin thực (1.1) được biểu thị bằng một véc tơ

OM có độ lớn bằng biên độ A Trục thực X biểu thị hàm sincot hoặc coscot Góc giữa trục thực X với véc tơ OM bằng độ lệch pha (p như trong hình 2.10

Với cách biểu diễn này thì tín hiệu hình sin: x(t) = Asin((0t+(p)

X = A eJt|> = A Z(p

Hình 2.10 Biểu diễn một tín hiệu hình sin x(t) = sin(<Dt + <p) trong mặt phẳng phức.

Ví dụ 2.1.Sử dụng phương pháp số phức, tính biểu thức sau

v(t) = 25sin(cot+30°) - lOsincot + lõcosot

2.3 ĐỊNH LUẬT ÔM DƯỚI DẠNG PHỨC

2.3.1 Nguồn phát và nguồn thu

Giả sử ta có dòng điện xoay chiều i(t) = ^sincot chạy qua một thiết bị nào

đó Chúng ta biểu diễn dòng điện này bằng một mũi tên hướng theo hướng dương

của dòng điện Như vậy, tại mọi thời điểm, khi biết được giá trị đại số của dòng

điện này, thì suy ra được hướng thực tế của dòng điện đó một cách dễ dàng

Đối với điện thế, chúng cũng được biểu thị bằng một đại lượng đại số Nói

chung, thế lệch pha so với dòng điện, nên biểu thức toán học của hiệu điện thế ở

hai đầu của thiết bị được biểu thị bằng:

u(t) = Umsin(cot + (p)Như vậy, cũng như đối với dòng diện, người ta cũng có thể chọn một hướng

dương, cho phép xác định sự phân cực của hiệu điện thế ở hai đầu của thiết bị

Hiệu điện thế này được biểu thị bằng một mũi tên Nếu chiều của mũi tên của

hiệu điện thế cùng hướng với chiều của mũi tên của dòng điện, thì thiết bị là

một máy thu điện (hình 2.1 la) Còn nếu mũi tên của thế ngược chiểu với mũi

i(t)

Hình 2.11 Các quy định vê' dấu đối vói dòng diện và hiệu điện thế trong một thiết bị.

30

'Prong thực tế, người ta chỉ quy định chiều của dòng và thế như trong một

máy thu điện Rõ ràng là với các quy định của một hệ thu điện, người ta có thể

nghiên cứu các hoạt động của một thiết bị làm việc trong chế độ một máy phát

nó có giá trị d , còn đổi với máy phát điện, thì nó có giá âm Phần lớn

các mạch điện là những máy thu điện

2.3.2 Định luật Ôm đối vỏi mạch điện trở thuẩn

Giả sứ dòng điện đi qua điện trở thuần R (hình 2.12a) là:

i(t) = Isin(cot)Theo định luật Ôm, sụt thế hai đầu điện trở tại thời điểm t sẽ là:

u(t) = Ri(t) = Rlsin(cot)

Từ đây ta thấy dòng và thế qua điện trỏ thuần có cùng pha với nhau Do đó,

dưới dạng phức định luật Ôm được biểu thị dưới dạng

U = RI

2.3.3 Đ ịnh luật Ô m đôi với mạch điện thuần cảm

Giả sử dòng điện di qua một cuộn cảm L (hình 2.12b) là:

i(t) = Isin(cot)Khi đó, thế ở hai đầu cuộn cảm là:

uL(t) = L — - = Loi cos(cot) = LcoIsin(cot + — )

Hỉnh 2.12 Biểu dien dòng và thế trong các mạch điện cơ sò.

Như vậy, thế ở hai đầu cuộn cảm sớm pha so với dòng chạy qua nó một góc

bằng 90° Dưới dạng số phức, định luật ôm được viết dưới dạng:

<J l = j X li

Trong đó XL = LíO là trở kháng của cuộn cảm có hệ số tự cảm L; X| được

đo bằng Q

2.3.4 Đ ịnh luật Ôm đôi với mạch điện thuần dung

Giả sử thế ở hai đầu một tụ điện c (hình 2.12c) là:

u(t) = Usin(cot)Khi đó, dòng điện đi qua tụ điện này sẽ là:

i(t) = C ^ — = CgoU cos(cot) = CcoU sin(cot + - )

Như vậy thế ở hai đầu tụ điện chậm pha so với dòng chạy qua nó một góc bàng 90° Do vậy, dưới dạng số phức, định luật Ôm được viết dưới dạng:

Uc = -jX cITrong đó Xc = —— là trở kháng của tu điên C; x c đươc đo bằng

2.3.5 Định luật Ôm dối với mạch R, L và c ghép nối tiếp

«Đỏi với mạch điện RLC ghép nối tiếp như trong hình (hình 2.10d) định luật

Ồm có dạng:

U = (R + jL c o -j — )I = ZI

CcoTrong đó: z = R + jLcừ - j — là trở kháng của mạch

Cco

2.3.6 Định luật Ôm đối vối mạch điện R, L và c ghép song song

Đối với mạch điện RLC ghép song song như trong (hình 2.10e), định luật

Ôm có dạng:

u = - - I = ZI1/R +jCco-j/L(ừ

Trong đó: z = —— - là trở kháng của mạch.

1/R +jCco-j/L(D

2.3.7 Đ ịnh luật ô m dạng tổng quát

Nhờ biểu diễn phức, các thông số điện của một mạch điện tử gồm nhiều phần

tử (điện trở, tụ điện, cuộn cảm) có thể được xác định một cách đon giản, nhanh chóng Trong trường hợp này, định luật Ôm vói dòng điện xoay chiều có dạng:

u = ZI hoặc I = YU

Y: Độ dẫn phức, được tính bằng Simen hoặc A/V hoặc mho

32

Đối với các trường hợp đã nghiên cứu ở trên thì

Ví dụ tính tổng trở của một mạch điện dưới dạng phức

Vỉ' dụ 2.2.Tun dòng điện i chạy trong mạch điện cho trong hình 2.13 sau đây.

Chương 3

NHỮNG ĐỊNH LUẬT c ơ BẢN TRONG CÁC MẠNG ĐIẸN TUYÊN TÍNH

Tất cả các vấn đề điện tử đơn giản hay phức tạp đều tham khảo từ

thuyết mạch Vì th ế cần phải biết các quy tắc của nó, đơn giản

hàng nghìn linh kiện.Bạn đọc có thể tự tìm đ ể biết các phép này.

T uy nhiên phải cẩn thận khi sử dụng các loại phần mềm Hơn

tính toán giải tích chỉ đưa ra những yếu tố quan trọng nhất và hướng ta tới

một giải pháp tối ưu cho bài toán đã nêuCác dụ cho trong cuốn sách này

cho phép thu được các kết quả quan nhất Ngược dề của

mềm tính toán loại MATLAB hay SPICE Các phần mềm loại này đ ể

nhận được các kết quả trên các mô hình xác nhất và dược những

3.1 Đ ỊN H N G H ĨA M ẠNG TU YẾN TÍNH

chạy trong mạng đó và hiệu điện thế tác dụng có dạng tuyến tính Hay nói khác

của nó độc lập với dòng điện chạy qua nó; dù đó là dòng điện một chiều hay

xoay chiều Các phần tử tạo nên mạng tuyến tính thường là thuần trở, thuần

dung hoặc thuần cảm Nếu cuộn cảm có chứa lõi sắt, thì lõi sắt phải không bao

giờ được ở trong chế độ bão hòa

Mạng điện là thụ dộng nếu nó không chứa một nguồn nãng lượng nào;

Một mạng tuyến tính trong đó có nhiều nguồn phát điện với các tần số

khác nhau tác động, thì dòng điện qua một nhánh nào đó của mạng điện là tổng

của các dòng điện do mỗi nguồn phát cung cấp một cách độc lập đối với nhau;

trong khi trở kháng của các nguồn phát khác vẫn được nối ở trong mạng Như

vậy, dòng điện trong một mạng tuyến tính thỏa mãn nguyên lý chồng

Nguyên lý chồng chất là hệ quả của lý Kirchhoff áp dụng cho các mắt

mạng và nút mạng

34

3.2 CÁC Đ ỊN H LU Ậ T KIRCHHOFF

3.2.1 Phương pháp nút mạng

Phương pháp, này dựa theo định luật Kirchhoff đối với các dòng điện tại một nút: tổng đại số các dòng điện tại một nút bằng không Do vậy, giả sử ta có một mạng điện gồm n nút, nếu ta chọn nút nào đó làm gốc và đánh dấu các nút khác theo thứ tự từ 1 đến n - 1 Gọi điện thế tại nút thứ i là Vj và độ dẫn điện giữa nút thứ i và j là Y jj thì theo định luật Kirchhoff, ta sẽ thiết lập được n -1 phương trình độc lập cho n -1 nút:

ỲIIV1+Y12V2 + + YM_IVn_1= £ l 1

Y2lV1 + Y22V2 + + Y2n.,Vn 1= X I2

Yn u V1 + Y11.2.2V2 + + Y„.u _1Vn_! = X In-.

Trong dó ^ I j là tổng đại số của các nguồn dòng tại nút thứ i

Phương trình (3.1) có thể viết dưới dạng ma trận:

Ví dụ 3.1.Tim điện thế Vị, V2, và V3 tại các nút cho trong mạng điện trên

Bây giờ la xét một mạch điện có chứa cả nguồn dòng lẫn nguồn thế độc lập

V í dụ 3.2.Tìm điện thế tại các nút trong mạng điện cho trong hình 3.2.

Giải:

V V - V V - VTai nút 1: — + — - + — ỉ -5 = 0

3.2.2 Phương pháp mắt mạng độc lập

Phương pháp này dựa trên định luật Kirchhoff đối với dòng điện chạy trong

một mạch kín Định luật này nói rằng tổng đại số của tích các dòng điện với trở

kháng mà dòng điện đó chạy qua trong một mạch kín thì bằng tổng đại số của

s.đ.đ chứa trong mạch kín đó Như vậy, nếu ta có một mạng điện phức tạp thì ta

có thể chia mạng điện đó thành những vòng kín độc lập với nhau; mỗi vòng kín

lập thì ta sẽ thiết lập được n phương trình để xác định n dòng điện chạy trong

^ E j là tổng đại số của các nguồn thế trong mắt mạng thứ i

et mang dấu dương nếu nó có cùng chiều với chiều quy định của dòng điện

ở trong mắt mạng và mang dấu âm nếu ngược chiều với chiều của dòng điện ở

Ví dụ 3.3.Tính dòng điện chạy qua các nhánh của mạng điện như chỉ trên

hình 3.3 Biết rằng các nguồn thế là xoay chiều, có cùng tần số và biên độ E|

Z2(I2 —1|) + Z4I(+ Zị;(I2 + I}) +ZfiI3 = 0

I lay: Z3Ỉ Ị + Z3I2 + (z3 +z4 + z3 + Z(^)I2 = 0

Dưới dạng ma trận, ta tìm được hệ ba phương trinh xác định I|, I2,13:

e 2