Song song hóa thuật giải phương trình động học langevin cho bài toán hệ siêu dẫn mất trật tự

Hồ Chí Minh TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập-Tự Do-Hạnh Phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ và tên học viên: NGUYỄN VĂN BÌNH Phái: Nam Ngày tháng n

Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

NGUYỄN VĂN BÌNH

SONG SONG HOÁ THUẬT GIẢI

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC

LANGEVIN CHO BÀI TOÁN HỆ

SIÊU DẪN MẤT TRẬT TỰ

Chuyên ngành: Công Nghệ Thông Tin

Mã số ngành: ……… 01.02.10…………

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 09 năm 2003

CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

Phĩ Giáo sư Tiến sĩ Hồng Dũng

Cán bộ chấm nhận xét 1: Tiến sĩ Nguyễn Thanh Sơn

Cán bộ chấm nhận xét 2: Tiến sĩ Lê Văn Dực

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN

VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH

ngày …30…. tháng …9… năm 2003

Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc Lập-Tự Do-Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: NGUYỄN VĂN BÌNH Phái: Nam

Ngày tháng năm sinh: 26-10-1956 Nơi sinh: Hà Nam

Chuyên ngành: CƠNG NGHỆ THƠNG TIN

I- TÊN ĐỀ TÀI: SONG SONG HOÁ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG

HỌC LANGEVIN CHO BÀI TOÁN HỆ SIÊU DẪN MẤT TRẬT TỰ

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

Ứng dụng lý thuyết mô phỏng số cũng như phương pháp tính toán và xử lý song song nhằm cải tiến, nâng cao hiệu suất của thuật giải phương trình động học Langevin cho bài toán “Khảo sát tính chất điện của các hệ siêu dẫn mất trật tự”, qua đó thu nhận kết quả nhanh hơn khi thực thi chương trình

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ (Ngày bảo vệ đề cương):……… …02-01-2002……

IV- NGÀY HỒN THÀNH NHIỆM VỤ (Ngày bảo vệ luận án tốt nghiệp): …30-09-2003…

V- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TIẾN SĨ TRẦN VĂN LĂNG

PHĨ GIÁO SƯ TIẾN SĨ HỒNG DŨNG VI- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ CHẤM NHẬN XÉT 1: TIẾN SĨ NGUYỄN THANH SƠN

VII- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ CHẤM NHẬN XÉT 2: TIẾN SĨ LÊ VĂN DỰC

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGHÀNH BỘ MƠN QUẢN LÝ NGHÀNH

Nội dung và đề cương Luận án Cao học đã được thơng qua Hội Đồng Chuyên Ngành

Ngày tháng _ năm _

Lời cảm ơn

Trần Văn Lăng và PGS TS Hoàng Dũng Tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành vì những chỉ bảo tận tình của các thầy Tôi cũng xin

bố cục cũng như cách trình bày luận văn Qua đây tôi cũng cảm ơn anh Đặng Xuân Vinh – Công ty Ngọc Tín – đã tạo điều kiện hỗ trợ về thiết bị trong quá trình tôi thực hiện đề tài

Nguyễn Văn Bình

TÓM TẮT LUẬN VĂN

SONG SONG HOÁ THUẬT GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH ĐỘNG HỌC LANGEVIN CHO BÀI TOÁN HỆ SIÊU DẪN MẤT TRẬT TỰ

Nguyễn Văn Bình Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh

Tháng 09 năm 2003

Các phương trình động học Langevin cho các hệ siêu dẫn dạng hạt mất trật tự với mảng ba chiều các cầu Josepson phân bố ngẫu nhiên đã và đang có sự quan tâm lớn của nhiều nhà vật lý trên thế giới Tuy nhiên thời gian thực thi chương trình trên máy tính cho một mẫu quá lâu (vài chục giờ cho mỗi mẫu) Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng thuật giải song song để giải bài toán này Bằng việc sử dụng mô hình “crowd” của hệ thống PVM (Parallel Virtual Machine) với kiểu lập trình node-to-node theo kiểu truyền thông điệp, chúng tôi đã nhận được các kết quả với thời gian thực thi chương trình rút ngắn đáng kể trên các mẫu (chương trình song song chỉ còn khoảng 60% thời gian so với chương trình tuần tự) Kết quả của luận văn đã được trình bày trong báo cáo với tựa đề ““Song song

hoá thuật giải phương trình động học Langevin cho bài toán siêu dẫn mất trật tự” tại Hội thảo quốc gia “Một số vấn đề chọn lọc của công nghệ

thông tin và truyền thông” lần thứ 6, Đại học Thái Nguyên,

29-31/08/2003 [26]

ABSTRACT

THE PARALLEL ALGORITHM COMPUTES

LANGEVIN DYNAMICS EQUATIONS FOR

in the world However, the time of executing the program on the computer for one sample is too long (tens hours per sample) In this report, we use the parallel algorithm for solving this problem By using

“crowd” model of PVM (Parallel Virtual Machine) system with node programming type for passing the messages, we have received the results of problem with short interval over the samples (The time of parallel program is approximate 60% when comparing with sequent program) The results of this master thesis have been presented in the report with the title “The parallel algorithm computes Langevin dynamics

node-to-equations for disordered superconductors” at 6th national workshop

“Some selected problems of the information technology and communication”, Thai Nguyen Institute, 29-31/08/2003 [26]

2.1.5 Đối xứng kết cặp truyền thống và không truyền thống 18

2.2.2 Mô hình JJA (Josephson Junction Array Network) 30

2.3.1 Hamiltonian của hệ siêu dẫn mất trật tự 34

2.3.2 Mô hình RSJ (Resistively Shunted Junction) 36

2.3.3 Phương trình động học Langevin cho hệ siêu dẫn mất trật tự 38

THUẬT TOÁN TUẦN TỰ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC

3.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HẠNG NHẤT 43

3.3 PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA BẬC HAI 463.4 THUẬT TOÁN TUẦN TỰ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC LANGEVIN 48

SONG SONG HOÁ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC

4.1 THUẬT TOÁN SONG SONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG

4.1.2 Song song hoá giải thuật tuần tự theo mẫu 604.2 CẤU HÌNH CỦA HỆ THỐNG VÀ MÔI TRƯỜNG LẬP TRÌNH 64

4.3.2 So sánh kết quả chương trình tuần tự và song song 654.3.3 So sánh thời gian chạy chương trình tuần tự và chương trình song song 67

3 Kích hoạt PVM làm việc và chạy chương trình 79

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BCS Lý thuyết Bardeen, Cooper và Schrieffer

SD Siêu dẫn

CHƯƠNG 1

GIỚI THIỆU

Hiện nay, mô phỏng bằng máy tính được áp dụng rộng rãi cho nhiều ngành khoa học kỹ thuật Đặc biệt trong vật lý, nhờ phương pháp mô phỏng người ta có thể tiên đoán và giải thích các quá trình vật lý mà trước đây chỉ có thể suy diễn và mô tả bằng những phương trình toán học trìu tượng Để giải các bài toán mô phỏng này, không những cần phải có những máy tính với tốc độ tính toán cao mà cần cả những giải pháp tính nhanh Trong số

những giải pháp này, tính toán song song (Paralell Computing Technique)

đang được ứng dụng một cách rộng rãi và cho hiệu quả cao

Gần đây các tác giả M S Li, H Zung và D Dominguez [12] đã áp dụng phương pháp mô phỏng để khảo sát tính chất điện của các hệ siêu dẫn mất trật tự có cấu trúc granular Bài toán vật lý này dẫn tới việc giải hệ phương trình động học Langevin để mô phỏng các hệ siêu dẫn cấu trúc

mảng ba chiều l*l*l với l là số đảo siêu dẫn theo mỗi chiều

Tính phức tạp của bài toán vật lý là ở chỗ, hệ siêu dẫn được khảo sát không phải là một hệ lý tưởng (Xem Mục 2.2), ở đó các đảo siêu dẫn nằm chính xác tại các nút mạng, mà là một hệ siêu dẫn thực, trong đó các đảo siêu dẫn có thể lệch một cách ngẫu nhiên khỏi các nút mạng ở một số nút nào đó, dẫn đến năng lượng tương tác Josephson giữa các đảo siêu dẫn này cũng biến thiên một cách ngẫu nhiên với xác suất khác nhau tuỳ thuộc

vào loại siêu dẫn: siêu dẫn sóng –s hay siêu dẫn sóng – d (Xem Mục 2.3)

Về mặt toán học, phương trình động học Langevin này là hệ phương trình vi phân tuyến tính hạng nhất Có rất nhiều phương pháp toán học để giải hệ phương trình này [16] Một trong những phương pháp phổ biến là tích phân số hoá áp dụng giải thuật Runge-Kutta [22-24] Yêu cầu độ chính

xác của bài toán vật lý mà các tác giả M S Li, H Zung và D Dominguez đặt ra chỉ dừng lại ở bậc hai của giải thuật Runge-Kutta [12]

Với những kết quả tìm kiếm thông tin, chúng tôi có thể nói rằng, các tác giả M S Li, H Zung và D Dominguez là những người đầu tiên áp dụng giải thuật Runge-Kutta để giải phương trình động học Langevin cho các hệ

siêu dẫn mất trật tự

Đặc điểm quan trọng của chương trình mô phỏng mà các tác giả

này sử dụng là thuật giải tuần tự với vô số vòng lặp theo các mẫu, nhiệt độ

và bước tích phân Vì thuật giải trên áp dụng cho bài toán siêu dẫn mất trật tự, thăng giáng mạnh, nên thời gian để đạt cân bằng rất lâu, số bước tính thường từ 106 trở lên Thêm vào đó với khả năng hạn chế về tốc độ máy tính

họ chỉ có thể chọn kích thước hệ siêu dẫn l ≤ 16 và chỉ có thể thực thi ≤ 10

mẫu cho một lần chạy, do đó số lượng chạy các chương trình tuần tự rất nhiều Bởi những lý do này mà việc tính toán đòi hỏi thời gian chạy máy cực lớn (vài chục đến hàng trăm giờ chạy máy cho mỗi chương trình) Với việc thay đổi các thông số và các điều kiện vật lý, các tác giả trên còn phải tiếp tục sử dụng thuật giải này để giải phương trình động học Langevin cho các bài toán khảo sát các hệ siêu dẫn mất trật tự khác nhau

Mục tiêu của đề tài là: nghiên cứu chương trình mô phỏng cũng như giải thuật tuần tự của nhóm tác giả trên, từ đó có thể cải tiến, sử dụng lý

thuyết tính toán song song trên hệ thống truyền thông điệp, qua đó nâng cao

hiệu suất của thuật giải và rút ngắn đáng kể thời gian thực thi chương trình

Như vậy, đề tài này không có tham vọng nghiên cứu, đưa ra những vấn đề mới về lý thuyết tính toán song song, cũng không đưa ra một giải thuật mới về giải phương trình động học Langevin cho các hệ siêu dẫn mất

trật tự Giới hạn của đề tài là, áp dụng lý thuyết tính toán song song trên hệ thống truyền thông điệp, sử dụng mô hình tính toán “crowd” trong hệ thống PVM (Parallel Virtual Machine) để song song hoá giải thuật tuần tự mà các

tác giả M S Li, H Zung và D Dominguez đã sử dụng nhằm thu được những kết quả tính toán nhanh hơn, từ đó tạo cơ hội khảo sát các hệ siêu dẫn có

Sau khi nghiên cứu những khả năng song song hoá, đề tài này đã

chọn song song hoá giải thuật tuần tự theo các mẫu Và kết quả thật khả

quan Những kết quả mà chương trình song song thu được về cơ bản là giống với các kết quả của chương trình tuần tự tương ứng (với độ sai số bậc

10-5 – hoàn toàn có thể chấp nhận được về mặt vật lý) Thời gian thực thi của chương trình song song giảm một cách đáng kể so với chương trình tuần

tự tương ứng (speed up ≈ 1.7)

Những kết quả ban đầu của luận văn chúng tôi đã gửi đăng trên Tạp chí “Khoa học và Công nghệ” - Hà Nội [25] Toàn bộ các kết quả thu được

của đề tài này đã được chúng tôi báo cáo trong Hội thảo Quốc gia lần thứ 6

“Một số vấn đề chọn lọc của Công Nghệ Thông Tin và Truyền thông” do

Viện Công Nghệ Thông Tin và Trường Đại học Thái Nguyên đồng tổ chức tại Thái Nguyên từ 29-31 tháng 08/2003 [26]

Luận văn bao gồm bốn chương Chương 1 là chương giới thiệu chung Chương 2 của luận văn trình bày tóm tắt về lý thuyết siêu dẫn, trong đó nhấn mạnh đến bài toán hệ siêu dẫn mất trật tự cùng các phương trình

cơ bản cần giải quyết – hệ phương trình động học Langevin cho các hệ siêu dẫn mất trật tự

Chương 3 trình bày mô hình mô phỏng hệ vật lý, phương pháp tích phân số hoá Runge-Kutta bậc hai và thuật toán tuần tự mà các tác giả trên đã áp dụng để giải hệ phương trình động học Langevin cho các hệ siêu dẫn mất trật tự

Chương 4 sau khi đề cập đến các cách tiếp cận song song hoá thuật giải tuần tự, sẽ trình bày mô hình lập trình song song cũng như thuật toán song song được sử dụng để giải hệ phương trình động học Langevin Cuối chương sẽ là những kết quả thực nghiệm về thời gian thực thi chương trình theo giải thuật song song có so sánh với thời gian thực thi chương trình theo giải thuật tuần tự

Chương cuối cùng của luận văn là những kết luận

CHƯƠNG 2 TÓM TẮT VỀ LÝ THUYẾT SIÊU DẪN

2.1 TỔNG QUAN VỀ SIÊU DẪN

2.1.1 Giới thiệu

Theo các lý thuyết về dẫn điện, dòng điện trong kim loại là dòng chuyển động của các điện tử tự do Nguyên nhân gây ra sự cản trở dòng điện (điện trở) trong vật dẫn là do sự dao động của các ion tại các nút mạng tinh thể Điện trở chỉ bằng không khi vật dẫn ở nhiệt độ không tuyệt đối Năm 1911, lần đầu tiên, nhà vật lý người Hà Lan, Kamerlingh Onnes làm lạnh được thủy ngân (Hg) đến nhiệt độ Hêli lỏng (4,2oK) và thấy dưới nhiệt

độ này thì điện trở của thủy ngân hoàn toàn biến mất Đó chính là hiện tượng siêu dẫn (superconductivity)

Vậy, “hiện tượng siêu dẫn là hiện tượng điện trở của vật dẫn bằng không ngay cả khi nhiệt độ của vật dẫn lớn hơn độ không tuyệt đối”

Từ "siêu dẫn" lần đầu tiên được K Onnes đưa ra trên một bài báo đăng vào tháng 3 năm 1913 [1] Cuối năm đó, ông đã được trao tặng Nobel cho thành quả nghiên cứu của mình Nhiệt độ mà tại đó kim loại trở nên

siêu dẫn gọi là nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn T c , hay còn gọi là nhiệt độ tới hạn

Ở nhiệt độ T > T c vật dẫn điện bình thường, ngược lại khi T < T c hệ chuyển từ trạng thái dẫn điện thông thường sang trạng thái siêu dẫn Bằng

thực nghiệm K Onnes đo được T c = 4.2 o K đối với Hg Hiện nay người ta đã

chẳng hạn hợp kim Nb-Ge có T c = 23.9 o K Vì thế việc tìm hiểu những chất

siêu dẫn ở nhiệt độ cao được nhiều nhà khoa học quan tâm

Vào tháng 4 năm 1986 hai nhà vật lý Thụy Sĩ là G Bednorz và A Muller đã tìm ra được chất siêu dẫn dạng gốm Ba-La-Cu-O có nhiệt độ tới

hạn vượt quá 30 o K Sau khi khám phá trên được công bố, đến năm 1987 nhóm P Chou (trường Đại học Houston) đã nâng được T c lên 92 o K trong

gốm siêu dẫn với thành phần đồng, bari, ytri và ôxi Hiện nay người ta đã tạo được chất siêu dẫn mới là một ôxit hỗn hợp của đồng, bari, canxi và

thủy ngân với T c = 164 o K Theo đà này, chẳng bao lâu nữa người ta có thể vươn tới nhiệt độ tới hạn 200 o K, rồi cao hơn nữa

Một điều lí thú có vẻ như nghịch lí là một số kim loại như vàng, bạc, đồng ở nhiệt độ bình thường dẫn điện rất tốt nhưng không phải là chất siêu dẫn Điều này đã được Bardeen, Cooper, Schrieffer giải thích vào năm

1957

2.1.2 Tính nghịch từ lý tưởng

Hai nhà vật lý người Đức là Meissner và Ochsenfeld phát minh ra tính chất này vào năm 1933 Khi hạ nhiệt độ một mẫu chất siêu dẫn trong từ trường thì vào thời điểm mẫu này chuyển sang trạng thái siêu dẫn, các đường sức từ lập tức bị đẩy ra khỏi bên trong mẫu Khi mẫu đang ở trạng thái siêu dẫn mà đưa từ trường vào thì các đường sức từ bị đẩy ra, không thể

đi sâu vào mẫu

Với tính chất như vậy, chất siêu dẫn được coi là chất nghịch từ lí

tưởng và hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Meissner (Meissner effect -

ME) Do đó cảm ứng từ bên trong mẫu Br = 0

Mặt khác:

0

4 = +

là cường độ từ trường ngoài, M r

là momen từ trong mẫu )

Kết quả trên cho thấy momen từ M r

trong mẫu ngược hướng từ trường ngoài Hrext

Trong trường hợp từ trường không thể thâm nhập vào sâu bên trong mẫu mà chỉ ở một lớp mỏng bên ngoài cỡ λ rất nhỏ, hiện

tượng này được gọi là hiệu ứng Meissner không hoàn toàn (incomplete

Meissner effect)

Sự đẩy đường sức từ trường ra ngoài vật siêu dẫn liên quan với sự xuất hiện các dòng điện không tắt dần, tức là các dòng siêu dẫn, và do đó liên quan với tính dẫn điện lý tưởng

2.1.3 Hai loại siêu dẫn

Các chất siêu dẫn chia ra làm hai loại: loại I và loại II

- Siêu dẫn loại I: Các chất siêu dẫn, trong đó trạng thái siêu dẫn bị

phá hủy đột ngột khi từ trường H đạt tới giá trị tới hạn H = H c Phần lớn các

chất tinh khiết là siêu dẫn loại I, và các chất siêu dẫn loại này thường có nhiệt độ tới hạn T c < 30 o K

- Siêu dẫn loại II: sự phá hủy trạng thái siêu dẫn không xảy ra đột

ngột mà tồn tại hai từ trường tới hạn H c1 và H c2 Khi từ trường ngoài H < H c1

thì từ trường này không thể đi vào bên trong chất siêu dẫn Khi H c1 < H <

H c2 thì từ trường bắt đầu xuyên dần vào chất siêu dẫn bằng các sợi xoáy từ (vortex) Tuy nhiên sự thâm nhập không hoàn toàn vì từ thông gởi qua mẫu nhỏ hơn từ thông mà mẫu ở trạng thái bình thường Khi H ≥H c2 thì mẫu chất chuyển hoàn toàn sang trạng thái bình thường Hầu hết các hợp kim siêu dẫn và các hợp chất siêu dẫn là những chất siêu dẫn loại II, chúng có nhiệt độ tới hạn khá cao so với siêu dẫn loại I

Hình 2.1 - Các đường cảm ứng từ ứng:

a) Đi xuyên qua vật siêu dẫn khi T > TC b) Bị đẩy ra khỏi vật siêu dẫn khi T < TC

2.1.4 Lý thuyết BCS và khe năng lượng

Việc giải thích các tính chất đặc biệt của hiện tượng siêu dẫn đã làm đau đầu các nhà khoa học trong thời gian dài Mãi cho đến năm 1957, tức là sau khi tìm ra hiện tượng siêu dẫn là 46 năm, một lý thuyết như vậy đã được

đưa ra bởi ba nhà vật lý là Bardeen, Cooper và Schrieffer (lý thuyết BCS) [2] - đồng thời cũng có công trình độc lập của N.N Bogolobov

Lý thuyết của BCS giải thích được rất tốt và gần như đã chỉ ra rất rõ những điểm kì lạ bên trong vật liệu siêu dẫn nhiệt độ thấp Mọi thứ bắt đầu

từ sự hình thành cặp điện tử (cặp Cooper) mà Cooper là người đầu tiên đưa

ra ý tưởng này

Theo lý thuyết BCS hiện tượng siêu dẫn xuất hiện do có sự tương tác của điện tử dẫn với dao động mạng tinh thể Lượng tử của dao động mạng này gọi là phonon Các dao động đó lại tác dụng ngược lại lên điện tử khác Kết quả là các điện tử tương tác với nhau thông qua phonon và tạo

nên các cặp điện tử chuyển động gọi là cặp Cooper Đặc biệt là ở vùng nhiệt

độ thấp, các cặp điện tử có thể chuyển động dọc theo mạng tinh thể mà không bị tán xạ và làm xuất hiện hiện tượng siêu dẫn Bởi vì điện trở của kim loại được giải thích là do có sự tán xạ của các điện tử dẫn lên mạng tinh thể và sự tán xạ giữa các điện tử dẫn điện Do đó khi giảm nhiệt độ làm giảm các dao động nhiệt của mạng nên điện trở giảm theo Nhưng khi tới

nhiệt độ chuyển từ trạng thái bình thường sang trạng thái siêu dẫn T c thì điện trở giảm đột ngột gần bằng 0, do đó hiện tượng siêu dẫn không thể giải thích được bằng các lý thuyết cổ điển

Các luận điểm cơ bản của lý thuyết vi mô về hiện tượng siêu dẫn là:

1 Nếu các điện tử ở lân cận mặt Fermi có tương tác hút nhau, thì dù lực hút đó nhỏ đi chăng nữa trạng thái cơ bản của hệ điện tử thông thường (tức là trạng thái mà mọi mức ở trong mặt Fermi đều bị chiếm, các mức ở ngoài còn trống, phổ của các trạng thái kích thích là

liên tục) không thể bền vững được Hiện tượng này gọi là hiện tượng

Cooper

2 Tương tác hút nhau của các điện tử ở lân cận mặt Fermi có thể xảy ra do nhiều cơ chế Một trong những cơ chế khả dĩ là sự tương tác của các điện tử qua trường phonon

3 Khi đã xảy ra hiện tượng Cooper, tức là sự kết đôi điện tử (kết cặp Cooper) thì trong phổ năng lượng sẽ xuất hiện khe năng lượng Càng có nhiều cặp Cooper được tạo thì tính dẫn của vật càng lớn và tính dẫn càng lớn thì năng lượng hệ càng nhỏ Chính sự tồn tại của năng lượng liên kết đưa đến sự tồn tại của khe năng lượng Độ rộng khe năng lượng bằng hai lần năng lượng liên kết

Sự trao đổi của các điện tử bằng phonon, dẫn đến lực hút của chúng Như thế, có khả năng xuất hiện các cặp điện tử liên kết Năng lượng của các điện tử liên kết này cho đóng góp âm vào năng lượng toàn phần của hệ và làm cho năng lượng toàn phần giảm Do đó để làm cho vật có tính dẫn cao thì phải có năng lượng cực tiểu vì nó có sự đóng góp nhiều của các điện tử liên kết Để cho năng lượng cực tiểu thì các cặp điện tử có xung lượng và

spin bằng và đối nhau tức chúng tạo thành cặp (+K↑,-K↓), gọi là cặp

Cooper

Khác với các điện tử riêng lẻ có spin bán nguyên, cặp Cooper, thật

ra có thể xem như là một hạt mới, có spin bằng không Vì thế chúng tuân theo thống kê Bose-Einstein, đối với chúng không có nguyên lý loại trừ Pauli Hạt Bose có tính chất đặc biệt là chúng có thể ở trong cùng một trạng thái với số hạt lớn tùy ý Khi đó ta có sự ngưng tụ Bose-Einstein

Do tất cả các hạt trong chất lỏng ngưng tụ có cùng một tính chất vật lý (tất cả trong cùng một trạng thái) trạng thái của chúng có thể được mô tả chỉ bởi một hàm sóng với một biến số không gian Dòng của chất lỏng ngưng tụ này gọi là siêu lỏng Như thế, hiện tượng siêu dẫn có thể biểu

diễn như hiện tượng siêu chảy của cặp Cooper có điện tích 2q e

Khe năng lượng

Xuất phát từ mô hình khá đơn giản hai điện tử tương tác với nhau thông qua hàm thế năng tương tác V(rr −1 rr2), ở đây r rr1, r2 là toạ độ của mỗi điện tử Giả sử hai điện tử này nằm gần mức Fermi, hai điện tử này không tương tác với các điện tử còn lại BCS đã chứng rằng ở T =0o K năng lượng thấp nhất trong trường hợp dẫn điện thông thường Độ cách biệt về năng lượng của trạng thái cơ bản này xác định một đại lượng gọi là khe năng lượng có được là do chuyển từ dẫn điện thông thường sang siêu dẫn các điện tử tự do của kim loại mất đi một phần năng lựơng của nó để sinh

ra các cặp Cooper Năng lượng liên kết này là nguyên nhân sinh ra khe

năng lựơng này mà các điện tử khó bị tán xạ Vì vậy dòng điện chạy trong

dây siêu dẫn không bị tắt dần

Biểu thức cho khe năng lượng Δ ở nhiệt độ 0 tuyệt đối:

N ε là mật độ năng lượng của điện tử gần mức Fermi ; E Fnăng lượng ở

mức Fermi, E giá trị trung bình năng lượng của các điện tử , V là thế năng

tương tác giữa các điện tử thông qua phonon, εKrnăng lượng kích thích

điện tử ở mức Fermi

- Nếu V = 0:

F

E E

Như vậy các điện tử tồn tại độc thân, riêng lẻ, không kết cặp với nhau

- Nếu V ≠ 0 ( dù nhỏ ) :

F

E E

E> 0 → < 2

Do đó các điện tử có xu hướng kết cặp với nhau Như vậy hệ các điện

tử dẫn trong trạng thái siêu dẫn (T <T C) không còn bền vững khi có cặp

Cooper tạo thành Hệ gồm nhiều điện tử dẫn sẽ không bền vững, không ổn

định khi giữa các điện tử có tương tác hút Coulomb thông qua tương tác

giữa chúng với các phonon

Hiệu ΔE chính là năng lượng tối thiểu để phá vỡ các cặp Cooper hay

gọi là năng lượng liên kết, ΔE chính là khe năng lượng Δ (Δ ~E Δ )

Nếu dùng phương pháp chuẩn hạt ở trạng thái siêu dẫn các điện tử

kết cặp với nhau tạo ra các chuẩn hạt ( cặp Cooper ), cặp này tuân theo

Bose – Einstein Phổ kích thích chuẩn hạt : 2 2

K K

E= r + Δ r

Δ ε (εKrnăng lượng kích thích điện tử có xung lượng Kr, ΔKrnăng lượng cần thiết để tách đôi

cặp Cooper -khe năng lượng)

2.1.5 Đối xứng kết cặp truyền thống và không truyền

Δkr V kr C kr C kr , trong đó C− 'kr↓là toán tử sinh một điện tử ở trạng

thái có xung lượng −kr ' và spin down, C kr là toán tử sinh một điện tử ở trạng

thái có xung lượng kr và spin up, V kr′ là biên độ xác suất để cặp Cooper từ

trạng thái có xung lượng (kr′ , −kr′) chuyển sang trạng thái ( )kr kr

− , , và nó có dạng :

Ở đây, rrlà khoảng cách giữa hai điện tử – cặp Cooper, Ω là thể

tích của hệ, V r( )r là thế năng tương tác của cặp Cooper, εkr là năng lượng

kích thích điện tử, g( )kr

là trọng số thống kê (đại lượng không thứ nguyên)

ứng với trạng thái có xung lượng kr

, E giá trị trung bình năng lượng của các

điện tử

- Đối với hệ siêu dẫn đẳng hướng thì ΔKr không phụ thuộc vào hướng

của vectơ sóng (tức của vectơ xung lượngkr

) Cooper đưa ra giả thiết :

V const

V ks′ = = − với mọi trạng thái k ′r kr

r r

h

r =

ε Do đó g( )kr = g( )k , tức là chỉ phụ thuộc vào độ lớn chứ không phụ thuộc vào hướng của vectơ

kr

.Ứng với trường hợp này hệ siêu dẫn có đối xứng sóng s, nghĩa là hàm

sóng cặp Cooper và khe năng lượng có đối xứng cầu

- Đối với hệ siêu dẫn bất đẳng hướng: Δkr phụ thuộc vào hướng vì

g

r

r r

Nhận xét : g( )kr

phụ thuộc cả về hướng lẫn độ lớn của vectơ sóng kw Và vì thế câu hỏi được đặt ra cho trường hợp này là đối xứng sóng gì?

Nhiều bằng chứng cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm đều đồng ý với đối

xứng kết cặp sóng d

2.1.6 Phương trình London

Năm 1935, hai anh em F London và H London (hai nhà vật lý

người Anh) đưa ra hai phương trình mô tả hai đặc trưng cơ bản của siêu dẫn

– liên quan đến mật độ dòng siêu dẫn JrS

là cường độ điện trường,Hr

là cường độ từ trường

Ký hiệu Λ = 2

.e

n

m s

,với n s là mật độ điện tử siêu dẫn (có thứ nguyên

L-3 ), e là điện tích của điện tử

Phương trình (2.9), (2.10) gọi là các phương trình London Chúng

thực ra chỉ thích hợp cho trường hợp từ trường nhỏ và biến thiên chậm trong

không gian Phương trình đầu mô tả tính siêu dẫn và phương trình sau mô tả

tính nghịch từ lý tưởnư&

Trong vật dẫn điện lý tưởng có hạt tải điện chuyển động tự do Khi

có điện trường đều, các hạt tải này tuân theo phương trình chuyển động:

( )m v q E dt

cường độ điện trường, n là mật độ điện tử, vr là vận tốc của điện tử

Mật độ dòng toàn phần có dạng khá đơn giản:

v nq

Thay (2.12) vào (2.11) ta được:

dt

J d nq

m E

r r

- Phương trình London thứ hai được đưa ra như sau Ta biết rằng

trong từ trường ngoài thì xung lượng của hạt bằng:

A c

q v m

trong đóAr

là thế vectơ đặc trưng cho từ trường (thứ nguyên ML2T-3I-1)

Thay (2.14) vào (2.12), mật độ dòng được viết lại:

A mc

nq p m

nq

Jv r 2 r

−

Ở trạng thái siêu dẫn,pr=0, do đó phương trình London là hệ quả

của (2.15) Vì vậy phương trình London cho mật độ dòng siêu dẫn có dạng

sau:

A mc

q n

Phương trình (2.19) chính là phương trình thứ hai của London (2.10)

Nó mô tả tính nghịch từ lý tưởng Từ phương trình thứ nhất của London

nhanh chóng giải thích nhiều tính chất siêu dẫn Từ trường tĩnh điện liên hệ

với dòng JrS qua phương trình Maxwell:

c H J

c

rot44

λ= (thứ nguyên L) là độ xuyên sâu London hay bề dày

thâm nhập, đặc trưng cho sự tắt dần của từ trường khi đi sâu vào mẫu

Trong trường hợp từ trường song song với bề mặt của chất siêu dẫn

và có giá trị bằng H o thì nghiệm của phương trình (2.21) có dạng:

x/ λ

o e H

là mật độ dòng song song với bề mặt siêu dẫn,

x là khoảng cách từ điểm đang xét đến bề mặt của mẫu

Tóm lại: lý thuyết London suy ra được độ dẫn “lí tưởng” của chất

lỏng siêu chảy và tính nghịch từ lí tưởng : Từ trường giảm rất nhanh ở sâu

bên trong vật siêu dẫn thông qua qui luật hàm mũ, và từ trườngHr

chỉ truyền được qua vật siêu dẫn trên khoảng cách λ Khoảng cách này gọi là độ xuyên

sâu, độ lớn của nó vào khoảngλ = 5 10 − 6cm Đối với các mẫu siêu dẫn lớn

thì khoảng cách này hoàn toàn không đáng kể và mẫu chất có thể coi như

vật nghịch từ lí tưởng, đó là hiệu ứng Meissner Nhưng đối với các mẫu siêu

dẫn kích thước nhỏ (chẳng hạn màng mỏng siêu dẫn hay hạt kim loại siêu

dẫn) thì có thể có từ thông trong chúng và tính chất sẽ khác đi nhiều so với

các mẫu kim loại siêu dẫn lớn

2.1.7 Lượng tử hóa từ thông

Như ta biết ở vật dẫn điện bình thường (T > T c ) khi ta bật từ trường

ngoài thì các đường cảm ứng từ sẽ xuyên qua hoàn toàn vào mẫu Nhưng

khi nhiệt độ T giảm xuống dưới nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn và cho từ

trường thích hợp thì các đường cảm ứng từ có thể xâm nhập vào lớp mỏng

trên bề mặt mẫu, lớp này có bề dày là λ Ở sâu bên trong mẫu từ trường

không thể xâm nhập (Br = 0 →Jr = 0

)

Gọiψ( )rr là hàm sóng của cặp Cooper (thông số trật tự) Mật độ xác

suất của hạt tải điện là: ψ2 = ρ( )rr (đại lượng không thứ nguyên)

Vìρ( )rr có liên quan đến sự kết cặp của các điện tử, do đó thông số

trật tự ψ có thể viết:

( )rr ρ( )rre iθ ( )rr

trong đó θ( )rr là pha của hàm sóng (đơn vị là độ hoặc radian)

Ký hiệu: ψ*(rr)= ρ( )rre−iθ ( )rr và được gọi là liên hợp phức của ψ( )rr

Trong cơ học lượng tử, mật độ dòng xác xuất (thứ nguyên L-2T-1)

cho bởi công thức sau:

( * * ) 2

mc

q m

q i

với m = 2m e : khối lượng của hạt tải,

q = -2q e : điện tích của hạt tải,

: thế vectơ (thứ nguyên ML2T-3I-1) đặc trưng cho từ trường ngoài

Từ (2.22) ta có:

θρ

ρρ

ψ = ∇ θ + θ∇

∇r −1/2(r )e i i 1/2e i r

2 1

θρ

ρρ

ψ = ∇ θ − θ∇

∇r * −1/2(r )e−i i 1/2e−i r

2 1

r q

h

r r

θ

- Khi không có từ trường ngoài (Ar = 0

), pha không đổi theo tọa độ tức θ( )rr =const, dẫn đến:Jr = 0

- Khi có từ trường ngoài, và mật độ dòng J có dạng tổng quát:

r r r h

r r r

θ r rr d r

Từ tính đơn trị của hàm sóng, suy ra θ1 -θ2 = Δθ Ở đây Δθ gọi là độ

lệch pha của hàm sóng Vì e iθ =e i( θ + Δ θ ) ta có: Δθ = 2π.n và n chỉ nhận các

giá trị nguyên dương : 0, 1, 2,…

Hình 2.3 Mặt cắt ngang của mẫu siêu dẫn

C

Theo định luật Stokes, từ thông toàn phần đi qua diện tích s tựa trên chu tuyến kín c :

d B d

A rot r

Φ gọi là lượng tử từ thông (có thứ nguyên L2MT-2I-1)

Như vậy, từ thông gửi qua tiết diện tựa trên chu tuyến C chỉ có thể nhận giá trị bằng số nguyên lần Φ0 Hiện tượng này được gọi là sự lượng tử hoá từ thông và là sự thể hiện của hiệu ứng lượng tử ở bình diện vĩ mô

2.2 MÔ HÌNH MẠNG JOSEPHSON

2.2.1 Hiệu ứng Josephson

Vào năm 1962 nhà vật lí người Anh B Josephson đã khám phá ra

hiệu ứng mang tên ông, đó là hiệu ứng Josephson [3]: dòng siêu dẫn có thể

đi qua một lớp điện môi mỏng phân cách hai điện cực siêu dẫn Ba năm sau,

tức vào năm 1965 thì thực nghiệm đã chứng tỏ được giả thiết của ông và đến năm 1973 ông nhận được giải Nobel do khám phá hiện tượng đặc sắc trên

Để hình dung mô hình mạng Josephson, ta bắt đầu từ việc mô tả hiệu ứng Josephson Xét một cấu trúc có dạng hai lớp siêu dẫn gồm lớp siêu

dẫn I (SD I) và lớp siêu dẫn II (SD II), chúng được ngăn cách bởi lớp điện

môi mỏng Theo cơ học cổ điển thì các điện tử không thể vượt qua lớp điện

môi, nhưng theo cơ học lượng tử thì các điện tử siêu dẫn có thể đi từ SD I sang SD II bằng hiệu ứng xuyên hầm và tạo thành dòng siêu dẫn (hay dòng

Josephson)

SC1 SC2

Lớp ngăn cách

Hình 2.4 - Hai lớp siêu dẫn được ngăn cách bởi lớp điện môi

Gọi Ψ 1 , Ψ 2 lần lượt là biên độ xác suất của các cặp Cooper ở SD I và

SD II (hay còn gọi là thông số trật tự của SD I và SD II) Giả sử hai lớp siêu

dẫn này là như nhau Khi đó Ψ1, Ψ2 sẽ có dạng:

1

1 1

θ

ρ e i

=

Ψ , (2.30) trong đó ρ1,ρ2: lần lượt là mật độ hạt ở SD I và SD II,

θ1,θ2 : lần lượt là pha của hàm sóng tại SD I và SD II

Các biến θ1 ,θ2 ,ρ1 ,ρ2 là thực

Khi đặt giữa hai lớp siêu dẫn một điện thế V thì xuất hiện dòng xuyên hầm đi qua lớp điện môi Phương trình mô tả sự biến thiên của các hàm sóng Ψ1, Ψ2 theo thời gian chính là phương trình Schodinger:

2 1 1

t

1 2 2

t

với: U1,U2,K đều có thứ nguyên năng lượng, đặc trưng cho độ thấm của các

cặp Cooper đi qua lớp điện môi từ SD I đến SD II Nếu lớp điện môi khá lớn

thì phương trình (2.31) và (2.32) trở nên độc lập Nếu lớp điện môi đủ nhỏ thì K đặc trưng cho độ thấm của các cặp điện tử (cặp Cooper) xuyên qua

màng điện môi từ lớp siêu dẫn một sang lớp siêu dẫn hai, và vì thế các cặp Cooper này nhận thêm năng lượng:

qV U

mỗi cặp Cooper có điện tích q= − 2q e Chúng ta có thể chọn gốc tính năng

lượng sao cho: U q V

qV

1 2

ρ

sin 2

1

2 1 1

ρ

sin 2

1

2 1 2

trong đó δ =θ1−θ2 gọi là độ lệch pha

Các phương trình tương ứng với phần ảo là:

δρρρ

θ

2 1 1 2

1 1

h h

K qV

∂

δρρρ

θ

2 2 1 2

2 2

h h

K qV

ρ

sin

2

2 1 2

1

h

K T T

Lấy tích phân 2 vế phương trình (2.42), ta thu được phương trình mô

tả độ lệch pha biến thiên theo thời gian:

( ) (t = t= )+q∫t V( )t dt

0

0 h

1 0

0

2 sin q A r d r J

h

- Khi không đặt điện thế giữa hai lớp siêu dẫn, tứcV = 0, thì phương

trình (2.44) có dạng giống với (2.41):

( 2 1)

0 sinθ −θ

= J

Phương trình (2.45) mô tả mật độ dòng Josephson không biến đổi

theo thời gian Với J 0 là mật độ dòng cực đại Đây là hiệu ứng Josephson

dừng

- Khi đặt giữa hai lớp siêu dẫn một điện thế V một chiều, tức

( )t const V

V = ≡ , thì từ công thức (2.43.1) ta có:

ω là tần số dao động của dòng Josephson Phương trình

(2.46) chính là hiệu ứng Josephson không dừng Thực nghiệm đo được ω qua

V Nếu hiệu điện thế V≈1μV (micro Volt) thì tần số dao động

Tóm lại, trên đây chúng ta xét sự xuyên hầm của điện tử siêu dẫn

qua màng điện môi từ SD I sang SD II Nếu lớp điện môi đủ mỏmg thì

Josephson đã chứng tỏ rằng có thể có sự xuyên hầm của nguyên cả đôi điện tử, nghĩa là sau khi xuyên hầm vẫn là điện tử siêu dẫn Dòng xuyên hầm này tồn tại ngay cả khi giữa hai lớp siêu dẫn không có tác dụng một hiệu thế nào Đặc biệt quan trọng là hiệu ứng Josephson với dòng xuyên hầm là dòng cao tần khi có tác dụng một hiệu số điện thế V giữa hai lớp siêu dẫn Hiệu ứng Josephson được giải thích bằng lý thuyết kết đôi điện tử (BCS) hoặc bằng lý thuyết vĩ mô (phương trình Ginzburg - Landao)

2.2.2 Mô hình JJA (Josephson Junction Array Network)

Trong phần này ta giới thiệu mô hình mạng Josephson ở các vật

siêu dẫn mất trật tự Xét mạng đơn giản hai chiều có hằng số mạng a trên cả

hai phương dọc ngang ở mỗi cầu nối Josephson như trong hình (2.5)

Hình 2.5 - Mô tả mạng Josephson hai chiều với hằng số mạng là a

9 Các nút biểu thị cho các ốc đảo siêu dẫn

9 X biểu diển cho các cầu nối Josephson

Thiết lập Hamiltonian cho mô hình JJA

Năng lượng của một cầu nối chính là công để dịch chuyển điện tích

từ ốc đảo i sang ốc đảo j:

( )t dQ V

t V q dt

c ij e

j

i

q dA

2

ij e

r d t r A dt t V

0

) , ( )

( t r

A rr là thế véc tơ tại mỗi liên kết

Ký hiệu A ij (t) (đại lượng không thứ nguyên) là tích phân đường của

thế véc tơ A rr( t r, ), ta có:

Như vậy ta đã dẫn ra được hamiltonian cho mạng JJA lý tưởng

Trong thực tế không có được mạng Josephson lý tưởng như trong hình 1.5, vì

trong mạng có sự mất trật tự ngẫu nhiên do các sai hỏng mạng hay sự sắp

xếp mất trật tự của các ốc đảo siêu dẫn, cầu nối… Hamiltonian cho các hệ

siêu dẫn mất trật tự sẽ được đề cập ở mục 2.3.1

Hiệu ứng chắn (Screening Effect)

Trong các phần trên, ta chỉ xét hamiltonian cho trường hợp từ trường

ngoài H = 0 Vậy khi có từ trường ngoài H cần phải thêm vào số hạng mô tả

tương tác giữa các hệ siêu dẫn và từ trường ngoài Để đơn giản, ta xét một ô

cơ sởâ gồm bốn ốc đảo liên kết

Khi đó trong ô sẽ có dòng Josephson chảy qua bốn ốc đảo, giả sử là

từ 1 → 2 → 3 → 4 Dòng Josephson như vậy được gọi là siêu dòng Ta đi tính

năng lượng từ trong 1 ô:

2

2

1

I L

E =

với L là hệ số tự cảm Từ thông Φ liên hệ với cường độ dòng điện I theo

công thức:

I L.

= Φ

Như vậy năng lượng trong một ô được tính qua công thức (2.54) Ta

có thể viết lại biểu thức này như sau:

2

2

1

P P

L

trong đó Φp là từ thông gởi qua ô thứ p; E p là năng lượng của ô p

Năng lượng từ cho toàn mạng JJA:

∑Φ

=

p p A

xy p , 0

xy p ,

.S

H

ext

với H, S lần lượt là từ trường ngoài và diện tích một ô cơ sở Hamltonian

toàn phần được viết lại:

j i

2

1 cos θ θ

trong đó số hạng thứ nhất mô tả năng lượng tương tác Josephson giữa các

thâm nhập vào bên trong mẫu Chính số hạng này cho phép giải thích

nhiều tính chất động học của hệ siêu dẫn

Trong các lý thuyết hiện tượng luận về siêu dẫn, mô hình JJA với

hamiltonian (2.59) được sử dụng rất rộng rãi, đặc biệt khi mô phỏng các tính

chất điện và từ của các hệ siêu dẫn dạng hạt (granular) mất trật tự [4-12]

2.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG HỌC LANGEVIN

2.3.1 Hamiltonian của hệ siêu dẫn mất trật tự

Xét hệ siêu dẫn mất trật tự cấu tạo hạt (granular superconductors)

Các ốc đảo siêu dẫn được nhúng vào trong những môi trường không siêu

dẫn, tại các nút mạng ta có các ốc đảo siêu dẫn và ở giữa các ốc đảo siêu

dẫn này được liên kết với nhau bằng cầu nối Josephson Như đã chứng minh

trong mục 2.2, hamiltonian của hệ có dạng sau:

j i

2

1 cos θ θ

ij ij

là thế thăng giáng vectơ của mạng tại mỗi liên kết,

J ij là năng lượng tương tác Josephson giữa ốc đảo thứ i và j,

L là độ tự cảm của một “loop” (hay ô cơ sở),

xy p , 0

,

xy p ,

Trong hamiltonian (2.60) này, ta cần đặc biệt quan tâm đến hai đại

lượng mô tả sự mất trật tự của hệ siêu dẫn, đó là:

- Tích phân đường của thế véc tơ A rr(r)của mạng tại mỗi liên kết, ký

hiệu làA ij (đại lượng không thứ nguyên) Cần nhấn mạnh rằng

trong các hệ thực, các đảo siêu dẫn không nằm chính xác tại các

nút mạng mà thường lệch ra khỏi nút Điều này dẫn đến tích phân

đường A ij giữa hai ốc đảo được cho bởi (2.61) cũng biến thiên

ngẫu nhiên

- Năng lượng tương tác Josephson J ij giữa ốc đảo thứ i và j:

Cả lý thuyết [7] lẫn thực nghiệm [13] đã chứng minh rằng:

+ Đối với siêu dẫn sóng s thì J ij luôn luôn dương và nhận những

giá trị từ 0 đến 2J, J là mật độ dòng tới hạn, giá trị được xác

định bởi (2.41.2):

0 ≤ J ij≤ 2J

+ Trường hợp siêu dẫn sóng d, J ijbiến thiên ngẫu nhiên và nhận

một trong hai giá trị +J hoặc –J với xác suất bằng nhau (phân

bố ±J hay phân bố nhị nguyên):

J ij = +J : cầu nối 0

J ij = -J : cầu nối π

Cần nhấn mạnh rằng mô hình mạng Josephson 3 chiều ngẫu nhiên

trong (2.60) không chỉ mô tả hiệu ứng Meissner thuận từ [4] mà còn mô tả

nhiều hiện tượng động học của các gốm siêu dẫn có nhiệt độ tới hạn cao

hưởng của điện trường ngoài lên dòng tới hạn [7], và điện trở suất xoay

chiều [8].

2.3.2 Mô hình RSJ (Resistively Shunted Junction)

- Giả sử không có dòng điện ngoài I ext = 0 Ngoài “kênh” siêu dẫn

ra còn có những “kênh” khác đóng góp vào dòng điện đi từ ốc đảo siêu dẫn

i sang ốc đảo j:

a) Dòng siêu dẫn với điện trở R = 0 I ij s(t) 2e J ijsinθij(t)

hợp này xuất hiện điện trở ở các cầu nối giữa các ốc đảo dẫn đến sự tiêu tán

năng lượng Theo định luật Ohm:

ij

ij n ij

R

V

với R ij là điện trở của cầu nối, V ij là hiệu điện thế giữa hai ốc đảo i và j Giả

sử rằng tất cả các cầu nối đều có cùng điện trở, tức R ij = R, ta có:

ij

θ

2

c) Thăng giáng nhiệt:

Ở nhiệt độ T > 0, những sự thay đổi về nhiệt độ có khả năng kích

hoạt các điện tử, cấp thêm năng lượng cho các điện tử, giúp cho các điện tử

có thể vượt qua cầu Josephson nhờ hiệu ứng xuyên hầm Dòng điện chạy từ

i sang j nhờ thăng giáng nhiệt gọi là dòng nhiễu Langevin (Langevin noise

current) Ký hiệu ηij( )t (có thứ nguyên I):

j

ij η ′ ′ = δ ′δ ′δ − ′

nếu i= ,i′ j= j′ thì

R

T

≈ Ta thấy dòng nhiễu tăng theo nhiệt độ và giảm theo điện trở

Như vậy, cường độ dòng toàn phần (total current) từ i sang j có

s ij

dt

t d eR t J

e t

2 sin

Phương trình (2.68) gọi là mô hình RSJ

- Khi có dòng điện ngoài, I ext ≠ 0 (H // Oz ; E // Oy) Theo định luật

Kirchhoff, tổng cường độ của các dòng điện đi vào một nút mạng bằng tổng

cường độ các dòng đi ra từ nút đó:

∑ =

j

ext i

ij I

i

I là dòng điện ngoài đi vào nút mạng thứ i )

- Dòng mạng (Mesh current):

Xét một ô cơ sở p của mạng Josephson là tổng của 4 nút (tức chứa

bốn ốc đảo siêu dẫn trong ô) khép kín nên xuất hiện từ trường gởi từ thông

qua mạng cơ sở p:

p

mesh

p =L c

Φ

trong đó c p là dòng điện kín chạy qua 4 nút của ô cơ sở thứ p và được gọi là

dòng mạng (mesh current), L là độ tự cảm của một “loop” (hay ô cơ sở) Từ

thông toàn phần qua ô cơ sở p có dạng:

p

ext p

p L

( )2

22

12

p p p

p

L Lc

p mang

L E

2

Năng lượng này sẽ ngăn cản sự thâm nhập từ trường ngoài vào bên

trong mẫu nên nó còn được gọi là số hạng chắn của mẫu

2.3.3 Phương trình động học Langevin cho hệ siêu dẫn

mất trật tự

Trước đây ta đánh số nút mạng là i, j Còn bây giờ để tiện xác định

vị trí của các nút mạng i, j trong không gian D chiều, ta qui ước:

2D , ,

x y z

y x

n n

n n n

2D , ˆ ,

J e n

n I n n

n J

e dt

n d eR

r r r

r h

r

μ μ μ

Như đã biết các dòng đi từ i sang j gồm có I ij , c p , I ext Mặt khác,

theo cách mô tả khác của định luật Kirchhoff:

y

c n

Iλr r =ελμνΔ−μr r r +δλr,

trong đó ελμv là tenxơ đối xứng hạng ba (tenxơ Levi - Civita):

Toán tử δλr,ybiểu diễn:

y

,

λ

δr = còn toán tử Δμr:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−+

=Δ

r

rr

rr

r r

r

r r

r r

n f n f n f

n f n

f n f

v v

v

v v

v

( Δ + gọi là toán tử vi phân tiến, Δ − gọi là toán tử vi phân lùi)

Biến pha θγ(nr) được xác định bởi: (nr) (nr) A (nr)

γ γ

γ θ

Từ thông φλ(nr) và biến pha θγ(nr) liên quan với nhau:

)(

.2)

γ μ λμγ

c n

n n

J

e dt

r r

r r

2

1

A A A A L

A L L

c

ij ij p

A

θ θ

ε = ±1 nếu cả ba chỉ số khác nhau, sắp

theo các hoán vị chẵn hoặc lẻ

L L

π θ

θ θ θ

2

0 41

34 23 12

Từ (2.78.1), (2.78.2) và (2.79.2) ta có:

( ) [ ( )n ( )n ]

eL n

ν μ μ

n eL

t n n

n J

e dt

r r

r r r

r r

Phương trình (2.81) được gọi là phương trình động học Langevin

Phương trình này rất quan trọng vì giải ra ta tìm được θμ r( )nr , có nghĩa là ta

sẽ xác định được biến động học θij, hiệu điện thế giữa hai cầu nối

Josephson V ij , cường độ dòng điện I ij , điện trở suất ρ , điện trở R … Vì thế

chương tiếp theo của luận văn sẽ trình bày thuật giải tuần tự mà các tác giả

M S Li, H Zung và D Dominguez [12] đã sử dụng để giải phương trình này

với phương pháp tích phân số hoáRunge-Kutta, trên cơ sở mô hình mô

phỏng cho hệ siêu dẫn

W WX X