Lý thuyết và bài tập xử lý tín hiệu số ấn bản dành cho sinh viên tống văn on (chủ biên)

Cụ thể chương này đề cập đến biến đổi Fourier thời gian rời rạc DTFT, một sô' tính chất của DTFT và xem xét cách sử dụng DTFT để giải các phương trình sai phân và thực h iện phép chập..

ẨN BÁN DÀNH CHOSINH VIÊN

NHÀ XltẤT BẢN LAO BỘNG XÃ HỘt

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ

NHÀ XUẤT BẢN LAO ĐỘNG - XÃ HỘI

4 1 B L ý T h á i T ô - H à N ộ i - T el: 8 2 4 1 7 0 6 - F a x : 9 3 4 8 2 8 3

Thực hiện liên doanh: Công ty TNHH Minh Khai S.G E-m ail: mk.book@ minhkhai.com.vn Website: w w w.m inhkhai.com vn

Sô' 21 Bùi Thị Xuân, Quận 1, Thành phô' Hồ Chí Minh.

42 — 90

-2 3 - 5 ·

LỜI MỞ ĐẦU s m

LỜI MỞ Đ Ầ U

Nội dung quyển sách này trình bày các vấn đề cơ bản của xử lý tín hiệu số và người đọc có thể sử dụng quyển sách này theo hai cách :

1 Xem quyển sách như tài liệu tự học môn xử lý tín hiệu sô' theo phương pháp học thông qua các thí dụ.

2 Xem quyển sách như tài liệu tham khảo cho môn xử lý tín hiệu s ố trong đó có nhiều thí dụ và bài tập có lời giải Quyển sách này bao gồm 9 chương, mỗi chương được trình bày theo mô hình tóm tắt lý thuyết kèm theo các thí dụ và phần bài tập có lời giải.

Chương 1 : Giới thiệu các vấn đề thuộc nền tảng của xử lý tín hiệu số bao gồm việc mô tả và đặc trưng hóa các tín hiệu và hệ

thống thời gian rời rạc phép chập và các phương trình sai phân tuyến tính hệ sô' hằng.

Chương 2 : Khảo sát việc biểu diễn các tín hiệu thời gian rời rạc trong m iền tần số Cụ thể chương này đề cập đến biến đổi

Fourier thời gian rời rạc (DTFT), một sô' tính chất của DTFT và xem xét cách sử dụng DTFT để giải các phương trình sai phân và thực h iện phép chập.

Chương 3 : Bao gồm các vấh đề quan trọng liên quan đến việc lấy mẫu các tín hiệu thời gian liên tục, trong đó có định lý lấy

mẫu và hiện tượng aliasing.

Chương 4 : Trình bày biến đổi z١ m ột công cụ toán học dùng trong việc khảo sá t các tín hiệu và hệ thô'ng thời gian rời rạc,

công cụ này tương đương với biến đổi Laplace đô'i với các từi hiệu và hệ thốhg thời gian liên tục.

Chương 5 : Khảo sát hàm hệ thống, đây là biến đổi z của đáp ứng xung đơn vị của hệ thô'ng tuyến tính và bất biến, chương

này cũng giới thiệu một sô' loại hệ thống như bộ lọc cho qua mọi tần sô', các bộ lọc có pha tuyến tính và pha tốì thiểu, các hệ thông có hồi tiếp.

Hai chương k ế liên quan đến biến đổi Fourier rời rạc (DFT).

Chương 6 : Giới thiệu DFT, một sô' tín h chất của DFT Ý tưdng chính trong chương này là việc nhân các DFT của hai chuỗi

tương tương với phép chập vồng trong m iền thời gian.

Chương 7 : Khai triển một sô' giải thuật có hiệu quả để tính DFT của m ột chuỗi có chiều dài hữu hạn Các giải thuật này

trong trường hợp tổng quát, được gọi là các biến đổi Fourier nhanh (FFT).

Sau cùng, hai chương cuối khảo sát việc thiết k ế và thực hiện một h ệ thô'ng thời gian rời rạc, tuyến tính và bất biến.

Chương 8 : Giới thiệu các phương pháp khác nhau để thực hiện m ột hệ thô'ng thời gian rời rạc, tuyến tính và bâ't biến, khảo

sát độ nhạy của các thực hiện đô'i với việc lượng tử hóa các hệ sô' của bộ lọc Chương này còn phân tích việc truyền nhiểu làm tròn trong việc thực hiện dạng dấu chấm cố định các hệ thô'ng.

Chương 9 : Trình bày các kỹ thuật th iế t k ế các bộ lọc bâ't biến và tuyến tính, FIR và IIR Mặc dù trọng tâin của chương này

là thiết k ế các bộ lọc thông thấp, các kỹ thuật th iết k ế các bộ lọc chọn lọc tần số khác như các bộ lọc thông cao, dải thỏng và dải chận cũng được khảo sát.

Đối tượng của quyển sách này là các sinh viên thuộc các chuyên ngành điện, điện tử, viễn thông, công nghệ thông tin của các trường đại học và cao đẳng.

Rất mong quyển sách này mang lại nhiều tiện lợi cho người đọc trong nghiên cứu và học tập Chúc các bạn thành công và

m ong nhận được những ý kiến đóng gốp, phê bình cho những sai sót còn tồn tại.

M K PƯB mk.book@minhkhaii.com.vn www.minhkhai.com.vn

THƯ NGỎ

K in h tHưa qu؛? B ạn đ ọ c g â n occU

Trưởc hết, Ban xuất bản xin bầy tỏ lOng biết ơn và niềm vinh hạnh được áông dảo Bạn dọc nhiệt tin h ủng hộ tủ sắch MK.PUB.

Trung thởi ^ a n qua chUng tôi rấ t vui và cảm ơn cấc Bạn dã gửi e-ma ل l ddng gốp nhiều ý kiến quý bàu c h tủ sdch.

Mục tiêu và phương châm phục của vụ chUng tôi lầ:

M ột lầ n n ữ , B an x u ấ t bản MK.PUB à kinh mbi quý B qn d ọ c tìế p tq c th a ,n g i a cù n g

ch ú n g tô i đê’ n ă n g cao c h ấ t lượng s ấ , Cụ thể:

Trong quấ trin h sử dụng sấch, xin quý Bạn ghi chứ lại các sai sót [dù nhỏ, ằ ) của cuốn sấch hoặc

các n h ậ n xẻt của riêng Bạn Sau đố xin gửi về dịa chỉ:

l i É m k b o o kH n h k h a i.co m n n \iokc m k.pub^tnhkhnt.com nn

Hoác Ể về: N hà sá ch M inh Khai

249 Nguyễn Thị Minh Khai, Q.I, Гр Hồ Chi Minh

Nếu bạn ghi chu trực tiếp lên cuốn sách, rồi gửi cuốn sấch đố cho chUng tôi th i chUng tôi xin hoàn lại cước phi b ا л ل diện và gửi tr à lại Bạn cuốn sấch khấc.

Ngoầi ra, chUng tôi còn gửi tặng Bạn một cuốn sách khấc trong tủ sách MK.PƯB Bạn cd t h ỉ chọn cuốn sdch này theo danh mục thích hợp sẽ gửi tdi Bạn.

Vdi mục dích ngằy càng nầng cao chất lượng tU shch MK.PƯB, chUng tồi r ấ t mong nhận dược 8ự hợp tốc n h iệ t tin h cUa quý Bạn dọc gần xa.

I K P U B cùng Bạn đọc đồng hành'* dể nâng cao chất lượng sách.

Một lần nữa chUng tôi xin chân thành càm ơn.

M ÍP U B

M ỤC L ự c m

MỤC LỤCLỜI MƠ ĐẢƯ

1.2.3 Khoáng thời gian c.ia tín hiệu

1.2.4 Chuỗi tuần hoàn và không tuần hoàn

2.4 LIÊN KỂT NỐI CAC HỆ THỐNG

2.5 BIỂN ĐỐI FOURIER THỜI GIAN RỜI RẠC

3.2 BIẾN ĐỔI TƯƠNG Tự THÀNH số

3.2.1 Lấy mẫu tuần hoàn

3.2.2 Lượng tử hóa và mả hóa

3.3 BIẾN đ Ò i s ố THÀNH TƯƠNG Tự

3.4 XỬ LÝ CÁC TÍN HIỆU TƯƠNG T ự THEO THỜI GIAN RỜI RẠC

3.5 BIẾN ĐỔI TỐC Độ LẤY MẪU

3.5.1 Giảm tốc độ lấy mẫu bởi một thừa số nguyên

3.5.2 Tăng tốc độ lây mẫu bởi một thừa số nguyên

3.5.3 Biến đổi tốc độ lấy mẫu bởi thừa số hữli tỉ

4.4.1 Khai triển thành các phân thức đơn giản

4.4.2 Chuỗi lũy thừa

5

7

7

7 7 7

12 12

13

14

31 31 31

32 33, 33 34 35 35

36 36 36 37

38

50

50 50 50 51 52 53 54 54

70 71 71

72 72 72

73

84

84 84 84 85

86

86

87

m MỤC LỤC

5.4 B ộ LỌC CHO QUA MỌI TẦN s ố

5.5 HẸ THỐNG CÓ PHA TỐI THIỂU

5.6 HỆ THỐNG CÓ HỔI TIẾP

BÀI TẬP

Chương 6 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC

6.1 MỞ ĐẢU

6.2 CHUỖI FOURIER RỜI RẠC

6.3 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC

7.2.1 FFT phân chia theo thời gian

7.2.2 FFT phân chia theo tần sô

7.3 GIẢI THUẬT FFT Đ ốl VỚI N PHỨC HỢP

8.4.3 Cấu trúc song song

8.4.4 Cấu trúc chuyến vi (transposed structure)

8.4.5 Các bộ lọc cho qua mọi tần số

8.5 CÁC B ộ LỌC DÀN

8.5.1 Các bộ lọc dàn FIR

8.5.2 Các bộ lọc dàn chi cỏ cực

8.5.3 Các bộ lọc dàn ĨIR

8.6 CÁC ẢNH HỨỞNG CỦA CHIỂU DÀI TỬ HỮU HẠN

8.6.1 Biểu diễn sô' dưới dạng nhị phân

8.6.2 Lượng tử hóa các hệ số cua bộ lọc

9.3.1 Thiết kế bộ lọc FIR có pha tuyến tính sử dụng các cửa sổ

9.3.2 Thiết kế bộ lọc lấy mẩu tần số

9.3.3 Bộ lọc có pha tuyến tính đồng độ gạn

9.4 THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR

9.4.1 Cấu mẫu bộ lọc tương tự thông thấp

9.4.2 Thiết kế các bộ lọc IIR từ các bộ lọc tương tự

100

100100

101

101

104 104 106 117 117 117 117 119

135 135 135 136 136

137

137

137 137 139

140 140 140 141

171

173 175 175 176 176

177 177

hệ thông Trước tiên trong mục 1.2, ta định nghĩa một cách chính xác tín hiệu thời gian rời rạc là gì, k ế đến sẽ trình bày một sô' phép toán cơ bán nhưng quan trọng sẽ được thực hiện trên các tín hiệu thời gian rời rạc.

Trong mục 1.3, hệ thôhg thời gian rời rạc được khảo sát các khái niệm đặc biệt quan trọng được đề cập đến bao gồm: tuyến tính (linearity), bất biên (invariance), nhân quả (causality), ổn định (stability) và khả đảo (invertibility) Chương này cũng trình bày vân

dề quan trọng sau : nếu các hệ thông là tuyến tính và bát biến, tín hiệu ngõ vào và tín hiệu ngõ ra của hệ thô'ng sẽ quan hệ với nhau bằng một tổng chập (convolution sum) Các tính chất của tổng chập và các phương pháp dùng đế’ thực hiện phép chập (convolution) được đề cập đến trong mục 1.4,

Sau cùng trong mục 1.5, ta sẽ khẩo sát các hệ thống thời gian rời rạc được mô tả dưới dạng phương trình sai phán (difference

x(n)

equation).

1.2 TÍN HIỆU THỜI GIAN RỜI RẠC

Tin hiệu thời gian rời rạc là một chuồi có chi sỏ''(dược định chi sô)

các sO' thực hoặc số phức Như vậy tin hiệu thời gian rời rạc la

hàm cUa biẻ.n cỏ gia trị n^iyên n (biến nguyên n), ta ký hiệu la

x(n) Mặc đù biẻ'n dộc lập n khOng nhâ't thlè't phai biểu diễn “thời

gian" (n thi dụ cO thế' tương ứng với tọa độ trong khOng gian hoặc

khoáng cách), một cách tổng quát x(n) thường dược hiểu la ham

theo thời gian Tin hiệu thơi gian rời rạc khOng dược dinh nghĩa

dỏl với các blè.n n khOng phải la biê'n nguyên Do vặy một tin hiệu

cO gia trị thực x(n) sè dược biểu điền bằng đổ thị ơ dạng gián dồ

lollipop như dược trinh bầy trong hinh 1.1.

Trong nhiều bài toán cUng như nhiều ứng dụng, đế thuận lợi ta xem x(n) như la một vector Các gia trị từ x(0) dê'n x ( N - l) cUa chuỗi thương dược khao sát như la các phần tư cUa một vectorcột như sau : X = [x(0) x ( l) ١ , x(N - l)]T

ThOng thường ta nhận dược các tin hiệu thời gian rời rạc từ việc lấy mầu một tin hiệu thời gian liên tục (continuous-tim e signal) (chắng hạn tiẻ.ng nói) kê't hợp với bộ biẻ'n dổi tương tự-sơ' ADC (analog to d is t a l converter) Thi dụ tin hiệu thơi gian liên tục Xft(t)

dược lảy mầu với tần số lấy mầu la fg : l/Tg tnghĩa la trong 1 sec ta cO fg mầu) dế tạo ra tin hiệu dược lấy mầu (thơi gian rời rạc) x(n) x(n) quan hệ vơi Xa(t) như sau : x(n) = XgínTg)

Tuy nhiên khOng phải tất cả cấc tin hiệu thời gian rời rạc dều có dược theo cách trên M ột,sỗ't٤n hiệu dược khảo sát la các chuỗi xuất hiện một cách tự nhiên theo thơi gian rời rạc mà khOng cần dê'n bộ biê'n dổi tương tự-sô' ADC dể b٤ê'n dổi tin hiệu tương tự thanh tin hiệu thời gian rơi rạc Các thi dụ cho tỉn hiệu loại 'nay bao gồm ^ a cả hang ngầy trên thị trương cổ phiê'u, thống kê dân số, kiểm

kê kho hang va cấc sỗ' vệt den ở bề mặt cUa mặt trơi.

1.2.1 C huồi p h ứ c

Một cách tơ.ng quát, tin hiệu thời gian rời rạc cO thế có giá trị phức Thật vậy, trong một số I^ g dụng quan trọng như thông tin số, các tin hiệu phức phát sinh một cách tự nhiẻn Tin hiệu phức có thể dươc biểu điền bằng các phần thực (real part) va phần ảo (imaginary part), z(n) = a(n) + jb(n) = Relz(n)l + jlm(z(n)J hoặc dược biểu điển ở dạng cực ( polar form) theo biên độ (amplitude) vapha (phase) z(n) = lz(n )!expũ arg!z(n)íl Biên độ có thể dược suy ra tư các phần thực va phần ảo như sau :

I z (n ) ا 2 ت Re2{z(n)} + Im 2(z(n)}, trong khi do pha dươc tinh theo cOng thức arg{z(n)} = tan ل Im{z(.p)Ị

Reíz(n),

Nếu z(r،) la một chuỗi phức Hên hợp phức (complex conjugate) ký hiệu la z*(n) dược thanh lập bằng cấch thay dổi dấu trong phần ảo

cUa z(n١-: z*(n) = R ejz(n)؛ - jlm {z(n)í = I z(n) 1 ex p [-ja rg |z(n )ỉ]

1.2.2 Các c h u ỗ i cơ b ả n

Mặc du hầu hê't các tin hiệ‘u mang thOng tin trong thực t ế la các hàm phức tạp theo thời gian (complicated functions of time), ta có

ba tin hiệu thời gian rời rạc tuy dơn giản nhưng quan trọng và thường dược sứ dụng dể biểu điền va mô tả cấc tin hiệu phức tạp hơn Các tin hiệu thời gian rời rạc cơ bản này la : xung dơn vị (unit sample), nấc dơn vị (unit step) vả hàm mU (exponential) Tin hiệu

xung d^n vị ky hiệu la ỗ(n), d.ược định nghĩa như sau : ỏ(n) =

tục TÍR hiệu nấc dơn vị, ký hiệu la u(n), dược định nghĩa như sau : u(n)

n

Ta có quan hệ giữa tin hiệu xung dơn vl và tin hiệu nác dơn vị như sau : u(n)= l ỗ(k)

Tương tự một xung đơn vị có thể dược viết thành sai biệt cUa hai tin hiệu nầ.c dơn V؛ : ^(n) = u(n) - u(n - 1)

Sau cUng, chuồi ham mủ dược định nghĩa bơi x(n) : a" trong do a là sỡ' thực hoặc sò' phức Chuỗi hàm mU có tầm quan trọng dặc biệt

khi a = جوﻻا' với ( ١٠ ا là một sỏ' thực Trong trường hợp nồy, x(n) la một hàm mU phức جو' ' = cos(n(٠jọ) + jsin(n،٠)()l ١ 'د'ا

Như ta sẽ thấy trong chương k ế tiếp, các hàm mU phức rất hl^j ích trong phàn rà Fourior (Fourier decomposition) các tin hi^u.

1.2.3 K h o ả n g ،h ờ i g ia n củ a ،ín h iệ u

Dế dược thuận lợi ta cố thè' phân loại các tin hiệu thơi gian rời rạc dựa vào khoáng thời gian (hay còn gọi là kích thước) cUa chUng

Thi dụ một chuồi thời gian rời rạc dược gọi la chuồi cO chiều dài hữu hạn (finite le n ^ h sequence) nẽ'u chuồi nàv bằng ٠ đòi với mọi

gia trị cUa n nằm ngoai khodng hữu hạn [N ỉ N2] Các tin hiệu có chiều dài không hửu hạn chẳng hạn tin hiệu ná'c dơn ؛ ٣ và hầm

mủ phức, dược gọi la cắc chuồi cO chiều dài vỏ hạn (infinite length sequence) Thèm vào do các chuồi có chiều dài vO hạn cOn dược

phân loại thành chuồi hướiìg bên phải (right-sided sequence), chuỗi hướng bên trái (left-sided sequence.) và chuỗi hai hương (tw o-

sided sequence) Chuỗi hướng bèn phai la một chuồi cO chiều dài vô hạn nhưng bằng 0 do'1 với mọi giá trا cUa n < اا( ا vơi II() la một sỏ

nguyên bá't ky (ta cOn gọi la chuOi bị chận trái) Tin hiệu nả'c dơn vị la một thi dụ cua chuồi hương bên phai Tương tự m ột chuồi có

chiều dài vô hạn xtn) dược gọi la hướng bên trái (hay bị chận phai) nếu với một sò' nguyên no nào dó١ x(n) = 0 với mọi n > n؛) Một

thi du cho chuỗi hướng bên trái la : x(n) :: u(n,-) - n ) : ] “ ٥

0إ n > n ٥ Chuỗi này la tin hiệu na'c dơn vỊ bị dao ngược thời gian và bị trl hoãn Tin hiệu cO chieu dai vỗ hạn mà không bị chận trái cUng như

khOng bị chận phai chẮng hạn như tin hiệu hàm mU phức, dược gọi la chuồi hai hướng.

1.2.4 C h u ỗi tu ầ n h o à n v à khO ng tu ầ n h o à n

Các tin hiệu thời gian rời rạc luOn luOn có thế dược phân loại thành chuồị tuần hoàn (periodic) hoặc chuỗi khOng tuần hoàn

(aperiodic) Tin hiệu x(n) dược gọi la tuần hoàn nê'u với một sỏ' n ^ ê n dương N ١ ta cO x(n) = x(n + N) (1.1)

với mọi n Diều này cOn cO nghĩa la chuối tự lặp lại sau mỗi N mẫu Nê'u một tin hiệu la tuần hoàn vỢi chu kỳ N tin hiệu này cUng

tuần hoàn VỚI chu ky 2N 3N va mọi bội sô' nguyèn khác cUa N Chu ky cơ ban nià ta ký hiệu la N, la sỏ nguvèn dương nhO nhả.t

thOa phương trinh ( 1 l ٠ Nẽ'u phương trinli (1.1) khOng thOa với bất ky sO nguyên N nao x(.n) dược gọi la tin hiệu khOng tuần hoàn.

T h l du 1.2.1 : Các tin hiệư Xj(n) = a"u(n) = n > 0

11 < 0

và X2ín ) = cos(n'^) là các tín h iệ u k h ô n g tu ần h o à n , tr o n g k hi

dó tin h iệu لﺀ:اﺀل ١ ب : ٠ ل là tin h iệu tuần h oàn và có chu k y cơ bản N = 16.

Nếu X iín ) la chuồi tuần hoàn cO chu ky la N i và X‘2(n ) la chuỗi tuần hoàn khác cơ chu ky la N2 tống

gcd(Ni.N^) trong dó gcd (Nj N2) la ước số chung lớn nhâ't (^ e a te st common divisor) cUa N ١ và N2 Diều này cùng dUng vơi tích cUa hai tin hiệu

tuần hoàn؛ nghĩa la x(n) : Xi(n)x2(n) cUng la tin hiệu tuần hoàn có chu ky N cho bớl phương trinh (1.2), tuy nhiên chu kỳ cơ ban cO

the’ nhO hơn.

Cho một chuồi bà't ky x(.n), một tin hiệu tuần hoàn luôn luOn c ó ' thế dược thành lập bàng cách lặp lại x(n) như sau :

X.

y ( n ) ح x(n - kN) trong dó N la một sỗ' nguyên dương va y(n) la tin hiệu tuần hoàn cO chu ky la N.

1.2.5 C h u ỗ i đ ô i x ứ n g

Thông thường một tin hiệu thời ^ a n rời rạc sẽ bao gồm một dạng dối xứng (form of symmetry) nào do mà ta có the' khai thác khi

giải cấc bài toán Hai dạng dối xứng quan trọng dược trình bay dưới dây.

Đ ịn h n g h ĩa ؛ Một tin hiệu có giá tri thực dược gọi la chẵn (even) nê'u với mọi n x(n) = x(-n ) trong khi do một tin hiệu dược

gọi la le (odd) nê'u với mọi n, x(n) = - x (-n )

Một tin hiệu bất ky x(n) cơ thể dược phân rà thanh tổng của phần chẵn Xg(n) và phần le x٥(n) như sau :

Đế' tlm phần chãn cUa x(n) ta thành lập tổng Xe(n) = i[ x (n ) + x (-n )l và dẻ' tim phần lẻ cUa x(n) ta thành lập hiệu

x٥(n) = ي lx(n) ﺀ x(-n)l Với các chuỗi phức, các dạng dối xứng quan trọng có khác một ít.

Đ ịn h n g h ĩa ؛ Một tỉn hiệu phức dược gọi la dOi xứng liên hợp (conjugate symmetric) nê'u vơi mọi n, x(n) = x^(-n)

và một tin hiệu dược gọi la phản dối xứng liên hợp (conjugate antisymmetric) nếu với mọi n, x(n) = - x^(-n)

Một tin hiệu phức bả't ky luôn luôn dược phàn rả thanh tOng cUa tin hiệu dOi xứng liên hợp và tin hiệu phản dOi xưng liên hợp.

1.2.6 C ác th a o ta c ،r ê n tin h iệ u

Trong khi khao sat các tin hiệu và hệ thOng thơi gian rời rạc, ta sẽ phải liên hệ dê'n các thao tác trên tin hiệu Một cách tống quát các thao tác này la kết hợp cUa một vài phép biến dổi cơ ban trên tin hiệu Các phép biê'n dổi này cO thế' dược phân loại thanh các

Chương 1 : T ín h iệ u và h ệ th ố n g 9 اphep biến đối theo bإẻ'n dộc lập n hoậc thành các phep biẻ.n dô'i theo biên độ CLÌa x(n) (nghĩa la biẽ.n phụ thuộc) Trong hai mục nhO sau dâv t.a sè xem xet vắn tắt hai loại phép biè.n dối này va liệt kẽ các phép biẻ.n dOi thường gặp nhâ't trong các ứng dụng-

C ác p h é p b iế n d ổ i th e o bỉê'n d ộ c lậ p

ThOng thường cắc chuồi dược biê.n dổi và dược thao tac bằng cdch sưa dồi chi sô' n như sau : y(n) = x(hn)) trong dO ٢(n) la một hàm nào dO cUa n Ne'u có một giá trị nào dO cUa n làm cho f(n) khOng phai la một sO nguyên y(n) = x(٢(n)) khOng xác định Việc xác định anh hương cUa việc sứa dổl chỉ số n luOn luOn cO thế' thực hiện dược bằng cách sư dụng phương phap liệt ke dạng bang dơn gian, với mỗi một g؛á trị cUa n ta tinh giá trị cUa f{n) và kè' dè'n th iet lặp y(n) = x(fín)).

Tuy nhiên với nhiều phép biến dổi chl sO diều này khOng cần thiẻ.t và chuồi có thè' dược xác định hoặc vè dồ thị trực tiê'p ca c phép biè'n dối thOng dụng nhất bao gồm dịch, dảo ngược va lặp ti lệ dược định nghla dưới dây.

T ịn h tiê'n (dịch) (sh iftin g ) : dày la phép biến dối dược xác định bơi fĩn) = n - n٠) ^è'u y(n) = x(n - na), x(n) dược dịch sang phai

lìn mầu nẻ'u n.) dương (tương ứng với một trl hoàn> và x(n) dược dịch sang trái n، mầu nếu n.,) àm (tương ứng với một tiến tớl).

D ảo n gư ợc (r e v e r s a l) ذ phep bie'n dỏ'l này dược cho bơi f(n) = - n va dơn thuần bao gồm việc hoán dổi tin hiệu x(n) tương ơng vơi chl sô' n.

Lập tí lệ th ờ i g ia n (tim e sc a lin g ) : phép biẻ'i١ dOl này dược xác định bới f(n) = Mn hoặc f(n) = n ^ trong đó M và N la các sỏ' nguyên dương Trong trường hợp fin) = Mn chuOi xí^lnỉ dược thành lập bang cách trích lây các mầu thứ M cUa x(i ١٠ thao ؛ tac này cOn dược gọi la lâ'y mầu xuOng [down-sam pling) Với fín) = n ^ chuỗi y(n) = x(f(n)) dược xác định như sau :

0 ل ﺎ ﺗ ± N 2N.

Thao tác này còn được gọi là lây mầu lén [up-sampling].

y ( n ) : ؛x [ N j

(^ac thl dụ cho cdc ^hép bièn dổi : dỊch dao ngược va lap tl lệ thời gian cho một tin hiệu dược minh họa ơ hinh 1.2.

(١ac thao tác dịch, dao ngược va lập ti lệ thời gian la cac t.hao tác phụ thuộc vào thứ tụ Do vậy ta cần phải cẩn thản trong việc tinh toan cắc kèt hợp cua cãc thao tac này tTinh 1.3 la một thi dụ cho ta thay hai hệ thOng, một hẹ bao gồm khâu trl hoán dứng ti.ước khau d ١ ؛ o ngược cOn hệ kia cO khâu trl hoàn dưng sau khau dao ngược Như ta da tha'y trơn hinh vẽ các tin hiệu ngO ra cUa hai hệ t.hỏng nêu trơn khơng giỏ.ng nhau.

C ộng, n h â n v à lập tĩ lệ Các p hép biê'n dổi b ièn độ th ư ờ n g dUng nhả.t là

cộ n g , lìh â n và lập ti lộ V iệc thực h iện cắc phơp to á n n à y k h ô n g phức

tạp và chi bao gồm chc p h ép toắn trên từ n g đ iểm cd a tin hiệu.

dươc thực

C ộng : tong ciía hai tin hiệu vin) = Xiín) + X2{ii) - / < ! ! < ' /

hiện bằng cách cộng từng điếm các gia ti٠ị cUa các tin hiệu.

^ â n : tích cااa hai tin hiệu y(n) = x ١(n)x٠ ^(n) -■/ < n < + Í dược thực

hitn bang chch nhan tlmg điểm các trị cUa cơc tin hiệu.

Lập tỉ lộ : lạp t.i lệ t.heo bièn độ cUa một tin hiệu x('n) bơi một hàng số'

c dược thực hiện bang cách nhân mồi một gia trị cUa tin hiệu với c,

y(n) = cx(n) < n <ز Phep toan này cOn dược khảo sat

như la tích cua hal tin hiệu x(n) và fin) = c.

X؛ H - 2)

3 ب 2

2 -1

xirv

."3 - 2

١ ﻵ

(:e) Lâ'y mẫu lèn bơi thưa số bằng 2

I lìn h 1.2 : M in h h ọạ các ph،؛ p biơ'n dổi : d ịch , diio ngược và lập ti lệ

1 2 7 P h ả n r ã t i n h i ệ u

Xung đ(ơn vỊ có thế dược sư dụng dể phân rả một tin hiệu ngẫu nhiên \(n ) thành tổng cUa các xung dơn vỊ bị dịch và có trọng sỏ' như sau : xí(n)= , + x(-l)ơ(n + 1) + x(0)cS(n) + x(l)ồ(n - 1) + xf2)(٩(ii - 2 ) 1

là x(k) ỏ thời điểm n = k và có giá trị

0 với mọi giá trị khác của n Phân rả

này là phiên bản rời rạc của tính chât

dịch đô.i với các tín hiệu thời gian liên

tục và được sử dụng trong phép lây

(b) Đ ảo ngược thời gian Trđược theo sau bởi trì h oãn TĩĨQ

H ìn h 1.3 : T h í dụ m inh họa các th a o tá c trì hoăn v à đảo ngược không giao hoán

y(n ) = T[x(n)]

٠►

ĩĐ n h 1.4: Biểu diễn hệ thốn g thời gian rời rạc như là phép biến đổi T[.] ánh xạ tín hiệu ngỏ vào x(n) thàn h tín hiệu ngỏ ra y (n ).

1.3 CÁC HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC

Một hệ thống thời gian rời rạc là một toán tử toán học hoặc

phép ánh xạ biến đổi một tín hiệu (ngõ vào) thành một tín hiệu

khác (ngò ra) dựa vào một tập cố định các qui luật hoặc các phép

toán Ký hiệu T[.ì được dùng để biểu diền một hệ thống tổng

quát như được trình bày trong hình 1.4, trong hình này tín hiệu

ngõ vào x(n) được biến đối thành tín hiệu ngõ ra y(n) thòng qua

phép biến đối T[.] Các tính chât vào-ra cúa một hệ thống có thế

được chỉ ra theo một trong nhiều cách khác nhau.

lyiối quan hệ giữa tín hiệu ngõ vào và tín hiệu ngõ ra١ thí dụ, có thế được biểu thị nhờ vào một qui luật toán học hoặc một hàm toán học, chẳng hạn như : y(n) = x“(n) hoặc y (n )= 0.5y(n - 1) + x(n)

Tuy nhiên ta còn có thế mò tả một hệ thống bằng một giái thuật, giái thuật này cung cấp một chuồi các lệnh hoặc chuồi các phép toán áp dụng trèn tín hiệu ngõ vào chắng hạn như là

yi(n) 0.5 =؛yj(n - l ì + 0.25x(n) y2Ín) = 0.25y'An - 1) + 0.5x(n y.'i(n) = 0.4y3Ín - 1) + o.õxín) y(ní = yi(n) + y>(n) + y;؛(n) Trong một sô trường hợp đẽ thuận lợi, một hệ thống có thế dược xác định băng một báng, bạng này định nghĩa tất cã các cặp tín hiệu vào-ra mà ta quan tám.

Các hệ thống thời gian rời rạc có thề được phán loại dựa vào các tính chất mà hệ thống cỏ được Các tính chất quan trọng thường dùng nhất là tuyến tính, bất biến, ỉìhân quả, ổn định và khả đáo Các tính chất này cùng với một vài tính chất khác được mô tả trong mục sau 1.3.1 C ác tín h c h ấ t c ủ a h ệ th ố n g ،٠

H ệ th ố n g k h ô n g nhd T ín h c h ấ t đầu t iè n n ày liê n quan đ ế n m ột h ệ th ố n g có h oặc k h ô n g có bộ nhớ.

Đ ịn h n g h ĩa : Một hệ thống được gọi là không nhớ (memoryless system ) nẽu tín hiệu ngõ ra ỡ thời điểm n = n؛) bát kỳ chi phụ thuộc vào tín hiệu ngõ vào ớ thời điếm n = no-

Nói cách khác, một hệ thống không nhớ nếu với n.) bất kỳ ta có khả náng xác định giá trị y(no) mà chí nhờ vào giá trị x(no) cho trước

T h í du 1.3.1 : H ệ th ố n g : y (n ) = x ؛^(n) là hệ thống không nhớ vì y(no) chỉ phụ thuộc vào giá trị ciia xín) ở thời điểm no■

H ệ thô.ng y(n ) = x(n) + x (n “ 1) ngược lại không phải là hệ thống không nhđ do bdi tín hiệu ngõ ra ớ thời điếm no phụ thuộc vào giá trị của tín hiệu ngõ vào ớ cá hai thời điểm no và no - 1.

Thí du 1.3.2 ; Hệ thôhg định nghĩa bởi y(n) = x^(n)

x(n - 1 ) không có tính chất cộng bởi vì T [x|(n) + X.2(n)l = k h á c với Xọ(n)

X l(n -1 ) + X 2 (n -Í)

T[xt(n)] + TíxoCn)] = ' Tuy n h iê n , h ê thô.ng n à y có tín h th u ầ n n h ấ t do bởi v ớ i t ín h iê u n gõ vào cx(n ), tín

X i ( n - l ) X 2 ( n - 1 ) (cx(n))^

) n

؛ ( x

h iệu ngõ ra là T[cx(n)l x ٠ ^(n) = cT (x(n)l H ệ t h ố n g được đ ịn h n g h ĩa bởi p hư ơn g tr ìn h y (n ) = x (n ) + x*(n ٠٠ 1)

c x ( n - l ) x ( n - l )

có tín h c h ấ t cộ n g v ì [Xi(n) + X2(n)l + (xj(n - 1 ) + X2(n -1 )] = [xj(n) + Xj(n -1)1 + [x2(n) + x ؛ (n ~ 1)] T uy n h iê n , h ệ th ô n g n ày

k h ô n g có tín h th u ần n h ấ t vì đáp ứng đối với cx(n ) là T [cx(n)] = cx(n) + c*x*(n - 1) k hác với cT [x(n)] = cx(n) + cx*(n - 1)

Chương 1 : T in h iệ u và h ệ th ố n g 11 I

H ệ thôn g t u y ế n tin h

Một hệ thong có tínli chất cộng và tinh thuần nhất dược gọi là hệ thống tuyến tinh (linear system).

Đ ịn h n g h ĩa ؛ Một h ệ th O n g dược 'gọi là t u y ế n t i n h n ế u T [ a iX i( n ) + a2X2( n ) l = a iT [ x i(n ) ,l + a2T [ x2{ n )ì với X Ị(n ), X2(n ) là các t in

^iệu n g õ vào b ấ t kỳ và a i a‘2 lả các h ằ n g số ph ứ c b ấ t ky.

٩

Tinh tu./ến tinh cUa hệ thô.ng làm dơn giản rất nhíều việc tinh toán dáp ứng cUa một hệ thống dối vdl t.ín hiệu ngO vầo cho trước Thi dụ, bằng cách sứ dụng phân rả x(n) cho trong phương trinh (1-4) và sư dụng tinh chat cộng, tin hiệu ngO ra y(n) có thể dược viết lại như sau y(n) = T[x(n)] = T

N ếu ta đ ịn h n g h ĩa hỉt(n) là d ap ứ n g cUa h ệ th ố n g dối với x u n g dơn v ị ở th ờ i đ iể m n = k ,- h k ( n ) = , T [ồ(n - k))

Phương trinh (1.6) còn dược gọi la tOng chồng chập (superposition summation).

T inh bất biê'n Khi một hệ thOng cO tinh châ.t la sự tri hoàn ơ tin hiệu ngồ vảo bởi n() dẫn dê'n tin hiệu ngỏ ra cUng bị trl hoàn bới ا

١

ل ,) hệ thOng dược gọi la hệ thOng có tinh bất biến hay hệ thOng bất biến (shift-invariant system).

Đ ịnh n g h la : Gọi y(n) la dáp ứng cUa hệ thOng đối với tin hiệu ngô vào ngẫu nhiên x(n) Hệ thOng dược gọi la bat bíến nếu, với một trl hoàn no bà't ky dap ứng dối với x(n - no) la y(n - n{)) Một hệ thống khOng bất biến dược gọi la hệ thống thav dổi.

Trẻn thực tè٠, một hệ thOng sè bà't bia'n nẻ.u cắc tinh chat hoặc các dặc trưng cUa hệ thOng khOng thay dổi theo thời gian Dể kiể'm tra tinh bat biê.n ta cần so sánh y(n n.j) với T[x(n - no.1 Nếu kết ٩uả gio'ng nhau vớ٤ tin hiệu ngO vào x(n) bá't ky va với mọi tri hoản ا

0

ﻞﻟ hệ thOng có tinh bâ't biẻ'n.

T h i du 1.3 3 :

Một hệ thỏ.ng dược định nghĩa bơi yín = x٩ n) la hệ thOng bất biến, điều này dược chứng minh như sau K hi y(n) = x٩ n) la dap ứng cUa

hệ thống đối với tin h iệu ngỡ vào x(n), dap ứng cUa hệ thô.ng dối với tin hiệu x ٩n) = x(n - n )) la y'(n) = tx'(n)l^ = x٩ n - n٥)

Do y'(n) = y(n - m١) nèn hệ thOng cO tinh bâ't b٤ến Tuy nhièn, hệ thống dược mò ta bới phươiìg trình y(n) = xín) + x(-n) la hệ thống thay dồi Đế thấy dược diều này, ta cần lưu y la dấp ứng cUa hệ thOng dOi với t٤n hiệu ngO vào x(n) = ^n) la yín) = 6(n) + ^ -n ) = 2ỗ(n) trong khi dáp ứng dOi với x (n - ! ) = ^ n - 1) la y'(n) = ^ n -1 ) + ^ - n - 1) khác với y(n _ ! ) = 2^n - 1) Vậy hệ thống khOng cO tinh bất biến.

Hệ thô.ng tu y ế n tin h v à b ấ t b iế n

Một hệ thỏ.ng vừa cO tinh tuyẽ'n tinh vừa có tinh bat biẻ'n dược gọi la hệ thố.ng tuyẻ'n tinh và bat biẻ'n LSI (linear shift-invariant system ا Nê'u h(n) la-dáp ứng cUa hệ thOng LSI dOi với xung dơn vị ơ(nJ dáp ứng dối với 6(n - k) se la h(n - k) Như vậy tổng chồng

T in h n h â n q u ả

Tinh nhân quá la một dặc tinh quan trọng cUa một hệ thOng trong các ứng dụng thời gian thực, tinh nhân quá dược dا nh nghía như sau :

Đ ịn h n g h la ذ Một hệ thOng dược gọi la nhan quá nếu với n bà't kỳ, dáp ựng cUa hệ thó.ng ở thơi điểm no chi phụ thuộc vào tin hiệu ngỏ vào cho dến thời điểm n = n٠,

Với một hệ thống nhân quả, việc thay dổi ở tin hiệu ngO ra không th ể xảy trước sự thay dối ơ tin hiệu ngõ vào Nếu Xi(n) = X2(n) với

n < n() y^(n) phải bằng y2(n) với n < n٥ Như vậy, các hệ thOng nhân quả có thế' dược xem như la hệ thỗ'ng khOng trước ky hạn (nonanticipatory) Hệ thống LSI sẽ cO tinh nhân qud nếư và chi nếu h(n) bằng ٠ với n < 0.

Thl du Ị 3 4 : Hệ thô.ng dược mỗ tá bơi phương trinh y(n) = x(n) + x(n - 1) có tinh nhân qưả do giá trị cda tin hiệu ngỏ ra ở thơi điểm n = no bat kỳ chỉ phụ thuộc vầo tin hiệu ngO vào x(n) ở thời điểm n٥ và ớ thờỉ điểm (no - 1) Ngược lại hệ thOng 'dược mỗ tả bới phương trinh y(n) = x(n) + x(n + 1) khOng có tinh nhân quá do tin hiệu ngõ ra ơ thời điểm n = no phụ thuộc vào giá trị cUa tin hiệu ngO vào ơ thời điểm (no + 1).

T in h ổ n á ịn h

Trong nhiều ưng dụng, diều quan trọng dối với một hệ thOng la dáp ứng y(n) cUa hệ thỗ.ng phải có biên độ dược ^ ớ i hạn mỗi khi biên

độ tin hiệu ngõ vảo bị gĩới hạn Một hệ thOng có tinh chat này dược gọi la hệ thồ'ng ổn dinh theo nghĩa ngơ vào giới hạn va ngơ ra giới hạn BIBO (bounded-input-bounded output).

Đ ịn h n g h la ĩ Một hệ thô'ng dược gọi la ổn định theo nghĩa BIBO nẽ'u với một tin hiệu ngõ vầo bị ^ ớ i hạn bất ky, lx(n)l < A

< oo, ngõ ra sẽ bị ^ hạn, 1 yixì) I < B < 00

S l 2 Chương 1 : T ín h iệ u và h ệ th ố n g

Với một hệ thống tuyến tính và bất biến, tính ổn định được đám bảo nếu đáp ứng đôi với xung đơn vị của hệ thông là khả tống tuyệt

11 '

Thí dư 1.3.5 ; Hệ thống LSI có đáp ứng xung dơn vỊ h(n) = u(n) sẽ ốn định với mọi la l < 1 do bởi

٢ I h (n )! = ٢ i a !٠١ = — I a k 1 Ngươc lai hê thông đươc mô tá bới phương trình y(n) = nx(n) không ốn đinh do đáp

„ ,؛ ٠:í) l - ؛al

ứng đô1 với tín hiệu nác đơn vị x(n) = u(n) là y(n) = n.u(n) không bị giới hạn.

T ính k h ả đ ả o

Tính khá đáo là một tính chất quan trọng của hệ thống đôì với các ứng dụng như cân bằng kènh và giái chập Một hệ thống được gọi

là khá đáo nếu tín hiệu ớ ngò vào cúa hệ thông có thề được xác định một cách duy nhất từ tín hiệu ngõ ra Đê cho một hệ thỏhg có tính kha đáo điều cần thiết là các tín hiệu ngõ ra phân biệt được tạo ra từ các tín hiệu ngõ vào phân biệt Nói cách khác, với hai tín hiệu ngõ vào bất kỳ XỊÍn) và X9(n) mà Xi(n) 5؛ X9(n )١ các tín hiệu ngõ ra tương ứng y\ín ) và yọín) phải khác nhau y i(n ) 5؛ yi(n>.

Thi du 1.3.6 : Hệ thống xác dinh bởi y(n = x(n)g(n) là k h ả đ ảo n ếu và chỉ nếu g(n) 5 0 ؛ với m ọ i n Cụ th ể , với v ín ) cho trước

và g(n) ^ 0 với m oi n ١ x(n) có th ế đươc k h ô i phuc từ y (n ) n h ư sau : xín)

-g(n)1.4 PH ÉP CHẬP

Đối với một hệ thống tuyến tính và bâ.t biến, quan hệ giừa tín hiệu ngõ vào x(n) và tín hiệu ngõ ra y(n) được cho bới tòng ch،ập.

x (n L h ín )= ^ x(k>h(n k)

k /

(a) Tính giao hoán

Vì phép chập về cơ bản dùng đề phân tích và mô tá các hệ thống LSI trong mục này ta xem xét cơ chế thực hiện phép chập Ta sẽ bắt đầu bằng cách liệt kê một số tính chất của phép chập, các tỉnh chất này có thè được sử dụng đè đơn gián hóa việc tính toán tống chập.

1.4.1 C ác tín h c h ấ t c ủ a p h é p c h ậ p

Phép chập ỉà một toán tứ tuyến tính và do vậy có một sỏ tính chất quan trọng bao gồm giao hoán, kết hợp và phán bò’.‘· Các định nghía và các chú giái cúa các tính chát này được tóm tắt dưới đáy.

T inh g ỉa o h oán

Tính giao hoán (commutative property) phát biếu rằng trật tự mà hai chuồi chập với nhau không quan trọng, về mật toán học, tính giao hoán được định nghĩa : x(n) ■ ؛ h(n) = h(n) ٥ x(n).

Từ quan diểm hệ thông, tính chất này

phát biếu ráng một hệ thống có đáp ứng

xung dơn vỊ h(n và tín hiệu ngò vào

x(n) hoạt động một cách chính xác giỏhg

như là một hệ thống có đáp ứng xung

đơn vỊ là x(n) và tín hiệu ngô vào h(n).

Điều này được mình họa ớ hình 1.5(a).

T ín h k ế t hợp

Toán tứ chập thỏa tính kết hợp

(associative property) như sau ;

[xín) hiín)] > h9(n) = xín) ٠ ؛٠ [hi(n) ٠ h2Ín)

Từ quan điếm cùa hệ thông, tính kết

hợp phát biếu rằng nếu hai hệ thông

có các đáp ứng xung đơn vị là hi(n) và

haín) được ghép nối tầng như trình

bày trong hình 1.5(b), hệ thông tương

H ình 1.5: Chú giải các tính chất của phép ch ậ p th e o quan điểm hệ thông

Tính phân bố (distributive property) của toán tử chập phát biểu rằng : x(n) ^ [hiín) + h2(n)] = x(n) ^ h i(n ) + x(n) ٠ h2(n)

Từ quan điếm cúa hệ thống, tính chất này phát biếu rằng nếu hai hệ thông có dáp ứng xung đơn vỊ là h i(n) và h2Ín) được kẽt nôi, song song, như được minh họa ớ hình 1.5ÍC), hệ thỏhg tương đương là hệ thống có đáp ứng xung đơn vị bằng tống cLÌa hi(n) và h2(n) ;

dễ dàng được thực hiện bằng cách tính toán trực tiếp tổng đả cho ớ phương trình (1.7) Khi thực hiện phép chập một cách trực tiếp, thông thường điều cần thiết để tính toán các tổng hữu hạn hoặc vô hạn sẽ kéo theo các số hạng có dạng (í٠٦ hoặc na" Các biếu thức

có dạng đơn giản được liệt kê trong bảng 1.1 cho một sô chuỗi thường gặp nhất.

ỳ a" -t

rT) 1 - a

t a ل ٠١ ل\؛ل ا ' ١ -

n ( N - l ) a ب

- _ ذ

— ز

— ٠ : ﺎﻋ

y na

ﺎﻏ ١ ت - 1 (

ت ا ٠

ỉ a l < l -

أ ''

y na

)ي ٦ ( ﻻ ،

ت ا ٠

N ! 1

.) 1

Báng 1 1 : Các biểu thức của các chuối thường gặp

T h i du 1 4 1 : Ta h ã y thực h iệ n p h ép ch ặp h ai tín h iệu : x(n) - a''u(n) n:ب() và h(n) = u(n)

0 - 0 n ,

١u(k١u(n - k

a ؛

؛ tháy ; y (n ؛

-Bàng cách tính toán ti.ực tiếp tống chập ta Un

،

Vì ư.k = 0 với k < 0 và u(n - k) bằng 0 với k > n khi n < u khòng có sô hạng nào khòug bằng 0 trong tòng và y(n) = u

Ngưi.;c lại nt٠ ٠u n ' 0, yín) ỵ ak

1 ve hai chuồĩ x؛k) và h(k) như là cdc hám cua k.

2 Chọn ٠nỌt trong hai chuố٤, thi (1اا h٠k ٠ và đào ngược thơi gian cUa chuOi I١ày de’ hlnh thành chuOi h ( - k ٠

3 Dịch chuồi đ،à dược dao ngược thờ٤ gian bơl n [ I ẳ ý : n،؛ ٠u n > ợ d؛ẻu nãy tương ứng vơi phép dịch sang phái (tri hoàn), trong khi nèu n < 0 di،‘u này tương ứỉig VỚI phép dịch sang trdi (tiê.n اى ٤ اأ

4 Nhản hai chuOi x(k) và h(n - k) và lay tOng các tích dOi vơi mọi giá trị cUa k Giá trị kè't quá sè la gia tri cUa y(n) Qua trinh nàv dược lặp lại đỏ'i với mọi n cO thể có.

Thi du 1.2ا : Dê minh họa phương phap dồ thl thực hiện phép chập, ta hãy tinh y(n) = x(n) ٠ h(.n) trong do x(n) va h(n) la các chuOl dược trinh bày trong hinh l.G(a) và 1.6(b).

(ai

3 f

.'2 -.1

0 1 4 Chương 1 : T ín h iệ u và Ibệ th ố n g

Đế thực hiện phẻp chập, ta tiến hành các bước đă liệt kê ớ trên :

1 Vì x(k) và h(k) dã được vè như là các hàm của k ở các hình 1.6(a) và 1.6(b) ta chọn một trong hai chuồi này để đáo ngược thời gian Trong thí dụ này ta sè đảo ngược thời gian chuồi h(k) và chuồi h (-k) được vẽ ớ hình 1.6(0,

2 Thực hiện phép nhàn x(k)h(-k} và láy tổng trên k, ta tìm thấy y(0) - 1.

3- Dịch h(k) sang phải bời 1 để có chuỗi h (l - k) vẽ ớ hình 1.6(d) Thực hiện phép nhân x(k)h؛ l - k) và lấy tống trên k, ta

tìm thấy y( 1) = 3.

4 Dịch h (l - k) sang phái lần nữa đế có chuỗi h(2 - k) vè ớ hình 1.6(e) Thực hiện phép nhán x(k)h(2 - k) và lây tố n g trên k,

ta tìm thảy y{2) = 6.

5 Tiếp tục theo cách trẽn ta tìm tháy y(3) = 5 y(4) - 3 và yín) = 0 với n > 4.

6 Tiếp theo ta lấy h(-k) và dịch chuồi này sang trái bứi 1 đế có h { -l - k) vè ớ hình 1.6íf) Do tích x(k)h(-l - k) bằng 0

với mọi k ta tim tháy y(-l> = 0 Thực tê, y(n) = 0 với mọi n < 0.

Hình 1.6{g) trình bày kết quả phép chập với mọi n.

Một thực tế thường gập cần ghi nhớ trong việc thực hiện phép chập hai chuồi có chiều dài hừu hạiì là : nếu xín) là chuỗi có c.hiều dài

L ị và h(n) là chuỗi có chiều dài L2 y(n) = x(n) Ý h(n) sẽ cỏ chiều dài bằng ; L = Li -٠- L.2 - 1

Ngoài ra nếu các giá trị khác 0 cúa x(n) được chứa trong khoáng [Mx Nxl và các giá trị khác 0 cụa h(n) được chứa trong k hoán g [Mh١ NhJ các giá trị khác 0 cúa y(n) sẽ bị giới hạn trong khoảng [Mji + Mh Nx + NhJ.

T 1 0 < n < 2 0 í ٠ / ١ [n - 5 < n < 5

Vì x(n) bằng 0 à ngoài khoáng [10, 20] và h(n) bằng 0 ớ ngoài khoảng [-5 5], các giá trỊ khác 0 của phép chập, y(n) = x(n) ،؛■ h(n)

sẽ được chứa trong khoảng [5, 251-

Phương pháp qui luật trượt

Một phương pháp khác cùng được sứ dụng để thực hiện phép chập, ta gọi là phương pháp qui luật trượt (sìide rule method), dậc biệt thuận lợi khi cả hai chuỗi x(n) và h(n) đều là các chuồi hữu hạn và tổn tại trong khoảng thời gian ngắn.

Các bước để thực hiện phương pháp qui luật trượt

như sau :

1 Ghi các giá trị cúa x(k) dọc theo đỉnh của

một tờ giây và các giá trị của h (-k) dọc theo

đỉnh của một tờ giây khác như được minh

H ìn h 1.7: Tính toán phép chặp bằng phương pháp qui luật trượt

3 Trượt tờ giây có chuỗi h (-k ) về phía phải bởi 1, nhân từng cặp sô\ lấy tổng của các tích để có giá trị y (l) và lặ p lại việc trượt này về phía phải bởi n > 0 Cũng thực hiện tương tự như vậy về phía trái đế tìm các giá trị y{n) vđi n < 0

ớ chương 2 ta sẽ xem xét một phương pháp khác để thực h iện phép chập, phương pháp này được dùng trong phép biến đổi F؛ourier.

1.5 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Tổng chập biểu diễn tín hiệu ngõ ra của một hệ thống tuyến tính và bât biến theo một tổ hợp tuyến tính các giá trị của tín Ihiệu ngõ

X

vào x(n) Thí dụ, một hệ thông có đáp ứng xung đơn vị h(n) = u(n) được mô tả bởi phương trình : y(n) = ^ a^x(n - k) (1.9)

Chương 1 ; T ín h iệ u v à h ệ th ố n g ا 5 ا

Mặc dù phương trình này cho phép ta tính toán tín hiệu ngõ ra y(n) đòì với tín hiệu ngõ vào x(n) ngầu nhiên, theo quaụ điểm tính toán, việc biểu diễn này không có hiệu quả lắm Trong nhiều trường hợp ta có thè biểu diễn một cách có hiệu quá hơn tín hiệu ngõ ra nhờ vào các giá trị trước đó của tín hiệu ngò ra cùng với các giá trị hiện tại và trước đó cúa tín hiệu ngô vào Hệ thồhg ơ trên, thí dụ,

Phương trình (1.10) là trường hợp đặc biệt cùa một phương trình có tên là phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng {linear constant Phương trình (1.10) là trường hợp đặc biệt cùa một phương trình có tên là phương trình sai phân tuyên tính hệ sò háng

Các phươíig trinh sai phân cho ta một phương pháp đế' tinh toán dap ứng cUa một hệ thống y(n) đối vơi một tin hiệu ngO vào ngầu nhiên x(n) Tuy nhièn, trước khi giai các phương trinh này ta cần phai xác định 1.0 tập các diều kiện ban dầu Thi dụ vơi tin hiệu ngO vào x<n> bắt dầu ơ thời điểm n = 0 lời giải cUa phương trinh (1.11) ơ thời điểm n = 0 phụ thuộc vào cac giá trị y (-l), y(-p) Do vậy các diều kiện ban dầu này phai dược xác định rO trưức khi lơi giai vơi n > 0 dược tlm thà'y Khi các diều kiện ban dầu này bằng 0

hệ thOng dược gọi là ban dầu ơ trạng thai nghi (initial rest).

Với một hệ thỏ.ng LSI dược mỏ ta bỡi phương trinh sai phân, dáp ưng xung dơn vị hín) dược tim tha.y bang cdch giai phương trinh sai phân VỚI x(n) = ò(n) vơi gia thiẻ.t hệ thOng baiì dầu 0 trạng thai nghi, vơi một hệ thở.ng khOng dẹ qui a(k) = 0 phương trinh sal

Như vậy h(ĩì) cO chiểu dai hưu hạn va hệ thỏi١g dư(íc g(.)i la hệ thong co dOp úTỉig xung hưu :.أاا ؛ ١ KÍR ٤ ا' lí ااا' ٤٠.٠ leιỉgtlì impulse response)

Tuy nhièn nếu a(k) ị 0 trong trương hợp tOng quat clap ứng xung dơi١ vị cO chiẻu dài vO hạn va hệ thOiig dược gọi la hệ thOng cO dap

dng xung vO hạn IIR (in h n ite-len gth impulse !.espouse), Thi dụ, nèu y(n) = ayín - 1 1) + x(n) dílp ưng xung dơn vị la hín) = a"u(n)

CO vai phương phap khac Ithau cO t.hẻ sứ dụng đè giai cac LCCDE dOi với tin hiệu ngơ vào x(n) tOng q٧at Với phương phap dầu t.iẻn

ta chi dơn thuần thiẻ't lập một bang cac gia trị cUa tííi hiệu ngơ vao va tin hiệu ngơ ra tinh toán phương trinh sai phân với từng gia trị cUa n Phương phap này thích hợp nơ'cj chi cO một vai gia trị cUa tin hiệu ngơ ra cần dược xác định Phương phap khác la sứ dụng phép biè.r، do'! z, phương phap này sè dược dề cập dè.n ơ chương 1 Phương phap thư ba la phương phílp cO diến ta di tlm các lời giai thuần n hát và rièng, mà t.a sẽ mơ ta sau dày.

Vơi mOt 1 1 9 ﺪﺣ ﺔ ﺗ£ cho trước, lời giai tOng q٧at la tong cha ة lời giai y(n) = yhUi) + Vj)(n), trong do Yh(n) la lcíi gian thu3n J١ha't va y^j(n)

la lời giai riêng Lời giai thuần nhá't la dap ứng cila hẹ thOng vOi các diều kiện ban dầu gia sư rang tin hiệu ngơ vào x(n) = 0 Lời giai rièĩig la dap líng cUa hệ thỏ.ng dơ'i vOi tin hiệu ngơ vào xín) gia sứ rằng diều kiện ban đầu bằng khOng.

·

kni.1 Với lời giải riêng, ta cần tìm chuồi yp{n) thóa phưcing trình sai phân đôl với tín hiệu ngô vào x(n) cho trước Trong trường hợp tống quát, đỉiều này đòi hỏi sự sáng tạo và sâu sắc Tuy nhiên, vứi nhiều tín hiệu ngõ vào điển hình mà ta thường quan tám đến, lời giải

sẽ có diạng tương tự như tín hiệu ngỏ vào Bảng 1.2 liệt kê lời giải riêng đóì với một sô tín hiệu ngõ vào thường gặp Thí dụ nếu x(n) = ؛a”u(n>, lời giải riêng sè có dạng : yp(n) = Ca٠٦u(n)

i i B Chương 1 : T in h iệ u và h ệ th ô n g

Với a khOng pha؛ !à nghiệiTi cua phương ؛:riiih đặc tiu ìig Hằng sỏ' c được tìin thâ'y bằng cách thay th ê 'اؤذ giải vào phương trinh sa؛ phản, Lưu ý là với x(n) = Cổ(n) lời giai rieiìg hằng 0 Do x(n) = 0 vơi n > 0, dáp ứng xung dơn vị chỉ ánh hương dến diều kiện ban đầu cUa y(n).

Sô' h ạ n g t ì o n g x(n) Lời g iả i r iê n g

sang 1.2 : Lời g ia i riơng cua LCCDE dỏ

phân y(n) - ư.2Sy(n - 2) = x(n (

= )

ều kiện han dấu y( 2) = ũ va v (-l

؛ với x(n) = u(n) và các d

Ci = 0٠(ؤ'اا

Trước tiẻn ta tiin lời giai riẽng Từ bíing 1.2 ta thâ'y với x(n) = u(n٠

41

phan, ta tim dược : C] - ().25 (:) = 1 hav Cj :

— : ؛ nàv vào phương trinh sa ؛

Tha.y thẻ lơi gia

0

=

0 ,5 -

và từ dơ ta CÍJ phương trinh dặc trUng : ?2 - 0.25 = 0 hoặc (z + 0.5 (z

?را ت 'را(لاا ١

Đê tiin lời giai thuần nhat ta d á t

٦ ا

0 ,5 ر(_

٨ + )اا

0 5 -'اا(

=

>-إأ(ااا thuần lìhât cơ dpng

؛

Do vậy IỜJ gia

4

0n

؛ﻻ0,5-،؛(

0.5''<

'Aا(

٨f

؛٠

;)٩٧at la : y (n t;ời gihi tOng

(1.16)

(1.17)

٩ưat thoíi didu kiện ban dầu da cho y ( - l ) = 1 và y(-2) = 0 Do lơi tổng

؛ a

؛ g

؛ đươc Miri thhy sao cho lờ

؛ pha ;L١ac hằi١g sỏ Ai và A٠

) 0

،

ơ n = 0 và n = 1 ta cơ : y(0) - 0.25 y(-2) : x

ﺎﺟﺀ

1 ( Tínli toán phương trinh

1 ذ

^ A

ا

Aj ﺢﻟ ٣

}

= ) y( l ؛ 1

Aj + A^J + ﺢﻟ

= )

ta cơ : vto ا

17 ddu dưiíc suv tlièn nàv vào phương trinh ( l ều kiện bai١

؛

Thay the chc d

' 2 2 d

إ

.

0 ة 0.5

"(

n - ﺢﻟ(

t - )اا 0.5 (

؛ ) Lời gtai tOng quát la : y(n

=

^ và A ﺢﻟ :

Ta tlin tha'.v Aj

tất ca các hệ thOng c،ng như chc

؛ Mặc díi ta da tập trung kha nhiều vho pliương trinh sai phan tuvơ.n tínli co hệ sỏ' hằng khOng pha

tà't ca dểu cơ hệ sỏ' la hằng số' Một hệ thổ'ng tinh toán lượng trung binh ؛

phưttng trinh sai phân dều tuyèn tinh v.à cUng khOng pha

Mặc díi ta da tập trung kha nhiều vao pliuơng trinh sai phan tuvơ.n tínla co hệ sỏ' hằng, khỏ]

phưttng trinh sai phân dều tuyèn tíiah va cUng khOiag pha؛ tà't ca dểu cơ hệ sỏ' la hằng số' ة

ا

؛

hoat dOng cUa tin hiêu x(n) trơn khoang 10 nl thi du dươc xác d؛nh bơi y(n) ỵ x(k)

n - l k o

n > 0

Hộ thống này được biểu diễn bới phương trinh sai phàn có các hệ sò thay đỏi theo thời gian : y(n) = — —y(n ' 1) + x(n) n 0

n +1 Các phương trình sai phân không tuyến tính hơạc các phương trình sai phản có các hệ sò thay đổi theo thời gian tuy pằức tạp hơn

và khó khán hơn khi giải nhưng lại quan trọng và thường gặp trong nhiều ứng dụng.

BÀI TẬP

TÍN HIỆU THỜI GIAN RỜI RẠC

1.1 Hảy xác định xem các tín hiệu dưới đáy có tính tuần hoàn hay không và với mỗi tín hiệu tuần hoàn, hảy xác định chu kỳ cơ bán,

16

= x(n) tuần lioàii VƠI claai kỳ ìà N ا

) 16 + cơ.sl ' (n :

(

8 1 :

ا ا ا

(:

) 18

’ tuán ầoàn : x(n> = cos In:t/12) + sin(nny

3 6) (

2 4(

(c) Dè cho chuỗi này tuần hoàn, ca phai tin) dược giá trị clia N sao cho s؛n(^ + 0.2n ٠ ﺀ sinlTt + 0.2(11 +N)) Hàm sin ỉà hàm tuần hoàn với cha ky la 2^, do

vậy 0.2N phải la bội nguyèn cua 2^ Tuy nlìién do 7Ĩ la sO vó ta (irrational number., khbng cO giá trị nguyen nâo của N hiện hửu dể thOa dang thức trên

1.2 Tim p h ả n c h ẩ n và p h ầ n lẻ CLÌa c á c tín h iệ u sau : (a) x (n ) = u (n ) (b) x ( n ) - a ^ u (n )

Phần rh ần cùa tín hiệu xín) được cho bởi X p (n) = -■[x(n + x( ٠n )Ị ■

" =

ịử ( n (

+

؛

=)

n ) H a y x٥

2 2

^ 0

Phần lé cua tín hiệu x(n được cho bởi hiệu x ٠ ( n ) - “ ( x in ) x (- n ) | VỚI x(n) = u(n) x،j(n) trờ th à n h x ٥( n ) = ١ 0

2

1 2

Tương tư x٧(n l - ٠, Ịa '؛u(n) - a ”u(■ n

1.3 Nếu xiUi) chán và x-2(n) lé ta kết luận gì cho y(ii) = Xi(n)xj(n)

Nẻu y،n) = XldDX^Ín) y ( -n ) = Xị(٠ n)X2( - n

Do XỊÍn) chẩn va X2٠n) le, Xj(n) = X2(-٠n) và X2(n) = - X20 ■؛، Do đó : y٠- n = '-XỊ(n).X2(n) = -y (-n ) y(n) le,

1.4 Nếu x(n) = 0 với n < 0 hãy suy ra một biếu thức cho x(n) dựa vào phần chẵn cúa x(n) và bàng cách sứ dụng biếu thức này, hãv tìm x(n) khi Xp(n) - (0,9)'’ ٠ ؛ u(n) Hày xác định xem ta có thê suy ra một biếu thức tương tự cho x(n) hay không dựa vào phần lé cùa x(n).

Do x ،,ín ) “ “ Ị x ( i i ) ٣ xí n)] và x „ (n ) = i [ x ( n ) ٠ x (- n ١l lưu ý lã khi x(n) = 0 với n < 0

Thí dụ VỚI x،١(n ) ·؛ (u 9) ؛؛ u{ii) ta có x(n> - ó(n) + 2 (0 9 )'"'u (n ٠١ 1) Kkòng giống với trường hợp khi ta chi b iết phần chần cùa chuỗi, nêu chi b iết phần

lẻ cua chuối ta không thè khôi phục lại x{n) Vấn đé là giá t n cua x(0) khi ta khôi phục chuỗi- Do Xo(0) luôn luôn bằng 0, ta không có thõng tin nào vẻ giá trị cùa x(0) trong phân lé cua x(n) Tuy nhiên, nếu ta biết được x(0) cùng VỚI p h ần lẻ, ta có th ể khôi phục được x(n) với mọi n,

1.5 Nêu X g(n) là p h ầ n đ ố i x ứ n g l i ê n h ợ p c ú a m ộ t c h u ồ i xin), c á c p h ầ n t h ự c v à p h ầ n ả o c ú a x ( n ) sè b a o gồm c á c đ ò i x ứ n g n à o

P hần đối xứng liên hợp cúa x(n) là ; X g(n) = - ٠ [x(n) + x"(-n)j

Khi biểu diễn x(n) nhờ vào phấn thực và phần ảo, ta có : X p(n) = —[x٢(n) + jx ١(n) + Ịxj.(-n) + jx؛(“ n)j ]

,ín) = —(x (n) + x ٢(-n)] + ỉ j[x؛(n) - X :(-n )l

x ،.(n ) ■ [x ٢(n ) + j x ؛ (n ) + Xj.(” n ) “ j x ؛í- n ) ]

Như vậy phần thực của X p ( n ) là chẩn và p h ần ảo của x٠(n ) là lẻ

1.6 Tìm phần đối x ứ n g ỉìẽ n hợp cúa chuỗi : x (n ) =

P h ẩn đối xứng liên hơp của xin) là Xp(n) = — (x(n) + x*{-n)l = — ( 1 = 0 N hư vậy chuồi n ày là chuỏỊ phảrt“’d w 'x ứ n 4 ١؟ «n٠d١ợp

1.7 Cho chuỗi x(n) = (6 - n)[u(n) - u(n - 6)], hãy vẽ

(a ) y i( n ) = x (4 - n); (b ) y2(n) = x{2n - 3); íc) y s(n ) = x (8 - 3 n ); (d ) y4Ín ) = x(n^ - 2 n + 1)

(a) Chuỗi x(n), như được m inh họa ơ hìn h 1.8(a), là một chuồi giám dần tuyến tín h b ăt đầu ở chì số n = 0 và k ết thúc ờ chỉ số n = 5 Chuồi đầu tiên

18 Chương 1 : Tin b iệ n v à h ệ thổ'ng

vậy y٤(n) ٠٥ giá trị bàng 6 ở n 4 ﺀ vồ giảm dần tuyến tinh về phía trối (theo chiều glÀm giá trị cUa n) cho dê'n n ٩ ,1- ﺀuắ trị số nầy yi(n) 0 ﺀ- Chuồi yj(n) dược trinh bầy ở hình l.s(b)

(b) Chuồi thứ hai, ygín) ﺀ x(2n - 3), dược thầnh ỉập thông qua kết hợp dịch th٥ ؛ gian và (ấy mẫu xuống Do vậy y2(n) dược ١٠ê bầng cdch t^ ở c tiên dlch x(n) vồ phía phài bỏi 3 (trì hoân) như trìn h bầy ở hlnh I.8(c) Kế dến chu٥i y2(n) dược thầnh lập bàng cdch lấy mâu xuống bỏi thừa số bàng 2 (nghla jà chỉ giữ lại cốc thầnh phần chỉ số chẩn dược chỉ ra bdi cổc vbng trbn tô dậm trong hlnh 1.8(cl) Phất họa cUa y2(n) dược trinh bày ؤ hình I.8(d)

(c) Chuỗi thứ ba, ygín) ﺀ x(8 - 3n), dược thành lập thOng qua kết hợp d ؛ch thời gian, lấy mẩu xuOng và dào ngược thd؛ gian Dể phat họa ygín) ta sè bắt dầu bkng cách vè x(8 - n), tin hiệu này dược thầnh lập bàng cách dịch x(n) sang trấi bởi 8 (tiến tói) và dào ngược thời gian như dược trinh bầy ở hlnh l,8(e)

Kế dến ygín) dược tim thấy bằng cách trích ra mồi một mẫu thứ ba cUa x(8 - n), như dược chỉ rỗ bằng cấc vbng trbn tô dậm, yg(n) dược vẽ ؤ hinh 1.8(D.(d) Sau cUng, y4(n) = x(n2 - 2n + l۶dược thanh lập bỏi phốp biến dổi khOng tuyê.n tỉnh cUa biến thởi gian n Chuỗí nầy có thể dễ dang dược phát họa

bằng cách liột kê cốch ma chỉ 8Ố n dược anh xạ Trước tiền cần lưu ý la nê'u n 4 ة hoặc n 2- ة, n - 2n +1 ة و va do vậy, y^ínl = 0 Với -1 ة n ٤ 3 ta cố

y4( - l) = y4(3) = x(4) = 2 Chuôi y4Ín) được phát họa ờ hình 1.8(g)

(f)

Hình 1.8: Thực hiện các thao tác trên tín hiệu

1.8 Ký hiệu x((n»N dược dùng dể định nghĩa chuối dược thanh lập như sau : x((n»N = x(n modulo N) trong dó (n modulo N) lì số nguyên dương trong tầm ٤٠, N - 11, số nguyên dương nầy la dư số của phép chia n cho N.

Nếu x(n) ت [ ث] sin(nre/2)u(n), hãy vẽ ; (a) x((n)h i (b) x((n - 2)1

(a) ChUng ta bát dầu bầng cồch lau ý la ((n))3٠ v٥i gia trị bất kỳ cUa n, luôn luOn la

số nguyên ở trong tầm 10, 21

Như vậy, do ((n)>3 = ((n + 3k))g v٥i k bất ky, x((n)Í3 = x((n + 3k»3 Do vệy x((ní)3

tuẩn hoan v٥i chu ky N 3 ﺀ vạy thl x((nl)3 dược thanh lập bằng cấch lập lại một

c4ch tưẩn hoan ba giá trị dẩu tiên cUa x(n) như dược minh hợa trong hình dưới dầy :

(b) Chuối x((n - 2 3 ﻵ cUng tuẩn hoần vdi chu ky N = 3, ngoại trừ tin hiệu nảy bị

dịch sang phải bdi n = 2 30 vdi chuỗi tuẳn hoần trong càu (a) Chuỗi nảy dược

Chương 1 : Tín h iệ u và h ệ thông 1 9 Ì

1.9

C ông suá.t tro n g m ộ t tín h iệu thực x(ii) đươc đ ịn h n g h ĩa là tổ n g của

b ìn h p hư ơ ng các g iá t r ị của chuỗi : p - x “ (n

(

1-،

-،

G íả sừ chuỗi x(n) có p h ầ n c h ă n x

V 2 ý

cùa x (n.(

١)

N ếu còng s u ấ t tro n g x(n) là p = 5, hãy tìm công s u ấ t tro n g p h ầ n lẻ, x ،j(n

Vấn đề này đò ، hỏi ta phài tim mối quan hệ giửa công suất trong x(n) và công suất trong các phần chẳn và phần lê cúa x(n) Theo định nghĩa

,

n))x (n ) = x،،(n) + x٧

n)x،,(n(

،؛(

]٤)+

]٤

■

، 1 '

، 1

105

؛؛

’١1' ؛

٠

؛''

\

^

—

=

Oo vậy vđi p = 5 la co py - 5 - p٠-

= ' ٠

X I٠

^

"

"

I-٠

u( n

،

; ؛ ؛) -1.10

(

)c) N èu x i n ) là tín hiệu ngõ vào cua m ọt hè th ò n g thờ i g ia n th a y dổi (kh ỏ n g b à t b iến ) đ ịn h n g h ĩa bới v(n) = nx(n), hãy tìm còng s u à ttro n g tín h iệu ngõ ra {nghĩa là đ á n h giá tố n g ) p = X v " ( n

(

n -r

٦3 0

^3y١a) Dày là một ứng dụng Lr،;c tíèp cua các chuồi cáp số nhãn : A - X I “ li( - n ) - X I

—

—-

ấp số nhàn la có A'■، b٧٥

‘.^

١

^٤١

؟٠

^'•

٠٧٠

^١٠ ■٠

“-1 ،

12

^0-n

3

١

3 / 0

n

91٠١

^١١2/

5٠oUJ-tr:o V 2 '

f

Từ bàng 11 ta có được biểu thức cho lổng ^ n a

”

=

n.o ( 1 - a(

1 - 3 (

&,

3ا

20 Chương 1 : T ín h iệ u và hệ th ô n g

ờ bài toán này, ta muốn thực hiện việc phán rà tín hiệu khi biểu diễn x(n) thành tổng của các tín hiệu nấc đím vỊ dược lập tỉ lệ và được dịch Có vài phương pháp để suy ra phân rà này Một phương pháp là biếu diễn x(nl thành tông các xung đơn vị có trọng số và bị dịch, x(n) s ô(n) + 2Ỗ(n - 1) + 36{n - 2)

và sử đụng sự kiện là xung đơn vị có thể dược viết thành hiệu của 2 tin hiệu nấc đơn vị như sau : ô(n) = u(n) - u(n - 1)

Do đỏ : x(n) = u(n) - u(n - 1) + 2 (u(n - 1) - u(n - 2)] + 3[uín - 2) ~ uín - 3)J Ta suy ra phán rà : x(n) =؛ u(n) + u(n “ 1) + u(n - 2) - 3u(n ~ 3)

Một phương pháp khác suy ra phân rả trèn một cách trực tiếp hơn như sau Trước tiên ta lưu ý rằng phân rà cần được bắt đầu bầng tin hiệu nấc đcm vị, tin hiệu này tạo ra giá trị 1 tại chỉ số n = 0 Do x(n) tàng đến giá trị bằng 2 tại n = 1, ta phải cộng thẻm một tín hiệu nấc dơn vị bị trì hoàn u(n - 1) Tại

n = 2, x(n) lại tảng bièn dộ bời 1, do vậy ta cộng thêm tín hiệu nấc đơn vị bị trì hoàn u(n - 2) Tại điểm này ta có

uín) + u(n - l) + u(n - 2) = 12 n = 1

Đến đây, tá.t cả những gì còn lại cần làm là mang chuỗi này trờ về giá trị 0 với n > 3 Điều này có thể thực hiện được bằng cách trừ cho tin hiệu nấc dưn

vị bị trì hoàn 3u(n “ 3), ta có kết quả phân rà như dà tìm thấy bằng phương pháp thứ nhất

H Ệ T H Ố N G T H Ờ I G IA N R Ờ I RẠC

1.12 Với mồi một hệ thống dưới đây, x(n) là tín hiệu ngõ vào và y(n) là tín hiệu ngỏ ra Hăy xác định hệ thông nào thuần nhất, hệ thống nào có tính chất cộng và hệ thống nào tuyến tính.

(a) y (n ) =؛ log(x(n )); (b) y (n ) =6 ؛x (n + 2 ) + 4 x (n + 1) + 2 x ín ) + 1; (c) y (n ) = 6 x (n ) + tx (n + l) x (n - l)]/x (n ) ; (d) y (n ) = x(n)sin(nTĩ /2 );

(e) y(n) = Re[x(n)]; (f) y(n) =: ị [x(n) + x*(-n)l

(a) Nếu hệ thống có tính thuần nhất, y(n) =: T[cx(n)l = cT[x(n)l với tín hiệu ngõ vào xín) bâ.t kỳ và với mọi hằng số c phức Hệ thống y(n) = log{x(n)) không thuần nhất vì đáp ١Jfr ١ g của hệ thống dối với Xi(n} = cx(n lã ; yi(n) = log(xi(n)l = logícxln)) = logc + log{x(n)>

Kết qua này không băng clog(x(n)) Với hệ thòng có tính chất cộng, nếu yi(n) và y2٠n) là các đáp ứng đối với các tín hiệu ngõ vào Xj(n) và X9(n٠ đáp ứng

đối vớ» x(n) = XỊÍn) + X2(ri) phái là y(n) = yi(n) + V2(n) Với hệ thống này ta có : Tlxi(n + X2(n)l = log (xi(n) + X2(n)J * log [xi(n)l + log (X2(n)l Như vậy hệ thống này không có tính chà.t cộng ( ١uối cùng do hẽ thống không cỏ tinh thuàn nhất cùng không có tính chất cộng nén đày là hệ thống phi tuyến

(b) Lưu ý là nếu y(n) là đáp ứng đối với x(n) y(n) ٥ 6x{n + 2) + 4x(n + 1) + 2x('n) + l

Dáp ứng dối với XỊÍn) = cx(n) là : yi(n) = 6xi(n ■f 2) + 4xj(n + 1) + 2xj(n) + 1 ١٠i(n) s c{6x(n + 2) + 4x(n + 1) + 2x(n)|+ 1

Tuy nhĩỏn : cy(n) = c{6x(n 1 2) + 4x(n + 1) + 2x(n) + II

Kết qua này không giống với yi(n), do đó hệ thống này không có tính thuần nhất Tương tự, dáp ứng đối với : x(n) = Xi.n) + X2Ín) là

y(n) = 6x(n + 2) + 4x(n + 1) + 2x(n) •٠٠ 1 y(n) = 6Ịxi(n + 2 ؛ + X2Ín + 2)1 + 4[xi(n + 1) ■h X2Ín + 1)1 + 2[xi(n) ■٠٠ X2 ١ ؛، )i ■ ١ '٠ >3n = v.i.n) •٠٠ y2،n) - 1 yín) khóng bằng yiín ) 4- y2(n) Hệ thống này không có tính chát cộng cho nèn đảy là hệ thống khòng tuyến tính.

(c) Hệ thống này có tính thuần nhất vì đáp ứng của hệ thống đối với \ \ - cx(n) là :

y|(n) = 6xi(n) + (n + l)x ١(n - 1)

x(n -٠- l) x ( n - 1)

Tuy nhiên hệ thống này rò ràng không có tính chất cộng và do vậy là hệ thống khồng tuyến tính.

(d) Đật yi(n) và y2،n) là các đáp ứng QÙa hệ thông đối với các tín hiệu ngò vào XỊÍn) và X2(n), Đáp ứng đối với tín hiệu ngô vào : x(n) - axj(n) -٠٠ bx2(n)

là : y(n) = x(n)sin| — I = [ax؛(n) + bxi^(n)]sinỊ^ — y(n) = a x i(n )sin ^ ^ j + bx2(n)sin^“ j = ayi(n) -٠■ by2(n) (1.2Ơ)

Như vậy hệ thống trèn có tính tuyến tính, nghĩa là cùng có tính thuần nhất và tính chất cộng.

(e) Vì phần thực cùa tổng hai số là tống cua các phần thưc nếu yi(n) là đáp ứng cùa hệ thống đối với Xj{n) và y2Ín) là dáp ứng đối vớ١ X2(n), đáp ứng đối với x(n) s Xi(n) •٠٠ X2(n) là : y(n) = Re (xi(n) ■ ٠■ X2(n)l = Re (xi(n)l -٠- Re[x2(n)l = yi(n) ٠► y2Ín)

Như vậy hệ thống có tính chất cộng Hệ thống này không thuần nhất vì : Re(cx(n)l ؛، cRe[x(n)l

trừ khi c là số thực Như vậy hệ thống không tuyến tinh.

(0 Với tín hiệu ngô vào x(n), hệ thống này tạo ra tín hiệu ngõ ra là phần đối xứng liên hợp của x(n) Nếu c là một hằng số phức và nếu tín hiệu ngỏ vào cùa hệ thống là Xi(n) = cxín), tín hiệu ngõ ra là : Ỵ iín ) = -؛^ íx iín ) + x ؛ ( - n ) l = ■ ؛ ícx (n ) + c X ( - n ) l ?؛ cy (n )

Do vậy hệ thống không có tính thuần nhất Tuy nhiên hệ thống này có tính chát cộng vì :

T[xj(n) + X2(n)] = ỉ|[ x i ( n ) + X2Ín)] + [x i(-n ) + X2(-n)] I T[xi(n) + X2(n)] = ÌỊ[xj(n) + xJ(-n)] + [x 2(n) + x؛ (-n )]؛

T[xi(n) + Xgín)] = T[xi(n)] + T[x2(n)]

1.13 Hệ thống tuyến tính là hệ thống có cả hai tính chất, tính thuần nhất và tính chất cộng.

(a) Hày cho một thí dụ về hệ thống thuần nhất nhưng không có tính chất cộng.

(b) Hăy cho một thí dụ về hệ thống có tính chất cộng nhưng không thuần nhất.

٠ ٠

; -

, nghỉa là bằng c lần cùa dáp ứng đôi với x(n), do vậy hệ thống có tính thuán nhất Mật khác, rõ ràng ta thấy hệ thống này không có tính chất cộng

n (

١ín)Ị

X i ( n - l ) x ( n ) Xr)(n - l)xr٠

،

x i (n - 1) + Xo(n - 1)} Ịx (n )+ x (

١

.

^

^

' í

■'

Trong trường hợp tổng quát

-,

) 1 +

X ị í i i + I ) + X 2(n+1) x^(n + l ) X2(n Một thí dụ cho hệ thông có tính chất cộng nhưng không thuẲn nhất là ; yín) = Imịxín

k = -x

) e) y (n ) = x((n))N (n g h ĩa là y (ii) = x (ii m odulo N ) như đã đề c ậ p tr o n g b ài tậ p 1.8); {D y (n ) = x ( - n

(

) a> Goi y،n là đáp ứng cua hệ thông dòi vỡi tin hiôu ngờ vao tùy ỹ xln) Đé kiểm tra tinh bât biến ta cần so sánh đãp ửng đà được địch y(n - no) vđi đáp

ưng cua hộ thòng đôi vỡi tín hiệu ngõ vào đã dược dich x<n - riQ) Với y(n) = x(n) + x(n -1 ، + xin - 2) ta có, đối với dáp ứng được dịch

) 2 x(n - no) + xín - no - 1) + X، n - no = (.n - n٠

) 2 '·

٠f XỊÍn -1 ، + Xj(n - 2) Vi(n) = x(n - no> + x(n no 1 + x(n - no <n )x(n - nộ) la , vp n = x ١

trong clõ f(n) là độ lợi dịch thay đổi {shíft varvmg gain) ('ác hè thống có dạng này luôn luỏn có độ lợi dịch thay đổi f(n) không phai la hàng sò Bổ chimg

nn2>- Với tin hiệư ngô vào XỊÍn» = ò(n - n]), hãy lưu ý đáj) ،; (và nọ là hai chi sô sao cho fĩn٤

lo dieii này ta già sư f(n) không phâi là hầng số và goi n

)

n - n2) đáp ứng là : V2(n> = f(n9)ồ(n - H2

( ٥

n) chỉ khác nhau về độ dịch, dáp ứng VỊÍn) và Y2(n) lại khác nhau về độ dịch và biên dộ Do vậy hệ thông không có tính bất b iến ,

)

d) Hộ thống này khòng có tính bất biến, điồu nky dược chửng lõ qua một thí dụ đơn gian, Lưu ý rhng nếu x{n) = Ô(n), dáp rmg sò U y(n) = òín) Tuy

, nhiôn nếu Xi(n) = õ(n - 2) đáp ứng sè là y p n ) - XỊÍn^t =: í(n “ ~ 2) = 0, y iín ) 5، yín - 2) nẻn hệ thòng không có Lính bất biến

Dẻ dàng chứng minh được hệ thống nảy không có tinh bà’t biến thông qua một thí dụ Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng phương pháp trực tiếp và

x(n - no) ta thấy đáp ứng sẽ là

؛=

dặt xtn là tín hiệu ngỏ vào y(n) = x(-n) là đáp ưng Nếu ta kháo sát tín hiệu ngô vào được dịch Xi(n

yi(n) = X ií- n) s x (-n - no (

yi(n) Do vậy hệ thống không có tính bất biến

٠

؟ ) x(-n + n o

= ١

>

y(n - nọ) = x(-(n - n o Nêu ta dịch y(n) bới n o١

n ) của hậ th ố n g đ ối với t ín h iệ u x u n g đơn vỊ tri h o à n ô(n)،1 1 5 M ộ t h ệ t h ố n g th ờ i g ia n rời rạc tu y ế n t ín h được đặc trư n g bởĩ đ áp ứ ng h ١

k) V ới m ồi m ộ t h ệ t h ố n g tu y ế n t ín h được d in h n g h ĩa sa u đ â y , h ả y x á c đ ịn h t ỉn h b ấ t b iế n của từ n g h ệ t h ố n g

n ) là hàm theo (n - k) Điều này gợi ý rÀng hệ thống này có tính bất biến Để chứng minh ta hây gọi y(n) là đáp ứng của hệ thống

؛ (

Lưu ý rằng hỊ la ١

) 1.21 (

n )x ( k ) ;

y ( n ) = (n - k )u (n - k )x (k ) = (n - k )x ( k

؛ ( dối vớĩ x ín ) : y ( n ) =

@ 2 2 Chương 1 : Tín h iệ u v à hệ th ôn g

■؛؛؛·,١

Nếu ta trì hoãn x(n) bời 1, dáp ứng dõi Vvn X ؛in ٠ = (5(n - 1) là ; y i(n) = h ;(n) = ò(2n - 1) = 0 Do y I<n> ?؛ yín - 11 hệ thống không bất biến,

(c) Với hệ thống sau cùng ta tháy rang niãc du h ؛^(n) là hãm theo (n - k) vỡi k chÀn hoẠc lõ, h ؛؛ín ) ^ h ؛؛ j(n “ 1) Nói cách khác, đáp ứng cùa hệ thống đối với ỏ(n - k - 1) không hằng VỠI dáp ứng aia hệ thòng đối VỨI ò(n - k) được trì hoãn bời 1 Do vậy hệ ihỏhg khõng có tính bất biến.

1.16 Đ ặ t T[.l là m ộ t h ệ thống lu yén tinh nlumg không n h ấ t th iế t phái có tín h b ấ t b iến và hệ th ố n g n à y có đ áp ứ n g h |؛ ( n ) đối với tín

h iệu ngõ vào 6{n - k) Hãy chứng niiiih rÀng băng cách kiêm tra hỊ.(nl ta có th è xác địn h được hệ th ố n g có ốn đ ịn h h a y k h ô n g , hệ

th ố n g có tín h n h â n quá hay khong.

( 1 22 )

ii)x ( k (

؛؛(

h ٤

là : y ( n ؛ a) Dáp L٠fng cúa m ột hệ th õ n g luvón lính d ١ i! vỡ un hiộu ngô vào x (n

k

^

١u kiện dù ta sẽ)tín hiệu ngỏ ra được giới hạn và hi' thòng f>n dinh Phư.íng trin h n 23، la duHi kiòn càn de h،■ thòng có tin h ôn dinh Dõ’ ih iè t lập đi

thày một lín hiéu ngo vao có giứi hạn nhưng dáp ứng ngo ra cua hệ thống không cổ giới h ạ n chímg tò răng nôu tổng này khòng h'iii han iH c'ó ih.‘ tin٦

lai họ thống sẽ không ổn dinh (lu Ỉ>ƠI dáp ưng d(H vứi tin hiộu ngõ vào cổ giới

-=)٠

،n

؛(

J nghía ia x(ii) 0

h١)n٠

؛(

Đạt x(n) = Sgn(h٠

0) ) <

u٠(١,l

h

,

x

/ /■

n٠j( | (٤

؛gn{h^(n.,)} - | h

؛

í ( x ( k ) = ^ hỊ.(n٥)

١

،n

؛ (Vởi tín hiệu ngỏ vão nãy đãp ứng ờ ihf٢i diòm n - no là : y(n٠j)=

hỊ

k / k - í k

1.231(yíno», thoo già thíỏt, không có giới han l١o \ A\' l.õ ihỗng không ổn dịnh và la Ị.hái ihièt lập diều kièn dù dưưc cho bơi

phương trình n.22)- Dế một hệ thòng cỏ tính nhân (luà tin(؛

át tính nhàu pua V(h un hi(Hi ngõ vào xín), dáp I.mg dược cho như.؟

b) Bây giờ ta khào

(

V()| n > np Do vậy phv/ơng trinh Í1 22) phai cỏ dang

؛١u thuộc vào tin hiệu ngò váo x.n

؛khòng tlìà p

؛)hiệu ngô ra y(n) ờ thời điểm n

n)x(k(

؛.(

h٤)=

y(n

<

kĐiéu này sê đúng vđi x(n) bât k> n(١u va chi nêu liị.(u) =؛ ') vdi n < k Dáy là diều ta cần kiểm tra dể xãc đinh tính nhàn quà cũa hệ thống

1.17 Với các hệ thống đă định Iiglìia trong bài tập l.lõ Hày xác dinh hệ thống nào ổn định, hệ thống nào không ổn định Hãy xác định hệ thống nào nhân quá, hè thòng nào không nhán quả

(a) Với hệ thống đầu tiên, hỊ؛ (n) = (n - k ؛u(n - k), lưu ý ràng hị؛ (n ) tAng tuyến tính theo n Như vậy hệ thống này khỏng ổn dinh Thí dụ nếu x(n) a ồ(n), tín hiệu ngõ ra sẽ ià : yin) = hon) = nuín khíing có giới hạn Ta cũng có thể sừ dụng viộc kiểm tra đà được chiírig minh ờ bài tập i.l6 để kiểm tra tính ổn

؛lh٤+)|

Chương 1 : Tin h ỉệu và hệ thống 23

K ét quà này không dược giđi hạn do vậy hệ thô'ng không ổn định Cuố؛

cung, do hk(n) = 0 vdi n < k, la cO hệ thOng n h â n qud.

1.18 Khảo sất một hệ thống tuyê'n tinh cổ dáp ứng dồ'l với tin

hiệu nấc dơn vị dược tri hoân cho hở؛ : s^(n) = kÔ(n - k),

nghĩa là Sk(n) lả dáp itng của hệ thô'ng dối với tin hiệu ngO

vầo x(n) = u(n - k) Hảy tỉm dấp ứng cUa hệ thống nầy dối vói

tin hiệu ngõ vảo Χ(η1 = d(n - k) trong dó k là số nguyên tủy ý

và hày xác định xem hệ thOng có tinh bất biến, ổn định vả

nhân quả hay không.

Do hệ thô.ng tuyến tinh, ta có thể tim th ay dáp ứng, hjt(nl, đô'؛ với tin

hiệu ngò vào ỗ(n - k) nhu sau ١-'ớ11)0 ؛ - k) = u(n k) ٠ u(n - k - t)

tin h tuyến 'tinh dẳn dẻn : hk(n') = Sk<n) - S k i(n ) = kỗ(n - k) (k + 1>

0(n - k - إ) ا va dược trinh hay trong hình dưới day ( tra n g kè').

Từ dồ th ị nay ta thả.y ràng 1ااؤ thồ.ng khOng cO tinh b at biè.n (lo bơ؛ đap ứng của hệ thOng dối vdi tin hiệu xung đơn vị có biẽn độ thay dổi k h ؛ tin hiệu

xung dơn vị b؛ dịch trdi hoặc dịch phdi Tuy- n h ٤ẻn do hk(n) = ،) với n < k, hệ thống cO tinh nh ần quả Sau cùng do hkín) khõngcO giơ؛ hạn (hit(n) la ham

theo kl, hệ thOng khOng ốn dinh Một cdch cụ thể, ta lưu ý việc kiểm tra tin h ốn định da dược chứng m inh ở bai tập 1.16 yẽu cầu,

'؛

Ta củng cO th ể tim tha -khOng ổn dịi١١٦

ộu n hư vậy

H ãy xác d in h tin h tuyê.n tin h , b ấ t biCn, ổn đ ịn h va n h a n quả của h ệ th ố n g

(a) Dl(١u trước t ؛ẻn ta cán (juan sat doi với y{n> la y(n) dược thanh lập từ tổng các tích của x(n) vớĩ các phiền bản dược dịch của x(n) Thi dụ

y í o ) ت Σ x^(k) Do vặy chiing ta kỳ vọng rẳng hệ thfi'ng khỗng tuyến tinh Ta hảy khắng định diều nầy qua mộ

trong do d^ng thức sau cUng có dược bằng c á^ -th a y th ế k' ﺀ k - no· Do bởi Уі(п1 ٠ y(n - no) nên hệ thống khOng cơ tinh bạt.biến

(c Với tinh ổn định ta 1ﺎﻌﻟ ý rằng nấu x،n) la tin hiộu nấc dcm vl, y(0) khơng cơ giđi hạn؛ như vậy hệ thỗ.ng khơng ổn định

(di ا:ﻻ cUng, VỚI tinh nhan quá lưu ý la tin h؛ệu ngơ ra phụ thuộc v a cốc gia trị cửa xln) vơi mọi n Thỉ dự y(0١ la tdng cUa cấc binh phương 0ذ cua xlk)

vơi mọi k Nhu vậy hệ thống khơng nhân quÁ

1.20 Cho xln) la tin hiệu ngO vầo v ầ y(n) la tin h iệu ngO r a cUa h ệ th ố n g H ệ th ố n g nầo tro n g cấc h ệ th ố n g sau dây cố tin h n h ầ n q u ẩ :

(a) y(n ) = χ2(η)ιι(η)؛ (b) y(n ) = x( ( n ! )؛ (c) y (n ) == x(n ) + x (n - 3 ) + x (n - 10)؛

thơi điểm n, không phụ thuộc vầo giá trị nằo khấc cUa tin hiệu ngơ vầol Như vậy hộ thơng nầy cơ tinh nhan quả

(b Hệ thô'ng >'(η) = xí ا η ا ) la một thl dụ cho hệ thdng khỗng nhan quả Diều nằy cơ thể thấy dược bàng cách k h ẩ sốt tin hiộu ngơ ra khi n < 0 Cụ thể

tạ lưu ý ràng y(-l» = xll) Như vậy tin hiệu ngỗ ra ơ thơi dlểm n = -1 phụ thuộc vầo gia trị cUa tin hiệu ngơ vảo ở một thơi điếm trong tương lai

(c) vơi hệ thOng nầy dể tinh toán tin hiệu ngơ ra yln) ؤ thơ؛ d؛ểm n, tấ t cả n h ^ g g؛ ta cần la b iết dược giá trị cửa tin hiệu ngơ vằo xfn) ơ cấc thơi điểm

n n - d và 11 - 10- Như vậy hệ thõ.ng phả؛ cơ tinh nhan quả.

(d’ Hệ thống na.y khOng nhan quả d؛ều nầy cơ thể tha'y dược bầng cấch tinh yln) vơi n < ٥ Thi dụ, y l-1 ) = x("٠l) - x(2)

ﺀ

^ 2 4 Chương l· : Tin h iện và hệ th ốsig

(o Ngỏ ra ciia hn Lhô.ng nàv ừ thời điểm n ІЙ ti'th của СЙС gia trỊ cUa tin hiệu ngỏ vào x(n) ờ các th ờ ؛ điểm n-1,.,-, n N, Như vậy, do 1ﺮﻗذ tin hiệu ngO) ra chi Ịíhụ thuộc ٧ao cdc giá t r ؛ trước do cUa tin hiệu ngO váo hệ thOng cO tin h n h ả n quà.

'

hạn bới f y(n)l = lx(n)l “ < M ؛

X ín) dược giO = ệu ngO ra y(n١

ưng cUa hệ thOng (lo tb) Hệ tho'ng nay rO ran g khOng On định Thi dụ іа'ІіЛ! S' 'ang dáỊ١

= )

nh Thi (І1.1 hay khao sdt dãp dng nO'c ciia h(ỉ thOng Vdi x(n

؛ 110 thOng nav lifting l'fng vrtí m ót bộ tJch phan sO'(digitat m tt.gralori và khOng On d

ر

(،

1

l.d a p ư n g c u a h O th O lìg k h O n g c O g iư ih ạ ii

؛ hạn lx(n،l

؛ ớ

؛

n + l) M ạ c d iii( n h iO ،f n g O v a o c O g ) ؛ ^ (

y ti(k

-ذ )

y ( n

t a c ó v ớ ! n > u

k ,

' 0

؛ ơ

١ ي(ل ٠ ا"اذ.

=

)

ộu ngo vAo có gidi han x n

؛ Ang cách khao sã l rin h

،؛

hOy ،lươt

؛.

Ou nky cO tliO )؛

110 ihOng nav khOng On (lỊnh t

■ ηπ١ι = , ة ا ﻻ ا ﻻ ا ة ﺀ :

٩ ۶

IS )،:،

؛

-ộu ligo ra cua hi iliijng if ihời diOriì η = о la : v(ơ) у x ( k ) l i l 'k ) - у C.I.S

؛

h

,ل 8 أ ث

к / к٠

Ho mOt hO thOng tu'O'n lin h va l)at biOn chỉ On đ ịn h ηι

١

— |

ΐ > C 0 s (؛

flajj 1 'fng xiing don vl la 1ϊ

:1,22

،؛

٠t‘rs

\ ١ , 0m tra linh kha dao ta cO th ế chứng minh rằn g mOt ho ihOng la kha dao bAng cách thiOt ko' m ột hộ thOng nghỊcti dao (I

؛

ihuAn khOi ị.huc t

m tr a tinh kl١a dao cUa cAc hộ thOng

،؛

kliAc nhau nhimg lại tạo ra cting m ộ t tin hiệu ngO ra Ta sO stí dung m ột trong hai phương Jjhap пАу do ki

ni -(

».

í٠ ().

ệu ngO ra cho trước y(n) ta có th ế khOi phục tin hiệu ngO vao hAng cAch sử dpng x(n٠

؛ a، Hệ tho'ng nay rO rang kha d ao do hơi vdi tin h

'؛ VỞI x.n) vA ،lo '؛

Thi' dụ (lAp tmg cila ho thỏ.ng do ,η٠ (

٧

ơ thOi dlOm n : 0 khOng th ể dược phục hổi từ gia trỊ cUa x(n٠

h Hệ thOng пАу khOng kha dào ν١

ﻢﺗ

.

k các tin hiệu có gia trl phức Như vậy hệ tho'ng này khOng co' tinh kha dao do bơi Tinh khả da،) pha، đUng với cac tin hiệu cO gia trỊ thực cUng như vơ

جا

،

ệu cO giá trị thực

n h

؛ Tuy nhíOn la cO thể phat biOu ràng hệ thỏ.ng пАу khả dảo trèn.tập các t hệ tho'ng loạ، bO phAn ao cUa x (n ١

nh vA nhân quẩ dược bảo toAn trong một hệ thOng ghOp nO

؛

a Ta dề dAng chứng minh ،lược rAng tinh tuyến tinh, bất biCn, ổn d

dap ا

؛ n) + bx2(n) sO lA a w ĩ

؛ cUa Sj dOl vơi η'η hiệu ngO vAo axỊ

tầng sO tuyến tinh

؛

dap I^g do On٠

؛ ThOm vAo do do s.) la hệ thô'ng bat b <dAp ứng sO la \v(n - n٥ ٠

ا

8 Tương tự VƠI tinh bẴ't biè'n, ηό'υ χ(η - η٥1 ΙΑ tin hiệu ngO vAo cUa

0 ' n

(0

١v(n - np) sO la y.n

Chương 1 : T ín h iệ u và hệ th ố n g 25 m

Để th iế t lập tin h ôn đ ịn h , lưu ý râ n g với S ị ổn dịnh nếu x(n) lã tín hiệu ngõ vào có giới hạn tín hiệu ngõ ra \v(n sẽ có giới hạn Với w(n) lả tín hiệu ngỏ

vào có gi(h hạn dối VỚI hệ thông ôn định S2 dáp ứng y(n) cùng sẽ có giới hạn Như vậy hệ thông ghép nối tần g ổn định Cuòi cùng với tinh nhân quá

nòu ،S'2 \ầ h ệ thô n g nh ân (ịuã y(n) ờ thời diểm n = no chi phụ thuộc vào w(n) với n < no Với là hệ thòng n hàn quả w(n) với n < no sẽ chĩ phụ thuộc

vào tin hiệu ngô vào x(n> vđi n < no và diều này dần dẽn hệ thống nối tá n g có tín h n h ân quà.

(b) Nêu S i và s ٠? là các hệ th ố n g không tuyèn tính, khòng n h ấ t th iế t hệ thông ghép nôi tần g là hộ thống không tuyên tính do bởi hệ thông th ứ hai cỏ

th ể sẽ không thực h iện tinh phi tuyên cùa hệ thòng th ứ nhất T hí dụ VỚI w {n) = S Ị{ x (n )} = exp{x(n)} y ( n ) = S2{w(n)} = log{w(n)}

mẠc dù cà hai h ệ thống và S2 đều không tuyến tin h , họ thống ghép nối tần g là hệ thống đồng n h ấ t và do vậy có lín h tuyến tín h

(c) Như ờ (b), nếu cà hai hộ thống Si vá s ٠> đều không hất hiến, không n h ấ t th iế t hệ thống nối tần g phải là hệ thống không b ất biến Thí dụ nếu hộ

thông thứ n h ấ t là một bộ điếu chẽ \v(n) = x (n ).e ٠١ ’ ١ ^ '’ ١ và hệ thống thứ hai là một bộ giải diều chẽ y{n) = \v (ii).e ■ ٥٠٤١٤ hệ thông nôi tần g ìk hộ thông^

bAt biến dù rÀng bộ điều chè và giàì điéu chê là các hệ thòng không b át biến Thí dụ khác là nêu là bộ láy mẩu lèn (up“ Sam pler .

، Ị xí ” ì n = 0 ± 2, ± 4 .

w ( n = j ١ 2 / và S٠J là hộ láy m au xuống (đo\\'n-.sam pler yíní = \v(2ni

Ì 0 c á c tr ư ờ n g h ợ p k h á c

T rong trường hợp này hệ th ỏ h g nối tầng có tính h ất biên và y(n = x(n) Tuy n h iên nếu tr ậ t tự cũa hộ thòng bị đào ngược, hệ thông nôi tần g sò không

còn hãt biòn nửa ('ũ n g vậy nếu một h ệ tlìống tuyòn lính VH hài h iè n như bộ trì hoãn đơn vị chẳng h ạ n dược chùn vào giữa bộ lấy máu lèn và bộ lày mầu

xuồng, tro n g trường hự]) tống quát, viộc ghóp nòi tang ha hõ th õ n g trõn sè cho ta một hệ thòng khỏng bàt hiên

P H É P C H Ậ P

1.24 G iá t r ị k h á c 0 t h ứ n h ấ t c ú a c h u ỗ i có c h iế u d à i hữ u h ạ n x in ) x u ấ t h i ệ n ớ c h i sò n = - 6 v á có g iá t r ị x í - 6 ) = 3, g iá t r ị k h á c 0 sa u

c ù n g x u ấ t h i ệ n ớ c h í s ố n = 24 v à có g iá t r ị x (2 4 ) =: 1, V ới p h é p c h ậ p y (n ) = x ( n l ٠ x ( n ) ١

ơ c h i s ố n à o k ế t q u á p h é p c h ậ p n à v có g iá t r ị k h á c 0 đ á u t i è n v à g iá t r ị n à y b à n g b a o n h iê u , C ò n g iá t r i k h á c 0 s a u c ù n g t h ì sa o

Do ta dang chậj) hai chuồi cổ chiéu dài hùxi hạn chi sô cua g١á t r i khác I) dầu tiôn tro n g phÓỊ) chạp hãng tòng sò các chì sỏ cua các giã trị khác I) dầu Uen

cua hai chuôi dang đưưc chạ])- Trong trường hợỊ) này chi sò ià n = -12 và giá trị lã : y (-12) = x٠٠(-6> = 9

'Pưưng tự d ù số cua giá i n khac 0 sau cùng ià ti = Í8 vá giã tri lá \'(18؛ = x"(24، = !8

1 2 5 P h é p c h ậ p h a i c h u ỗ i có c h iề u d à i lìừu h ạ n s ẽ ch o k e t q u á có c h iề u d à i liữu h ạ n C ó p h á i p h é p ch،ập h a i c h u ỗ i, m ộ t c h u ỗ i có c h iề u

d ả i hrm h ạ n c ò n m ó t c h u ồ i có c h iề u d ã i vò h ạ n s ẽ ch o kêt q u á có c liiề u d à i vô h ạ n

Kõt quà cùa Ị ١ h ، ؛ Ị chạp một chuỏi có chiểu dài vo hạn với một chuỗi có chiếu dài hữu hạn khòng n h ấ t th ỉế i phãi là một chuồi có chiéu dài vỏ hạn mà có

thổ là cá hai Nẻu x(n، = òíní và hln) = ؛ 0 5 )'؛ u.n) phóp chà], sõ cho k ết quà là 1 chuồi có chiều dài vò hạn Tuy nhièn vần có khà năng m ột chuồi có

chiều d٤١i hiíu hạn st loai bò ịíhấn đuôi có chièu dài vô hạn cua rnọi chuối có chiều dài vỏ h ạn Thi dụ hãy kai V rd n g : (0.5) ٠ ؛ u،n) - (0.5)'١u(n - 1 =؛ ò(n)

Do vậy j>héj) c h ậ ؛) cũa xtni = ò(nl - —ổ(n 1 VỨI h ín l = {.J-.'')؛'Viín I sê cho kết quà là chuỗi cỏ chiều dài hinj liạn :

Do h(n) bằng 0 khi n ờ ngoài tầm (-3 , 3ị và x(n) báng 0 khi ở ngoài tẩm (1 51, phép chập y(n) = x(n) - h(n) sẻ bẳng 0 khi n ờ ngoài tầm (-2,81 Một

phương pháp dể thực hiện phép chập là SỪ dụng qui luật trượt Ta liêt kê x(k) và h{-k) theo hàng ngang trên 2 tờ giấy, sếp thẳng hàng chúng ờ k = 0 ta

٠ ٠ c ó h ì n h ã n h d ifrfc I r ì n h h à v Hifr1íi d â v í c h n n i h í - l f í ò h ô n t r p n

Sẻ CÓ h ìn h ả n h được tr ì n h b à y dưới đ á y (ch u ố i h í-k) ờ b ẽn trẽ n )

Thực hiện việc lấy tổng cùa các tích x(k)h(-k٠, ta nhận

được giá tri của y(n) ờ thời điểm n = 0, y(0) = 2 Dịch h(-k)

về phía trái bởi 1, thực hiện phép nhàn và cộng, ta được

giá trị cùa y(n) ờ thời điểm n = -1 y ( - l ) = 2 Dịch một lần

nữa sang trái, thực hiện việc lấy tổng của các tích ta tim

thấy yí-2) = 1, đây là giá trị khác 0 sau cùng cùa yín) với n

< 0 Lập lại quá trình trẽn bàng cách dịch h(-k) sang phãi

ta nhận được các giá trị của y(n) với n > 0, đó là :

y fl) = 2 y(21 = 3 y ( 3 ) = - 2 y(4)= ;ì

Một phương pháp khác để thực hiện phép chập là SỪ dụng sự kiện : x(n) ٥ 6(n -٠ nq) = x(n - no)

Ta vièt lại h(n) như sau ; h(n) = 2ỗ(n + 3) - 2ỗ(n + 1) + 2ồ(n - n - 2õ(n - 3)

١n-k / 1 ٠١٦

« ١ '

Các chuồi x(n) vá h(n dươc trinh hãy dưới dây.

Vi x(n bàng 0 V( ؛ ١i n > -1 và hín) bàng 0 vơi n > 1, két (|uà phép chập sè bảng 0 với n > -2 Tính trực tiếp tống chập, ta có

-=

) -■) I

y ( n ) - - + - ( 2 n - l ) í ỉ

Ta hây kiểm tra lởi giải này bằng cách sử dụng cách tính phép chập bằng phương pháp đổ thị đối với một vài giá trị của n Bằng cách đáo ngược thời gian cùa x(k)١ ta thấy ràng h(k) và x(-k) không chồng nhau với k bất kỳ và y (0) = 0 Với x (-2 - k), h(k) và x (-2 - k) chồng nhau tại một diểm và tích bằng — nghĩa là y í-2 ) = — Nếu thay n = 2 v،٩0lời giải ta củng tìm đươc kết quả như vậy Với n = - 3 các chuỗi x í-3 - k) và h(k١ chổng nhau ờ 2

., ٠5

1 2

Trong bài tập này chúng ta bắt đẩu băng cách lưụ ý rằng · ò(n) = u(n) - u(n - 1)

Vậy đáp ứng xung đcm vị h(n) có quan hệ vđi đáp ứng nấc s(n) như sau : h(n) = s{n) - s(n - 1) Vậy với s(n) cho trước ta co :

.n ■1

u(n -1 ) h(n)

Xj(0) + h (n

٠ ا

/

k ( - ١

،(،

x(k)l ع

= , xítì) h(n

= ) ٦ -(ا ١ ta ا cua \(n) v،)i h n

Sií dụng các ch u J da cho li-ong h a n g , ! ỉ t a c O : v ( n ) = n

y(ní = 9-0 ) ± \ أ)k غ k(ũ.9)k n 0 ح

k () k )

1 (0.9)"' I 11(0 9 ا" (ii ٠ 1)(0.9)" 'إ ''ف ٠ t 0.9

2 ) 0.9 ( ! - 0.9

1

Iilnt ا''ا 91.1111.9 ٠ Itln - tlil (

= ا

0

ؤ"ا khi.dơn girin ta được ة«ﻻ

0 ة

11

ا 0.9 ۶ )'''ا 0.9 ا،(

+ -(لا ٠2 )'ا 0.9 اأا(

100 ) 'ا'؛! - 0.9

-(

!

y(n) ^ !Onl

1 3 4

/

ì

؛ thi".' XÍII

١

-k l chUng ta líAt tiau ،،ang 1-ach tha - x (-k )h (í٦

ح

> :

٠h (n (u ( n l - t i ( n - 1 9 1 » ! , v ( h y(n> x ( u

؛ ) : | - u(n» va x ( n

.'؛

■

k

٧

< ١

،

،ر

= ا n

\'؛

109 vạ.v thi ة k ذ 0 vdi ) ٠

= )

do u(n k

٧ tổng nay hang ا

0

<

thuOc vào n, la sẽ khao sát 3 lìường hợp Trưđc tỉèn vđi n

0 tin híệu nâ'c u(n - k) chỉ bằng 1 VỞJ k : n.V.Ay ا)

ة n ة 0

1

Í 2 Ỵ

ا ا إ ا ١٠

ك ا

0 _ 3

y ، " > n ẳ j

3L

1.00

Do vạy ة k ة ٧

ý ràng u(n - k bằng l vứỉ mọi k trong tam

،ﺎﻌﻟ ta

إ \ ﻢﻧ

k -

100

ا ة ل

3(

س ﻻ ) ﺀ ك ا k^O' = ؤل k=oĩ ا3 ﺀ س ﺀ ( ؤ ) ب : ه ( ئ

101

Tfmla؛ ta c ỏ :v ( n ١ =

ﻞ ﻗ ٠

ت ا ة ا

3 Ỉ

2٠ ا

100

؛ n

1.35 Gọi h(n) la một hầm m٥ bị chặt : h(n) aO 0 < n < 1 0

các trường hợp khác

I 28 Chương 1 : T in h iệ u và h ệ thô'mg

1 0 < n < 5

0 các trư ớ n g h ợ p k hấc

và x(n) là chưồi xung rời rạ c có h ạ n g : x(n) ت■{* ٧ ٠٠ ى T im k ế t q u ả p h é p c h ậ p y(n) = h(n)' x(n).

X

Đế Um k ế t q u à p h é p c h ậ p cũa 2 chuỗi có chicu ilài him hạn, ta cần t ín h tổ n g ; y(n ) = h(n) ٠ (x(n) = ^ h (k )x (n - k)

Để tín h Lổng n à y th ô n g th ư ờ n g người t a vè ؛tố ih) a i a h(k> và xín - k) th e o k n h ư trì n h b ày ớ h ì n h dưới đây,

x/ri - k )

1

u - 5

\j\Ấi V la sỏ lượng điểm chồng chặp cUa htk vẩ x(n k) php thiiỌc vào gia trị của n Thi dụ n،u n < 0 không có điểm chồng chập nao trong khi do vđi ا0ة

n 5 ؛ , hai chuồi sò chập nhau với ٠ ة k ة n 1)0 vậy dưứl day ta khao sdt năm trưởng hợp riOng

hiệt-T rư ờng hỢp 1 : n < ﻻ- Khi n < 0 khOng cO dlhni chạ،) nao giữa h(k ٠ va x(n - kí 1)0 vậy tích h(k٠x(n - k) = ﻻ vdi mọi k va y(n) -يﻻ

ا ١

y ( n ) = I « k = I

١ئ.؛

٩ئ_ا

n

؛k٠,

T rư ờng h ợ p 4 : 11 < n < 15 Khi n ờ trong tám LI < n ·· 15, các chuỗi h(k) và x(n - k chạp nhau với n ٠ 5 ^ k < 10 Do vạy

ا5 ا ا اk

ذ

٠5

ظ=«'٠

ﺞ ﻟ

5

' ا٠

]

T rư ờng hỢp 5 : n > 15 Sau cUng vd، n > 15, khhng cO chạ،؛ nầo ^ ữ a h(k) va xtn - k va tich h؛k ٠x(n - k> = ﻻ với mọi k Do vạ.v y(n) = 0 vdi n > 15.

TOm lại ta có kết quà cUa phếp chập : y(o)

cần lưu ý là t a s ử d ụ n g dâ.u ♦ để ký hiệu cho p h ép tirơng q u a n v à dâ.ii * đê’ k v hiệu cho p h é p ch ập ,

(a) H ãy tìm tư ơ n g q u a n giừ a chuỗi x(n) = u(n) - u(n - 6) và chuỗi h (n ) = u(n - 2) - u(n - 5)

(b) H ãy tìm tư ơng q u an giữa x(n ) = a"u(n với c h ín h x(n) [nghĩa là h(n ) = x(n)J T a còn gọi điều này là tự tương quan G iá th iế t ỉ a l <

1-(a) Nếu ta SO sánh biểu thức của phép tương quan giửa x(n) và h(n) với phép chạp : x(n) - h(n) = x (k )h (n - k ) ta thấy rằng khác nhau duy n hất là,

k^-x

trong trường hợp phép chập, h(k) được đào ngược thời gian trước khi được dịch bời n trong khi đó ờ trường hợp phép tương quan, h(k) được dịch mà؛ không cán đảo ngirợc thời gian Do vậy vời phương pháp đổ thị để tính tương quan, ta chỉ đơn thuần vẽ x(k) và h(k), dịch h(k) bởi n [sang trái nếu n > 0؛

và sang phải nếu n < 0J, nhân hai chuồi x(k) Ví١ h(n + k) và lây tổng của các tích Đỗ thị cùa xík) và h(k) được vẽ ở hình dưới đây,

Ta ký hiệu phép tương quan là rxhlo) Rõ ràng V(h n = 0 phép tương quan sè băng 3 Thật ra kết quá này sè là giá trị của ٢xh(r،) với - 1 ؛ n < 2 Với n = 3, x(k)i

và h(3 ٠■ k) chỉ chồng nhau ở hai điểm, và r١ ،Ị 2 = (3 ؛ ١ Tương tự, do xíkl và h{4 -٠“ k» chi chồng nhau ờ 1 điểm rxhí4) = l Sau cùng rxh(٢،^ - 0 với n > 4, Quái

٠ )Txín) = xín

k- X

Ta nhận thấy rx(n là hàm chần cùa n

;

n(

؛(

k) = ^ xCk'+ n)x(k') = rj-

٠-

k - ^k' —x:

Do đó, điều duy nhất cần dến là tìm các giá trị cùa Txln) với n > 0 Với n > 0 ta có

= :

0

<

Sử dụng tinh rlối xứng cúa fx(n) ta có, với n

1-a

Sau cùng kết hợp hai k ết quả trèn, ta có : f x ( n

-(

=

1-a

P hương xmNH SAI PHÂN

)1

1.37

-K h á o s á t m ột h ệ th ố n g được m ò tã bới phươ ng tr ìn h s a i p h â n ; y (n ) = y (n - 1) - y (n - 2) + 0 5 x (n ) + 0 5 x (n

0.25

=

)2{ -١u(n) v ớ i đ iề u k iệ n b an đầu : y ( - l ) = 0.7Õ v à y '(Tìm đ á p iVng c u a hệ th ô n g dối với t ín h iệu ngõ vào : x(n ) = (0 ,5

Bước dầu u c n đế giãi phương trìn h sai p hân này là tìm lời giãi riêng Vóí x،n) = (U.5)’ u.n) ta giá th iêt mộl lời giái có dạng

0

>

n ٤

ÍO.rilíO.G + ١

’

>؛

u.r>(0.r

· ٠ -

'؛

0١õỉ ](

٦ ( ٠ ' ١ ) Thay thè lơì giai n à \ vào [íhương trin h sai phân ta có : t’ i،0.rư.‘ = C j(0 'í

4 C ỉ + 0 5 + l, tư dó ta có : Cj - - 2 C i١ -

=

n h ấ t có dạng : Vh.u

1,25 ( chi áp

؛ Bày g iờ La tìm các hăn g sò A ị và Ằ2 sao cho lời giài tổng quát thòa các điều kiện han dẩu dà cho y (~ l) = 0.75 và v í-2 ) = 0.25, Do lời giai ơ

dụng đưực với n > u ta phai suv ra một tập tương đưcmg các điều kiện ban đầu cho y(0) và y< 1) Tmh phương trin h .sai ph àn với n = 0 và n = l, ta cỏ

1

٥ 5

|) + 0.25 + 75

؛).

~ 1

= 0 ( y(-2) + 0.5x(0) ■V 0 ,5 x ( - u = 0.75 - 0.25 + 0.5 = 1 và yl u = y(0í - y í - i ) + o õ x d ) + 0.5x

٤

؛'^

’)0.5(

1 3

٠ 1.38 Môt hè thống đê qui bâc 2 đươc mô tầ bởi LCCDE sau, y(n) = —y(n -1 ) - y (n - 2) + x(n) -x (n - 1)

(a) Tìm đáp ứng xung đơn vỊ h(n) của hệ thống.

(b) Tìm đáp ứng của hệ thống đốì với tín hiệu ngõ vào x(n) = u(n) - u(n - 10) với các điều kiện ban đầu bằng 0.

(c) Tìm đáp ứng cúa hệ thống đôi với tín hiệu ngõ vào x(n) = !١- j ٠u(n) với các diều kiện ban đầu bằng 0.

Đê tìm dáp ứng xung đcm vị, ta phải giải phương trình sai phàn với x(n١ - ỗ(n) và các điểu kiện ban đầu ở trạng thái nghỉ Phương trình đạc trưng là

2 3 1 _ ( _ l V _ n

Do lời giài riêng bằng 0 khi tín hiệu ngõ vào của hệ thống là xung đơn vị, phương trình (1.26) cùng là lời giải tông quát Để tìm các hằng số Ai, A2 ta

I 30 Chương 1 : Tin h iệ u và h ệ th ốn g

إ

2 4

Giải 2 phương trinh trên ta tim thả.y : Aj = - 2 vả Ag = 3 Vặy y (n ) ت- 2 ( - ) +ح (-) n > 0

và đap ưng xung đơn vị là : h (n )

ل (ل " ' ٠

k ) = ỵ

( ٤١

I = h.ií) - u(n٠

ت

t) la ; síni٠a) ta thay rẰng dap ưng na'c vứí n Với phương phaj) này từ

4 [

;■

2'٧k-.ok

í' iV ااﺀل

١ / ' ا

ا - ذ

kềZli ل

= ) s.n - I p 0

ة،

= ! Vặy thi lơi giai sè la v ،n

را

) 2

ا ا \ ل ١ ا ١١ / ا 2

1

í 1 v١

٦ 0

ﻢ ﻧ ا و

-c ( n

-

ل

-— أ ) ا

“

ل ا (

ت ا Thay vào phương trinh sai phan, ta cti Cnl 7 I

= phdi cO dạng : Vptní

ta cO : Cn = ^ C ( n - l) - ^ C ( n - 2 ) - l Ghiacho!-Ì١

2 2

) ذ

؛

tim thấy c = - 2 Vậy, lơi giai tổng qudt là : y(n> = -2 n

Dến dày ta phổí tim các hằng s ố A ịvà Ag Như da thưc hiCn ơ (a) vơi cãc d i،u kièn ban dẦu bằng 0 ta tlm ihâ.y y(،)) = 1 va y(l> = د ا ) ه vdy ưnh

٠ ٠ ٠ )

ه ﻻ 2

Chương 2 : PHÂN TÍCH FOURIER 31 I

CHương 2

PH Â N TÍCH FO U R IER 2.1 MỞ ĐẦU

B iếu d iễn F o u rie r của các tín h iệu đ ó n g v ai trò r ấ t q u an tr ọ n g tr o n g việc xử lý tín h iệu th ờ i g ian lié n tục (co n tin u o u s tim e sig n a l) lẫn tín h iệu th ờ i g ian rời rạc B iếu d iễ n F o u rie r cho ta p h ư ơ n g p h á p á n h xạ (m ap p in g ) các tín h iệu vào tro n g m ộ t m iề n (do m ain ) k h ác, tro n g m iề n n à y ta dề d à n g th a o tác t r ê n ch ú n g liơn Đ iéu làm cho biếu d iề n F o u rie r đặc b iệ t th ò n g d ụ n g c h ín h là dậc tín h sa u ; p h é p

c h ậ p tro n g m iề n th ờ i g ian được ،ãnh xạ t h à n h p h é p n h à n tro n g m iề n tầ n sô T h èm vào đó, b iến đối F o u rie r còn cho ta m ộ t phươ ng

p h á p k h á c đế hiếu vã giái th íc h các tín h iệu và h ệ th ố n g C hư ơ ng n ảy sè t r ìn h bày p h ép b iế n đối F o u rie r th ở i g ia n rời rạ c (n g h ĩa là

b iế n đối F o u rie r đối với các tín h iệu thời g ia n rời rạ c) củng n h ư sẽ t r ìn h bày tạ i sao các h à m m ù phức là các h à m riê n g (eig en fu n ctio n ) cúa các hệ th ố n g tu y ế n tin h và b ấ t biến , t ạ i sao t ín h c h ấ t n à y dưa đ ế n k h á i m ém vẻ biếu chễn đ á p ứ ng tầ n số của các

h ệ th ố n g tu y ến tín h và b ấ t b iến

ớ p h ầ n cuòi cúa chương này ta sẽ k h a o s á t chi tiẻ t c ách sứ d ụ n g b iến đối F o u rie r th ờ i g ian rơi rạc dè g iai cãc p h ư ơ n g t r ìn h sa i p h â n

tu y ến tin h hệ sò h ằ n g và đè th ự c h iện p h ép chập

2.2 ĐÁP ỨNG TẦN s ố

C ãc h ám riè n g cùa các hệ th ò n g tu y ến tín h và l)ãt b iẽn la cac chuỗi, k h i được đưa đ ế n

ngõ vào cúa lìệ th ò n g , các chuỗi n،ày đi qua h ệ th o n g m a chi bị th a y đối b iè n độ (phức)

Đ iều n ày có n g h ĩa là, n êu tín h iẽu ngò vào là x(n) tin h iệu ngõ ra sè là y(n) = À.x(n)

với à là giá tr ị riên g , m ột c ách tò n g q u át, gicá tr ị này phụ th u ộ c vào tín h iệu ngõ vào

x(n) (xem h ìn h dưới đày),

C á c t í n h iệ u có d ạ n g : x ( n ) = e٠ ' '؛'٤ — v: < n <-r ١ tro n g đỏ (·) là h ằn g số lá các h àm n é n g cua các hẹ th ò n g tu y ến tin h và b ấ t biến.Điều này có th ế dược ỉàm s a n g to tií tòng c h ạp ;

v ( n ) ' h<n)*x(n> - 1 li(k )x (n k)

k

k ) ,e ) l١ ع ﺀب )

ا ا ا

>-٠k

)،:

ا 1 ا<.ا(

0

( ل-ا

T r o n g t r ư ờ n g l i ơ p t o n g q u h t 1 ( 6ل" ) c O g i á t r Ị p liiY c v a p l m t h u ộ c v à o t ầ n s O (r١ c u a h à m ااااا p h t í c I ، : ( » m p l e x e x p o n e n t i a l ) T a c O t h e v i è t l ạ i

H ( e J H ) t h e o p h ả n i h ư c v a p l i a n a o , H l e ؛‘ ') : Н к ( е 'М ) + j H i í e " h h ũ ậ c t l i e o b i è n đ ộ v a p l i a f l ( e J " ) = ؛ 1ﺎﻣ' "اأ e JO ؛‘ ’ "

t r o n g d o ا ر1 ( ? ’٠'ااد : Н ( е ’' ) Н ( e J l· ) : н 1 ؛ е > ' ) + ل-ل؛ل( 6ا" ) v à ها ١ ((ا،ا ■ t a n ل

Biếu dlển dỏ tliị cua dap líiig tán sO' cO y nghla quan trong ti.ong việc phồn tich các hệ tlibng tuyen tlnli va bat biè'n va gian đồ bièn

dọ ( magnltude.'cLing như gian do pha (phase) rat thương dược s١'í dpng Tuy nhiên, ngiíơi ta ciiug sir di.ing cách biếu điền dO tliỊ klidc,

cha tHÎeJo’)! la 1 20 dB tirơng dương với ỈH(eJ<")l = 10: ~20dB tương dương vơi tH(eJ")l = 0.1 va v.v Chilng ta chng thương clih ý

ph ep ta mơ rộ n g tầ m dOi vơi các gỉá t r ị nliO cha I H(ej٠’)l M ột bie'u đ iề n dồ tliị th ư ơ n g dươc dhng de' th a y th e' c h biè'u đ iề n plia la tri

ho àn n h O m t^ o u p delay), dươc d in h n g h ĩa n h ư sa u ; ĨỊ ((:)> ﺮ ﻴ ﻈ ﻳت , Khi tín li t r i h o ãn nhOm, plia dươc c h u y ến đ ối th à n h h à m k h ả

dí؛)

vi (d iffere n tia b le ) và liê n tụ c th eo ن b ầ n g cách cộng các bội n g u y ê n cha ĩĩ với g iá t r ị gOc cua pha

H àm H (^ '') th ư ờ n g dược s h d ụ n g và r á t qu an trọ n g tro n g việc m ô ta dặc tin h cha các hệ thO ng tuyè'n tin h v à b a t hiè.n, h à m n à v dtrợc gọi la ddp ứ n g tầ n sô' (freq u en cy resp o n se), вар ưng t ầ n sO x ác d in h c ách th iíc m ột h àm mU phức dược dOi th à n li b iê n độ phưc k h i dược lọc bơi hệ thõ.ng B ậc b iệ t, d a p d n g tả n sO th ư ờ n g dược s ư d ụ n g khi ta cO thè' p h ả n rà tin h iệu ngõ vào t h à n h tOng cha các h àm

T h i du 2.2.1 : Gọi x(n) = cos(nt!i٧) la t in h iệu ngỏ vào cha m ộ t h ệ th ố n g tu y ế n tin h và bà.t b ièn , d ả p ffng xu n g dơn vị ch a hệ thO ng h (n )

cỏ giá trị thi.fc Nè'u x(n) dược phàn rả thanh tOng cha hai hàm mũ phức, x(n) = ^e'

v í ê t n h ư s a u : y ( n ) = Ì H ( e J ( ^ ) e J " ٥ ( ٥ + ^ H ( e J “ ^

ل ااﻼ ﻫ -لا ١ ﻻ 0

dap hng cha hệ thống có thể dược

Do h (n ) có gia t r ị thự c, H (e٠" ) có tin h dối xưng liê n hợp (c o n ju g a te sy m h ie tric ) ; H (e ٠٠') = H (سﻻ)

I 32 Chương 2 : PH ÂN TÍCH FOURIER

»

0

((ا>

١ب-(ﺀا(-)،،

Ịcos(nلﺀ'لاا)IH(eت٧٥Ị“n):Re{H(eJO)o)eJ(

١٠

0 hayﻸﻟ

”e

■اﻻ>

٠ل

lн ٠ íeب٠

‘ل"ﻻeلﺀتﺀ^)H(e) ﺖ ﺋ

Do vậy : y ( n

٤uần h à n Tinh

Dáp ứng tần sồ' là hàm có gia tri phiVc theo w và cO tinh t٧ần hoàn (periodicity) với cho ky là 271 Điều nồy tiíong phản rõ nét so vdi ٩uát, hệ thỏ.ng này cO dáp ứng tần sO tuyến tinh và bất biến, trong trường hợp tOng dap ứng tần số cUa hệ thOng thời gian liên tục١ khống tuần hoàn Lý do tOn tại tinh tuần hoàn nàv xuá.t phat từ sự kiện là hàm mù phi'fc thời gian rời rạc cO tần sO là (■)Q cùng bằng

ﺀة"ا'ه

’لأ'ا6

=ل"ﻼﻫ6

=)với hầm mũ phức thời gian rời rạc cO tẩn sỏ' la Oo + 2^, nghìa là, x(n

0 ,

لﻻ'ل6

=)

Do vậy, nếu tin hiệii ngO vho cila một hệ thOng tuyè.n tinh và bá't biè.n la x(n

xứng

؛

Tinh đ ố

لﺀل)6(H

=ل)٤ل

Nếu h(n) cO giá trị thi.íc, dap Lmg tản sO la một hàm dOi xlrng liên hợp (conjiigate symmetry) theo tần số : H(e

: j H^(eJ(.) = HRÌe JO) và phần ao la hầm lẻ theo t ٠١١

( Tinh dOi xiíng hẻn hợp ciia H(eJ") kéo theo 'phần th^fc la một hàm chẩn theo

)اااH(e ا

= 1و'ا)0

اﻻ ( ,Tinh dOi xiĩng.hên hợp cững kéo tlieo biên độ la một hàm chẩn'ا),

٠ل

=

١

bh(-■،.)) vầ Th(c

trong do o la một sO' thi.íc và ! < ،!< ! Dap iVng tần sO la

H ( e i " ) : ỷ ( ư e

.

I t

ل ا ٠

ت

'.

h(n).eJ غ

ت

-) H(e'M

ا، - ( ا ﻞﻛ

II

-).'.)

H (e ) ١ '' H(eJ

؛'')!^^

H(eJ ا Binh phươỉig bièn độ cha dap ling tan sO la

ا {.

٦ اا

« ٧ -

1 )

’■

1

HiCe ,

và pha la

(.،

1-

o c o s('eJ٠

؛^(

H

1 1

ا

'

اا

6٠ ﺀذ

ﻎ ﻳ

(

ب

1Sau chng, t r i h o àn nhOm dưọc tim th ả ’y b ằ n g cách lấy vi p h ả n ch a p h a K ết q٧a la : ĩ٠٠({'١)

ا.لاا

0 (>

ﺎﻛ ١ ( ا -

ل

!

٠ ت

ﻦﻠﻋ<ا 0

ا '

٠0ل

-'-=٩

e jno.cﺎﻣ٠لأ6

آ ﺔ ﺑ ؛

=

،؛

eJ'''''dاﺀ

Lia، ý la hệ thống nầy kliOng cỏ tínli nhân quả (củng như khOng ổn định) va do vậy la hệ th،*j'ng khOng tlníc hiện dược

2.3 CÁC BỘ LỌC

Các bộ lọc (filter) có' th ế dươc mO tả dặc tin h th eo các tin h c h ấ t cila h ệ th ố n g , ch ắn g h ạn n h ư tuyê.n tin h , bâ't b iến , n h â n q u ả, ổ n đ ịn h,

.v.v Các bộ lọc cOn dược p h â n loại dựa vào d ạn g cUa d a p ứng t ầ n số M ộ t sO loại bộ lọc dược mô tả dưới d ày

(h؛ tliOng nàv cOn dược gọi la bò lọc

T ương tự , m ộ t bộ lọc được gọi là có p h a

tu y ến t ín h được tổ n g q u á t hóa (g e n era liz ed

lin e a r p h a s e ) h ay suy rộ n g nếu đ áp ứng tầ n

t:hương 2 : PHÂN TÍCH F 0 1 I E R 33 ẫ

’'؛"ﻼﻟاﻻ

٩٠١at hOa sẻ cO tri hoan nhOm là hàng sO Như vậy, các bộ ỉoc có pha tưyèư tinh hoậc pha tưyen tinh tĩược tOng

Cho qua mọi tần số

c

= ا

Một hệ thOitg dtíơc gọỉ là bọ lọc cho qna mọi tần sO' lallpass) nèu b٤ên độ cUa đáp ứng tần sO la hầng sO

ل(ا~ﻷ 6

t

< ا ٧ ا

la mOt sỏ' thưc và ى

troiĨg do

'

= ﺮﺋ(حو(ﺀ) :

MOt till dư cho bo loc cho qna moi tần sO là he thỏ.ng cO dap Oíng tần sO

'لل

0 6-1

>

1-u(nر؛ﻷ ﺀآل1

ب (

~ ﻻ ة(اا)

=)Đáp ứng XLing đơn VỊ cOa bộ lọc cho qua mọi tần sO này la : h(n

Các bộ lọc chọn lọc tần số

này bao gồm các bọ lọc thOng thấp (low-pass filter), thOng cao (high-pass), thOng ddi (bandpass) và chận dảl (bandstop), chUng dược

ng vOi nhưng khoang nOy dáp tfng tần sO' cO biên độ bằng 1 dược gọi la các dai thOng

0thong cO các tinh chat mong muOn blai loại hèn ke't nò'i tOng quOt la noi tiepا

1:)ílc bộ lọc tlaíOng dược ke't noi vOi nhau dể tạo ra nlỉ،:íng

Ịv cOn gọi la no، tOng Icascade}) va song song Ket ،،(,، t،ơi tang hai hẹ tliOng ti،vẻn tínli va bat biOn dược truth bav 0 Ihnh dưoi dảv

؛

h

llai hệ tlioitg sa،، kltJ gltep noi tầng tươitg dương VƠI n،ọt

٠ven tinh và bà't biOlt, cO dap Ifitg،،l،ẹ thong d،،y ،that chitg t

؛

l + 2 0 lo g íH ٠2(ej''''؛

2٧logiH ít١K١il = 2 (llo g ll-Ii(e

:

1

nho،،t ،-() ti،،h cl،ả t cb n g :،،

=

؟((')).ا(( )

Két itOi soitg s(j،ig l،ai Itệ thOng tuyelt tinh va bat biei، dư،;c triitli bay ơ

hi،،lt diíứi day

.

llai Itẹ thoítg sa،، klt، gltep song song tươitg dương vơ، n،ơt he thong t،،vèit

t> + It.^(it)،)duy ،tltat cO dap ،Yng x،،ng dơ،t VỊ : Itíti = h١

،؛

hiilt vá bitt bJe

.)

‘ Hz(e٠ + ل'') 6 ل(

11

= ''.

1 ( 0 vtty díip ،Yng tait so cua Itệ thong soítg song la : H(e٠

T h id ،،2.'ị.l : Cltep nOi tắng mọt bỌ lọc tltOng tliap vơi ،،tOt bỌ lọc thOitg cao cO the' diíợc SIÍ d،،ng dè thi.ỉc hiệỉi một bọ loc thOng dai

tiYơng ơ hinh 2.1.(c) cO tl،e diíơc thqc h،ệit bàng cdclt ghép nOl tầng bo lọc thOng tha'p cO tản sO cắt (-.2 với

؛ 1 ' fh، di bO lọc thOng dal

bỌ loc tliOng cao co tàn sO' cắt C١1 Tương t،.í bộ lọc cltdn dai ơ hinlt 2.1(d) cO the dược thực hiện bầng cách ghOp song soitg mỌt bộ'loc

iltOng thap cO tait sO cẩt (■>1 vớ، bọ lọc thOng cao cO tạ،t S( cát

Một hOii ket ،tOi khác clio các Itệ thOng thường dược t،m tlidy troitg các ،Yng dqng diều khtè.n la hệ thOng cO hồi tiè.p dược trtn h bay ơ

Innl، dươi dảy

y(n) và y(n) = íln

٠ ) Với w(n) = x(n) + g(n

phần ttệ.p sau dảy de' chiYng tO rằng dap ứng tần sO' cua hệ thô.ng

ل)٠6(1ﺀ ،tày, nè،j hiện hử،،, sẻ la

٠ f ( r v

ĩU

؛ g

l- F ( e J ٠ )G(eJ٤٠)

2.5 BIẾN BỔI FOURIER THỜI GIAN RỜI RẠC

Dáp ứng tần sỏ' cUa một hệ tho.ng tuyến tinh và bà't biến dược tim thâ.y bằng cách nhân h(n) với một hàm mù phức e ﺀي لﺀ và thực hiện ١ là'y tô'ng trên n Biè.n dol Fourier thoi gian rời rạc (DTFT: discrete-tim e Fourier transform) cUa một chuỗi, x(n), dược dỊnh nghĩa theo

-.-ﺀ

١ | Như vậy dap ứng tần sô cUa một hệ thống tuyến tinh và bâ't biê.n, -Híي ﻻ), là biê'n dổi Fourier thời gian rời rạc cUa dáp dng xung dơn vị h(n) Để cho biê'n dổi Fourier thời gian rời rạc cUa một chuỗi h iện hữu, tổn g trong phương tr in h (2.3)

phai hội tụ và d ến lượt diều này dOi hOi- x(n) phai là chưỗi khả tổng tuyệt dô'i : I 1 x(n) Ị : s < on

.ﻰﺑ لﺎﻨﺗ

نﻷو>ﻻ

i í a e

= ل'ا"

c،"e غ

")=

n) = u” u(n) lự! < 1 la : Xj(eJ)Thi du 2.5.1 : Biè.n dổi Fourier thoi gian rời rạc cUa chuỗi : x١

3ằng cdch sU dụng các chuồi cầp sO nhân, tOng này bằng : Xj (6لﻻ ) =

1 -a e ' và yêu cầu lui <1.

M 34 Chương 2 : PH ÂN TÍCH F 0 U R 1

1 -

X

a"e ' ح -

1+) أؤﻻ

6

ﻞﻟ

0

(غ-

=ﻸﻟ١ﺈﺠﻟا

’

«

-ت - غ)

“Bằng cấch thay dổi cắc giởi hạn cUa tống, ta có : Xg(eJ

٠ -ي ١ ا 1

ي ٦ ا

Nếu ا ى ا > 1 ا tổng nầy là : X2(eJ“) = -■ "-■1 ■ ■ "■■:■ ■ + 1 = _■■■

l a 6 1 - ى 6 لﺀه لاﻻ Như vậy Xi(n) : a” u(n) và X2(n ) = - ى" u ( - n - l ) cố cUng một DTPr Cho trước X(eJ") chuỗi x(n) có thế' dươc khôi phuc bằng cách sư dung DTFT nghich, X(n) = ^ f " X(eJ“ )eJ“d w (2.4)

1 á١u ( n l ! a l < l

ﺞ ﻟاا 3 - 1 l

؛ >

a " u ( -n -ll,t a

لﺀ'ل 1 - ae l

؛ <

a

؛ ٠ )

n + l ) a “u(n

(l-aéJ" )ع cos n ٥ ٠ j ( Tĩ6 (( 0 + ﺀ.)ﻻ) + 7tờ((J ؛ ٠ اار

Bảng 2.1: Một số cặp DTFT thông dt.ing

- : Gia sứ x(ế) chl bao gồm 1 xc،ng ơ tần sO C!) = COQ ; X(eJ") = ة(ة) C;)0)

Bằng cấch sử dung DTFT nghich, ta có : x(n) = ذ ( ١ X(eJ‘٠').eJ"^dto = ذ 6 لأ(آ ٧

Biển dổi Fourier thừi gian rời rạc cd tinh tuần hoần theo هو vơi chu ky lả 2ĩt : X(eJ") = ^ (ﺞﻟ'ا'د'ةاﺀ)

Tinh chất nầy dược suy ra trực tiếp từ định nghía cUa DTFT vả tinh tuấn hoần cUa các hằm mũ phức :

x ( e j («٠2٠ t ) ) : غ ح(لا) 6 -فﻵ(ﺊﺑﺔﻟﺎﺒﺗ ٤ x(n)e-J"٠٥e-J2'

") x(n)e-í"“ =X(eJ غ

=

Ị

؛

”٠2'

X(ejU

ه ﺀ-ﺀ

gian rời rạc

د-لﺀ, 271

Bẩng 2.2 Cốc tinh chất cUa D T ^

Chương 2 : PHÂN TÍCH FOURIER 35

Tính đ ối xứng

DTFT có một vài tính chất dối xứng mà ta có thẻ khai thác đè đơn giản việc tính toán DTFT và DTFT nghịch Các tính chất này được liệt kê trong báng sau,

x i n ) X(ê"')Thực và chắn

Tính tuyôn tính

Biên dbi Fourier thời gian rời rạc là một toán tứ tuyên tính Điều này có nghĩa là nếu Xi(e٠٠٠١) là DTFT cúa Xi(n) và Xjlẹ.'.) là DTFT

Tính tịnh tiến (hay dịch)

Tịnh tièn hay dịch một chuỗi theo thời gian sè ciản đèn kêt quá la nhàn DTFT cua chuối VỠI hàm mù phức (thành phản có pha tuyến

i)TKT

Đảo ngưỢc thời gian

Định ỉý nhân (phép chập tuần hoàn)

Cũng như đòì với các tính chát tịnh tiên (hay dịch) va điẻu ché, dịnh lý chập có dịnh ỉỹ đối ngầu và định lý dối ngầu phát bieu ráng : phép nhàn trong miền thời gian tương ứng vỡi phép chập (tuần hoàn) trong miền tần số ;

x (n ٠y(n) = ؛ ؛ ؛٠ L :í - i - Ị ’' X(eJ٥)Y(ệ.■‘ ٥’)d0

Dịnh lý P arseval

Một hệ quá cua địuh lý nhân là định lý Parseval, ^ Ịx(n)| = — f Ịx(e-٠‘^)Ị dí.)

Định lý Parseval còn được gọi là định lý bảo toàn nâng lượng do định lý này phát bỉểu rằng toán tứ DTFT báo tồn nâng lượng khi di

từ miền thời gian sang miền tần số

2.7 CÁC ỨNG DỤNG

Trong phần này ta sẽ khảo sát một vài ứng dụng cúa DTFT trong phân tích tín hiệu thời gian rời rạc Các ứng dụng này bao gồm :٠ việc tìm đáp ứng tẩn số của một hệ thống tuyến tính và bất biến, hệ thống này được mô tả bởi một phương trình sai phân; việc thực hiện phép chập, việc giải các phương trình sai phân có các diều kiện ban đầu bằng không và việc thiết kế các hệ thống khả đảọ

Các đãc tính tuyến tính và tịnh tiến cúa DTFT cỏ thê được sử dụng để biểu diền phương trình sai phân này trong miền tần số như

y(n) = 1.3433 y(n - 1) - 0.9025 y(n “ 2) + x(n) - 1.4142 x(n - 1) + x(n - 2) Đáp ứng tần sô có thể được tìm thấy bằng cách kiểm tra h(n) như saụ không cần giải phương trình sai phân :

H(e-= (^ ٠ ؛' - 1 - 1 - 41420 ·’·*+e ^ ٠٠

l - 1 3 4 3 3 e '■ 0 9 0 2 5 + “؛éj^^' Lưu ý là vấn đề này có thế dược giải quyết theo hướng ngược lạị Thí dụ với một hàm đáp ứng tần sô cho trước, chẳng hạn như

= - £ 1 ؛„ -^

2 - e 0 5 + ٠٠٠ e ؛،" ٠ Phương trình sai phân thực hiện hệ thống này có thế được tìm thấy một qách dề dàng Trước tiên ta chia tử số và mầu sò cho 2 và viết lại đáp ứng tần số như saụ

Thí du 2.7.2 : N ếu đáp ứng xung đơn vị của một hệ th ốn g tuyến tín h và bất biến là : h(n) = a ٠'u(n)

ta hãy tìra đáp ứng của hệ th ốn g đô.i với tín hiệu ngõ vào x(n) = p٠١ u(n) trong đó i a l < 1, Ipl < r và ơ =؛ ị؛ Do tín hiệu ngõ ra của hệ thống là phép chặp của xin) với h(n) y(n) =: h(n)^ xín)

DTFT ciia y(n) là ; Y(ej'١» - HíeJ‘M.X(e-''M = -L · —

1 - a e 1 ٠ ؛' - P e ٠j"١

Như vậy, tất cả những gì cần phái thực hiện ở đây là tìm DTFT nghịch của Y(ế١).

Bằng cách khai triển Y(e ٠١ ؛ ) ta có : Yíe■’“ ) = - r - ì - :— - — ^ + — - - —

(1-ae■ j“ )(l~ p e ^٤”) l - a e - ١ ١٠ ' 1 - Pe J٠١ trong đó A và B là các hằng số mà ta cần phài xác định Bằng cách đặt mẫu sò chung cho vê phải cúa khai triẽn trên ta được.

_ 1 ^ (A 4-B )-(A P4-Ba)e ؛ (1 -u e ( 1 - a e J")(f-pe ^،'١)

và bằng cách đồng nhất các hệ sổ, các hằng số A và B được tìm thấy bàng cách giái cảp phương trình saụ

؛=

) Lấy DTFT nghich ciia Yíệ') ta đươc ; y(n

^

= '.)

‘

■؛

Do đó ; Yíe

١

؛ ٥ ;

2.7.3 G iải phưcdig trin h sai phân

Trong chương 1 ta đã khảo sát các phương pháp giải phương trình sai phân trong miền thời gian DTFT có thế được sử dụng đế giải các phương trình sai phân trong miền tần số với các điều kiện ban đầu bằng 0 Thú tục clú đơn thuần là biến đổi phương trình sai phân sang miền tần số bằng cách lấy DTFT cho mỗi số hạng của phương trình, giải để tìm số hạng được yêu cầu và lấy DTFT nghịch.

Thí du 2.7.3 : Giải để tìm y(n) trong phương trình sai phân tuyến tính hệ số hàng sau với giá sử các diều kiện ban đầu bằng 0,

y(n) - 0.25y(n “ 1) = x(n) - x(n - 2) với x(n) = ỏ(n).

Trước tiên ta lấy DTFT của từng số hạng trong phương trình sai phân : Y ( e ^ 0 2 5 - ('؛؛e"^ ١ ؛' Y(ê٥١) - X(ê“) - X(ê؛^)

Nghịch dảo của 1 hệ thống có đáp ứng xung đơn vỊ h(n) là 1 hệ thống có đáp ứng xung đơn vỊ g(n) cho bởi : h(n) g(n) = ồ(n)

Dưa vào đáp ứng tần số ta dễ dàng thấy rằng nếu nghich đảo của Híê“ ) hièn hữu, nghich đảo này bằng : G(ê“ ) = — - —

H(ê“ ) Tuy nhiên do không phải tất cả các hệ thống đều khầ dảo hoặc nếu nghịch đảo của một hệ thống lúện hừu, hệ thống nghịch dả؛o có thể không có tính nhân quả Thí dụ mạch lọc thông thấp lý tưởng ở thí dụ 2.2.3 không có hệ thống nghịch đảọ

!) hifii hạn ؛

ng đơn vị có ch،ều 'la اا

١ 5 ứng

1 +

6e Jf' + 3e

=

) ١

؛ cac gia tri cUa hin : H(ej

ل''ﺀ'' 0 ) أ 2 ( أ ا -

3 6 + ) 1 - ١

ة ( ا 6 + ) ١ ( ا 6

؛

lề

و " ﺀ ''=

٠ ) ج ١ ( ا 1٤

l

١

ل 'ا 1 + he

= ا ' ﻢﻟ ( ل 1 nèn ' آ ٠ ا''

ر إ ﻢﺗ

وأ"'

i j e -

ا

; 1 : ا

“ ')

?

l h(n)t )=

١

' Voi hi) thfjngnav, dap ứng tắn SỎ'la H (e ٠

اآ)ا

f ì ]][

- | تا ٠

ث ' ٠ اﻻا e

—

ﻖ ﻋ إ ) ةااا ( ا-ل I' h thay dôi cac gidi hạn cùa tòng sao cho giới hạn hái dãu \ 01 n : 0 ta có

}

3 ا 0

ل ر 3 ا

،-ﺄ ﻘ ﻟ 0 n

"

ا أ ﺎ ﻤ ﻠ ﻳ ( ' ا ٠،٠

ﺀ ا ٠ -

Sư dụng cac chiiOi cap sô nhan ta cO : ﻻ(ج’٤ا) =

ب ﻻ ﺀ ' ا ا3

2.2 Mỏt he thOng tt.yến tinh bât biẽ.n khi nhàn t٤n hièu ngở vào x(n) tao ra tin hièii ngO ta như saií : y(n) = - ﺢﻟ- I x(n - k)

ﺎ ﺑ ﺎ ﻃ )

Tim ddp ứng tấn so cUa hệ thô.ng nay

Nẽu tin h٤ e٧ ngO vao xin) = 6<nJ theo định nghJa daا) ling can tim la dap ứng xung don VỊ h(n٠

ا ٠ لﺀ

6

ﺀ ٠ ة ٠ حاﺀ'

L ۴ 1

sin r(n -l)7r/2l Tim tin hièu ngõ ra nê.u dáp ١^ g xung dơn vi cUa he thông la : h(n) = 2 -

٠ ) ا < ا ٠

la h i ( n )

(?>c < از ا ة π

như sau ٠١ ﺔﻟﻷ ( 11

ta có th ể suy díẽn ra bieu thilc cho H(eJ‘)J theo ,

ح

= نﺀ

Oo h ín l = 2 h i( n - l> vởi

2 h i ( n - l ĩ e-

غ

" " =h(n)e٠Jغ

؛ ا(؛)ا

bo và tin h iệu ngõ ra đơn thuần là

0

ا bl

Vì I í ٠

2

4 ٠

I

π ة {■)

ت

)

2.4 Tlni biên độ, pha và tri hoân nhOni ct'،a một hệ thông cố đáp ứng xung đơn vị là : h(n) = ^n) - 'ttồ(n - 1) trong đố a ỉà sò' thực

1

a co sto + ja s in to

= دﺀا 1

a e = <Đáp líng tắn số cUa hệ thỏ.ng n ả y la : H (e ’a١

j (؛

2tiCOS ىؤ + 1

= ' ﺀﺞﻟ

؛

“ 1 غﻼﻟ).(

1

a e (

=

" ) (

2

=

H ( e (').H ا ٠ ' س ( ﻻ

_ ١ ا ٠ ٠

١ (ạ) = a - a c o s o )

ة('ا 00

« - 2 ئ + 1

7Ĩ ل

0 ^<ﺀ:)ﺀ:

I j

vớt - ĩt < to < 0 T im d á p 1'fng x tin g d ơ n vị ciia h ệ th O n g n ã y

؛ "

với 0 < (0 < ^ và p ha la

ح -

f j e

ل

: eJ'''''dt:ĩ )

ﻻ (ﺞ ﻟا

ل

: ang t-a،'h lav tích phan : h ( n

؛ Đáp ưng xung dơn vi cO th ể dươc tim tha'v l

0271

ﺎ ﺳ٠

^2

ﻷ أ27

2.6 Goi h(n) la dấp ihíg xung dơn vỊ ciia mót bọ lọc thOng thá'p cớ tần sO cắt la {■)٢.

(a) Loại bộ lọc nầo cO dáp tfng xung dơíi VỊ la glnJ = í-l)"h(n)

p

πn

0

؛3n0

=n

د P

b (k )x (n - k(

phương trinh sai phân nầy cồn đưưc sứa dốỉ ra sao dể thi.rc hiện liệ thOng có dấp ứng xung dơn ^ la g (n )ﺀ ( -!)" h(n)

<a) Vđi g(n) = í -1 í'١h(n) ddp ứng tấn số (أ{€؛لا (,uan h^ ١ل VỚI dáp ứng tẩn số cUa bộ lọc thOng thap 11(0 ١١لﺀ như sau :

''"

l)''hín)e_J( -

غ ٠'؛"■'n)e

؛g٤

' ) :

G ie M

, n ﺀ

ا)-Ũ ( e J " ) = ٤ b ( i،) e J " '" '''= H ( e J ٠" ’'')

ﺀ اﺎﺑ

Cc' hang ،h ô n g tUí dược th a n h lạp b ằng cdch (lịi:h ll(،.''.') theo trục tẳn 9Ô'một lưcmg la ơ Nèu bang tb ó n g cua bộ lọc thông th ấ p la Itol

ﻷ

)1( -

=

ﻒ ﻠﻤﻠﻠﻟ

6VI

=)

١

-^

“(H(eJ

=)

٤ ( - l ۶ b ( k ) e ^ J k '٥

-

Các hệ số a<k) vằ b(k) déu am vơi k

lẻ-2 7 G ọ i ﺮﻟ ( ﻲﻧ ") la d ấ p ứ n g t ầ n s ố cUa m ộ t bộ lọc th ô n g th ấ p ly tư ỏ n g có t ầ n sO c ắ t la tOc

dược t r i n h b a y tr o n g h i n h dư ứ i d ầy ,

G iả s ử p h a cUa b ộ lọ c la t u y ế n t i n h , ٠h(w) = - n ٥ữ H ã y x á c đ ị n h x e m t a cố t h ể tim

Chương 2 : PHÂN TÍCH FOURIER 39 @

vậy không cỏ một٠giá trị nào cùa (·٠٠; đẽ (Oc < :: và không có tín hiệu ngò vào x(n) nào tạo ra được tín hiệu ngò ra y(n) đã cho.

2.8 Goi h(n) là đáp ứng đơn vi cúa môt bò loc thông thấp ỉý tương có tần sô’ cắt C)c =؛ — Hình dưới đây (trang kế) trình bày môt hè

4 thống tuyến tính và bất biến điíợc thành lập băng cách ghép noi tầng một mạch lọc thông thấp với hai bộ điều chế.

Hãy tìm đáp ímg tần số của toàn hệ thống,

Ta có thể sứ dụng hai cách sau để tìm đáp ứng lần sô cúa hệ thống

này VỚI cách thứ n h àt, ta lưu ý rán g do tín hiệu ngõ vào đưa đến ^ ĩ) ‘ ^ ^ - / /

)''

w (n ) - h ( n ) * Ị ^ í- lV ١ x ( n ) j = h ( k ) ( - l

í .í

٠

x (n - k ( ؛

'

h ( k )í - l ٦

٤ )

١ w ( n ) - - í - l )؛

dỏ y ( a ) - ( - l I١٧

Ị k

/

ta có

" '' ٠١ ) 1 -

= '■

٠

” )"

vào bèn trong tổng và sư dung đÃng thức f - 1 ٠١

) KÀng cách mang ( - ỉ

)

x ( n - k > - X ( - l ) h i ( k ) x ( n - k

‘ )؛^

l ( - ٠ )

h ( k ) ( - l ٤ ):^

١

,

u -k

Ị < K

<

0 các trường hợp khác

Việc dicu chè bàng

^ ٠٠٠٤

■ Tách ihứ hai đè xác định đáp ứng lẩn sò là lim đ áp ứng cùa hệ thòng đỏi với hàm inù phức x(nl = e

s e.'“" chính là tín hiệu ngõ vào cua hệ thò n g tuyến tm h và b ất h iế n

.

= ’

^.'؛

e

؛ ٠ ) ( -

H (e ٠ ٠

= ١

"

٠ '

e ٠ )

^ ^

١H(er٠ )' 1 - ٠

=

w tn ٠١ ) Sau cùng, với v(n) - ، - l

tách thứ n h ấ t

.

c = Tc/4, tìm đáp ứng tần sô cúa bộ lọc có đáp (؛>

2.9 Nếu h(n) là đáp ứng xung đơn vị cua một bộ lọc thông thấp lý tướng có tần sô cắt là

ifng xung đơn vị là g(n) = h(2n

.(

"

a có th^ sử dụng m ột trong hai cách sau đày dế lim đáp ứng tần ·Số của hệ thông Với cách thứ n h ả t ta lưu ý rằn g đ áp ứng xung dơn vị của bộ lọc

) 4 / sin(nT t

٠w ٠ ٠

t V4 là h u l l -

— -

= ٠ (؛)،

thòng th á p lý tường có tá n so cắt

n.t

، - ؛

٠ ١

٠

)2/

؛؛

١

’ Cách thứ hai đ ể giải bài toán nay là tìm đáp ứng tần sò cua hệ thố n g có dáp ửng xung đcm vị g(n) = h(2n), cho trước H(c

thống có đáp ứng xung dơn vị h(n) Mặc dù cách thứ hai có khó k h àn hơn cách thứ n h ấ t, cách này sè cho ta biểu thức tổng quát cùa dáp ứng tầ n số

٠

2

n chẩn (

١M١

/

١3

.١

Băng cách sừ dung dang thức ; 1 -r ( - 1 ) = < ta có th ê viết đ áp ứng tầ n sô như sau

;

| 0

n lẻ

'؛

“

■■"'l)"h (n )e( -٤i+'؛

“-■."

h(n)eG(e^“ ) = ỉ I ; h(n)e

' ]٠)

l + { - l[٤G(eJ“ ) = i

2

i X '

“ ١

’

irong khi đó SỐ hạng thứ hai bằng : - X ( - 1 ) " h ( n )e - J

là đáp ứng tầ n số cùa bộ lọc th ô n g th ấ p có tầ n sô cắt t٥c = TƯ4, ta cỗ cùng k ết quả với cách )

٠a) Tìm đáp ứng xung đơn vị h(n