cơ học hệ chất điểm vật lý 1 đại học bk hcm

2 1 2 1 ϑ ϑ ϑ Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm của vật rắn chuyển động cùng quãng đường, cùng vận tốc và cùng gia tốc với khối tâm.. Vd1: Cho 1 thanh thẳng khối lượng

Trang 1

Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN

3.1.1 Định nghĩa: Điểm G được gọi là khối tâm của hệ chất điểm nếu:

∑m lri = 0

:

i

lr

là vectơ khỏang cách từ điểm G đến chất điểm thứ i

• Vị trí khối tâm G:

Vị trí khối tâm G được xác định bằng bán kính vectơ rr G

- Trường hợp hệ chất điểm:

( i)G G

i i G

i i

i i G i i i

i G

i

r M r m

l m r

m r

m

l m r m r

m

l r

r

r r

r

r r r

r r

r

=

+

=

⇔

+

=

⇔

+

=

M

r m

r G = ∑ i i

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

∑

M

z m z

M

y m y

M

x m x

i i G

Vd: Đặt 3 chất điểm khối lượng m tại 3 đỉnh tam giác đều cạnh a

4

3 4

2

3 2

0 2 2

2

3 2 1

3 3 2 2 1 1

a m

O m O m a

m y

m

a m

a m O m

m m m

x m x m x m x

o

o o o

G

o

o o

o

G

=

+

=

•

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

+

=

+ +

=

•

=> G nằm trên đường phân giác ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ 4

3 ,

0 a

G

- Trường hợp chất điểm là 1 vật rắn:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⇒

∫

dm z M z

dm y M y

dm x M x

G

1

∫

= r dm M

rrG 1 r

y

0

x a

cuu duong than cong com

Trang 2

- Mật độ khối lượng dài: dm dl

dl

dm

λ

λ = ⇒ =

- Mật độ khối lượng mặt: ds

ds

dm

σ

σ = ⇒

- Mật độ khối lượng mặt: ρ ϑ

ϑ

d

dm

⇒

=

+ Nếu 1 vật rắn có khối lượng phân bố đều thì: m hs

s

m l

m

=

ϑ ρ σ

+ Nếu vật rắn là sợi dây phẳng trên trục x thì: dl= dx

+ Nếu vật rắn là cung tròn, bán kính R thì ta dùng tọa độ cực (R,ϕ)

x

y arctg y

x

r = 2 + 2,ϕ =

ϕ

d R

dl =

⇒

+ Nếu vật rắn là mặt phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng:

dy dx

ds=

+ Nếu vật rắn là dạng phẳng giới hạn bởi cung tròn:

ϕ

d dr r

ds= + Nếu vật rắn là mặt cần bán kính R thì: ds=R2sinθ.dθ.dϕ

Tọa độ cầu:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

θ

ϕ θ

cos

sin sin

cos sin

r z

r y

r x

Khi tính hết mặt cầu: = ∫π θ θ2∫π ϕ

0 0

2 sin d d R

S

+ Nếu vật rắn dạng khối lăng trụ hay lập phương:

dz

dy

dx

dϑ =

+ Nếu vật rắn là khối cầu: dϑ =r2drsinθ.dθ.dϕ

3 3

0

2 0 0

2

3

4 2 2 3

sin

r

V

R

π π ϕ

θ θ

=

Vd1: Cho vật rắn là mặt phẳng OBC (OB = a, OC = b) khối lượng m phân bố đều Tìm G?

a dx

x a y

dx x ab

dy dx x M ab M dy

dx m

x

a x

a b a

x a

b y a

VR G

3

2

1 1

0

2 2 0

0

0 0

=

•

∫

=

σ

• Tương tự: y =1b

Với

⎩

⎨

⎧

=

ϕ

sin

cos

r y

r x

x

dy

dx

y

Trang 3

Vd2: Cho vật rắn khối lượng m là ¼ vòng tròn (O,R) Xác định G?

R R

d dr

r M R M r

d dr r M x

R

x ds G

424 , 0 3

4 sin

3 4

cos

4 cos

1

2 0

3 2

2 0 0

2 2

≈

=

π

ϕ π

ϕ ϕ

π ϕ ϕ

σ π

π

3 2 1 3 2 1

R r

d dr r M y

ds

4 sin

=

3.1.2 Chuyển động khối tâm G

∑

=

i i

i G

G

i i

i G

G

i i G

F M a m M dt

d

a

P M

m M dt

r d

r m M

r

r r

1 1

1

ϑ

ϑ ϑ

3.2 Động lực của hệ chất điểm và vật rắn:

3.2.1 Định nghĩa:

= P i m i i M G

Pr r ϑr ϑr

3.2.2 Định lý:

dt

M d dt

P

d

G

r r

.ϑ

3.2.3 Định luật bảo toàn động lượng:

- Bảo toàn toàn phương: ∑Fr = ⇒Pr =hs

0

- Bảo toàn 1 phương: ∑Fr ≠ ∑Frx = ⇒Prx =hs

0 ,

0

Vd1:

∑Fr =m1gr+Nr1 +m2gr+Nr2 =0

2 2 1 1 2 2 1

1.ϑr ϑr ϑr' ϑr'

r r

m m

P

P TVC SVC

+

= +

=

Vd2:

V M m V M

m

P

P TB SB

r r

+

= +

=

ϑ

) (

Vd3:

V M m

P

r r

r

+

=

ϑ

0

2 1

Trang 4

Vd4: Bảo toàn 1 phương:

{ {

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

= +

=

' '

0 ,

0 0

V M m MV m

P P

F g m F

SVC TVC x

x

r r r

r r

r

ϑ ϑ

3.3 Vật rắn chuyển động tịnh tiến

3.3.1 Định nghĩa

G B

A

G B

A

a a

a

G G B

B A

A

r r

r

r r

r

=

2 1 2

1

ϑ ϑ

ϑ

Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến thì mọi chất điểm của vật rắn chuyển động cùng quãng đường, cùng vận tốc và cùng gia tốc với khối tâm

3.3.2 Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến

∑

W ñ tt ñ i i i G

2

1 2

1 ϑ2 ϑ2

3.3.3 Phương trình động lực học của vật rắn chuyển động tịnh tiến

∑Fr =M arG

3.4 Vật rắn chuyển động quay quanh 1 trục U

3.4.1 Định nghĩa

β β

β

ω ω

ω

θ θ

θ

=

B A

G A

B A

Khi vật rắn quay quanh 1 trục thì mọi chất điểm có cùng 1 góc

quay, cùng vận tốc góc và cùng gia tốc góc

3.4.2 Động năng của vật rắn quay quanh 1 trục U

2 2

2 2 2

2

1 2

1

i i i

i ñ

Δ

Đặt I =∑m i r i2 : moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục U

2

1 ω

Δ

Δ =

⇒W ñ I

Với r i : khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục U

3.4.3 Moment quán tính của hệ chất điểm đối với trục quayU

2

i

i r m

IΔ =∑

3.4.4 Moment quán tính của vật rắn đối với trục quayU

∫

=

Δ

VR

r dm

I 2

Trang 5

Vd1: Cho 1 thanh thẳng khối lượng M, dài L, khối lượng phân bố đều Tính moment đối với trục quayU vuông góc với thanh và đi qua điểm giữa

12 24

24

3

2 3

3

2

3 2

2

ML L

L L

M

x L

M x dx I

L L

L

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

Δ

−

∫λ

+ Nếu chọn gốc O đối với trục U’:

2 0

3

1 3

' M L x ML

I = L =

Δ

+ Nếu chọn trục U2 lệch góc α với thanh:

α α

0

2 2

3 3 sin sin

L

M x

dx L

M

+ Nếu chọn trục U3 song song với thanh:

2 2

2

I

VR

=

Vd2: Cho 1 vành khối lượng M, bán kính R, U vuông góc vành qua O

2 2

.R R dm M R dm

I

VR

=

Vd3: Đĩa đặc phân bố đều

2

4

2 2

0 0

4 2

2 0 0

3 2

2

R M r

R

M

d dr r R

M

r d dr r I

R R

=

Δ

∫

π

ϕ π

ϕ σ

Vd4: Đĩa bán kính R1,R2

1

2 2

4 1

4 2 1 1

1 2

2 0

3 1 1

1 2

2

2 4 4

2

1

R R M

R R R R

M

d dr r R R

M I

R

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

−

Δ

π π

ϕ π

π

Trang 6

- Thanh dài: 2

12

1

ML

IΔ =

- Vành trụ rỗng: IΔ = MR2

- Đĩa đặc, trụ đặc: 2

2

1

MR

IΔ =

3

2

MR

IΔ =

5

2

MR

IΔ =

3.4.5 Định lý Steiner-Huyghen

Trục U đi qua G

Trục U’//U và cách U 1 đoạn d

2 ' I Md

IΔ = Δ +

Vd: Thanh rắn:

2

2 2

'

3

1 2

12

1

ML

L M ML

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

Δ

2 2

2 ' MR MR 2MR

Lưu ý: Moment quán tính có mang tính chất cộng

( )

Δ

+ Δ

= Δ

+M m M

I

'

Vd: Hệ 1 niềng M, 6 căm m:

2 2

2

2 1

3 3

1 6

6

MR MR

MR

I I

I

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

+

=

Trang 7

+ Nếu khoét đi 1 lỗ sẽ trừ đi:

M: khối lượng đĩa khi chưa khoét

m: Khối lượng đĩa bị khoét

M’: khối lượng đĩa còn lại (M’ = M - m)

R

R m m

x

m M r

R m

M

G

6

1 2

0 3

1

4

2 2

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

+

=

⇒

=

π σ

Moment quán tính là giá trị vô hướng dương, (là giá trị số học)

3.4.6 Moment lực

3.4.6.1 Moment lực Fr

đối với điểm O

F x r

M rF O r r

r/ =

đối với trục U

=

Δ

/

F

M r r

hình chiếu M rFr/O

lên trục U

của vật rắn đối với trục U

Tác dụng lên vật rắn 1 lực Fr

để vật rắn quay quanh U

Lực Fr

được phân thành 3 thành phần:

z n

F

Fr r r r

+ +

=

:

z

Fr

làm vật trượt trên U, không làm vật rắn quay

:

n

Fr

kéo vật khỏi U, không làm vật rắn quay

:

t

Fr

làm vật rắn quay quanh U

=> chỉ có lực tiếp tuyến mới làm vật rắn quay quanh U

t

M

t

r r

r

r = (r : khoảng cách từ U đến M)

=

Δ

/

F

M r r

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ Điểm đặt: tại O

Phương: ⊥ mp tạo bởi ( )rr, Fr

Chiều: rr ,,Fr Mr tạo thành U diện thuận

Độ lớn: M =r F.sinα

⎭

⎬

⎫ Moment lực = 0

= 0 cắt U // U

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⇔

F F F

r r

r 0

Trang 8

3.4.6.4 Moment tổng ngọai lực của vật rắn đối với U

∑

=

∑F Δ r i x F ti r i xm i a ti

Mr r r r r .r

/

= m i rri x(βri x rri) m i (rri.rri).βri (rri.βri).rri

= 2.βr βr

I r

m i i

3.4.6.5 Phương trình động lực học cơ bản của vật rắn quay quanh U:

βr

r

r/ Δ

∑ Δ = I

M F

3.4.7 Moment động lượng Lr

3.4.7.1 Moment động lượng Lr

đối với O

i i O

i r P

Lr r r

3.4.7.2 Moment động lượng đối với U

=

Δ

/

Lr

hình chiếu

Δ

O

Lr/

3.4.7.3 Moment động lượng của vật rắn đối với U

∑

Δ L i r i x p i r i xm i v i

Lr r r r r .r

/

=∑m i[rri x(ϖri x rri)]=∑m i[(rri.rri).ϖri −(rri.ϖri).rri]

=∑ 2.ϖr = Δ.ϖr

I r

m i i

Ghi chú: Mr∑Fr/Δ

của vật rắn đối với trục U thì cùng phương, chiều với βr

Δ /

Lr

của vật rắn đối với trục U thì cùng phương, chiều với ωr

3.4.7.4 Định lý moment động lượng

Δ Δ

dt

d I dt

L

d

r

r r r

r

β ϖ

3.4.7.5 Định luật bảo tòan moment động lượng

Khi Mr∑Fr/Δ =0 thì Lr/Δ =const

Vd: Ghế Giucopxki (người đi từ mép đĩa đến R/2)

2

2 2

1 2 2

/ /

4 2

1 2

1

2 1

ω

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⇔

= Δ

Δ

R MR MR

MR MR

L

Lr r

( :rr vectơ vị trí) i

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ Điểm đặt: tại O

Phương: vuông góc mặt phẳng tạo bởi ( )rr ,i Pri

Chiều: rri,Pri,Lr/O

tạo thành U diện thuận

Độ lớn: Lri/O =r i.P i sinα

Trang 9

Vd: Viên đạn chạm thanh M, L:

0

/ =

∑F Δ

Mr r thì Lr/Δ =const

' ' 3

1 0

3

1 2 2 ϑ ML2 mL2ω

L mL ML

L

L TVC SVC

+ Ω

= +

+

=

3.5 Vật rắn chuyển động lăn không trượt

3.5.1 Định nghĩa:

¾ Định nghĩa 1: Khi vật rắn lot là vừa chuyển động tịnh tiến theo khối tâm G và vùa chuyển

động quay quanh G

Tịnh tiến

⎩

⎨

⎧

G

ar

r

ϑ

⎩

⎨

⎧

β

ω

r r

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⇔

R dt

d R a

R dt

d R

R B A G G AB

G

β ω

ω

θ ϑ

θ

r

'

2 1

• Vectơ vận tốc của chuyển động lot tại G, A, B, C

- Xét chuyển động tịnh tiến: ϑrG =ϑrA =ϑrB =ϑrC

- Xét chuyển động quay quanh G:

quay A A lot

A/ ϑ tt ϑ .

ϑr = r = r

⇒

Vậy:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

G G C

G B

G A

ϑ ϑ

ϑ

ϑ ϑ

r r

r

r r

0 2 2

¾ Định nghĩa 2: Lot là quay quanh tâm quay tức thời

R

G lot

ϑ ω

ϑ = :0 =

3.5.2 Động năng của vật rắn Lot:

2 2

1 2

G G ñqG

ñttG lot

W = + = +

3.5.3 Phương trình cơ bản ĐLH của Lot:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

Δ

∑

βr

r

v r

M

a m F

F

G

Trang 10

3.6 Va chạm

3.6.1 Va chạm đàn hồi

TVC m1ϑr1,m2ϑr2

SVC m1ϑr1',m2ϑr2'

Trong va chạm hoàn toàn đàn hồi thì động lượng của hệ và động năng hệ bảo toàn

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

= +

=

+

= +

→

=

2 ' 2 2 2

' 1 1

2 2 2

2 1 1

' 2 2

' 1 1 2 2 1 1

2

1 2

ϑ ϑ

m m

W

m m

P

ñSVC ñTVC

SVC TVC

r r

r

• Nếu va chạm xuyên tâm:

' 2 2

' 1 1 2 2

1

m + = + (v1,v2,v1’, v2’ là các giá trị đại số)

2 1

2 1 '

1

ϑ ϑ

m m

m

m m

+

+ +

−

=

2 2 1

1 2 1 2 1

1 '

2

ϑ

m m

m

m m

m

+

− + +

=

⇒

Vd:

2

2 2 2

' 2 2

2 2

' 2 ' 2 2

2

1 3

1 2

1 3

1 2

1

3

1 3

1

l ml ML

W

ml ML

l ml ML

L L

ñSVC ñTVC

SVC TVC

ϑ ω

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

= +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⇔

=

•

+

= +

⇔

=

• r r

3.6.2 Va chạm mềm

Trong va chạm mềm chỉ có động lượng của hệ bảo toàn, động năng của hệ không bảo toàn Động năng trước va chạm trừ đi động năng sau va chạm bằng nhiệt lượng làm vật bị biến dạng

( 1 2) '

2 1 1

1ϑr mϑr m m ϑr

m + = +

• Nếu va chạm xuyên tâm:

( 1 2) ' 2

1 1

m + = + (v1,v2,v1’, v2’ là các giá trị đại số)

Chú ý chọn chiều (+)

(1)

,

2 1

2 2 1 1

ϑ

ϑ ϑ

r

r r

m m

+

⎩

⎨

⎧

SVC

TVC

Trang 11

Vd1:

1 1 1 1

m r+ r = r

2 2 2 2

m r+ r = r

βr

v

:M /0 I/0

M ∑F =

Chọn chiều (+) là chiều chuyển động của m1,m2

là chiều quay ròng rọc (U hướng vào)

M m

m

m m g a R

a MR R

T T

a m T g m

a m T g m I

R T R T

a m T g m

2

1

2

1 2

2 2

1

2 2 2

1 1 1

2 1

2 2 2 2

1 1 1 1

+ +

−

=

⇒

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= +

−

=

−

= +

−

⇔

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= +

−

=

−

= +

−

⇒

β

Vd2:

M m m

km m g a

+ +

−

=

2 1

1 2

Vd3:

α α

cos sin

:

cos sin

:

1

2 1

1

2 1

k m

m m

k m

m m

−

>

↓

+

>

↑

M m

m

m k

m g a m

M m

m

k m

m g a m

2 1

cos sin

:

2 1

cos sin

:

2 1

1

2 1

1 2 1

+ +

− +

=

↑

+ +

+

−

=

↑

α α

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	397,64 KB