Giáo trình môn Lý thuyết và xác suất thống kê toán

Nhƣợc điểm: Theo định nghĩa thống kê của xác suất, ta không thể xác định chính xác xác suất của một biến cố vì không thực hiện phép thử vô hạn lần đƣợc. Ta lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tìm xác[r]

2

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết xác suất và thống kê toán học là một ngành toán học ra đời khoảng thế kỷ XVII, đối tượng nghiên cứu của nó là các hiện tượng ngẫu nhiên, các quy luật ngẫu nhiên thường gặp trong thực tế

Lý thuyết xác suất và thống kê phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ XX, xác suất thống kê được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, trong đó

có kinh tế, xã hội, điều khiển học, y học Do đó, ngày nay lý thuyết Xác suất và thống kê toán đã được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các ngành đào tạo trong các trường Đại học và Cao đẳng trong nước và trên thế giới

Để kịp thời phục vụ việc học tập của sinh viên, Khoa cơ sở - Trường Đại học Kinh tế Nghệ An đã tổ chức biên soạn cuốn giáo trình

Lý thuyết xác suất và thống kê toán Đây là giáo trình dùng chung cho

hệ Cao đẳng và hệ Đại học, dựa vào chương trình giảng dạy bộ môn Khoa học tự nhiên – Khoa cơ sở có thể lựa chọn nội dung giảng dạy phù hợp với trình độ của mỗi hệ đào tạo

Trong giáo trình này chúng tôi không đi sâu vào việc chứng minh những lý thuyết toán học phức tạp mà trình bày các kiến thức cơ bản

về xác suất và thống kê toán nhằm đảm bảo phần cơ sở toán học cho quá trình thu thập và xử lý thông tin kinh tế - xã hội sẽ được tiếp tục nghiên cứu trong các môn học khác

Giáo trình được trình bày gồm 8 chương:

Chương 1 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

Chương 2 Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất Chương 3 Một số quy luật phân phối xác suất thường gặp

Chương 4 Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều

Chương 5 Các định lý giới hạn

Chương 6 Lý thuyết mẫu

Chương 7 Bài toán ước lượng tham số

Chương 8 Bài toán kiểm định giả thuyết

3

Giáo trình "Lý thuyết xác suất và thống kê toán" đƣợc biên soạn lần đầu và trong thời gian ngắn nên chắc chắn giáo trình không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận đƣợc sự góp ý của bạn đọc để giáo trình ngày càng đƣợc hoàn thiện

Tác giả

4

Chương 1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

1.1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên và các loại biến cố ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên là một thuật ngữ để chỉ một phép thử hay một thực nghiệm hay một quan sát mà kết quả là ngẫu nhiên, không biết trước một cách chắc chắn Các kết quả có thể (ký hiệu là ) của phép

thử ngẫu nhiên gọi là các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp (biến cố sơ cấp)

1.1.1.1 Định nghĩa Tập hợp tất cả các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp

 gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu là: Ω

Số các biến cố sơ cấp của Ω ta ký hiệu là Card(Ω)

Ví dụ 1 1) Gieo một đồng xu là thực hiện một phép thử ngẫu

nhiên Các kết quả S = "Xuất hiện mặt sấp", N = "Xuất hiện mặt ngửa" là các biến cố sơ cấp Không gian mẫu là  = {S, N} Card() = 2

2) Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 6 mặt là thực hiện một phép thử ngẫu nhiên Các kết quả Mi: “Xúc xắc xuất hiện mặt i chấm” (i = 1, 2, , 6) là các biến cố sơ cấp Không gian mẫu là Ω = {M1, M2,

M3, M4, M5, M6} Card(Ω) = 6

3) Từ một hộp có 13 viên bi khác nhau ta lấy ra ngẫu nhiên 4 bi, thì hành động đó là thực hiện một phép thử ngẫu nhiên Mỗi kết quả lấy ra được 4 viên bi trong 13 viên bi là một biến cố sơ cấp Do đó không gian mẫu Ω là tập hợp các tổ hợp chập 4 của 13 phần tử Card(Ω) = 4

13

C = 715

1.1.1.2 Định nghĩa

Một tập hợp con A   được gọi là một biến cố ngẫu nhiên (biến

cố) Các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp   A được gọi là biến cố ngẫu nhiên sơ cấp thuận lợi cho A Biến cố A được gọi là xảy ra khi và chỉ khi xảy ra một biến cố ngẫu nhiên sơ cấp   A Như vậy A có thể

có, có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử

Biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử được gọi là

biến cố không thể, ký hiệu là 

Ant: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố”;

B: "Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 4";

C: "Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm bé thua 5"

là các biến cố ngẫu nhiên

Biến cố "Xúc xắc xuất hiện có số chấm lớn hơn 0" là biến cố chắc chắn

Biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6” là biến cố không thể

2) Một hộp có 13 viên bi trong đó có 5 viên bi xanh, 8 viên viên

đỏ Xét phép thử lấy 5 viên bi Các kết quả: A = "Lấy ra đƣợc 3 bi xanh, 2 bi đỏ"; B = "Lấy ra đƣợc 4 bi xanh, 1 bi đỏ"; C = "Lấy ra đƣợc

ít nhất một bi đỏ"; D = "Lấy ra đƣợc nhiều nhất 3 bi xanh" là các biến cố ngẫu nhiên Biến cố "Lấy ra đƣợc 4 viên bi màu vàng" là biến

cố không thể

1.1.2 Quan hệ giữa các biến cố

Giả sử A, B là hai biến cố của cùng một phép thử

1.1.2.1 Quan hệ kéo theo Ta nói rằng biến cố A kéo theo (hay

thuận lợi) biến cố B nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B cũng xảy ra

3) Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm trong một kho hàng có hai loại sản phẩm loại 1 và loại 2 Gọi A là biến cố chọn đƣợc 3 sản phẩm cùng loại; B là biến cố chọn đƣợc 3 sản phẩm loại 1 Khi đó B ⊂ A

6

1.1.2.2 Quan hệ đồng nhất Ta nói rằng biến cố A đồng nhất (hay

tương đương) với biến cố B nếu trong phép thử đó biến cố A xảy ra

khi và chỉ khi biến cố B xảy ra

Ký hiệu: A = B

Ví dụ 4 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc Gọi B là biến cố "con

xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là bội của 2 và 3”, thì khi đó B = M6 2) Thầy giáo chấm bài của 1 sinh viên và cho điểm theo thang điểm 10 Gọi A là biến cố sinh viên đó đạt điểm nhỏ thua 5; B là biến

cố sinh viên đó không đạt yêu cầu Khi đó ta có: A = B

1.1.2.3 Quan hệ xung khắc Hai biến cố A và B được gọi là xung

khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra khi thực hiện phép thử đó

Trường hợp ngược lại, nếu hai biến cố có thể cùng xảy ra trong

một phép thử thì được gọi là không xung khắc

Dãy các biến cố A1, A2, …, An là dãy các biến cố xung khắc từng đôi nếu Ai, Aj (i  j, i, j) xung khắc

Ví dụ 5 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc Các cặp biến cố Mi

và Mj (i ≠ j), M1 và Ant, Ac và Al là xung khắc với nhau

2) Hai người cùng bắn vào một mục tiêu Gọi A là biến cố "người thứ nhất bắn trúng"; B là biến cố "người thứ hai bắn trúng" Khi đó A,

B là hai biến cố không xung khắc, vì khi thực hiện phép thử là cho hai người cùng bắn vào mục tiêu thì người thứ nhất và người thứ hai có thể cùng bắn trúng nên A, B có thể đồng thời xảy ra

3) Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi trong một hộp có 3 bi xanh, 4 bi vàng, 5 bi đỏ

Gọi A1 là biến cố chọn được 2 bi xanh; A2 là biến cố chọn được 2

bi vàng; A3 là biến cố chọn được 2 bi khác màu Khi đó A1; A2; A3xung khắc từng đôi một

1.1.2.4 Quan hệ đối lập Hai biến cố A, B được gọi là đối lập với

nhau nếu trong phép thử đó A xảy ra khi và chỉ khi B không xảy ra

Ký hiệu biến cố đối lập của biến cố A là A

Ví dụ 6 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc Al = A c

7

2) Bắn một viên đạn vào mục tiêu Gọi A là biến cố: "bắn trúng mục tiêu", A là biến cố "bắn trƣợt mục tiêu" A và A là hai biến cố đối lập với nhau

3) Chọn ngẫu nhiên hai viên bi trong một hộp có 3 viên bi xanh, 4 viên bi vàng và 5 viên bi đỏ Gọi A là biến cố 2 viên bi đƣợc chọn ra

có ít nhất 1 viên bi màu xanh Gọi A là biến cố 2 viên bi chọn ra không có viên bi màu xanh

1.1.3 Các phép toán về biến cố

Giả sử A, B là hai biến cố của cùng một phép thử

1.1.3.1 Tổng, tích của hai biến cố

Tổng (Hợp) của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A + B

(hoặc A  B), biến cố A + B xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra

Tích (Giao) của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là

AB(hoặc A  B), biến cố AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A

và B đồng thời xảy ra

3) Một sinh viên chọn ngẫu nhiên một câu hỏi Gọi A là biến cố

"đƣợc câu lý thuyết", B là biến cố "đƣợc câu khó" Khi đó AB là biến

cố "đƣợc câu lý thuyết khó"

1.1.3.2 Hiệu của 2 biến cố Hiệu của biến cố A với biến cố B là

một biến cố, ký hiệu là A\B, biến cố A\B xảy ra khi và chỉ khi biến cố

A xảy ra nhƣng biến cố B không xảy ra

Ví dụ 8 1) Xét phép thử gieo một con xúc xắc, ta có: M2 = Ant\Al,

Ant\Ac = M5 + M3,Ac\Ant = M4 + M6

2) Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi trong một hộp có 3 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng, 5 viên bi màu đỏ Gọi A là biến cố chọn đƣợc ít nhất 1 viên màu xanh; B là biến cố chọn đƣợc 2 viên bi khác

2) Cho A là một biến cố bất kỳ Khi đó {A, Ā} là hệ đầy đủ

3) Gieo 2 hạt giống, gọi Ai là biến cố có số i hạt nảy mầm (i = 0, 1, 2) Ta có {A0,A1,A2} là một hệ đầy đủ

1.1.4 Các tính chất phép toán về biến cố

Các phép toán biến cố A + B, AB, A tương ứng với các phép toán

tập hợp nên chúng có tính chất tương tự

i) Giao hoán: A + B = B + A; AB = BA;

ii) Kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C; A(BC) = (AB)C = ABC;

iii) Phân phối: A(B + C) = AB + AC;

iv) Lũy đẳng: A + A = A, AA = A;

v) A     ; A A; A  A;A  ;

vi) A = A;

vii) Luật đối ngẫu De Morgan: A B = A B; AB = A B  ;

viii) A\B = AB. Đặc biệt nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì

A\B = A và B\A = B

9

1.2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Xác suất của biến cố là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết xác suất, là đại lƣợng xác định (về số lƣợng) đƣợc dùng để biểu thị cho khả năng xảy ra của một biến cố trong một phép thử Biến cố nào có khả năng xảy ra nhiều hơn thì gán cho giá trị lớn hơn, khả năng xảy ra nhƣ nhau thì gán cho giá trị bằng nhau

Qua quá trình phát triển của lý thuyết xác suất và tùy theo đặc điểm của từng phép thử, chúng ta có những định nghĩa về xác suất nhƣ sau:

1.2.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất

1.2.1.1 Định nghĩa Xét một phép thử, không gian mẫu

 1, 2, n

Giả sử các biến cố sơ cấp 1, 2, ., n có đồng khả năng xảy ra

(khả năng xảy ra của các biến cố đó khi thực hiện phép thử là nhƣ nhau)

A là một biến cố ngẫu nhiên bất kỳ, m = Card(A) là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A xảy ra

Khi đó xác suất để biến cố A xảy ra là: P(A) = m Card(A)

ii) Vì Card() = 0 và Card() = n  P( ) 0, P() = 1.

Ví dụ 1 1) Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất Tìm xác

suất của các biến cố:

A là biến cố "xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn";

B là biến cố "xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ thua 3"

Giải Gọi Mi là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là i (i = 1, 2, …, 6)

10

Khi đó không gian các biến cố sơ cấp đồng khả năng có 6 phần tử:

 = {A1, A2, A3, A4, A5, A6}

Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là 3 gồm {A2, A4, A6}

Do đó xác suất để biến cố A xảy ra là: 3 1

  

Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B là 2 gồm {A1, A2} Do

đó xác suất để biến cố B xảy ra là P(B) = 2/6 = 1/3  0,333

2) Một lô hàng gồm 15 sản phẩm trong đó có 12 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tính xác suất trong các trường hợp sau:

b) Gọi B là biến cố có hai sản phẩm tốt được lấy ra

Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B là 2

1.2.1.3 Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa cổ điển về xác suất

Ưu điểm: Khi tìm xác suất của biến cố ta không cần phải tiến hành thực nghiệm (phép thử chỉ tiến hành một cách giả định); kết quả xác suất tìm ra chính xác khi đáp ứng được các yêu cầu của định nghĩa

Nhược điểm: Chỉ áp dụng được cho các phép thử có số biến cố

sơ cấp hữu hạn và các biến cố đó đồng khả năng xảy ra; trong thực tế nhiều khi không biểu diễn được các kết quả của phép thử dưới dạng các biến cố sơ cấp đồng khả năng (Ví dụ: Khi tung con xúc xắc ta giả

11

thiết rằng nó cân đối và đồng chất, tuy nhiên trong thực tế hiếm khi có một con xúc xắc cân đối, đồng chất)

1.2.2 Định nghĩa thống kê về xác suất

1.2.2.1 Tần suất Xét một phép thử và A là một biến cố nào đó

liên quan đến phép thử Ta thực hiện phép thử đó n lần (một cách độc lập) trong những điều kiện giống nhau, nếu trong n lần đó có m (0  m  n) lần biến cố A xảy ra thì tỷ số f (A)n m

n

 được gọi là tần

suất xảy ra biến cố A trong n phép thử

Ví dụ 2 1) Một xạ thủ bắn 1000 viên đạn vào mục tiêu và có 800

lần bắn trúng mục tiêu Gọi A là biến cố xạ thủ bắn trúng mục tiêu Khi đó tần suất xảy ra biến cố A là f1000(A) = 800/1000 = 0,8

2) Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi thực hiện phép thử tung một đồng xu Người ta tiến hành tung một đồng xu nhiều lần

và thu được kết quả sau đây:

1.2.2.2 Định nghĩa Khi số phép thử n càng lớn thì tần suất f (A)n

sẽ dao động xung quanh một hằng số p với biên độ giảm dần tới 0

Hằng số p đó được gọi là xác suất của biến cố A, ký hiệu là P(A) = p

Như vậy f (A)n P(A) khi n 

1.2.2.3 Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa thống kê về xác suất

Ưu điểm: Khi xác định xác suất bằng thống kê người ta không đòi hỏi điều kiện áp dụng như đối với định nghĩa cổ điển, nó hoàn toàn dựa trên các quan sát thực tế để làm cơ sở kết luận

12

Nhược điểm: Theo định nghĩa thống kê của xác suất, ta không thể xác định chính xác xác suất của một biến cố vì không thực hiện phép thử vô hạn lần được

Chứng minh: i) Vì A, B là hai biến cố xung khắc nên không có

biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho cả A và B Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A + B là m = mA + mB, trong đó mA là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A và mB là biến cố sơ cấp thuận lợi cho B Từ đó suy ra:

ii) Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học:

+ Với n = 2: Theo i) ta có P(A1A )2 P(A ) P(A )1  2 nên ii) đúng với n = 2

+ Giả sử ii) đúng với n = k, tức là:

Vậy theo phương pháp chứng minh quy nạp toán học ta có: Nếu

A1, A2, …, An là dãy các biến cố xung khắc với nhau từng đôi một thì:

P(A A   A )n P(A ) P(A ) P(A ),   n  n ,n2.

Ví dụ 1 Một hộp 6 bi đỏ và 4 bi xanh hoàn toàn giống nhau về

kích thước và trọng lượng Ta lấy ngẫu nhiên 2 bi Tìm xác suất để 2

bi lấy ra cùng màu

Giải Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra đều màu xanh

B là biến cố 2 bi lấy ra đều màu đỏ

13

C là biến cố 2 bi lấy ra đều cùng màu

Khi đó: C = A + B và A, B xung khắc nên:

P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B)

Ta có:

2 4 2 10

1.3.1.2 Hệ quả i) Nếu A là biến cố đối lập của biến cố A thì xác

suất của biến cố A là P(A) 1 P(A); 

ii) Nếu A1, A2, …, An là hệ đầy đủ các biến cố thì:

P(A1) + P(A2) + + P(An) = 1

Chứng minh: i) Vì A và Ađối lập nên A và A xung khắc do đó

theo Định lý 1.3.1.1 ta có:

P( ) P(A A) P(A) P(A)  1 P(A) P(A) P(A) 1 P(A).  

ii) Nếu A1, A2, …, An là hệ đầy đủ các biến cố thì A1, A2, …, Andãy các biến cố đôi một xung khắc và A1 + A2 + …+ An = 

Do đó:

1  P( ) P(A A   A )P(A )P(A )  P(A ).

Ví dụ 2 Một hộp có 50 sản phẩm loại I và 15 sản phẩm loại II

Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra Tính xác suất để có ít nhất 1 sản phẩm loại II trong 10 sản phẩm đƣợc kiểm tra

Giải Gọi A là biến cố "có ít nhất 1 sản phẩm loại II trong 10 sản

phẩm đƣợc kiểm tra" Khi đó A là biến cố không có sản phẩm loại II nào trong 10 sản phẩm đƣợc kiểm tra

14

ii) Nếu A, B, C là 3 biến cố bất kỳ thì P(A + B + C) = P(A) + P(B)

+ P(C) – P(AB) – P(BC) – P(CA) + P(ABC);

iii) Nếu A1, A2, …, An là dãy các biến cố bất kỳ thì

Chứng minh: i) Ta có A B    A BA; A và BA xung khắc với nhau

Khi đó, P(AB)P(A)P(BA)

Mặt khác, B B(A A) BA BA    nên P(B)P(BA) P(BA) 

P(BA) = P(B) – P(AB)

Từ đó, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB)

ii) P(A + B + C) = P(A) + P(B + C) – P(A(B+C))

= P(A) + P(B) + P(C) – P(BC) – P(AB + AC)

= P(A) + P(B) + P(C) – P(BC) – P(AB + AC) –

{P(AB) + P(AC) – P(ABC)}

 P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(BC) – P(AB + AC) –

{P(AB) + P(AC) – P(ABC)}.

iii) Chứng minh tương tự ii

Ví dụ 3 Một lớp có 20 sinh viên, trong đó có 10 sinh viên biết

tiếng Anh, 12 sinh viên biết tiếng Pháp, 7 sinh viên biết cả 2 thứ tiếng

Gọi ngẫu nhiên 1 sinh viên Tìm xác suất để:

a) Sinh viên đó biết ít nhất 1 ngoại ngữ;

b) Sinh viên đó không biết ngoại ngữ

Giải: a) Gọi A là biến cố sinh viên được gọi biết tiếng Anh:

C là biến cố sinh viên được gọi biết ít nhất 1 ngoại ngữ: C = A + B

Khi đó: P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B)  P(AB)

b) C là biến cố sinh viên đƣợc gọi biết ít nhất 1 ngoại ngữ, nên

Clà biến cố sinh viên đƣợc gọi không biết ngoại ngữ: P(C) = 1 P(C) 0, 25

1.3.2 Định lý nhân

1.3.2.1 Xác suất có điều kiện Giả sử A, B là 2 biến cố, P(B) > 0

Xác suất có điều kiện của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra là một số

không âm, ký hiệu là P(A/B), nó đặc trƣng cho khả năng xảy ra của biến cố A trong tình huống biến cố B đã xảy ra

Ví dụ 4 Một hộp có 4 bi đỏ và 3 bi xanh Lấy ngẫu nhiên ra lần

lƣợt 2 viên bi, mỗi lần 1 viên (lấy không hoàn lại) Tìm xác suất để: a) Bi lấy ra lần 2 là bi đỏ, biết rằng bi lấy ra lần 1 là bi đỏ

b) Bi lấy ra lần 2 là bi xanh, biết rằng bi lấy ra lần 1 là bi xanh

Giải Gọi Ai là biến cố bi lấy ra lần thứ i là bi đỏ (i = 1, 2)

a) Khi bi lấy ra lần thứ nhất là bi xanh, trong hộp lúc này chỉ còn lại 6 viên bi gồm 3 đỏ và 3 xanh Do đó xác suất lấy ra lần 2 là bi đỏ khi biết bi lấy ra lần 1 là bi đỏ là: P(A /A )2 1 3 0,5.

6

 

b) Khi bi lấy ra lần thứ nhất là bi xanh, trong hộp lúc này chỉ còn lại 6 viên bi gồm 4 đỏ và 2 xanh Do đó xác suất lấy ra lần 2 là bi xanh khi biết bi lấy ra lần 1 là bi xanh là: P(A /A )2 1 2 0,333.

6

 

1.3.2.2 Định lý nhân Giả sử A, B là 2 biến cố Khi đó ta có:

P(AB) = P(B).P(A/B) nếu P(B) > 0 hoặc P(AB) = P(A).P(B/A) nếu P(A) > 0

Chứng minh: Giả sử n là biến cố sơ cấp đồng khả năng xảy ra của

phép thử mA, mB là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A, B; k là

số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A và B

16

B

kP(A / B)

m

 và P(B) > 0 (vì B đã xảy ra)

Như vậy:

B B

Ví dụ 5 Trong một hộp có 5 chính phẩm và 3 phế phẩm Lấy ngẫu

nhiên lần lượt hai sản phẩm Tìm xác suất để cả hai sản phẩm lấy ra

đều là chính phẩm

Giải Gọi Ai là biến cố "sản phẩm lấy ra lần thứ i là chính phẩm"

(i = 1, 2) A là biến cố "cả hai sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm"

P(A1A2…An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1)

với điều kiện: P(A1A2…An-1) > 0

Chứng minh: Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học:

P(A1A2…Ak+1) = P(A1A2 Ak).P(Ak+1/A1A2…Ak

Theo giả thiết quy nạp, ta có:

P(A1A2…Ak+1) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(Ak/A1A2…Ak-1)

P(Ak+1/A1A2…Ak)

 với n = k + 1 định lý đúng

17

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học ta suy ra Định lý 1.3.3.3

đúng với mọi n  

Ví dụ 6 Một hộp có 4 chính phẩm và 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên

lần lượt từng sản phẩm một (không hoàn lại) để kiểm tra cho tới khi lấy ra được 2 phế phẩm thì thôi Tìm xác suất các biến cố sau:

a) Việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra tới sản phẩm thứ 2

b) Việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra tới sản phẩm thứ 3

c) Giả sử việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra sản phẩm thứ 3 Tìm xác suất để sản phẩm kiểm tra ở lần 1 là chính phẩm

Giải

a) Gọi Ai là biến cố sản phẩm lấy ra kiểm tra lần thứ i là phế phẩm

(i = 1, 2, 3)

i

A là biến cố đối lập với biến cố Ai (i = 1, 2)

A là biến cố việc kiểm tra dừng lại khi kiểm tra sản phẩm thứ 2 Khi đó: A = A1A2

 P(A) = P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1) = 2 1

ii) P((A + C)/B) = P(A/B) + P(C/B) – P(AC/B);

Nếu A, C xung khắc thì P((A + C)/B) = P(A/B) + P(C/B)

iii) P(A/B) = 1 P(A/B).

1.3.3 Tính độc lập của các biến cố

1.3.3.1 Định nghĩa Hai biến cố A và B của cùng một phép thử

được gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra hay không xảy ra của biến

cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia, tức là P(A/B) = P(A), P(B/A) = P(B)

Trong lý thuyết và tính toán, người ta nhận biết tính độc lập bởi công thức, còn trong thực tế người ta nhận biết tính độc lập của các biến cố bằng trực giác

Ví dụ 7 Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu Gọi A, B lần lượt

là biến cố người thứ nhất, người thứ hai bắn trúng mục tiêu Vì việc hai người bắn trúng hay trượt mục tiêu không ảnh hưởng đến kết quả của nhau nên A, B là hai biến cố độc lập

Ví dụ 8 Gieo đồng thời hai con xúc xắc Gọi A là biến cố con xúc

xắc thứ nhất xuất hiện mặt chấm chẵn, B là biến cố con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt chấm lẻ Vì việc xuất hiện mặt có số chấm chẵn hay

1.3.3.3 Hệ quả Hai biến cố A và B với P(B) > 0 là độc lập khi và

chỉ khi P(AB) = P(A).P(B)

Chứng minh: +) Giả sử A, B độc lập với nhau Khi đó

P(B/A) = P(B), do đó P(AB) = P(A).P(B)

+) Ngược lại, giả sử P(AB) = P(A).P(B), mà P(AB) = P(A).P(B/A)

nên P(B/A) = P(B) Tương tự P(A/B) = P(A) Vậy A và B độc lập với

nhau

Ví dụ 9 Hai công ty hoạt động độc lập với nhau được mời tham

gia đấu thầu một dự án gồm nhiều gói thầu Khả năng trúng thầu của

các công ty tương ứng là 0,8 và 0,9 Tính xác suất để có ít nhất một

công ty trúng thầu

Giải Gọi A1, A2 lần lượt là biến cố công ty thứ nhất, thứ hai trúng

thầu

A là biến cố có ít nhất một công ty trúng thầu

Khi đó: A = A1 + A2 và A1, A2 độc lập nhưng không xung khắc

P(A A )P(A ) P(A ) P(A A ) 

P(A ) P(A ) P(A ).P(A )1  2  1 2 0,8 0,9 0,8.0,9 0,98  

1.3.3.4 Định nghĩa Các biến cố A1, A2, …, An được gọi là độc

lập từng đôi một nếu mỗi cặp hai biến cố bất kỳ trong n biến cố độc

lập với nhau

Khi đó ta có: P(AiAj) = P(Ai).P(Aj) với i ≠ j

20

Ví dụ 10 Tung một đồng xu 3 lần, gọi Ai (i = 1, 2, 3) là biến cố

"mặt sấp xuất hiện ở lần tung thứ i" Khi đó A1, A2, A3 độc lập từng đôi một

1.3.3.5 Định nghĩa Các biến cố A1, A2, …, An đƣợc gọi là độc

lập toàn phần nếu chúng độc lập từng đôi một và mỗi biến cố độc lập

với tích của một số tùy ý các biến cố còn lại

Khi đó ta có: P(A1A2…An) = P(A1).P(A2)…P(An)

Chú ý Các biến cố độc lập toàn phần thì độc lập với nhau từng đôi

một, điều ngƣợc lại không đúng

b) Ailà biến cố đối lập của Ai (i = 1, 2) Gọi B là biến cố 2 bi lấy

ra đều màu xanh

21

Giả sử A1, A2, …, An là các biến cố tạo thành hệ đầy đủ và P(Ai) > 0 (i = 1,n ) A là biến cố bất kỳ của phép thử đó Khi đó ta có: P(A) = P(A1).P(A/A1) + …+ P(An).P(A/An) = i i

Giải Gọi Ai là biến cố hộp i đƣợc lấy ra (i = 1, 2, 3)

P(A ) = P(A ) = P(A )1 2 3 1

Ví dụ 2 Một cửa hàng bán bóng đèn cùng loại do 3 cơ sở sản xuất

cung cấp Cơ sở 1, cơ sở 2, cơ sở 3 cung cấp lượng hàng tương ứng là

40%, 35%, 25% Biết tỉ lệ bóng hỏng do cơ sở 1, cơ sở 2, cơ sở 3 sản

xuất tương ứng là 2%, 2%, 3% Ta mua ngẫu nhiên 1 bóng của cửa

hàng

a) Tìm xác suất để bóng mua bị hỏng;

b) Giả sử bóng mua bị hỏng Hỏi bóng mua do cơ sở nào sản xuất

là có khả năng xảy ra cao nhất

Giải a) Gọi Ai là biến cố bóng mua do cơ sở i sản xuất (i = 1, 2, 3)

Gọi A là biến cố bóng mua bị hỏng

P(A1) = 0,4; P(A2) = 0,35; P(A3) = 0,25

Hệ {A1; A2; A3} tạo thành hệ đầy đủ Do đó áp dụng công thức

xác suất từng phần ta có:

P(A) = P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2) + P(A3).P(A/A3)

trong đó: P(A/A1) = 0,02; P(A/A2) = 0,02; P(A/A3) = 0,03

1.4.3 Công thức Bernoulli

1.4.3.1 Định nghĩa Tiến hành n lần phép thử độc lập trong những

điều kiện nhƣ nhau Giả sử ở mỗi phép thử, biến cố A xảy ra với xác suất p không đổi Khi đó xác suất để trong n phép thử biến cố A xảy ra đúng k lần là:

k k n k

P (k) = C p (1 p)  , k = 1, 2, , n

công thức trên đƣợc gọi là công thức Bernoulli

1.4.3.2 Hệ quả Với các giả thiết nhƣ trên ta có:

i) Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là: (1 – p)n;

ii) Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là: pn;

iii) Để trong n phép thử biến cố A xảy ra ít nhất k1 lần và nhiều nhất k2 lần là: Pn(k1 ≤ k ≤ k2) =

2 1

k

k k n k n

k = k

C p (1 p) 



Ví dụ 3 Một xạ thủ bắn 1 phát vào bia một cách độc lập Xác suất

trúng đích của mỗi phát bắn đều 0,8 Tìm xác suất để:

25

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Bài 1.1 Gieo một con xúc xắc đối xứng và đồng chất Tìm xác

suất để được:

a Mặt sáu chấm xuất hiện

b Mặt có số chấm xuất hiện là mặt chấm chẵn lớn hơn 2

Đ/s: a 1/6; b 1/3

Bài 1.2 Có 100 tấm bìa hình vuông được đánh số từ 1 đến 100 Ta

lấy ngẫu nhiên một tấm bìa Tìm xác suất:

a Được một tấm bìa có số không có chữ số 5

c Được một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc cho 5 hoặc cả cho 2

và cho 5

Đ/s: a 0,81; b 0,6

Bài 1.3 Một bộ bài Tú- lơ-khơ có 52 quân bài Lấy ngẫu nhiên ra

2 quân bài Tính xác suất:

a Hai con bài lấy ra đều là con 2

b Hai con bài lấy ra có một con 2 và một con Át

c Hai con bài lấy ra ít nhất có một con Át

Đ/s: a 1

221; b

8663

; c 33

221

Bài 1.4 Một hộp chứa 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9 Chọn ngẫu nhiên

ra 3 thẻ Tính xác suất để 3 thẻ lấy ra đều là số chẵn

Bài 1.6 Một lô hàng gồm 10 sản phẩm loại I, 4 sản phẩm loại II

và 3 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm Tìm xác suất để có:

a Hai sản phẩm loại I

; c 25136

Bài 1.7 Gieo ngẫu nhiên hai đồng xu cân đối và đồng chất Tìm

Bài 1.8 Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất

Tìm xác suất của biến cố sau:

a A là biến cố "Tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên của cả hai con xúc xắc bằng 7"

b B là biến cố "Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của cả hai con xúc xắc bằng 1"

c C là biến cố "Tích số chấm xuất hiện ở mặt trên của cả hai con xúc xắc bằng 12"

Đ/s: a 1/6; b 10/36; c 1/9

Bài 1.9 Một hộp có 6 quả cầu trắng, 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu

đen Chọn ngẫu nhiên 6 quả cầu Tìm xác suất để chọn được 3 quả cầu trắng, 2 quả cầu đỏ và 1 quả cầu đen

Đ/s: 20/77

Bài 1.10 Một hộp có 15 quả cầu kích thước như nhau, trong đó

có 5 quả cầu màu xanh, 10 quả cầu màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp ra 3 quả Tìm xác suất để:

a Ba quả cầu lấy ra không cùng màu

b Trong ba quả cẩu lấy ra có ít nhất một quả màu xanh

Đ/s: a 65

91

; b 67

91

Bài 1.11 Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm

là phế phẩm Lấy ngẫu nhiên ra 6 sản phẩm Tìm xác suất để:

a Có không quá một sản phẩm là phế phẩm

b Có ít nhất là một phế phẩm

27

Đ/s: a.2 / 3 ; b.13 /15

Bài 1.12 Một nhóm có 30 nhà đầu tư các loại, trong đó có 13 nhà

đầu tư vàng, 17 nhà đầu tư chứng khoán, 10 nhà đầu tư cả vàng và chứng khoán Một đối tác gặp ngẫu nhiên một nhà đầu tư trong nhóm Tính xác suất để người đó gặp được nhà đầu tư ít nhất một trong 2 loại vàng, chứng khoán

Đ/s: 2/3

Bài 1.13 Xác suất để một xạ thủ bắn bia trúng 10 điểm là 0,1;

trúng 9 điểm là 0,2; trúng 8 điểm là 0,25 và ít hơn 8 điểm là 0,45 Xạ thủ ấy bắn một viên đạn Tìm xác suất để xạ thủ đó bắn được ít nhất là

9 điểm Đ/s: 0,3

Bài 1.14 Trong một phân xưởng có 10 máy hoạt động Qua

theo dõi thấy xác suất để trong một ca có một máy phải sửa là 0,2; xác suất để có hai máy phải sửa là 0,13 và xác suất để có nhiều hơn hai máy phải sửa là 0,07 Tìm xác suất để trong một ca phân xưởng đó không phải sửa máy

Đ/s: 0,6

Bài 1.15 Có 2 hộp đựng chi tiết Hộp thứ nhất đựng 10 cái ốc,

trong đó có 6 cái tốt Hộp thứ hai đựng 15 cái vít, trong đó có 9 cái tốt Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một chi tiết Tìm xác suất để lấy được một

bộ ốc vít tốt

Đ/s: 9/15

Bài 1.16 Một người có 4 bóng đèn trong đó có 2 bóng đèn bị

hỏng Người đó thử lần lượt từng bóng đèn (không hoàn lại) cho đến khi chọn được bóng tốt Tính xác suất để người đó thử đến lần thứ 2 Đ/s: 1/3

Bài 1.17 Một lô hàng có 100 sản phẩm Lấy ngẫu nhiên liên tiếp 5

sản phẩm để kiểm tra Nếu có ít nhất một sản phẩm xấu thì không nhận lô hàng Tìm xác suất để nhận lô hàng Biết rằng tỷ lệ phế phẩm của lô hàng là 5%

Đ/s: 0,77

Bài 1.18 Trong hộp có 8 quả cầu đỏ và 12 quả cầu trắng kích

thước như nhau Một người lấy ngẫu nhiên từ trong hộp ra mỗi lần

28

một quả cầu sau đó hoàn lại rồi lấy tiếp cho đến khi lấy được quả cầu

đỏ thì dừng lại Tìm xác suất để lấy quả cầu thứ tư thì dừng lại

Đ/s: 54/625

Bài 1.19 Một hộp có 36 bóng đèn điện, trong đó có 4 loại bóng

đèn màu xanh Ta lấy ngẫu nhiên lần lượt hai bóng đèn Tìm xác suất

để lần thứ hai lấy được một loại bóng đèn màu xanh nếu lần thứ nhất lấy được một bóng đèn màu xanh

Đ/s: 3/35

Bài 1.20 Trong một lô hàng có 50 sản phẩm, trong đó có 10 sản

phẩm loại I, 40 sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 sản phẩm (lấy không hoàn lại) Tính xác suất để:

a Cả ba sản phẩm đều cùng loại I

b Cả ba sản phẩm đều cùng loại

Đ/s: a 3/490; b 25/49

Bài 1.21 Có ba người bắn vào một mục tiêu Xác suất người thứ

nhất bắn trúng là 0,7; người thứ hai bắn trúng là 0,8 và người thứ ba bắn trúng là 0,5 Tìm xác suất để:

a Có một người bắn trúng mục tiêu

b Có hai người bắn trúng mục tiêu

c Cả ba người đều bắn trật mục tiêu

Đ/s: a 0,22; b 0,47; c 0,03

Bài 1.22 Có 3 sinh viên cùng làm bài thi Xác suất làm được bài

của từng sinh viên lần lượt là: 0,8; 0,7; 0,6

a Tìm xác suất để có một sinh viên làm được bài thi

b Tìm xác suất để có hai sinh viên làm được bài thi

c Nếu có hai sinh viên làm được bài thi, tìm xác suất để sinh viên thứ nhất không làm được bài thi

Đ/s: a.0,188 ; b 0,452; c 21/113

29

Chương 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

2.1.1 Định nghĩa Cho một phép thử ngẫu nhiên và  là không gian mẫu của phép thử đó Một đại lượng mà ứng với mỗi kết quả

   nhận một giá trị thực duy nhất nào đó được gọi là đại lượng

ngẫu nhiên một chiều liên kết với phép thử đã cho (gọi tắt là biến ngẫu

nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên)

2.1.1.1 Các ký hiệu

Đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) liên kết với một phép thử thường được ký hiệu bởi các chữ cái in hoa: X, Y, Z, , X1, X2,

Giá trị của ĐLNN X ứng với mỗi kết quả cụ thể  của phép thử là

số thực thường được ký hiệu là X() hay ký hiệu bởi các chữ in thường x, y, z, , x1, x2,

Tập hợp các giá trị thực mà ĐLNN X được ứng với tất cả các kết quả  được gọi là tập giá trị của ĐLNN X, ký hiệu là DX

Ký hiệu: (X a) là biến cố / X( ) a

(Xa)là biến cố / X( ) a

(Xa)là biến cố / X( ) a

(a X b)là biến cố / a X( ) b

Chú ý: Nếu X, Y, là các ĐLNN liên kết với cùng một phép thử

ngẫu nhiên thì X, X + Y, XY, X/Y, cũng là một ĐLNN

30

Ứng với  = SS ta có X() = 0, với  = NN ta có X() = 2, với

 = SN ta có X() = 1, với  = NS ta có X() = 1

Vậy tập giá trị của ĐLNN X là DX = {0, 1, 2}

Ví dụ 2 Một rổ cam có 10 quả trong đó có 4 quả hỏng Lấy ngẫu

nhiên 5 quả Đại lượng Y chỉ số quả hỏng có trong 5 quả lấy ra là 1 ĐLNN

Ứng với kết quả  = lấy ra được 5 quả tốt thì Y() = 0, với kết quả lấy ra được 4 quả tốt 1 quả hỏng thì Y() = 1,

Tập giá trị của ĐLNN X là DY = {0, 1, 2, 3, 4}

Ví dụ 3 Xét phép thử gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối đồng

chất Ta có không gian mẫu  = { = (x, y)/ x, y  {1, 2, 3, 4, 5, 6}} Card() = 36

Đại lượng Z là tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc là ĐLNN

Ứng với mỗi  = (x, y) ta có gía trị của Z là Z() = x + y

Tập giá trị của ĐLNN Z là:

DZ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

2.1.2 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên

2.1.2.1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

ĐLNN X được gọi là ĐLNN rời rạc nếu tập giá trị có thể có của

nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

Ví dụ 4 Tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất Gọi X là số

chấm xuất hiện Khi đó X là một ĐLNN rời rạc, và nhận các giá trị có thể có: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ví dụ 5 Các ĐLNN trong các ví dụ 1, ví dụ 2, ví dụ 3 là các

ĐLNN rời rạc

2.1.2.2 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

ĐLNN X được gọi là ĐLNN liên tục nếu tập giá trị có thể có của

nó lấp đầy một khoảng trên trục số

Ví dụ 6 Xe buýt chạy với tần suất 15 phút một chuyến Gọi X là

thời gian chờ xe của một người Khi đó X là một ĐLNN liên tục, các giá trị có thể có của X lấp đầy đoạn [0, 15]

31

Ví dụ 7 ĐLNN chỉ chiều cao của sinh viên trường ĐH kinh tế

Nghệ An là một ĐLNN ngẫu nhiên liên tục

2.2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Quy luật phân phối xác suất của ĐLNN là một hình thức cho phép

mô tả mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của ĐLNN với xác suất tương ứng để ĐLNN nhận các giá trị có thể có đó

Trong thực tế người ta thường sử dụng 3 phương pháp mô tả quy luật phân phối xác suất của ĐLNN là: Bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và hàm mật độ phân phối xác suất

2.2.1 Bảng phân phối xác suất

2.2.1.1 Định nghĩa Cho X là ĐLNN rời rạc nhận có tập giá trị

DX = {x1, x2, …, xn} và có xác suất tương ứng là pi = P(X = xi), (i = 1, 2, …, n)

Bảng phân phối xác suất của X là bảng số có dạng:

ii) Vì dãy các biến cố (X = x1), (X = x2), , (X = xn) lập thành một

hệ đầy đủ các biến cố nên: n i n i

32

Ví dụ 1 Cho ĐLNN X có bảng phân phối xác suất

P 0,3 – m 0,2 + m 0,1 + 2m a) Tìm m

b) Tính P(0 < X  4)

Giải a) Điều kiện:

0,3 m 0

0, 2 m 0 (*)0,1 2m 0

Ví dụ 2 Có 10 sinh viên, trong đó 2 sinh viên giỏi, 3 sinh viên

khá, 5 sinh viên trung bình Chọn ngẫu nhiên 3 sinh viên Gọi X là số sinh viên giỏi được chọn Lập bảng phân phối xác suất của X

Giải DX = {0, 1, 2}

P(X = 0) =

0 3

2 8 3 10

715

715

215

115

Ví dụ 3 Hai người thi bắn súng, khả năng bắn trúng đích của mỗi

người là: 0,8; 0,9 Gọi X là số người bắn trúng đích Lập bảng phân phối của X

Giải DX = {0, 1, 2}

Gọi Ai là biến cố người i bắn trúng đích (i = 1, 2)

33

(X = 0) = A A1 2  P(X = 0) = P(A A1 2)

= P(A1).P(A2) (Vì A , A1 2 độc lập)  P(X = 0) = (1 – 0,8).(1 – 0,9) = 0,02

(X = 1) = A A1 2+ A A1 2 và A A1 2, A A1 2xung khắc

 P(X = 1) = P(A A1 2) + P(A A1 2)

= P(A1).P(A2) + P(A1).P(A2) (Vì A1, A2và A1, A2độc lập)

 P(X = 1) = 0,8.(1 – 0,9) + (1 – 0,8).0,9 = 0,26

(X = 2) = A A1 2 P(X = 2) = P(A A ) 1 2

= P(A1).P(A2) (Vì A1, A2 độc lập) = 0,8.0,9 = 0,72

Vậy bảng phân phối xác suất của X là:

P 0,02 0,26 0,72

2.2.2 Hàm phân phối xác suất

2.2.2.1 Định nghĩa Cho X là ĐLNN (rời rạc hoặc liên tục) Hàm

số ký hiệu và xác định nhƣ sau gọi là hàm phân phối xác suất của

ĐLNN X

F(t) = P(X < t), với t 

Ví dụ 4 Lập hàm phân phối xác suất của ĐLNN chỉ số mặt ngửa (N)

xuất hiện khi gieo hai đồng xu cân đối đồng chất một cách ngẫu nhiên

Giải Ta có tập giá trị của ĐLNN X là DX = {0, 1, 2}

+ Nếu t  0 ta có (X < t) =  nên F(t) = P(X < t) = P() = 0 + Nếu 0 < t  1 ta có (X < t) = (X = 0) = {SS} nên F(t) = P(X < t)

= P({SS}) = 1/4

+ Nếu 1 < t  2 ta có (X < t) = (X = 0) + (X = 1) = {SS, SN, NS} nên F(t) = 3/4

+ Nếu 2 < t ta có (X < t) =  nên F(t) = P() = 1

Vậy hàm phân phối xác suất của ĐLNN X là:

34

0 khi t 0

1 / 4 khi 0 t 1F(t)

iii) F(t) là hàm không giảm

iv) Hàm F(t) liên tục trái tại mọi điểm t = a 

Nếu X là ĐLNN liên tục thì F(t) liên tục tại mọi điểm t = a  ; v) Với a, b ,ab, ta có: P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a)

Nếu X là ĐLNN liên tục thì P(X < a) = P(X  a) và P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = F(b) – F(a)

Chứng minh: i) Theo tính chất của xác suất, ta có:

35

+) Vì X là ĐLNN liên tục nên tập giá trị của X có dạng (a, b), a có

thể là – , b có thể là + , hay [a, b] Khi đó hàm phân phối xác suất

115Tìm hàm phân phối xác suất F(t) của X

Giải + Nếu t ≤ 0 thì F(t) = P(X < t) = P() = 0

+ Nếu 0 < t ≤ 1 thì F(t) = P(X < t) = P(X = 0) = 7

15 + Nếu 1 < t ≤ 2 thì F(t) = P(X = 0) + P(X = 1) = 7

Vậy

0 khi t 0,7

khi 0 < t 1,15

F(t)

14 khi 1 < t 2,15

Giải a) Vì hàm số F(t) là hàm phân phối của ĐLNN X liên tục nên

F(t) liên tục tại mọi điểm t  nên F(t) liên tục tại t = 0 và t = 3

F(0) lim F(t) lim F(t) 0 lim(mt ) lim 0

F(3) lim F(t) lim F(t) 9m lim1 lim(mt )

37

b) Sử dụng tính chất của hàm phân phối, ta có:

P(– 1 < X  2) = F(2) – F(–1) = 4 0 4 0, 444.

2.2.3 Hàm mật độ phân phối xác suất

2.2.3.1 Định nghĩa Cho ĐLNN X có hàm phân phối xác suất

F(t), F(t) khả vi tại mọi điểm t  Hàm mật độ phân phối xác suất

của ĐLNN X là hàm số đƣợc ký hiệu và xác định nhƣ sau:

iii) Vì F(t) là một nguyên hàm của f(t) nên:

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b)

F(b) F(a) F(t) f(t)dt

b b a a

38

2

0 khi t 0t

0

2tP( 1 X 2) f (t)dt 0.dt dt

2 2

ký hiệu E(X) và xác định như sau:

i) Nếu X là ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất

X x x x

P p p pthì

Ví dụ 1 Có 2 người, mỗi người bắn 1 viên đạn vào bia với xác

suất bắn trúng tương ứng là 0,6 và 0,9 Hãy tính kỳ vọng của số viên đạn trúng bia

Giải Gọi X là số viên đạn trúng bia  DX = {0, 1, 2}

40

P 0,04 0,42 0,54 E(X) = 0.0,04 + 1.0,42 + 2.0,54 = 1,5

Ví dụ 2 Cho X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất

 2

0 khi t (0,3)f(t) t

khi t 0, 3 9

ii) E(C.X) = C.E(X), C là hằng số;

iii) E(X  Y) = E(X)  E(Y);

iv) Nếu X, Y độc lập thì E(XY) = E(X)E(Y)

Chứng minh: i) Ta có thể xem hằng số là ĐLNN chỉ nhận giá trị C

với xác suất bằng 1 Do đó: E(C) = 1.C = C.

ii) Đặt Y = C.X Nếu X là ĐLNN rời rạc thì Y = CX là ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất: