Trong bài viết nhỏ này tôi sẽ trình bày về 2 vấn đề liên quan phân phối chuẩn: 1) cách xác định phân phối tích lũy; 2) Tìm mức phân vị nếu biết trước xác suất.. Do đó không mất tính tổng[r]
Trang 1Các vấn đề liên quan tính toán và tra bảng phân phối
Lê Văn Chánh Ngày 1 tháng 12 năm 2015
Tóm tắt nội dung
Trong bài viết nhỏ này tôi sẽ trình bày về 2 vấn đề liên quan phân phối chuẩn: 1) cách xác định phân phối tích lũy; 2) Tìm mức phân vị nếu biết trước xác suất Tôi sẽ trình bày cả 2 phương pháp xác định: dùng máy tính hoặc tra bảng
Mọi biến ngẫu nhiên X ∼N (µ,σ2) đều tương ứng với một phân phối chuẩn tắc (phân phối Gauss) Y :=X−µσ ∼
N (0,1) Do đó không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử biến ngẫu nhiên đang xét có phân phối chuẩn tắc Ta cần quan tâm hai bài toán sau
Bài toán 1 (Tìm phân phối tích lũy) Cho trước một số thực z, và X ∼N (0,1) Tìm xác suất α := P(X ≤ z)
Bài toán 2 (Tìm mức phân vị (quantile)) Cho trước một số thực α ∈ [0, 1], và X ∼N (0,1) Tìm mức phân
vị zαsao cho α = P(X ≤ zα)
Đối với Bài toán 1, α := FX(z) =Rz
−∞fX(t)dt = 0.5 +Rz
−∞fX(t)dt = 0.5 +√1
2π
Rz
0e−t2/2dt Ta có thể dùng máy tính hoặc dùng bảng phân phối để tính đại lượng này Cụ thể:
®K Cách 1 (Bấm máy): Có thể dùng máy để tính trực tiếp tích phân0.5 +√1
2π
Rz
0e−t2/2dthoặc dùng các lệnh đã cài đặt sẵn trong máy tính cầm tay
• 570MS: MODE → chọn SD → Shift 3 1→ Nhập z → Gõ ")"→ Gõ "=".
• 570ES: MODE → chọn STAT 1-Var → AC → Shift 1 5 (Distribute) 1 → Nhập z → Gõ
")"→ Gõ "=".
®K Cách 2 (Tra bảng):
(a) TH1: z ∈ [0.0, 3.9] Ta dùng 3 chữ số thập phần đầu tiên của z Dùng hai chữ số đầu tiên (gồm 1 chữ
số hàng đơn vị (đứng trước dấu “.”) và 1 chữ số liền sau dấu “.”) để tra cột và chữ số thứ 2 sau dấu
“.” để tra cột Vị trí giao dòng và cột cho ta kết quả Thí dụ: 1.12= 1.1+0.02.
(b) TH2: z > 3.9 Khi đó P(Z ≤ z) = 1.
(c) TH3: z := −a := −|z| < 0 Nhận xét P(X < −a) = P(Z > a) = 1 − P(Z < |z|) Việc tính toán qui
về trường hợp 1 và 2
Đối với Bài toán 2, ta cũng có hai cách (tuy nhiên nên tra bảng)
ý Cách 1 (Bấm máy): Dùng thuật toán chia đôi khoảng để xác định giá trị zα
ý Cách 2 (Tra bảng): Dùng 5 chữ số (1 chữ số hàng đơn vị và 4 số thập phân) để tra bảng.
(a) TH1: α ∈ [0.5, 1] Ta sẽ tra bảng để tìm vị trí α xuất hiện (lấy giá trị lớn hơn bằng α và gần α nhất)
Từ vị trí này, ta tìm ra vị trí hàng, cột tương ứng để tìm ra chữ số hàng đơn vị và 2 chữ số thập phân của zα=tổng giá trị vị trí dòng và cột tương ứng
(b) TH2: α > 1 Khi đó zα= 3.9
(c) TH3: α < 0.5 Nhận xét P(X < −a) = P(Z > a) = 1 − P(Z < |z|) Suy ra P(Z < |z|) = 1 − α Do
đó zα= −z1−α Tuy nhiên trong trường hợp này, khi tính z1−α, ta chọngiá trị nhỏ hơn và gần giá trị 1 − α nhất(lưu ý: có sự khác biệt so với trường hợp 1 Nguyên nhân: nhằm đảm bảo về mặt
xác suất).
1
Trang 2Đối với phân phối tổng quát α = P(X−µσ ≤z−µ
σ ) Và giá trị z ứng với phân phối chuẩn tổng quát là
µ + σ zα, trong zα là giá trị tính toán theo phân phối chuẩn tắc