Tài liệu tự học Môn Toán 11(GDTX)_Tuần 22

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song [r]

TOÁN 11 Tuần 22 Lớp 11 GDTX Tiết 85 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1.Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu | un| có thể hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu: lim

n→+∞un= 0

hay

un→ 0 khi n→+∞

Định nghĩa 2.

Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là số a (hay vn dần tới a) khi n→+∞ , nếu lim

n→+∞(v n−a)=0

Kí hiệu: lim

n→+∞vn= a

hay

vn → a khi n→+∞

2 Một vài giới hạn đặc biệt

a)

lim

n→+∞

1

n =0 ;

lim

n→+∞

1

nk = 0 , k∈ N¿ b) Nếu un = c (c là hằng số) thì lim

n→+∞un= lim

n→+∞c = c

c) lim

n→+∞ q n=0

nếu

1

¿

|q|¿

¿

Chú ý

Từ nay về sau thay cho

lim

n→+∞un= a

, ta viết tắt là lim un = a

II ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim un = a và lim vn = b thì

*) lim (un + vn) = a + b

*) lim (un - vn) = a – b

*) lim (un vn) = a.b

*) lim

u n

v n=

a

b (b≠0)

b) Nếu un≥0 với mọi n và lim u

n = a thì a≥ 0 và lim √ un= √ a

Ví dụ : Tìm

2 2

lim 1

n

 

 Phương pháp giải :

+ Chia cả tử và mẫu cho n2

+ Áp dụng các định lí và suy ra kết quả

Chia cả tử và mẫu cho n2, ta được:

lim2 n2−n+1

1+n2 =lim

2−1

n+

1

n2

1

n2+1

=2

III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

a) Định nghĩa

Cấp số nhân vô hạn ( un) công bội q

với

1

¿

|q|¿

¿ được gọi là cấp số lùi vô

hạn

Các ví dụ :

+) Dãy số

, , , , ,

2 4 8 2n

+) Dãy số

1

1, , , , , ( ) ,

n

b)Tổng cấp nhân lùi vô hạn

1 , ( 1) 1

u

q



c) Ví dụ : Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

a/

1 3

u 

Giải: Ta có : 1

,

u  q 

1

1 3

1

3



IV.GIỚI HẠN VÔ CỰC

1.Định nghĩa

- Dãy số (un) có giới hạn khi n   , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một

số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu

limu   n hay un   khi n +

Nhận xét lim u n =+∞⇔ lim(−u n)=−∞

2 Một vài giới hạn đặc biệt

a) lim nk =với k nguyên dương;

b) lim qn = nếu q>1

Ví dụ

a) lim n5=+ ∞

b)

lim( 4

3 )

n=+∞

3 Định lí

a) Nếu lim un = a và lim vn=  thì

lim n 0

n

u

v 

b) Nếu lim un = a > 0, lim vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì

lim n n

u

v 

c) Nếu lim un = và lim vn= a > 0 thì lim unvn=

Tiết 86 Luyện tập GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Câu 1: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limu  n

, thì limu  n B Nếu limu  n

, thì limu   n

C Nếu limu  , thì lim n 0 u  n 0

D Nếu limu n  , thì lima u n  a

Câu 2: bằng

A

2 3



Câu 3: Kết quả đúng của

2 4

lim

n

 là:

A

3 3



2 3



1 2



1

2

Câu 4: Kết quả của

2 lim

n n



 bằng:

A

1

1 3



Câu 5: Phát biểu nào sau đây là sai ?

A limu n  (c u n  là hằng số ) c B limq  n 0  q 1

C

1

1 lim k 0

n  k 1

Câu 6:

2 2

1 lim

n n



 bằng

1

1

1 2



Câu 7: Tính

lim 1

n n



 được kết quả là

1

Câu 8: Tìm

I



A

7

2 3



Câu 9:

4 4

lim

  bằng

A

2

1

Câu 10 Tìm

lim

Tiết 87 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1 Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm x và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K\{0 x }.0

Ta nói hàm số yf x 

có giới hạn là số L khi x dần tới x nếu với dãy số (0 x ) bất kì, n n

x  K\{x } và 0 x nx , ta có f(0 x ) L n

Kí hiệu: 0

lim ( )

x x f x L

hay f(x) L khi x  x0

Nhận xét

lim

x → x0x=x0; lim

x →x0c=c

(c: hằng số)

Ví dụ 1:

Tính:

a) lim6

x x

 b) 13

lim

x

x

  c) lim 56

x  d)

2 3

2 lim 3

x

 

 

 

Giải:

a) lim6 6

x x

b) 13

1 lim

3

x

x

 



c) lim 5 56

x  

d)

2

 

 

 

2.Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lý 1

a) Giả sử 0

lim ( )

x x f x L

, 0

lim ( )

Khi đó:

 0

lim [ ( ) ( )]

lim [ ( ) ( )]

lim [ ( ) ( )]

x x f x g x L M

0

lim ( )

x x cf x c L



(c=const)



lim

x→ x0

f ( x)

g(x ) =

L

M ( nếu M ≠ 0)

b) Nếu f x  ( ) 0 và lim ( )x x0 f x L

, thì L ≥ 0 và 0

lim ( )

(Dấu của f x( ) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn, với x x 0)

Ví dụ 2

Tính:

2

1

2 lim

1

x

x



 



Giải:

TXĐ: D \{1}

Ta có:

2

NHẬN XÉT:

Nếu k là một số nguyên dương và a là một hằng số thì x0  , ta có:

x x ax ax

Chọn đáp án đúng nhất:

Câu 1: Khẳng định nào sau đây không chính xác?

A Hàm số f x( ) không xác định tại x , nhưng vẫn có thể có giới hạn tại điểm này 0

C 0

lim [ ( ) ( )]

D

lim ( ) lim ( )

Câu 2: Tính:

2

lim

1

x

x x







Câu 3: Tính

2 2 1

1 lim

x

x





ĐÁP ÁN:Câu 1: D Câu 2: D Câu 3: D

Tiết 88 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUƠNG GĨC

III Góc giữa hai đường thẳng :

qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a,b

KH: ( , )a b

Ta cĩ: ( , ) ( ', ')a b a b với

' , ' ' '

a a b b







a

b

b'

a' O

2/ Nhận xét :

1 Điểm O cĩ thể nằm trên hai đường thẳng 1,2

2 ⃗ u,⃗v lần lựợt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng 1,2 :

-Nếu ( ⃗ u,⃗v ) ¿ 90 thì gĩc giữa hai đường thẳng bằng gĩc( ⃗ u,⃗v )

-Nếu ( ⃗ u,⃗v )>90 thì gĩc giữa hai đường thẳng bằng 1800 - ( ⃗ u,⃗v )

IV Hai đường thẳng vuông góc :

bẳng 900

KH: a b Ta cĩ: a b  ( , ) 90a b  0

2/ Nhận xét:

1 d⊥d ' ⇔⃗ u ⃗v=0

2

a‖ a '

Δ ⊥ a

⇒ Δ ⊥ a '

¿

¿

Ví dụ 3Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC và SBC cân có chung đáy BC Chứng minh

rằng hai đường thẳng SA và BC vuông góc

Giải.

M

S

A

B

C

Gọi M là trung điểm của BC

Vì tam giác ABC và SBC cân đáy BC nên AM và SM vuông góc với BC

Ta có : ⃗ SA.⃗ BC= ( ⃗ MA−⃗ MS ) ⃗ BC

= ⃗ MA ⃗ BC−⃗ MS ⃗ BC

= 0 (vì ⃗ MA⊥⃗ BC ,⃗ MS⊥⃗ BC )

Suy ra SA ¿ BC

Bài tập trắc nghiệm

Câu 9: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a , b , c Khẳng định nào sau đây

đúng?

A.Nếu a và b cùng vuông góc với c thì // a b

B.Nếu //a b và c a thì c b

C.Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì // a b

D.Nếu a và b cùng nằm trong mp   // c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c

Câu 2: Cho hình hộp ABCD A B C D.     có tất cả các cạnh đều bằng nhau Chọn khẳng định sai:

A ACB D' ' B A A' BD C AB'CD' D ACBD

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

B Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

C Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì

song song với đường thẳng còn lại

D Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông

góc với đường thẳng còn lại

Câu 4: Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

B Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

C Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì

song song với đường thẳng còn lại

D Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông

góc với đường thẳng còn lại

Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A Trong không gian, nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường

thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng

c

B Trong không gian, nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường

thẳng b song song với đường thẳng c thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c

C Trong không gian, nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và đường thẳng

b vuông góc với đường thẳng c thì đường thẳng a cắt đường thẳng c tại một điểm.

D Trong không gian, cho ba đường thẳng a b c, , vuông góc với nhau từng đôi một

Nếu có đường thẳng d vuông góc với đường thẳng a thì đường thẳng d song song với

b hoặc c

ĐÁP ÁN: