MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

Mảng toán GTLN_GTNN trong hình hoc & giải tích là một phần khó , để giúp các bạn có tư duy về phần này sau đây tôi xin chia sẽ tài liệu , mong phần nào giúp được các bạn

Trang 1

www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, tìm tọa độ điểm… ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điều kiện cực trị Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học, cao đẳng

Trong quá trình trực tiếp giảng dạy Toán lớp 12 và nghiên cứu, tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc

Với tinh thần trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu, tôi trình bày chuyên đề

“ Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12”

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Thuận lợi

- Học sinh đã được trang bị kiến thức, các bài tập đã được luyện tập nhiều

- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu thích môn học

- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề

2 Khó khăn

- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập

- Nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong hình học không gian, không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp độ trong không gian

- Đa số học sinh yếu môn hình học

III NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao)

Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán được đặt ra

2 Nội dung

Trang 2

www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 2.1 Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng

a Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α)

- Viết phương trình đường thẳng MH(qua M và vuông góc

với (α))

- Tìm giao điểm H của MH và (α)

 Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt

phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình chiếu H của M lên (α), dùng

công thức trung điểm suy ra tọa độ M’

b Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:

- Viết phương trình tham số của d

- Gọi H  dcó tọa độ theo tham số t

- H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi

- Tìm t, suy ra tọa độ của H

2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước

Bài toán 1: Cho n điểm A 1 , A 2, A n , với n số k 1 , k 2 ,.,k n thỏa k 1 + k 2 + ….+k n = k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α) sao cho k MA11 k MA22  k MA nn

1) Gọi điểm I thỏa   

IA + IB = 0 thì I là trung điểm AB và I(0; 2; 4) Khi đó          2 

Trang 3

2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa   

chiếu vuông góc của J lên đường thẳng d

Phương trình tham số của đường thẳng MI: 23

2 3 2

Trang 4

- Nếu k 1 + k 2 + ….+ k n = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất

- Nếu k 1 + k 2 + ….+ k n = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất khi MI nhỏ nhất

1) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất

2) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất

Trang 5

Với I là trung điểm AB thì MA 2 + MB 2 = 2MI 2 +

2

AB

, do AB 2 không đổi nên

MA 2 + MB 2 nhỏ nhất khi MI 2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α)

2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa    

JA - JB -JB = 0Hay (1 x; 2 y; 1 z) (3 x;1 y; 2 z) (1 x; 2          y;1 z) (0; 0; 0)

1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất

2) MA2

+ MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất

Trang 6

M  d M(1 t; 2 2t; 3 t) , 

IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3) khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì    0

Vậy với ( ; ; )1 2 7

3 3 3

M thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất

Nhận xét:Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí của điểm M

VớiM  d M(1 t; 2 2t; 3t)

Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2

= - 6t2 – 8t +5

Xét hàm số f t( )  6t2– 8 5, t  tR

Đạo hàm '( ) 12t – 8 , '( ) 0 2

3

Bảng biến thiên

T  2

3  

f’(t) + 0

f(t) 23

3

 

Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất khi 2

3

t  

Hay MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất khi ( ; ; )1 2 7

3 3 3 M

2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa GA + GB +GC = 0    thì G(2;1;1) là trọng tâm ABC

Ta có:

(MG + GA) + (MG + GB) +(MG + GC)      

= GA 2  GB2  GC +3MG + 2MG(GA 2 2    GB GC) 

GA  GB  GC +3MG

Do GA 2  GB 2  GC 2 không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, hay

M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d

M  d M(1 t; 2 2t; 3 t) , 

GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2) Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì

 

Vậy với ( ;1; )1 5

M thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm A,B

không thuộc (α) Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất

PP chung:

Trang 7

1 Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A, B nằm về hai phía với (α)

Để MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm của (α) và AB

2 Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một phía với (α) Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α) Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt

giá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α) và A’B

Giải:

Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α)

Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và (α)

Đường thẳng AB qua điểm B, nhận  (1; 1;0)

Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận   (1; 1; 2) 



n làm vecto chỉ phương nên phương trình tham số AA’:

1 2

2

1 '(2; 1; 1) 1

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M trên d sao cho

1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình:

x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất

Trang 8

Ta thấy MA - MC  MA' - MC  A'C

Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức M

là giao điểm của A’C và (α) Đường thẳng A’C có vtcp    ( 1; 3; 3)

Vậy với ( ;5 5; 5)

4 4 4

M thì MA - MC có giá trị lớn nhất

Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm điểm M

trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất

PP chung:

1 Nếu d và AB vuông góc với nhau

Ta làm như sau:

- Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với d

- Tìm giao điểm M của AB và (α)

- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t

- Tính tọa độ của M và kết luận

Giải:

Đường thẳng d có phương trình tham số

1 2

2 23

Trang 9

Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d và mp(P) Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:

AB OA= (0; 2; 1)(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nên AB và Ox chéo nhau

Phương trình tham số của Ox: 0

0

y z

t t

Trang 10

Trang 11

Ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2 khi t = 1

3



Hay với 2 4 1; ; )

3 3 3M( thì MA + MB đạt giá nhỏ nhất bằng 3 2

Nhận xét: Trong dạng toán này nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số thì việc tìm

t sẽ đơn giản hơn

Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d 1 ,d 2 chéo nhau Tìm các điểm M d 1 , N d 2 là chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên

PP chung:

- Viết phương trình hai đường thẳng dạng tham số

- Lấy M d1 và N d2( tọa độ theo tham số)

2) Md1 và Nd2 sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ dài đoạn vuông góc chung của d1 và d2

Phương trình tham số của hai đường thẳng

d1:

5

1 211

t t

1) Chứng minh d1, d2 chéo nhau

2) Tìm điểm Md1 và N d2 sao cho độ dài MN ngắn nhất

Trang 12

- Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N

- Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R = MN khi và chỉ khi MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc chung của d và Ox

Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp   (0;1; 1) 

Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp i (1;0;0)

[ ,

và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1) Tìm điểm M

trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:

0

2

t t

Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường

thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất

Trang 13

Phương trình mặt cầu (S): 2 ( 1)2 ( 1)2 1

Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng

Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và

cách B một khoảng lớn nhất

PP chung:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (α), khi đó

tam giác ABH vuông tại H và khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB

Vậy d(B; (α)) lớn nhất bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α) là mặt

phẳng đi qua A và vuông góc với AB

Giải:

(α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D và vuông góc với DI (α) nhận   (2;

DI 1; -5) làm vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0  2x + y – 5z + 15 = 0

Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A Viết phương trình mặt

phẳng (α) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất

PP chung:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α),

K là hình chiếu vuông góc của A lên ∆

Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H ≡ K, khi đó

(α) là mặt phẳng đi qua ∆ và vuông góc với AK Hay (α) qua ∆

và vuông góc với mp(∆, A)

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; 2; 3) và cách điểm I(3; 1; -2) một khoảng lớn nhất

-Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua A Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn nhất

Trang 14

Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = 0 hay 8x – 11y – 7z – 12 = 0

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α) Tìm đường

thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất

PP chung:

Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi

A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong

(α) và vuông góc với AB

Gọi K là hình chiếu vuông góc của

B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi

K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai

1) Chứng minh hai đường thẳng trên song song với nhau

2) Trong các mặt phẳng chứa d1, hãy viết phương trình mặt phẳng (α) sao cho khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất

Trang 15

Giải:

Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến  (2; 2;1)



n1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α)

Phương trình BH:

2 2

3 25

Giải: Xét mặt phẳng (α) qua C và vuông góc với d, (α) nhận d (1; 2; )

u 3 làm véctơ pháp tuyến, thì ∆ nằm trong (α)

Do vậy d(D; ∆) lớn nhất khi ∆ nằm trong (α), qua C và vuông góc với CD

∆ có véctơ chỉ phương  [ , ](1; 8;5)

Phương trình ∆:

1   8  5 x-2 y+1 z -3

2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A đến ∆1 lớn nhất

3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A đến ∆2 nhỏ nhất

Trang 16

n làm véctơ pháp tuyến nên pt (α): x + y + z – 1 = 0

2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), để d(A, ∆1) nhỏ nhất khi ∆1 đi qua hai điểm B,H

Phương trình tham số AH:

211

t t

3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 ) lớn nhất khi

K ≡ B hay ∆2 nằm trong (α)và vuông góc với AB

Ta có [ , ](0; 4; 4)  4(0;1; 1)  42

u làm véc tơ chỉ phương, mặt khác 2

Chú ý : Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số đề giải ý 2 và ý 3 trong ví dụ 3

Gọi ∆ là đường thẳng tuỳ ý đi qua B và cắt d, giả sử ∆ cắt d tại điểm N(1+t, 0;-t), khi

=

2 2

t  -2 2 

f’(t) + 0 - 0 +

f(t)

11 3

Trang 17

Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song

hoặc nằm trên (α) và không đi qua A Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất

PP chung:

Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B

là giao điểm của d với (α)

Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vuông

góc của B lên (P) và d1

Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là BH và BH ≤ BI

nên BH lớn nhất khi I ≡ H, khi đó ∆ có vtcp   [   , ]

1

2 2 3

Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d

Phương trình tham số đường thẳng d1:

1

1 21

khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất

Trang 18

Phương trình tham số đường thẳng ∆1:

1 2 1

Đường thẳng d có vtcp d [ , 1 ]

u u n = (40; 29; 69)

Phương trình d :

40  29  69 x-1 y+1 z -2

Bài toán 5: Cho hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 phân biệt và không song song với nhau Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ 1 và tạo với ∆ 2 một góc lớn nhất

Tiêu đề	Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12
Người hướng dẫn	Hoàng Thị Hồng Cầm - Giáo viên
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	562,53 KB