Nghiên cứu tính toán móng bè trên nền đất yếu

10 1.2.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN MÓNG BÈ 1.2.1.Tính toán móng bè theo phương pháp móng cứng hoặc phản lực nền phân bố tuyến tính Khi sử dụng phương pháp này, móng được coi là tuyệt đối

5

TÓM TẮT LUẬN VĂN

NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN MÓNG BÈ TRÊN NỀN ĐẤT YẾU

Móng bè cũng được sử dụng khá nhiều khi tính toán cho công trình trên nền đất yếu Do đó, tập luận văn này tập trung giải quyết bài toán móng bè, đặc biệt chú trọng đến các mô hình nền có thể dùng để tính toán hợp lý cho móng bè

Luận văn tập trung nghiên cứu hai mô hình nền là biến dạng đàn hồi cục bộ Winkler và nền biến dạng đàn-dẻo phát triển từ mô hình nền Winkler Bài toán móng bè theo hai mô hình nền trên được giải theo phương pháp phần tử hữu hạn

Trên cơ sở phân tích tính toán trên, bài toán móng bè trên hai mô hình nền Winkler và đàn-dẻo sẽ được lập trình Ngôn ngữ sử dụng để lập trình là Visual Basic và phần mềm tính toán được đặt tên là Plateonsoil

ABSTRACT

THE ANALYSIS OF MAT FOUNDATIONS ON SOFT SOIL GROUND

People usually use mat foundations when solving the problem of construction works on soft soil ground Hence, this thesis intensively researchs into mat foundations, especially into the soil models which are suitable for mat foundations

The thesis researchs into two soil models, elastic model Winkler and plasto-elastic model which is advanced from Winkler model The problem

of mat foundations on Winkler model and plasto-elastic model is analysed

by finite element method

On the foundation of above analyses, the problem of mat foundations

on Winkler model and plasto-elastic model is programmed The programming language is Visual Basic and the software is named Plateonsoil

Móng bè hay dùng cho ống khói, tháp nước, xilô, bunke, bể chứa, bể bơi

Ngoài ra, khi mực nước ngầm cao, để chống thấm cho tầng hầm ta có thể dùng móng bè Lúc đó móng bè làm thêm nhiệm vụ ngăn nước và chống lại áp lực nước ngầm

Móng bè có khả năng giảm đi độ lún không đều Có thể dùng móng bè khi tải trọng lớn, đất yếu

1.1.2.Cấu tạo

Móng bè dưới nhà có thể làm dạng bản phẳng hoặc bản sườn

Loại bản phẳng có thể dùng khi bước cột không vượt quá 9m và tải trọng xuống mỗi cột không quá 1000T Bề dày của bản lấy khoảng bằng 1/6 bước cột Móng bè loại bản phẳng đơn giản trong chế tạo nhưng độ cứng thấp nên chi phí bê tông và cốt thép lớn hơn so với móng bản sườn Độ bền chống nén thủng của bản ở mỗi chổ tỳ cột có thể tăng cường bằng cách đặt cốt ngang hoặc làm kiểu mũ cột

8

Khi tải trọng lớn và bước cột lớn hơn 9m cũng như khi cần tăng cường độ cứng của móng thì nên dùng móng bè có sườn Bề dày móng bản sườn có thể lấy bằng 1/81/10 bước cột Sườn chỉ nên làm theo trục các cột

Dưới đây là các dạng móng bè thường gặp (các hình 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 và 1.5)

Hình 1.1 – Móng bè dạng bản phẳng

Hình 1.2 – Móng bè dạng bản phẳng có gia cường mũ cột

9

Hình 1.3 – Móng bè bản sườn trên

Hình 1.4 – Móng bè sườn dưới

Hình 1.5 – Móng bè dưới lò luyện gang

10

1.2.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN MÓNG BÈ

1.2.1.Tính toán móng bè theo phương pháp móng cứng hoặc phản lực nền phân bố tuyến tính

Khi sử dụng phương pháp này, móng được coi là tuyệt đối cứng, phản lực nền được chấp nhận là phân bố tuyến tính, nghĩa là phân bố đều với tải trọng tập trung đặt đúng tâm, phân bố hình thang với tải trọng tập trung đặt lệch tâm

Nội dung của phương pháp này gồm các bước sau:

1 Sau khi có các lực cột từ khung truyền xuống: Q1, Q2, Q3, …,

Qn Thử chọn móng bè có kích thước LB Xác định tổng hợp

2 Xác định áp lực đáy móng tại các điểm A, B, C, D, … bằng công thức sau:

x x y

y

I

y M I

x M F

1

L B

I x  - moment quán tính quanh trục x;

L B

12

1 3

 - moment quán tính quanh trục y;

Mx=Q.ex - moment quán tính của các lực chân cột quanh trục x;

My=Q.ey - moment quán tính của các lực chân cột quanh trục y;

ex và ey – độ lệch tâm theo phương x và phương y của tổng hợp các lực cột

3 So sánh các áp lực này với sức chịu tải cho phép của đất nền, khi tính theo ứng suất cho phép hoặc với Rtc khi tính theo trạng thái giới hạn biến dạng

4 Tính độ lún tại tâm móng hoặc độ lún trung bình của móng, so sánh với độ lún cho phép Sgh

5 Chia móng bè thành nhiều dãy theo phương x và y Tính kết cấu từng dãy với hai giả thuyết: hoặc phản lực nền phân bố đều hoặc phản lực nền phân bố theo dạng hình thang

11

6 Vẽ biểu đồ lực cắt hoặc moment cho từng dãy

7 Từ biểu đồ lực cắt tính bề dày hoặc chọn bề dày bè và kiểm tra điều kiện chống cắt

8 Từ biểu đồ moment, chọn giá trị cực đại và cực tiểu để tính cốt thép cần thiết

Ưu điểm của phương pháp này là đơn giản, dễ tính

Nhược điểm là có nhiều sai số khi coi phản lực là phân bố tuyến tính Từ các thí nghiệm cho thấy phản lực sẽ phân bố theo một đường cong và dạng đường cong sẽ phụ thuộc và tính chất của đất và độ cứng của móng Ngoài ra, khi tính lún cho đất theo phương pháp này, người ta thường coi đất hoạt động trong môi trường đàn hồi Với quan niệm này, độ lún của đất cũng có nhiều sai số

D E

1.2.2.1.Nền biến dạng đàn hồi cục bộ hay nền Winkler

Giả thiết của nền biến dạng đàn hồi cục bộ là mối quan hệ bậc nhất giữa áp lực và độ lún do giáo sư Winkler đề xuất năm 1867

Phương pháp nền biến dạng đàn hồi cục bộ chỉ xét đến độ lún ở nơi đặt lực, không xét đến biến dạng ở ngoài diện gia tải Điều đó cho phép coi nền đàn hồi như gồm các lò xo đàn hồi không liên kết với nhau

Cường độ phản lực của đất tại mỗi điểm tỉ lệ bậc nhất với độ lún đàn hồi tại điểm đó

Trong đó k – hệ số nền đàn hồi, có thứ nguyên là lực/thể tích và

coi là không đổi cho từng loại đất;

y – độ lún của đất trong phạm vi diện gia tải

Ưu điểm của phương pháp này là tính toán đơn giản và kết quả cho tương đối phù hợp với thực tế

Nhược điểm của phương pháp này là quan niệm độ lún chỉ xảy ra trong phạm vi diện gia tải là chưa chặt chẽ Trong thực tế, dưới tác dụng của tải trọng, biến dạng xảy ra trong và ngoài phạm vi diện gia tải Các thí nghiệm cho thấy độ lún ngoài phạm vi diện gia tải tắt đi rất nhanh và nó ảnh hưởng nhiều đến trị số của hệ số nền k trong điều kiện thí nghiệm khi diện tích của bàn nén nhỏ Ngoài ra, quan niệm đất biến dạng đàn hồi là chưa chặt chẽ Thực tế cho thấy, khi áp lực tác dụng lên đất nền vượt quá một giá trị nào đó thì biến dạng của đất không còn là biến dạng đàn hồi nữa Có thể nói, đất là vật liệu có quan hệ ứng suất biến dạng là dẻo

13

1.2.2.2.Nền biến dạng đàn hồi tổng quát

Phương pháp này dựa theo kết quả của lý thuyết đàn hồi đối với vật thể đồng chất đẳng hướng (lý thuyết Boussinesq)

Tính chất biến dạng của nền được đặt trưng bởi module biến dạng Young E và hệ số nở hông Poisson  của đất

Từ lý thuyết đàn hồi tuyến tính, biểu thức cơ bản cho chuyển vị đứng tại M(x,y,z) dưới tác dụng của tải tập trung P tại gốc tọa độ O là

z E

P z y

) 1 (

2

2

) 1 (

3

2 )

, , (

Nhược điểm của phương pháp này là:

 khi tính toán theo phương pháp này, thậm chí khi tải trọng không đáng kể thì ứng suất ở vùng mép móng đạt trị số vô cùng lớn, điều đó không đúng với thực tế;

N

Hình 1.7 – Mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ

1.2.2.3.Nền là lớp đàn hồi có chiều dày hữu hạn

Mô hình nền này được tính trong các trường hợp sau:

 khi nền là tầng đất có chiều dày hữu hạn trên đá cứng, lúc đó sẽ xảy ra hiện tượng tập trung ứng suất trong nền;

 khi móng có diện tích đế lớn, đất có chiều dày lớn có thể coi là nửa không gian thì độ lún tính theo sơ đồ nửa không gian biến dạng tuyến tính sẽ lớn hơn nhiều so với kết quả quan trắc thực tế Lúc đó tính theo mô hình nền là lớp có chiều dày hữu hạn trên đá cứng thì cho kết quả phù hợp

1.3.PHƯƠNG HƯỚNG CỦA ĐỀ TÀI

Qua các phân tích các phương pháp tính toán móng bè hiện nay cho thấy mỗi phương pháp đều có ưu nhược điểm của nó Việc tìm ra một phương pháp tính hiệu quả cho móng bè là một vấn đề bức thiết Và càng quan trọng hơn khi tìm một mô hình nền tương đối hợp lý để diễn tả đúng thực tế của đất nền

N

Hình 1.8 – Biến dạng của đất nền theo lý thuyết

biến dạng đàn hồi tổng quát

15

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn các mô hình nền dùng cho tính toán móng bè ở trên, đặc biệt là mô hình nền Winkler và trên cơ sở đó tìm hiểu phát triển một mô hình nền tương đối phù hợp với tính biến dạng dẻo của vật liệu mà cụ thể ở đây là đất nền, luận văn này sẽ tập trung vào giải quyết một số công việc sau:

1 Phân tích bài toán móng bè trên nền biến dạng đàn hồi cục bộ (nền Winkler)

2 Nghiên cứu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán móng bè trên nền biến dạng đàn hồi cục bộ (nền Winkler)

3 Lập trình tính toán cho bài toán móng bè trên nền biến dạng đàn hồi cục bộ (nền Winkler) theo phương pháp phần tử hữu hạn

4 Phân tích bài toán móng bè trên nền biến dạng đàn-dẻo, phát triển mô hình nền biến dạng đàn hồi cục bộ, đặc biệt là nền biến dạng đàn-dẻo thuần túy (perfectly plasto-elastic model)

5 Nghiên cứu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán móng bè trên nền biến dạng đàn-dẻo thuần túy

6 Lập trình tính toán cho bài toán móng bè trên nền biến dạng đàn-dẻo thuần túy theo phương pháp phần tử hữu hạn

16

CHƯƠNG 2

NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN MÓNG BÈ

THEO MÔ HÌNH NỀN WINKLER

2.1.MÔ HÌNH NỀN WINKLER

Như đã nói ở trên, người ta có thể tính toán móng bè theo phương pháp móng cứng (phản lực nền phân bố tuyến tính) và phương pháp tính toán móng chịu uốn

Trong phương phương pháp tính toán móng chịu uốn, người ta có xét đến ứng xử thực của đất nền Đất nền tương đồng với hệ vô số các lò xo đàn hồi tuyến tính, thông thường được biết với tên là nền Winkler hoặc nền biến dạng đàn hồi cục bộ Hằng số đàn hồi của hệ lò xo được gọi là hệ số phản lực nền, k

Mô hình nền Winkler, =kS

P

P

S O

Hình 2.1 – Mô hình nền Winkler

17

2.1.1.Hệ số nền

Theo định nghĩa, hệ số nền

1 2

1 2

S S S

Sau đây là một ví dụ cho cách tính hệ số nền từ thí nghiệm bàn nén (hình 2.2)

Người ta thực hiện thí nghiệm bàn nén hiện trường, có đường kính là 0,45m Đầu tiên, người ta đặt một áp lực 70kPa và chờ đến độ lún ổn định, sau đó giảm áp lực còn 10kPa Số đọc của ba chuyển vị kế lần lượt là

5510-5m, 10310-5m và 7210-5m Tiếp theo, áp lực đáy bàn nén tăng trở lại 70kPa, số đọc các chuyển vị kế bây giờ lần lượt là 7010-5m, 11810-5

m và 8610-5m

Sau đó, hệ số nền được tính như ở sau

Số đọc trung bình của ba chuyển vị kế trước khi tăng tải trở lại là

S



O 1=10kPa

S1 S2

2=70kPa

Hình 2.2 – Xác định k từ thí nghiệm bàn nén

72 103 55

86 118 70

3 5

) 45 , 0

10 6 , 14

10 70

m MN S

) 75 , 0

75 , 0

45 , 0 10 6 , 14

10 70

m MN S

Trên nền đất cát

2 1 1

2

Trên nền sét

5 , 1

5 , 0

Bảng 2.1 – Hệ số nền tiêu chuẩn Terzaghi

Loại đất Trạng thái k 0,3 (MN/m3)

Vesic đề nghị một công thức xác định hệ số nền từ module biến dạng Young Es của đất như sau

2 12

4 ,

1

.

65 , 0





f f

I E

B E

với Ef – module Young của vật liệu móng;

If =(1/12).B1.h2 – moment quán tính của tiết diện ngang của dầm;

Es – module Young của đất nền;

B – bề rộng móng;

 – hệ số Poisson

20

Từ trên, ta có thể xác định k như sau

B

k k



B

E

Ngoài ra, Scott (1981) đề nghị một công thức tương quan xác định

k0,3 từ kết quả xuyên động SPT cho đất cát

2.1.2.Hệ phương trình cơ bản cho dầm trên nền Winkler

Từ cơ sở cơ học vật liệu

2

2

.

dx

y d I E

trong đó M – moment tại tiết diện bất kỳ;

Ef – module Young của vật liệu móng;

If=(1/12).b.h3 – moment quán tính của tiết diện ngang của dầm

Mặt khác, chúng ta có

Q dx

dM



) ( ) (

2

2

x q x p dx

M

) ( ) (

. 4

4 2

2

x q x p dx

y d I E dx

M d

f

trong đó p(x) – áp lực lên móng ở tiết diện tọa độ x;

q(x) – phản lực của đất nền ở tiết diện tọa độ x

21

Theo định nghĩa hệ số nền, ta có q(x)=k*.y(x) với k*=k.B

Từ trên, phương trình vi phân trục võng của dầm như sau

) ( ) (

.J y(4) p x q x

) ( ) (

.(

) sin cos

.(

) (x e . C1 x C2 x e . C3 x C4 x

y'

x'

Hình 2.4 – Bài toán bản trên nền Winkler

2.2.TÍNH TOÁN MÓNG BÈ TRÊN NỀN WINKLER THEO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Ở trên đã trình bày về các cách phổ biến để xác định hệ số nền khi tính toán móng trên nền Winkler

Trong phần này, bài toán móng bè trên nền Winkler sẽ được giải chi tiết theo phương pháp phần tử hữu hạn Để cho dễ dàng minh họa cụ thể, luận văn chỉ tập trung vào giải bài toán móng bè dạng bản có lực tập trung

do cột truyền xuống Các dạng khác của móng bè có thể được phát triển mở rộng trên cơ sở của bài toán này

Ở bài toán này, chọn hệ trục tọa độ tổng thể Ox’y’z’ sao cho trục x’ và y’ nằm trên mặt phẳng ngang, trục z’ hướng thẳng đứng lên trên Móng

x'

23

bè dạng bản, có hai cạnh hướng theo hai trục x’ và y’, khoảng cách của các bước cột theo phương x’ và y’ lần lượt là a và b, số bước cột theo phương x’ và y’ lần lượt là n và m Như vậy chiều dài bản theo phương x’ và y’ là Lx=n.a và Ly=m.b Lực tập trung tác dụng tại các cột là P Cụ thể cho ở hình 2.4

Số thứ tự các nút tại các chân cột được đánh số như hình trên Tăng dần theo chiều Ox và chiều Oy với Ox theo phương cạnh dài của bản, Oy theo phương cạnh ngắn của bản

Như vậy, với bản có n khoảng theo phương cạnh dài (Ox) và m khoảng theo phương ngắn (Oy) thì bài toán có (m+1)(n+1) nút

2.2.1.Xác định độ cứng lò xo tại các nút

Bài toán bản trên nền biến dạng đàn hồi cục bộ Winkler với hệ số nền k được đưa về bài toán bản trên các lò xo đặt tại các nút Ở đây coi các nút là vị trí các lực cột truyền xuống Như vậy độ cứng của các lò xo tại các nút được xác định như sau

Độ cứng của các lò xo sẽ phụ thuộc vào các diện tích mà nó phải gánh đỡ (tạm gọi là diện tích ảnh hưởng) Giả định các diện tích này được chia đều theo diện tích của hình chữ nhật ở trên

Hình 2.5 – Xác định độ cứng các lò xo ở nút

K2=k  ¼  (diện tích 1-2-6-5 + diện tích 2-3-7-6) Các nút nằm ở giữa (như nút 6) thì tương tự ta có

K6=k  ¼ diện tích

Xét một ví dụ bản trên nền Winkler với k=500T/m3 Bản có chiều dài là 12m, rộng là 6m, bề dày của tấm là 0,4m với ba nhịp theo phương dài và hai nhịp theo phương rộng, lực nút tác dụng là 10T Để xuyên suốt,

ví dụ này sẽ được sử dụng khi cần minh họa trong luận văn này

Nút Diện tích ảnh hưởng (m 2 ) Độ cứng (T/m)

q1 q2

q3

q4 q5

q6

q7 q8 q9

Hình 2.7 – Phần tử tấm dạng tam giác chịu uốn cùng các bậc

tự do của nó

2.2.2.Rời rạc hóa miền khảo sát, chọn hàm xấp xỉ và xây dựng

ma trận phần tử [K] e và vectơ tải phần tử {P} e

Trong bước này, bản được chia thành các phần tử con

Phần tử được chọn cho bản để giải bài toán này là phần tử tấm không tương thích dạng tam giác

Trước hết, ta tìm hiểu về phần tử tấm không tương thích dạng tam giác

Phần tử tấm không tương thích dạng tam giác sử dụng Lý thuyết cổ điển của Kirchhoff Cụ thể là các giả thiết:

 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm vẫn còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chịu uốn và chiều dài của chúng là không đổi

 Khi tấm bị uốn, mặt trung bình không bị kéo nén hay trượt Nó là mặt trung hòa

 Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm

i là

i yi

i xi

i

x

w y

w(x,y)=a1+a2x+a3y+a4x2+a5xy+a6y2+a7x3+a8(x2y+xy2)+a9y3 (2.11)

Để xem xét tính tương thích của phần tử đang xét với hàm độ võng được cho bởi (2.11) người ta xét chuyển vị và đạo hàm của nó trên các cạnh

Xét cạnh biên ij, cạnh chung giữa hai phần tử A và B kề sát nhau (hình 2.8)

y

x A

Hình 2.8 – Tính tương thích dọc cạnh biên chung giữa hai phần tử

2a x a x a

x

w x

w

y ij

Chúng ta hoàn toàn có thể xác định được bốn tham số a1, a2, a4, a7

một cách duy nhất theo bốn bậc tự do trên Do đó w và

Tuy nhiên, kết luận này không đúng đối với độ dốc theo phương y, tức

28

2 8 5 3 0

x a x a a y

w y

w

y ij

ij

w y

Tuy nhiên, phần tử này vẫn cho kết quả tốt và được sử dụng rộng rãi trong thực tế

Quy trở lại với hàm xấp xỉ của độ võng, ta thấy hàm độ võng (2.11)

ở dạng ma trận là

Trong đó ma trận các đơn thức [P(x,y)] là

[P(x,y)]=[1 x y x2 xy y2 x3 (x2y+xy2) y3] (2.16) Và vectơ các tham số {a} có chín thành phần

{a}={a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9}T Vectơ các bậc tự do của phần tử, hay vectơ các chuyển vị nút phần tử {q}e cũng gồm chính thành phần (hình 2.7)

29

{q}e={wi

i y

tại các nút i, j và k có tạo độ (0,0), (a,0) và (0,b) trong hệ tọa độ địa phương như hình 2.7

q1=wi =w(0,0)

) 0 , 0 (

2

y

w y

w q

3

x

w x

w q

y

w y

w q

x

w x

w q

y

w y

w q

x

w x

w q

.

Trong đó, ma trận [A] là

0 0

0 1 0

3 0 0

2 0 0 1 0 0

0 0

0 0 0

1

0 0 3

0 0 2 0 1 0

0 0

0 0

1 0 0

0 0 0

0 0

1

0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 1

2 2

3 2

2 2

3 2

b b

b b

b b

b

a a

a a

a a

1 0 0 0

1 0 1 1 0

0 0 0

1 0 2 1 0 2

0 1 3 0 0 0 0 2 3

0 0 0 0

0

0 0 0

1 0 3 2 0 3

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1

2 3 2

3

2 3

2 3

2 2

2 2

1

b b b

b

bc ac

bc ac

a a

a a

b b b

b

bc

a ac

b bc

a ac b

a a

a a

Trong đó, c=b-a

Hàm độ võng có thể được biểu diễn như tổ hợp tuyến tính các hàm dạng, tức là

   e i

i

i q N q N

y x

 9

1

) ,

Trong đó, ma trận hàm dạng [N] là

[N]=[P(x,y)][A]-1=[N1 N2 N3 … N9] (2.22) Với các hàm dạng Ni như sau

31

2 3 3 3 2 2 2 2 1

2 2

3 3

b

x a

y b

x a

3 2 2 2

2 2

1 1

1 2

y b

xy ac y x ac

y b

xy ac

b y

2 2

3 2 2

3

1 1

1 2

xy bc y x bc

x a

xy bc

a x a x

3 3 2 2 4

2 3

x a

x a

2 2

5

1 1

xy ac y x ac

xy ac

b

3 2 2 6

1 1

x a

x a

3 3 2 2 7

2 3

y b

y b

3 2 2 8

1 1

y b

y b

2 2

9

1 1

xy bc y x bc

xy bc

z

y x

w z y

w z x

w z

xy y x e

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

y x P y

y x P x

y x P

z q A y x P

y x y

x

2 2 2 2 2

1

2 2 2 2 2

)}

, ( [ 2

) , ( [

)]

, ( [

) , ( 2

[ ]

6 2

0 2 0 0 0 0 0

0 2

6 0 0 2 0 0 0 ) , ( 2

]

[

2 2 2 2 2

y x

y x

y x

y x P

y x y

t

2 /

2 /

2

] ][

][

[ ] [ ) ] ([

3

] [ ] ][

[ ] [ ) ] ([

12 ]

Trong đó, A là diện tích phần tử

Công thức (2.31) có thể viết ở dạng gọn hơn

1 1

] ][

[ ) ] ([

]

dA B D B

0 1

0 1

] [

D là độ cứng trụ của tấm

Với [B] có trong (2.28), ta tính sẵn tích các ma trận [B]T[D]t[B] là

12 0

12 0 0 0

] 2 ) )(

1 ( 8

) 2 2 2 ( 4 [ ) ( 12 ) ( 4 ) )(

1 ( 4 ) ( 4 0 0 0

2 36 12

0 12

0 0 0

4 0

4 0 0 0

) 1 ( 2 0

0 0 0

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0

] [ ] [

]

[

y xy y xy

y y

y x

xy y x x y x x y y x x

y

x x

x

D B D

dA B D B

b a J

xydA xy

A





 (moment quán tính ly tâm của phần tử với hệ trục xy)

Các tích phân khác cũng suy ra tương tự một cách dễ dàng

Thực hiện tích phân (2.33), ta được một ma trận [I] như sau

88 87

86 85

84 0 0 0

3 18 2 12 0 2 12 0 0 0

12 0 12

0 0 0

) 1 ( 6 0 0 0 0

12 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6

]

[

ab b a ab b a ab ab

I I

I I

I

b a b a b

a

ab ab

ab

ab D

I88=2[(a3b+ab3)(3-2)+a2b23(2-

Cuối cùng thực hiện nhân ma trận như (2.32) với [A]-1 đã có ở (2.20),

ta xác định được ma trận độ cứng của phần tử tấm tam giác ba nút

Với phần tử dạng tam giác trên, bản móng được chia ra thành các phần tử như hình 2.9 Số thứ tự phần tử được đánh số theo chiều tăng của trục x và trục y

2n-1 2n 2n+1

2n+2

4n-1 4n

2mn-1 2mn y'

x'

Hình 2.9 – Rời rạc hóa bản móng

Áp dụng cho ví dụ đã nói ở trên, ta có lưới được chia như sau

Với cách chia lưới như trên, ta thấy rằng những phần tử có chỉ số lẻ (1,3,…) thì hệ trục tọa độ địa phương trùng với hệ trục tọa độ tổng thể Còn những phần tử có chỉ số chẵn (2,4, ) thì hệ trục tọa độ địa phương khác với hệ trục tọa độ tổng thể (hình 2.11) Như vậy, đối với các phần tử này thì phải chuyển đổi hệ trục tọa độ

36

Nếu hệ trục tọa độ tổng thể x’y’z’ có mặt phẳng tọa độ (x’y’) trùng với mặt phẳng (xy) của hệ tọa độ địa phương, tức là trùng với mặt trung gian tấm thì ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ [T]e được cho bởi

x x

y y

x x

y y

x x

e

m l

m l

m l

m l

m l

m l

T

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1

37

Để minh họa, xét đến ví dụ đã nói ở trên

Với các số liệu đã cho, ta có a=4m, b=3m, như vậy c=b-a=-1m Ta tính được ma trận [A]-1 như sau

0 0

0 11 , 0 07 , 0

33 , 0 0 0

0 25 , 0 0 33 , 0 25 , 0 0

0 0

0 06 , 0 0

03 , 0 06 , 0 0

03 , 0

0 33 , 0 33 , 0 0 0

0 0

67 , 0 33 , 0

33 , 1 0

0 0

75 , 0 0

33 , 1 75 , 0 0

0 0

0 25 , 0 0 19 , 0 5 , 0 0

19 , 0

0 0

0 0

0 0

0 1

0

0 0

0 0

0 0

1 0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

33 , 1 0

0 0 0

11 , 0 0

0 33 , 0 0

0 0 0 0

07 , 0 0

0 33 , 0 0 0

0 0 0

0 0

06 , 0 0

0 25 , 0 0 0 0

0 25 , 0 0 0

75 , 0 0

0 0 0

0 0

03 , 0 0

0 19 , 0 0 0 0

0 33 , 0 06 , 0 0

33 , 1 5 , 0 0 1 0

11 , 0 25 , 0 0

67 , 0 75 , 0 0 1 0 0

07 , 0 0 03 , 0 33 , 0 0

19 , 0 0 0 1

, 3340987 72

, 1822356 40

, 1012420 0

08 , 202484 0

0 0

00 , 7300676 75

, 3577218 32

, 517459 47

, 629950 39

, 427466 0

0 0

20 , 8099363 77

, 269978 0

87 , 1349893 0

0 0

47 , 337473 0

69 , 67494 0

0 0

39 , 134989 0

0 0 0

47 , 337473 0

0 0

0 0 0

0 0 0

, 38903 94

, 375907 05

, 10546 37

, 494492 63

, 367158 08

,

35544

53 , 18748 02 , 12499 70

, 7030 59

, 49683 35

, 3515 49

, 73275 07

, 30935 37

,

16014

02 , 12499 13

, 4687 53 , 18748 28

, 2812 02

, 31560 51

, 6249 30

, 15311

05 , 10546 39 , 29177 02

, 5273 24

, 49449 70

, 22146 15

,

9960

35 , 295992 53

, 7909 69 , 378368 37

, 289430 06

,

26658

77 , 3954 09

, 21092 05

, 2988 05 ,

6767

50 , 529411 12

, 356964 11

, 52652

96 , 339113 46

, 375907 05

, 10546 37 , 494492 63

, 367158 08

, 35544

53 , 18748 02 , 12499 70 , 7030 59

, 49683 35

, 3515 49 , 73275 07

, 30935 37

, 16014

02 , 12499 13 , 4687 53

, 18748 28

, 2812 02 , 31560 51

, 6249 30 , 15311

05 , 10546 39 , 29177 02

, 5273 24

, 49449 70

, 22146 15

,

9960

35 , 295992 53

, 7909 69 , 378368 37

, 289430 06

, 26658

77 , 3954 09 , 21092 05

, 2988 05

, 6767

50 , 529411 12

, 356964 11

, 52652

96 , 339113 46

, 3261

34 , 22078

39

2.2.3.Ghép nối các phần tử, xây dựng phương trình hệ thống

Phương trình hệ thống là

Trong đó, [K’] – ma trận độ cứng tổng thể;

{q’} – vectơ chuyển vị nút tổng thể;

{P’} – vectơ tải tổng thể

Do bản móng được chia ra làm n khoảng theo phương x’ và m khoảng theo phương y’ nên bài toán có (n+1)(m+1) nút tức có 3(n+1)(m+1) chuyển vị cần tìm Như vậy, vectơ chuyển vị nút tổng thể có dạng như sau

{q’}={q1 q2 q3 … q3(n+1)(m+1)}T (2.40)

Trong đó, với nút có chỉ số i nào đó thì tại đó có ba chuyển vị là q3i-2,

q3i-1 và q3i

q3i-2=wi (chuyển vị thẳng theo phương z’)

q3i-1=x’i (chuyển vị xoay theo trục x’)

q3i=y’i (chuyển vị xoay theo trục y’)

Tương tự, vectơ tải tổng thể {P’} cũng sẽ là ma trận kích thước 3(n+1)(m+1)1 và do có các giá trị lực nút P hướng thẳng đứng xuống dưới (ngược chiều trục z) nên có dạng sau

ma trận độ cứng chưa đầy đủ này là [K’]1)

Ma trận độ cứng [K’]1 là ma trận vuông đối xứng qua đường chéo chính có kích thước là 3(n+1)(m+1)3(n+1)(m+1)

Tiếp theo, phải đưa độ cứng của các lò xo tại các nút vào Do lò xo tại một nút i nào đó sẽ có phương chuyển vị và phản lực cùng phương với chuyển vị wi (hay q3i-2) tại nút đó nên ma trận độ cứng lúc này sẽ được cộng thêm độ cứng Ki của lò xo tại nút i vào vị trí (i,i) của ma trận [K’]1 Đến lúc này thì ma trận độ cứng tổng thể mới là đầy đủ ([K’])

Xét ví dụ đã nói ở trên Xây dựng ma trận độ cứng tổng thể cho bài toán đó như sau

Ma trận chỉ số cục bộ [b]