Ứng dụng mạng hopfield tách sóng đa truy nhập trong cdma

AWGN Additive white Gausian noise – nhiễu cộng Gaussian BER Bit Error Rate – Tỉ số lỗi bit BFSK Binary Frequency Shift Keying BPSK Binary Phase Shift Keying BPF Band Pass Filter – Bộ lọc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

PHÒNG QUẢN LÝ ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC

05/2003

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả thầy cô trong trường cũng như ngoài trường, người thân và bạn bè đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá

trình học Cao học và làm Luận án tốt nghiệp

Tôi cũng vô cùng cảm ơn tất cả thầy cô trong bộ môn Viễn Thông thuộc Khoa Điện Trường Đại Học Bách Khoa TP.HCM đã tận

tình giảng dạy tôi trong quá trình học Cao học và làm Luận án

Đặc biệt, chân tình cảm ơn sự hướng dẫn rất nhiệt tình của TS

Phạm Hồng Liên Luận án của tôi được hoàn thành là nhờ công lao

hướng dẫn và góp ý rất nhiều của cô

Cuối cùng, tôi muốn gởi lời cảm ơn thật nhiều đến người thân trong gia đình luôn ở bên tôi và động viên rất nhiều trong suốt quá

trình học Cao học và nghiên cứu làm Luận án Cao học

05/2003

Phạm Hùng Kim Khánh

Quá trình nghiên cứu và phát triển hệ thống thông tin số đã trải qua những thời kỳ khác nhau Các nguồn thông tin đòi hỏi tốc độ truyền dữ liệu ngày càng cao nên hệ thống thông tin vô tuyến đòi hỏi băng tần rộng hơn Thông tin được truyền từ nhiều nguồn khác nhau chứ không phải là duy nhất Từ đó, cần phải có một quá trình thực hiện giải điều chế để tách các luồng thông tin từ các nguồn riêng biệt nhau

Do đó, kỹ thuật dùng các máy thu cổ điển không đủ đáp ứng cho các yêu cầu này mà cần phải có các kỹ thuật khác để gia tăng dung lượng của mạng vô tuyến Luận án này sẽ thực hiện nghiên cứu một số loại máy thu nhằm giảm và triệt nhiễu đa truy nhập trong hệ thống CDMA băng rộng

Cấu trúc luận án gồm có 5 chương:

này sẽ thảo luận một số vấn đề liên quan đến CDMA: phương thức đồng bộ, tạo mã giả ngẫu nhiên

chế bằng một mô hình đơn giản – bộ lọc thích nghi

tách sóng đa truy nhập: tuyến tính và phi tuyến

dựa cơ sở trên mạng Hopfield

một số phương pháp tách sóng đã khảo sát ở chương 3

HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI

Mục tiêu đề tài là thực hiện giới thiệu một loại máy thu khác với độ phức tạp thấp hơn so với máy thu đa truy nhập tối ưu (Verdú)

Máy thu sử dụng trong đề tài dựa cơ sở trên mạng neural Tuy nhiên do thời gian có hạn nên đề tài chỉ tập trung trên mạng neural đơn lớp Vấn đề tách sóng đa truy nhập cũng có thể được phát triển rộng hơn dựa trên mạng neural đa lớp (multilayer) hay mạng neural mờ

Ngoài ra, hệ thống chỉ sử dụng một dạng sóng mang duy nhất nên sẽ gây ra xác suất lỗi cao hơn Ta có thể sử dụng hệ thống khác dùng nhiều sóng mang, đó

là hệ thống đa truy nhập đa sóng mang (Multi-carrier Multi-user detection)

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CHUNG VỀ CDMA 1

1 Tổng quan 1

2 DS - CDMA (Direct Sequence CDMA) 2

2.1 Nguyên lý 2

2.2 Ảnh hưởng của nhiễu nhiệt 3

2.3 Nhiễu đơn tần (Single-Tone Interference) 4

2.4 Nhiễu băng rộng (Wideband Interference) 6

3 FH - CDMA (Frequency Hopping CDMA) 7

4 TH - CDMA (Time Hopping CDMA) 11

5 Hệ thống hỗn hợp (Hybrid) FH/DS 13

6 Đồng bộ 15

6.1 Đồng bộ cho hệ thống DS 15

6.2 Đồng bộ cho hệ thống FH 18

7 Chuỗi giả ngẫu nhiên 21

7.1 Lý thuyết trường Galois 22

7.2 Đặc tính tương quan 29

7.3 Chuỗi nhị phân 34

8 So sánh các phương pháp trải phổ 43

CHƯƠNG 2: KÊNH TRUYỀN CDMA 46

1 Mô hình CDMA đồng bộ cơ bản 46

2 Mô hình CDMA bất đồng bộ cơ bản 47

3 Dạng sóng nhận dạng 47

3.1 Trải phổ dùng chuỗi trực tiếp 47

3.2 Hệ số trải phổ 48

4 Hiện tượng Fading 48

4.1 Fading phẳng (Frequency – flat fading) 48

4.2 Fading chọn lọc tần số (Frequency-selective fading) 50

4.3 Fading đồng nhất 52

5 Nhiễu trong CDMA 53

5.1 Nhiễu xuyên ký tự (Inter-Symbol Interference) 53

5.2 Nhiễu đồng kênh (CCI: Co-Channel Interference) 58

5.3 Nhiễu xuyên kênh (Adjust Channel Interference) 64

5.4 Nhiễu gần-xa 68

5.5 Hiệu ứng Doppler 68

6 Mạch lọc thích hợp đơn kênh 71

6.1 Máy thu tối ưu cho kênh truyền đơn 71

6.2 Bộ lọc thích hợp trong kênh truyền CDMA 72

6.3 Bộ lọc thích hợp đơn kênh kết hợp trong kênh truyền Rayleigh 75

CHƯƠNG 3: THIẾT KẾ MÁY THU 77

1 Máy thu tuyến tính 77

1.1 Máy thu khử tương quan 77

1.2 Máy thu LMMSE (Linear Minimum Mean Square Error) 84

2 Máy thu phi tuyến 98

2.1 Máy thu đa truy nhập tối ưu 98

2.2 Máy thu dùng mạng neural 108

CHƯƠNG 4: MÁY THU DÙNG MẠNG NEURAL 110

1 Dẫn nhập 110

2 Ánh xạ 112

3 Phân loại mô hình 112

4 Huấn luyện mạng 117

4.1 Một số khái niệm 117

4.2 Quy tắc huấn luyện 118

4.3 Một số kỹ thuật khác 121

4.4 Mạng RBF 123

4.5 Thuật toán SVM (Support Vector Machine) 125

5 Mạng neural hồi quy 130

5.1 Kiến trúc mạng neural hồi quy 130

5.2 Mạng Hopfield 131

5.3 Máy thu HNN (Hopfield neural network) 131

5.4 Đặc tính hội tụ của mạng Hopfield rời rạc 138

CHƯƠNG 5: KẾT QUẢ VÀ THUẬT TOÁN MÔ PHỎNG 140

AWGN Additive white Gausian noise – nhiễu cộng Gaussian

BER Bit Error Rate – Tỉ số lỗi bit

BFSK Binary Frequency Shift Keying

BPSK Binary Phase Shift Keying

BPF Band Pass Filter – Bộ lọc thông dải

CD Conventional Detector – Máy thu cổ điển

CDMA Code Division Multiple Access – Đa truy nhập phân chia theo mã DS-CDMA Direct Sequence CDMA – CDMA dùng chuỗi trực tiếp

FH Frequency Hopping – Nhảy tần số

GF Galois field – Trường Galois

HNN Hopfield neural network – Mạng Hopfield

ISI Intersymbol Interference – Nhiễu xuyên ký tự

LMMSE Linear MMSE – MMSE tuyến tính

LPF Low Pass Filter – Bộ lọc thông thấp

MAI Multiaccess Interference – Nhiễu đa truy nhập

MF Matched filter – Bộ lọc thích hợp

MMSE Minimum Mean Square Error – Lỗi bình phương trung bình nhỏ nhất MOE Mean Output Energy – Năng lượng ngõ ra trung bình

MSD Multistage Detector – Máy thu đa tầng

MUD Multiuser Detection – Tách sóng đa truy nhập

RBF Radial Basis Function

ODM Optimum Multiuser Detector – Máy thu đa truy nhập tối ưu

PAM Pulse Amplitude Modulation – điều biên xung

PN Pseudo Noise – Mã giả ngẫu nhiên

SFH Slow Fast Hopping – Nhảy tần chậm

SHN Stochastic Hopfield network – Mạng Hopfield dừng

SIR Signal-to-Interference Ratio – Tỉ số tín hiệu trên giao thoa

SNR Signal-to-Noise Ratio – Tỉ số tín hiệu trên nhiễu

SVM Support Vector Machine – Máy vector hỗ trợ

TH Time Hopping – Nhảy thời gian

GIỚI THIỆU CHUNG VỀ CDMA

1 Tổng quan

Lý thuyết về CDMA đã được xây dựng từ những năm 1950 và được áp dụng trong thông tin quân sự từ những năm 1960 Cùng với sự phát triển của công nghệ bán dẫn và lý thuyết thông tin trong những năm 1980, CDMA đã dần dần được thương mại hoá

Hệ thống CDMA sử dụng kỹ thuật trải phổ nhằm thực hiện cho các hệ thống thông tin có khả năng chống phá sóng cao Kỹ thuật trải phổ là ứng dụng trực tiếp của lý thuyết thông tin của Shannon, đã trở nên rất quan trọng trong các hệ thống thông tin do có nhiều tính năng ưu việt như giảm mật độ công suất, độ định vị cao,

độ phân giải cao,…

Có 3 kỹ thuật trải phổ:

ƒ Chuỗi trực tiếp (DS - Direct Sequence)

ƒ Nhảy tần số (FH - Frequency Hopping)

ƒ Nhảy thời gian (TH - Time Hopping)

Trải phổ là một kỹ thuật được thực hiện bằng cách điều chế lần thứ hai một tín hiệu đã được điều chế nhằm tạo ra một dạng sóng sẽ là nhiễu đối với bất kỳ một tín hiệu nào khác hoạt động trong cùng băng tần Vì vậy, khi máy thu tín hiệu AM hay FM thông thường sẽ không nhận thấy sự hiện diện của tín hiệu trải phổ đang hoạt động trên cùng băng tần Tương tự, máy thu tín hiệu trải phổ sẽ không nhận diện được sự hiện diện của tín hiệu AM hay FM Vì thế, người ta nói các tín hiệu này "trong suốt" (transparent) với nhau

Để tạo được sự "trong suốt" này, kỹ thuật trải phổ điều chế một tín hiệu đã điều chế, điều biên hay điều tần băng rộng, vì vậy sẽ tạo ra một tín hiệu có băng thông rất rộng Ví dụ: tín hiệu AM thông thường có băng thông 10 KHz, một tín hiệu trải phổ hoạt động ở cùng tần số sóng mang như tín hiệu AM và có cùng công suất Ps nhưng có băng thông 1 MHz Như vậy trong khoảng băng tần 10 KHz của tín hiệu AM công suất của tín hiệu trải phổ là Ps(104/106) = Ps/100 và đối với đầu thu của tín hiệu AM, phần công suất của tín hiệu trải phổ giao thoa với nó tương đương như tín hiệu nhiễu thấp hơn 20 dB

Trong hệ thống CDMA, nhiều user sử dụng chung miền thời gian và tần số, các mã giả ngẫu nhiên (PN - Pseudo Noise) với sự tương quan chéo thấp được ấn định cho mỗi user Tốc độ bit của chuỗi PN phải đủ lớn để trải phổ tín hiệu trên toàn băng thông User truyền tín hiệu bằng cách trải phổ tín hiệu truyền sử dụng chuỗi

PN đã được ấn định Máy thu sẽ tạo lại một chuỗi giả ngẫu nhiên như ở máy phát và khôi phục lại tín hiệu nhờ việc dồn phổ các tín hiệu đồng bộ thu được

™ Tính chất của kỹ thuật trải phổ

ƒ Băng thông tín hiệu phát lớn hơn nhiều so với băng thông cần thiết để

truyền thông tin chứa trong tín hiệu đó

ƒ Việc trải phổ được thực hiện nhờ tín hiệu trải phổ c(t), thường được gọi là

tín hiệu mã (code) Tín hiệu này độc lập với dữ liệu truyền đi

ƒ Ở đầu thu, việc thu lại tín hiệu ban đầu được thực hiện nhờ kỹ thuật dồn

phổ (despreading) khôi phục dữ liệu nguyên thuỷ bằng cách xét sự tương

quan của tín hiệu thu được với tín hiệu giống hệt và được đồng bộ với tín

hiệu mã dùng để trải phổ

2 DS - CDMA (Direct Sequence CDMA)

2.1 Nguyên lý

Một tín hiệu trải phổ chuỗi trực tiếp là một tín hiệu mà biên độ của tín hiệu

đã được điều chế trước đó được điều chế lại một lần nữa bằng một chuỗi nhị phân

với g(t) là chuỗi nhị phân giả ngẫu nhiên PN có các giá trị 1

Chuỗi g(t) được tạo ra bằng một phương pháp xác định và lặp lại có chu kỳ

nhưng chiều dài chuỗi trước khi lặp lại rất dài nên người ta xem g(t) là chuỗi ngẫu

nhiên, tức là không có sự liên hệ giữa giá trị của một bit với giá trị của các bit khác

Hơn nữa, tốc độ bit của g(t) là fc >> fb (tốc độ bit của chuỗi dữ liệu) Hay có thể nói

rằng g(t) phân chia các bit của d(t) thành các chip nên tốc độ g(t) gọi là tốc độ chip

(chip rate) còn tốc độ d(t) gọi là tốc độ bit (bit rate)

Băng thông của tín hiệu v(t) là 2fb và băng thông tín hiệu trải phổ là 2fc nên

phổ của tín hiệu được trải ra theo tỷ số fc/fb Vì công suất phát của hai tín hiệu v(t)

và s(t) bằng nhau nên mật độ phổ công suất Gs(f) sẽ giảm theo một tỷ số là fb/fc

Trước tiên, tại đầu thu, tín hiệu thu r(t) được nhân với chuỗi g(t) và sau đó là

sóng mang 2 Ps cosω0t Tín hiệu thu được cho qua bộ tích phân và đầu ra bộ tích

phân được lấy mẫu theo từng khoảng bit, ta được chuỗi dữ liệu d(kTb) Như vậy, tại

mỗi đầu thu cần phải tạo ra được dạng sóng mang hình sin, tần số ω0 và chuỗi giả

ngẫu nhiên g(t) như ở đầu phát

Hình 1.1: Dạng sóng của d(t), g(t) và d(t)g(t)

Quá trình trải phổ, thu và phát:

Hình 1.2: Sơ đồ thu-phát trải phổ của DS

2.2 Ảnh hưởng của nhiễu nhiệt

Ta thấy rằng kỹ thuật trải phổ có thể triệt được ảnh hưởng của một tín hiệu giao thoa xác định, ta cần xét xem hệ thống có bị ảnh hưởng bởi nhiễu nhiệt hay không

Ở hệ thống trên, dạng sóng dữ liệu d(t) là một chuỗi bit NRZ có giá trị +1 và -1 ở tốc độ fb trong khi dạng sóng của chuỗi giả ngẫu nhiên cũng có giá trị +1 và -1

Channel d(t)

g(t) và vì g(t)g(t) = 1 nên sẽ không có ảnh hưởng gì đến tín hiệu nhận được Nhiễu

n(t) xâm nhập vào kênh và tại máy thu sẽ bị trải phổ bởi g(t) trước khi đến bộ tích

phân Điều đó có nghĩa là cứ sau một khoảng ngẫu nhiên, cực của sóng nhiễu sẽ bị

đảo ngược một lần Sự đảo cực này không ảnh hưởng đến mật độ phổ công suất hay

hàm mật độ xác suất của nhiễu Gauss Do vậy cả tín hiệu và các đặc tính của nhiễu

không bị ảnh hưởng bởi kỹ thuật trải phổ

Giống như đối với một hệ thống BPSK không có trải phổ, xác suất lỗi là:

trong đó Eb: năng lượng bit

η/2: mật độ phổ công suất của nhiễu

2.3 Nhiễu đơn tần (Single-Tone Interference)

Ta xét tín hiệu trải phổ DS giao thoa với một tín hiệu hình sin với công suất

Pj ở tần số sóng mang là f0 Như vậy, trên hình 1.2, nhiễu n(t) được thay thế bằng

dạng sóng 2Pj cos(ω0t + θ)

Ngõ vào của máy thu là:

Vì g2(t) = 1 nên tín hiệu ngõ ra v0(t) xuất hiện ở đầu vào bộ tích phân là:

v0(t) = P d(t)(1 + cos2ωs 0t) + P g(t)(1 + cos2ωj 0t)cosθ

Đầu ra của bộ tích phân là:

θ+

= P d(t) P d t()cos)

t(

Chú ý rằng tại đầu vào máy thu theo công thức (1.4), tín hiệu thông tin là

một tín hiệu băng rộng trong khi đó tín hiệu gây nhiễu lại là một tín hiệu băng hẹp

Mặt khác theo công thức (1.6) tín hiệu thông tin bây giờ chỉ phụ thuộc vào d(t) mà

không phụ thuộc vào g(t), là một tín hiệu mà băng thông của nó đã được nén Tín

hiệu gây nhiễu trong công thức (1.4) có phổ chứa một thành phần tần số f = f0 xuất

hiện như một tín hiệu băng rộng Sử dụng công thức tính mật độ phổ công suất cho

tín hiệu BPSK, ta được mật độ phổ công suất của tín hiệu gây nhiễu là:

π π

c

c

f

f c

f

cosP2

2

(1.7)

Có thể xem một bộ lấy tích phân mà chu kỳ lấy tích phân của nó là Tb tương

tự như một bộ lọc thông thấp có tần số cắt là fb = 1/Tb Vì fb << fc nên Gj(f) trong

công thức (1.7) xấp xỉ với giá trị hằng số như sau:

≤

θ2

2

(1.8)

Nếu tín hiệu nhiễu nhiệt có mật độ phổ công suất là η/2 thì tín hiệu nhiễu tại

đầu vào bộ tích phân cũng có mật độ phổ công suất là η/2 Trong trường hợp này,

xác suất lỗi tại đầu ra của bộ tích phân sẽ là (1.3) Trường hợp tín hiệu gây nhiễu là

tín hiệu hình sin như ở trên, ta cũng có thể sử dụng công thức (1.3) nhưng phải thay

Gj(f) ở công thức (1.6) cho η/2 Kết quả là:

Pe = ½ erfc Eb η = ½ erfc

θ

2

cosP

fE

fTP

j

c b s

fP

P

b

c j

Góc pha θ là góc pha của tín hiệu sin gây nhiễu Ở đây xem θ là hoàn toàn

ngẫu nhiên đối với các giá trị khác Do đó cos2θ = ½ nên:

s

f

fP

s

PP2 (1.10b)

ff

P2 (1.10c)

công suất nhiễu trung bình Pj/2 bằng cách chia (chipping) và được gọi là độ lợi xử

lý (processing gain):

Kết quả trên sẽ tốt hơn nếu tốc độ của g(t) >> tốc độ bit và g(t) là một chuỗi

ngẫu nhiên hoàn toàn Mặt khác, nếu các điều kiện này không thỏa mãn đồng thời,

kết quả sẽ không như công thức (1.9) Ví dụ nếu chiều dài chuỗi ngẫu nhiên trước

khi lặp lại không dài hơn độ rộng của bit thì xác suất lỗi tăng lên

2.4 Nhiễu băng rộng (Wideband Interference)

Trong hệ thống CDMA, giả sử có K user và mỗi user được phân chia một

chuỗi mã giả ngẫu nhiên riêng biệt, những mã này không tương quan với nhau Các

user truyền dữ liệu ở cùng tần số sóng mang fc và cùng thời gian Tại mỗi máy thu

của các user sẽ nhận các dạng sóng giống nhau bao gồm tất cả các thông tin truyền

đi của k user:

=

k i

P

trong đó gi(t) và di(t) là mã giả ngẫu nhiên có tốc độ fc và thông tin truyền đi có tốc

độ fb của user i; θi là pha ngẫu nhiên độc lập với pha của các user khác

Nếu ở máy thu muốn nhận được K thông tin từ K user thì cần phải có K bộ

tương quan Giả sử cần nhận tín hiệu của user 1 thì cần tạo ra mã giả ngẫu nhiên

g1(t) và thành phần sóng mang 2 cos(ω0t + θ1) Khi đó, ngõ ra của bộ tích phân là:

Ta thấy rằng tích g1(t)gi(t) có cùng tốc độ chip fc, là một chuỗi giả ngẫu

nhiên riêng biệt và có thể viết lại g1(t)gi(t) ≡ g1i(t) Tương tự cos(θi - θ1) ≡ cosθ1i:

So sánh với công thức (1.6), ta thấy tương tự ngoại trừ công thức (1.14) có

K- tín hiệu nhiễu độc lập trong khi đó công thức (1.6) chỉ có một tín hiệu nhiễu

Theo công thức mật độ phổ (1.8) với Pj = Ps và cos = ½ thì mật độ phổ công suất 2θ

Trong công thức (1.12), các tín hiệu được truyền đi có cùng mức công suất

Ps tại đầu thu nhưng trong thực tế, các mức công suất này không phải là bằng nhau

khác nhau Khi công suất của tín hiệu không mong muốn lớn hơn nhiều công suất của tín hiệu mong muốn thì sẽ xuất hiện lỗi Đó là vấn đề gần-xa (near-far problem) giới hạn khả năng sử dụng của hệ thống DS

3 FH - CDMA (Frequency Hopping CDMA)

3.1 Nguyên lý

Kỹ thuật trải phổ nhảy tần số FH là một kỹ thuật FM hay FSK trong khi kỹ thuật DS mô tả ở trên là một kỹ thuật AM hay PSK Tín hiệu được xử lý nhảy tần số (frequency hopped) thông thường là tín hiệu BFSK Trong hệ thống này, nguyên lý tiến hành tương tự như DS, chuỗi giả ngẫu nhiên PN dùng để điều khiển bộ tổng hợp tần số (frequency synthesizer) để nhảy đến một trong những tần số RF Nếu tốc

độ nhảy fc lớn hơn tốc độ bit fb thì ta có hệ thống FH nhanh (FFH - Fast Frequency Hopping) Nếu fc nhỏ hơn fb thì ta có hệ thống FH chậm (SFH - Slow Frequency Hopping) Nếu fc = fb thì ta có hệ thống FH trung bình (IFH - Intermediate Frequency Hopping), hệ thống này ít được sử dụng trong thực tế

Hình 1.3: Bộ phát nhảy tần số

Các tần số nhảy được tạo ra bởi bộ tổng hợp tần số số (DFS - Digital Frequency Synthesizer) Bộ này được điều khiển bằng m bit nhị phân cho ra M = 2mtần số ở bộ nhảy tần số

Frequency synthesizer

HPA

PN code generator

Data modulator d(t)

m bits

LO

Clock

Hình 1.4: Bộ thu nhảy tần số

Ở đầu thu, tín hiệu nhảy tần số được nhân với tín hiệu ngõ ra của bộ tổng

hợp tần số được điều khiển bởi chuỗi giả ngẫu nhiên giống như chuỗi giả ngẫu

nhiên tương ứng ở máy phát Nếu chuỗi giả ngẫu nhiên ở máy thu đồng bộ với mã

phát thì bộ nhân sẽ dồn phổ tín hiệu RF nhận được và đưa vào bộ giải điều chế để

thu dữ liệu Cổng sớm-trễ (early-late gates), mạch lọc mã vòng (code-loop filter) và

VCO là một phần của hệ thống con dùng để đồng bộ

3.2 Hệ thống SFH

Ở hệ thống này, tốc độ nhảy nhỏ hơn tốc độ bit nên sẽ có hai hay nhiều bit gốc

(baseband bit) được truyền cùng tần số trước khi nhảy đến tần số RF khác Ta có

chu kỳ nhảy TH tỷ lệ với chu kỳ bit Tb hoặc là chu kỳ ký hiệu Ts theo công thức:

Băng thông RF là:

trong đó M = 2m: số tần số tạo bởi bộ tổng hợp tần số

∆f: khoảng cách giữa hai tần số phân biệt cạnh nhau Xét hệ thống SFH sử dụng 4-FSK, mỗi khoảng ∆f có 4 tần số điều chế Do

đó cần 2 bit để xác định tần số Giả sử chuỗi giả ngẫu nhiên dùng 3 bit để điều

Message Modulator

d(t)

khiển bộ tổng hợp tần số nên có 8 tần số nhảy Mỗi tần số nhảy sẽ phát đi 2 ký hiệu

hay 4 bit Ta có quá trình truyền phát như hình sau:

Hình 1.5: Quá trình truyền phát SFH dùng 4-FSK

3.3 Hệ thống FFH

Ở hệ thống này, tốc độ nhảy tần lớn hơn tốc độ dữ liệu nên một kí hiệu thông

tin sẽ được truyền bởi nhiều tín hiệu nhảy tần RF, ta có:

01 11 00 11 11 01 10 00 00 01 10 00

∆f

Như vậy, độ lợi xử lý của FFH phụ thuộc vào số tần số khác nhau sử dụng

(M) và số lần nhảy trên một kí hiệu (k)

Xét hệ thống FFH dùng 4-PSK với tần số nhảy Ts = 2Tc và m = 2 Tương tự

0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0

∆f

Tín hiệu gốc sẽ được điều chế FH bằng cách biến thiên tần số sóng mang

Kết quả là tín hiệu được trải phổ FH có dạng như sau:

trong đó ωi là tần số sóng mang của tín hiệu sẽ thay đổi sau mỗi thời gian TH và

được chọn từ một tập hợp tần số có giá trị mang tính chất giả ngẫu nhiên, thông

thường từ 32 đến 500 tần số khác nhau hình thành nên tập hợp này Ở phương pháp

này, chuỗi mã g(t) không điều chế trực tiếp mà nó dùng để điều khiển việc chọn tần

số sóng mang

Quá trình điều chế - giải điều chế:

Hình 1.7: Điều chế FH dùng BPSK

Hình 1.8: Giải điều chế FH dùng BPSK

4 TH - CDMA (Time Hopping CDMA)

Trải phổ nhảy thời gian là kỹ thuật thứ ba dùng trong CDMA Kỹ thuật này

cũng tương tự như FH nhưng lại sử dụng khe thời gian thay vì khe tần số Bộ điều

chế TH cơ bản như sau:

Ñieàu cheá FM d(t)

2cos(ω i - ω 0 )t

f0

))k(tdtcos(

2

+

-

So

Hình 1.9: TH Modulator

Chuỗi giả ngẫu nhiên PN dùng để chọn khe thời gian phát cụm Các bit dữ liệu được lưu trữ và truyền với tốc độ cao trong suốt quá trình truyền cụm Sơ đồ bộ thu tín hiệu TH cho như sau:

Time-slot

And gate

PN Generator

n bits

synchronizer) sử dụng các dữ liệu chuyển tiếp để thực hiện tinh chỉnh mã Quá trình tinh chỉnh mã được thực hiện bởi clock dữ liệu và clock đồng bộ PN

Hệ thống điều chế tổng hợp có ý nghĩa đặc biệt khi tốc độ xung clock của bộ tạo mã DS đạt được giá trị cực đại và giá trị giới hạn của kênh FH Bộ phát tổng hợp FH/DS cơ bản như sau:

Hình 1.12: Bộ điều chế tổng hợp FH/DS

Bộ điều chế tổng hợp này thực hiện chức năng điều chế DS nhờ biến đổi tần

số sóng mang (sóng mang FH là tín hiệu DS được điều chế) không giống như bộ

2

x

x sin

Thông tin đầu vào

điều chế DS đơn giản, nghĩa là có một bộ tạo mã để cung cấp các mã với bộ trộn tần được sử dụng để cung cấp các dạng nhảy tần số và một bộ điều chế cân bằng để điều chế DS

Sự đồng bộ thực hiện giữa các mô hình mã FH/DS biểu thị rằng phần mô hình DS đã cho được xác định tại cùng một vị trí tần số lúc nào cũng được truyền qua kênh tần số nhất định Nhìn chung, tốc độ mã của DS phải nhanh hơn tốc độ dịch tần Do số lượng các kênh tần số được sử dụng nhỏ hơn nhiều so với lượng các chip mã nên tất cả các kênh tần số nằm trong tổng chiều dài mã sẽ được sử dụng nhiều lần Các kênh được sử dụng ở dạng tín hiệu giả ngẫu nhiên như trong trường hợp các mã

Máy thu của hệ thống FH/DS như sau:

Hình 1.13: Bộ thu tổng hợp FH/DS

Bộ tương quan được sử dụng để giải điều chế tín hiệu đã được mã hoá trước khi thực hiện giải điều chế băng tần gốc tại đầu thu Bộ tương quan FH có một bộ tương quan DS và tín hiệu dao động nội được nhân với tất cả các tín hiệu thu được

Bộ tạo tín hiệu dao động nội trong bộ tương quan giống như bộ điều chế phát ngoại trừ hai điểm sau:

9 Tần số trung tâm của tín hiệu dao động nội được cố định bằng độ lệch tần số trung tần IF

Bộ lọc IF Giải điều chế băng gốc

Điều chế cân bằng

Tạo mã

Tổng hợp tần số

Giá trị độ lợi xử lý của hệ thống tổng hợp được tính bằng tổng độ lợi xử lý của hai loại điều chế trải phổ trên:

6 Đồng bộ

Đồng bộ tín hiệu trải phổ ở đầu thu cần yêu cầu ba loại đồng bộ:

9 Đồng bộ sóng mang và pha (khôi phục sóng mang)

9 Đồng bộ bit (khôi phục định thời bit)

9 Đồng bộ chuỗi giả ngẫu nhiên

Đối với các hệ thống không kết hợp, như hệ thống giải điều chế FSK và DPSK không kết hợp, thì không cần mạch phục hồi sóng mang, quá trình giải điều chế được tiến hành bằng bộ giải điều chế sai phân Còn hệ thống kết hợp thì phải yêu cầu cả ba loại đồng bộ

Quá trình đồng bộ được tiến hành qua hai giai đoạn:

9 Đồng bộ thô (coarse synchronization)

9 Tinh chỉnh đồng bộ (fine synchronization)

6.1 Đồng bộ cho hệ thống DS

6.1.1 Đồng bộ thô

Đồng bộ thô là quá trình tìm kiếm tất cả các pha của tín hiệu đến khi pha của chuỗi tín hiệu nhận được có cùng pha với chuỗi giả ngẫu nhiên tạo ra ở máy thu Kỹ thuật đồng bộ thô thường sử dụng là tìm nối tiếp từng bước (stepped serial search)

Kỹ thuật này có thể thực hiện như sau:

Áp ngưỡng

2

SS

Tín hiệu thu có dạng:

Đầu tiên, công tắc S ở vị trí 1 có điện áp cố định cho phép cổng AND Bộ

dao động hoạt động ở tần số fc cho ra các xung clock điều khiển bộ tạo chuỗi giả

ngẫu nhiên Giả sử rằng bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên ở máy thu và ở máy phát

không đồng bộ nên tín hiệu vào BPF có phổ trải rộng Tín hiệu này sẽ có mật độ

phổ công suất nhỏ Do đó mức công suất ở ngõ ra của BPF và của mạch tách sóng

bao hình là mức thấp Sau đó tín hiệu ngõ ra bộ tách sóng bao hình cho qua mạch

tích phân Nếu tín hiệu chưa đồng bộ thì ngõ ra của mạch tích phân sẽ không đủ lớn

hơn điện áp ngưỡng của mạch so sánh Khi công tắc S sẽ chuyển sang vị trí 2 thì

cổng AND không hoạt động và dừng bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên Sau đó công tắc

S chuyển sang vị trí 1 quá trình được lặp lại Đồng bộ thô được xác lập khi tích

g(t)g(t - iTc) = g2(t) = 1, lúc này ngõ ra của mạch tách sóng hình bao và của mạch

tích phân có mức cao nên ngõ ra của bộ so sánh cũng ở mức cao Công tắc S chuyển

sang vị trí 1 hay 2 không làm dừng hoạt động của bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên

6.1.2 Tinh chỉnh đồng bộ (Tracking or Fine Synchronization)

Tín hiệu sau khi được đồng bộ thô sẽ đưa vào mạch tinh chỉnh đồng bộ, sử

dụng DLL (Delay Locked Loop) như sau:

Hình 1.15: Mạch tinh chỉnh đồng bộ DS

Tín hiệu ngõ vào DLL liên quan đến tốc độ chuỗi giả ngẫu nhiên g(t) và

chuỗi dữ liệu d(t) Bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên ở máy thu sẽ tạo ra chuỗi giống như

chuỗi thu được nhưng sẽ lệch một khoảng thời gian, tức là g(t + τ) và sau đó sẽ tạo

vD = g(t) g(t + τ - Tc/2)d(t)cos(ω0t + θ) (1.28)

Các tín hiệu này cho qua các bộ BPF giống nhau có BW = 2fb và tần số trung

tâm f0 Băng thông của BPF nhỏ hơn nhiều so với băng thông của chuỗi giả ngẫu

nhiên nên chỉ cho giá trị trung bình của g(t) g(t + τ ± Tc/2) đi qua Do đó ngõ ra của

Nếu τ > 0 thì điện áp dương xuất hiện ở ngõ vào VCO làm tăng tần số của VCO và làm giảm τ Tương tự, nếu τ < 0 thì điện áp âm xuất hiện ở ngõ vào VCO làm giảm tần số của VCO và làm tăng τ

6.2 Đồng bộ cho hệ thống FH

6.2.1 Đồng bộ thơ

Như ta đã biết, hệ thống thơng tin khơng kết hợp như FSK sẽ yêu cầu đồng

bộ bit để cho phép phục hồi tín hiệu ở đầu thu Hệ thống kết hợp yêu cầu thêm đồng

bộ pha và sĩng mang để cho phép giải điều chế tín hiệu Trong hệ thống trải phổ, đồng bộ pha sử dụng để tạo lại dạng sĩng chia (chipping waveform) giống với tín hiệu phát Quá trình đồng bộ thơ FH tương tự như kỹ thuật tìm nối tiếp trong hệ thống DS ngoại trừ bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên điều khiển tần số nhảy Sơ đồ khối của mạch đồng bộ thơ FH như sau:

Hình 1.17: Mạch đồng bộ thơ FH

Mạch bao gồm bộ trộn, bộ BPF cĩ tần số trung tâm là f0 với băng thơng gấp hai lần tốc độ nhảy (BW = 2fH), bộ tách sĩng bao hình, bộ so sánh và VCO VCO bao gồm xung clock, bộ tạo chuỗi giả ngẫu nhiên, bộ tổng hợp tần số Xung clock được điều khiển bởi ngõ ra bộ so sánh và được truyền tới bộ tạo PN Bộ tạo chuỗi

PN và tổng hợp tần số của máy phát và máy thu giống nhau Bộ tổng hợp tần số chỉ

cĩ một bộ dao động mà tần số của nĩ được điều khiển bởi chuỗi giả ngẫu nhiên Do

Điều khiển đĩng / ngắt

Áp ngưỡng

Clock fh

Tổng hợp tần số

PN Generator

SS

Tổng hợp tần số

đó, khi chuỗi giả ngẫu nhiên thay đổi trạng thái (mỗi trạng thái tồn tại trong khoảng thời gian TH = 1/fH) thì bộ tổng hợp tần số sẽ nhảy từ f1 tới f2, …, fN và quay trở lại

f1

Mạch đồng bộ thô dùng để điều chỉnh sao cho bộ tạo chuỗi PN ở máy thu đồng bộ với máy phát Giả sử tần số ban đầu tại bộ tổng hợp tần số ở máy thu là f0 +

fj trong khi đó tần số thu được là fi với fi ≠ fj Tại ngõ ra của bộ trộn tần sẽ có tần số

f0 + (fj - fi) và không đi qua được BPF Do đó ngõ ra của mạch tách sóng hình bao là

0 và được so sánh với điện áp ngưỡng nên ngõ ra mạch so sánh là 0 Æ không cho phép bộ dao động hoạt động Ta thấy nếu tần số tín hiệu nhận được khác fi thì bộ tạo chuỗi PN sẽ không hoạt động và bộ tổng hợp tần số ở đầu thu giữ nguyên tần số Khi tần số thu là fj thì sẽ có tín hiệu đi qua mạch BPF và ngõ ra bộ tách sóng sẽ lớn hơn điện áp ngưỡng nên ngõ ra của bộ so sánh là 1 Æ bộ dao động hoạt động và bộ tạo chuỗi PN ở máy thu sẽ có trạng thái sớm hơn so với ở máy phát Dạng sóng của các ngõ ra có dạng như sau:

Hình 1.18: Dạng sóng của mạch đồng bộ thô FH

Ta thấy rằng cần một thời gian đáp ứng cho bộ tách sóng nên thời gian bộ tạo chuỗi PN ở máy thu thay đổi trạng thái chậm hơn thời gian thay đổi trạng thái của máy phát Ngoài ra, do sự đáp ứng chậm này, ngõ ra của bộ tách sóng giữ nguyên ở trên mức điện áp ngưỡng và vẫn điều khiển bộ dao động hoạt động trong suốt thời gian khi hai chuỗi PN không cùng trạng thái

Sơ đồ khối của hệ thống cho như sau:

Hình 1.19: Mạch tinh chỉnh đồng bộ FH (hay mạch tinh chỉnh cổng sớm trễ)

Mạch BPF có băng thông đủ lớn để cho dữ liệu đi qua (BW = 2∆f) bộ điều khiển đóng/mở của mạch đồng bộ thô được thay thế bởi VCO hoạt động ở tần số fH Tuy nhiên, có thể biến đổi trên hay dưới tần số fH nhờ tín hiệu điều khiển ở ngõ ra của mạch LPF làm cho xung clock ở bộ tạo chuỗi PN sẽ biến đổi giữa hai mức điện

áp +1 và -1 Bộ tách sóng hình bao, không giống như trong mạch đồng bộ thô, có đáp ứng nhanh Để đơn giản, ta giả sử rằng ngõ ra của mạch tách sóng hình bao đáp ứng ngay lập tức và không có thời gian trễ Cổng giữa mạch tách sóng hình bao và mạch LPF gọi là cổng phát (transmission gate) Khi có tín hiệu ra của bộ tách sóng hình bao thì xung clock của VCO sẽ được truyền qua cổng và ngược lại Nói chung,

ta có thể thấy rằng đặc tính hoạt động của cổng như một quá trình nhân nếu xung clock của VCO biến đổi ở hai mức điện áp 1V và ngõ ra của mạch tách sóng là 0 khi không có tín hiệu ra và 1 khi có tín hiệu

Giả sử rằng đồng bộ thô đã được thiết lập, bộ tạo chuỗi PN giữa máy phát và máy thu sẽ trễ một lượng là τ Trong suốt khoảng trễ này, hai chuỗi không cùng trạng thái nên ngõ ra mạch tách sóng sẽ có giá trị 0 và ngược lại Do đó, dạng sóng

vg = vνvd sẽ có ba mức và được đưa vào mạch LPF nên ngõ ra là vc (giá trị trung bình của vg) điều khiển VCO Nếu ngõ ra VCO đối xứng và τ = 0 thì vc = 0 Tuy nhiên, trong thực tế thì τ ≠ 0 nên vc sẽ ở một trong hai mức để tăng hay giảm tần số

VCO

PN Generator

Frequency synthesizer

Transmission Gate

V v

V d V g

V c

cos(ω 0 t + ω j t +Φ) Acos(ω i t + d i (t)Ωt + θ)

thì hệ thống được đồng bộ, ngược lại, hệ thống mất đồng bộ và phải thực hiện lại toàn bộ quá trình

Các dạng sóng mô tả hoạt động của mạch như sau:

Hình 1.20: Sóng của cổng sớm trễ

7 Chuỗi giả ngẫu nhiên

Thông thường, số lượng chip trên bit N và dạng sóng chip giống nhau cho tất

cả các user trong hệ thống CDMA Để phân biệt được hai dạng sóng nhận dạng thì hai chuỗi nhị phân của chúng phải khác nhau, chuỗi nhị phân này được gọi là chuỗi giả ngẫu nhiên (pseudonoise) Chuỗi giả ngẫu nhiên phải có tính chất sau:

9 Tính cân bằng: tần suất xuất hiện của số bit 0 và bit 1 trong chuỗi là

½ (nghĩa là số lần xuất hiện của bit 0 và bit 1 chênh lệch tối đa là 1)

9 Tính Run: mỗi đường chạy (run length) của một chuỗi nhị phân được

0

0 -1

một số nhị phân khác thì sẽ bắt đầu đường chạy mới Một chuỗi giả ngẫu nhiên phải có tính Run nghĩa là tổng số các đường chạy có chiều dài 1 bằng ½ tổng số các đường chạy, tổng số các đường chạy có chiều dài 2 bằng ¼ tổng số các đường chạy, tổng số các đường chạy

có chiều dài 3 bằng 8 tổng số các đường chạy, … (số các đường chạy

có chiều dài n bằng 12 n tống số các đường chạy) Ví dụ như chuỗi

000100110101111 có 4 Run 0 (0,0,00,000) và 4 Run 1 (1,1,11,1111) (tổng cộng 8 Run, trong đó có 4 Run có chiều dài 1, 2 Run có chiều dài 2, 1 Run có chiều dài 3 và 1 Run có chiều dài 4) thoả mãn tính Run

9 Tính tương quan: nếu so sánh một chuỗi giả ngẫu nhiên với chính nó dịch đi một số bit bất kỳ nào đó thì độ chênh lệch giữa số bit giống nhau và khác nhau tối đa là 1 (hàm tự tương quan bằng -1)

Để xây dựng chuỗi giả ngẫu nhiên có các tính chất trên, ta dựa vào lý thuyết trường Galois

7.1 Lý thuyết trường Galois

7.1.1 Nhóm, vành và trường

Định nghĩa 1: Một nhóm là một tập hợp G cùng với một phép toán đại số kết

hợp có phép toán ngược Trong lý thuyết nhóm, thông thường phép toán này được gọi là phép nhân và quy ước dùng ký hiệu tương ứng

9 Tính kết hợp: Nếu a, b, c ∈ G thì (ab)c = a(bc)

Số phần tử G của nhóm gọi là bậc của nhóm

Một nhóm được gọi là giao hoán (commutative) hay aben nếu phép toán

trong nhóm là giao hoán Như vậy, một nhóm giao hoán sẽ có thêm tính chất sau:

9 Tính giao hoán: Nếu a ∈ G và b ∈ G thì ab = ba

Định nghĩa 2: Tập hợp các phần tử trong một nhóm G tạo thành một nhóm

G' thì G' gọi là nhóm con (subgroup) của G Nếu G' ⊂ G thì G' gọi là nhóm con thích hợp (proper subgroup) của G

Định nghĩa 3: Nếu tồn tại một số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho ak = e trong đó a ∈ G và e là phần tử đơn vị của nhóm giao hoán thì k gọi là số mũ (exponent) của a

Tập hợp các phần tử định nghĩa như sau:

là một nhóm con của G và được gọi là nhóm tuần hoàn (cyclic group) tạo ra bởi G Nếu tồn tại một phần tử a sao cho Ga = G thì G có tính tuần hoàn và a gọi là phần

tử nguyên thuỷ (primitive element) của G Số mũ của a là bậc của Ga

Một nhóm tuần hoàn G bậc k sẽ có tính đẳng cấu với tập hợp X = 0,1,…,k-1 dưới phép cộng modul k (tức là tồn tại một song ánh (bijective mapping) hay ánh

xạ 1-1 trên (one-to-one onto) từ G vào X)

7.1.1.2 Vành (ring) và trường (field)

Xét một tập hợp K với hai phép toán Ta gọi một trong hai phép toán là phép cộng và phép toán kia là phép nhân Giả thiết hai phép toán liên hệ với nhau bởi luật phân phối tức là với 3 phần tử a,b,c bất kỳ ∈ K thì ta có:

(a + b)c = ac + bc

Định nghĩa 4: Một tập hợp K được gọi là một vành nếu trên đó đã xác định

hai phép toán, cộng và nhân, sao cho cả hai đều có tính kết hợp, liên hệ với nhau bởi luật phân phối, phép cộng có tính giao hoán và có phép toán ngược Một vành được gọi là giao hoán nếu phép nhân là giao hoán và không giao hoán trong trường hợp ngược lại

Chú ý rằng mỗi vành là một nhóm aben đối với phép cộng Do đó, tồn tại phần tử 0 sao cho a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ K Phần tử này cũng đóng vai trò đặc biệt trong phép nhân: tích của một phần tử với phần tử 0 là phần tử 0, nghĩa là a0=0a=0

Định nghĩa 5: Một vành giao hoán P chứa đơn vị và mỗi phần tử khác 0 đều

có nghịch đảo gọi là một trường Một trường bất kỳ có các tính chất sau:

9 Ứng với mỗi cặp phần tử a,b ta có phần tử a + b được gọi là tổng của a và b

9 Phép cộng là phép giao hoán: a + b = b + a

9 Phép cộng là kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c

9 Tồn tại duy nhất phần tử 0 sao cho: a + 0 = 0 + a = a

9 Với mỗi phần tử a tồn tại duy nhất phần tử đối -a sao cho: a + (-a) = 0 Ứng với mỗi cặp phần tử a,b ta có phần tử ab gọi là tích của a và b

9 Phép nhân là giao hoán: ab = ba

9 Phép nhân là kết hợp: a(bc) = (ab)c

9 Với mọi phần tử a≠0, tồn tại duy nhất phần tử nghịch đảo a-1 để aa-1=a-1a=1

9 Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng: (a + b)c = ac + bc

Trong vành các số nguyên, ta có thể định nghĩa phép chia như là nghịch đảo của phép nhân Lúc đó, ta định nghĩa ước số chung lớn nhất gcd (greatest common divisor) của m và n là số nguyên k sao cho k\n và k\m: k = gcd(m,n) (ký hiệu \ chỉ n chia hết cho k hay k chia hết n, tức là tồn tại số nguyên q sao cho n = kq) Nếu k = 1 thì m và n gọi là hai số nguyên tố cùng nhau (relatively prime)

Thuật toán Euclide dùng để xác định gcd(m,n) như sau: Nếu m = qn + r và

nếu tồn tại một số k sao cho nó là ước số chung của hai trong ba đại lượng m, n, r thì nó cũng là ước số của đại lượng còn lại Do đó, ta có:

nm

Nếu K là một trường, đặc số của K là cấp chung của các phần tử khác 0K của

K, nói riêng là cấp của phần tử đơn vị 1K trong nhóm cộng của trường K, tức là số nguyên dương s bé nhất sao cho s1K = 0K Trường K gọi là có đặc số 0 nếu không tồn tại số nguyên s > 0 sao cho s1K = 0K Người ta đã chứng minh rằng: trường K có đặc số 0 hoặc có đặc số nguyên tố p Thí dụ như trường Q các số hữu tỷ, trường R các số thực hay trường C các số phức có đặc số 0 còn mỗi trường Zp các số nguyên mod p (p là số nguyên tố) có đặc số p

Định nghĩa 6: Mở rộng của một trường K là một trường E chứa K như là

một trường con

Giả sử K là một trường cho trước, tập hợp tất cả các trường con của K là một tập hợp khác rỗng (K cũng là trường con của K) Nếu P là giao của tất cả các trường con của K thì P là một trường con của K không chứa bất kỳ trường con nào của K khác P và mọi trường con của K đều chứa P Khi đó, trường con P gọi là trường con nguyên tố của trường K Nếu K = P thì K gọi là trường nguyên tố Ta có tính chất: mọi trường là một mở rộng của trường con nguyên tố của nó

Cho K là một trường có trường con nguyên tố là P Nếu K có đặc số 0 thì P đẳng cấu với trường Q các số hữu tỷ còn nếu K có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với trường Z các số nguyên mod p

Xét hai đa thức f(z) và g(z) có bậc tương ứng là n và s (giả sử n ≥ s) với các

hệ số tương ứng là ai và bi thì:

f(z) + g(z) = ∑

=

n i

j ajbk (bậc của đa thức tích là n + s)

Tập hợp các đa thức với hai phép toán nêu trên lập thành một vành giao

hoán

Định lý 1: Với mọi đa thức f(z) và mọi đa thức khác không g(z) có thể tìm

được các đa thức duy nhất q(z) và r(z) sao cho:

trong đó bậc của r(z) nhỏ hơn bậc của g(z) hay r(z) = 0

Nếu như r(z) = 0 thì ta nói đa thức f(z) chia hết cho đa thức g(z)

Từ đó, ta định nghĩa ước số chung lớn nhất của hai đa thức f(z) và g(z) trên

trường P là một đa thức có bậc cao nhất chia hết f(z) và g(z) Ta cũng có thể áp

dụng giải thuật Euclide để tìm ước số chung lớn nhất của hai đa thức

Xét phép chia của một đa thức tuỳ ý khác 0 cho đa thức z - a Ta có:

Nếu f(a) = 0 thì a gọi là nghiệm của đa thức f(z)

Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x - a

Nếu f(a) = 0 thì ta có thể xác định f(z) chia hết cho (z - a)2 hay không bằng cách xác định xem q(z) có chia hết cho z - a hay không và quá trình tiếp tục cho đến khi xác định được số mũ của z - a

Định nghĩa 7: Một đa thức f(z) có bậc n gọi là đa thức monic nếu hệ số an=1

Ta có một số tính chất của vành các đa thức như sau:

9 Một đa thức trên một trường có thể viết dưới dạng một đa thức monic nhân với một hệ số là phần tử của trường

9 Tích của hai đa thức monic là một đa thức monic

9 Nếu f(z) và g(z) là hai đa thức có gcd bằng 1 thì g(z)\h(z) nếu g(z)\f(z)h(z)

9 Một đa thức monic có thể phân tích thành tích các đa thức monic tối giản (irreducible monic polynomial)

Nếu một đa thức có thể viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức (mỗi đa thức có bậc lớn hơn 0) thì đa thức đó gọi là đa thức không tối giản Ngược lại, ta nói

đa thức đó tối giản Gcd của một đa thức tối giản f(z) và một đa thức bất kỳ phải là

1 hay là f(z)

7.1.3 Cấu trúc trường Galois

Vì mọi trường hữu hạn F đều có đặc số nguyên tố p và trường con nguyên tố

P của nó đẳng cấu với trường Zp các số nguyên mod p nên ta có thể giả sử rằng F chứa trường Zp Khi đó, F là một mở rộng hữu hạn của trường Zp và khi xem như không gian vector trên Zp thì F có một cơ sở gồm một số hữu hạn phần tử u1,…,un Mọi phần tử w ∈ F có một dạng biểu diễn duy nhất thành một tổ hợp tuyến tính theo vector cơ sở:

Vì có p cách khác nhau để chọn hệ số ai thuộc Zp nên F có tất cả pn phần tử

Định lý 3: Số phần tử trong một trường hữu hạn bằng một lũy thừa của đặc

số nguyên tố p của trường đó

Định lý 4: Hai trường hữu hạn có số phần tử bằng nhau thì đẳng cấu

Định lý 5: Với bất kỳ các số nguyên tố p và số nguyên dương n cho trước

luôn tồn tại một trường hữu hạn có q = pn phần tử

Từ định lý 4 và 5, ta suy ra tồn tại trường duy nhất (sai khác đẳng cấu) có

p n phần tử Trường này được gọi là trường Galois và ký hiệu là GF(p n )

Định lý 6: Nhóm nhân các phần tử khác 0 của một trường hữu hạn là nhóm

tuần hoàn

Định lý 7: Với một trường hữu hạn có đặc số p thì ánh xạ a ap là một tự

đẳng cấu của trường đó

7.1.4 Đa thức tối giản và đa thức nguyên thuỷ

7.1.4.1 Đa thức tối giản

Ta xem xét một số ý tưởng cơ bản sau:

9 Một trường hữu hạn có kích thước cho trước là duy nhất tức là các đa thức tối giản khác nhau có cùng bậc trên trường sẽ tạo ra các trường

mở rộng có cùng cấu trúc

9 GF(qn) ⊂ GF(qm) ⇔ m n

9 Tất cả các nghiệm của các đa thức tối giản nằm trong cùng một trường

9 Các phần tử của GF(qn) là các nghiệm của đa thức zp n − z

Như vậy, đa thức zp n − có thể được phân tích như sau: z

trong đó Im là tập hợp tất cả các đa thức monic tối giản bậc m trên trường GF(q)

Gọi f(z) là một đa thức bậc n trên trường GF(q)

f(z) không tối giản

Ta sử dụng định lý 8 và hai kết quả sau:

(a x b) mod n = [ (a mod n) (b mod n) ] mod n (a + b) mod n = [ (a mod n) + (b mod n) ] mod n

Số lượng các đa thức tối giản trên trường GF(pn) tính theo cơng thức sau:

n

\ m

m n

pm

nn

1

(1.44) Trong đĩ hàm µ được tính như sau:

sốmột củasố ướclà i 0

biệt phântốnguyênsố

jcủatíchlà i 1

1

i 1

j

(1.45)

Một đa thức tối giản cĩ phần tử nguyên thuỷ là nghiệm của nĩ gọi là đa thức

nguyên thuỷ của trường Người ta chứng minh được rằng một đa thức f(z) cĩ bậc m

là nguyên thuỷ nếu như số nguyên dương n nhỏ nhất để 1 - zn chia hết cho f(z) là n

= 2m - 1

Sau khi xác định f(z) là đa thức tối giản, ta xác định f(z) cĩ phải là một đa

thức nguyên thuỷ hay khơng Đầu tiên ta phải tìm các thừa số nguyên tố của pn - 1

Số lượng các đa thức nguyên thuỷ cĩ thể tính theo cơng thức sau:

a

an

p

1

11

Trong đó j là số các thừa số nguyên tố của pn - 1

Bảng 2.1: Số lượng các đa thức nguyên thuỷ ứng với một số giá trị n

16171819202122

23242526272829

Else f(z) không là đa thức nguyên thuỷ

g Kết thúc

7.2 Đặc tính tương quan

7.2.1 Một số khái niệm cơ bản

Gọi ℜn là tập hợp tất cả các vector có n chiều tức là phần tử của ℜn gồm các

vector có dạng như sau: x = (x0,x1,…,xn-1) trong đó xi ∈ ℜ ∀i ∈ [0,n-1]

Tích của hai vector x và y được định nghĩa là:

Gọi T là quá trình thực hiện dịch vòng một vector sang trái một thành phần,

tức là Tx = (x1,x2,…,xn-1,x0) Nếu ta thực hiện dịch vòng k lần một vector thì kết quả

Ta định nghĩa chuỗi tuần hoàn tổng quát dài vô hạn xây dựng bởi x bằng

cách thay thế vector x liên tục, tức là chuỗi tuần hoàn tổng quát của x có dạng:

x-2,x-1,x0,x1,…,xn-1,xn,xn+1,…

trong đó xi = xn+i

Từ vector x, ta gọi w là vector ngược của x nếu: wi = xn-1-i tức là w có dạng:

w = (xn-1,xn-2,…,x1,x0)

7.2.2 Tự tương quan và tương quan chéo của các chuỗi

Trong hệ thống thông tin dùng kỹ thuật trải phổ CDMA, các chuỗi giả ngẫu

nhiên sử dụng trong hệ thống đòi hỏi các tính chất sau nhằm đảm bảo tách được tín

hiệu đã trải phổ:

9 Một chuỗi PN phải tách biệt với chính nó dịch chuyển đi một số chu kỳ

bit

9 Một chuỗi PN phải tách biệt với các chuỗi khác sử dụng trong hệ thống

Các chuỗi này thường là chuỗi tuần hoàn Xét hai tín hiệu x(t) và y(t) Đại

lượng dùng để đo khả năng phân biệt giữa hai tín hiệu x(t) và y(t) dựa trên hai giá

=

−x t() dt x t() y t()dt x(t)y t()dt)

t(

Do năng lượng tín hiệu cố định nên khả năng phân biệt giữa x(t) và y(t) phụ

thuộc vào giá trị tích phân thứ hai của (1.49) Giá trị của hàm:

∞

−

dt ) t ( y ) t (

càng nhỏ thì khả năng phân biệt giữa x(t) và y(t) càng lớn

Trong hệ thống CDMA, x(t) và y(t) là những chuỗi dùng cho những user

khác nhau Khi đó, hàm r chính là giá trị nhiễu đa truy nhập (MAI – Multiple

Access Interference) giữa hai user

Từ đó, người ta đưa ra khái niệm hàm tương quan chéo nhằm thể hiện sự

rxy( τ) = ∫∞

∞

−

τ + dt ) t ( y ) t (

n

n y ) n (

n

n x ) n (

Từ đó, ta thấy rằng:

Trong các công thức của hàm tương quan chéo trên, nếu ta thay y(t) bằng

x(t) thì sẽ được hàm tự tương quan của chuỗi x(t), tức là:

n

n x ) n (

Nếu x(t) và y(t) có chu kỳ hữu hạn (giả sử là T) thì hàm tương quan chéo

tuần hoàn của x(t) và y(t) có dạng:

n y ) n (

Hay: rxy(τ) = ∑− ( )

=

τ +

1 T 0 n

n y ) n (

7.2.3 Đặc tính của hàm tương quan và tự tương quan

−+

n n

n

)n(yb)n(xa)n(by)n(

)(abr)

(rb)(ra)n(y)n(x

n

τ+

+

=τ

a

yy xy

Từ đó, người ta đưa ra khái niệm hàm tự tương quan chuẩn hoá và hàm

tương quan chéo chuẩn hoá như sau:

ρxx(τ) =

)(r

)(r

)(r

yy xx

xy

00

τ (1.71)

Ta đã biết rằng: rxy(τ) = ryx(-τ) nên rxx(τ) = rxx(-τ) → hàm rxx là hàm chẵn nên

ta chỉ cần xác định các giá trị ứng với τ ≥ 0

7.2.4 Tương quan của chuỗi tuần hoàn

Cho hai tín hiệu x(t) và y(t) thì hàm tương quan chéo giữa x(t) với y(t) và

M x(n)y(n )M

lim

12

M

lim

121

(1.73)

Nếu x(t) và y(t) là tín hiệu tuần hồn cĩ chu kỳ T thì:

1 T

n x(n)x(n )

rxy(τ) và rxx(τ) là những chuỗi tương quan tuần hồn cĩ chu kỳ T và 1/T gọi

là hệ số co chuẩn (normalization scale factor)

Trong một số ứng dụng thực tế, tương quan dùng để xác định tính tuần hồn

trong một tín hiệu vật lý cĩ nhiễu quan sát được

Ta xét một tín hiệu y(t) cĩ dạng:

trong đĩ x(t) là một tín hiệu tuần hồn cĩ chu kỳ T chưa biết trước và n(t) biểu diễn

chuỗi ngẫu nhiên

Giả sử ta quan sát N mẫu của y(t) với 0 ≤ t ≤ N - 1 Giả sử y(t) = 0 khi t > 0

và t ≥ N, ta được hàm tự tương quan của y(t) với hệ số co chuẩn 1/M như sau:

−+τ

M)i(n)i(x)i(n)i(xM

τ

−+

7.2.5 Các cơng thức của chuỗi nhị phân

Lấy x và y là các chuỗi chỉ nhận giá trị 1 hay -1, hàm tương quan của x và y

cho như sau:

≤

∑

∑

− τ +

nvớiyx

nvới

yx

n o

0

1

1 0