Phân tích dầm đơn giản chịu tải trọng điều hòa di động xét đến khối lượng vật di độngtheo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ và tên học viên: NGUYỄN ĐĂNG PHONG Giới tính : Nam Ngày, tháng, năm sinh : 04/12/1984 Nơi sinh : Thừa Thiên - Huế Chuyên ngành : Xây dựng công trình dân d

NGUYỄN ĐĂNG PHONG

PHÂN TÍCH DẦM ĐƠN GIẢN CHỊU TẢI TRỌNG ĐIỀU HÒA DI ĐỘNG XÉT ĐẾN KHỐI LƯỢNG VẬT DI ĐỘNG THEO LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƯỢT BẬC CAO

CHUYÊN NGÀNH: XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 07 NĂM 2009

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS TS ĐỖ KIẾN QUỐC

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: NGUYỄN ĐĂNG PHONG Giới tính : Nam

Ngày, tháng, năm sinh : 04/12/1984 Nơi sinh : Thừa Thiên - Huế

Chuyên ngành : Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

Khoá (Năm trúng tuyển) : 2007

1- TÊN ĐỀ TÀI :

PHÂN TÍCH DẦM ĐƠN GIẢN CHỊU TẢI TRỌNG ĐIỀU HÒA ĐI ĐỘNG XÉT ĐẾN KHỐI LƯỢNG VẬT DI ĐỘNG THEO LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƯỢT BẬC CAO

- Tổng quan các lý thuyết tính toán dầm, các mô hình vật liệu

- Nghiên cứu lý thuyết Biến dạng trượt bậc cao, mô hình Kelvin-Voigt

- Thiết lập các bài toán phân tích phản ứng dầm chịu tải trọng điều hòa đi động không xét và có xét ảnh hưởng của khối lượng vật đi động và với các điều kiện ban đầu thay đổi

- Lập trình bằng ngôn ngữ Matlab cho bài toán phân tích phản ứng dầm chịu tải trọng điều hòa đi động có xét và không xét ảnh hưởng của khối lượng vật đi động và với các điều kiện ban đầu thay đổi

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

(Họ tên và chữ ký)

PGS TS ĐỖ KIẾN QUỐC

LỜI CẢM ƠN

Quá trình hoàn thành luận văn này là một chặng đường dài, cùng với sự nỗ

lực của bản thân, tôi đã nhận được sự giúp đỡ và chỉ đẫn của rất nhiều người Mở

đầu luận văn của mình tôi mong muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến

PGS.TS Đỗ Kiến Quốc, người thầy đã tận tình chỉ bảo giảng giải cho chúng tôi rất

nhiều điều từ lúc còn là một sinh viên đại học và bây giờ là người trực tiếp hướng

dẫn tôi hình thành ý tưởng, tìm tòi, khám phá và hoàn thành luận văn cao học này

Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn đến toàn thể quý thầy cô, các học viên cao học

chuyên ngành Xây dựng công trình đân dụng và công nghiệp Khóa 2007 Họ là

những người thầy, người bạn người anh, là những đồng nghiệp đã cùng tôi trải qua

một quãng thời gian đáng nhớ Chúng tôi đã cùng làm việc cởi mở, thảo luận

nghiêm túc, nghiên cứu sâu sắc về tất cả các vấn đề trong ngành học Tôi xin gởi

lời cảm ơn chân thành của mình đến tất cả

Lời cảm ơn cuối cùng, tôi xin dành cho gia đình, bạn bè của mình Đó là

những người luôn bên tôi, động viên, giúp đỡ và cùng tôi vượt qua những khó khăn

trong cuộc sống Chính họ là nguồn động lực mạnh mẽ giúp tôi trong suốt quá trình

học tập và hoàn thành luận văn

TP Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2009

Nguyễn Đăng Phong

ACKNOLEDGMENTS

The progress of this final thesis to its accomplishment is a long way with

difficulties and challenges Besides the personal efforts, I would like to deeply

express my grateful and thankful to many people To open up the thesis, my first

appreciation is for all that Prof Do Kien Quoc has done for me He is the very first

teacher who guided me to the civil engineering field while I was an undergraduate

student and now he is my trustful supervisor in this graduation dissertation form the

beginning to its very end point

I also would like to thank all of my teachers, and my classmates of the

academic year 2007 Master program They are all my trustful supervisors, advisors

and seniors that accompanied me over an unforgettable period We were working

with open-minded, discussing with disciplines and deeply looking into every detail

issue within the curriculum Thank you for all you have done for me

My last words are for my family and my beloved friends They are always

beside me and help me overcome the difficulties that I am facing in real life They

are my encouragements, and they are all with me in my every steps of motivation

Ho Chi Minh City, June 2009

Nguyen Dang Phong

TÓM TẮT NỘI DUNG

Tên đề tài luận văn: “Phân tích dầm đơn giản chịu tải trọng điều hòa di động

xét đến khối lượng vật di động theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao”

Nội dụng của luận văn sẽ nghiên cứu phản ứng động của dầm đơn giản khi chịu một tải trọng điều hòa di động có xét đến khối lượng của vật di động, cũng là tác nhân gây ra dao động điều hòa Lý thuyết sử dụng để phân tích dầm là lý thuyết

biến dạng trượt bậc cao (Higher Order Shear Deformation Theory – HOSDT) Vật liệu làm dầm được sử dụng theo mô hình vật liệu Kelvin-Voigt Các điều kiện liên

kết của các gối tựa được đưa vào quá trình tính toán bằng cách sử dụng các hệ số

nhân Lagrange Bằng cách sử dụng các phương trình Lagrange, bài toán sẽ được

suy giảm thành các phương trình vi phân và được giải bằng cách sử dụng phương

pháp tích phân trực tiếp của Newmark Sau đó chuyển vị, vận tốc và gia tốc của dầm

tại một điểm xác định sẽ được xác định

Tiến hành xây dựng thuật toán tính toán trong Matlab và áp dụng, kiểm tra

bằng các số liệu cụ thể về dầm và với các giá trị tải trọng khác nhau

Matlab programming language is used to setup the solving algorithm of the problem Real parameters are then applied in various cases to varify

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1

1.1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu 1

1.2 Các lý thuyết tính toán dầm 3

1.3 Tổng quan về tính cản của hệ động học 3

1.4 Các mô hình vật liệu 4

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH VÀ CÁC LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU 8

2.1 Thiết lập mô hình 8

2.2 Lý thuyết biến dạng trượt bậc cao 8

2.3 Mô hình Kelvin – Voigt 12

2.4 Phân tích năng lượng 13

CHƯƠNG 3: THIẾT LẬP CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN 19

3.1 Phương trình cân bằng động học 19

3.2 Ma trận độ cứng và ma trận cản 20

3.3 Ma trận khối lượng 22

3.4 Vector tải trọng suy rộng 23

CHƯƠNG 4: GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 25

4.1 Giải phương trình chuyển động bằng phương pháp tích phân trực tiếp 25

4.2 Kỹ thuật lập trình sử dụng ngôn ngữ Matlab 30

CHƯƠNG 5: VÍ DỤ MINH HỌA 39

5.1 Bài toán 1 39

5.2 Bài toán 2 51

5.3 Bài toán 3 61

CHƯƠNG 6: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 64

6.1 Kết luận về các kết quả đã nghiên cứu 64

6.2 Kết luận và kiến nghị chung 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

PHỤ LỤC 69

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Trong thực tế các công trình xây dựng, đặc biệt là xây dựng công nghiệp, có rất nhiều các kết cấu dầm đơn giản chịu tải trọng động hoặc tải trọng di động ví dụ như các dầm cầu trục nhà công nghiệp chịu tải trọng xe cẩu hay các dầm cầu chịu tải trọng của các phương tiện giao thông di chuyển trên nó

Vấn đề nghiên cứu phản ứng động của dầm chịu nhiều tác nhân chuyển động bên ngoài đã được đề cập nhiều trong khoảng 20 năm trở lại đây Theo trình tự thời gian có thể liệt kê một số công trình nghiên cứu tiêu biểu như đề cập ở phần dưới đây

Năm 1990, Lin và Tretheway [34] lần đầu tiên đưa ra phương pháp phân tích

động cho dầm đàn hồi chịu tải trọng di động bất kỳ bằng phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng hệ thống các phương trình vi phân bậc hai với các hệ số thay đổi theo thời gian

Năm 1994, Lee [8] tiến hành nghiên cứu phản ứng của dầm với gối tựa tức thời chịu tải trọng di động sử dụng lý thuyết dầm Euler và phương pháp phân tích

mode

Năm 1997, Henchi, Fafard, Dhatt và Talbot [11] nghiên cứu ứng xử động

của dầm nhiều nhịp chịu một đoàn tải trọng di động sử dụng mô hình động và phát

triển thuật toán biến đổi nhanh Fourier (FFT algorithm) Các tần số và mode dao động được tính toán chính xác bằng thuật toán của Wittrick và Williams Cùng lúc

đó, Wang [22] thuộc Đại học quốc gia Cheng Kung, Đài Loan lại phân tích ứng xử của dầm Timoshenko nhiều nhịp chịu một tải trọng di động để so sánh kết quả với một dầm Euler-Bernoulli nhiều nhịp

Năm 1998, Zheng, Cheung, Au và Cheng [4] thuộc Đại học Hong Kong đã dựa trên nguyên lý Hamilton, tiến hành phân tích dao động của của dầm nhiều nhịp

tiến diện thay đổi chịu tải trọng đi động bằng cách sử đụng các hàm dao động dầm cải tiến thỏa mãn các điều kiện độ võng bằng 0 tại các gối tức thời cũng như điều kiện biên tại hai đầu dầm

Năm 2000, Abu-Hilal và Mohsen [15] đã nghiên cứu đao động của dầm đơn

với các điều kiện biên như các gối tựa đơn, ngàm, một gối tựa đơn gối kia là ngàm

hay dạng dầm console chịu một tải trọng điều hòa đi động Lời giải kín (closed

form) được dùng để tính toán phản ứng của dầm trong các điều kiện chuyển động có

gia tốc hay chuyển động bất thường của tải trọng Cùng trong thời gian này Chan,

Law và Yung đã thực hiện điều ngược lại của hầu hết tất cả các nghiên cứu là đưa ra

một lý thuyết tính toán để xác định tải trọng động trên một dầm cầu dự ứng lực dựa trên các thông số về phản ứng của dầm [26] đồng thời kiểm chứng bằng cách tiến hành đo đạc hiện trường trên một công trình dầm cầu dự ứng lực để ước tính và

định vị được tải trọng động ở trên dầm [27] Zhu và Law [31] đồng thời đã phát

triển lý thuyết xác định tải trọng di động nhưng cho loại dầm cầu liên tục nhiều nhịp

Năm 2001, Chen, Huang và Shih [33] nghiên cứu phản ứng của một dầm

Timoshenko dài vô hạn đặt trên một nền đàn hồi chịu tải trọng điều hòa di động Công trình này có ý nghĩa liên hệ thực tiễn rất lớn khi mô phỏng gần dúng mô hình đường ray xe lửa chịu tải trọng động Một nghiên cứu khác được đưa ra trong cùng

thời gian này của Michaltsos [7] để cập đến ảnh hưởng của tải trọng di động với vận

tốc thay đổi đến ứng xử của dầm đơn giản một nhịp

Năm 2002, Dungush và Eisenberger phát triển kết quả của Wang [22] khi

phân tích dầm liên tục tiết diện thay đổi chịu tải trọng di động nhưng lại dùng lý

thuyết dầm Euler-Bernoulli

Năm 2004, Hamed và Frostig [6] đề cập đến một vấn đề thực tiễn khi tìm

hiểu về dao động tự do của dầm dự ứng lực đã bị nứt Từ đó đưa đến kết luận, vết nứt sẽ ảnh hưởng rất lớn đến tần số dao động riêng của dầm

Năm 2008, Bakhshandeh và Saranjam [12] lại quan tâm đến ảnh hưởng của điều kiện biên đến ứng xử động của dầm thẳng composite đẳng hướng chịu tải trọng

di động Trong nghiên cứu này cũng đề cập đến ảnh hưởng của các thông số như

hình dáng và loại vật liệu dầm đến hệ số phóng đại động học (dynamic

magnifiaction factor) Và kết quả là hệ số phóng đại động học chịu ảnh hưởng lớn nhất từ các điều kiện biên

Như vậy, trong một khoảng thời gian dài đã có rất nhiều vấn đề liên quan đến phân tích dầm đặc biệt là ứng xử của dầm đối với tải trọng động Thành phần

“động” của tải trọng thường bao gồm một trong hai trường hợp: tải trọng di động hoặc là tải trọng điều hòa hoặc cả hai Tuy nhiên, tất cả các nghiêng cứu trước đây đều chỉ quan tâm đến tác dụng của lực lên dầm và chỉ phân tích ảnh hưởng của bản thân lực đó lên dầm mà thôi Nhưng trong thực tế tất cả các ngoại lực tác động lên dầm dù dưới bất cứ hình thức nào cũng phải có tác nhân gây ra nó Tác nhân gây ra

lực di chuyển trên dầm luôn có khối lượng bản thân, nếu kể đến thành phần khối lượng này thì ma trận tổng khối lượng khi phân tích dầm theo Phần tử hữu hạn là thay đổi theo thời gian và đây cũng là vấn đề mà luận án đề cập đến

1.2 Các lý thuyết tính toán dầm

Các nghiên cứu về phản ứng dầm khị chịu các loại tải trọng thường thường

dựa trên các lý thuyết dầm khác nhau từ lý thuyết dầm đơn giản nhất của

Euler-Bernoulli đến đến lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của Timoshenko và cuối cùng

là lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của Reddy và Brickford [3] Trong đó hai lý

thuyết sau cùng đề cập đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang của dầm mà trong

lý thuyết của Euler-Bernoulli xem như không có

Hiện nay, lý thuyết dầm Timoshenko vẫn được sử dụng rộng rãi nhất do hệ

thống phương trình đơn giản và tính chính xác của kết quả tính toán là chấp nhận được Tuy nhiên, nếu quá trình mô phỏng đòi hỏi tính chính xác cao người ta sẽ sử

dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (HOSDT) Lý thuyết này chính là lý thuyết

mở rộng của lý thuyết dầm Reddy và Brickford

Lý thuyết biến dạng trượt bậc cao hiện nay chủ yếu dùng để phân tích ứng

xử của các phần tấm, vỏ hay tấm composite, đối với các mô phỏng cho dầm đây vẫn

còn là một lý thuyết tương đối mới Một số ứng dụng cho tấm vỏ có thể kể đến như,

năm 2004, lần đầu tiên Latheswary [24] đã đưa lý thuyết này vào phân tích ứng xử

của các tấm Laminate composite chịu tải trọng tĩnh khi thay đổi các lớp vật liệu và

tỷ số bề dày tấm so với chiều dài cạnh Sau đó một năm, Ferreira [1] giới thiệu lý thuyết HOSDT để phân tích tấm giật bậc tựa đơn chịu tải trọng tĩnh theo phương pháp không chia lưới Gần đây nhất, năm 2007, Nguyen Dang Quy [20] cũng có một nghiên cứu về phần tử vỏ đặc trong các kết cấu laminate để tăng cường khả

năng chịu cắt sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bâc cao

Chi tiết các lý thuyết phân tích dầm và phát triển công thức sẽ được đề cập

trong mục 2.2 của tài liệu này

1.3 Tổng quan về tính cản của hệ động học

Trong lý thuyết đàn hồi cổ điển, không có khoảng thời gian trễ giữa một lực tác dụng biến dạng do nó gây ra Tuy nhiên, trong thực tế của rất nhiều vật liệu, người ta phát hiện còn có thêm một biến dạng phụ thuộc thời gian và được gọi là

biến dạng đàn nhớt (viscoelastic deformation)

Khi một tải trọng bên ngoài tác dụng vào vật liệu làm cho vật liệu đó phản ứng đàn hồi tức thời nhưng biến dạng đó vẫn tiếp tục phát triển theo thời gian Tính đàn nhớt đóng vai trò như hệ thống giảm chấn cho vật liệu hay còn gọi là tính cản (damping) của vật liệu

Tính cản của vật liệu, theo [21] được phát triển từ khái niệm lưu biến

(rheology) của chất lỏng Theo đó, lưu biến nghiên cứu đến dòng chảy của vật liệu

chủ yếu trong chất lỏng và một số chất rắn với điều kiện tính chảy của nó co xu hướng lớn hơn biến dạng đàn hồi

Một lò xo (Hình 1.1) mô phỏng chính xác một chất rắn đàn hồi lý tưởng, ứng

xử này được thể hiện như sau:

e e

Một bộ giảm chấn (dashpot) (Hình 1.1) sẽ mô phỏng chính xác một vật liệu

nhớt lý tưởng, ứng xử này được thể hiện như sau :

Hình 1.1 Các phần tử lưu biến

Khi kết hợp các phần tử lưu biến lại theo các cách khác nhau chúng ta sẽ có

được các mô hình vật liệu Mô hình Maxwell [30] bao gồm một lò xo và một bộ

giảm chấn mắc nối tiếp (Hình 1.2) và có phương trình ứng xử như sau:

Trong đó, các đại lượng e và F (không có chỉ số) lần lượt là tổng biến dạng

dài và ngoại lực tác dụng Khi đó, biến dạng tương ứng với lực tác dụng được mô tả như đồ thị (Hình 1.2), tức là khi có lực tức thời tác động, lò xo sẽ chịu toàn bộ lực

đó và bị kéo giãn đàn hồi tức thời Sau đó lực sẽ truyền dần sang bộ giảm chấn làm cho tổng chiều dài của toàn hệ thay đổi tuyến tính

Hình 1.2 Mô hình nối tiếp Maxwell

Mô hình vật liệu Kelvin-Voigt hay còn gọi là mô hình Voigt [30] bao gồm

một lò xo và một bộ giảm chấn mắc song song (Hình 1.3) Đối với mô hình này ta có:

e v

e v

Khi có lực tức thời tác động, cả hai phần tử sẽ chịu đồng thời lực đó Lúc này

đường biến dạng của hệ có dạng hàm mũ và tiệm cận với giá trị elà biến dạng dài

lớn nhất khi t = (Hình 1.3)

Hình 1.3 Mô hình song song Voigt

Vì cả hai mô hình Voigt và Maxwell đều không thể hiện đầy đủ cả hai quá

trình chùng biến dạng và chùng ứng suất nên một mô hình vật liệu thứ ba tốt hơn là

mô hình hỗn hợp hay còn gọi là mô hình Voigt-Maxwell [30] được đề xuất Mô hình này bao gồm một hệ Voigt mắc nối tiếp với một lò xo (Hình 1.4)

Hình 1.4 Mô hình hỗn hợp Voigt-Maxwell

Ngoài ra còn có một số mô hình vật liệu phức tạp khác nữa như sử dụng nhiều phần tử lò xo và nhiều bộ giảm chấn hay là dùng các phần tử trên với ứng xử phi tuyến

CHƯƠNG 2

MÔ HÌNH VÀ CÁC LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU 2.1 Thiết lập mô hình

Bài toán nghiên cứu là một dầm đơn giản, gối tựa đơn hai đầu, chiều dài nhịp

L, tiết diện ngang b h Một vật có khối lượng tĩnh Q, di động trên dầm với vận tốc

, đồng thời gây ra dao động điều hòa P0sint lên dầm trong quá trình di chuyển

Mô hình phân tích phẳng (Hình 2.1) được đặt trong hệ tọa độ Descartes

vuông góc (xOz) với gốc tọa độ O ở chính giữa dầm như sau:

Hình 2.1 Mô hình phẳng của bài toán nghiên cứu

Hàm tải trọng điều hòa được mô tả theo quy luật sau:

2.2 Lý thuyết biến dạng trượt bậc cao

Lịch sử phát triển của lý thuyết tính toán dầm như các phần trên đã trình bày

đi qua ba lý thuyết tính toán dầm chính và được phát triển theo hướng độ chính xác

của lý thuyết sau cao hơn lý thuyết trước Có thể liệt kê ba lý thuyết đó theo độ

chính xác của kết quả tính như sau: lý thuyết dầm Euler – Bernoulli; lý thuyết dầm

Timoshenko ; lý thuyết biến dạng trược bậc cao hay còn gọi là lý thuyết dầm Reddy

Hiện nay, cả ba lý thuyết tính này vẫn đang được sử dụng rộng rãi tùy theo yêu cầu

về độ chính xác của bài toán hay mức độ quan trọng của công trình nghiên cứu

Để tìm hiểu về các lý thuyết dầm, chọn hệ trục tọa độ với trục x dọc theo chiều dài dầm, trục z hướng xuống theo chiều cao dầm và trục y hướng theo chiều

rộng dầm Trong một lý thuyết dầm tổng quát, mọi tải trọng ngoài đều gây ra ba

thành phần chuyển vị (u,v,w) theo ba phương (x,y,z) Khi giới hạn nghiên cứu trong bài toán phẳng, chuyển vị theo phương y được lược bỏ Như vậy, các hàm chuyển vị chỉ còn phụ thuộc vào hai biến x và z

Lý thuyết dầm đơn giản nhất là lý thuyết dầm Euler-Bernoulli [3] dựa trên

trường chuyển vị được mô tả như sau (Hình 2.2):

Trong đó, w 0 là độ võng của dầm tại một điểm có tọa độ (x,0) trên trục trung hòa

Trường chuyển vị trên cho thấy rằng đường thẳng vuông góc với trục trung hòa trước và sau khi dầm bị uốn vẫn tiếp tục thẳng và vuông góc với trục trung hòa

Hình 2.2 Mô hình dầm Euler – Bernoulli

Lý thuyết tiếp theo là lý thuyết dầm Timoshenko [3], dựa trên trường chuyển

Hình 2.3 Mô hình dầm Timoshenko

Trong các lý thuyết bậc cao, giả định về các mặt cắt ngang phẳng của các lý

thuyết trước đều bị loại bỏ Theo J.N Reddy [3] một lý thuyết bậc hai với dầm

không bị biến dạng theo phương ngang được cho theo trường chuyển vị sau:

Hình 2.4 Mô hình dầm Reddy theo lý thuyết HOSDT

Trường chuyển vị bậc ba sau đây đã được sử dụng trong các công trình

nghiên cứu của J.N Reddy [3] và M Levinson [16] và còn được gọi là lý thuyết dầm Reddy:

Ứng dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao vào bài toán:

Lý thuyết dầm Reddy khi áp dụng vào bài toán đã nêu, sẽ được bổ sung thêm biến thời gian t và được viết lại như sau:

Từ đó, theo quan hệ ứng suất biến dạng của cơ học môi trường liên tục ta tính được biến dạng dọc và biến dạng góc (góc trượt) như sau:

2.3 Mô hình Kelvin – Voigt

Mô hình Kelvin-Voigt chính tắc [18], trong trường hợp đặc biệt của bài toán này được cho dưới dạng như sau:

2.4 Phân tích năng lƣợng

Quá tình phân tích năng lượng trong dầm là quá trình đi tìm công biến dạng

U của dầm, hàm phân tán năng lượng R và động năng tức thời K e và thế năng tức

thời V của hệ

Công biến dạng U của dầm trong hệ tọa độ vuông góc Descartes bao gồm hai

thành phần: công biến dạng do ứng suất pháp xx và công biến dạng do ứng suất tiếp

xz với chú ý chỉ số e (elastic) – chỉ xét đến biến dạng đàn hồi:

được gọi là các hệ số độ cứng mặt cắt ngang (cross-sectional stiffness coefficients)

[17]

Do tính cản nội tại trong dầm (damping), một phần năng lượng sẽ được

chuyển hóa thành nhiệt năng và được thể hiện bằng bằng hàm phân tán năng lượng

hay còn được gọi là hàm phân tán Rayleigh, ký hiệu là R:

Tương tự, trong công thức (2.29) ta cũng có thành phần phân tán của ứng

suất pháp và thành phần phân tán của ứng suất tiếp Hàm phân tán Rayleigh là một

dạng hàm phân tán được dùng trong các dạng vật chất có tính nhớt (bao gồm cả chất lỏng), ngoài ra còn có một dạng hàm phân tán khác là hàm phân tán do ma sát Hàm

phân tán sẽ được sử dụng trong phương trình Lagrange

Từ (2.20) và (2.22), biểu thức (2.29) được viết lại như sau:

0 /2

w w z

0 /2

  0sin 

P t  Q P t như (2.1)

c được gọi là hàm bậc thang đơn vị, t 1 là thời điểm tải trọng bắt đầu đi vào dầm và t 2

là thời điểm tải trọng đi ra khỏi dầm, x p (t) theo (2.2) là hàm vị trí của vật di động và

x t b t x



Trong đó, a n (t) và b n (t) là các tọa độ suy rộng theo thời gian

Thay (2.40) và (2.41) vào (2.26), công biến dạng U của dầm được viết lại theo các tọa độ suy rộng theo thời gian a n và b n như sau:

(2.42)

Tương tự, thay (2.40) và (2.41) vào (2.35), động năng tức thời K e được viết

lại theo các tọa độ suy rộng theo thời gian a n và b n như sau:

Trong đó,  là tần số dao động riêng (hay còn gọi là tần số dao động tự nhiên) của

dầm Thay (3.3) và (3.4) vào (3.2) đồng thời các ma trận cản [C] và vector tải trọng ngoài {f} đều lấy bằng 0, làm cho (3.2) trở thành một hệ phương trình tuyến tính đồng nhất hay còn gọi là phương trình tần số (frequency equation) và được thể hiện

như sau:

Phương trình tần số sẽ thỏa mãn khi định thức của ma trận hệ phương trình (3.5) tiêu biến

Việc giải phương trình tần số chẳng qua là giải bài toán tìm giá trị riêng và

vector riêng và sẽ được trình bày bằng thuật toán và cụ thể hóa trong các phần 4.2.4

và 4.2.5 của luận văn này

/2

" " 9 6' ' , 1,2, ,

Ma trận cản, theo [5] trong trường hợp đơn giản được tính [ ]C [ ]K với 

là hệ số cản nội tại, như vậy ma trận cản [C] sẽ được viết như sau:

/2

" " 9 6' ' , 1,2, ,

Ma trận khối lượng [M] của dầm khi chưa kể đến khối lượng vật di động đặt

lên nó, được cho như sau [17]:

Tiếp theo, tiến hành thiết lập ma trận khối lượng động khi chỉ xét đến khối

lượng Q di động trên dầm theo quy luật x P (t)

Giả sử tại thời điểm t, lực P(t) di động trên dầm đến vị trí nút i Như vậy khối lượng Q sẽ được phân bố lên hai đầu nút i và i+1 theo quy tắc của ma trận khối

lượng thu gọn (Hình 3.1) tức là:

Hình 3.1 Quy tắc phân bố khối lượng di động lên các nút

 

i i i

L

Trong quá trình phân tích bằng phương pháp số, để xác định được chính xác

vị trí của khối lượng Q trên dầm ta tiến hành lập một hàm tính thời gian tổng cộng

(cộng dồn) theo các giá trị t của phương pháp bước thời gian Newmark 

Ta xem ở các nút còn lại không có khối lượng Q, tức là M k (k,k)=0 với

, 1

ki i Như vậy, khối lượng ma trận khối lượng tổng thể sẽ là ma trận khối

lượng động thay đổi theo thời gian Tại một thời điểm t, ma trận khối lượng tổng thể

Newmark  trong phần [Phụ Lục]

3.4 Vector tải trọng suy rộng

Vector tải trọng suy rộng được cho như sau :

     n 1 1,2, ,

P n

N n 0 1,2, ,

CHƯƠNG 4

GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 4.1 Giải phương trình chuyển động bằng phương pháp tích phân trực tiếp

Để giải phương trình (3.1) có nhiều phương pháp, nhưng hai phương pháp chính hiện nay đang được sử dụng phổ biến là :

+ Phương pháp chồng chất các mode dao động (the modal superposition

method)

+ Phương pháp tích phân trực tiếp (Direct integration)

Các phương pháp trên đều là các phương pháp số, việc lựa chọn phương pháp nào để giải phương trình chuyển động lại phụ thuộc vào bao nhiêu dạng dao động cần thiết đại diện cho bài toán đang xét Trong luận văn ta chỉ xét một vài một vài dạng dao động có ý nghĩa đồng thời quá trình tác động của tải trọng cũng không kéo dài như trong bài toán dao động động đất Vì vậy, sau đây chúng ta sẽ chọn phương pháp tích phân trực tiếp để giải bài toán dao động, cụ thể là phương trình cân bằng động học (3.2)

Ý tưởng của phương pháp tích phân trực tiếp [35] là miền thời gian phản ứng của hệ được chia thành các khoảng rất nhỏ t và xét phản ứng của hệ trong từng

khoảng thời gian đó với các điều kiện liên kết của các bước tính liên tiếp nhau (step

by step) Trong mỗi khoảng thời gian đang xét, các đại lượng gia tốc, vận tốc hay chuyển vị được xem là thay đổi tuyến tính, hoặc hằng số và hệ làm việc trong miền đàn hổi Do đó, giữa hai bước tính liên tiếp nhau, các điều kiện ban đầu được thay đổi để phù hợp với điều kiện thực ở bước tính hiện tại

4.1.1 Một số phương pháp tích phân trực tiếp

Các phương pháp tích phân trực tiếp được đề cập tới là các phương pháp

phương pháp tích phân số được giải bằng các quy trình từng bước (step by step) phù

hợp cho các bài toán dao động Các phương pháp này được sử dụng để xác định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hay phi tuyến bất kỳ Với sự trợ giúp của máy tính các phương pháp số này hiện nay đang được áp dụng rất rộng rãi

Một vài phương pháp số thường được đề cập trong các tài liệu về động lực

học kết cấu như phương pháp sai phân trung tâm, phương pháp Runge-Kuttu, phương pháp Houbolt, phương pháp Wilson, phương pháp Newmark Trong các

phương pháp khoảng thời gian được tăng thêm một khoảng t, giá trị chuyển vị và đạo hàm của nó tại một thời điểm đã đủ để xác định các đại lượng này, các thời điểm sau được xác định dựa vào các công thức truy hồi Các phương pháp này có sự khác nhau cơ bản là việc chọn độ dài thời gian và giả sử về việc thay đổi của độ lệch vận tốc hay gia tốc trong khoảng thời gian đó

Sự lựa chọn hai yêu cầu trên đây cho phù hợp với bài toán dao động phi tuyến bất kỳ nào đó có thể làm tăng khối lượng tính toán lên rất nhiều do bước thời gian phải lấy ngắn đến mức hợp lý hay ngược lại làm giảm độ chính xác của kết quả hay đôi khi xuất hiện những sai số rất lớn

Sau đây là sơ lượt một số phương pháp tích phân trực tiếp tiêu biểu :

Phương pháp sai phân hữu hạn : là phương pháp ổn định có điều kiện, đòi hỏi phải chọn bước thời gian    t th T n /q i với T n là chu kỳ dao động riêng của hệ một bậc tự do hay là chu kỳ dao động tự nhiên của hệ nhỏ nhất của hệ nhiều bậc tự

do, đồng thời để có độ chính xác mong muốn, phải tính toán so lượng rất lớn bước thời gian

Phương pháp Runge-Kutta : đây là phương pháp có độ chính xác cao, lập phương trình tương đối đơn giản, tuy nhiên khối lượng tính toán cho mỗi bước thời gian là khá lớn

Phương pháp Houlbolt : là phương pháp ổn định vô điều kiện, không phụ thuộc vào độ lớn của t, khi đó việc chọn độ dài của bước thời gian t chỉ phụ thuộc vào độ chính xác yêu cầu Tuy nhiên các phép tính thời gian cho một bước thì khá lớn

Phương pháp Newmark và phương pháp Wilson : về thực chất hai phương pháp này cũng tương tự các phương pháp trên, đều lấy sự giả thiết về thay đổi gia tốc trong một bước thời gian làm cơ sở cho các công thức tính toán, đều dùng các thông số , ,  để đưa phương pháp về ổn định nghiệm Cả hai phương pháp này

đều đảm bảo tính ổn định nghiệm vô điều kiện nhưng phương pháp Newmark là

phương pháp được sử dụng phổ biến nhất vì có độ chính xác cao nhất [35]

4.1.2 Phương pháp Newmark

Phương pháp Newmark, hay còn được gọi là phương pháp Newmark-, được

dựa trên hai phương trình vi phân cơ bản cho vận tốc và chuyển vị cuối sau đây [23] :

Thông qua quá trình thiết lập các phương trình (4.1) và (4.2), người ta nhận thấy rằng hệ số  sẽ điều khiển mức độ cản nhân tạo trong quá trình phân tích từng bước Với việc lấy giá trị  = 1/2 quá trình cản nhân tạo sẽ được loại bỏ Vì vậy Newmark đề nghị lấy  = 1/2 cho các hệ nhiều bậc tự do chuẩn mực

Giữ giá trị  = 1/2, lấy  = 1/4 , các phương trình Newmark (4.1) và (4.2)

được rút gọn trở thành các biểu thức xác định vận tốc và chuyển vị cuối Vì vậy

phương pháp Newmark  = 1/4 còn được gọi là phương pháp gia tốc trung bình không đổi

Trong trường hợp giữ giá trị  = 1/2 và lấy  = 1/6, biểu thức xác định vận tốc và chuyển vị cuối trở thành :

Hình 4.1 Chuyển động theo sự thay đổi tuyến tính của gia tốc

Cũng giống như phương pháp gia tốc trung bình không đổi, phương pháp gia tốc tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong tính toán thực tế Không giống như

phương pháp Newmark  = 1/4, phương pháp gia tốc tuyến tính là phương pháp ổn định có điều kiện Sự mất ổn định sẽ diễn ra khi điều kiện : t T/ n  3 /  0.55

không được thỏa mãn Tuy nhiên, ràng buộc này không ảnh hưởng lớn đến quá trình phân tích các hệ nhiều bậc tự do bởi vì các bước thời gian thường được lấy rất nhỏ để thỏa mãn các yêu cầu về thông số động ban đầu và phải đủ nhỏ để thu được các kết quả hợp lý về ứng xử của kết cấu

Thay (4.1) và (4.2) vào phương trình cân bằng động học (3.2) ta được :

Giải phương trình (4.10) để tìm được q1với các điều kiện ban đầu q q q0, , 0 0

tại thời điểm ban đầu t=0 coi như đã biết Tính tiếp các bước tiếp theo sử dụng kết

quả vừa tìm được trong bước tính trước đó làm điều kiện ban đầu Quá trình trên sẽ dừng lại khi số bước tính đạt số thời gian yêu cầu của bài toán cụ thể

Điều kiện khống chế độ lớn của bước thời gian phải đủ nhỏ thì bài toán mới đạt độ chính xác yêu cầu mà trong các chương trình, bước thời gian được đưa vào theo yêu cầu của người sử dụng Như vậy, nếu ta thực hiện bước phân tích phản ứng

có tổng số thời gian thực hiện phân tích lớn hơn thời gian tác động của tải trọng thì

sẽ có được kết quả ứng xử của kết cấu trong hai pha: dao động cưỡng bức và dao động tự do Kết quả tính toán thu được và chuyển vị, vận tốc và gia tốc

4.1.3 Các bước tính toán theo phương pháp Newmark [35]

Bước 1: Tính các giá trị ban đầu

5 Đưa ma trận Mˆ về các ma trận tam giác trên và dưới:

ˆ . T

M L D L (4.13)

6 Khởi tạo các vector chuyển vị, vận tốc và gia tốc ban đầu: q q q0, , 0 0

Bước 2: Tính toán cho mỗi bước thời gian t

1 Tính giá trị tại từng thời điểm t+t:

4.2 Kỹ thuật lập trình sử dụng ngôn ngữ MATLAB

4.2.1 Giới thiệu ngôn ngữ lập trình MATLAB

MATLAB [36] là một môi trường tính toán số và lập trình, được thiết kế bởi

công ty MathWorks MATLAB cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số

hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác MATLAB được dùng rộng rãi trong giáo dục, phổ biến nhất là giải các bài toán số trị (cả đại số tuyến tính lẫn giải tích) trong nhiều lĩnh vực kĩ thuật

MATLAB là viết tắt từ "MATrix LABoratory", được Cleve Moler phát minh

vào cuối thập niên 1970, và sau đó ông trở thành là chủ nhiệm khoa máy tính tại

Đại học New Mexico MATLAB, nguyên sơ được viết bởi ngôn ngữ Fortran, cho đến 1980 nó vẫn chỉ là một bộ phận được dùng nội bộ của Đại học Stanford

Năm 1983, Jack Little, một người đã học ở MIT và Stanford, đã viết lại

MATLAB bằng ngôn ngữ C và nó được xây dựng thêm các thư viện phục vụ cho thiết kế hệ thống điều khiển, hệ thống hộp công cụ (tool box), mô phỏng Jack xây

dựng MATLAB trở thành mô hình ngôn ngữ lập trình trên cơ sở ma trận

(matrix-based programming language)

Steve Bangert là người đã viết trình thông dịch cho MATLAB Công việc này kéo dài gần 1½ năm Sau này, Jack Little kết hợp với Moler và Steve Bangert quyết định đưa MATLAB thành dự án thương mại - công ty The MathWorks ra đời thời

gian này – năm 1984

Phiên bản đầu tiên MATLAB 1.0 ra dời năm 1984 viết bằng C cho MS-DOS

PC được phát hành đầu tiên tại IEEE Conference on Design and Control (Hội nghị

IEEE về thiết kế và điều khiển) tại Las Vegas, Nevada

Sau gần 40 năm phát triển và cải tiến liên tục, MATLAB trở thành một công

cụ lập trình rất mạnh và được ứng dụng rộng rãi trong tất cả các lĩnh vực giáo dục,

khoa học và kỹ thuật hiện đại Phiên bản mới nhất của MATLAB [36] cho đến thời điểm này, phiên bản 7.8 hay còn gọi là R2009a, được phát hành vào tháng 03 năm

2009 với cập nhật và sửa lỗi cho hơn 91 ứng dụng con, cải thiện Simulink, giảm dung lượng RAM và tăng tốc độ hệ thống

Trong luận văn này, tác giả sẽ sử dụng ngôn ngữ lập trình MATLAB phiên bản R2009a để phục vụ cho phương pháp phân tích số

4.2.2 Tính toán các hệ số

Đối với ngôn ngữ MATLAB để đơn giản trong quá trình lập trình cho chương trình chính, ta cần phải tạo ra các module hay còn gọi là các chương trình con (function – m files) để chương trình chính truy cập lúc cần thiết Như vậy, việc lập

trình sẽ giảm được số lượng câu lệnh trong chương trình chính và làm cho việc quản lý, chỉnh sửa dễ dàng hơn

Trước khi bắt đầu thiết lập các chương trình con, ta cần phải tính một số các

hệ số xuất hiện trong các công thức để quá trình lập liệu được đơn giản Một số hệ

số cần tính là : các hệ số độ cứng mặt cắt ngang (2.27) và (2.28) và các hệ số quán tính mặt cắt ngang (2.36)

Các thông số hình học của dầm dùng để tính các hệ số được cho trong hình sau (Hình 4.2.) :

Hình 4.2 Mô hình tính toán và mặt cắt ngang dầm

Theo Hình 4.2, các hệ số độ cứng mặt cắt ngang được tính như sau: