Ứng dụng phương pháp biến trạng thái tính toán quá độ trong hệ thống nối đất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA --- NGUYỄN HỮU VINH ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN TRẠNG THÁI TÍNH TOÁN QUÁ ĐỘ TRONG HỆ THỐNG NỐI ĐẤT Chuyên ngành : Thiết bị, Mạng và Nhà máy điện LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

NGUYỄN HỮU VINH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN TRẠNG THÁI TÍNH TOÁN QUÁ ĐỘ TRONG HỆ

THỐNG NỐI ĐẤT

Chuyên ngành : Thiết bị, Mạng và Nhà máy điện

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 11 năm 2008

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học 1: TS Hoàng Việt

Cán bộ hướng dẫn khoa học 2: TS Vũ Phan Tú

Cán bộ chấm nhận xét 1 :

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại:

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Ngày tháng năm 2008

PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

Tp HCM, ngày 30 tháng 11 năm 2008

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Ngày, tháng, năm sinh: 30/10/1979 Nơi sinh: Đồng Tháp

Chuyên ngành: Thiết bị, Mạng và Nhà máy điện MSHV: 01804521

I- TÊN ĐỀ TÀI:

« ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN TRẠNG THÁI TÍNH TOÁN QUÁ ĐỘ

TRONG HỆ THỐNG NỐI ĐẤT » II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Tìm hiểu biến trạng thái và phương trình biến trạng thái Áp dụng phương pháp biến trạng thái giải các bài toán quá độ

- Áp dụng phương pháp biến trạng thái tính toán quá độ trong thanh nối đất, lưới nối đất

- So sánh kết quả thu được từ việc mô phỏng dùng phương pháp biến trạng thái

và các kết quả thu được từ phương pháp số khác (phương pháp sai phân hữu hạn)

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 01/08/2008

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30/11/2008

TS HOÀNG VIỆT TS VŨ PHAN TÚ

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua

Ngày tháng năm

TRƯỞNG PHÒNG ĐT – SĐH TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH

LỜI CẢM ƠN

Sau thời gian học tập, nghiên cứu tại Trường Đại học Bách Khoa TpHCM, tôi đã được các Thầy, Cô trang bị và truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quí báu Đặc biệt là trong suốt quá trình tham gia học sau đại học tại trường, tôi đã được củng cố và nâng cao kiến thức của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM

- Phòng Đào tạo Sau Đại Học

- Khoa Điện – Điện tử, Bộ Môn Hệ thống điện

- Thầy TS Hoàng Việt và TS Vũ Phan Tú

- Quí thầy, cô Bộ môn Hệ Thống Điện

- Lãnh đạo Phòng Kỹ thuật, Phòng TCCB & ĐT Công ty Điện lực TpHCM và các đồng nghiệp tại Phòng Kỹ thuật Công ty Điện lực TpHCM

Đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình sau đại học và hoàn tất tốt luận văn này

NGUYỄN HỮU VINH

Hệ thống nối đất, là phần tử chính của hệ thống điện Hệ thống nối đất bảo vệ các thiết bị đang vận hành và hệ thống trong điều kiện vận hành bình thường và cả trường hợp có xảy ra sự cố Nó cũng đảm bảo an toàn không bị số điện đối với người nếu có sự cố trong các trạm biến áp hoặc nhà máy điện Do đó, việc nghiên cứu hệ thống nối đất trong thời gian xảy ra sự cố là bài toán tương thích điện từ trong trạm và nhà máy điện và việc tính toán điện áp trên bề mặt của đất, điện áp bước và điện áp tiếp xúc là rất quan trọng trong việc thiết kế bảo vệ an tòan trong vận hành hệ thống điện và bảo vệ an toàn người

Ngày nay, với sự phát triển không ngừng của máy tính, các thiết bị công nghệ cao, con người đã làm ra những phần mềm mô phỏng hỗ trợ mô phỏng và tính toán những bài toán về phương pháp số một cách nhanh chóng với độ chính xác cao, đã giúp cho việc nghiên cứu các phương pháp số có một khả năng tính toán nhanh và chính xác cao

Trong phạm vi luận văn này trình bày về phương pháp biến trạng thái, một trong những phương pháp số, được các nhà khoa học trên thế giới nghiên cứu và phát triển Đồng thời, trình bày kết quả ứng dụng phương pháp biến trạng thái tính toán quá độ trong hệ thống nối đất

Từ việc ứng dụng phương pháp biến trạng thái tính toán quá độ trong hệ thống nối đất, ta nhận thấy kết thu được hoàn toàn phù hợp với các kết luận trên lý thuyết và những kết quả mô phỏng từ các phương pháp khác

The grounding system is one of main elements of power systems It can insure correct operation of equipment and power systems in the normal and fault conditions

by enabling ground faults can be detected It also insures the protection of personnel against electrical shocks by limiting the overvoltages which are appeared due to the ground faults in substations and generating stations Therefore the investigation of grounding systems during a fault is one of electromagnetic compatibility problems in substation and power plants and the calculation of the earth surface potential, step and touch voltages is very necessary for designing the safety and protection of power systems operation and personnel

In recent years, with the continuous development of computer, a lot of programs and software were written which helped scientist and researcher a lot It also helps scientist and researcher solving the practice problems by using numerical methods with high accuracy

In this paper, the author introduces a little general theory about numerical methods which are researched and developed by scientists and researchers Beside that,

he presents some results about transients in grounding system by using state variable method

With the results of transients in grounding system by using state variable method, he gives some comment about state variable method and compare with another methods

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 1

CHƯƠNG 2: BIẾN TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 3

2.1 Biểu diễn phương trình vi phân ở dạng phương trình trạng thái: 3

2.2 Cách thành lập phương trình trạng thái từ phương trình vi phân: 7

2.3 Ma trận chuyển trạng thái: 8

2.4 Tính ma trận chuyển trạng thái dùng Định lý Caley-Hamilton: 9

2.5 Phương pháp Runge-Kutta: 11

2.6 Dùng phương pháp biến trạng thái giải bài toán quá độ: 18

2.7 Nhận xét: 28

CHƯƠNG 3: QUÁ ĐỘ TRONG CỰC NỐI ĐẤT 29

3.1 Tổng quan về sét: 29

3.2 Tổng quan về nối đất trong hệ thống điện: 32

3.3 Mô hình thay thế của cực nối đất: 33

3.4 Áp dụng phương pháp biến trạng thái nghiên cứu quá độ cực nối đất: 35

3.5 Các kết quả thu được khi áp dụng phương pháp biến trạng thái nghiên cứu quá độ cực nối đất: 37

3.6 Đánh giá kết quả thu được: 39

CHƯƠNG 4: QUÁ ĐỘ TRONG LƯỚI NỐI ĐẤT 43

4.1 Mô hình thay thế của lưới nối đất: 434.2 Áp dụng phương pháp biến trạng thái nghiên cứu quá độ lưới nối đất: 464.3 Các kết quả thu được khi áp dụng phương pháp biến trạng thái nghiên cứu quá độ lưới nối đất: 494.4 Khảo sát ảnh hưởng của các thông số mô phỏng đối với đáp ứng quá độ của hệ thống nối đất: 67

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN 70

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU

Hệ thống nối đất trạm là một phần tử quan trọng trong hệ thống điện cũng như các công trình công nghiệp khác Trong hệ thống điện, việc thi công một hệ thống nối đất là yêu cầu đặc biệt quan trọng, do việc phân bố lưới nối đất và giá trị điện trở của

hệ thống nối đất ảnh hưởng rất nhiều đến độ tin cậy của các thiết bị (Máy biến thế, máy cắt, dao cách ly, biến điện áp, biến dòng điện, các rơle bảo vệ vv…) đồng thời là yếu tố để đảm bảo an toàn cho con người khi làm việc trong phạm vi của hệ thống điện

Hệ thống nối đất bảo vệ các thiết bị đang vận hành, bảo vệ hệ thống trong điều kiện vận hành bình thường và cả trường hợp có sự cố xảy ra Nó cũng đảm bảo an toàn không bị sốc điện cho con người nếu có sự cố xảy ra trong các trạm biến áp hoặc nhà máy điện

Việc nghiên cứu hệ thống nối đất trong trường hợp sự cố là một bài toán điện từ trong trạm biến áp, nhà máy điện và việc tính toán điện áp mặt đất, điện áp bước, điện

áp tiếp xúc là rất cần thiết khi tính toán thiết kế bảo vệ an tòan trong vận hành cho người và thiết bị

Một trong những hiện tượng gây ra việc quá điện áp chính là sự phóng điện của sét Sét luôn là mối đe doạ cho tính mạng cũng như các công trình của con người Mỗi lần phóng điện có thể giải phóng một lượng rất lớn năng lượng làm hư hỏng nhà cửa,

hệ thống điện, hệ thống thông tin liên lạc và có thể làm chết người

Để có thể hạn chế đến mức tối thiểu các thiệt hại trên thì cần phải có các thiết bị thu sét và hệ thống nối đất Khi thiết bị thu sét có chất lượng tốt và hệ thống nối đất tốt

sẽ đảm bảo tản dòng sét nhanh xuống đất và tránh hiện tượng phóng điện ngược lại các phần tử được bảo vệ Chính vì vậy, hệ thống nối đất luôn là một phần quan trong trong bất kỳ công trình chống sét nào

Điện trở tản xung và điện áp lan truyền trên hệ thống nối đất là hai yêu cầu cơ bản nhất để đánh giá được độ an toàn của hệ thống nối đất

Đối với hệ thống nối đất tập trung, điện trở tản xung và quá điện áp gây ra bởi dòng sét có thể được dự đoán thông qua các công thức giải tích chính xác Tuy nhiên, đối với các hệ thống nối đất kéo dài, hệ thống nối đất rộng lớn (như trạm biến áp cao thế…) thì việc dự đoán quá điện áp gây ra bởi dòng sét lại gặp nhiều khó khăn

Do đó, để có thể khảo sát được sự lan truyền của quá điện áp trong hệ thống nối đất nhanh chóng và hiệu quả, người ta sử dụng các phương pháp số để tìm ra lời giải

có thể chấp nhận được

Nội dung luận văn “Ứng dụng phương pháp biến trạng thái nghiên cứu quá

trình quá độ trong hệ thống nối đất” bao gồm các nội dung chính sau:

- Biến trạng thái và phương trình biến trạng thái Áp dụng phương pháp biến trạng thái giải các bài toán quá độ

- Áp dụng phương pháp biến trạng thái cho bài toán quá độ trong thanh nối đất, lưới nối đất

- So sánh kết quả thu được từ việc mô phỏng dùng phương pháp biến trạng thái và các kết quả thu được từ phương pháp số khác (phương pháp sai phân hữu hạn)

Với các nội dung nghiên cứu trên, bố cục luận văn được phân chia thành các phần như sau:

- Chương 1: Giới thiệu

- Chương 2: Biến trạng thái và phương pháp biến trạng thái

Chương này giới thiệu biến trạng thái và phương trình trạng thái và các ứng dụng của nó trong phân tích hệ thống Giới thiệu ma trận trạng thái và các bước chuyển không gian trạng thái

- Chương 3: Quá độ trong cực nối đất

Chương này trình bày tổng quan về nguồn sét, hệ thống nối đất, xây dựng

mô hình thay thế của cực nối đất; đồng thồi thời tiến hành khảo sát quá độ trong cực nối đất bằng phương pháp biến trạng thái và các kết quả thu được

từ việc mô phỏng

- Chương 4: Quá độ trong lưới nối đất

Chương này trình bày mô hình thay thế lưới nối đất, kết quả ứng dụng phương pháp biến trạng thái và các kết quả mô phỏng thu được; đồng thời khảo sát sự ảnh hưởng của các thông số cấu trúc lưới nối đất, môi trường của lưới nối đất

- Chương 5: Kết luận, nhận xét và các hướng mở của đề tài

CHƯƠNG 2: BIẾN TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG TRÌNH

TRẠNG THÁI

Chương này giới thiệu biến trạng thái và phương trình trạng thái và các ứng

dụng của nó trong phân tích hệ thống Giới thiệu ma trận trạng thái và các bước

chuyển không gian trạng thái

2.1 Biểu diễn phương trình vi phân ở dạng phương trình trạng thái:

Như đã biết, chúng ta dùng các định luật Kirchhoff cho dòng và áp trong một hệ

thống có chứa các phần tử tích trữ năng lượng, ta thu được các phương trình vi tích

phân Đối với các hệ thống chỉ có một phần tử tích trữ năng lượng (tụ điện hoặc cuộn

dây) gọi là hệ thống bậc 1 Nếu mạch có chứa 02 phần tử gọi là hệ thống bậc 2

Phương trình vi cấp 1 theo biến thời gian được biểu diễn như sau:

)()(

Đối với hệ thống bậc 2 được biểu diễn bởi phương trình vi phân bậc 2 có dạng

tương tự như (2.1) gọi là đạo hàm cấp 2

Phương trình vi phân cấp n có thể giải được thông qua việc đặt các biến phụ để

đưa về hệ phương trình vi phân cấp 1, các biến phụ được gọi là biến trạng thái Hệ

phương trình vi phân cấp 1 này được gọi là hệ phương trình không gian trạng thái hoặc

phương trình trạng thái Hệ phương trình này có thể thu được từ phương trình vi phân

cấp n hoặc trực tiếp từ hệ thống, miễn là biến trạng thái được chọn phù hợp

Nghiệm của hệ phương trình trạng thái có thể được xác định thông qua các

phương pháp số như khai triển Taylor, phương pháp Runge-Kutta…hoặc thông qua

việc xác định ma trận chuyển trạng thái dùng định lý Cayley-Hamilton

Phương pháp biến trạng thái có thể được áp dụng để giải các bài toán có các

phần tử phi tuyến và thay đổi thời gian Tuy nhiên, ở đây giới hạn trong phạm vi các

phần tử tuyến tính và thời gian không đổi và chỉ giới thiệu hai trong số các cách giải

hệ phương trình trạng thái là xác định ma trận chuyển trạng thái dùng định lý

Cayley-Hamilton và phương pháp Runge-Kutta

Phương pháp biến trạng thái được minh hoạ thông qua các ví vụ điển hình sau:

t

e idt C dt

di L

Ri + + ∫ = ω

∞

−1

(2.3)

i LC dt

di L

R dt

di L

R dt

di

2 2

dt

i d

Trong đó, x kđược hiểu là vi phân của x k

Từ các phương trình (2.5) đến (2.8), ta thu được hệ phương trình trạng thái:

t j

e j L

x LC

x L

R x

x x

ωω

11

1 2

2

2 1

u e j L x

x L

R LC

x

x

t j

A x

x

2 1

x

0 ,

y = Cx + du (2.13)

Từ đó, ta có thể biểu diễn dạng tổng quát của hệ phương trình trạng thái như sau:

du Cx y

bu Ax x

Sơ đồ khối biểu diễn quan hệ của phương trình trạng thái (2.14) như sau:

Hình 2.2: Sơ đồ khối biểu diễn quan hệ của hệ phương trình trạng thái

Ví dụ 2.2:

Xét một hệ thống được mô tả bằng phương trình vi phân bậc cao như sau:

)()(

0 1

2

2 2 3

3 3 4

4

t u t y a dt

dy a dt

y d a dt

y d a dt

y

Trong đó, ngõ ra y(t) có thể là điện áp hoặc dòng điện trong hệ thống, và u(t) là

ngõ vào Phương trình (2.15) được viết lại dưới dạng hệ phương trình trạng thái bằng

cách đặt các biến trạng thái x 1, x2, x3, x4 như sau:

3

3 4 2

2 3 2

dt

y d x dt

y d x dt

dy x t

3 2

2 1

x x

x x

x x

(2.17)

)(

4 3 3 2 2 1 1 0 4 4

4

t u x a x a x a x a x dt

y d

0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

4 3 2 1

3 2 1 0 4

3 2

1

t u x

x x x

a a a a x

x x x

3 2 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0 ,

a a a a

A x

x x

x x

0 ,

4 3 2

1

b x

x x

Hình 2.4: Mạch điện RC với biến trạng thái là x = vC(t)

Từ mạch trên, ta có các phương trình sau:

x C dt

dv C i i

()(t v t v u0 t

v R + C = S

Hoặc RC x+x=v s u0(t)

Ta viết lại các phương trình trên, ta thu được hệ phương trình trạng thái như sau:

1

u v x RC

Trong mạch này có phần tử tích trữ năng lượng là cuộn dây L, vì vậy ta chỉ cần

đặt một biến trạng thái Việc chọn biến trạng thái để xác định dòng điện qua cuộn dây

L được biểu diễn trên hình 2.5

Hình 2.6: Mạch điện RL với biến trạng thái x = i(t)

Theo định luật Kirchhoff, ta có:

)(

u v v

v R + L = s

dt

di L

Ri+ = s

)(

u v x L

Rx+ = s

Và hệ phương trình trạng thái được viết lại như sau:

)(

1

t u v L

x L

R

x

y=

2.2 Cách thành lập phương trình trạng thái từ phương trình vi phân:

Hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân:

)()()()

()

(

0 1

1

1 1

dt

t dc a dt

t c d a dt

t c d

n n

n

=+

++

Đặt biến trạng thái theo qui tắc:

• Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra: x 1(t) = c(t)

• Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng đạo hàm biến thứ i-:

(

)()(

)()(

)()(

1

2 3

1 2

1

t x t x

t x t x

t x t x

t xc t x

t br t Ax t

x( ) ( ) ( )

Ví dụ 2.5:

Xây dựng phương trình trạng thái cho hệ mô tả cho bởi phương trình sau:

)()(10)(6)(5)(

2 3

3

t r t c dt

t dc dt

t c d dt

t c d

=+

++

) (

) (

2 3

1 2 1

t x x

t x x

t c x

t br t Ax t

100

0101

00

01

0

0

1 0

2 0

3

a

a a

a a

a A

0 0

0

0

0

a b

2.3 Ma trận chuyển trạng thái:

Trong phần trên, ta định nghĩa hệ phương trình trạng thái có dạng:

du Cx y

bu Ax x

Với A, C là các ma trận vuông và b, d là các ma trận cột được xác định từ các

hằng số của phương trình vi phân

Trong phần này giới thiệu nghiệm của phương trình biến trạng thái và ma trận

chuyển trạng thái e At Để giải phương trình trạng thái (2.22) trên, ta xét hàm mũ ma

trận e At:

i i i

i t

A At

I

=

=++

+

=

0

2 2

!

1

!2

1

(2.24)

I là ma trận đơn vị

Hàm mũ ma trận eAt có các tính chất sau:

e A0 =I,

e At e -At =I,

e Au e Av =e A(u+v)

A e Ae e

dt

d At At At

=

= (2.25) Biến đổi Laplace của eAt là (sI-A)-1 nên:

∑

∑

= ++

+

=

0 1

1 0

(

!

1 )

!2

1(

)(

i i

i i

i i

i i i

At

s

A s

i A i t

L A i t

A At

I L e

L

I s

A A

sI

I s

A s

Từ phương trình: Ax bu

dt

dx = + , nhân hai vế với e-At và chuyển vế:

Bu e Ax e dt

dx

Dùng tính chất đạo hàm:

Bu e x e dt

Lấy tích phân hai vế:

∫

∫t e−A x d = t e−A Bu d d

d

0 0

)()

Du d

Bu e

x e C t y

t t A

2.4 Tính ma trận chuyển trạng thái dùng Định lý Caley-Hamilton:

Theo định lý Cayley-Hamilton, ma trận chuyển trạng thái biểu thị dưới dạng

e At =a0I +a1A+…+ an-1 A n-1 (2.30)

Trong đó các hệ số ai được xác định như sau:

• Tìm các nghiệp riêng λk của A từ phương trình đặc trưng det[A- λI]=0

• Trường hợp các trị riêng λk độc lập (λ1 ≠λ2 ≠…≠λn ), các hệ số a i của ma

trận chuyển trạng thái là nghiệm của hệ phương trình sau:

t n

t n

n

t n

n

ne a

a a

a

e a

a a

a

e a

a a

a

λ

λ λ

λ λ

λ

λ λ

λ

λ λ

λ

= +

+ +

+

= +

+ +

+

= +

+ +

1 2 1

2 2 2 2 1 0

1 1 1

2 1 2 1 1 0

2 1

…

…

…

(2.31)

• Trương hợp có nghiệm bội m (λ1 =λ2 =…=λm,λm+1, ,λn ), các hệ số a i của

ma trận chuyển trạng thái là nghiệm của hệ phương trình sau:

t e a

a a

a

t e a

a a

a

t e d

d a

a a a d

d

t e d

d a

a a a d d

t e d

d a

a a a d d

t e a

a a a

n

m

n n n n

n

n m n m

m

m

m n

n m

m

n n

n n

n n

λ λ

λ

λ λ λ

λλ

λ

λλ

λ

λλ

λλ

λ

λλ

λλ

λ

λλ

λλ

λ

λλ

λ

=+

++

+

=+

++

+

=+

++

+

=+

++

+

=+

++

+

=+

++

+

−

−

− +

− +

2 1 2 1

0

1 1 1

2 1 2 1 1 0

1 1

1 1

1 1

2 1 2 1 1 0 1 1 1

1

2 1

1 1

2 1 2 1 1 0 1 2

1

1 1 1

2 1 2 1 1 0 1

1 1 1

2 1 2 1 1 0

1

1

1 1 1

6 1 2

3 2 2

A

Nghiệm riêng là λ1=-3 bội 2 và λ3=5

f(A) = e At =a0I +a1A +a2A 2 f(λ) = eλt=a0 +a1λ +a2λ2

Đạo hàm phương trình trên theo λ ta được:

)32

34

1(32

3

)64

55(64

9

3 5 2

3 5 1

3 5 0

t e

e a

t e

e a

t t

t t t t

2.5 Phương pháp Runge-Kutta:

Phần này giới thiệu cách tìm nghiệm của hệ phương trình trạng thái bằng

phường pháp Runge-Kutta Trong phương pháp Runge- Kutta, sự thay đổi giá trị của

biến phụ thuộc là tính toán từ các công thức đã cho, biểu diễn trong điều kiện ước

lượng đạo hàm tại những điểm định trước

Nội dung của Phương pháp Runge-Kutta là chia vùng khảo sát của hệ thống

),

( t y f

thành σ đoạn bởi các đoạn chia là ti = t0+ih, trong đó h = (tn – t0)/σ; và tính xấp xỉ yn+1

theo y n theo công thức sau:

=

1 1

,

i

j

i i j ij n

n y h b k

Và công thức này cũng được biểu diễn dưới dạng sau:

)

(

) ),

( (

) ),

( (

) ,

(

) , (

1 1

1 1 , 1

1

3 2

32 1 31 3

3 1

21 2

1

σ σ

σ σ

σ σ σ

σ

t b k

b h y y

h c t k a k

a h y f k

h c t k a k a h y f k

h c t k ha y f k

t y f k

n

n n

n n

n n

n n

+ + +

=

+ +

+ +

=

+ +

+

=

+ +

=

=

−

−

Trong đó, các k1, k2, , kσ là hệ số ước tính Các thông số nội suy ci, i∈ (2, ,σ)

nằm trong [0,1] sao cho 0 ≤ c i ≤ 1 và tăng dần, nghĩa là: 0 ≤ c1 ≤ ≤ ci≤ ≤ cσ ≤ 1 Các

trọng số ở giai đoạn thứ i được biểu diễn bởi a ij , i∈ (2, ,σ), j∈ (1, ,i) và thoả công

thức:

1

1 1

Các trọng số bi trong biểu thức tính yn+1 được chọn sao cho thoả điều kiện sau:

Ta đặt ma trận A, các vec tơ b, c như sau:

0 0 0

0

1 , 2

1

31 21

σ σ σ

σ a a a

a

a A

2 1

Khi đó, dãy Butcher được viết lại là:

Từ dạng tổng quát trên, ta khảo sát các xấp xỉ bậc 2, bậc 4 của phương pháp

=

=

h k b y h b x

k

)h ,y f(x k

1 2 0 1 0 2

0 0 1

Các hệ số a1, a2, b1, b2 là chính xác

Khai triển f(x0 +b1h,y0 +b2k1) trong chuổi Taylor tại (x0,y0), ta được:

h y

f k b h x

f b y x f

∂

∂ +

k

0 0

1 2 1

0 0

Thay thế hai điều kiện k 1, k2 vào (2.36), ta thu được :

2 2

2

2 1

2 0

0 2 1 0

0 0

),()(

y

y

f b a h x

f b a h y x f a a

y

∂+

∂

∂++

y

2 2

2 0

1

0 0

++

+

dx

y d h dx

dy

x x

0 0

0 0

y x f y

f x

f dx

y d

y x

y

∂+

∂

∂

=

Phương trình (2.39) trở thành:

2),(2

),(yy

2 0 0

2 0

0 0

1

0 0

+

∂

∂+

∂

∂++

y

f h x

f h y x f

y x

(2.40) Cân bằng các hệ số của hai phương trình (2.38) và (2.40), ta được:

21211

2 2

1 2

2 1

b a

b a

a a

h y x f k

k k

y y

1 0 0

2

0 0 1

2 1

0 1

,,

2

121

++

=

=

++

=

+ +

=

+ +

=

=

h k b y h b x f k

h k b y h b x f k

h k b y h b x f k

h y x f k

) ,

(

) ,

(

) ,

(

) , (

3 6 0 5 0 4

2 4 0 3 0 3

1 2 0 1 0 2

0 0 1

Thực hiện các bước giống xấp xỉ bậc 2, ta được các hệ số trong phương trình

(2.42) là:

1

;1

;2

1

;2

1

;2

1

;2

1

.6

1

;6

2

;6

2

;6

1

6 5 4

3 2

1

4 3

2 1

b b

b

a a

a a

Ö Công thức xấp xỉ bậc 4 Runge-Kutta có dạng:

h k y h x f k

h

k y

h x f k

h

k y

h x f k

h y x f k

k k k k y

y

) ,

(

) 2

, 2 (

) 2

, 2 (

) , (

) 2

2 ( 6 1

3 0 0

4

2 3

1 2

0 0 1

4 3 2 1 0

1

+ +

=

+ +

=

+ +

=

=

+ + + +

=

(2.43)

Công thức xấp xỉ bậc 4 Runge-Kutta cho phép giải đồng thời nhiều phương

trình vi phân (hệ phương trình vi phân):

),,(

z y x g dx dz

z y x f dx dy

)2

2(61

4 3 2 1 0

1

4 3 2 1 0

1

l l l l z

z

k k k k y

y

++++

=

++++

=

(2.45) Với:

+

=

++

+

=

++

+

=

=

h l z k y h x f k

h

l z

k y

h x f k

h

l z

k y

h x f k

h z y x f k

),

,(

)22

,2(

)22

,2(

),,(

3 0 3 0 0

4

2 0

2 0 0

3

1 0

1 0 0

2

0 0 0 1

+

=

++

+

=

++

+

=

=

h l z k y h x g l

h

l z

k y

h x g l

h

l z

k y

h x g l

z y x g l

),

,(

)22

,2(

)22

,2(

),,(

3 0 3 0 0

4

2 0

2 0 0

3

1 0

1 0 0

2

0 0 0 1

()

R

V t v dt

t dv

)(10100)()

(

0 0

CR

t v CR

V dt

v0( ) 10 1

Từ ví dụ 2.3, ta có phương trình trạng thái của mạch điện trên như sau

1

u v x RC

pháp biến trạng thái và phương pháp giải tích

Sai số lớn nhất giữa hai phương pháp là 0.0012

u v v

v R + L = s

dt

di L

V t

Từ ví dụ 2.4, ta có phương trình trạng thái của mạch RL được biểu diễn như sau:

)(

1

t u v L

x L

phương pháp biến trạng thái và phương pháp giải tích

Sai số lớn nhất giữa hai phương pháp là 0.0015

Ví dụ 2.9:

Giải bài toán mạch RLC là: R = 3Ω, L = 1H, C = 0.5F và giá trị đầu iL(0 - ) = 0, vC(0 - ) = 0

Hình 2.11: Mạch điện ví dụ 2.9

Từ định luật Kirchhoff cho điện áp, ta có phương trình sau:

) (

u v dt

di L

L + + =

Với các giá trị R, L, C, ta viết lại phương trình trên như sau:

1 )

1 ( 4

dt di

Hay: L = − 4i L − 4v C + 4

dt di

L =

2 2

1

3

4

x x

C dt

dv C i

2 1 1

4 3

4 4 4

x x

x x x

4 0

4 3

4 4

0 2

1 2

x

x x

t t

e e

e e x

x

3 3 2

1

25 0 75 0 1

t t

L e e i

t t

v

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0

1 2 3 4

State Variable Approach

1 2 3 4

0.2 0.4 0.6 0.8

State Variable Approach

0.2 0.4 0.6 0.8

2.6 Dùng phương pháp biến trạng thái giải bài toán quá độ:

Việc phân tích quá độ trong mạch điện cũng quan trọng như việc phân tích mạch điện ở trạng thái xác lập Trong trạng thái quá độ, dòng điện và điện áp trên một vài phần tử của hệ thống có thể vượt gấp nhiều lần trong trường hợp bình thường Dù thời gian rất ngắn nhưng sự tăng vọt của điện áp và dòng điện có thể làm hư hỏng thiết

bị và hệ thống

Trong phần này giới thiệu một số kết quả dùng phương pháp biến trạng thái để giải bài toán quá độ trong một hệ thống cụ thể thông qua các ví dụ sau:

Ví dụ 2.10:

Cho mạch điện như trong hình 2.14, với các giá trị:

U = 10V, L = 1H, R1 = 0,5Ω, R2 = 2Ω, C = 1/3F, Uc(0 - )=2V, iL(0 - )=0A

Hình 2.14: Mạch điện ví dụ 2.10

Theo đinh luật Kiffhoff ta có:

U i R i R dt

di

L 1 + 1− 1 2 =

0)

( 1+ 2 2 − 11 =+ R R i R i

R i

R R

R R dt

di

+

− +

−

=

2 1

1 2

1

2 1 1

C L

R R

i R R

R dt

du C

2 1 2

1

) 1

(

+

− +

−

=

Thay các giá trị R 1, R2, L và C vào phương trình trên, ta được

U u i

dt

di

C L

L =−0,4 −0,2 +

C L

C i u dt

du

2 , 1 6 ,

=

C L

2,04,0

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0

Nghiệm của phương trình trạng thái trên là: ⎥

− +

t t

C

L

e e

e e

u

i

6 , 0

6 , 0

5 , 2 5

, 1 3

5 , 2 5

, 0 6

Ta có thể xác định điện áp trên điện trở R1 thông qua quan hệ sau:

Du Cx

y= +

t t

t t

e e

e e

e

6 , 0

6 , 0

5 , 1 5 , 0 3 5

, 2 5

, 1 3

5 , 2 5

, 0 6 2 , 0 4 ,

−

−

− +

− +

Điện áp trên điện trở R1 có dạng:

Hình 2.17: Mạch điện cho ví dụ 2.11

Với v S(t)=5V và R1=R2=R3=10KΩ, C1= C2 =5µF, và L=10mH, vẽ điện áp y(t) trên điện trở R2

Áp dụng định luật chiffhoff cho mạch điện trên ta được:

0)()()()()(

2

2 1 1

1 1

R

t v t v R

t v t v dt

t dv

0)

()()(

1 2

1 2 2

R

t v t v dt

t dv C

dt

t di L R i

2 1 2 1 1 1

R C

v R C

v v R C R C dt

dv =− + + + s

2

1 2 2

2 2 2

1 2

C

i R C

v R C

v dt

dv = − −

1 3 2

i L

R L

v dt

i v

v x

Khi đó, ngõ ra: y(t) = v 1(t)-v2(t)

So sánh với phương trình trạng thái chuẩn:

)()(

)()(

t Du t Cx y

t Bu t Ax x

C R

C R

C

R C R

C R C A

3

2 2

2 2

2

2 1 2

1 1 1

10

11

1

0

1)11

Thay số theo các giá trị đề bài ta có:

0

200000 20

20

0 20

5 10 15 20

-5 0 5

+ Với nguồn Vs có dạng: v s(t) = Vmsin(100πt):

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 -0.5

0 0.5 1 1.5

State Variable Approach

0 0.5 1 1.5

0 0.5 1 1.5

State Variable Approach

-1 0 1

Ví dụ 2.12:

Xét quá trình quá độ trong hệ thống được mô tả như hình 2.20 được cấp bởi một nguồn công suất vô cùng lớn có dạng:

)100

dt

di L R i

dt

du C

1 2

11

2

u L

i L

R u L dt di

i C dt du

Khi đóng nguồn e vào, u 1 = e Ta đặt các biến trạng thái x1 = u2, x2 = i1, viết lại

hệ phương trình trên dạng phương trình trạng thái như sau:

x L

R x L x

x C x

11

2

2 1

2

2 1

Î Các ma trận của phương trình trạng thái:

C

2 0

+Trường hợp đóng nguồn tại thời điểm ϕ = 0

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1

-100 -50 0 50 100

+ Trường hợp đóng nguồn tại thời điểm ϕ = 900

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 -2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-200 -100 0 100 200 300

di L R i

dt

du C

m m

i L

R u Lm dt

di

i C

i C dt

du

u L

i L

R u L dt di

i C dt du

m

m m

m m

m

11

2

12

1

11

21

1

1 1

1 1 2 1

1 2

Đặt các biến trạng thái: x = [u 2, i1, u1, im] T ; ta được các thông ma trận thông số của biến trạng thái:

C C

L L

R L

C A

10

0

2

10

2

10

01

1

00

2

10

; và u=e

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 -1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

2.7 Nhận xét:

Từ những kết quả khảo sát trên, ta rút ra được các nhận xét sau:

- Việc giải bài toán quá độ mạch điện là giải các hệ phương trình vi phân

- Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình vi phân, phương pháp biến trạng thái là một trong những phương pháp đó

- Tuy khối lượng tính toán nhiều nhưng nếu sử dụng máy tính cụ thể là sử dụng phần mềm matlab thì việc tính toán được thực hiện rất đơn giản

CHƯƠNG 3: QUÁ ĐỘ TRONG CỰC NỐI ĐẤT

Trong chương này giới thiệu tổng quan về nguồn sét, hệ thống nối đất, xây dựng mô hình thay thế của cực nối đất; đồng thồi thời tiến hành khảo sát quá độ trong cực nối đất bằng phương pháp biến trạng thái và các kết quả thu được từ việc mô phỏng

3.1 Tổng quan về sét:

Bản chất, đặc điểm của quá trình phóng điện sét đã được trình bày rất đầy đủ trong nhiều giáo trình về cao áp Chính vì vậy, trong phạm vi đề tài này, chúng tôi chỉ trình bày những đặc điểm cơ bản của sét để làm rõ thêm cho các chương trình tính toán mô phỏng của mình

3.1.1 Nguồn gốc của sét:

Sét là một dạng phóng điện tia lửa trong không khí với khoảng cách rất lớn Quá trình phóng điện sét tương tự như sự phóng điện tia lửa trong điện trường rất không đồng nhất với khoảng cách phóng điện rất lớn Điện trường này phát sinh giữa hai đám mây dông tích điện trái dấu hoặc giữa các đám mây dông tích điện (thường là điện tích âm) với mặt đất [1] Trên thực tế, người ta chỉ quan tâm đến sự phóng điện sét giữa các đám mây dông và mặt đất vì nó có ảnh hưởng đến con người Sự phóng điện sét xảy ra vô cùng dữ dội kèm theo các tiếng nổ rất lớn mà người ta thường gọi là sấm

3.1.2 Các giai đoạn phát triển của sét:

a) Giai đoạn phóng điện tiên đạo:

Ban đầu xuất phát từ mây dông, các tia sáng mờ kéo dài từng đợt gián đoạn về phía mặt đất gọi là tia tiên đạo bậc, với tốc độ trung bình khoảng 105 - 106m/s Kênh tiên đạo là một dòng plasma mật độ điện khoảng 1013 ÷ 1014 ion/m3, một phần điện tích âm của mây dông tràn vào kênh và phân bố tương đối đều dọc theo chiều dài của

b) Giai đoạn hình thành khu vực ion hóa mãnh liệt khi tia tiên đạo đến độ cao định hướng:

Dưới tác dụng của điện trường tạo nên bởi điện tích của mây dông và điện tích trong kênh tiên đạo, sẽ có sự tập trung điện tích cảm ứng trái dấu trên vùng mặt đất phía dưới đám mây dông Nếu vùng đất phía dưới có điện dẫn đồng nhất thì nơi điện tích tập trung sẽ nằm trực tiếp dưới kênh tiên đạo, nếu vùng đất phía dưới có điện dẫn

quặng kim loại, vùng đất ẩm, ao hồ, sông ngòi, vùng nước ngầm, kết cấu kim loại các tòa nhà cao tầng, cột điện, cây cao bị ướt trong mưa Kênh tiên đạo sẽ phát triển theo hướng có điện trường lớn nhất Do đó, các vùng tập trung điện tích cao sẽ là nơi sét đánh vào Như vậy, vị trí đổ bộ của sét mang tính chọn lọc Đây là một đặc điểm rất quan trọng của sét mà người ta có thể tận dụng để thiết kế các hệ thống chống sét cho các công trình quan trọng [1]

Ở những vật dẫn có độ cao lớn như các nhà cao tầng, cột angten của các đài phát, đỉnh của chúng là nơi các diện tích trái dấu tập trung nhiều, làm cho cường độ điện trường cục bộ tăng cao, đồng thời xuất hiện sự ion hóa không khí, tạo nên dòng tiên đạo phát triển hướng lên đám mây dông, từ đó tạo điều kiện dễ dàng cho sự định hướng của sét vào vị trí đó Chiều dài của kênh tiên đạo từ dưới lên này tăng theo độ cao của vật dẫn Đây chính là quá trình phóng điện đón sét, mở đầu một giai đoạn mới

là giai đoạn phóng điện ngược [1]

c) Giai đoạn phóng điện ngược:

Khi kênh tiên đạo xuất phát từ đám mây dông tiếp cận kênh tiên đạo ngược (hay mặt đất), giai đoạn phóng điện ngược hay phóng điện chủ yếu bắt đầu

Cường độ điện trường trong không khí giữa hai kênh tiên đạo (hay giữa kênh tiên đạo xuất phát từ đám mây dông với mặt đất) tăng cao gây nên sự ion hóa mãnh liệt không khí, hình thành dòng plasma mới có mật độ điện tích rất cao (1016 đến 1019ion/m3) Điện dẫn trong dòng plasma này rất cao, do đó điện tích cảm ứng từ đất tràn vào dòng ngược này làm trung hòa điện tích âm của kênh tiên đạo trước đây Cường

độ điện trường nơi tiếp giáp giữa hai dòng plasma tiếp tục tăng cao, tiếp tục gây ra sự ion hóa mãnh liệt không khí ở khu vực này Như vậy, dòng plasma có độ dẫn điện cao tiếp tục phát triển ngược lên trên theo đường đã dọn sẵn bởi kênh tiên đạo Đây là sự phóng điện ngược hay phóng điện chủ yếu Nhiệt độ rất cao trong kênh phóng điện ngược làm cho nó sáng chói chang, đây chính là tia chớp mà người ta thường quan sát được trong sự phóng điện sét Bên cạnh đó, sự giãn nở đột ngột của không khí bao quanh kênh phóng điện ngược tạo nên những sóng âm mãnh liệt, gây nên những tiếng

nổ chan chát hay còn gọi là sấm Tốc độ phát triển của kênh phóng điện ngược vào khoảng 1,5 107 ÷ 1,5.108 m/s tức là nhanh gấp trên trăm lần tốc độ phát triển của kênh tiên đạo Đặc điểm quan trọng nhất của phóng điện ngược là cường độ dòng lớn [1]

d) Giai đoạn phóng điện chủ yếu kết thúc:

Khi kênh phóng điện chủ yếu lên tới đám mây thì điện tích cảm ứng từ mặt đất cũng lên theo, tràn vào trung hòa điện tích trên đám mây, số điện tích còn lại của đám mây sẽ theo kênh phóng điện chạy xuống đất và tạo nên dòng điện có trị số giảm dần tương ứng với phần đuôi của xung dòng sét

Kết quả quan trắc cho thấy rằng: phóng điện sét thường xảy ra nhiều lần kế tiếp nhau trung bình là 3 lần Các lần phóng điện sau có dòng tiên đạo phát triển liên tục (không phải từng đợt như lần đầu), không phân nhánh và theo đúng quỹ đạo của lần đầu nhưng với tốc độ cao hơn (2 106m/s) Điều này được giải thích: đám mây dông có thể có nhiều trung tâm điện tích khác nhau hình thành do các dòng không khí xoáy trong mây Lần phóng điện đầu tiên dĩ nhiên sẽ xảy ra giữa đất và trung tâm điện tích

có cường độ điện trường cao nhất Trong giai đoạn phóng điện tiên đạo thì hiệu điện thế giữa các trung tâm này với các trung tâm khác không thay đổi và ít có ảnh hưởng

qua lại Nhưng khi kênh phóng điện chủ yếu đã lên đến mây thì trung tâm điện tích đầu tiên của đám mây thực tế mang điện thế của đất, điều này làm cho hiệu thế giữa trung tâm điện tích đã phóng tới trung tâm điện tích lân cận tăng lên và có thể dẫn đến phóng điện giữa chúng với nhau Trong khi đó thì kênh phóng điện cũ vẫn còn một điện dẫn nhất định do sự khử ion chưa hoàn toàn, nên phóng điện tiên đạo lần sau sẽ đi theo đúng quỹ đạo đó, liên tục và với tốc độ lớn hơn lần đầu [1]

Hình 3.1: Các giai đoạn phóng điện sét và biến thiên của dòng điện sét theo thời gian (a) – Giai đoạn phóng điện tiên đạo; (b) – Tiên đạo đến gần mặt đất hình thành khu vực ion hóa mãnh liệt; (c) – Giai đoạn phóng điện ngược hay phóng điện chủ yếu; (d) – Phóng điện chủ yếu kết thúc

- Tđs : Thời gian đầu sóng, tính từ sét khi xuất hiện đến khi nó đạt giá trị đỉnh

- Ts : Thời gian toàn sóng, được tính từ khi dòng sét xuất hiện đến khi nó đạt một nửa giá trị đỉnh

Hình 3.2: Mô hình dạng hàm mũ của dòng sét [1]

Phương trình mô tả dòng sét có dạng:

)(

s I e e

3.2 Tổng quan về nối đất trong hệ thống điện:

Tác dụng của hệ thống nối đất nói chung là tản dòng điện sự cố như dòng điện

rò, dòng ngắn mạch, dòng chạm đất hoặc dòng điện sét… vào trong đất và giữ cho

điện thế của các phần tử được nối đất không quá cao Tùy theo chức năng, hệ thống

nối đất được chia làm các loại sau:

- Nối đất làm việc: có nhiệm vụ đảm bảo sự làm việc của trang thiết bị trong

điều kiện bình thường và sự cố theo các chế độ qui định như: nối đất máy

biến áp, máy bù, nối đất điểm trung tính các cuộn dây máy phát, nối đất pha

trong hệ thống pha - đất

- Nối đất an toàn hay nối đất bảo vệ: Có nhiệm vụ đảm bảo an toàn cho

người khi đứng gần hoặc tiếp xúc vỏ của thiết bị điện Đó là lưới nối đất cân

bằng trong trạm biến áp, nối đất vỏ máy phát, máy biến áp, vỏ thiết bị, vỏ

cáp

- Nối đất chống sét: Nhằm tản dòng điện sét vào đất và giữ cho điện thế của

các phần tử không quá cao, do đó tránh được phóng điện ngược từ các phần

tử đó đến các bộ phận mang điện và các trang thiết bị điện khác Đó là các

cột thu sét, dây chống sét, các thiết bị chống sét, nối đất các kết cấu kim loại

có thể bị sét đánh

Trong nhiều trường hợp, cùng một hệ thống nối đất đồng thời thực hiện hai

hoặc ba nhiệm vụ nêu trên Tuy nhiên, việc thực hiện 1 hệ thống nối đất cụ thể cần

phải được phân tích để đảm bảo các yêu cầu kinh tế kỹ thuật

Mục đích của hệ thống nối đất là đưa ra giá trị trở kháng thấp giữa điểm trung

tính của hệ thống điện và đất Trong điều kiện lý tưởng, điện áp điểm trung tính của hệ

thống điện 3 pha và đất được xem là như nhau Lúc này, người và động vật sẽ được an

toàn khi chạm vào vỏ kim loại của thiết bị đã được nối đất Tuy nhiên, trở kháng của

hệ thống nối đất với đất luôn là một giá trị xác định Vì vậy, điện áp của hệ thống nối

đất có thể sẽ trở nên khác nhau tại các điểm khác nhau trong lưới nối đất trong suốt