Sử dụng thuật giải mô phỏng luyện kim (sa) tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng dàn phẳng

Tối ưu vị tướng: Ở đó chuỗi không gian của các nút và các thanh được tối ưu, biến thiết kế vị tướng liên quan đến sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của các thanh trong một kết cấu nền b

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn sâu sắc thầy hướng dẫn luận văn, PGS.TS Chu Quốc Thắng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ quan tâm sâu sắc đến em trong suốt quá trình thực hiện luận văn

Xin cảm ơn đến gia đình tôi đã động viên tinh thần tôi trong suốt quá trình học tập và trong quá trình thực hiện luận văn

Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn bè đã giúp đỡ, chia

sẻ kinh nghiệm, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

TÓM TẮT

Trong luận văn này thuật giải mô phỏng luyện kim (Simulated annealing) được dùng để tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng kết cấu dàn phẳng Bài toán tối ưu kết cấu dàn phẳng được phát biểu trong các giới hạn của phương pháp kết cấu nền, hàm mục tiêu được chọn để tối ưu là trọng lượng hoặc thể tích kết cấu dàn phẳng chịu các ràng buộc về ứng suất, chuyển vị và ổn định Bài toán tối ưu đồng thời kích thước hình dạng và vị tướng kết cấu dàn phẳng là một loại bài toán tối ưu phức tạp, có nhiều miền khả thi hoàn toàn khác nhau, vì vậy, thuật giải

mô phỏng luyện kim sử dụng trong luận văn đã được hiệu chỉnh đồng thời bổ sung thêm hai thông số là “ thông số Boltzmann có trọng số” và “thông số Boltzmann tới hạn” để nâng cao hiệu quả và khả năng áp dụng thành công thuật giải cho bài toán Ngoài ra thuật toán cũng đã kết hợp với phương pháp hoàn lại thanh và loại bỏ thanh cùng với phương pháp hoàn lại nút và loại bỏ nút để tạo ra các kết cấu dàn vị tướng khác nhau trong thiết kế dự tuyển Và cuối cùng thuật toán được áp dụng và kiểm tra trong một số ví dụ tính toán cụ thể

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN THUẬT GIẢI MÔ PHỎNG LUYỆN KIM (SIMULATED ANNEALING) VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU KẾT CẤU

DÀN 1

1.1 Đặt vấn đề 1

1.2 Các loại tối ưu kết cấu dàn 2

1.3 Tổng quan về thuật giải mô phỏng luyện kim ( Simulated annealing ) 3

1.3.1 Khái niệm 3

1.3.2 Nền tảng vật lý và sự tương tự giữa bài toán tối ưu tổ hợp với quá trình tôi (annealing) 3

1.3.3 Một số đặc điểm của thuật giải mô phỏng luyện kim 4

1.3.4 Một số ứng dụng của thuật giải mô phỏng luyện kim 5

1.4 Thiết kế tối ưu kết cấu dàn sử dụng thuật giải mô phỏng luyện kim 6

1.5 Nội dung nghiên cứu 8

1.6 Phạm vi nghiên cứu 8

1.7 Phương pháp nghiên cứu 8

1.8 Cấu trúc chương 8

CHƯƠNG 2: THUẬT GIẢI MÔ PHỎNG LUYỆN KIM (SIMULATED ANNEALING) 10

2.1 Quá trình tôi (annealing) 10

2.2 Bài toán tối ưu tổ hợp 10

2.3 Sự tương tự giữa bài toán tối ưu tổ hợp với quá trình tôi (annealing) vật lý 11

2.4 Thuật giải mô phỏng luyện kim 12

2.4.1 Thuật giải mô phỏng luyện kim tổng quát 12

2.4.2 Áp dụng thuật giải mô phỏng luyện kim 14

2.4.2.1 Lưu đồ tổng quát của thuật giải SA 15

2.4.2.2 Thông số Boltzmann 17

2.4.2.3 Lịch biểu làm nguội 17

CHƯƠNG 3: SỬ DỤNG THUẬT GIẢI MÔ PHỎNG LUYỆN KIM (SA) TỐI ƯU ĐỒNG THỜI KÍCH THƯỚC, HÌNH DẠNG VÀ VỊ TƯỚNG DÀN PHẲNG 19

3.1 Giới thiệu bài toán tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng kết cấu dàn phẳng 19

3.2 Phát biểu bài toán tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng kết cấu dàn phẳng 20

3.2.1 Các biến thiết kế 20

3.2.2 Hàm mục tiêu 21

3.2.3 Quản lí ràng buộc 21

3.3 Thiết kế kích thước, hình dạng và vị tướng của kết cấu dàn phẳng 23

3.4 Áp dụng thuật giải mô phỏng luyện kim (SA) 24

3.4.1 Tạo ra thiết kế ban đầu 27

3.4.2 Lịch biểu làm nguội (Cooling schedule) 27

3.4.3 Tạo ra thiết kế dự tuyển (candidate design) 28

3.4.4 Chọn lựa thiết kế dự tuyển (candidate design) 31

3.4.5 Thông số Boltzmann có trọng số (Weighted Boltzmann parameter) 32

3.4.6 Thông số Boltzmann tới hạn (Critical Boltzamnn parameter) 36

3.4.7 Vòng lặp nội 38

3.4.8 Phương pháp chọn thiết kế tốt nhất 38

3.4.9 Tiêu chuẩn kết thúc 39

CHƯƠNG 4: CÁC VÍ DỤ TÍNH TOÁN 40

4.1 Một điều kiện tải trọng 40

4.1.1 Bài toán 10 thanh và 6 nút 40

4.1.2 Bài toán 15 thanh và 8 nút 43

4.2 Nhiều điều kiện tải trọng 47

4.2.1 Bài toán 31 thanh và 14 nút 47

4.2.2 Bài toán 41 thanh và 14 nút 50

4.2.3 Bài toán 31 thanh và 14 nút thêm điều kiện biên 53

4.3 Ảnh hưởng của các thông số của thuật giải đến kết quả bài toán 55

4.3.1 Một điều kiện tải trọng, bài toán 10 thanh và 6 nút 55

4.3.2 Nhiều điều kiện tải trọng, bài toán 31 thanh và 14 nút thêm điều kiện biên 62

4.4 Nhận xét 67

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 68

5.1 Kết luận về kết quả đã nghiên cứu 68

5.2 Các vấn đề còn tồn tại 69

5.3 Kiến nghị chung 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN THUẬT GIẢI MÔ PHỎNG LUYỆN KIM (SIMULATED ANNEALING) VÀ CÁC

PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU KẾT CẤU DÀN

1.1 Đặt vấn đề

Trong thực tế hiện nay, thiết kế tối ưu kết cấu là một vấn đề đang được quan tâm Mục đích của tối ưu kết cấu là tìm ra được một sơ đồ chung của kết cấu hiệu quả nhất chịu tải trọng cho trước

Kết cấu dàn là một kết cấu được sử dụng nhiều trong thực tế (ví dụ cho mái công trình dân dụng và công nghiệp, công trình cầu), việc tối ưu kết cấu dàn là một yêu cầu cần thiết Kết cấu dàn có trọng lượng hoặc thể tích nhỏ nhất đạt được khi tối ưu đồng thời biến kích thước, hình dạng và vị tướng của kết cấu dàn

Các phương pháp tối ưu kết cấu dàn như: phương pháp qui hoạch toán học, phương pháp tiêu chuẩn tối ưu (Optimality criteria method) chỉ giải quyết hiệu quả cho các trường hợp đặc biệt và thông thường thì rất khó khăn để tìm thấy lời giải tối

ưu toàn cục Gần đây một số các phương pháp tối ưu toàn cục nổi lên như là những thuật toán triển vọng để giải quyết các bài toán tối ưu phức tạp, các phương pháp phổ biến nhất bao gồm: thuật giải di truyền, mô phỏng luyện kim, tabu search…Trong luận văn thạc sỹ tác giả sẽ dùng thuật giải mô phỏng luyện kim để tối ưu kết cấu dàn

Theo tài liệu tác giả thu thập được, hiện nay ở Việt Nam chỉ có luận văn thạc

sỹ của tác giả Trương Tuấn Hiệp [24] trường ĐHBK TPHCM năm 2008 sử dụng thuật giải mô phỏng luyện kim để tối ưu đồng thời biến kích thước và vị tướng của kết cấu dàn phẳng Nhưng tối ưu đồng thời biến kích thước và vị tướng vẫn chưa cho kết quả là tốt nhất so với tối ưu đồng thời biến kích thước, hình dạng và vị tướng của kết cấu dàn

1.2 Các loại tối ƣu kết cấu dàn

Tối ưu kết dàn là để tạo ra một kết cấu dàn tiết kiệm nhất (ví dụ như trọng lượng nhỏ nhất, thể tích nhỏ nhất) và thỏa mãn tất cả các ràng buộc về ứng suất, ổn định các thanh dàn, chuyển vị nút dàn…

Có ba loại thiết kế tối ưu chính của kết cấu dàn [25] (hình 1.1):

1 Tối ưu kích thước: Biến thiết kế là các thông số kích thước liên kết với mô hình phần tử hữu hạn, như diện tích mặt cắt ngang của dàn Diện tích mặt cắt ngang có thể xem là biến liên tục hoặc biến rời rạc

2 Tối ưu hình dạng : Hình học của kết cấu được xem là biến thiết kế Tối ưu hình dạng của dàn được thực hiện bởi sự thay đổi vị trí tọa độ nút của kết cấu dàn

3 Tối ưu vị tướng: Ở đó chuỗi không gian của các nút và các thanh được tối

ưu, biến thiết kế vị tướng liên quan đến sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của các thanh trong một kết cấu nền ban đầu Kết cấu nền ban đầu này được tạo ra

bởi một tập hợp n các điểm nút cho trước và m liên kết thanh có thể, trong đó ở

một vài nút được áp đặt điều kiện biên và tải trọng Nhiệm vụ của bài toán là tìm ra một kết cấu dàn tối ưu từ kết cấu nền ban đầu này thỏa mãn tất cả các điều kiện tải trọng và điều kiện biên

Tối ưu kích thước (size) Tối ưu hình dạng (shape) Tối ưu vị tướng

(Topology)

Hình 1.1 Các loại tối ƣu kết cấu dàn

1.3 Tổng quan về thuật giải mô phỏng luyện kim ( Simulated annealing )

1.3.1 Khái niệm

Mô phỏng luyện kim (Simulated Annealing) là một phương pháp tối ưu xác xuất thích hợp để tìm tối ưu toàn cục của một hàm đã cho trong không gian tìm kiếm rộng lớn Mô phỏng luyện kim (SA) được đề xuất bởi Kirkpatrick và các đồng

sự năm 1983 [1] ứng dụng vào bài toán hành trình người bán hàng (travelling salesman problem) Phương pháp này là một dạng của phương pháp tìm kiếm cục

bộ (local search) cho phép tạo ra những bước chuyển trạng thái tốt hơn theo một cách có kiểm soát

1.3.2 Nền tảng vật lý và sự tương tự giữa bài toán tối ưu tổ hợp với quá trình tôi (annealing)

Phương pháp Simulated Annealing mô phỏng quá trình tôi (annealing) trong ngành luyện kim Annealing là một quá trình vật lý, ở đó chất rắn đầu tiên được nung nóng ở nhiệt độ cao vượt qua nhiệt độ nóng chảy và sau đó được làm nguội dần dần tới nhiệt độ ban đầu Ở nhiệt độ cao các phân tử của chất rắn di chuyển tự

do, dẫn tới kết quả là các phân tử có thể di chuyển đến bất kỳ vị trí nào trong chất rắn Nếu quá trình làm nguội xảy ra đủ chậm các phân tử trong chất rắn sẽ sắp xếp lại vào trong một trạng thái năng lượng thấp nhất Do đó các tính chất của cấu trúc kim loại sau khi tôi (annealing) sẽ phụ thuộc vào tốc độ làm nguội

Trong vật lý chất rắn, những phân tử chất rắn được đặc trưng bởi một xác suất

Sự thay đổi trạng thái của các phân tử chất rắn có thể được mô phỏng hiệu quả bởi một thuật giải đơn giản dựa vào phương pháp Monte Carlo được đề nghị bởi

Metropolis et Al [1] Theo thuật giải Metropolis, một trạng thái năng lượng hiện tại

E1 và một trạng thái năng lượng mới phát sinh E2 được tạo ra bởi sự xáo trộn nhỏ

của các phân tử chất rắn Sự chuyển từ trạng thái năng lượng E1 sang trạng thái E2

được chấp nhận với xác xuất là (trong quá trình chuyển trạng thái này nhiệt độ T là hằng số):





121

2

12/

) (

exp

1

E E Nêu T

k E E

E E Nêub

Áp dụng quá trình mô phỏng luyện kim (SA) trên vào bài toán tối ưu tổ hợp

Sự tương tự giữa quá trình tôi (annealing) và bài toán tối ưu tổ hợp dựa vào những

sự tương ứng sau [2]:

 Trạng thái của hệ thống vật lý giống như lời khả thi của bài toán tối ưu

 Mức năng lượng của một trạng thái tương ứng với hàm mục tiêu của bài toán tối ưu

 Chuyển trạng thái tương ứng với các lời giải lân cận

 Nhiệt độ là thông số điều khiển quá trình tối ưu

 Trạng thái năng lượng thấp nhất tương ứng với lời giải tối ưu

1.3.3 Một số đặc điểm của thuật giải mô phỏng luyện kim

Thông thường trong không gian lời giải của một bài toán tối ưu có nhiều cực tiểu địa phương Những phương pháp tìm kiếm cục bộ đơn giản bắt đầu với một lời giải ngẫu nhiên ban đầu và phát sinh các lời giải lân cận từ lời giải đó Lời giải lân cận chỉ được chấp nhận khi nó cải thiện lời giải ban đầu, do đó các thuật giải tìm kiếm cục bộ đơn giản có hạn chế là thường hội tụ về một tối ưu địa phương Khác với các phương pháp tìm kiếm cục bộ đơn giản khác, phương pháp mô phỏng luyện kim (Simulated Annealing) có thể tránh được tối ưu địa phương do nó vẫn chấp nhận lời giải lân cận không cải thiện lời ban đầu với một xác xuất nào đó Còn lời giải lân cận cải thiện lời giải ban đầu thì nó luôn chấp nhận [3]

Trở ngại chính của thuật giải SA là thời gian chạy quá dài để hội tụ tới tối ưu toàn cục

1.3.4 Một số ứng dụng của thuật giải mô phỏng luyện kim

Trong những năm gần đây, thuật giải SA được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực [4]: Mạng nơron, sinh vật học, vật lý, toán học, tài chính, thiết kế mạch (circuit design), xử lý ảnh (image process) …

Trong đó có một số bài toán tối ưu tổ hợp cơ bản sau đây:

 Bài toán hành trình người bán hàng ( Travelling salesman problem )

Mục tiêu của bài toán là xác định chiều dài đường đi ngắn nhất của người bán hàng ghé thăm N thành phố, dừng ở mỗi thành phố duy nhất một lần, và cuối cùng trở lại thành phố ban đầu

 Bài toán sắp lịch ( Job shop scheduling Problem )

Có một tập hợp công việc, J = {j1, j2,…, jn}, được nên kế hoạch cho một tập

hợp nguồn lực, RES =  R1, R2, , Rm Mỗi công việc yêu cầu thực hiện một tập hợp

các quá trình l

m l l

O O

O1, 2, , để hoàn thành công việc, giả thiết là quá trình l

iO

được hoàn thành trước khi quá trình l

i

O1 bắt đầu Mỗi quá trình l

i

O có một khoảng thời gian xác định l

i

du và yêu cầu một nguồn lực Rl RES

i  Nguồn lực không thể được sử dụng nhiều hơn một quá trình ở cùng một thời điểm Nhiệm vụ của bài toán

là tìm thấy lịch tối ưu để tổng thời gian hoàn thành tất cả các công việc là ngắn nhất Khả năng ứng dụng rộng rãi và thành công của thuật giải SA đã được kiểm chứng trong nhiều lĩnh vực bao gồm lĩnh vực tối ưu kết cấu Balling [5] ứng dụng thuật giải SA trong thiết kế tối ưu kích thước của một cái khung sáu tầng không đối xứng và kết luận rằng thuật giải SA mạnh hơn so với các phương pháp khác Tzan

và Pantelides [6] giải quyết thành công bài toán tối ưu khung chịu tải trọng động bằng thuật giải SA, và khả năng của thuật giải SA trong việc quản lí các không gian thiết kế có các miền khả thi không liên tục được nhấn mạnh Shim và Manoochehri [7] cũng đã ứng dụng thuật giải SA để xác định thiết kế vị tướng của tấm cho tối ưu thể tích và được mô hình bằng phần tử hữu hạn Dựa vào nguyên lí tối ưu 0-1, tối

ưu vị tướng được tìm thấy bởi loại bỏ và hoàn lại các ô lưới được mô tả trong mô hình Vì vậy, mỗi ô lưới được đặc trưng bởi một biến có giá trị bằng 0 hoặc 1, với

biến có giá trị là 1 chỉ sự xuất hiện của ô lưới đó trong mô hình và ngược lại chỉ sự không xuất hiện của ô lưới đó trong mô hình Tương tự, Sonmez [8] cũng đã thành công trong việc sử dụng thuật giải SA để tìm ra tối ưu hình dạng toàn cục của kết cấu hai chiều chịu tải trọng tĩnh

Với những ứng dụng thực tế của thuật giải SA trong các lĩnh vực đa dạng đã chứng minh sức mạnh của giải thuật Nói chung, thuật giải SA được áp dụng dễ dàng, và có thể ứng dụng với hầu hết các bài toán tối ưu tổ hợp và thông thường cung cấp những lời giải chấp nhận

Ở nước ta, thuật giải SA là một thuật giải tương đối mới cho nên ứng dụng của

nó trong các nghiên cứu khoa học là còn tương đối ít Sau đây là một số ứng dụng

mà tác giả thu thập được trong một số luận văn thạc sĩ:

- Trong luận văn thạc sĩ “Xếp lịch thi học kì bằng cách kết hợp lập trình ràng buộc và giải thuật mô phỏng luyện kim“ của tác giả Lâm Kim Hòa ĐHBK Thành Phố HCM [9] tác giả đã ứng dụng thành công thuật giải SA vào việc lập trình xếp lịch thi học kỳ của trường đại học bách khoa với nhiều ràng buộc khác nhau

- Trong luận văn thạc sĩ “Ứng dụng kỹ thuật mô phỏng luyện kim cho bài toán xếp phòng sinh viên ký túc xá“ của tác giả Lê Trung Hiếu ĐHBK Thành Phố HCM [10] tác giả cũng đã ứng dụng thành công thuật giải SA vào việc lập trình xếp phòng sinh viên ký túc xá

1.4 Thiết kế tối ƣu kết cấu dàn sử dụng thuật giải mô phỏng luyện kim

Các nghiên cứu tối ưu kết cấu dàn sử dụng thuật giải SA ngày càng trở nên phổ biến trong những năm gần đây, do nó có khả năng giải quyết hiệu quả các bài toán tối ưu kết cấu phức tạp [2] Sau đây là một số nghiên cứu tối ưu kết cấu dàn sử dụng thuật giải SA:

- Dhingra và Bennage (1995) [11] ứng dụng thành công thuật giải SA cho bài toán tối ưu kích thước kết cấu với biến liên tục và rời rạc được minh chứng trong bài toán tối ưu 10 thanh dàn

- Dhingra và Bennage (1995) [12] cũng đã ứng dụng thành công thuật giải SA cho bài toán tối ưu vị tướng kết cấu dàn Trong đó tác giả đã đề nghị hai phương

pháp trong việc tạo ra và đánh giá các vị tướng khác nhau cùng với sự phát triển của các thiết kế chi tiết cho các vị tướng triển vọng được kết hợp vào trong thuật giải

SA

- Topping, Khan và De Barros Leite (1996) [13] sử dụng thuật giải SA để thiết

kế tối ưu vị tướng kết cấu dàn phẳng chịu nhiều trường hợp tải trọng, với biến kích thước được xem xét là biến rời rạc và liên tục Cơ cấu phát sinh của thuật giải SA thực hiện thay đổi vị tướng của kết cấu trong khi diện tích mặt cắt ngang của các thanh được tối ưu, cho phép chương trình loại bỏ những thanh không cần thiết

- Hasancebi và Erbatur (2002) [14,2] trình bày các vấn đề liên quan đến sự phát triển và sự thích hợp của thuật giải SA cho thiết kế tối ưu sơ đồ kết cấu dàn Trong công thức của bài toán, hàm mục tiêu được chọn là trọng lượng hoặc thể tích của của kết cấu chịu các ràng buộc về ứng suất, chuyển vị và ổn định

- Yu Chen và Su (2002) [15] đề nghị hai phương pháp để cải thiện hiệu quả của thuật giải SA trong tối ưu kết cấu, một là đánh giá các miền khả thi sử dụng các ràng buộc tuyến tính hóa và các tìm kiếm của thuật giải SA bắt nguồn trong các miền khả thi được đánh giá Sự cải thiện hiệu quả của thuật giải được minh chứng trong bài toán tối ưu 3 thanh dàn cho kết quả khá tốt

- Park và Sung (2002) [16] sử dụng thuật giải SA hai giai đoạn để giảm bớt khối lượng tính toán trong tối ưu kết cấu, trong đó quá trình làm nguội được chia thành hai giai đoạn: quá trình làm nguội nhanh được sử dụng trong giai đoạn đầu tiên và quá trình làm nguội chậm được sử dụng trong giai đoạn thứ hai Thuật giải được ứng dụng để thiết kế tối ưu rời rạc đối với trọng lượng 25 thanh dàn không gian, kết quả đạt được tương đối tốt so với các phương pháp khác

- Kripka (2004) [29] trình bày một ứng dụng của thuật giải SA trong tối ưu

trọng lượng kết cấu dàn với diện tích mặt cắt ngang là biến thiết kế rời rạc chịu các ràng buộc về ứng suất và chuyển vị Kết quả đạt được của nghiên cứu tốt hơn so với các phương pháp khác.

- Genovese, Lamberti và Pappalettere [17] (2005) cải tiến thuật giải SA với sự tìm kiếm ngẫu nhiên 2 cấp độ: “tôi toàn cục” ở đó tất cả các biến thiết kế được xáo

trộn đồng thời và “tôi cục bộ“ ở đó mỗi lần chỉ có một biến thiết kế được xáo trộn Thuật toán đã áp dụng thành công bài toán tối ưu quy mô lớn của 200 thanh dàn (200 biến thiết kế và 3500 ràng buộc) chịu 5 trường hợp tải trọng và bài toán tối ưu hình dạng của 45 thanh dàn với 81 biến thiết kế

Còn rất nhiều tác giả và các công trình nghiên cứu việc tối ưu kết cấu nói chung và tối ưu kết cấu dàn nói riêng sử dụng thuật giải SA do nhiều ưu điểm của

nó Trên đây chỉ là một số nghiên cứu mà tác giả thu thập được, điều đó chứng tỏ vấn đề này cho đến nay vẫn được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm

1.5 Nội dung nghiên cứu

- Tổng quan thuật giải mô phỏng luyện kim (SA) và các phương pháp tối ưu kết cấu dàn

- Thuật giải mô phỏng luyện kim (SA) và các nguyên lý hoạt động của nó

- Áp dụng thuật giải mô phỏng luyện kim vào tối ưu kết cấu dàn phẳng

1.6 Phạm vi nghiên cứu

- Tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng kết cấu dàn phẳng sử dụng phương pháp kết cấu nền (ground structure) với tải trọng và điều kiện biên cho trước

- Các thanh làm việc trong giai đoạn đàn hồi

- Biến thiết kế được xem xét là biến kích thước (diện tích mặt ngang của các thanh trong kết cấu dàn), hình dạng (tọa độ vị trí các nút trong dàn) và vị tướng (sự xuất hiện hay không xuất hiện của thanh trong dàn)

- Xét đến các ràng buộc về diện tích mặt cắt ngang, ứng suất trong các thanh,

ổn định của các thanh chịu nén, chuyển vị tại các mắt dàn

1.7 Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích kết cấu dàn phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

- Lập chương trình tối ưu hệ dàn phẳng bằng ngôn ngữ Matlab

1.8 Cấu trúc chương

- Chương 1: Tổng quan về thuật giải mô phỏng luyện kim và các phương pháp tối ưu kết cấu dàn

- Chương 2: Thuật giải mô phỏng luyện kim

- Chương 3: Sử dụng thuật giải mô phỏng luyện kim tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng hệ dàn phẳng

- Chương 4: Các ví dụ tính toán

- Chương 5: Kết luận và kiến nghị chung

CHƯƠNG 2: THUẬT GIẢI MÔ PHỎNG LUYỆN KIM

(SIMULATED ANNEALING)

Thuật giải mô phỏng luyện kim được đề xuất đầu tiên trong lĩnh vực tối ưu bởi Kirkpatrick và các đồng sự năm 1983 [1] Thuật giải mô phỏng luyện kim là một thuật giải tối ưu tổ hợp mạnh, đa năng dựa vào phương pháp tối ưu xác xuất Thuật giải này được ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực như: Thiết kế mạch, xử lý ảnh, vật lý, toán học, tối ưu kết cấu…

2.1 Quá trình tôi (annealing)

Quá trình tôi (annealing) [13] là một quá trình vật lý mà ở đó nhiệt độ của chất rắn được tăng lên tới nhiệt độ nóng chảy, ở nhiệt độ này tất cả các phân tử của chất rắn bị nóng chảy có thể di chuyển tự do, sau đó được làm nguội từ từ cho tới khi tính lưu động nhiệt bị mất đi Theo cách này, nếu quá trình làm nguội đủ chậm, các nguyên tử thông thường có khả năng sắp xếp chúng vào trong một trạng thái năng lượng thấp nhất và tạo thành một dạng tinh thể hoàn toàn Tuy vậy nếu quá trình làm nguội quá nhanh cho chất rắn để đạt được trạng thái cân bằng nhiệt ở mỗi nhiệt

độ, chất rắn sẽ tạo thành một dạng đa tinh thể hoặc vô định hình có mức năng lượng cao hơn Trong trường hợp này cần phải tôi (annealing) lại để tạo thành một dạng tinh thể hoàn toàn

2.2 Bài toán tối ưu tổ hợp

Bài toán tối ưu tổ hợp là bài toán cực đại hoặc cực tiểu, nó yêu cầu tìm thấy lời giải tối ưu hay lời giải tốt nhất từ một tập hợp các lời giải khả thi Bài toán được đặc trưng bởi không gian tìm kiếm và giá trị hàm mục tiêu

Không gian tìm kiếm  là một tập hợp các hữu hạn hay vô hạn các lời giải khả

thi, và hàm mục tiêu F:  R là một giá trị số thực, nó liên kết với mỗi lời giải,

x  , cho một giá trị F(x) Bài toán đi tìm lời giải tối ưu x* làm cho giá trị hàm

mục tiêu F là nhỏ nhất trên tập hợp 

) ( min )

F

x

2.3 Sự tương tự giữa bài toán tối ưu tổ hợp với quá trình tôi (annealing) vật lý

Thuật ngữ mô phỏng luyện kim (Simulated Annealing) bắt nguồn từ sự tương

tự giữa bài toán tối ưu tổ hợp với quá trình tôi (annealing) của vật lý Quá trình tôi (annealing) có thể được mô tả như sau: Chúng ta xem xét các sự giảm nhiệt độ liên tiếp bắt đầu từ một nhiệt độ lớn nhất t0, ở mỗi nhiệt độ được giảm t , hệ thống được phép đạt tới trạng thái cân bằng nhiệt Ở trạng thái cân bằng nhiệt này, xác suất của

hệ thống ở trong trạng thái i được đặc trưng bởi phân bố Boltzmann

E T Z E

E

P

B

i i

) (

1 )

Trong đó Ei là năng lượng của trạng thái i , Z (t ) là một hàm chuẩn hóa (normalization function), KB là hằng số Boltzmann Khi nhiệt độ t giảm, phạm vi của phân bổ Boltzmann sẽ tập trung vào các trạng thái có mức năng lượng thấp nhất Vì vậy khi nhiệt độ t giảm quá thấp, hệ thống sẽ đóng băng (freeze) và nếu nhiệt độ giảm đủ chậm thì trạng thái bị đóng băng (frozen state) này sẽ có mức năng lượng cực tiểu

Một thuật giải đơn giản được đề nghị bởi Metropolis (1953) [1] cho sự mô

phỏng hiệu quả các nguyên tử trong trạng thái cân bằng ở một nhiệt độ cố định cho trước dựa vào quá trình sau: cho một trạng thái hiện hành của hệ thống có mức năng lượng E0, chúng ta tạo ra một trạng thái mới bằng cách chọn ngẫu nhiên một phân

tử và thay đổi vị trí của nó Nếu trạng thái mới có mức năng lượng E và E  E0 thì

nó được chấp nhận và thay thế trạng thái hiện hành, các trạng thái mới khác tiếp tục được tạo ra như trên Tuy vậy, nếu E  E0 thì xác suất để chấp nhận trạng mới này được cho như sau:

E E E

Qui luật chấp nhận này được gọi là tiêu chuẩn Metropolis Khi quá trình được

lặp, hệ thống cuối cùng sẽ đạt tới một trạng thái cân bằng nhiệt cho một nhiệt độ cố định cho trước Khi đó sự phân bố xác suất của các điểm được chấp nhận sẽ là phân

bố Boltzamnn và được cho bởi phương trình (2.3) Quá trình này gọi là thuật giải

Metropolis

Cho một bài toán tổ hợp đặc trưng có các lời giải khả thi x   tương ứng với

trạng thái của hệ thống , giá trị hàm mục tiêu F(x) tương ứng với mức năng lượng

của một trạng thái và thông số điều khiển t tương ứng với nhiệt độ Thuật giải mô

phỏng luyện kim (SA) đơn giản chỉ là bao gồm các bước lặp của thuật giải

Metropolis cho các giá trị nhiệt độ được giảm liên tiếp của thông số điều khiển t Một vài sự tương tự của quá trình tôi (annealing) trong nhiệt động lực học với

việc giải quyết một bài toán tối ưu tổ hợp được tóm tắt trong bảng 2.1:

Bảng 2.1 Sự tương tự giữa bài toán tối ưu tổ hợp với quá trình tôi trong nhiệt

động lực học Bài toán tối ưu tổ hợp Mô phỏng nhiệt động lực học

Giá trị của hàm mục tiêu Mức năng lượng của một trạng thái

Lời giải tối ưu Trạng thái năng lượng thấp nhất

2.4 Thuật giải mô phỏng luyện kim

Mô phỏng luyện kim là một loại thuật giải tối ưu dựa theo phương pháp xác xuất, bởi vì có một vài sự ngẫu nhiên bao hàm trong quá trình tìm kiếm lời giải Một chuỗi các lời giải được phát sinh bởi tạo ra ngẫu nhiên một lời giải mới theo một sự xáo trộn của lời giải hiện hành và sau đó một lời giải mới được chấp nhận hoặc loại bỏ với một xác suất, xác suất này phụ thuộc vào nhiệt độ và sự thay đổi trong giá trị của hàm mục tiêu

2.4.1 Thuật giải mô phỏng luyện kim tổng quát

Thuật giải SA dùng để giải quyết bài toán tối tổ hợp có bốn thành phần [18]:

1 Không gian tìm kiếm (search space)

2 Hàm mục tiêu (objective function) hay hàm giá trị dùng để tối ưu trên không

gian tìm kiếm đã cho

3 Cơ cấu xáo trộn (perturbation mechanism) được sử dụng để tạo ra một lời

giải mới từ lời giải hiện hành

4 Lịch biểu làm nguội (cooling schedule) bao gồm nhiệt độ ban đầu, phương

pháp cập nhật nhiệt độ, và tiêu chuẩn hoàn thành được sử dụng để xác định

điểm dừng của thuật giải

Ở đó, không gian tìm kiếm và hàm mục tiêu được phát biểu dưới dạng công

thức toán học của bài toán tối ưu, trong khi cơ cấu xáo trộn và lịch biểu làm nguội

được dùng để điều khiển quá trình tìm kiếm

Thuật giải SA tổng quát theo [19] được thực hiện bởi các bước sau:

- Bước 1: Bắt đầu với một nhiệt độ ban đầu t0, chúng ta tạo ra một lời giải

ban đầu có giá trị hàm mục tiêu là F

- Bước 2: Ngẫu nhiên tạo ra một lời giải mới trong không gian tìm kiếm,

trong phạm vi lân cận của lời giải ban đầu, và tính giá trị hàm mục tiêu

tương ứng

- Bước 3: Nếu giá trị hàm mục tiêu của lời giải mới thấp hơn giá trị hàm mục

tiêu của lời giải cũ, thì lời giải mới luôn được chấp nhận và thay thế cho lời

giải cũ Ngược lại,  F  Fmoi  Fcu và tiêu chuẩn Metropolis được áp dụng,

xác suất chấp nhận lời giải mới có dạng như sau:

Tạo ra ngẫu nhiên một số thực r    0 , 1 , Nếu P  r thì lời giải mới được

chấp nhận và thay thể cho lời giải cũ, ngược lại lời giải mới bị loại bỏ và

lời giải cũ vẫn được duy trì

- Bước 4: Dù cho lời giải mới có được chấp nhận hay không, bước 2-3 vẫn

được lặp lại cho tới trạng thái cân bằng nhiệt đạt được

- Bước 5: Mỗi lần trạng thái cân bằng nhiệt đạt được ở một nhiệt độ đã cho,

nhiệt độ t được giảm xuống nhiệt độ mới theo lịch biểu làm nguội (cooling

schedule) Quá trình sau đó tiếp tục được lặp lại từ bước 2-4 cho tới khi tiêu chuẩn dừng (stopping criterion) được hoàn thành Lời giải cuối cùng sẽ gần đúng với giá trị tối ưu

2.4.2 Áp dụng thuật giải mô phỏng luyện kim

Thuật giải SA theo [2] phụ thuộc vào 12 thành phần và có thể được biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau:

c

x x x x

n a i a a a

x x x x

x  1 , 2, , , , , i   1 , , n  và c a n

S x

x ,  (2.6) Trong phương trình (2.5), F : F  xc, xa  R là hàm mục tiêu, nó được gán cho các thiết kế c

x và a

x Fc và Fa lần lượt là giá trị hàm mục tiêu cho thiết kế hiện

F F

chuỗi Markov) để thuật giải đạt được trạng thái cân bằng nhiệt ở các nhiệt độ khác

nhau trong suốt các vòng làm nguội

2.4.2.1 Lưu đồ tổng quát của thuật giải SA

Sau đây là một lưu đồ tổng quát của thuật giải SA được biểu diễn như sau:

Begin

Lời giải ban đầu c

x ; Nhiệt độ ban đầu s

j ;

while ( j  I ) do begin {các bước lặp của vòng lặp nội}

1 : 

m a

m x i m x x x

end

1 :  j 

end

f t

t :  ;

end

end

Bước đầu tiên là tạo ra một thiết kế ban đầu được sử dụng như lời giải ban đầu

và hiện hành của quá trình tối ưu Điều này thông thường được tạo ra bằng cách mỗi biến thiết kế lấy ngẫu nhiên một giá trị của tập hợp rời rạc S Sau đó chọn một lịch

biểu tôi (annealing) thích hợp, nhiệt độ hiện hành được gán cho một giá trị ban đầu Vòng lặp ngoại đáp ứng các điều kiện sau của thuật giải

- Để bắt đầu thuật giải ở các nhiệt độ khác nhau trong suốt các vòng làm nguội

- Điều khiển tiêu chuẩn kết thúc, thuật giải SA kết thúc khi hiện độ hiện hành giảm xuống tới nhiệt độ cuối cùng

Các bước lặp của vòng lặp nội được thực hiện sử dụng số đếm j để đảm bảo các bước lặp này được thực thi với số lượng I lần Trong một bước lặp đơn của vòng lặp nội, số lượng các thiết kế dự tuyển bằng với số lượng các biến thiết kế (n )

và được tạo ra trong lân cận thiết kế hiên hành Điều này được làm như sau:

- Mỗi biến thiết được chọn duy nhất một lần trong một trình tự ngẫu nhiên,

m

x

- Thiết kế dự tuyển được tạo ra bởi lấy giá trị mới của biến này và giữ các giá trị của các biến khác giống như trong thiết kế hiện hành Điều này có nghĩa là thiết kế dự tuyển chỉ khác với thiết kế hiện hành duy nhất trong các giới hạn của các biến thiết kế của nó: ví dụ,

xi a i c

m a

m x i m x x x

n

Bất cứ khi nào thiết kế dự tuyển được tạo ra có giá trị hàm mục tiêu thấp hơn

  F  0  , nó lập tức được chấp nhận bởi vì xác suất chấp nhận của nó P  1 0 , và thay thế thiết kế hiện hành Nếu không thì (lời giải kém  F  0 ), tiêu chuẩn kiểm tra

Metropolis được áp dụng, và thông số Boltzmann được cập nhật như trong bàn luận

của phần tiếp theo Trong trường hợp này, xác suất chấp nhận của một thiết kế dự tuyển kém (poor candidate) là P  exp    F / Kt  Thiết kế dự tuyển có được chấp nhận thay thế cho thiết hiện hành hay không được xác định bằng cách tạo ra một số thực r    0 , 1 và so sánh nó với P Vì vậy, thiết kế dự tuyển được chấp nhận nếu

P

r  , nếu không thì ( r  P ) thiết kế dự tuyển bị loại bỏ và thiết kế hiện hành vẫn

duy trì Sau khi hoàn thành tất cả các bước lặp của vòng lặp nội  j  I  ở một nhiệt

độ đặc trưng, nhiệt độ cho vòng làm nguội tiếp theo được xác định bằng cách nhân nhiệt độ hiện hành với hệ số làm nguội t :  t f Quá trình trên được lặp cho tới khi tất cả các vòng làm nguội hoàn thành

2.4.2.2 Thông số Boltzmann

Mặc dù thông số Boltzmann có thể sử dụng một giá trị cố định thích hợp (K ) , nhưng một phương pháp có lợi hơn và được chấp nhận rộng rãi là sử dụng một giá trị động, nó bằng với giá trị trung bình của các giá trị dương  F trong suốt quá trình tối ưu, K   Fave [2] Cho nên, ở mỗi lần khi một thiết kế dự tuyển kém được tạo ra (  F  0 ) , giá trị (K ) được cập nhật theo (2.7) trước khi xác suất chấp nhận

của nó được tính toán theo tiêu chuẩn Metropolis

1

)1()

()

N N

N

F N

K K

a a

K cho thiết kế dự tuyển kém đầu tiên Thông số Boltzamnn tính theo các này sẽ

có nhiều thuận lợi bởi vì ba lí do sau:

- Nó đáp ứng sự chuẩn hóa các giá trị  F cho tiêu chuẩn kiểm tra

2.4.2.3 Lịch biểu làm nguội

Sự chọn lựa một lịch biểu làm nguội thích hợp là yếu tố quan trọng cho sự thành công của thuật giải SA Một phương pháp nổi bật cho lịch biểu làm nguội được đề nghị bởi Balling [5], ở đó các thông số lịch biểu làm nguội  ts, tf, f  được

tính toán trong giới hạn của ba thông số: một xác suất chấp nhận giả thiết ban đầu

P và f

P tương ứng

Các thông số Boltzmann bằng với  Fave cho các thiết kế dự tuyển đầu tiên được thử ở nhiệt độ bắt đầu  s

t Thay phương trình (2.8) và (2.9), dẫn tới hệ số làm nguội được tính toán như sau:

P Ln

CHƯƠNG 3: SỬ DỤNG THUẬT GIẢI MÔ PHỎNG LUYỆN KIM (SA) TỐI ƯU ĐỒNG THỜI KÍCH THƯỚC, HÌNH

DẠNG VÀ VỊ TƯỚNG DÀN PHẲNG

Đây là phần quan trọng nhất của luận văn, trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp dựa vào thuật giải mô phỏng luyện kim (SA) để tối ưu đồng thời các biến kích thước, hình dạng và vị tướng của kết cấu dàn phẳng

3.1 Giới thiệu bài toán tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng kết cấu dàn phẳng

Bài toán tối ưu đồng thời kích thước (size), hình dạng (shape) và vị tướng (topology) kết cấu dàn phẳng được xem xét trong luận văn này dựa vào phương pháp kết cấu nền (ground structure approach) được đề nghị đầu tiên bởi Dorn [20] Trong phương pháp kết cấu nền (ground structure approach) cho bài toán thiết

kế tối ưu kết cấu dàn, một kết cấu nền ban đầu được tạo ra từ một tập hợp n các điểm nút cho trước và m liên kết thanh có thể, trong đó ở một vài nút được áp đặt

điều kiên biên và tải trọng Nhiệm vụ của bài toán là tìm ra một kết cấu dàn tối ưu

từ kết cấu nền ban đầu này thỏa mãn tất cả các điều kiện tải trọng và điều kiện biên Thông thường trong phương pháp kết cấu nền, kết cấu nền ban đầu được tạo ra bởi

một tập hợp tất cả các liên kết thanh có thể giữa các nút được chọn, tức là nếu có n

nút được chọn thì có tất cả n ( n  1 ) / 2 liên kết thanh có thể giữa các nút Tuy nhiên theo [21] chúng ta có thể cho phép kết cấu nền được tạo ra bởi một tập hợp các liên

kết thanh bất kỳ ( hình 3.1) Phương pháp này có thể dẫn tới các thiết kế này không

phải là các thiết kế tốt nhất cho một tập hợp các điểm nút được chọn, tuy nhiên phương pháp này cho phép ta giới hạn số lượng liên kết thanh trong kết cấu nền

Hình 3.1 Kết cấu nền chịu một tải trọng đứng và điều kiện biên là các liên kết khớp ở các nút biên (A)-(C) các cấu kết cấu nền do sự biến đổi phức tạp trong một phạm vi hình chữ nhật với 15 điểm nút (D) kết cấu nền đầy đủ bao hàm

tất cả các liên kết thanh giữa các nút 3.2 Phát biểu bài toán tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng kết cấu dàn phẳng

Bài toán thiết kế tối ưu đồng thời kích thước hình dạng và vị tướng của kết cấu dàn đối với trọng lượng được phát biểu như sau :

3.2.1 Các biến thiết kế

Tập hợp các biến thiết kế bao gồm các vectơ thông số thiết kế A, C và T tương ứng với các biến kích thước, hình dạng và vị tướng hoặc là hằng số trong quá trình thiết kế

P i i T

S và S Cho nên tập hợp các mặt cắt SP, và S chỉ các thanh diện tích bằng 0, những thanh này sẽ được loại bỏ từ mô hình thiết kế Thông số thiết kế

C là giá trị tọa độ thực X ,j Yj của nút thứ i Ti là biến thiết kế hoặc là hằng số điều khiển sự xuất hiện hoặc sự vắng mặt của thanh thứ i trong mô hình thiết kế tối ưu Trong trường hợp sự xuất hiện của thanh, 1

i i i i

i

W

1,

i i

i i

,

k j

k j i

k j k

j

U

U X

Trong trường hợp bài toán tối ưu có các ràng buộc, lời giải không những được đánh giá bởi phương trình (3.4) mà còn phải xem xét thêm các vi phạm ràng buộc

Do vậy chúng ta cần phải có các phương pháp quản lí ràng buộc, theo [22] có hai phương pháp chung được sử dụng cho quản lí ràng buộc trong thuật giải SA đó là phương pháp loại bỏ đơn giản (simple rejection approach) và hàm phạt (penalty function approach) Trong phương pháp loại bỏ đơn giản [5], các thiết kế không khả thi tự động được bỏ qua và do vậy quá trình tìm kiếm được thực hiện duy nhất trong

các miền thiết kế khả thi của không gian thiết kế Tuy nhiên trong phương pháp hàm phạt [11], hàm mục tiêu ràng buộc được định nghĩa bởi sự kết hợp giữa hàm phạt với hàm mục tiêu không ràng buộc ( Wu) Vì vậy, sự tìm kiếm không duy nhất

bị giới hạn trong các miền khả thi, tổng quát hơn là tất cả các miền của không gian thiết kế được sử dụng trong việc tìm kiếm cho lời giải tối ưu Đối với các bài toán tối ưu kết cấu đồng thời theo [22] thì phương pháp hàm phạt (penalty function approach) có nhiều thuận lợi hơn so với phương pháp loại bỏ đơn giản (simple rejection approach):

- Trong trường hợp nếu lời giải bắt đầu xa lời giải tối ưu, thì lời giải tối ưu nhanh chóng đạt tới hơn khi mà cả miền khả thi và không khả thi đều được

sử dụng trong quá trình tối ưu

- Tránh bị rơi vào các điểm tối ưu cục bộ khi mà các điểm tối ưu cục bộ này

bị bao quanh bởi các ràng buộc nặng nhờ vào việc làm chuyển hướng của quá trình tìm kiếm tạm thời sang các miền không khả thi

- Trong trường hợp điểm tối ưu gần với các miền không khả thi, thì phương pháp hàm phạt có nhiều thuận lợi hơn và hội tụ nhanh hơn tới điểm tối ưu

từ các miền không khả thi

- Đối với các bài toán mà các không gian thiết kế của chúng bao gồm nhiều miền khả thi không liên tục, nếu quá trình tối ưu bắt đầu từ một miền khả thi không chứa điểm tối ưu, nó có thể đi ngang qua các miền không khả thi

để tới miền khả thi có chứa điểm tối ưu

Tuy nhiên, chúng ta cần phải lưu ý đến một yếu tố quan trọng là: Việc sử dụng hàm phạt thì luôn luôn phải kết hợp chặt chẽ với một số lượng các thông số, vì vậy

sự thành công của quá trình tối ưu có quan hệ mật thiết đến sự chọn lựa thích hợp của các thông số này Cũng như, trong hầu hết các trường hợp các giá trị thông số tối ưu thì thông thường đều phụ thuộc vào bài toán, do đó nó cần phải có một số lượng lớn thực nghiệm về số và phân tích độ nhạy để tìm ra các giá trị thông số thích hợp Mặc dù có nhiều khó khăn, nhưng phương pháp hàm phạt vẫn được ưu tiên lựa chọn trong nghiên cứu của luận văn này, do nó có những thuận lợi đã được

nêu ở phần trên Trong luận văn này thì hàm phạt và sự kết hợp của nó với hàm mục tiêu được lấy theo [11]

N

j k

k j i

1

) (

i

N i S T

N

j k

k j i

i N

i S T

i i i

1

) (

Trong phương trình (3.8) và (3.10)  là hệ số phạt và có một ảnh hưởng lớn đến sự thành công của quá trình tối ưu Một giá trị thấp của hệ số phạt  có thể là nguyên nhân làm bài toán hội tụ tới lời giải cuối cùng không khả thi, và ngược lại một giá trị rất lớn của hệ số phạt có thể dẫn tới bài toán hội tụ tới điểm tối ưu cục bộ [11] Hệ số phạt  được giới thiệu làm việc tốt nhất trong khoảng giữa 0.9 và 1 theo [11]

3.3 Thiết kế kích thước, hình dạng và vị tướng của kết cấu dàn phẳng

Trong luận văn này, các biến kích thước được chọn từ các diện tích mặt cắt có sẵn trong một tập hợp các diện tích mặt cắt  P

S Tập hợp các diện tích mặt cắt này được ký hiệu theo chỉ số trong một trình tự sắp xếp tăng dần của các diện tích mặt cắt Quá trình chọn lựa của một biến kích thước đối với một diện tích mặt cắt có sẵn được thực hiện thông qua các chỉ số này Do đó, mỗi biến kích thước được gán cho một số nguyên   VA i , số nguyên này tương ứng với một chỉ số của diện tích mặt cắt

có sẵn, số nguyên này có dạng, VA  Ns

i  1 , , , trong đó Nslà số lượng các diện tích mặt cắt trong tập hợp  P

S

Các biến hình dạng liên quan đến giá trị tọa độ của nút (𝑉 𝐶 ) Vì lý do này, biến hình dạng được gán giá trị tách biệt nhau trong một khoảng hợp lý với một độ chính xác nào đó, đưa vào sự cân nhắc vấn đề hình học của bài toán Do đó, biến hình dạng là giá trị thực trong khoảng được cho như sau: 𝑉 𝐶𝑗 ∈ [𝐵 𝑗 𝑙 , … , 𝐵 𝑗 𝑙 + 𝑚𝑝 𝑟 , … , 𝐵 𝑗 𝑢 ]

và 𝑚 = 1, … , 𝑟𝑜𝑢𝑛𝑑[(𝐵 𝑗 𝑢 − 𝐵 𝑗 𝑙 )/𝑝 𝑟 ] trong đó 𝐵 𝑗 𝑙 và 𝐵 𝑗 𝑢 là giới hạn dưới và trên của khoảng đã chọn, và 𝑝 𝑟 là độ chính xác

Các biến vị tướng có liên quan đến sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của các thanh trong mô hình thiết kế Các biến vị tướng được chọn xem xét trong nghiên cứu là các liên kết thanh cho phép giữa các nút Trong luận văn này kết cấu nền ban đầu được tạo ra theo phương pháp kết cấu nền (ground structure approach) đã được

giới thiệu ở phần 3.1 sẽ được sử dụng trong việc tìm kiếm mô hình vị tướng tối ưu

Mỗi giá trị của biến vị tướng   VT i được mã hóa theo số nhị phân, sự mã hóa này cho

phép đánh giá thanh thứ i trong kết cấu nền ban đầu có xuất hiện trong một mô hình

thiết kế đặc trưng hay không Trong sự mã hóa theo số nhị phân này, VT i    0 , 1 và

1



i

T

V , VT i  0 lần lượt chứng tỏ sự xuất hiện hay không xuất hiện của thanh thứ i

trong mô hình thiết kế đặc trưng

3.4 Áp dụng thuật giải mô phỏng luyện kim (SA)

Một sơ đồ khối tổng quát của thuật giải SA sử dụng trong nghiên cứu được

cho ở trong hình 3.2 Thuật giải bắt đầu với sự tạo ra ngẫu nhiên một thiết kế ban

đầu được sử dụng như lời giải bắt đầu và hiện hành của quá trình tối ưu Sau đó chọn một lịch biểu làm nguội thích hợp, nhiệt độ hiện hành được gán như là nhiệt

độ bắt đầu Trong bước tiếp theo một vòng lặp nội (inner loop) được thực thi, trong

đó ở mỗi lần lặp thiết kế hiện hành được cho một sự xáo trộn nhỏ (small perbation)

để tạo ra một thiết kế dự tuyển (candidate design) như là một lời giải khác của bài toán Để tạo ra các thiết kế dự tuyển này, ở mỗi lần lặp duy nhất một biến thiết kế được thay đổi ngẫu nhiên trong lân cận của thiết kế hiện hành Nếu thiết kế dự tuyển cung cấp một lời giải cải thiện (downhill move), nó lập tức đựợc chấp nhận

và thay thế thiết kế hiện hành để cung cấp dữ liệu cho các thiết kế dự tuyển tiếp

theo Tuy nhiên trong trường hợp ngược lại (uphill), tiêu chuẩn kiểm tra Metropolis

được áp dụng, ở đó thiết kế dự tuyển không cải thiện lời giải hoặc là bị loại bỏ hoặc

là được chấp nhận dựa vào xác suất chấp nhận (P ) của nó Một bước lặp đơn của vòng lặp nội được hoàn thành khi tất cả các biến thiết kế của thiết kế hiện hành đều được chọn duy nhất một lần Một số phương pháp được thiết lập để xác định số bước lặp của vòng lặp nội (Chiều dài của chuỗi Markov) [11] Số bước lặp của vòng lặp nội được thiết lập liên quan đến một khái niệm của nhiệt động lực học, khái niệm này phát biểu rằng một hệ thống vật lý đạt được mức năng lượng thấp của nó,

do đó nó cung cấp một sự đạt được trạng thái năng lượng thấp nhất của hệ thống vật

lý được yêu cầu ở mỗi nhiệt độ trong suốt quá trình làm nguội liên tiếp Khái niệm này được gọi là trạng thái cân bằng nhiệt và nó được sử dụng trong thuật giải SA nhằm đạt được giá trị hàm mục tiêu thấp nhất ở mỗi nhiệt độ được cho của mỗi vòng lặp nội Trong bước cuối cùng nhiệt độ được giảm với một giá trị nhỏ và vòng lặp nội được xây dựng lại với nhiệt độ mới này Quá trình được lặp đi lặp lại cho tới khi toàn bộ các vòng làm nguội được hoàn thành Dưới đây là một sơ đồ khối tổng quát của thuật giải, còn các thành phần chi tiết của thuật giải được xem xét ở phần tiếp theo

Hình 3.2 Sơ đồ tổng quát của thuật giải SA

t được gán

là nhiệt độ hiện hành

Mỗi biến thiết kế được chọn ngẫu nhiên duy nhất một lần để tạo ra một thiết kế dự tuyển (candidate design) bởi xáo trộn nó

Nếu thiết kế dự tuyển (candidate design) có lời giải tốt hơn

Áp dụng tiêu chuẩn

kiểm tra Metropolis

Tự động chấp nhận thiết

kế dự tuyển và thay thế thiết kế hiện hành

Nếu tất cả các biến thiết kế đều được chọn để tạo một thiết kế dự tuyển (candidate design)

Nếu tất cả các bước lặp của vòng lặp nội hoàn thành Giảm nhiệt độ

Nếu tất cả các vòng làm nguội được hoàn thành Kết thúc

Hoặc thiết kế dự tuyển được chấp nhận hoặc thiết

kế dự tuyển bị loại bỏ

Sai Đúng

3.4.1 Tạo ra thiết kế ban đầu

Thiết kế ban đầu được tạo ra bằng cách mỗi biến kích thước và hình dạng được gán cho một giá trị ngẫu nhiên trong một khoảng tương ứng, và tất cả các biến vị tướng được lấy giá trị  1

i

T

V Bằng cách này, tất cả các liên kết thanh mô tả trong kết cấu nền (ground structure) ban đầu đều xuất hiện trong mô hình dàn của thiết kế đầu tiên [14]

3.4.2 Lịch biểu làm nguội (Cooling schedule)

Các thông số của lịch biểu làm nguội (Cooling schedule)

- Nhiệt độ bắt đầu ( ts)

- Nhiệt độ cuối cùng ( tf)

- Hệ số làm nguội (Cooling factor) ( f )

Sự tính toán các thông số của lịch biểu làm nguội được sử dụng trong nghiên cứu theo Balling [5], ở đó các thông số lịch biểu làm nguội  ts, tf, f  được tính toán giới hạn theo ba thông số Các thông số này là: một xác suất chấp nhận giả thiết ban đầu  s

P , một xác suất chấp nhận giả thiết cuối cùng  f

P và số lượng vòng làm nguội   Nc Việc tính toán các thông số của lịch biểu làm nguội theo phương pháp này cho phép chúng được lựa chọn tự động bất chấp loại bài toán

- Nhiệt độ bắt đầu,

) ln(

1

s s

P

- Nhiệt độ cuối cùng,

) ln(

1

f f

P

- Hệ số làm nguội,

)1/(

1

) ln(

P

Trong phương trình (3.10), trước khi tính toán nhiệt độ bắt đầu, một giá trị đựợc giả thiết cho xác suất chấp nhận bắt đầu ( Ps) Điều này có nghĩa là nhiệt độ bắt đầu được gán bằng cách: một thiết kế dự tuyển kém (poor candidate design) được tạo ra ở thời điểm ban đầu của quá trình tối ưu có giá trị xác suất chấp nhận trung bình là ( Ps) Lưu ý là nhiệt độ bắt đầu sẽ là cao nếu xác suất chấp nhận bắt

đầu cao Cho nên, nó thường được chọn trong khoảng  0 5 , 0 9  [2], s  0 80

ft

t(1)  Cách thức giảm nhiệt độ cần phải được xác định

để phát huy hiệu quả thuật giải tôi (annealing) Lịch biểu làm nguội trên phụ thuộc rất lớn vào số lượng vòng làm nguội Một giá trị nhỏ của hệ số làm nguội được tạo

ra bởi các giá trị thấp của Nc có thể là nguyên nhân dẫn tới một lịch biểu làm nguội nhanh, làm cho thuật giải hội tụ về điểm tối ưu cục bộ Mặt khác, một giá trị lớn của

c

N sẽ loại bỏ tình trạng trên bởi sự tôi (annealing) kỹ càng hơn, tuy vậy, khi đó khối lượng tính toán sẽ lớn Theo [5,11] với Nc=100 thì thuật giải sẽ sớm hội tụ về điểm tối ưu cục bộ và các giá trị thích hợp của Nc là 200 và 300

3.4.3 Tạo ra thiết kế dự tuyển (candidate design)

Trong một thuật giải SA truyền thống, sự hình thành một thiết kế dự tuyển từ một thiết kế hiện hành được thực hiện như sau:

- Đầu tiên, một biến thiết kế được chọn từ tập hợp các biến thiết kế được sử dụng cho bài toán

- Biến thiết kế này sau đó được gán cho một giá trị mới, giá trị này được chọn ngẫu nhiên trong một khoảng được định nghĩa theo giá trị của biến thiết kế trong thiết kế hiện hành (sự xáo trộn của biến thiết kế )

- Cuối cùng, thiết kế dự tuyển được tạo ra sử dụng một giá trị mới của biến này và các giá trị của các biến khác giống như trong biến thiết kế hiện hành

Trong nghiên cứu của luận văn này, sự xáo trộn (perturbation) của các biến kích thước để tạo ra các thiết kế dự tuyển (candidate design) được thực hiện bằng phương pháp tương tự Vì vậy, cho một biến kích thước có giá trị của nó là c

AiV

trong thiết kế hiện hành, giá trị thiết kế dự tuyển (candidate design) của nó là  a

AiV

c Ai c

Ai c

Ai A

c Ai a

V     1 , ,  1 ,  1 , ,    , ở đó A là giới hạn xáo trộn (perturbation limit) cho các biến kích thước

Tương tự, biến hình dạng được xáo trộn trong khoảng 𝑉 𝐶 𝑎𝑗 [ 𝑉 𝐶 𝑐𝑗 − 𝛿 𝐶 𝑝 𝑟 ≥

𝐵 𝑗 𝑙 , … , 𝑉 𝐶 𝑐𝑗 − 𝑝 𝑟 , 𝑉 𝐶 𝑐𝑗 + 𝑝 𝑟 , … , 𝑉 𝐶 𝑐𝑗 + 𝛿 𝐶 𝑝 𝑟 ≤ 𝐵 𝑗 𝑢 ], trong đó 𝑉 𝐶 𝑐𝑗 và 𝑉 𝐶 𝑎𝑗 là giá trị thực tọa độ của biến hình dạng trong thiết kế hiện hành và thiết kế dự tuyển, và 𝛿 𝐶 và

𝛿 𝐶 𝑝 𝑟 là số nguyên (độc lập với giá trị 𝑝 𝑟 ) và giá trị thực xáo trộn giới hạn cho biến hình dạng

Quản lí một biến vị tướng trong quá trình phát sinh một vị tướng khác trong thiết kế dự tuyển được thực hiện bằng cách sử dụng hai phương pháp bổ sung sau [14]:

- Phương pháp hoàn lại thanh và loại bỏ thanh (member restoring and removing approach)

- Phương pháp hoàn lại nút và loại bỏ nút (node restoring and removing) Trong phương pháp hoàn lại thanh và loại bỏ thanh, quá trình được thực hiện bởi lấy giá trị đảo ngược của giá trị nhị phân c

Ti

V của biến trong thiết kế hiện hành

và được sử dụng cho thiết kế dự tuyển a

V Cho nên, trong trường hợp nếu thanh thứ i xuất hiện

trong mô hình vị tướng của thiết kế hiện hành, nó sẽ bị loại bỏ trong mô hình vị tướng của thiết kế dự tuyển Ngoài ra chúng ta cần phải lưu ý đến sự ổn định vị tướng của thiết kế dự tuyển khi một thanh được hoàn lại trong thiết kế dự tuyển, vì khi hoàn lại một thanh cũng đưa đến sự xuất hiện của cả các nút liên kết của nó Cho nên, trước khi một thanh được hoàn lại trong một thiết kế dự tuyển, nó cần thiết phải bổ sung một sự phân tích liên kết để nhận dạng dù cho các nút liên kết của thanh có sử dụng trong thiết kế hiện hành ở thời điểm đó hay không Trong phân

tích này, các biến vị tướng của tất cả các liên kết thanh định nghĩa cho một nút được kiểm tra Trường hợp tất cả các biến vị tướng là „0‟ chỉ sự vắng mặt của nút trong

mô hình (trong trường hợp này coi nó là một nút bị động), nếu không thì nó là một nút chủ động Cho nên thiết kế dự tuyển sẽ không được tạo ra trong trường hợp thanh liên kết với một nút bị động

Phương pháp hoàn lại thanh và loại bỏ thanh một mình nó thì không thích hợp

để tìm kiếm cho mô hình vị tướng tối ưu của một bài toán Lí do cho điều này là duy nhất sự hoàn lại và loại bỏ của một thanh thì không có khả năng hoàn lại và loại

bỏ một nút trong mô hình thiết kế dự tuyển bởi vì các bài toán có vị tướng ổn định Cho nên, phương pháp hoàn lại nút và loại bỏ nút (node restoring and removing) được kết hợp chặt chẽ vào trong thuật giải Trong phương pháp này, cho một biến được chọn Ti, đầu tiên các nút liên kết của thanh thứ i được xác định Tiếp theo một

trong hai nút này được chọn ngẫu nhiên với xác suất bằng nhau Nếu nút chọn là chủ động trong mô hình vị tướng của thiết kế hiện hành, nó sẽ là bị động trong thiết

kế dự tuyển bởi vì bị loại bỏ, nếu không thì (nếu nó là bị động ) nó là chủ động bởi

sự hoàn lại Trong quá trình loại bỏ một nút chủ động, tất cả các biến vị tướng ứng với các liên kết thanh của nút bằng không trong thiết kế dự tuyển Trái lại, trong sự hoàn lại một nút bị động, đầu tiên một số thực r1 được tạo ra ngẫu nhiên trong khoảng [0,1] Quá trình sau đó được hoàn thành dưới sự điều khiển của biến ngẫu nhiên khác r2   0 , 1 , và được thử lại cho mỗi liên kết thanh của nút, như sau: Nếu 1

kế dự tuyển khác nhau được kiểm tra khi một nút được hoàn lại

Bởi vì có sự kết hợp giữa hai phương pháp trên trong việc quản lí một biến vị tướng, cho nên biến vị tướng sẽ lựa chọn các phương pháp này trong quá trình tối

ưu theo xác suất Theo [14] đối với phương pháp hoàn lại thanh và loại bỏ thanh được phân bổ với một xác suất là 90% và đối với phương pháp hoàn lại nút và loại

bỏ nút được phân bổ với một xác xuất là 10%

Mặt khác, hai vấn đề khó khăn chủ yếu của các bài toán tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng kết cấu dàn là:

- Vấn đề thứ nhất là phần lớn các thiết kế dự tuyển được tạo ra từ một kết cấu nền ban đầu trong suốt quá trình tối ưu có các vị tướng không ổn định (unstable toplogies) Nếu phương pháp phần tử hữu hạn được sử dụng để phân tích sự đáp ứng của kết cấu, thì kết quả là các vị tướng không ổn định có ma trận độ cứng là không xác định dương (non-positive definite stiffness matrix)[23], do đó sự phân tích kết cấu sẽ bị lỗi khi chạy chương trình

- Vấn đề thứ hai là chiều dài phần tử thanh dàn có thể bị bằng không do tọa độ các nút của thiết kế dự tuyển có thể trùng nhau trong quá trình tối ưu , điều này cũng gây ra lỗi cho chương trình tính toán

Vì vậy khi phân tích sự đáp ứng của kết cấu trong bài toán tối ưu đồng thời kích thước, hình dạng và vị tướng kết cấu dàn sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn chúng ta cần phải sử dụng một khái niệm ma trận độ cứng xác định dương (the positive definiteness of the stiffness matrix) [23] của các vị tướng ổn định để loại

bỏ hoàn toàn các vị tướng không ổn định Các thiết kế dự tuyển không ổn định (ustable candidate designs) cũng như các thiết kế dự tuyển có chiều dài thanh dàn bằng không bị phạt nghiêm khắc bằng cách là sự chuyển giao của chúng với thiết kế hiện hành được ngăn cản

3.4.4 Chọn lựa thiết kế dự tuyển (candidate design)

Bất cứ khi nào một thiết kế dự tuyển ( Da) mang lại một lời giải tốt hơn so với thiết kế hiện hành ( Dc) , xác suất chấp nhận của nó ( a  c)  1

D D

thay thế thiết kế hiện hành ngay lập tức Quá trình này được biểu diễn toán học như sau:

0 1 ) (

thiết kế dự tuyển phụ thuộc vào tiêu chuẩn kiểm tra “Metropolis” [1]

1 )

e / Trong đó, t là nhiệt độ của vòng làm nguội,

K là thông số Boltzmann được tính theo phần 3.4.5 Quá trình kiểm tra này được

hoàn thành với việc tạo ra ngẫu nhiên một số thực r    0 1 , nếu xác suất chấp nhận của thiết kế dự tuyển kém có giá trị P  r , nó lập tức được chấp nhận và thay thế thiết kế hiện hành, ngược lại nếu P  r , thiết kế dự tuyển bị loại bỏ và thiết kế hiện hành vẫn được duy trì

3.4.5 Thông số Boltzmann có trọng số (Weighted Boltzmann parameter)

Trong các giai đoạn đầu của quá trình tối ưu, thông số Boltzmann hoạt động ở các giá trị cao Điều này được quy cho hai lý do Đầu tiên, sự bắt đầu của quá trình tìm kiếm xuất phát từ một điểm thiết kế được chọn ngẫu nhiên khởi sự cho một quá trình thử của các thiết kế hiện hành và các thiết kế dự tuyển có các giá trị hàm mục tiêu lớn, các giá trị này thông thường là không khả thi, hoặc thỉnh thoảng là khả thi nhưng có giá trị lớn hơn nhiều so với điểm tối ưu Thứ hai, trong suốt các giai đoạn đầu của quá trình tối ưu, thuật giải mô phỏng luyện kim (SA) thường có một sự chấp nhận cao cho quá trình tìm kiếm di chuyển đến các miền thiết kế yếu (weak design regions) so với các giai đoạn cuối Các giá trị cao của thông số Boltzmann thì thuận lợi ở các giai đoạn bắt đầu của quá trình tìm kiếm bởi vì nó cho phép một

sự tìm kiếm hiệu quả của không gian thiết kế Thật vậy, điều này giúp cho các sự chuyển giao thiết kế trở nên dễ dàng, làm tăng các xác suất chấp nhận của các thiết

kế dự tuyển kém (poor candidate design) trong tiêu chuẩn kiểm tra Metropolis Do

vậy khi nhiệt độ giảm, quá trình tìm kiếm được thực hiện trong các miền tốt hơn của không gian thiết kế Với một sự bao hàm của các thiết kế dự tuyển triển vọng

hơn được tìm kiếm trong các miền này, thông số Boltzmann bắt đầu giảm từ từ làm cho sự chấp nhận chuyển giao hướng về các miền thiết kế yếu bị giảm Vì vậy quá trình tìm kiếm được di chuyển từ không gian tìm kiếm đầy đủ sang các miền tìm kiếm thích hợp Cho một sự tối ưu hiệu quả, thuật giải cần thiết phải được cung cấp một sự mô phỏng cho thông số Boltzmann để quy định các miền thiết kế khác nhau được khám phá trong suốt quá trình tìm kiếm Mặt khác, nó nên được đảm bảo một giá trị ban đầu cao của thông số Boltzmann phải được giảm xuống các giá trị thấp hơn thích hợp trong khi hướng về các miền thích hợp hơn Đối với các bài toán có các không gian thiết kế tương đối đồng đều trong các giới hạn của giá trị hàm mục tiêu, thì thông số Boltzmann tính theo (2.7) là thỏa mãn Tuy vậy, đối với các không gian thiết kế của các bài toán phức tạp được tạo ra bởi sự kết hợp giữa nhiều miền

có các đặc trưng hoàn toàn khác nhau Đối với các bài toán này, nếu kinh nghiệm tìm kiếm đạt được trong cả các giai đoạn ban đầu và các giai đoạn cuối của quá trình tối ưu được ứng xử giống nhau như trong phương trình (2.7), nó sẽ là nguyên nhân để thông số Boltzmann hoạt động ở giá trị cao hơn mức cần thiết trong suốt các giai đoạn cuối Điều này ngăn cản sự hội tụ của thuật giải Vì vậy phương trình (2.7) cần thiết phải được hiệu chỉnh theo một phương pháp cho phép kinh nghiệm tìm kiếm gần chi phối các thiết kế dự tuyển mới

Trong nghiên cứu của luận văn này, những phân tích trên được hoàn thành bởi

sử dụng một thông số Boltzmann đã được hiệu chỉnh, đó là “thông số Boltzmann có trọng số ( Kw)” được đề xuất bới Hasacebi [2], nó được hiệu chỉnh từ thông số Boltzmann trong phương trình (2.7) Trong sự hiệu chỉnh này, toàn bộ quá trình tối

ưu (số lượng vòng làm nguội Nc) được chia thành mười giai đoạn khác nhau, mỗi giai đoạn có một số lượng các vòng làm nguội liên tiếp để nối tiếp các đặc trưng riêng biệt của sự tìm kiếm Cho nên, các vòng làm nguội của giai đoạn thứ

) 10

c lần lượt là vòng làm nguội bắt đầu và cuối cùng của giai đoạn si: ví dụ, Nc  200 ,

1 1 , , 1 20 

c c

s , 2   2s  11 , , 2f  20 

c c

s , 3  3s  21 , , 3f  40 

c c

10 181 , , 10 200 

c c

1 10 ) 1 (

N i

c c c

Để xác định các giá trị thông số Boltzmann độc lập cho các giai đoạn tối ưu khác nhau, phương trình (2.7) được áp dụng riêng biệt cho mỗi giai đoạn như trong phương trình (3.16), ở đó các thông số được ký hiệu “ i ” liên quan đến các thông số tương ứng của phương trình (2.7) cho giai đoạn si Theo cách đó, kinh nghiệm tìm kiếm đạt được trong các giai đoạn khác nhau được giữ trong phạm vi các thông số

i

K độc lập

1

)1()

()

N i N

i

N

W N

K K

ai ai

Cuối cùng, thông số Boltzmann có trọng số ( Kw) được sử dụng trong tiêu

chuẩn kiểm tra Metropolis ở giai đoạn tối ưu thứ j được tính toán theo giá trị Ki

của tất cả các giai đoạn trước, bao gồm giai đoạn thứ j ( si, i  1 , , j ) Điều này được thể hiện trong phương trình (3.17) Trong đó, wi là trọng số (weight coefficient) của giai đoạn tối ưu thứ i và cung cấp một dấu hiệu của quy mô kinh nghiệm đạt được trong giai đoạn hiện hành để hướng dẫn việc tìm kiếm cho các thiết kế dự tuyển sau:

j

i

ai i i w

N w

N K w K

1

Hai tiêu chuẩn được thiết lập liên quan đến sự chọn lựa thích hợp của các trọng số cho các giai đoạn khác nhau Đầu tiên, một sự đóng góp cao hơn của giai đoạn thứ si1, so với giai đoạn thứ si, nên được cung cấp Điều này ngụ ý wi1  wi Thứ hai, hệ số của wi/ wi1 không nên xấp xỉ bằng 0 để tránh mất kinh nghiệm đạt được trong giai đoạn thứ i Tham khảo trong [2], liên quan đến các sự chọn lựa

thích hợp của các trọng số, có một số mô hình được đề nghị và kiểm tra Trong đó

mô hình trọng số làm nguội (cooling weighting) được ưu tiên sử dụng trong nghiên cứu của luận văn này Trong mô hình này, ở giai đoạn thứ j của quá trình tối ưu, các trọng số của các giai đoạn si( i  j ) được tính toán như sau:

1

) (

j k

f k s k s

t t j t

i c

i s i

j t

t và (  tave/  ti) Điều kiện thứ nhất ( / s)

i s

j t

t cho phép các trọng số được tính toán có sự liên quan tới các nhiệt độ ban đầu của các giai đoạn, thỏa mãn yêu cầu wi1  wi, bởi vì trong trường hợp này s

i s

i t

t   1

 Vì vậy, sự giảm trong giá trị  ti có thể được quan niệm như là một sự tăng trong độ tin cậy của sự tìm kiếm được hoàn thành trong giai đoạn si Điều này được lưu ý trong mô hình trọng số làm nguội (CW), bởi sự xem xét độ tin cậy tương đối của giai đoạn si đối với các giai đoạn khác thông qua điều kiện hai,  tave/  ti Sự ảnh hưởng của giới hạn này đến sự chọn lựa của các trọng số được phản ánh theo hai cách sau:

- Các trọng số của các giai đoạn có sự giảm nhiệt độ lớn hơn sự giảm nhiệt

độ trung bình (  ti   tave, các giai đoạn ban đầu) thì bị giảm để sự ảnh hưởng của các giai đoạn này đến quá trình tối ưu bị giảm bớt

- Các trọng số của các giai đoạn có sự giảm nhiệt độ nhỏ hơn sự giảm nhiệt

độ trung bình (  ti   tave, các giai đoạn gần với giai đoạn si) thì được tăng

để cho phép một sự đóng góp cao hơn của các giai đoạn này đến quá trình tối ưu, và vì vậy nâng cao kinh nghiệm tìm kiếm

Đối với thông số  được cho trong phương trình (3.18), nó được giới thiệu sử dụng   2 (tương ứng với mô hình CW2) cho các bài toán nhỏ và   4 (tương ứng với mô hình CW4) cho các bài toán lớn [14]

3.4.6 Thông số Boltzmann tới hạn (Critical Boltzamnn parameter)

Trong không gian thiết kế của các bài toán phức tạp bao gồm một số lượng lớn các thiết kế không khả thi hoặc rất kém ổn định (unstable inferior design) với các giá trị Wc rất lớn Trong suốt quá trình tạo ra các thiết kế dự tuyển từ các thiết kế hiện hành, các thiết kế rất kém (inferior designs) này thì không tránh khỏi việc được coi như là các điểm tìm kiếm có khả năng Tuy vậy, điều này ảnh hưởng không thuận lợi đến sự hoạt động của tối ưu với một giá trị thông số Boltzamnn thích hợp Bởi vì, với một sự bao hàm của các thiết kế này trong tiêu chuẩn kiểm tra

Metropolis, thông số Boltzamnn sẽ tăng tới một giá trị cao làm ngăn cản sự hội tụ

của thuật giải Cho nên, các thiết kế dự tuyển rất kém (inferior candidate designs)

cần phải được loại bỏ trước khi tiêu chuẩn kiểm tra Metropolis được áp dụng Cho

mục đích này, một thông số Boltzmann tới hạn ( K*) (critical Boltzamnn parameter) được đề xuất bởi Hasacebi [2] để chấp nhận các thiết kế rất kém Một thiết kế dự tuyển tạo ra một giá trị  W , giá trị này kém hơn *

K thì được đặc trưng như là một thiết kế rất kém, được gán cho xác suất chấp nhận bằng 0 và không có được xử lý

trong tiêu chuẩn kiểm tra Metropolis, ví dụ  a:   * ( a  c)  0

D D P K W

*

i K

i N

N K W

K

w ai

ai w





(3.19)