Khảo sát dao động và hiện tượng mất ổn định của tấm mindlin reissner sử dụng phần tử mitc 4

bề rộng tải tác dụng c và bề dài tấm a sẽ được lần lượt giới thiệu trong các thí dụ số giúp chúng ta hiểu rõ ràng hơn về dao động và ổn định của tấm chữ nhật cũng như khả năng ứng dụng c

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS.TS CHU QUỐC THẮNG

Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS.TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN

Cán bộ chấm nhận xét 2: PGS.TS NGUYỄN HOÀI SƠN

Luận văn thạc sĩ này được bảo vệ tại

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM, ngày 28 tháng 8 năm 2008

Tp.HCM, ngày 16 tháng 6 năm 2008

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: Nguyễn Thái Bình Phái: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 03/7/1982 Nơi sinh: Tp.HCM

Chuyên ngành: Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp MSHV: 02105487

I – TÊN ĐỀ TÀI: KHẢO SÁT DAO ĐỘNG VÀ HIỆN TƯỢNG MẤT ỔN ĐỊNH

CỦA TẤM MINDLIN-REISSNER SỬ DỤNG PHẦN TỬ MITC-4

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

Sử dụng phần tử tương thích MITC-4 (MITC=Mixed Interpolation of Tensorial Components) bốn nút của Bathe – Dvorkin trong phân tích:

1 Dao động tự do của kết cấu tấm.

2 Ổn định dưới tác dụng của lực trong mặt phẳng của kết cấu tấm.

theo lý thuyết tấm Reissner-Mindlin.

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 16/6/2008

V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS CHU QUỐC THẮNG

LỜI CẢM ƠN

Tôi chân thành bày tỏ lòng biết ơn của mình đến Thầy hướng dẫn PGS.TS.Chu Quốc Thắng, người đã khuyên bảo tôi rất nhiều về cách nhận định đúng đắn trong những vấn đề nghiên cứu của đề tài đến sự hướng dẫn tận tình, những lời khuyên quý báu, những phương pháp nghiên cứu hiệu quả và luôn động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện cho đến khi đạt được kết quả cuối cùng.

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến TS.Nguyễn Xuân Hùng, người đã đưa

ra những gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài, người đã cho tôi những lời khuyên quý báu, nguồn tài liệu giá trị trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.

Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Bách khoa Tp HCM, Khoa Đào tạo Sau Đại học và các thầy cô quản lý chương trình đào tạo Sau Đại học, các thầy cô trực tiếp tham gia giảng dạy đã truyền đạt những kiến thức và phương pháp học tập, nghiên cứu mới.

Tôi chân thành cảm ơn đến các đồng nghiệp trong Ban QLDA NCĐT Tp.HCM đã tạo điều kiện cho tôi rất nhiều trong thời gian thực hiện luận văn này; các bạn bè trong khoá 2005 đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian hoàn thành luận văn.

Tôi chân thành cám ơn đến các tác giả đã có rất nhiều cống hiến trong việc nghiên cứu và viết nhiều bài báo khoa học, nhiều sách tham khảo có giá trị, đó chính là sự hỗ trợ rất nhiều về mặt kiến thức để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Và cuối cùng tôi muốn gởi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, cha mẹ, các chị đã động viên, giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt thời gian thực hiện luận văn.

Tp.Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2008

Nguyễn Thái Bình

bề rộng tải tác dụng c và bề dài tấm a sẽ được lần lượt giới thiệu trong các thí dụ số giúp chúng ta hiểu rõ ràng hơn về dao động và ổn định của tấm chữ nhật cũng như khả năng ứng dụng của phần tử MITC4.

Các đoạn chương trình phần tử hữu hạn sử dụng ngôn ngữ Matlab sẽ được xây dựng và tính toán trong các thí dụ số Kết quả được tác giả kiểm chứng bằng phần mềm Ansys 5.4 và so sánh với các nghiên cứu đã được công bố trước đây.

MỤC LỤC

PHỤ LỤC I: CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 7.2.0 1

Phân tích dao động tự do ngoài mặt phẳng tấm 1

Bài toán 1 : Ảnh hưởng của điều kiện biên lên tần số dao động tự do của tấm chịu uốn theo lý thuyết tấm Reissner-Mindlin 1

Thí dụ 1 1

Thí dụ 2 11

Bài toán 2 : Ảnh hưởng giữa tỷ lệ các cạnh lên tần số dao động tự do của tấm chịu uốn theo lý thuyết tấm Reissner-Mindlin 21

Thí dụ 3 21

Thí dụ 4 31

Phân tích ổn định tấm Reissner-Mindlin 41

1 Ổn định chịu lực tác dụng trong mặt phẳng theo một phương 41

2 Ổn định tấm chịu lực tác dụng trong mặt phẳng theo hai phương 49

3 Ổn định tấm chịu lực cắt tác dụng trên 4 cạnh (hình 3.10.c) 57

4 Ổn định tấm chịu lực tập trung tại trung điểm 2 cạnh đối diện 65

5 Ổn định tấm chịu lực tác dụng trên bề rộng c tại vị trí đầu cạnh 72

6 Ổn định tấm chịu lực tác dụng trên bề rộng c tại vị trí giữa cạnh 80

PHỤ LỤC II: LỆNH TRONG ANSYS 5.4 88

Phân tích dao động tự do ngoài mặt phẳng tấm 88

Phân tích ổn định tấm Reissner-Mindlin 90

DANH MỤC HÌNH

1.1 Sự mất ổn định của kết cấu trong quá trình thi công 3

1.2 Sự mất ổn định của Silo rỗng 3

1.3 Tường chịu lực bằng thép trong kết cấu nhà cao tầng 4

1.4 Sự rẽ nhánh tại điểm A Kết cấu tấm mất ổn định có thể có độ võng w dương hoặc âm 11

1.5 Sơ đồ diễn tả sự “rẽ nhánh” tại ví trí cân bằng 12

2.1 Góc xoay của các pháp tuyến xung quanh trục y và trục x có kể tới cả biến dạng trượt trung bình trong lý thuyết Mindlin/Reissner 18

2.2 Phần tử tấm ANS 4 nút – Điểm nội suy và hàm dạng 32

2.3 Quy ước sử dụng trong phần tử tấm 4 nút chịu uốn 33

2.4 Quy ước sử dụng trong phần tử tấm 4 nút chịu uốn 34

2.5 Phần tử tấm tứ giác 36

2.6 Phần tử Shell181 – 4 nút, 12 bậc tự do 44

3.1 Điều kiện biên của bài toán 46

3.2 Các mode dao động đầu tiên của tấm bốn cạnh tựa đơn 47-52 3.3 Tần số dao động tự do đầu tiên của tấm vuông, tựa đơn 4 cạnh với tỷ lệ h/a thay đổi 55

3.4 Biểu đồ so sánh sai số của tần số dao động tự do giữa các phương pháp cho tấm 4 biên tựa đơn 57

3.5 Biểu đồ so sánh sai số của tần số dao động tự do giữa các phương pháp cho tấm 4 biên ngàm 58

3.6 Ảnh hưởng của tỷ lệ giữa hai cạnh đối với tần số dao động tự do của tấm tựa đơn 4 cạnh 62

3.7 Ảnh hưởng của tỷ lệ giữa hai cạnh đối với tần số dao động tự do của tấm ngàm 4 cạnh 62

3.8 Biểu đồ thể hiện sự ảnh hưởng của tỷ lệ giữa hai cạnh đến tần số dao động tự do của tấm Reissner- Mindlin – tựa đơn bốn cạnh, sử dụng phần tử MITC4 66

3.9 Biểu đồ thể hiện sự ảnh hưởng của tỷ lệ giữa hai cạnh đến tần số dao động tự do của tấm Reissner- Mindlin – ngàm bốn cạnh, sử dụng phần tử MITC4 66

3.10 Các trường hợp tải trọng tác dụng trong mặt phẳng tấm 68

3.11 Biểu đồ thể hiện sự hội tụ của hệ số k 70

3.12 Biểu đồ thể hiện sự ảnh hưởng cr của vào tỉ số a/b 75

3.13 Biểu đồ biểu diễn mối quan hệ của hệ số lực tới hạn vào tỉ số c/a sử dụng phần tử MITC4 76

3.14 Biểu đồ biểu diễn mối quan hệ của hệ số lực tới hạn vào tỉ số c/a trong

nghiên cứu của P J Deolasi & P K Datta (1995) và trong luận văn của Phạm Mỹ (2006) 77 3.15 Dạng mất ổn định đầu tiên của tấm chịu tải phân bố đều theo một

phương, biên tựa đơn 4 cạnh 79 3.16 Dạng mất ổn định đầu tiên của tấm chịu tải phân bố đều theo hai

phương, biên tựa đơn 4 cạnh 79 3.17 Dạng mất ổn định đầu tiên của tấm chịu lực cắt, biên tựa đơn 4 cạnh 80 3.18 Dạng mất ổn định đầu tiên của tấm chịu lực nén tập trung tại trung

điểm hai cạnh đối diện, biên tựa đơn 4 cạnh 80 3.19 Dạng mất ổn định đầu tiên của tấm chịu lực nén phân bố đều trên bề

rộng c tại đầu cạnh, biên tựa đơn 4 cạnh 81 3.20 Dạng mất ổn định đầu tiên của tấm chịu lực nén phân bố đều trên bề

rộng c tại điểm giữa tấm, biên tựa đơn 4 cạnh 81

DANH MỤC BẢNG BIỂU

3.1 Tần số dao động tự do  1

    của tấm tựa đơn 4 cạnh

(sử dụng phần tử MITC4) với các lưới chia phần tử khác nhau 46

3.2 Tần số dao động tự do  1 2 4/ 4 i ha D     của tấm tựa đơn 4 cạnh (sử dụng phần tử MITC4) 52

3.3 Tần số dao động tự do  1 2 4/ 4 i ha D     của tấm ngàm 4 cạnh (sử dụng phần tử MITC4) 53

3.4 Bảng so sánh tần số dao động tự do không thứ nguyên  54

3.5 Tần số dao động tự do đầu tiên 1 với sự thay đổi của tỷ lệ h/a (tấm tựa đơn 4 cạnh) 54

3.6 Tần số vòng của tấm trong 6 mode dao động đầu tiên của tấm tựa đơn 4 cạnh (sử dụng phần tử MITC4) 56

3.7 Sai số (%) của các phương pháp so với lời giải chính xác 56

3.8 Tần số vòng của tấm trong 6 mode dao động đầu tiên của tấm ngàm 4 cạnh (sử dụng phần tử MITC4) 57

3.9 Sai số (%) của các phương pháp so với lời giải chính xác 58

3.10 Tần số dao động tự do của tấm chữ nhật 4 cạnh tựa đơn, a 1 b  60

3.11 Tần số dao động tự do của tấm chữ nhật 4 cạnh tựa đơn, a 1.351 b  60

3.12 Tần số dao động tự do của tấm chữ nhật 4 cạnh tựa đơn, a 1.734 b  60

3.13 Tần số dao động tự do của tấm chữ nhật 4 cạnh tựa đơn, a 2 b  60

3.14 Tần số dao động tự do của tấm chữ nhật 4 cạnh ngàm, a 1 b  61

3.15 Tần số dao động tự do của tấm chữ nhật 4 cạnh ngàm, a 1.351 b  61

3.16 Tần số dao động tự do của tấm chữ nhật 4 cạnh ngàm, a 1.734 b  61

3.17 Tần số dao động tự do của tấm chữ nhật 4 cạnh ngàm, a 2 b  61

3.18 Tần số dao động tự do của tấm tựa đơn bốn cạnh (k=1; 1.2; 1.4) 64

3.19 Tần số dao động tự do của tấm tựa đơn bốn cạnh (k=1.6; 1.8; 2) 64

3.20 Tần số dao động tự do của tấm tựa đơn bốn cạnh (k=3; 4; 5) 64

3.21 Tần số dao động tự do của tấm ngàm bốn cạnh (k=1; 1.2; 1.4) 65

3.22 Tần số dao động tự do của tấm ngàm bốn cạnh (k=1.6; 1.8; 2) 65

3.23 Tần số dao động tự do của tấm ngàm bốn cạnh (k=3; 4; 5) 65

3.24 Sự hội tụ hệ số lực tới hạn k cho tấm bốn biên tựa đơn (b=10.0m, h=0.06m) chịu tác dụng lực nén phân bố đều theo một phương 69

3.25 Bảng so sánh hệ số lực tới hạn P bcr2 2 k D   theo tỉ số a/b cho tấm bốn cạnh tựa đơn (b=10.0m, h=0.06m) chịu lực nén phân bố đều theo một phương 70

lực nén trong mặt phẳng theo cả hai phương 72 3.28 Hệ số lực tới hạn cho tấm hình vuông (a=b=10.0m, h=0.06m) chịu

lực cắt trong mặt phẳng trên cả bốn cạnh 73 3.29 So sánh hệ số lực tới hạn không thứ nguyên của tấm chịu lực tập

trung tại trung điểm hai cạnh đối diện 74 3.30 Hệ số lực tới hạn không thứ nguyên cr sử dụng phần tử MITC4 76 3.31 Bảng so sánh hệ số lực không thứ nguyên cho tấm Mindlin chịu lực

phân bố đều trên bề rộng c tại vị trí giữa tấm với các điều kiện biên khác nhau, a=b=0.5m; h/a=0.01; =0.3; E=2e11N/m2 78

CHƯƠNG 1

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Tính cấp thiết, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án

Các nguồn dao động là một vấn đề đáng quan tâm trong một công trình văn phòng hoặc nhà ở, điển hình như: động cơ điện, máy móc hoạt động, xe cộ qua lại,

và các kiểu tải trọng va chạm khác như hoạt động khiêu vũ, hoạt động thể thao…

Xu hướng hiện thời trong việc thiết kế hệ thống khung sàn của nhà cao tầng là để vươn nhịp lớn thì sử dụng các hệ thống kết cấu với trọng lượng tối thiểu Với việc

sử dụng các loại vật liệu nhẹ như hiện nay thì việc giảm chiều dày sàn sẽ dẫn đến việc giảm khối lượng và độ cứng của hệ thống kết cấu Chính vì vậy, nó sẽ làm giảm tần số vòng xuống và làm tăng chu kỳ dao động của kết cấu lên, đôi lúc có thể tiếp cận với chu kỳ của nguồn gây ra dao động Hiện tượng cộng hưởng có thể xảy

ra và gây ra ứng suất và biên độ dao động khá lớn [8][19][20].

Hệ thống sàn không những phải thỏa mãn yêu cầu về cường độ mà còn phải đáp ứng về yêu cầu độ cứng Chuyển vị và độ rung lớn có thể gây ra chướng tai gai mắt vì một số lý do sau:

- Chuyển vị và dao động vượt quá mức cho phép khiến người sử dụng có ấn tượng xấu rằng công trình không cứng, mặc dù công trình vẫn còn làm việc bình thường Ví dụ như: đồ sứ kêu lách cách khi mỗi lần có người đi qua, các tấm gương

trong phòng có thể lắc lư, ngoài ra dao động có thể gây ra sự phá hủy kết cấu do các liên kết ở nút khung thép bị long ra, phá hoại giòn của các đường hàn…

- Chuyển vị vượt quá mức có thể đưa đến độ cong hoặc sự không thẳng hàng

có thể nhân thấy bằng mắt thường.

- Chuyển vị lớn có thể đưa đến sự đứt gãy của các yếu tố kiến trúc như vữa hoặc khối xây…

Hệ thống sàn của công trình là một hệ thống động học phức tạp, thường sở hữu vài tần số riêng gần nhau góp phần đáng kể vào đáp ứng động học của sàn Khi nghiên cứu về dao động ở một trường cơ sở, người ta nhận thấy rằng sàn có sáu tần

số riêng và các dạng dao động tương ứng góp phần đáng kể vào đáp ứng tại vị trí đo lường Các tần số này dao động trong phạm vi từ 5 đến 15Hz Sàn này được xem là điển hình cho một sàn công trình khung thép nơi mà tần số cơ bản được tìm thấy phổ biến trong phạm vi từ 5 đến 8Hz Điều này thật không may bởi các nhà nghiên cứu đã chỉ ra rằng con người hầu như rất nhạy cảm với dao động trong phạm vi này, một hiện tượng được giải thích bằng việc nhiều cơ quan chính trong cơ thể con người cộng hưởng trong phạm vi tần số này [8][19][20].

Webster và Vaicaitis đã làm thí nghiệm về dao động của sàn và thấy rằng: sàn thí nghiệm có tần số riêng cơ bản là 2.4Hz, cộng hưởng với tiếng đập của nhiều bài hát khiêu vũ phổ biến Đáp ứng cộng hưởng này đã sản sinh ra các mức độ gia tốc

và chuyển vị lớn nhất bằng 7% của gia tốc trọng trường (g=9.81 m/s2) và 0.13in=0.33cm Các mức độ như vậy thực tế đã gây ra các làn sóng óc ách trong các

ly nước và tiếng nảy đáng lưu ý của các đèn treo trên trần Người sử dụng khi thấy các mức độ dao động này là hoàn toàn chướng tai gai mắt [8][20].

Một hiện tượng đặc biệt cần xem xét cẩn thận và phải tuyệt đối tránh đó là hiện tượng cộng hưởng (resonance) Cộng hưởng xảy ra khi một trong các tần số riêng

cơ bản của hệ kết cấu trùng với tần số của nguồn kích thích Khi đó biên độ dao động của hệ sẽ được khuyếch đại rất lớn và có thể gây nguy hiểm cho công trình Bên cạnh đó, việc tính toán ổn định kết cấu cũng không kém phần quan trọng trong việc thiết kế công trình xây dựng Sau đây là một số hình ảnh mất ổn định của kết cấu cho chúng ta hiểu rõ hơn về tầm quan trọng của vấn đề.

Hình 1.1 Sự mất ổn định của kết cấu trong quá trình thi công

Hình 1.2 Sự mất ổn định của Silo rỗng

Hiện nay, kết cấu tấm được sử dụng nhiều trong kết cấu công trình, hình 1.3 cho chúng ta thấy một ứng dụng của kết cấu tấm bằng thép trong việc làm tường chịu lực cho công trình Nippon Steel Building 20 tầng tại Tokyo.

Hình 1.3 Tường chịu lực bằng thép trong kết cấu nhà cao tầng

Vì vậy việc phân tích đáp ứng động học của hệ thống sàn trong công trình xây dựng cũng như ổn định của kết cấu tấm, vỏ có ý nghĩa thực tiễn lớn, cho dù đây là lĩnh vực phức tạp về mặt toán học lẫn cơ học.

1.2 Lịch sử phát triển của bài toán dao động

Vào năm 1766 Euler đã công bố các phương trình cho màng hình chữ nhật tuy

không đúng cho trường hợp tổng quát nhưng suy giảm về phương trình đúng trong

trường hợp kéo đều Euler đã cho thấy màng hình chữ nhật là sự chồng chất của nhiều dây giao nhau Vào năm 1828, Poisson đã đưa ra phương trình dao động của

màng hình tròn và đã giải nó trong trường hợp đặc biệt của dao động đối xứng trục

Một năm sau Pagani đã cung cấp lời giải cho trường hợp không đối xứng trục Vào năm 1852 Lamé (1795-1870) xuất bản các bài báo công bố tóm tắt về công trình của

màng hình tròn, hình chữ nhật và màng hình tam giác [7][21].

Các công trình về phân tích dao động của tấm cũng được tiến hành song song

Bị ảnh hưởng bởi sự thành công của Euler trong việc tìm ra phương trình dao động của màng bằng cách xem xét sự chồng chất các dây, James Bernoulli cháu trai của

Daniel Bernoulli đã nỗ lực để tìm ra phương trình dao động của tấm bằng cách xem

xét sự chồng chất của các dầm giao nhau tuy nhiên phương trình cho ra kết quả sai.

Năm 1815 Sophie Germaine (1776-1831) đã công bố một dạng hầu như đúng về

phương trình dao động của tấm, nhưng độ cứng chống uốn và hằng số khối lượng riêng chưa được định nghĩa cũng như điều kiện biên cũng chưa được phát biểu đúng nên còn một vài sai sót, đây cũng chính là nguyên nhân mà phương trình dao động ngày nay không mang tên bà, mặt dù cách tiếp cận bài toán dao động của bà rất tuyệt vời Do đó, chúng ta tìm thấy phương trình dao động tấm được phát biểu đúng

đầu tiên ở dạng hiện đại bởi Lagrange vào năm 1811 [7][21].

1.3 Lịch sử phát triển của bài toán ổn định

Somerset và Evan-Iwanowski là người tiên phong trong việc nghiên cứu về ổn

định của kết cấu tấm vào năm 1967 Tuy nhiên, việc ứng dụng phương pháp phần tử

hữu hạn vào phân tích ổn định tấm chữ nhật được thực hiện vào năm 1971 (Hutt và Salam, 1971) [22] Bài toán dao động và ổn định của tấm chữ nhật dưới tác dụng của lực tập trung trong mặt phẳng tấm được nghiên cứu bởi Leissa và Ayoub vào năm 1988 [23] Năm 1995, Doelasi và Datta đã khảo sát bài toán ổn định của tấm

chữ nhật chịu lực phân bố bề rộng c trên một phần cạnh tấm [6]… Năm 2006, một

lần nữa Phạm Mỹ đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, với phần tử đẳng tham

số 8 nút để khảo sát các bài toán dao động và ổn định của tấm dưới các trường hợp lực tác dụng trong mặt phẳng như: lực phân bố tác dụng theo một phương, lực phân

bố tác dụng theo hai phương, lực tập trung giữa cạnh tấm, lực phân bố trên một phần cạnh tấm ở vị trí giữa cạnh tấm và vị trí đầu cạnh tấm [5]; Tuyến đã sữ dụng phần tử HCT và LCCT-12 trong phân tích dao động tự do của kết cấu tấm và vỏ mỏng [7].

1.4 Lịch sử phát triển của bài toán tấm chịu uốn

Lịch sử của các nỗ lực để triển khai các mô hình giải tích bài toán tấm chịu uốn

được đánh dấu vào đầu những năm 1800 bằng những công trình của Sophie

Germaine (1776-1831), Lagrange (1736-1813) và Poisson (1781-1840) Những thành tựu này đưa đến sự ra đời của lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff với

các biến dạng trượt xz và yz được bỏ qua Poisson vào năm 1828 đã đánh dấu hỏi

về các điều kiện biên và cho rằng cần ba điều kiện biên trên mỗi biên tự do Độ cứng chống uốn chính xác được tìm thấy đầu tiên bởi Poisson năm 1829 Các điều

kiện biên tương thích thì không được triển khai mãi cho đến năm 1850 do Kirchhoff (1824-1887) đề ra, ông cũng đã tìm ra lời giải chính xác đối với tấm hình tròn

Kirchhoff đã đưa ra lý do là hai điều kiện biên thích hợp hơn ba và đã định nghĩa một lực cắt tương đương đặc biệt để giảm số lực trên biên tự do từ ba xuống hai

Sau đó vào năm 1883 William Thomson (1824-1907) và Peter Guthrie Tait 1901) đã bổ sung một biểu thức liên hệ năng lượng của lực cắt tương đương với sự

(1831-giải thích rõ ràng về vật lý [8][12][13][24].

Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất đã

được sử dụng rộng rãi để phân tích tấm Do các ứng dụng rộng rãi của nó, ta có thể tìm thấy các lời giải bài toán tấm chịu uốn với các hình dạng, điều kiện biên và tải trọng khác nhau trong nhiều tài liệu của Timoshenko và Woinowsky Krieger (1959)

và Szilard (1974) Tính đơn giản của lý thuyết tấm Kirchhoff là ở chỗ giả thuyết rằng pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng trung bình vẵn thẳng và vuông góc trước

và sau biến dạng Tuy nhiên giả thuyết này không kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt Mặc dù việc bỏ qua biến dạng trượt thì tốt đối với tấm mỏng, giả thuyết này

sẽ dẫn đến lời giải bị sai đối với tấm dày khi tỉ lệ giữa chiều dày với cạnh ngắn của tấm vượt 1/20 [8].

Năm 1945 E Reissner đã giới thiệu một lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách

kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt trong tấm đàn hồi chịu uốn Lý thuyết

Reissner không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt  bởi vì nó được thành lập bằng cách giả định sự phân bố ứng suất tiếp theo quy luật Parabol qua chiều dày của tấm Sau

đó vào năm 1951 R D Mindlin đã đưa ra lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của quán tính quay và biến dạng trượt trong dao động uốn của tấm đàn hồi đẳng hướng

hoàn toàn tương thích với lý thuyết tấm Reissner Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu các góc xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong suốt quá trình biến dạng Tuy nhiên, với sự nới lỏng về giả thuyết pháp tuyến này đã

vi phạm yêu cầu tĩnh học rằng ứng suất tiếp phải bằng không tại biên tự do của tấm

Để bù đắp sai sót này, người ta đã đưa ra hệ số hiệu chỉnh cắt  để hiệu chỉnh lực cắt Lý thuyết tấm có kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang được gọi là lý thuyết tấm Mindlin – Reissner Lý thuyết này đã mở rộng lãnh vực ứng dụng lý thuyết tấm vào trường hợp tấm dày và tấm trung bình [8][12][24][25].

Vào năm 1956 M J Turner, R W Clough, H C Martin và L J Topp đã giới thiệu phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) cho phép giải những bài toán tấm và vỏ phức tạp J H Argyris và O C Zienkiewicz đã có nhiều đóng góp đáng kể vào lĩnh vực này Xu hướng hiện hành trong việc triển khai các lý thuyết tấm được đặc trưng bằng độ tin cậy lớn vào hệ thống máy tính tốc độ lớn hiện nay và bằng việc giới thiệu các lý thuyết tấm chính xác hơn [8][26][27][28].

1.5 Các phương pháp tính toán tần số dao động riêng của tấm

Nhìn chung có hai nhóm phương pháp chính để giải bài toán dao động tự do của kết cấu tấm đẳng hướng:

1.5.1 Nhóm phương pháp giải tích (phương pháp chính xác)

Phương pháp này sẽ cho nghiệm chính xác của tần số riêng và các dạng dao động của tấm dựa trên nền tảng lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff.

Kirchhoff là người đầu tiên đưa ra lời giải dao động riêng của tấm chữ nhật tựa trên bốn cạnh biên và tấm tròn ngàm trên biên vào năm 1850 Sau đó từ 1955 đến

1965 lần lượt các nhà khoa học như W Nowachi, Z Kaczkowski, S Tomotika, S Iguchi… đã tìm ra được lời giải chính xác của dao động riêng của tấm đơn hình chữ

nhật với các điều kiện biên khác nhau như: tấm bốn biên ngàm, tấm ba biên ngàm

một biên tựa, tấm ba biên tựa một biên ngàm… A Havers, Z Kaczkowski đã đưa ra

lời giải chính xác cho dao động riêng của tấm tam giác vuông cân và tam giác đều

có các biên tựa hay biên ngàm W Nowachki và M Kurata là các tác giả đầu tiên sử

dụng phương pháp chính xác để giải bài toán dao động riêng của tấm chữ nhật liên tục Tấm có sườn là mô hình phù hợp với thực tế, vì vậy bài toán dao động riêng của loại tấm này đã được nhiều tác giả quan tâm tới trong thời kỳ này Người đầu

tiên giải bằng phương pháp gần đúng là Locksin, kế đến là Philipov và Nowachi giải bằng phương pháp chính xác cho tấm chữ nhật Sau đó Ripertz tìm lời giải cho tấm

tam giác bằng phương pháp chính xác [8][21][29][30].

1.5.2 Nhóm phương pháp gần đúng

Lời giải chính xác đối với bài toán dao động riêng của tấm là rất quý giá vì nó

là tiêu chuẩn để đo lường và đánh giá độ chính xác của các phương pháp gần đúng Tuy nhiên trong một số trường hợp đặc biệt thì việc tìm ra nghiệm chính xác của bài toán là rất khó khăn và bế tắc Vì vậy các phương pháp gần đúng ra đời như:

phương pháp Rayleigh, phương pháp Ritz, phương pháp Galerkin, phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp phần tử hữu hạn [7][8][21][29].

Phương pháp Rayleigh do J W S Rayleigh tìm ra vào năm 1877 và phương pháp Ritz do W Ritz tìm ra vào năm 1908 là những phương pháp rất hiệu quả và

đơn giản để tìm ra tần số cơ bản tương đối nhanh mà không cần chú ý tới các tần số cao hơn trong những trường hợp phức tạp như dao động tấm có sườn, tấm sàn ô cờ… Phương pháp Rayleigh dựa trên cơ sở nguyên lý bảo toàn cơ năng của hệ dao động, tức là T + V = const (T là động năng và V là thế năng của tấm dao động) để suy ra công thức tính tần số cơ bản của tấm Phương pháp này có nhược điểm là dạng thực dao động phải được giả định chính xác Phương pháp Ritz khắc phục được nhược điểm trên bằng cách sau khi chọn được hàm chuyển vị

  , i i( , )

W x y   aW x y ta sẽ lập được mối quan hệ   Vmax Tmax /   ai 0  i  1, 2, , n  với Vmax là thế năng và Tmax là động năng của tấm Từ biểu thức trên ta nhận được

hệ phương trình tuyến tính thuần nhất đối với các ẩn số ai rồi cho định thức của hệ phương trình này bằng không ta sẽ nhận được phương trình tần số Nhưng vấn đề

cơ bản lúc này là phải có hàm chuyển vị w(x,y) thích hợp và thỏa mãn các điều kiện biên hình học [7][8][29].

Phương pháp Galerkin cũng tương tự như phương pháp Ritz ở chỗ ta chọn hàm chuyển vị W x y   ,   aW x yi i( , ) với mỗi hàm W(x,y) phải thỏa mãn các điều kiện biên hình học và động học rồi sử dụng tính chất trực giao của các hàm chuyển vị Wi

này từ đó nhận được phương trình tuyến tính thuần nhất đối với các hệ số ai và từ đó

ta cũng nhận được phương trình tần số [7][8][29].

Phương pháp sai phân hữu hạn thay việc giải phương trình vi phân bằng cách giải hệ phương trình đại số Phương trình vi phân biên độ dao động có dạng như sau:

 



Giả sử hàm w được xác định trong miền G giới hạn bởi đường cong khép kín

L Bằng cách kẻ đường thẳng song song với hai phương cho trước sẽ tạo thành một lưới phủ miền G này Các loại lưới thường dùng là lưới hình vuông và hình chữ nhật Sau đó ta thành lập phương trình sai phân Số phương trình sai phân phụ thuộc vào số mắt lưới đã lập Cho định thức của hệ phương trình này bằng không ta sẽ nhận được phương trình tần số Để có kết quả tần số chính xác ta cần chia tấm ra càng nhỏ tức là số mắt lưới càng dày [7][8][29].

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số tương đối phổ biến hiện nay, bởi vì một số ưu điểm như sau [8]:

- Thuận tiện cho việc lập trình.

- Dễ dàng đạt được độ chính xác cao bằng cách chia nhỏ lưới phần tử.

- Giải được các bài toán về nội lực cũng như dao động của tấm, vỏ với nhiều hình dáng khác nhau (hình chữ nhật, hình tròn, hình tam giác, tứ giác…).

- Dùng được cho cả hai lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff và lý thuyết tấm dày của Mindlin – Reissner.

Sự đóng góp chính đối với việc triển khai các phương pháp ma trận để phân

tích kết cấu được thực hiện bởi J H Argyris và S Kelsey Năm 1960 họ đã trình

bày việc thành lập công thức tính ma trận cho các phương pháp phân tích lực và chuyển vị sử dụng các định lý năng lượng của cơ học kết cấu Chính các công trình

của M J Turner, R W Clough, H C Martin và L J Topp đã dẫn đến sự khám phá

ra phương pháp phần tử hữu hạn vào năm 1956 R W Clough trong công trình sau

đó của ông đã công bố sự giải thích vật lý về phương pháp và có lẽ ông là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ phần tử hữu hạn (finite element) vào năm 1960 Sau 1960 có rất nhiều nhà nghiên cứu về phương pháp phần tử hữu hạn và đã có những cống

hiến to lớn cho phương pháp này, trong số đó có thể kể tới như: O C Zienkiewicz,

R L Taylor [28]; J N Reddy [27]; S S Rao [14]; J T Hughes (1979); K J Bathe

[3]… Từ đó, những tiến bộ to lớn đã được thực hiện trong vòng 30 năm qua cả trong nền tảng toán học và sự tổng quát hóa của phương pháp để giải các bài toán trong các lĩnh vực kỹ thuật khác nhau Trong cùng thời kỳ, do sự phát triển mau chóng trong kỹ thuật máy tính, nhiều chương trình lớn đã được triển khai để phân tích phần tử hữu hạn khiến cho phương pháp này có thể sử dụng rộng rãi hơn trong thực tiễn [7][8].

1.6 Các phương pháp tính toán ổn định của tấm chữ nhật

Nhìn chung cũng có hai nhóm phương pháp chính để giải bài toán ổn định của kết cấu tấm đẳng hướng:

1.6.1 Phương pháp giải tích (phương pháp chính xác)

Tính toán lực tới hạn dựa trên lý thuyết tấm cổ điển của Kirchhoff cho vật liệu đàn hồi thông qua việc giải phương trình vi phân tấm hoặc thông qua phương pháp năng lượng Phương trình vi phân diễn tả trạng thái cân bằng dưới biến dạng nhỏ của tấm khi chịu lực trong mặt phẳng được xây dựng bởi Saint-Venant vào năm

gì cho đến khi tấm đạt đến trạng thái giới hạn chịu nén trước khi mất ổn định Tại vị trí này, chuyển vị có thể hoặc âm, hoặc dương trong mặt phẳng của tấm (hình 1.4)

w



cr

A

Hình 1.4 Sự rẽ nhánh tại điểm A Kết cấu tấm mất ổn định có thể có độ võng w

dương hoặc âm

Năm 1891 Bryan đã phát triển biểu thức năng lượng cho tấm chịu uốn [18] Cách tiếp cận của phương pháp này xuất phát từ việc nghiên cứu năng lượng của tấm tại điểm rẽ nhánh (Hình 1.5) Phương pháp năng lượng được xây dựng trên sự tương quan giữa năng lượng uốn bên trong và cơng ngoại lực bên ngồi tác dụng lên mặt trung bình của tấm Năng lượng biến dạng của tấm được diễn tả bằng biểu thức sau:

[18], những điều kiện sau liên quan đến ổn định của tấm tại điểm “rẽ nhánh” như

vị trí rẽ nhánh

chuyển vị

Hình 1.5 Sơ đồ diễn tả sự “rẽ nhánh” tại ví trí cân bằng

+ Nếu U T  , trạng thái cân bằng của tấm là ổn định (hướng thứ nhất).

+ Nếu U T  , tấm ở trạng thái mất ổn định (hướng thứ hai).

Do đó, lực tới hạn của tấm đạt được khi

1.6.2 Nhóm phương pháp gần đúng: sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.

1.7 Bài toán khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên, độ dày, tỉ lệ các cạnh đến đặc trưng động lực của tấm chữ nhật

Bài toán khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên, độ dày, tỉ lệ các cạnh đến đặc trưng động lực học của tấm được nhiều tác giả quan tâm trong thời gian gần đây.

T Kant và E Hinton (1983) đã nghiên cứu bài toán phân tích tấm dày của lý thuyết Mindlin bằng phương pháp phân đoạn [8][31] Tấm được khảo sát có hình chữ nhật với hai cạnh biên đối diện tựa đơn và một mức độ đa dạng các điều kiện biên bao gồm các kiểu không thuần nhất và hỗn hợp dọc theo hai cạnh biên đối diện còn lại Các kết quả bằng số được trình bày trong nhiều ví dụ và chỉ ra sự khác biệt

so với kết quả của lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff.

G Z Voyiajis, W K Chi và M H Baluch (1985) đã nghiên cứu ảnh hưởng của biến dạng trượt và biến dạng pháp tuyến lên bài toán uốn của tấm dày [8][32]

Hệ thống các phương trình vi phân uốn cấp sáu được giải cho tấm kiểu Lévy với sự

đa dạng của các điều kiện biên theo hướng trực giao với hướng tựa đơn Các kết quả

được lập thành bảng cho chuyển vị w và moment uốn Mx, My có so sánh với kết quả của lý thuyết tấm mỏng của Kirchhoff.

N F Grace và J E Kennedy (1985) đã nghiên cứu đáp ứng động học của tấm trực hướng hình chữ nhật với các điều kiện biên tựa đơn, ngàm chặt và biên tự do bằng cách sử dụng lý thuyết tấm trực hướng và phương pháp giải tích [8][33] Ảnh hưởng của tỉ lệ các độ cứng Dx, Dy, Dxy và Gxy lên các tần số dao động riêng của tấm trực hướng được khảo sát và so sánh với kết quả từ lý thuyết dầm.

Gần đây, G T Lim và C M Wang (1999) đã triển khai các mối quan hệ về dao động, ổn định và bài toán tấm chịu uốn giữa lời giải của lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff và các lý thuyết tấm dày khác (lý thuyết Mindlin – Reissner, lý thuyết bài toán tấm ba chiều…) [8][25] Khi xem xét các nghiên cứu về tấm chịu uốn, người ta

đã đạt được các quan hệ liên kết giữa lời giải uốn của các lý thuyết tấm cho các hình dạng tấm khác nhau như tấm hình tròn và hình vành khuyên (Wang và Lee, 1996; Wang, 1997; Reddy và Wang, 1997; Liu, 2000), tấm hình đa giác (Wang và Alwis, 1995), tấm chữ nhật (Wang, 1999) và tấm hình quạt (Wang và Lim, 2000) Những mối quan hệ này cho phép các nhà nghiên cứu suy diễn các kết quả của tấm dày từ lời giải của lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff đã có sẵn của tấm, qua đó tránh được yêu cầu phải giải các phương trình vi phân phức tạp của tấm dày.

1.8 Nhiệm vụ của luận văn

1.8.1 Giới thiệu chung

Như đã trình bày trong phần trước, có rất nhiều phương pháp để giải bài toán động lực học của kết cấu tấm đàn hồi đẳng hướng Tuy nhiên trong luận văn này tác giả sẽ sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải quyết những yêu cầu của bài toán dao động và ổn định của tấm.

Với bài toán cơ kết cấu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) để giải thì tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ, mà người ta có thể phân tích bài toán theo 3 loại mô hình sau:

1.8.2 Mục tiêu của luận văn

Luận văn này muốn giới thiệu việc ứng dụng phần tử tương thích MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) 4 nút (MITC4) vào bài toán dao động tự do và ổn định của tấm chịu uốn theo các giả thiết tấm Reissner- Mindlin MITC4 đã được sử dụng rộng rãi trong các phần mềm tính toán kết cấu và cấu trúc như ANSYS, ADINA, MSC.NASTRAN…vì sự dễ dàng lập trình và tính hiệu quả của nó Một số công việc sẽ được thực hiện trong luận văn bao gồm:

- Lập trình tính toán bằng PP PTHH để khảo sát một số vấn đề trong bài toán dao động tự do và ổn định của kết cấu tấm để hiểu rõ hơn bản chất của các hiện tượng trên như:

+ Khảo sát mức độ hội tụ của bài toán.

+ Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên đến tần số dao động riêng của kết cấu tấm.

+ Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên đến lực tới hạn của kết cấu tấm trong các trường hợp lực tác dụng tĩnh khác nhau trong mặt phẳng.

+ Khảo sát ảnh hưởng của tỉ lệ các cạnh và chiều dày trong bài toán dao động của tấm.

- Ngoài ra, tác giả sẽ lập bảng so sánh tần số riêng và lực tới hạn giữa các phương pháp khác nhau như:

+ Phương pháp giải tích: Dùng lý thuyết tấm Kirchhoff sẽ cho nghiệm chính xác.

+ Phương pháp gần đúng Rayleigh – Ritz: dùng lý thuyết tấm Kirchhoff (dùng trong một số trường hợp).

+ Sử dụng một trong những phần mềm kết cấu thông dụng Ansys 5.4 để phân tích và tính toán các đặc trưng động học của kết cấu tấm.

+ Hơn thế nữa, tác giả còn so sánh với một số kết quả đã được nghiên cứu trước đây.

- Từ các bảng kết quả, tác giả sẽ so sánh và đưa ra nhận xét.

1.9 Nội dung luận văn

Nội dung của luận văn gồm các phần chính như sau Phần giới thiệu tổng quan, đặt vấn đề sẽ được trình bày trong chương 1 Chương 2 giới thiệu các lý thuyết về kết cấu tấm, phương pháp phần tử hữu hạn, phần tử MITC4 và phương pháp giải các bài toán dao động tự do và ổn định của kết cấu tấm Trong chương 3, sẽ trình bày các thí dụ số, các kết quả sẽ được tác giả so sánh với các nghiên cứu đã được công bố trước đây Kết luận và đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài sẽ được trình bày trong chương 4, cũng là chương cuối cùng Các đoạn chương trình tính toán viết bằng ngôn ngữ lập trình Matlab, các câu lệnh trong phần mềm Ansys 5.4 để tính toán dao động và ổn định tấm sẽ được trình bày trong phần phụ lục của luận văn này.

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

PHẨN A: CƠ SỞ LÝ THUYẾT TẤM CHỊU UỐN

2.1 Giới thiệu

Theo bản chất của trạng thái ứng suất thì tấm có thể được phân làm ba loại sau [8]:

1 Tấm dày: là tấm mà trạng thái ứng suất ba trục được triển khai, được định nghĩa bởi bộ phương trình vi phần đầy đủ của lý thuyết đàn hồi ba chiều Tấm có tỉ lệ giữa chiều dày với kích thước cạnh ngắn nhất vượt 1/10 1

  thuộc về loại này.

2 Tấm mỏng có chuyển vị bé: là tấm có ứng suất màng rất nhỏ so với ứng suất uốn khi biến dạng do tải trọng ngang Loại này gồm các tấm có tỉ lệ giữa

chiều dày với kích thước cạnh ngắn nhất không vượt quá 1/10 1

10

n

h l



  và chuyển vị lớn nhất

Phạm vi nghiên cứu trong luận văn này giới hạn trong loại tấm mỏng có chuyển vị bé.

2.2 Lý thuyết tấm có kể tới biến dạng trượt của Mindlin hay tấm Mindlin

Reissner-Các giả thiết của lý thuyết tấm Reissner-Mindlin như sau [4]:

1 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn

là thẳng nhưng không nhất thiết là vuông góc với mặt phẳng trung hoà khi biến dạng.

2 Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung gian không bị kéo nén và là mặt trung hoà của tấm khi biến dạng.

3 Bỏ qua ứng suất pháp z.

Theo mô hình Reissner-Mindlin, các đoạn thẳng vuông góc mặt trung gian vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn là vuông góc với mặt trung gian nữa, và các góc vuông này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt trung bình gây ra bởi lực cặt Như vậy góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm hai phần, phần thứ nhất do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình, phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra (hình 2.1)

Hình 2.1: Góc xoay của các pháp tuyến xung quanh trục y và trục x có kể tới

cả biến dạng trượt trung bình trong lý thuyết Mindlin/Reissner.

Gọi x là biến dạng trượt trung bình đối với mặt cắt x = const, thì ta có góc xoay y như sau: y x

2.3 Giới thiệu chung

Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật; trong đó hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau Phương pháp

ra đời từ trực quan phân tích kết cấu, rồi được phát biểu một cách chặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng số nhưng được xấp xỉ trên mỗi phần tử.

Trong Phương pháp PTHH, miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi là phần tử Các phần tử này nối kết với nhau tại các điểm định trước trên biên phần tử, gọi là nút Trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cần tìm được lấy xấp

xỉ trong dạng của một hàm đơn giản được gọi là các hàm xấp xỉ Và các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (và có khi cả các giá trị của đạo hàm của nó) tại các điểm nút trên phần tử Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần

tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán.

Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói chung và bài toán tấm nói riêng, ta

có thể phân tích bài toán theo ba loại mô hình sau:

1 Mô hình tương thích: Ta xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm

xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử Các ẩn

số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng

toàn phần dừng, hay nguyên lý biến phân Lagrange.

2 Mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng

suất hay nội lực trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng hay nguyên lý

biến phân về ứng suất (nguyên lý Castigliano).

3 Mô hình hỗn hợp: coi các đại lượng chuyển vị, ứng suất là 2 yếu tố độc lập

Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên

cơ sở nguyên lý biến phân Reissner.

Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một hệ phương trình đại số vừa nhận được thì cũng có nghĩa là ta tìm được các xấp xỉ biểu diễn đại lượng cần tìm trong tất cả các phần tử Và từ đó cũng tìm được các đại lượng còn lại.

Trong 3 mô hình này thì mô hình tương thích được sử dụng rộng rãi hơn cả và trong luân văn này, tác giả sử dụng mô hình tương thích để nghiên cứu.

2.4 Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán tấm

2.4.1 Tấm chịu uốn theo lý thuyết tấm Mindlin

Theo lý thuyết tấm chịu uốn của Reissner – Mindlin [4], [12], [13], [14], [26], [27], [28] mỗi nút thuộc tấm sẽ bao gồm 3 bậc tự do:  ; x; y với:

           

1 0

0 1 2(1 )

- =5/6: hệ số điều chỉnh kể đến sự phân bố bậc 2 theo bề dày Các độ cong và độ xoắn biểu diễn theo các góc xoay như sau:

y x

3 2

y xy

xy

x x

y y

M

K

K M

K Et

xy t

x y

M M M Q Q

u T t

c

D D

Khi đó thế năng biến dạng của tấm:



Với  x yi, i là toạ độ của nút i (i=1, 2, 3, 4) trong hệ toạ độ tổng thể   x y ,

2.4.2.2 Ba đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển

vị nút tương ứng như sau:

4

1

i i i

2.4.2.7 Các thành phần độ cong biểu diễn qua các thành phần của vecto chuyển vị

- Ma trận tính lực cắt: sẽ được trình bày trong phần 2.5.4 sau.

2.4.2.10 Thế năng toàn phần của phần tử tấm đang xét

     

1 2

             

1 2

1 2

2.4.2.13 Ma trận khối lượng tương thích phần tử

N x B

N y N x N y

2.4.2.15 Tích phân số cho phần tử tứ giác [4], [14], [26], [27], [28]

Với phần tử đẳng tham số, các biểu thức tích phân xác định {Ke} và {Pe} là các tích phân xác định với các cận là 1 và -1, nhưng do chứa đa thức ở mẫu nên nói chung là không nhận được kết quả tích phân ở dạng tường minh Do vậy cần phải

sử dụng các phép tích phân số [4].

Có một vài phương pháp tích phân số để tính các tích phân xác định Tuy nhiên phương pháp cầu phương Gauss được sử dụng rộng rãi trong phương pháp PTHH Trong bài toán hai chiều, miền lấy tích phân là hình vuông, thì công thức tích phân Gauss nhận được bằng cách lần lượt thực hiện tích phân Gauss theo từng phương r, s như sau:

n là số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương.

Phép cầu phương Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàm f(r) là một đa thức

có bậc nhỏ hơn hay bằng (2n-1) Cũng cần phải dùng tất cả các số lẻ nếu muốn có kết quả chính xác.

2.5 Phương pháp giả định biến dạng tự nhiên ANS (ANS = The Assumed Natural Strain method)

2.5.1 Nhận xét chung

Việc áp dụng các phương pháp giải như: phương pháp phần tử ứng suất bậc cao (Hybrid Stress element), phương pháp giả định biến dạng nâng cao (EAS = The Enhanced Assumed Strain Method) dường như không phải lúc nào cũng sử dụng tốt trong mọi trường hợp Đặc biệt là trong trường hợp lưới chia của các phần tử là bất