Về môđun Cohen Macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không Cohen Macaulay trên vành Noether địa phương

Về môđun Cohen Macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không Cohen Macaulay trên vành Noether địa phương Về môđun Cohen Macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không Cohen Macaulay trên vành Noether địa phương luận văn tốt nghiệp thạc sĩ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯU PHƯƠNG THẢO

VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC

VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY

TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯU PHƯƠNG THẢO

VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC

VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY

TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 9 46 01 04

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TS Lê Thị Thanh Nhàn

TS Trần Nguyên An

THÁI NGUYÊN - 2020

Cho (R,m) là vành giao hoán Noether địa phương, M là R-môđunhữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d Quỹ tích không Cohen-Macaulaycủa M, ký hiệunCM(M ), là tập các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mpkhông là Cohen-Macaulay Khi R là thương của một vành Gorenstein địaphương, M có môđun chính tắc KM Ta nói M là Cohen-Macaulay chínhtắc (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc) nếu môđun chính tắc

KM của M là Cohen-Macaulay (tương ứng Cohen-Macaulay suy rộng)

Luận án nghiên cứu về môđun Cohen-Macaulay suy rộng chínhtắc và một số quỹ tích không Cohen-Macaulay: quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(M ), quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(KM), và quỹtích không Cohen-Macaulay theo chiều > scủa M, ký hiệu lànCM>s(M ).Trong luận án, chúng tôi đặc trưng cấu trúc của môđun Cohen-Macaulaysuy rộng chính tắc Chúng tôi làm rõ mối quan hệ giữa quỹ tích khôngCohen-Macaulay của môđun chính tắc KM và quỹ tích không Cohen-Macaulay của M Chúng tôi cũng nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết

và chiều của môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng,

từ đó đưa ra mối liên hệ về chiều của các quỹ tích không Cohen-Macaulaytheo chiều > s qua chuyển phẳng

Luận án được chia thành 4 chương Chương 1 nhắc lại một số kiếnthức cơ sở về môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng,môđun Artin, môđun chính tắc và môđun khuyết

Trong Chương 2, chúng tôi giới thiệu khái niệm hệ tham số chínhtắc, chỉ ra mối quan hệ giữa hệ tham số chính tắc và hệ tham số chuẩn

tắc Chúng tôi thiết lập đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộngchính tắc thông qua hệ tham số chính tắc và cải tiến các kết quả trướcđây về cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc.

Trong Chương 3, chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa chiều của quỹtích không Cohen-Macaulay của môđun M và chiều của quỹ tích khôngCohen-Macaulay của môđun chính tắc KM Đặc biệt hơn, chúng tôi chỉ rarằng, ngoài mối quan hệ bao hàm nCM(KM) ⊆ nCM(M ) thì hai quỹ tíchnày hầu như là độc lập với nhau

Trong Chương 4, chúng tôi làm rõ sự thay đổi của tập iđêan nguyên

tố gắn kết và chiều của môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyểnphẳng ϕ : Rp → RbP, trong đó P ∈ Spec(R)b và p = P ∩ R Sử dụng cáckết quả này, chúng tôi đưa ra công thức liên hệ giữa chiều của các quỹ tíchkhông Cohen-Macaulay theo chiều > s

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quảviết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trướckhi đưa vào luận án Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưatừng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả

Lưu Phương Thảo

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo kính yêu của tôi

-GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi từnhững ngày đầu tiên tập làm nghiên cứu khoa học Với tất cả niềm đam

mê nghiên cứu khoa học và tâm huyết của người thầy, cô đã truyền thụcho tôi không chỉ về tri thức toán học mà còn về phương pháp nghiên cứu,cách phát hiện và giải quyết vấn đề Cô là tấm gương sáng cho lớp học tròchúng tôi phấn đấu noi theo về những nỗ lực vượt qua khó khăn để đạttới thành công

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn thứhai của tôi - TS Trần Nguyên An Thầy đã luôn quan tâm, động viên,khích lệ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Tôi xin trân trọng cảm ơn GS TSKH Nguyễn Tự Cường Thầy làngười đầu tiên giảng dạy cho tôi những kiến thức về Đại số giao hoán từnhững ngày tôi còn là học viên cao học Cho tới nay, khi tôi học nghiêncứu sinh, thầy vẫn luôn quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quátrình học tập

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đạihọc, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu Đặcbiệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy

-cô giáo và đồng nghiệp trong Tổ Hình học - Đại số, Khoa Toán, TrườngĐại học Sư phạm đã quan tâm động viên và giúp đỡ nhiều mặt trong thời

gian tôi làm nghiên cứu sinh.

Tôi xin cảm ơn chị Nguyễn Thị Kiều Nga, em Trần Đỗ Minh Châucùng các anh chị em trong nhóm seminar Đại số Đại học Thái Nguyên đãluôn đồng hành cùng tôi, động viên, khích lệ, chia sẻ với tôi trong học tậpcũng như trong cuộc sống

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong giađình của mình, đặc biệt là Bố mẹ, Chồng và hai Con trai yêu quý, đã luônđộng viên, chia sẻ khó khăn và luôn mong mỏi tôi thành công Đó là nguồnđộng viên rất lớn, giúp tôi vượt qua khó khăn để tôi có thể hoàn thànhluận án này

Tác giả

Lưu Phương Thảo

Mục lục

Mở đầu 7

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 17

1.1 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng 17

1.2 Môđun Artin 20

1.3 Môđun chính tắc và môđun khuyết 24

Chương 2 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc 26

2.1 Hệ tham số chính tắc 27

2.2 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc 33

Chương 3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc 44

3.1 Một số tính chất qua chuyển phẳng 45

3.2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc 49

Chương 4 Đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng và quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s 56

4.1 Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua chuyển phẳng 57

4.2 Chiều của môđun đối đồng điều địa phương qua chuyển phẳng 62 4.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng 66 Kết luận 73

Tài liệu tham khảo 75

ta nói R là vành Cohen-Macaulay Lớp môđun Cohen-Macaulay và các mởrộng của chúng đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toánhọc trên thế giới Cấu trúc của những lớp môđun này đã được đặc trưngqua hầu hết lý thuyết quen biết của Đại số giao hoán (số bội, đối đồngđiều địa phương, địa phương hóa, đầy đủ hóa, ) Các môđun này xuấthiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như Đại số đồng điều,

Lý thuyết bất biến, Tổ hợp và Hình học đại số

Luận án liên quan đến hai hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulaysau đây Mở rộng thứ nhất là dựa theo hiệu số I(x; M ) giữa độ dài

`(M/xM ) và số bội e(x; M ) với x là hệ tham số của M Chú ý rằng

M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếuI(x; M ) = 0 với một (hoặc với mọi)

hệ tham số x Từ đó, một giả thuyết được đặt ra bởi D A Buchsbaum [11]năm 1965 như sau: I(x; M ) := `(M/xM ) − e(x; M ) là một hằng số khôngphụ thuộc vào hệ tham số xcủa M Câu trả lời phủ định cho giả thuyết nàyđược W Vogel và J St¨uckrad [49] đưa ra năm 1973, và họ đã nghiên cứulớp vành và môđun thỏa mãn điều kiện của giả thuyết, được gọi là vành

và môđun Buchsbaum [40] Năm 1978, N T Cường, P Schenzel và N V.Trung [46] đã giới thiệu một mở rộng của lớp môđun Buchsbaum, đó là lớpmôđunM thỏa mãn điều kiệnsup I(x; M ) < ∞, trong đó cận trên lấy theomọi hệ tham số x của M, và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suy

rộng Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulaysuy rộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán Tiếp tục mởrộng theo hướng này, ta được lớp môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s,với s ≥ −1 là số nguyên (xem [43]) Chú ý rằng M là Cohen-Macaulaynếu và chỉ nếu nó là Cohen-Macaulay theo chiều > −1 Khi R là thươngcủa vành Cohen-Macaulay, thì M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉnếu M là Cohen-Macaulay theo chiều > 0.

Hướng mở rộng thứ hai của lớp môđun Cohen-Macaulay là dựa vàocấu trúc của môđun chính tắc, trong trường hợp R là ảnh đồng cấu củamột vành Gorenstein địa phương (R0,m0) chiều n0 Với mỗi số nguyên

i ≥ 0, đặt KMi := ExtnR00−i(M, R0) Khi đó KMi là R-môđun hữu hạn sinh

và được gọi là môđun khuyết thứ i của M Đặc biệt, với i = d ta kýhiệu KM := KMd và gọi là môđun chính tắc của M Khi KM là Cohen-Macaulay, ta nói M là Cohen-Macaulay chính tắc Chú ý rằng nếu M

là môđun Cohen-Macaulay thì KM cũng là môđun Cohen-Macaulay Vìthế, lớp môđun Cohen-Macaulay chính tắc là một mở rộng của lớp môđunCohen-Macaulay Khái niệm vành và môđun Cohen-Macaulay chính tắcxuất phát từ bài toán sau: Giả sử (R,m) là một miền nguyên, địa phương

Ký hiệu Q(R) là trường các thương của R Câu hỏi tự nhiên đặt ra làtồn tại hay không một vành trung gian R ⊆ B ⊆ Q(R) sao cho B là

R-môđun hữu hạn sinh và B là vành Cohen-Macaulay? Vành B như trên(nếu tồn tại) được gọi là Macaulay hóa song hữu tỷ của R Đây là bàitoán quan trọng trong Đại số giao hoán Năm 2004, P Schenzel [36] đãchứng minh rằng một miền nguyên Noether địa phương R có Macaulayhóa song hữu tỷ nếu và chỉ nếuR là vành Cohen-Macaulay chính tắc Năm

2006, L T Nhàn [31] đã đưa ra đặc trưng của môđun Cohen-Macaulaychính tắc thông qua tính triệt tiêu của độ dài thặng dư của các môđun đốiđồng điều địa phương ứng với hệ tham số là f-dãy chặt giới thiệu trong

[14] Tiếp theo, năm 2012, M Brodmann và L T Nhàn [5] đã chỉ ra rằngvới điều kiện d ≥ 4 và x là phần tử tham số f-chặt, thì M là Cohen-Macaulay chính tắc khi và chỉ khi M/xM là Cohen-Macaulay chính tắc.Một cách tự nhiên, N T H Loan và L T Nhàn [24] đã giới thiệu lớpmôđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc, đó là lớp các môđun M saocho KM là Cohen-Macaulay suy rộng Họ đã đặc trưng lớp môđun nàythông qua sự tồn tại chặn đều cho các độ dài thặng dư của các môđun đốiđồng điều địa phương ứng với các hệ tham số là f-dãy chặt Chú ý rằngnếu M là Cohen-Macaulay suy rộng, thì M là Cohen-Macaulay suy rộngchính tắc.

Luận án nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc

và một số quỹ tích không Cohen-Macaulay trên vành Noether địa phương.Mục đích thứ nhất của luận án là đặc trưng cấu trúc của lớp môđunCohen-Macaulay suy rộng chính tắc khi R là thương của vành Gorensteinđịa phương Mục đích thứ hai là làm rõ mối quan hệ giữa quỹ tích khôngCohen-Macaulay của môđun chính tắc KM và quỹ tích không Cohen-Macaulay của M Mục đích thứ ba là nghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắnkết và chiều của môđun đối đồng điều địa phương Artin dưới tác động củachuyển phẳng Rp → RbP, trong đó P ∈ Spec(R),b p = P ∩ R và R tùy ýkhông nhất thiết là thương của vành Gorenstein, từ đó đưa ra công thứctính chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s

Về phương pháp nghiên cứu, để đặc trưng lớp môđun Cohen-Macaulaysuy rộng chính tắc, chúng tôi khai thác những tính chất đặc thù của môđunđối đồng điều địa phương Artin và sử dụng linh hoạt các hệ tham số làf-dãychặt Về mối quan hệ giữa hai quỹ tích không Cohen-MacaulaynCM(KM)

và nCM(M ), chúng tôi cần đến Định lý cấu trúc của vành Buchsbaum[17, Định lý 1.1], Định lý cấu trúc của môđun chính tắc qua chuyển phẳng[4, Định lý 4.1] và công thức chiều của môđun khuyết dưới tác động của

mở rộng chuỗi lũy thừa hình thức Để nghiên cứu môđun đối đồng điềuđịa phương dưới tác động của chuyển phẳng Rp → RbP, chúng tôi áp dụnghữu hiệu tính chất chuyển dịch qua địa phương hóa và qua đầy đủ hóa của

L T Nhàn và P H Quý [33, Định lý 1.1]

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án đượcchia làm 4 chương Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở phục vụ chocác chương sau, bao gồm các đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay vàmôđun Cohen-Macaulay suy rộng; tập iđêan nguyên tố gắn kết và chiềucủa môđun Artin; môđun chính tắc và môđun khuyết Trong Chương 2,chúng tôi trình bày các đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộngchính tắc dựa theo phần 2 của bài báo [1] Chương 3 dành để đưa ra mốiquan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM

và quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M dựa theo các kết quảtrong phần 1 của bài báo [1] Trong Chương 4, chúng tôi làm rõ sự thayđổi của tập iđêan nguyên tố gắn kết và chiều của môđun đối đồng điều địaphương với giá cực đại dưới tác động của mở rộng phẳng Rp → RbP với

P ∈ Spec(R)b và p = P ∩ R Sử dụng kết quả này, chúng tôi đưa ra côngthức tính chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s Cáckết quả của Chương 4 được viết dựa theo các bài báo [29], [41]

Trong suốt luận án, luôn giả thiết (R,m) là vành giao hoán Noetherđịa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M = d

Trong Chương 2, cho R là thương của một vành Gorenstein địaphương Ký hiệu KM là môđun chính tắc của M Chú ý rằng KM là

R-môđun hữu hạn sinh và Hmd(M ) ∼= HomR(KM, E(R/m)), trong đóE(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m Theo N T H Loan

và L T Nhàn [24], M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộngchính tắc nếu KM là Cohen-Macaulay suy rộng Mục đích của Chương

2 là nghiên cứu cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc

Trước hết ta chú ý rằng M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu

`R(Hmi(M )) < ∞ với mọi i < d Đặc biệt, chúng ta có các đặc trưng sauđây của môđun Cohen-Macaulay suy rộng (xem [42], [46]) Các phát biểusau là tương đương:

(a) M là Cohen-Macaulay suy rộng;

(b) Tồn tại hệ tham số (x1, , xd) của M sao cho

!

`(Hmi(M ))

Một đặc trưng tham số của môđun Cohen-Macaulay chính tắc đượcđưa ra trong bài báo của M Brodmann và L T Nhàn [5] như sau: M làCohen-Macaulay chính tắc khi và chỉ khi

Rl Hm2(M/(x1, , xd−3)M )
= 0với một (với mọi) hệ tham số (x1, , xd) đồng thời là f-dãy chặt của M

Ở đây, độ dài thặng dư Rl(A)của một R-môđun Artin Ađược định nghĩabởi R Y Sharp và M Hamieh [39] Nếu s ∈ N sao cho mtA = msA vớimọi t ≥ s, thì Rl(A) := `R(A/msA) (xem Tiết 2.1)

Mục đích chính của Chương 2 là thiết lập một phiên bản cho môđunCohen-Macaulay suy rộng chính tắc tương tự như các đặc trưng tham số(a), (b), (c) ở trên của môđun Cohen-Macaulay suy rộng, trong đó vai trò

của hiệu số I(x1, , xd; M ) được thay bằng vai trò của độ dài thặng dư

Rl Hm2(M/(x1, , xd−3)M )
, và vai trò của hệ tham số chuẩn tắc đượcthay bằng vai trò của hệ tham số chính tắc định nghĩa như sau

Định nghĩa 2.1.8 Một hệ tham số f-dãy chặt x = (x1, , xd) của Mđược gọi là hệ tham số chính tắc nếu

Rl Hm2(M/(x1, , xd−3)M )
= Rl Hm2(M/(x21, , x2d−3)M )
.Nếu x đồng thời vừa là một f-dãy chặt hoán vị được vừa là một hệ tham

số chính tắc của M, thì x được gọi là hệ tham số chính tắc hoán vị đượccủa M

Định lý sau đây là kết quả chính đầu tiên của luận án, cũng là kếtquả chính duy nhất của Chương 2, được trích đăng trong phần 2 của bàibáo [1]

Định lý 2.2.4 Các phát biểu sau là tương đương:

(a) M là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc;

(b) Tồn tại một số nguyên cM sao cho

Rl Hm2(M/(x1, , xd−3)M )
≤ cMvới mọi hệ tham số f-dãy chặt (x1, , xd) của M;

(c) Tồn tại một hệ tham số f-dãy chặt (x1, , xd) của M sao cho

(d) Tồn tại một hệ tham số chính tắc hoán vị được của M

Hơn nữa, nếu (x1, , xd) là một hệ tham số chính tắc hoán vị đượccủa M thì

!

`(Hmi+2(KM))

Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M là một

R-môđun hữu hạn sinh chiều d Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M,

ký hiệu bởi nCM(M ), được xác định như sau

nCM(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp không là Cohen-Macaulay}

Nhìn chung, nCM(M ) không là tập con đóng trong Spec(R) với tôpôZariski Năm 1965, A Grothendieck [44, IV2, 6.11.2] đã chỉ ra rằngnCM(M )

là đóng khi R là thương của vành chính quy Trong [19], R Hartshorne

đã chứng tỏ nCM(M ) là đóng nếu R là thương của vành Gorenstein địaphương Trong trường hợp này, ta có mô tả chi tiết tậpnCM(M )(xem [47],[48]) Hơn nữa, nCM(M ) cũng là tập đóng khi R là thương của một vànhCohen-Macaulay địa phương (xem [16, Hệ quả 4.2(iv)]) Khi nCM(M ) làtập đóng, ta có thể định nghĩa chiều dim nCM(M ) của nó Nếu M làCohen-Macaulay, thì nCM(M ) = ∅, trong trường hợp này chúng ta quyước dim nCM(M ) = −1 Chú ý rằng dim nCM(M ) ≤ d − 1 Nếu M làkhông trộn lẫn (unmixed) thì dim nCM(M ) ≤ d − 2

Mục tiêu của Chương 3 là nghiên cứu chiều của quỹ tích khôngCohen-Macaulay của môđunM,chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulaycủa môđun chính tắc KM và mối liên hệ giữa chúng Ý tưởng này xuấtphát từ một kết quả của Y Aoyama năm 1980 [3] khi ông nghiên cứu về

độ sâu và tính Cohen-Macaulay của môđun chính tắc Ông đã chứng minhrằng, trong trường hợp R không là vành Cohen-Macaulay thì depth KR

và depth R không phụ thuộc nhau, cụ thể là nếu cho trước các số nguyên

0 ≤ r < n và 2 ≤ s ≤ n, thì luôn tồn tại vành địa phương đầy đủ R saocho dim R = n, depth R = r và depth KR = s

Định lý sau đây là kết quả chính của Chương 3, được trích đăngtrong phần 1 của bài báo [1], trong đó chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữachiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M và chiều của

quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM Đặc biệt hơn,chúng tôi chỉ ra rằng, ngoài mối quan hệ bao hàm nCM(KM) ⊆ nCM(M ),thì hai quỹ tích này hầu như là độc lập với nhau theo nghĩa sau.

Định lý 3.2.1 Các phát biểu sau là đúng

(a) dim nCM(KM) ≤ min {d − 3, dim nCM(M )}

(b) Cho n, s, r là các số nguyên thỏa mãn điều kiện −1 ≤ s ≤ n − 3 và

s ≤ r ≤ n − 2 Khi đó luôn tồn tại một vành Noether địa phương,đầy đủ, không trộn lẫn (R,m) sao cho dim R = n, dim nCM(R) = r

và dim nCM(KR) = s

Chương 4 được viết dựa theo hai bài báo [29] và [41] Trước hết chúngtôi nghiên cứu tập các iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điềuđịa phương qua chuyển phẳng Cho ϕ : (S,n) → (S0,n0) là một đồng cấuphẳng giữa các vành Noether địa phương Với mỗi S-môđun hữu hạn sinh

L, ta có mối quan hệ giữa các tập iđêan nguyên tố liên kết của S0-môđun

L ⊗S S0 và của S-môđun L như sau (xem [27, Định lý 23.2])

phương và M là R-môđun hữu hạn sinh Giả sử P ∈ Spec(R)b , p= P∩ R

và rP = dim(RbP/p bRP), trong đó bR và cM tương ứng là đầy đủ m-adiccủa R và M Khi đó đồng cấu ϕ : Rp → RbP cảm sinh từ đồng cấu tựnhiên R → Rb là đồng cấu phẳng địa phương và Mp⊗Rp RbP ∼= Mc

P Do đóchúng tôi quan tâm đến mối liên hệ giữa hai tập iđêan nguyên tố gắn kếtAtt

P ∼= Mc và ta cóAttRHmi (M ) = {Q∩ R | Q ∈ Att

b

RHm biR(M )}c(xem [8, 8.2.4, 8.2.5]) Hơn nữa, nếu R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương thì đẳng thức sau là đúng với mọi R-môđun hữuhạn sinh M và mọi số nguyên i ≥ 0 (xem [33, Định lý 1.1])

(McP) trong trường hợp vành thớ có chiều rP ≥ 0 tùy ý

Định lý 4.1.3 Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địaphương Giả sử P ∈ Spec(R)b và p = P ∩ R Đặt rP = dim RbP/p bRP
.Khi đó với bất kỳ số nguyên i ≥ 0, ta có

(a) AttRp HpRi p(Mp) = QRbP ∩ Rp | Q bRP ∈ Att

b

RPHi+rP

P b R P

(McP) .(b) Att

Từ Định lý 4.1.3, chúng tôi đưa ra công thức tính chiều củaHi+rP

P b R P

(McP)thông qua chiều của HpRi

p(Mp)

Định lý 4.2.1 Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địaphương Giả sử P ∈ Spec(R)b với p = P ∩ R Đặt rP = dimRbP/p bRP.Khi đó với bất kỳ số nguyên i ≥ 0 ta có

ký hiệu nCM>s(M ), được định nghĩa là tập các iđêan nguyên tố p của Rsao cho Mp không là môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s Lưu ý rằng,nCM>s(M ) luôn đóng với phép đặc biệt hóa nên chúng ta có thể địnhnghĩa chiều của chúng

Áp dụng Định lý 4.2.1, ta có hai định lý sau đây, là các kết quả chínhcuối cùng của luận án

Định lý 4.3.4 Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địaphương Giả sử P ∈ Spec(R)b và p = P ∩ R Đặt rP = dim(RbP/p bRP),

s ≥ 0 là một số nguyên Khi đó

(a) Mp là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu cMP là Cohen-Macaulay

(b) Mp là Cohen-Macaulay theo chiều > s nếu và chỉ nếu cMP là Macaulay theo chiều > s + rP

Cohen-Định lý 4.3.7 Cho s ≥ −1 là một số nguyên Giả sử R là thương củamột vành Cohen-Macaulay địa phương Cho P ∈ Spec(R)b và p = P ∩ R.Đặt rP = dim(RbP/p bRP) Khi đó

(a) nCM>s(Mp) 6= ∅ nếu và chỉ nếu dim nCM>s(McP) ≥ rP;

(b) NếunCM>s(Mp) 6= ∅, thì dim nCM>s(McP) = dim nCM>s(Mp)+rP

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở vềmôđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Artin,môđun chính tắc và môđun khuyết nhằm phục vụ cho việc chứng minhcác kết quả chính của luận án ở những chương sau Trong suốt chươngnày, luôn giả thiết (R,m) là vành giao hoán Noether địa phương, M là

R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d Ký hiệu bR, Mc tươngứng là đầy đủ m-adic củaR vàM, depth M là độ sâu củaM ứng với iđêancực đại m

1.1 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy

rộng

Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng là hailớp môđun quen thuộc và quan trọng trong Đại số giao hoán Tiết 1.1dành để nhắc lại một số kết quả thường sử dụng trong luận án về hai lớpmôđun này

Định nghĩa 1.1.1 [27, Trang 134]M được gọi là môđun Cohen-Macaulaynếu M = 0 hoặc M 6= 0 và depth M = dim M Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay

Sau đây là một số tính chất quen thuộc của môđun Cohen-Macaulay

Mệnh đề 1.1.2 [27, Định lý 17.3] Các mệnh đề sau đây là đúng.

(i) Nếu M là Cohen-Macaulay thì dim R/p = dim M với mọi p ∈ AssRM.(ii) Cho x1, , xt ∈ m là một M-dãy chính quy Khi đó M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M/(x1, , xt)M là Cohen-Macaulay

(iii) M là R-môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Mp là Rp-môđunCohen-Macaulay, với mọi p ∈ SuppRM

(iv) M làR-môđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu cM là bR-môđun Macaulay

Cohen-Cho q là một iđêan của R sao cho `R(M/qM ) < ∞ Khi đó ta cóhàm Hilbert-Samuel Hq(n) := `R(M/qn+1M ) Chú ý rằng tồn tại một đathức Pq(n) bậc d sao cho với n đủ lớn ta có Hq(n) = Pq(n) Hơn nữa, tồntại các số nguyên e0(q; M ) > 0, e1(q; M ), , ed(q; M ) sao cho

Pq(n) = e0(q; M ) n + d

d

!+ e1(q; M ) n + d − 1

d − 1

!+ + ed(q; M )

và deg Pq(n) = dim M

= inf{t | ∃x1, , xt ∈ m : `R(M/(x1, , xt)M ) < ∞}.Như vậy, với d = dim M, luôn tồn tại hệ d phần tử x1, , xd ∈ m sao cho

`R(M/(x1, , xd)M ) < ∞ Hệ (x1, , xd) như thế được gọi là hệ tham

số của M Hệ số e0(q; M ) được gọi là số bội của M ứng với iđêan q Cho

x = (x1, , xd) là một hệ tham số của M Đặt q = (x1, , xd)R và kýhiệu e0(q; M ) bởi e(x; M ) Khi đó ta luôn có 0 < e(x; M ) ≤ `(M/xM ).Mệnh đề 1.1.3 (Xem [27, Định lý 17.5, Định lý 17.11]) Các điều kiệnsau là tương đương:

(i) M là Cohen-Macaulay;

(ii) Mọi hệ tham số của M đều là M-dãy chính quy;

(iii) Với mọi hệ tham số x của M ta có e(x; M ) = `(M/xM );

(iv) Tồn tại hệ tham số x của M sao cho e(x; M ) = `(M/xM )

Với mỗi hệ tham số x của M, đặt I(x; M ) = `(M/xM ) − e(x; M ).Khi đó I(x; M ) ≥ 0 với mọi hệ tham số x Đặc biệt, I(x; M ) = 0 nếu vàchỉ nếu M là Cohen-Macaulay Theo N T Cường, P Schenzel và N V.Trung [46], nếu sup I(x; M ) < ∞, trong đó cận trên lấy theo tất cả các

hệ tham số x của M, thì M được gọi là Cohen-Macaulay suy rộng

Một số tính chất sau của môđun Cohen-Macaulay suy rộng có thểxem trong [42], [46]

Mệnh đề 1.1.4 Giả sử M là Cohen-Macaulay suy rộng Khi đó

(i) M/xM là Cohen-Macaulay suy rộng, với x là phần tử tham số của M.(ii) Nếu (x1, , xi) là một phần hệ tham số của M, thì dim R/p = d − ivới mọi p ∈ AssR(M/(x1, , xi)M ) \ {m}

(iii) Mp là Cohen-Macaulay và dim Mp + dim R/p = d với mọi iđêannguyên tố p∈ SuppR(M ) \ {m} Điều ngược lại cũng đúng nếu R là vànhthương của vành Cohen-Macaulay

Sau đây là một đặc trưng tham số của môđun Cohen-Macaulay suyrộng (xem [42], [46])

Định lý 1.1.5 Các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là Cohen-Macaulay suy rộng;

(ii) Tồn tại hệ tham số x = (x1, , xd) của M sao cho

sup I(xn1

1 , , xnd

d ; M ) < ∞,trong đó cận trên lấy theo mọi bộ d số nguyên dương n1, , nd;

(iii) Tồn tại một hệ tham số chuẩn tắc của M, tức là tồn tại hệ tham số

x = (x1, , xd) của M sao cho

!

`(Hmi(M ))

Khái niệm môđun đối đồng điều địa phương được giới thiệu bởi A.Grothendieck vào những năm 1960, khởi nguồn từ công trình của J P.Serre [45] năm 1955 về các bó đại số Cho I là một iđêan của R Với mỗi

số nguyên i, hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i ứng với giá I, ký hiệu

là HIi(−), được định nghĩa là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử Ixoắn ΓI(−) Kết quả của tác động HIi(−) vào R-môđun M được ký hiệu

-là HIi(M ) và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của Mứng với giá I Tiếp theo là một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay

và môđun Cohen-Macaulay suy rộng qua đối đồng điều địa phương (xem[8, Hệ quả 6.2.9], [42, Bổ đề 1, Bổ đề 1.6])

Mệnh đề 1.1.6 Các phát biểu sau là đúng

(i) M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu Hmi (M ) = 0 với mọi i < d.(ii) M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu `(Hmi (M )) < ∞ vớimọi i < d

lý thuyết phân tích nguyên sơ trong phạm trù các môđun Noether Cho

N là môđun con của M Ta nói N là nguyên sơ nếu M/N 6= 0 và phépnhân bởi x trên M/N là đơn cấu hoặc lũy linh, với mọi x ∈ R Nếu N lànguyên sơ thì p = Rad(AnnR(M/N )) là iđêan nguyên tố và ta nói N làp-nguyên sơ Rất tự nhiên, I G Macdonald đã định nghĩa môđun thứ cấpnhư sau

Định nghĩa 1.2.1 Môđun con B của A được gọi là thứ cấp nếu B 6= 0

và với mọi x ∈ R, phép nhân bởi x trên B là toàn cấu hoặc lũy linh Nếu

B là thứ cấp, thì p = Rad(AnnRB) là iđêan nguyên tố, và ta gọi B làp-thứ cấp.

I G Macdonald [25] đã chứng minh rằng mỗi môđun Artin A đều

có biểu diễn thứ cấp tối thiểu A = A1+ + At,trong đó Ai là pi-thứ cấp,

pi 6= pj với mọi i 6= j và mỗiAi là không thừa Khi đó tập hợp{p1, ,pt}không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A, và được ký hiệu

là AttRA Ta gọi AttRA là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A

Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập các iđêan nguyên tố gắnkết

Mệnh đề 1.2.2 Các phát biểu sau là đúng

(i) AttRA 6= ∅ nếu và chỉ nếu A 6= 0

(ii) min AttRA = min Var(AnnRA)

(iii) AttRA = {m} nếu và chỉ nếu A 6= 0 và `R(A) < ∞

(iv) Nếu 0 → A0 → A → A00 → 0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì

AttRA00 ⊆ AttRA ⊆ AttRA0 ∪ AttRA00.Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạnsinh nhìn chung không hữu hạn sinh và cũng không Artin Tuy nhiên,chúng ta có các kết quả quan trọng sau đây về tính Artin của môđun đốiđồng điều địa phương với giá cực đại và môđun đối đồng điều địa phươngcấp cao nhất (xem [26, Mệnh đề 2.1], [38, Định lý 3.3])

Định lý 1.2.3 Các phát biểu sau là đúng

(i) Hmi(M ) là Artin với mọi số tự nhiên i

(ii) HId(M ) là Artin với mọi iđêan I của R

Đặc biệt, tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địaphương cấp cao nhất với giá cực đại được cho bởi công thức sau

Định lý 1.2.4 [26, Định lý 2.2] Cho M 6= 0 Khi đó Hmd(M ) 6= 0 và

AttR(Hmd(M )) = {p ∈ AssRM | dim(R/p) = d}

Nhắc lại rằng một R-môđun L được gọi là môđun phẳng nếu hàm

tử tenxơ L ⊗R − trên phạm trù các R-môđun là khớp Đồng cấu vành

f : R → S được gọi là đồng cấu phẳng nếu S là R-môđun phẳng Sau đây

là một kết quả về tính Artin và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđunArtin khi chuyển qua đồng cấu phẳng

Mệnh đề 1.2.5 [33, Bổ đề 2.3] Cho A là R-môđun Artin và đồng cấu

f : (R,m) → (S,n)là phẳng địa phương giữa các vành Noether địa phương.Giả sử dim(S/mS) = 0 Khi đó A ⊗R S là S-môđun Artin và

Anày như là R-môđun xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → Rb thì ta đượccấu trúc R-môđun ban đầu của A Ta có mối liên hệ giữa các tập iđêannguyên tố gắn kết của A trên R và trên bR như sau

dimRA = max{dim(R/p) | p ∈ AttRA}

Từ đó, theo Mệnh đề 1.2.6 ta suy ra được rằng dimRA ≥ dim

b

RA Dấuđẳng thức xảy ra khi R là thương của một vành Cohen-Macaulay địaphương và A là môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại (xem [30,Mệnh đề 3.5], [15, Hệ quả 2.5, 3.2]) Chú ý rằng, R là thương của mộtvành Cohen-Macaulay địa phương nếu và chỉ nếu R là catenary phổ dụng

và mọi thớ hình thức của R là Cohen-Macaulay (xem [20, Hệ quả 1.2]).Mệnh đề 1.2.7 Nếu R là thương của một vành Cohen-Macaulay địaphương thì

dimR(Hmi(M )) = dim

b

R(Hmi (M )) ≤ ivới mọi số nguyên i ≥ 0

Hoàn toàn tương tự như đối với môđun hữu hạn sinh, ta có đa thứcHilbert-Samuel đối với các môđun Artin như sau (xem [21, Mệnh đề 2],[34, Định lý 6], [15, Hệ quả 2.5])

Mệnh đề 1.2.8 Cho A là một R-môđun Artin, q là iđêan m-nguyên sơcủa R Khi đó `R(0 :A qn+1) là một đa thức với n  0, và

RA = t Với n  0, giả sử at là hệ số cao nhất của đa thức

`R(0 :A qn+1) Theo M Brodmann và R Y Sharp [9], số bội của A ứngvới iđêan q, ký hiệu là e0(q, A), được xác định như sau

e0(q, A) := att!

Hơn nữa, M Brodmann và R Y Sharp [9] cũng đã chứng minh rằng nếu

R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương thì

1.3 Môđun chính tắc và môđun khuyết

Tiết này dành để trình bày một số tính chất cơ bản về môđun chínhtắc và môđun khuyết Trong suốt tiết này chúng tôi luôn giả thiết (R,m)

là một vành địa phương và là thương của một vành Gorenstein địa phương

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại Định lý Đối ngẫu địa phương, mộtkết quả rất quan trọng trong lý thuyết môđun đối đồng điều địa phương,thường được sử dụng trong luận án Ký hiệu E(R/m) là bao nội xạ củatrường thặng dư R/m, đặt D(−) := HomR(−, E(R/m)) là hàm tử đốingẫu Matlis Chú ý rằng, nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì D(M ) là

R-môđun Artin và ta có đẳng cấu D(D(M )) ∼= Mc các bR-môđun Trongkhi đó, D(A) không nhất thiết là R-môđun hữu hạn sinh khi A là R-môđun Artin Tuy nhiên, ta luôn có D(D(A)) ∼= A Khi R =R,b thì D(A)

là R-môđun hữu hạn sinh Trong trường hợp A là môđun đối đồng điềuđịa phương với giá cực đại, ta có định lý sau (xem [8, Định lý 11.2.6]).Định lý 1.3.2 (Định lý đối ngẫu địa phương) Giả sử (R,m) là thươngcủa vành Gorenstein địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đóvới mỗi số nguyên i ≥ 0 ta có

Hmi(M ) ∼= HomR(KMi , E(R/m))

Cho k > 0 là một số tự nhiên Một R-môđun hữu hạn sinh M đượcgọi là thỏa mãn điều kiện Serre (Sk) nếu depth Mp ≥ min{k, dim Mp},

với mọi p ∈ SuppRM Như vậy, M thỏa mãn điều kiện Serre (S1) nếu vàchỉ nếu mọi iđêan nguyên tố liên kết của M đều là tối tiểu M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn điều kiện Serre (Sk) với mọi số tựnhiên k.

Sau đây là một số tính chất quan trọng liên quan đến môđun chínhtắc và môđun khuyết thường được sử dụng trong luận án

Mệnh đề 1.3.3 [36, Mệnh đề 2.2] Các phát biểu sau là đúng

(i) KMi ⊗R Rp ∼= Ki−dim R/p

M p , với mọi p∈ SuppRM

(ii) Nếu dim M = dim Mp + dim R/p, với p∈ SuppRM, thì

(KM)p ∼= K

M p

(iii) Giả sử M là đẳng chiều, tức làdim R/p = d với mọi p ∈ min AssRM.Khi đó nếu M thỏa mãn điều kiện Serre (Sk) thì dim KMi ≤ i − k vớimọi 0 ≤ i < d

Cho T là một tập con tùy ý của Spec(R) Với mỗi i ∈ N, đặt

(T )i = {p ∈ T | dim R/p = i}

Mệnh đề sau cho ta một số kết quả liên quan đến cấu trúc của cácmôđun khuyết và môđun chính tắc

Mệnh đề 1.3.4 [36, Mệnh đề 2.3] Các phát biểu sau là đúng

(i) dimRKMi ≤ i với mọi 0 ≤ i < d và dimRKM = d

(ii) AssRKM = (AssRM )d

(iii) (AssRKMi )i = (AssRM )i với mọi 0 ≤ i < d

(iv) KM thỏa mãn điều kiện Serre (S2)

là Cohen-Macaulay Khái niệm vành và môđun Cohen-Macaulay chính tắcxuất phát từ bài toán sau: Cho (R,m) là một miền nguyên địa phương.

Có tồn tại hay không một vành trung gian B giữa R và trường các thươngQ(R) của R sao cho B là R-môđun hữu hạn sinh và B là vành Cohen-Macaulay? Vành B như vậy (nếu tồn tại) được gọi là Macaulay hóa songhữu tỷ củaR.Trong [36], P Schenzel đã chứng minh rằng một miền nguyênNoether địa phương R có Macaulay hóa song hữu tỷ nếu và chỉ nếu R làvành Cohen-Macaulay chính tắc

Chú ý rằng tính Cohen-Macaulay của M được đặc trưng bởi tínhtriệt tiêu của hiệu số I(x; M ) với một (mọi) hệ tham số x của M Mộtphiên bản như thế cho môđun Cohen-Macaulay chính tắc được đưa ra bởi

M Brodmann và L T Nhàn [5] như sau:M là Cohen-Macaulay chính tắckhi và chỉ khi Rl Hm2(M/(x1, , xd−3)M )
= 0 với một (mọi) hệ tham số(x1, , xd) của M đồng thời là f-dãy chặt Ở đây độ dài thặng dư Rl(A)của R-môđun Artin A được định nghĩa bởi R Y Sharp và M Hamieh

trong [39] và hệ tham số f-dãy chặt được giới thiệu bởi N T Cường, M.Morales, L T Nhàn [14].

Rất tự nhiên, năm 2013, N T H Loan và L T Nhàn [24] đã giớithiệu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc, đó là lớp các môđun

M sao cho KM là Cohen-Macaulay suy rộng Họ đã đặc trưng lớp môđunnày thông qua sự tồn tại chặn đều cho các độ dài thặng dư của các môđunđối đồng điều địa phương ứng với các hệ tham số là f-dãy chặt

Mục đích của Chương 2 là thiết lập một phiên bản cho môđun Macaulay suy rộng chính tắc tương tự như các đặc trưng của môđunCohen-Macaulay suy rộng trong Định lý 1.1.5, ở đó hiệu số I(x; M ) đượcthay bằng độ dài thặng dư Rl Hm2(M/(x1, , xd−3)M )
và hệ tham sốchuẩn tắc được thay bằng hệ tham số chính tắc (Định nghĩa 2.1.8) Cáckết quả trình bày trong chương này được dựa trên phần 2 của bài báo [1]

Cohen-2.1 Hệ tham số chính tắc

Khái niệm dãy lọc chính quy giới thiệu bởi N T Cường, P Schenzel

và N V Trung trong [46] có thể xem như một mở rộng của khái niệm dãychính quy quen thuộc Nó đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu cấutrúc vành và môđun, đặc biệt là cấu trúc của lớp vành và môđun Cohen-Macaulay suy rộng Một phần tử x ∈ m được gọi là phần tử lọc chính quycủa M nếu x /∈ p với mọi p ∈ AssRM \ {m} Một dãy (x1, , xt) cácphần tử của m được gọi là một dãy lọc chính quy của M nếu xi là phần

tử lọc chính quy của M/(x1, , xi−1)M với mọi 1 ≤ i ≤ t Chú ý rằng

x ∈ m là phần tử lọc chính quy của M nếu và chỉ nếu `R(0 :M x) < ∞,nếu và chỉ nếux là M/Hm0(M )-chính quy Hơn nữa, mỗi dãy lọc chính quy

độ dài d là một hệ tham số của M

Năm 2004, để nghiên cứu tính hữu hạn của tập các iđêan nguyên tốgắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương Artin, đồng thời nghiên

cứu tính chất đa thức của hàm độ dài các thương suy rộng, N T Cường,

M Morales và L T Nhàn [14] đã giới thiệu khái niệmf-dãy chặt như sau.Định nghĩa 2.1.1 Một phần tử x ∈ m được gọi là phần tử f-chặt của

M nếu x /∈ p với mọi p ∈

d

[

i=1

AttR(HmiM ) \ {m} Một dãy các phần tử(x1, , xt) của m được gọi là f-dãy chặt của M nếu xj là một phần tử

f-chặt của R-môđun M/(x1, , xj−1)M, với mọi j = 1, , t Một f-dãychặt (x1, , xt) của M được gọi là hoán vị được nếu mọi hoán vị của nóđều là f-dãy chặt của M

Chú ý rằng AssRM ⊆

d

[

i=0

AttR(Hmi(M )) (xem [8, Hệ quả 11.3.3])

Vì thế, mỗi f-dãy chặt của M là một dãy lọc chính quy của M Chiềungược lại nhìn chung là không đúng Chẳng hạn, ta có thể chọn vành

R = F [[x1, , xd]] và M = (x1, x2)R, trong đó d ≥ 3 và F là mộttrường Rõ ràng AssRM ⊆ Ass R = {0} Vì thế x1 là một phần tử lọcchính quy của M Tuy nhiên x1 không là phần tử f-chặt của M Thật vậy,

vì R là Cohen-Macaulay chiều d nên theo Mệnh đề 1.1.6(i), Hmi(R) = 0với mọi i 6= d Tương tự, ta cũng có Hmi(R/M ) = 0 với mọi i 6= d − 2 Do

đó từ dãy khớp dài đối đồng điều cảm sinh bởi dãy khớp ngắn

0 → M → R → R/M → 0

ta có Hmi(M ) = 0 với mọi i 6= d − 1 và i 6= d, đồng thời ta cũng có

Hmd−1(M ) ∼= Hmd−2(R/M ), Hmd(M ) ∼= Hmd(R)

Do AssR(R/M ) = {(x1, x2)R} nên theo Định lý 1.2.4 ta có

AttRHmd−1(M ) = AttRHmd−2(R/M ) = (AssR(R/M ))d−2 = {(x1, x2)R}.Như vậy, x1 ∈ p với p = (x1, x2)R ∈ AttR(Hmd−1(M )) Suy ra x1 không làphần tử f-chặt của M

Sau đây là một số tính chất của f-dãy chặt thường được sử dụngtrong các chứng minh ở phần sau.

f-dãy chặt của M, với mọi số nguyên dương n1, , nt

(c) Với mỗi số nguyên t > 0, tồn tại một f-dãy chặt hoán vị được của M

độ dài t Đặc biệt, mỗi f-dãy chặt của M độ dài d là một hệ tham sốcủa M

Cho A là một R-môđun Artin Theo R Y Sharp và M A Hamieh[39], chỉ số dừng của A, ký hiệu bởi s(A), là số nguyên dương s nhỏ nhấtsao cho mnA = msA với mọi n ≥ s Đặt Rl(A) := `R(A/ms(A)A) Khi đóRl(A) là một số tự nhiên và được gọi là độ dài thặng dư của A

Nhận xét 2.1.3 (i) Rl(A) = 0 nếu và chỉ nếu m∈ Att/ RA

(ii) Nếu x /∈ p với mọi p ∈ AttRA \ {m}, thì `R(A/xA) ≤ Rl(A) và trongtrường hợp này `R(A/xnA) = Rl(A) với mọi n ≥ s(A)

(iii) Nếu `R(A) < ∞, thì Rl(A) = `R(A)

Năm 2006, L T Nhàn [31] đã đưa ra đặc trưng của môđun Macaulay chính tắc thông qua tính triệt tiêu của độ dài thặng dư của cácmôđun đối đồng điều địa phương ứng với hệ tham số là f-dãy chặt nhưsau

Cohen-Bổ đề 2.1.4 [31, Định lý 4.2] Các mệnh đề sau là tương đương:

(a) M là môđun Cohen-Macaulay chính tắc;

(b) Với mọi hệ tham số f-dãy chặt (x1, , xd) của M ta có

Rl(Hmd−i(M/(x1, , xd−3)M )) = 0,với mọi i = 1, , d − 2;

(c) Tồn tại một hệ tham số f-dãy chặt (x1, , xd) của M sao cho

Rl(Hmd−i(M/(x1, , xd−3)M )) = 0,với mọi i = 1, , d − 2

Bổ đề sau cho ta một tính chất của f-dãy chặt liên quan đến độ dàithặng dư và các môđun khuyết

I(x1, , xd; M ) = I(x21, , x2d; M )

Khi đóM là Cohen-Macaulay suy rộng nếu và chỉ nếu tồn tại một hệ tham

số chuẩn tắc của M Hơn nữa, nếu (x1, , xd) là một hệ tham số chuẩn

`(Hmi(M ))

Bổ đề sau đây cho ta một đặc trưng của hệ tham số chuẩn tắc quađối đồng điều địa phương

Bổ đề 2.1.6 [42, Định lý 2.5] Hệ tham số (x1, , xd) của M là hệ tham

số chuẩn tắc nếu và chỉ nếu

(x1, , xd)Hmi(M/(x1, , xj)M ) = 0với mọi số nguyên i, j ≥ 0 thỏa mãn i + j < d

Đặc biệt, ta có chặn trên cho các độ dài của các môđun đối đồngđiều địa phương như sau

Bổ đề 2.1.7 [42, Mệnh đề 2.9] Cho M là môđun Cohen-Macaulay suyrộng, (x1, , xd) là một hệ tham số của M Khi đó

Như đã trình bày ở trên, khái niệm hệ tham số chuẩn tắc đóng vaitrò rất quan trọng trong nghiên cứu môđun Cohen-Macaulay suy rộng Đốivới lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc, khái niệm hệ tham sốchính tắc định nghĩa sau đây cũng có vai trò quan trọng tương tự như vậy.Định nghĩa 2.1.8 Một f-dãy chặt x = (x1, , xd) được gọi là hệ tham

số chính tắc của M nếu

Rl Hm2(M/(x1, , xd−3)M )
= Rl Hm2(M/(x21, , x2d−3)M )

Nếu x đồng thời vừa là một f-dãy chặt hoán vị được vừa là một hệ tham

số chính tắc của M, thì x được gọi là hệ tham số chính tắc hoán vị đượccủa M

Chú ý rằng nếu d ≤ 3, thì mọi hệ tham số f-dãy chặt của M đều là

hệ tham số chính tắc Mệnh đề sau chỉ ra mối quan hệ giữa hệ tham sốchuẩn tắc và hệ tham số chính tắc của M

Mệnh đề 2.1.9 Nếu (x1, , xd) là một hệ tham số chuẩn tắc của M thì

i Từ Bổ đề 2.1.2(a), ta suy ra được (x1, , xd) là một f-dãy chặt của

M Vì (x1, , xd) là một hệ tham số chuẩn tắc của M, nên (x21, , x2d)cũng là hệ tham số chuẩn tắc của M Chú ý rằng M/(x1, , xd−3)M làCohen-Macaulay suy rộng nên theo Mệnh đề 1.1.6(ii) ta có

`R Hm2(M/(x1, , xd−3)M )
< ∞

Tương tự, ta cũng có `R Hm2(M/(x21, , x2d−3)M )
< ∞ Từ Nhận xét2.1.3(iii) và Bổ đề 2.1.7 ta có

Nhận xét 2.1.10 Chiều ngược lại của Mệnh đề 2.1.9 không đúng Chẳnghạn, xét vành R = k[[x1, x2, x3, x4]] các chuỗi lũy thừa hình thức trên

trường k, M = R/(x1) ∩ (x2, x3) Rõ ràng ta có dimRM = 3 nên mọi

hệ tham số f-dãy chặt x của M đều là hệ tham số chính tắc Mặt khác,theo Bổ đề 2.1.2(c), hệ tham số này luôn tồn tại Tuy nhiên, ta lại cóAssRM = {(x1), (x2, x3)} Vì vậy, theo Mệnh đề 1.1.4(ii), M không là

R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng Do đó, theo Định lý 1.1.5, ta suy ra

x không thể là hệ tham số chuẩn tắc của M

2.2 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc

Năm 2013, N T H Loan và L T Nhàn [24] đã giới thiệu khái niệmmôđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc, đồng thời đưa ra một số đặctrưng của lớp môđun này qua hệ tham số f-dãy chặt

Định nghĩa 2.2.1 M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chínhtắc nếu môđun chính tắc KM của M là Cohen-Macaulay suy rộng

Ví dụ 2.2.2 (i) Nếu M là Cohen-Macaulay suy rộng thì M là Macaulay suy rộng chính tắc

Cohen-(ii) Nếu dim M ≤ 3, thì M là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc

(iii) Nếu M là Cohen-Macaulay chính tắc, thì M là Cohen-Macaulay suyrộng chính tắc

Bổ đề sau đây là kết quả chính của [24], cho ta đặc trưng của môđunCohen-Macaulay suy rộng chính tắc thông qua sự tồn tại chặn đều cho các

độ dài thặng dư của các môđun đối đồng điều địa phương ứng với các hệtham số là f-dãy chặt

Bổ đề 2.2.3 Các phát biểu sau là tương đương:

(a) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc;

(b) Tồn tại một số c(M ) sao cho

Rl Hmd−k−1(M/(x1, , xk)M )
≤ c(M )

với mọi hệ tham số f-dãy chặt x = (x1, , xd) của M và mọi sốnguyên k = 1, , d − 3;

(c) Tồn tại một hệ tham số f-dãy chặt x = (x1, , xd) của M và một

số c(x, M ) sao cho Rl Hmd−k−1(M/(xn1

1 , , xnk

k )M )
≤ c(x, M ) vớimọi k = 1, , d − 3 và mọi số nguyên dương n1, , nd−3

Hơn nữa, nếu các điều kiện (a), (b), (c) thỏa mãn, thì

!

`(Hmi+2(KM))với k = 1, , d − 3 Dấu bằng xảy ra khi x1, , xk ∈ m2k−1q, trong đó

q = min{t ∈ N | mtHmi (KM) = 0 với mọi i < d}

Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi đưa ra một số đặc trưngcủa môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc qua hệ tham sốf-dãy chặt,đặc biệt là đặc trưng qua hệ tham số chính tắc Đây có thể xem là một cảitiến thực sự cho kết quả chính của [24], đồng thời là một phiên bản chomôđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc tương tự như các đặc trưng

đã biết về môđun Cohen-Macaulay suy rộng trong Định lý 1.1.5

Định lý sau đây là kết quả chính của Chương 2 và cũng là kết quảđầu tiên của luận án

Định lý 2.2.4 Các phát biểu sau là tương đương:

(a) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc;

(b) Tồn tại một số nguyên cM sao cho

Rl Hm2(M/(x1, , xd−3)M )
≤ cMvới mọi f-dãy chặt (x1, , xd) của M;

(c) Tồn tại một f-dãy chặt (x1, , xd) của M sao cho

(d) Tồn tại một hệ tham số chính tắc hoán vị được của M.

Hơn nữa, nếu (x1, , xd) là một hệ tham số chính tắc hoán vị đượccủa M thì

Rl(Hmd−2(N )) = `R(0 :Kd−2

N yn) < ∞với mọi số nguyên n đủ lớn Chú ý rằng yn là một phần tử f-chặt của N

Từ `R(Hm2(KN)) < ∞, theo Bổ đề 2.1.5(b) ta có

(0 :H2

m (KN) yn) = Hm2(KN) ∼= Hm2(KM/xKM)với mọi số nguyên n đủ lớn Từ đó ta có

Rl Hmd−2(M/xM )) = `R(Hm2(KM/xKM)
.Suy ra `R(Hm2(KM/xKM)) < ∞ Từ dãy khớp

0 → KM → KM → KM/xKM → 0,

ta có dãy khớp

0 → Hm2(KM)/xHm2(KM) → Hm2(KM/xKM) → (0 :H3

m (K M ) x) → 0

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Kết quả sau đây về tính chất tăng của hàm độ dài thặng dư đóngvai trò quan trọng trong chứng minh Định lý 2.2.4

Bổ đề 2.2.6 Cho d ≥ 4 và giả sử (x1, , xd) là một f-dãy chặt hoán vịđược của M Khi đó

i = 1, , k

Chứng minh Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo d

Với d = 4 Khi đó k = 1 Theo Bổ đề 2.2.5 ta có

hoán vị được của M, nên theo Bổ đề 2.1.2(b) ta có (x1, xn2

b

R(0 :A x) = dim

b

RA − 1, thì x được gọi là một phần tử tham

số của A Tính chất sau đây của môđun Artin được sử dụng trong chứngminh một số kết quả tiếp theo của tiết này

Bổ đề 2.2.7 Cho A là một R-môđun Artin Nếu dim

b

RA > 0 và x là mộtphần tử tham số của A, thì với mọi số nguyên dương n ta có

(0 :A xn) 6= (0 :A xn+1)

Chứng minh Giả sử ngược lại rằng (0 :A xn) = (0 :A xn+1) với một sốnguyên dương n nào đó Ta sẽ chứng minh rằng khi đó A = (0 :A xn)

Thật vậy, lấy bất kỳ a ∈ A Vì A là m-xoắn, nên tồn tại s > 0 để

msa = 0 Suy ra xsa = 0 Nếu s ≤ n, thì ta có ngay a ∈ (0 :A xn).Ngược lại, nếu s ≥ n + 1 thì từ xsa = 0 ta có xn+1(xs−n−1a) = 0,suy ra xs−n−1a ∈ (0 :A xn+1) = (0 :A xn) Do đó xs−1a = 0 Tiếptục quá trình trên sau một số hữu hạn bước ta có xn+1a = 0 Suy ra

a ∈ (0 :A xn+1) = (0 :A xn) Vậy A = (0 :A xn) Chú ý rằng xn cũng làmột phần tử tham số của A Mặt khác, do dim

b

RA > 0, nên theo chứngminh trên ta có dim

RA − 1 Điều này là vô

lý Vậy ta có điều phải chứng minh

Hệ quả sau đây được dùng trong bước quy nạp đầu tiên ở chứngminh Định lý chính của chương này

Hệ quả 2.2.8 Cho d ≥ 4 và giả sử x ∈ m là một phần tử f-chặt của Msao cho

Rl Hmd−2(M/xM )
= Rl Hmd−2(M/x2M )
.Khi đó `R(Hm3(KM)) < ∞, xHmi (KM) = 0 với mọi i ≤ 3, và

Rl(Hmd−2(M/xM )) = Rl(Hmd−2(M/xnM )) = `R(Hm2(KM)) + `R(Hm3(KM))với mọi n > 0 Đặc biệt, nếu d = 4, thì M là Cohen-Macaulay suy rộngchính tắc

Chứng minh VìKM thỏa mãn điều kiện Serre(S2)(theo Mệnh đề 1.3.4(iv)),nên `R(Hm2(KM) < ∞ và dimRHm3(KM) ≤ 1 Từ Bổ đề 2.2.5 và giảthiết, ta có xHm2(KM) = x2Hm2(KM) và (0 :H3

m (K M ) x) = (0 :H3

m (K M ) x2).Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra xHm2(KM) = 0 Tiếp theo, chúng tachứng minh rằng `R(Hm3(KM)) < ∞ Giả sử `R(Hm3(KM)) = ∞ Khi đódimRHm3(KM) = 1 Suy ra dim

b

RHm3(KM) = 1 (theo Mệnh đề 1.2.7) Vì

`R(0 :H3

m (K M ) x) < ∞ (theo Bổ đề 2.2.5), nên ta suy ra x là một phần

tử tham số của Hm3(KM) Suy ra (0 :H3

m (K M ) x) 6= (0 :H3

m (K M ) x2) theo

Bổ đề 2.2.7 Điều này là mâu thuẫn và ta có điều phải chứng minh Vì