Phân tích phi tuyến hệ kết cấu ống thép nhồi bê tông

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN : - Phát triển một phần tử không đàn hồi cho cấu kiện phẳng ống thép nhồi bê tông có khả năng mô phỏng ứng xử không đàn hồi qua mặt cắt ngang và theo chiều dài cấu kiện

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA -

TRẦN HỮU HUY

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN

HỆ KẾT CẤU ỐNG THÉP NHỒI BÊ TÔNG

CHUYÊN NGÀNH: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

MÃ NGÀNH: 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGƠ HỮU CƯỜNG

Cĩ thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Trường Đại học Bách khoa

Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA TPHCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

-

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

-

Ngày tháng năm sinh : 05/07/1983 Nơi sinh : An Giang

Chuyên ngành : Xây dựng DD&CN Mã số : 23.04.10

Mã học viên - Khóa : 02107742 - 2007

I TÊN ĐỀ TÀI:

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HỆ KẾT CẤU

ỐNG THÉP NHỒI BÊ TÔNG

II NHIỆM VỤ LUẬN VĂN :

- Phát triển một phần tử không đàn hồi cho cấu kiện phẳng ống thép nhồi bê tông có khả năng mô phỏng ứng xử không đàn hồi qua mặt cắt ngang và theo chiều dài cấu kiện, sự dịch chuyển trục trung hòa của lõi đàn hồi, sự hiện diện của ứng suất

dư, độ sai lệch hình học ban đầu của kết cấu

- Xây dựng một chương trình ứng dụng bằng ngôn ngữ C++ để tự động hóa quá trình phân tích trên máy tính

- So sánh kết quả đạt được với một số kết quả nghiên cứu đã có trước để kiểm tra tính chính xác của chương trình

- Rút ra kết luận và nêu hướng phát triển của đề tài

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 02/07/2010

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS NGÔ HỮU CƯỜNG

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua

Tp.HCM, ngày tháng _ năm 2010

(Họ tên và chữ ký)

Lời Cảm Ơn

Lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn luận án, TS.Ngô Hữu Cường, người thầy mẫu mực và uyên bác, người cố vấn đầy kinh nghiệm, đã tận tình hướng dẫn, định hướng khoa học và động viên tinh thần cho tôi vượt qua những khó khăn trong suốt quá trình nghiên cứu Đạo đức và tri thức của thầy luôn là tấm gương sáng cho chúng tôi học tập và phấn đấu

Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, Phòng Quản lý khoa học và Sau đại học, Khoa Kỹ thuật xây dựng cùng các thầy cô đã giảng dạy tôi trong suốt quá trình tôi học tập tại nhà trường

Một lòng biết ơn vô hạn xin gửi tới cha mẹ là chỗ dựa tinh thần, luôn an ủi động viên chúng tôi, giúp tôi có thêm nghị lực để vượt qua mọi khó khăn trong cuộc sống

Tôi xin cảm ơn các thầy cô, đồng nghiệp ở trường Đại học Tôn Đức Thắng đã giúp đỡ cho tôi rất nhiều trong quá trình tôi làm luận án này

Xin chân thành cảm ơn !

Ngày 02 tháng 07 năm 2010

TRẦN HỮU HUY

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 8  

1.1.  PHÂN TÍCH PHI TUYẾN 11 

1.1.1.  Phi tuyến hình học 11 

1.1.2.  Phi tuyến vật liệu 11 

1.2.  GIỚI THIỆU VẬT LIỆU LIÊN HỢP THÉP NHỒI BÊ TÔNG 12 

1.2.1.  Giới thiệu 12 

1.2.2.  Ưu khuyết điểm của kết cấu thép nhồi bê tông 13 

1.3.  MỘT SỐ ĐẶC ĐIỂM CỦA KẾT CẤU LIÊN HỢP THÉP – BÊ TÔNG 14 

1.3.1.  Đối với cấu kiện chịu nén đúng tâm 14 

1.3.2.  Đối với cấu kiện chịu nén uốn đồng thời 14 

1.4.  TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI 15 

1.4.1.  Tình hình nghiên cứu trên thế giới 15 

1.4.2.  Tình hình nghiên cứu ở Việt Nam 17 

1.5.  MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI 17 

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 19  

2.1.  GIỚI THIỆU 19 

2.2.  MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 19 

2.2.1.  Các giả thiết 19 

2.2.2.  Mô hình vật liệu 20 

2.3.  PHƯƠNG PHÁP RAYLEIGH – RITZ 21 

2.3.1.  Năng lượng biến dạng phần tử 21 

2.3.2.  Thế năng của lực tác dụng 28 

2.3.3.  Nguyên lý thế năng toàn phần dừng 28 

2.4.  CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG GIA TĂNG 46 

3.2.  CHI TIẾT QUÁ TRÌNH PHÂN TÍCH 48 

3.2.1.  Mô hình phần tử 48 

3.2.2.  Ứng suất dư 49 

3.2.3.  Chuyển từ hệ trục tọa độ địa phương về tọa độ toàn cục 52 

3.2.4.  Xác định trạng thái phần tử thớ 53 

3.3.  THUẬT TOÁN GIẢI PHI TUYẾN 53 

3.3.1. Giới thiệu 53 

3.3.2. Thuật toán Euler 54 

3.3.3. Kỹ thuật điều chỉnh công 55 

3.3.4. Kết luận 57 

3.4.  LƯU ĐỒ THUẬT TOÁN C.TRÌNH “VÙNG DẺO ỐNG THÉP NHỒI BÊ TÔNG” 58 

CHƯƠNG 4: CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 59  

4.1.  GIỚI THIỆU 59 

4.2.  KHẢO SÁT LỰC TỚI HẠN CỦA CỘT CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 61 

4.2.1.  Cột hai đầu khớp – bài toán Euler 61 

4.2.2.  Cột một đầu ngàm – đầu tự do 63 

4.2.3.  Nhận xét 65 

4.3.  KIỂM TRA KHẢ NĂNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM CỦA CỘT NHỒI BÊ TÔNG 65 

4.4.  KHẢO SÁT DẦM THÉP RỖNG ĐƠN GIẢN 68 

4.4.1.  Lý thuyết tính toán 68 

4.4.2.  Mẫu 1 (150 x 150 x 10) 70 

4.4.3.  Mẫu 2 (250 x 150 x 10) – trục chính 72 

4.4.4.  Mẫu 3 (250 x 150 x 10) – trục phụ 74 

4.4.5.  Mẫu 4 (280 x 180 x 10) chịu tải phân bố đều 76 

4.4.6.  Nhận xét – kết luận 79 

4.5.  PHÂN TÍCH KHÔNG ĐÀN HỒI CẤU KIỆN CHỊU KÉO (NÉN) LỆCH TÂM (CẤU KIỆN DẦM – CỘT) 79 

4.5.1.  Khảo sát mẫu của Cederwall 79 

4.5.2.  Khảo sát mẫu của Shakir-Khalil và Zeghiche 82 

4.5.3.  Khảo sát mẫu của Bridge R Q 85 

4.6.  PHÂN TÍCH KHÔNG ĐÀN HỒI KHUNG PHẲNG 88 

4.6.1.  Khung cổng 1 tầng 1 nhịp 88 

4.6.2.  Khung 4 tầng 4 nhịp 90 

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN 95  

5.1.  TÓM TẮT ĐỀ TÀI 95 

5.2.  KẾT LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 96 

5.3.  HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 97 

TÀI LIỆU THAM KHẢO: 98  

PHỤ LỤC: MÃ NGUỒN CHƯƠNG TRÌNH “CFT-PZ”

MỤC LỤC HÌNH MINH HỌA

Hình 1 Một số tiết diện liên hợp thường gặp Trang 12

Hình 2 Mô hình phần tử hữu hạn dầm cột phẳng Trang 19

Hình 3 Mô hình đàn dẻo lý tưởng của vật liệu thép Trang 20

Hình 4 Mô hình vật liệu bê tông được lấy theo Eurocode 2 Trang 21

Hình 5 Biểu đồ quan hệ ứng suất biến dạng của thép và bê tông Trang 22

Hình 6 Mô hình phần tử dầm - cột điển hình Trang 28

Hình 7 Sơ đồ chia phần tử hữu hạn con để mô phỏng

lan truyền dẻo theo chiều dài phần tử Trang 48 Hình 8 Chi tiết cách chia thớ phần tử trên mặt cắt ngang Trang 49

Hình 9 Giả thiết mô hình ứng suất dư trong ống thép

tiết diện chữ nhật rỗng theo Key và Hancock Trang 50 Hình 10 Giả thiết ứng suất dư trên các thớ trong ống thép

theo Key và Hancock Trang 51 Hình 11 Giới hạn vùng cánh và vùng bụng của tiết diện chữ nhật rỗng Trang 51

Hình 12 Ứng xử tải trọng – chuyển vị của khung cổng không đàn hồi Trang 54

Hình 13 Sơ đồ minh họa thuật toán Euler đơn giản Trang 54

Hình 14 Minh họa thuật toán điều khiển công hằng Trang 56

Hình 15 Sơ đồ tính cột hai đầu khớp Trang 61

Hình 16 So sánh lực tới hạn cột hai đầu khớp Trang 62

Hình 17 So sánh lực tới hạn cột hai đầu khớp có và không có nhồi bê tông Trang 63

Hình 18 Sơ đồ tính cột một đầu ngàm Trang 63

Hình 19 So sánh lực tới hạn cột một đầu ngàm Trang 64

Hình 20 So sánh lực tới hạn cột một đầu ngàm có và không có nhồi bê tông Trang 64

Hình 21 Dạng đường quan hệ tải trọng – chuyển vị chương trình “CFT-PZ” Trang 66

Hình 22 Sơ đồ tính của dầm đơn giản chịu tải tập trung Trang 68

Hình 23 Sơ đồ ứng suất trên mặt cắt ngang

khi dầm làm việc trong giai đoạn đàn hồi Trang 68 Hình 24 Sơ đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang

khi dầm làm việc ngoài miền đàn hồi Trang 69 Hình 25 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị dầm đơn giản

chịu tải trọng tập trung – mẫu 1 Trang 71 Hình 26 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị dầm đơn giản

chịu tải tập trung có và không nhồi bê tông – mẫu 1 Trang 72 Hình 27 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị dầm đơn giản

chịu tải trọng tập trung – mẫu 2 Trang 73 Hình 28 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị dầm đơn giản

chịu tải tập trung có và không nhồi bê tông – mẫu 2 Trang 74 Hình 29 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị dầm đơn giản

chịu tải trọng tập trung – mẫu 3 Trang 75 Hình 30 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị dầm đơn giản

chịu tải tập trung có và không nhồi bê tông – mẫu 3 Trang 76 Hình 31 Sơ đồ tính dầm đơn giản chịu tải phân bố đều Trang 76

Hình 32 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị dầm đơn giản

chịu tải trọng tập trung – mẫu 4 Trang 77 Hình 33 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị dầm đơn giản

chịu tải tập trung có và không nhồi bê tông – mẫu 4 Trang 78 Hình 34 Sơ đồ tính cấu kiện dầm – cột ống thép nhồi bê tông theo Cederwall Trang 79

Hình 35 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị theo mẫu của Cederwall Trang 81

Hình 36 Sơ đồ tính cấu kiện dầm – cột ống thép nhồi bê tông

theo Shakir-Khalil và Zeghiche Trang 82 Hình 37 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị mẫu 1 theo mẫu

của Shakir-Khalil và Zeghiche Trang 83 Hình 38 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị mẫu 2 theo mẫu

Hình 39 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị mẫu 3 theo mẫu

của Shakir-Khalil và Zeghiche Trang 84 Hình 40 Sơ đồ tính cấu kiện dầm – cột ống thép nhồi bê tông

theo Bridge R Q Trang 85 Hình 41 So sánh quan hệ tải trọng – chuyển vị theo mẫu của Bridge R Q Trang 87

Hình 42 Sơ đồ tính của khung 1 tầng 1 nhịp Trang 88

Hình 43 Biểu đồ chuyển vị của nút 4 – khung 1 tầng 1 nhịp Trang 89

Hình 44 Sơ đồ chất tải và sơ đồ chảy dẻo của vỏ thép Trang 89

Hình 45 Sơ đồ chất tải và sơ đồ chảy dẻo của vỏ thép khi chịu tải phân bố đều Trang 90

Hình 46 Sơ đồ tính của khung 4 nhịp 4 tầng Trang 90

Hình 47 Sơ đồ đánh số phần tử của khung 4 nhịp 4 tầng Trang 91

Hình 48 Biểu đồ chuyển vị ngang các nút theo chiều cao tầng Trang 92

Hình 49 Sơ đồ chất tải và đánh số phần tử khung 4 tầng 4 nhịp Trang 92

Hình 50 Sơ đồ chảy dẻo vỏ thép của khung 4 tầng 4 nhịp Trang 93

Hình 51 So sánh chuyển vị ngang của nút 21 khi cột có và không nhồi bê tông Trang 93

MỤC LỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1: Định dạng dữ liệu nhập vào chương trình CFT-PZ Trang 59

Bảng 2: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang cột nén đúng tâm Trang 61

Bảng 3: So sánh kết quả cột nhồi bê tông nén đúng tâm

với Guo, Zhang, Kim và Ranzi Trang 66 Bảng 4: So sánh kết quả cột nhồi bê tông nén đúng tâm

với Guo, Zhang, Kim và Ranzi Trang 67 Bảng 5: Đặc trưng hình học mặt cắt ngangdầm thép rỗng chịu uốn – Mẫu 1 Trang 70

Bảng 6: So sánh kết quả dầm đơn giản chịu uốn với lý thuyết – Mẫu 1 Trang 71

Bảng 7: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang dầm thép rỗng chịu uốn – Mẫu 2 Trang 72

Bảng 8: So sánh kết quả dầm đơn giản chịu uốn với lý thuyết – Mẫu 2 Trang 73

Bảng 9: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang dầm thép rỗng chịu uốn – Mẫu 3 Trang 74

Bảng 10: So sánh kết quả dầm đơn giản chịu uốn với lý thuyết – Mẫu 3 Trang 75

Bảng 11: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang dầm thép rỗng chịu uốn – Mẫu 4 Trang 77

Bảng 12: So sánh kết quả dầm đơn giản chịu uốn với lý thuyết – Mẫu 4 Trang 78

Bảng 13: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang mẫu của Cederwall Trang 80

Bảng 14: Kết quả phân tích của Cederwall và Hajjar Trang 80

Bảng 15: So sánh kết quả phân tích với Cederwall và Hajjar Trang 81

Bảng 16: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang mẫu

của Shakir-Khalil và Zeghiche Trang 82 Bảng 17: So sánh kết quả phân tích với Shakir-Khalil và Zeghiche Trang 82

Bảng 18: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang mẫu của Bridge R Q Trang 85

Bảng 19: Kết quả phân tích của Bridge và Hajjar Trang 85

Bảng 20: So sánh kết quả phân tích với Bridge và Hajjar Trang 87

Bảng 21: Tiết diện khung 1 nhịp 1 tầng Trang 88

f Cường độ nén của mẫu bê tông trụ tròn

u Năng lượng biến dạng của một vi phân thể tích

U Năng lượng tổng cộng của phần tử

A Diện tích phần bê tông chịu nén có ứng suất lớn hơn f ck

W Thế năng của lực tác dụng

w(x) Tải phân bố tác dụng trên phần tử

v(P) Chuyển vị được tính tại vị trí của lực tập trung P

v(x) Chuyển vị do tải phân bố w(x) gây ra cho phần tử

{ }u Véc tơ chuyển vị dọc trục ứng với hệ tọa độ tổng quát

{ }v Véc tơ chuyển vị xoay ứng với hệ tọa độ tổng quát

{ }N axial Véc tơ hàm dạng cho chuyển vị dọc trục

{ }N bend Véc tơ hàm dạng cho uốn

r

σ Ứng suất dư trên mặt cắt ngang

b Bề rộng của vỏ thép chữ nhật rỗng

h Chiều cao của vỏ thép chữ nhật rỗng

tf Bề dày bản cánh trên và dưới của tiết diện chữ nhật rỗng

t Bề dày bản bụng của tiết diện chữ nhật rỗng

[ ]M dh Mômen tới hạn trong giai đoạn đàn hồi

[ ]P dh Tải trọng tập trung tới hạn tác dụng trên dầm chịu uốn trong giai đoạn

đàn hồi [ ]M deo Mômen tới hạn ngoài miền đàn hồi

[ ]P deo Tải trọng tập trung tới hạn tác dụng trên dầm chịu uốn ngoài giai đoạn

đàn hồi

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN

1.1.1 Phi tuyến hình học

Phân tích kết cấu là quá trình cần xác định nội lực và chuyển vị của kết cấu cho trước dưới

một điều kiện tải trọng nào đó Phân tích tuyến tính giả thiết quan hệ biến dạng – tải trọng là tỷ

lệ Vì vậy, quan hệ giữa chuyển vị và lực tác dụng ở bất cứ điểm nào trong kết cấu cũng là quan

hệ bậc nhất Điểm thuận lợi của phương pháp này là dễ tính toán và phù hợp với nguyên lý cộng

tác dụng trong các trường hợp tải trọng khác nhau Tuy nhiên, loại phân tích này không phản ánh

được sự mất ổn định và khả năng chịu tải thực của kết cấu

Phân tích phi tuyến hình học là phân tích có kể đến ảnh hưởng do sự biến đổi hình học của

cấu kiện kết cấu khi chịu tải Do đó, ma trận độ cứng nhận được khác với ma trận độ cứng khi

phân tích tuyến tính vì phụ thuộc vào sự chuyển vị của cấu kiện kết cấu Phân tích phi tuyến hình

học cần đến một thủ tục lặp theo cách gia tải từng bước do sự thay đổi hình học của kết cấu

không được biết khi thành lập phương trình cân bằng và quan hệ động học Dạng hình học thay

đổi của kết cấu đạt được ở bước tính toán trước được làm cơ sở cho việc thành lập phương trình

cân bằng và quan hệ động học cho bước tính toán hiện tại

1.1.2 Phi tuyến vật liệu

Tải giới hạn của khung phụ thuộc vào sự phá hoại vật liệu hoặc sự mất ổn định của một

cấu kiện hoặc của toàn kết cấu Các nghiên cứu về ứng xử không đàn hồi của khung đã gia tăng

từ khi lý thuyết phân tích trạng thái tới hạn được chấp nhận trong phân tích kết cấu Có nhiều

phương pháp khác nhau dựa trên hai phương pháp chủ yếu đó là: phương pháp khớp dẻo và

phương pháp vùng dẻo

Trong phương pháp khớp dẻo đơn giản, phần tử được giả thiết vẫn còn hoàn toàn đàn hồi

giữa các đầu mút của nó, và một khi sự chảy dẻo của mặt cắt ngang được tìm thấy, một khớp dẻo

được đặt tại đầu mút của phần tử Những khớp dẻo này được xem như khớp lý tưởng trong thuật

toán gia tăng với mômen uốn không đổi trong những bước kế tiếp

Phương pháp trên khó có thể mô phỏng sự lan truyền dẻo qua mặt cắt ngang cấu kiện, bởi

vì chúng cần đến mặt chảy dẻo để giả lập điều đó Hơn nữa, trong thực tế ta thấy sự chảy dẻo còn

lan truyền dọc theo chiều dài phần tử, đặc biệt là các phần tử chịu lực dọc lớn Do đó, trong các

Phương pháp vùng dẻo chia mặt cắt ngang của phần tử thành nhiều thớ để mô hình hóa sự

chảy dẻo qua mặt cắt ngang có kể đến tác động của ứng suất dư và nhiều phần tử hữu hạn được

sử dụng dọc theo chiều dài phần tử để mô phỏng sự chảy dẻo dọc theo chiều dài Thêm nữa, kỹ

thuật giải bài toán phi tuyến thường cần tăng tải từ từ cho đến khi kết cấu bị phá hoại Do đó, khi

thực hiện trên máy tính, phương pháp này cần đến nhiều bộ nhớ để lưu trữ, cần nhiều thời gian

và công sức tính toán do phải giải lặp lại nhiều lần

1.2.1 Giới thiệu

Sự kết hợp của hai loại vật liệu thép và bê tông tạo thành một dạng vật liệu liên hợp có

những ưu điểm như cường độ cao, độ cứng lớn và dẻo dai Vật liệu liên hợp này đã phát triển tại

Hoa Kỳ từ những thập niên 1960, với dạng dầm sàn bê tông cốt thép (BTCT) liên hợp trong một

số công trình nhà cao tầng Đến cuối thập niên 1970, cột liên hợp đã được sử dụng nhiều trong

các công trình công nghiệp Tuy nhiên, việc áp dụng dạng kết cấu này cho các công trình dân

dụng chưa được rộng rãi vì chưa có nhiều tiêu chuẩn tính toán

Sau đây xin giới thiệu ba loại tiết diện liên hợp thường được sử dụng trong các công trình

dân dụng và công nghiệp, đặc biệt là các công trình cao tầng

- Hình a) là thép được bao bọc bởi bê tông, lõi thép thường là thép hình có tiết diện chữ I

Được gọi tắt là SRC – “Steel-Encased Concrete”

- Hình b) và c) là bê tông được đổ vào trong ống thép có tiết diện chữ nhật và tròn Gọi

tắt là RCFT (Rectangular Concrete-Filled steel Tube) và CCFT (Circular Concrete-Filled steel

Tube”

Hình 1: Một số tiết diện liên hợp

Công nghệ chế tạo ống thép sử dụng trong loại kết cấu này đặc biệt có ý nghĩa đối với ứng

xử của loại kết cấu này bởi vì nó quyết định dạng và hình thức phân bố của ứng suất dư trong

ống thép

1.2.2 Ưu khuyết điểm của kết cấu thép nhồi bê tông

1.2.2.1 Ưu điểm

Kết cấu ống thép nhồi bê tông có nhiều ưu điểm hơn so với kết cấu bê tông cốt thép hoặc

kết cấu thép thông thường Một trong những ưu điểm chính của kết cấu ống thép nhồi bê tông đó

là sự tương tác giữa ống thép và bê tông: do bê tông được nhồi vào trong ống thép nên làm tăng

độ ổn định cục bộ của thành ống, đồng thời cường độ của bê tông được tăng lên do hiện tượng

cản trở sự nở hông của bê tông do thành ống thép Cường độ của ống thép lớn có thể giúp làm

giảm trọng lượng kết cấu Như một kết quả tất yếu, loại kết cấu này được sử dụng rộng rãi trong

các kết cấu nhịp lớn và kết cấu nhà cao tầng tại một số quốc gia

Việc bảo trì kết cấu liên hợp thường tỉ lệ với tải trọng mà kết cấu đó phải chịu theo trạng

thái phá hoại của bê tông và ngưỡng chảy dẻo của thép Khi được đổ đầy bê tông, độ cứng và

cường độ của cột thép tăng lên, đồng thời làm giảm độ mảnh của cột Từ đó, trong thiết kế ta có

thể giảm kích thước mặt cắt ngang của tiết diện Nhờ đó, ta có thể tăng chiều dài nhịp cũng như

cắt giảm bớt chi phí sơn hoàn thiện công trình và hạn chế được những vị trí han gỉ của công

trình

Trên mặt cắt ngang của kết cấu này có tỷ lệ thép trên bê tông lớn hơn đối với kết cấu bê

tông thường Đồng thời, lớp thép này nằm bao lấy bên ngoài tiết diện, nên khi chịu mômen uốn,

loại kết cấu này có khả năng chảy dẻo rất tốt

Về hiệu quả xây dựng, do ít tốn công gia công cốt thép ngoài hiện trường vì phần lớn cấu

kiện được chế tạo sẵn tại nhà máy, cũng như khi chế tạo cấu kiện sẽ sử dụng phương pháp bơm

bê tông vào trong ống Chính vì vậy, vấn đề vệ sinh công trường được đảm bảo tốt, ít tốn nhân

công, chi phí và giảm được thời gian thi công công trình

Lõi bê tông trong kết cấu này được bao bọc bởi vỏ thép và nó có khả năng hấp thụ bớt

nhiệt của vỏ thép khi bị cháy, đây là nguyên nhân làm tăng khả năng chống cháy của loại kết cấu

này Việc nhồi bê tông vào trong ống thép đã nâng cao được độ bền ăn mòn, chống rỉ mặt trong,

làm tăng sức chống móp của vỏ ở các mối nối và khi bị va đập trong quá trình vận chuyển và láp

ráp

Biến dạng của bê tông do quá trình co ngót và từ biến là nguyên nhân của sự phân bố lại tải

trọng và gia tăng ứng suất trong tiết diện ngang của ống thép Đối với RCFT và CCFT, do bê

tông nằm trong ống thép nên hiện tượng co ngót được giảm đáng kể

Về vấn đề môi trường trong trường hợp sử dụng RCFT hoặc CCFT, ta giảm một lượng lớn

cốp pha cho công trình, vì bê tông được đổ vào trong ống thép Do đó, chất lượng bê tông khá

cao, giảm chất thải ra môi trường và giảm được chi phí thi công

1.2.2.2 Khuyết điểm

Giá thành xây dựng tương đối cao

Mối nối giữa dầm và cột của loại kết cấu này khá phức tạp, do đó việc thiết kế có tính phức

tạp cao

Biện pháp thi công phức tạp, đòi hỏi nhiều máy móc thiết bị Đây cũng là một nguyên nhân

làm tăng giá thành xây dựng của loại kết cấu này

Khi ống thép bị chảy dẻo dưới ứng suất dọc trục, thì hiệu ứng nén ngang của bê tông trong

ống thép bị giảm mạnh

1.3.1 Đối với cấu kiện chịu nén đúng tâm

Đối với cột ngắn: Dạng tiết diện tròn có cường độ nén tới hạn khá lớn do bê tông không bị

nở hông dưới tác dụng cản lại của ống thép Đối với tiết diện vuông hoặc chữ nhật, hiệu ứng nén

ngang này nhỏ hơn so với tiết diện tròn

Đối với cột dài: Lực nén tới hạn của một cột thép nhồi bê tông có thể lấy bằng tổng lực tới

hạn riêng lẻ của ống thép và của lõi bê tông Ở đây không kể đến hiệu ứng nén ngang của lõi bê

tông bất kể tiết diện có hình dạng gì Độ cứng nén dọc trục trong giai đoạn đàn hồi được lấy

bằng tổng độ cứng của ống thép và của lõi bê tông Tuy nhiên, cần lưu ý hiện tượng tập trung

ứng suất tại những vị trí liên kết của các thanh vì tại những vị trí này chỉ có vỏ thép được liên

kết Ngoài ra, hiện tượng từ biến và co ngót bê tông cũng cần phải được lưu ý

1.3.2 Đối với cấu kiện chịu nén uốn đồng thời

Cường độ chịu uốn của ống thép nhồi bê tông lớn hơn nhiều so với tổng cường độ chịu uốn

của ống thép và của lõi bê tông, nguyên nhân cũng từ hiệu ứng nén ngang của bê tông Đồng

thời, sự gia tăng cường độ của tiết diện vuông cũng nhỏ hơn so với tiết diện tròn Ngoài ra, độ

dẻo dai của thanh có tiết diện tròn cũng lớn hơn so với thanh có tiết diện chữ nhật Việc sử dụng

bê tông cường độ cao sẽ làm giảm tính dẻo dai của cấu kiện

1.4 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

1.4.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Năm 2007, Lanhui Guo, Sumei Zhang, Wha-Jung Kim và Gianluca Ranzi [2] đã khảo sát

hiện tượng mất ổn định cục bộ trong ống thép rỗng và ống thép được nhồi đầy bê tông ứng với

những tỉ số giữa đường kính và chiều dày ống khác nhau Các thí nghiệm được tiến hành và thu

thập kết quả từ 24 mẫu thử sẽ được trình bày trong nghiên cứu này Những mẫu thử được thí

nghiệm có tỉ số đường kính / chiều dày ống thép nằm trong khoảng từ 50 đến 125 Trong trường

hợp bê tông được nhồi đầy vào ống thép, trạng thái mất ổn định cục bộ được quan sát và người ta

thấy rằng khả năng chịu mất ổn định cục bộ trong trường hợp này được nâng cao đáng kể Từ đó,

một mô hình tính toán sử dụng phương pháp số với phần mềm ABAQUS được nghiên cứu và

phát triển

Nhìn từ quan điểm thiết kế, nghiên cứu này cho biết hiện tượng mất ổn định cục bộ có thể

được bỏ qua trong trường hợp tỉ số đường kính / chiều dày ống thép dưới 50 Trường hợp tỉ số

này nằm trong khoảng từ 50 đến 120 thì cần xét vấn đề ổn định cục bộ trong quá trình tính toán

Trường hợp tỉ số này lớn hơn 120, sự mất ổn định cục bộ trong ống thép tăng cao Và cuối cùng

nghiên cứu này đề xuất công thức tính toán khả năng chịu lực của tiết diện liên hợp trong hai

trường hợp ống thép dày và ống thép mỏng

Năm 2007, Lin-Hai Han, Wei Liu và You-Fu Yang [3] nghiên cứu ứng xử của cột ống ngắn

nhồi bê tông chịu tải trọng nén đúng tâm Quá trình thí nghiệm được tiến hành trên 32 mẫu thử

Các thông số chính cần khảo sát trong quá trình thí nghiệm đó là:

- Loại tiết diện: tròn hay vuông

- Tỉ số nén cục bộ

- Độ dày của ống thép: từ 2 mm đến 12 mm

Nghiên cứu này sử dụng mô hình phần tử hữu hạn để phân tích ứng xử của cột ống ngắn

nhồi bê tông chịu tải trọng nén đúng tâm Kết quả tính toán được so sánh với các kết quả thí

nghiệm của các mẫu thử Từ đó, người ta đưa ra một mô hình tiêu chuẩn để tính toán cho loại

cấu kiện này

Trong một nghiên cứu khác, năm 2003, Yan Xiao, Wenhui He, Xiaoyong Mao, Kang-kyu

Choi và Pingsheng Zhu đã giới thiệu sự cải tiến trong cột thép nhồi bê tông để cải thiện khả năng

được đề xuất và được kiểm tra trong suốt quá trình thí nghiệm Một dạng cột nhồi bê tông mới,

có tên là CCFT (cột ống thép tròn nhồi bê tông), được kỳ vọng sẽ cải thiện được những hạn chế

của loại cột thép nhồi bê tông thông thường và đó sẽ là loại kết cấu lý tưởng để lựa chọn để chịu

các loại tải trọng động

Năm 2008, J.Y Richard Liew và D.X Xiong [10] đã nghiên cứu ảnh hưởng của việc gia tải

trước đối với khả năng chịu tải trọng dọc trục của cột thép nhồi bê tông Kết cấu này thường

được ưu tiên lựa chọn trong các công trình nhịp lớn và cao tầng, bởi vì nó có cường độ cao và độ

cứng lớn so với kết cấu thép và bê tông cốt thép thông thường Tuy nhiên, trước khi được đổ đầy

bê tông, ống thép đã bị gia tải trước dưới tác dụng của tải trọng từ bản sàn bên trên và các tải

trọng khác trong quá trình xây dựng Việc gia tải trước này, gây ra ứng suất và biến dạng ban đầu

của ống thép, điều này có thể ảnh hưởng đến khả năng chịu tải của kết cấu cột liên hợp này

Trong nghiên cứu này, một phương pháp thiết kế được hiệu chỉnh từ Eurocode 4, xét đến

ảnh hưởng của vấn đề gia tải trước, được sử dụng để đánh giá khả năng chịu tải trọng của loại

kết cấu này Tám mẫu ống thép nhồi bê tông theo tỉ lệ thực đã được thí nghiệm Các đại lượng

cần được khảo sát đó là: cường độ của bê tông đổ vào ống thép, độ mảnh của cột và độ lớn của

tải trọng gia tải trước tác dụng lên ống thép Kết quả nhận được từ lý thuyết sẽ được so sánh với

kết quả thí nghiệm và các kết quả đã được công bố Việc so sánh này cho thấy rằng, kết quả thí

nghiệm cao hơn các kết quả trung bình đã được công bố khoảng 3% Khi phân tích bằng phần tử

hữu hạn, kết quả thu được cao hơn kết quả đã công bố khoảng 8%

Cũng trong năm 2008, J F Hajjar đã có bài tổng hợp các ứng xử của cột ống nhồi bê tông

tiết diện tròn và chữ nhật Trong đó, đặc biệt chú ý đến ứng xử của loại kết cấu này dưới tác

dụng của tải trọng động Việc khảo sát này được bắt đầu từ những nghiên cứu về ứng xử của cột

nhồi bê tông dưới tác dụng thuần túy của lực dọc, mômen uốn và mômen xoắn Đồng thời, tổng

hợp tất cả các ứng xử của loại kết cấu này dưới ảnh hưởng của hiện tượng co ngót, từ biến và

ứng suất dư Dựa vào những ứng xử của cột ống nhồi bê tông dưới tác dụng riêng lẻ của các tác

nhân trên để làm cơ sở nghiên cứu ứng xử của nó đối với tải trọng chu kỳ Từ đó, đưa ra những

kết luận về ứng xử động của loại kết cấu này

Ngoài ra, F Hajjar và Aleksandr Molodan [15] đã nghiên cứu mô hình phần tử hữu hạn

không đàn hồi ba chiều dành cho kết cấu dầm – cột tiết diện tròn và chữ nhật chịu tải trọng chu

kỳ Bài viết này có kể đến sự phi tuyến hình học và hiện tượng trượt của lớp trung gian giữa lõi

bê tông và ống thép Mô hình vật liệu chịu tải lặp của thép và bê tông được đề xuất dựa trên sự

chảy dẻo tại mặt biên của không gian ứng suất Đồng thời, bài viết này cũng đã điều chỉnh một

số mô hình mẫu thép ống và những thí nghiệm uốn để xác định các giới hạn chảy của loại kết

cấu này Việc kiểm chứng mô hình được tiến hành bằng cách so sánh với một vài mẫu thí

nghiệm cùng và không cùng kích thước với nó khi chịu tải tĩnh và tải trọng động Cuối cùng là

thí nghiệm để so sánh kết quả phân tích của một khung gồm ba dầm tiết diện I được liên kết vào

cột thép nhồi bê tông, khi cột này chịu tải trọng dọc trục và mômen uốn theo cả hai phương

1.4.2 Tình hình nghiên cứu ở Việt Nam

Ở Việt Nam đã có một số tài liệu viết về loại kết cấu này Tác giả Nguyễn Viết Trung và

Trần Việt Hùng đã viết cuốn sách “Ống thép nhồi bê tông” trình bày một số lý thuyết và mô hình

phần tử hữu hạn để tính toán loại kết cấu này Đồng thời, tài liệu này còn trình bày công nghệ thi

công loại kết cấu này Tuy nhiên, lý thuyết tính toán và thiết kế loại kết cấu này được trình bày

trong giới hạn đàn hồi

Nhóm tác giả PGS PTS Phạm Ngọc Khánh, Lê Mạnh Lân, Vũ Tuấn Dũng có bài dịch từ

sách của tác giả A I Kikin, R S Sanzharovski, V A Trull (Nga) về loại kết cấu này Tuy

nhiên, sách chỉ trình bày lý thuyết tính toán về cấu kiện của loại ống thép nhồi bê tông tiết diện

tròn và vật liệu cũng làm việc trong giai đoạn đàn hồi

Kết cấu loại này được dùng nhiều trong các công trình cầu cảng Tuy nhiên, trong các bài

viết chỉ chủ yếu trình bày các lý thuyết tính toán thiết kế và công nghệ thi công của loại kết cấu

này Các nghiên cứu về ứng xử ngoài miền đàn hồi về loại kết cấu này ở Việt Nam hầu như chưa

được quan tâm nhiều

Qua những vấn đề đã được tìm hiểu bên trên, ta thấy kết cấu ống thép nhồi bê tông có

những ưu điểm nổi bật về độ cứng và độ ổn định so với kết cấu ống thép thông thường Do đó

việc nghiên cứu về ứng xử phi tuyến của loại kết cấu này là hết sức cần thiết để làm cơ sở cho

công tác thiết kế nhằm mở ra một hướng mới cho việc áp dụng loại kết cấu này vào các công

trình ở Việt Nam trong tương lai

Mục tiêu chủ yếu của đề tài này là phát triển một công cụ để phân tích phi tuyến cho kết

cấu ống thép nhồi bê tông, cụ thể như sau:

- Phát triển một phần tử không đàn hồi cho cấu kiện phẳng ống thép nhồi bê tông có khả

năng mô phỏng ứng xử không đàn hồi qua mặt cắt ngang và theo chiều dài cấu kiện, sự dịch

chuyển trục trung hòa của lõi đàn hồi, sự hiện diện của ứng suất dư, độ sai lệch hình học ban đầu

- So sánh kết quả đạt được với một số kết quả nghiên cứu đã có trước để kiểm tra tính

chính xác của chương trình

- Rút ra kết luận và nêu hướng phát triển của đề tài

CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN

Chương này trình bày cách xây dựng một phần tử hữu hạn để mô phỏng ứng xử không đàn

hồi của kết cấu khung ống thép nhồi bê tông bằng phương pháp phần tử hữu hạn Phần tử này có

kể đến ứng suất dư, sự chảy dẻo từng phần và sự dịch chuyển trục trung hòa của lõi đàn hồi

Phương trình cân bằng gia tăng của phần tử được khai triển dùng công thức năng lượng và

phương pháp Rayleigh-Ritz

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp tính được nhiều nhà nghiên cứu lựa chọn

trong quá trình phân tích kết cấu Hai thuận lợi chính của phương pháp này là khả năng lập trình

máy tính dễ dàng và tính linh hoạt khi phân tích mọi dạng kết cấu

2.2.1 Các giả thiết

Xét một phần tử dầm cột có chiều dài L không đổi với những lực phần tử đặc trưng thường

gặp trong phân tích kết cấu khung như hình vẽ

Hình 2: Phần tử dầm cột phẳng với 3 chuyển vị nút phần tử

Như vậy, mỗi phần tử có ba thành phần chuyển vị tại mỗi đầu của phần tử trong đó có hai

thành phần chuyển vị thẳng và một thành phần chuyển vị xoay Các thành phần chuyển vị này

được định nghĩa là chuyển vị tại trọng tâm của mặt cắt tại đó

Trong quá trình phân tích kết cấu trên, các giả thiết sau được dùng để phát triển phần tử

dầm-cột ống thép nhồi bê tông:

- Phần tử ban đầu thẳng và có dạng lăng trụ

- Mặt cắt ngang trước và sau khi biến dạng đều phẳng và vuông góc với trục thanh

- Biến dạng phần tử có thể là nhỏ, nhưng chuyển vị của toàn hệ có thể là lớn

- Ứng xử không đàn hồi của các thớ trên tiết diện chỉ chịu ảnh hưởng của các ứng suất

chính

- Tải trọng tác dụng lên phần tử đều là tải trọng tĩnh

- Bỏ qua hiện tượng mất ổn định của thành ống thép

- Xem kích thước mặt cắt ngang của ống thép là không đổi trong suốt quá trình chịu lực

- Mô hình vật liệu thép là đàn dẻo tuyệt đối và không có sự tái bền, mô hình vật liệu bê

tông được lấy theo Eurocode và bỏ qua khả năng chịu kéo nó

- Để đơn giản quá trình phân tích, bỏ qua hiệu ứng trượt giữa ống thép và lõi bê tông

trong quá trình chịu lực Tức là xem ống thép và lõi bê tông luôn gắn chặt vào nhau

- Bỏ qua hiệu ứng nén ngang của lõi bê tông

Neùn

Hình 3: Mô hình đàn dẻo lý tưởng của vật liệu thép

2.2.2.2 Đối với bê tơng

Mơ hình vật liệu bê tơng được lấy theo Eurocode 4: “Design of composite steel and

concrete structures” Tuy nhiên, mơ hình vật liệu bê tơng trong Eurocode 4 được lấy giống như

mơ hình vật liệu bê tơng trong Eurocode 2: “Design of concrete structure” Từ đĩ, ta tìm được

mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của bê tơng như sau:

đường lý thuyết

đường thiết kế

Hình 4: Mơ hình vật liệu bê tơng được lấy theo Eurocode 2

Ta chọn đường quan hệ lý tưởng giữa ứng suất và biến dạng của bê tơng, từ đĩ ta cĩ được

phương trình σ =c 1000εc(250ε +c 1 f) ck

Trong đĩ f là cường độ nén của mẫu bê tơng trụ trịn ck

Phương pháp Rayleigh – Ritz là một cơng cụ để giải các phương trình vi phân chủ đạo

khơng viết được ở dạng rõ ràng cho vật rắn hoặc kết cấu Trong đĩ, hàm thế năng tồn phần

được viết như một tổng năng lượng biến dạng bên trong phần tử và thế năng của tải tác dụng vào

phần tử

2.3.1 Năng lượng biến dạng phần tử

Một cơng thức năng lượng cùng với phương pháp Rayleigh – Ritz được dùng để thiết lập

hệ phương trình mơ tả ứng xử của phần tử dầm cột ống thép nhồi bê tơng chịu tải trọng tỉnh

Biểu đồ quan hệ ứng suất – biến dạng của hai loại vật liệu được thể hiện như hình bên dưới:

Hình 5: Biểu đồ quan hệ ứng suất biến dạng của thép và bê tông

Mật độ năng lượng biến dạng của một thể tích vi phân chịu một trạng thái ứng suất chính

một trục được cho bởi tích phân tổng quát bên dưới, đó là diện tích dưới đường cong ứng suất –

biến dạng giữa 0 và ε đối với thép và giữa 0 và 1 ε đối với bê tông theo hai mô hình vật liệu cu

bên trên

cu 1

ε ε

Trong đó:

- ε – trạng thái biến dạng trong thể tích vi phân của thép 1

- σ – ứng suất chính mà phần tử vi phân thép phải chịu s

- ε - trạng thái biến dạng trong thể tích vi phân của bê tông cu

- σ - ứng suất chính mà phần tử vi phân bê tông phải chịu C

Năng lượng tổng cộng của phần tử:

cu 1

Trong công thức trên ta đã bỏ qua khả năng chịu kéo của bê tông

y 1

Trong đó:

- V là thể tích phần tử thép còn đàn hồi eS

- V là thể tích phần tử thép bị chảy dẻo pS

- σ và y ε lần lượt là ứng suất dẻo và biến dạng dẻo của vỏ thép y

- V là thể tích phần tử bê tông chịu nén có ứng suất nhỏ hơn nC f ck

- V là thể tích phần tử bê tông chịu nén có ứng suất lớn hơn uC f ck

- f là cường độ chịu nén của mẫu bê tông trụ tròn ck

- ε biến dạng của bê tông khi đạt cường độ C1 f ck

Thể tích của cấu kiện được thay thế bằng tích phân qua diện tích của mặt cắt ngang và

- A là diện tích phần đàn hồi của vỏ thép eS

- A là diện tích phần chảy dẻo của vỏ thép pS

- A là diện tích phần bê tông chịu nén có ứng suất nhỏ hơn nC f ck

- A là diện tích phần bê tông chịu nén có ứng suất lớn hơn uC f ck

Dùng ten xơ biến dạng Green trong hệ tọa độ Lagrangian x, y, z tương ứng với giả thiết bỏ

qua lực cắt ngang, biến dạng chính có thể viết lại như sau (kể cả số hạng tương ứng với biến

dạng chính do uốn):

Trong đó, dx là chiều dài vi phân của phần tử theo phương dọc trục

Thay (2.3) vào (2.2) và tích phân qua diện tích, ta được:

ck

nC 2

2 2

2 20

4

AnC 0

- v(P) là chuyển vị được tính tại vị trí của lực tập trung P

- v(x) là chuyển vị do tải phân bố w(x) gây ra cho phần tử

2.3.3 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng

Nội dung nguyên lý: Trong tất cả các trường chuyển vị (trạng thái chuyển vị) khả dĩ động

(tức thỏa mãn các điều kiện tương thích và điều kiện biên động học) thì trường chuyển vị thực

(tức trường chuyển vị tương ứng với sự cân bằng của vật thể) sẽ làm cho thế năng toàn phần Π

2 20

4

AnC 0

Phương trình trên là phương trình thế năng tổng cộng của phần tử dầm - cột ống thép nhồi

bê tông phẳng không đàn hồi chịu tải trọng tập trung và tải phân bố tác dụng lên phần tử được

viết liên tục qua chiều dài phần tử hữu hạn Trong sáu bậc tự do của phần tử có bốn bậc tự do

cắt ngang không còn trùng với điểm nối từ phần tử này đến phần tử khác hay điểm đặt lực tác

dụng vào phần tử khi bắt đầu có sự chảy dẻo dần dần của mặt cắt ngang

Ngoài ra, còn có vài số hạng chứa các lực chịu bởi phần chảy dẻo ở mặt cắt ngang của cả

vỏ thép và lõi bê tông, đó là NAPS, MAPS, NAuC, MAuC

Ta sử dụng các hàm dạng để mô tả chuyển vị theo chiều dài phần tử qua những số hạng

chuyển vị ở đầu mút phần tử Chuyển vị dọc trục và chuyển vị xoay có thể được viết ở dạng xấp

xỉ sau:

( ) { } { } ( ) { } { }

T axial T

ứng với tọa độ chuyển vị tổng quát { }N axial và { }N bend tương ứng là những véc tơ hàm dạng mô

tả độ võng dọc theo chiều dài cấu kiện qua các số hạng chuyển vị nút ở đầu mút phần tử

3 2 2

Thế năng toàn phần cho phần tử được viết lại qua các số hạng của hệ tọa độ tổng quát bằng

cách thay thế dạng xấp xỉ của chuyển vị dọc theo chiều dài của phần tử vào biểu thức thế năng

∂Π =

∂ với i 1, 2, ,6=

Lấy đạo hàm từng phần của phương trình thế năng toàn phần sau khi thay dạng xấp xỉ của

trường chuyển vị bằng chương trình MATLAB, ta được tập hợp các phương trình cân bằng phần

2 0

4 L

AnC 0

- Π là hàm bậc sáu theo các biến di (i = 1 ~ 6) C4

C3 i

d

∂

Ta thấy các ma trận Kn i, j( ) là các hàm theo biến d (n = S0, S1, S2, SP, C0, C1, C2, C3, C4 i

CP) Lấy đạo hàm từng phần theo các biến d , ta được: i

6 m

m(i, j) j

j 1 i

Do các hàm Π và S1 Π là các hàm bậc ba theo các biến C1 d , nên i m

Các ma trận bên trên đều là các ma trận đối xứng Sử dụng phần mền Matlab ta tìm được

các số hạng khác không của các ma trận trên như sau

Đối với vỏ thép:

Ma trận [ ]KS0 :

S eS S0(1,1)

E AK

L

S0(1,3)

E SK

L

S0(1,4)

E AK

L

= −

S zeS S0(1,6)

E SK

L

S0(2,2) 3

12E IK

L

S0(2,3) 2

6E IK

L

=

S zeS S0(2,5) 3

12E IK

L

S0(2,6) 2

6E IK

L

S0(3,3)

4E IK

L

=

S zeS S0(3,4)

E SK

L

S0(3,5) 2

6E IK

L

S0(3,6)

2E IK

L

=

S eS S0(4,4)

E AK

L

S0(4,6)

E SK

L

S0(5,5) 3

12E IK

L

=

S zeS S0(5,6) 2

6E IK

L

S0(6,6)

4E IK