Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)

Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)Đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre (Luận văn thạc sĩ)

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS Đoàn Trung Cường

Hà Nội – 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏicủa bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy Đoàn Trung Cường Mọi kếtquả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn

cụ thể Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hộiđồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kì mộtphương tiện nào Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan

Hà Nội, tháng 10 năm 2020

Học viên

Phạm Anh Vinh

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình tới PGS TS.Đoàn Trung Cường, người trực tiếp hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu.Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy trong mộtthời gian dài Thầy đã luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc phòng Đại số, Viện Toán học

vì sự giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn Ngoài ra, trong quátrình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn tôi còn nhận được nhiều sự quantâm, góp ý, hỗ trợ quý báu của quý thầy cô, anh chị và bạn bè trong Viện Toánhọc Việt Nam

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ

sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn

Đặc biệt, tôi xin cảm ơn gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh,động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 10 năm 2020

Học viên

Phạm Anh Vinh

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mục lục 3

Danh mục các hình vẽ và đồ thị 4

Mở đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Đa tạp đại số 7

1.2 Không gian tiếp xúc 13

2 Đa tạp cát tuyến và các tính chất cơ bản 22 2.1 Đa tạp nối của các đa tạp 22

2.2 Đa tạp cát tuyến thứ s 29

3 Đa tạp Veronese và Định lý Alexander-Hirschowitz 39 3.1 Đa tạp Veronese 39

3.2 Định lý Alexander-Hirschowitz 45

4 Đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre 58 4.1 Đa tạp Segre 58

4.2 Đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre 64

3

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

2.1 Hợp nối của một điểm và một đường

thẳng trong P2

23

2.3 Đường thẳng cắt đường conic tại hai

MỞ ĐẦU

Đa tạp cát tuyến là một chủ đề được các nhà hình học đại số trường phái Ýnghiên cứu từ thế kỉ 19 Gần đây những quan tâm của các nhà hình học đại sốđối với đa tạp cát tuyến tăng khá nhanh Đa tạp cát tuyến có ứng dụng trong một

số chuyên ngành toán học như thống kê đại số, đồng thời có ứng dụng rộng rãitrong nhiều ngành liên quan trực tiếp đến đời sống như khoa học máy tính, sinhhọc Thông thường việc tính toán với đa tạp cát tuyến rất khó Do đó, đối vớinhiều bài toán thay cho việc xét đa tạp cát tuyến của một đa tạp bất kỳ, người tahạn chế xét đa tạp cát tuyến của một số đa tạp đặc biệt như đa tạp Veronese, đatạp Grassmannian, đa tạp Segre, đa tạp Segre-Veronese

Đa tạp cát tuyến thứ s của một đa tạp đại số X ⊂ PN là bao đóng Zariskicủa hợp tất cả các không gian tuyến tính đi quas điểm trênX và được kí hiệu

là σs(X) Tính toán số chiều của σs(X) là một trong những câu hỏi cơ bảnđầu tiên trong việc nghiên cứu các đa tạp cát tuyến Bằng việc xemσs(X)nhưhợp nối của X với σs−1(X), ta có thể chứng minh được rằng dim σs(X) ≤min (s dim X + s − 1, N ), và giá trị min (s dim X + s − 1, N ) được gọi làchiều kì vọng củaσs(X) Ta nói đa tạpX làs- khuyết nếu số chiều củaσs(X)

khác với số chiều kì vọng của đa tạp đó Đối với các đa tạp Veronese, Alexander

và Hirschowitz đã đưa ra phân loại các đa tạp khuyết Trong khi đó, kết quả vềtính toán số chiều của đa tạp cát tuyến của đa tạp Segre và đa tạp Segre-Veronesechỉ đạt được trong một số trường hợp đặc biệt

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách hệ thống một số kết quả

về chiều của đa tạp cát tuyến của đa tạp Veronese và đa tạp Segre, đồng thờitính toán một số ví dụ minh hoạ Luận văn được chia làm ba chương như sau:Chương 1: Chương này được dành để nêu tóm tắt một số khái niệm và tínhchất của đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh và không gian tiếp xúc để phục vụ cho việctrình bày trong các chương sau

Chương 2: Trong chương này chúng tôi trình bày định nghĩa và các tính chấtcủa hợp nối của các đa tạp xạ ảnh Trong đó, tính chất liên quan đến không giantiếp xúc của đa tạp hợp nối ở Định lý 2.1.10 có thể xem như là tính chất quantrọng nhất Trong tiết 2 của chương này, chúng tôi trình bày về đa tạp cát tuyến,

là một trường hợp đặc biệt của đa tạp hợp nối Đồng thời, ở cuối chương, chúngtôi phát biểu Bổ đề Terracini (Định lý 2.2.11) Đây là một kết quả nổi tiếngtrong việc nghiên cứu số chiều của đa tạp cát tuyến Từ Bổ đề Terracini, ta cóthể dẫn đến các hệ quả quan trọng như Mệnh đề 3.2.4 và Định lý 4.2.5, cho tamối quan hệ giữa số chiều của đa tạp cát tuyến của các đa tạp Veronese và đatạp Segre với giá trị hàm Hilbert của một lược đồ điểm kép

Chương 3: Trong chương này, chúng tôi trình bày về đa tạp Veronese Trong

đó, Mệnh đề 3.1.4 cho ta cấu trúc tường minh của không gian tiếp xúc của đa tạpVeronese Trong tiết hai, chúng tôi phát biểu và chứng minh Định lý Alexander

- Hirschowitz phân loại các đa tạp cát tuyến là khuyết (Định lý 3.2.8 và Định lý3.2.9)

Chương 4: Chương 4 được dành để trình bày về đa tạp cát tuyến của đa tạpSerge Kết quả chính của chương là kết quả về chiều của đa tạp cát tuyến của đatạp Segre (các định lý 4.2.5, 4.2.13)

Trong toàn bộ luận văn này, chúng ta luôn ký hiệu k là một trường đóng đại

số Với mỗin ≥ 0, ta ký hiệu An, Pn là các không gian afin, không gian xạ ảnhtrênk

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ sở trong hình họcđại số như đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh, không gian tiếp xúc và minh hoạ các kháiniệm này bằng một số ví dụ

Tài liệu tham khảo chính của chương này là các quyển sách [1] và [2]

Một tập conY của Anđược gọi là một tập đại số nếu tồn tại một tập conT ⊆ A

sao choY = V (T ) Những tập đại số thoả mãn các tính chất sau

- NếuX, Y là hai tập đại số thìX ∪ Y cũng là một tập đại số

- Nếu{Xα}α∈∧là một họ các tập đại số bất kì thì T

α∈∧Xα cũng là tập đại số

- Tập∅và An cũng là các tập đại số

7

Với các tính chất này, lớp các tập đại số thoả mãn các tiên đề về tập đóng củamột tô pô trên không gian afin An, được gọi là tô pô Zariski Tập mở đối với tô

pô này là phần bù của các tập đại số

Định nghĩa 1.1.1 Một đa tạp đại số afin (hay đa tạp afin) là một tập đóng bất

khả quy của An, nghĩa là, tập đó không là hợp của hai tập con đóng thực sự.Với mỗi tập các đa thức T ⊆ A, ký hiệu I là iđêan sinh bởi T Khi đó

V (T ) = V (I) Ngược lại, với bất kì một tập con Y ⊆ An, ta định nghĩa iđêancủaY trong Abởi

I(Y ) = {f ∈ A|f (P ) = 0với mọi P ∈ Y }

Mối quan hệ giữa iđêan và tập không điểm được mô tả trong Định lý khôngđiểm Hilbert như sau

Định lý 1.1.2 (Định lý không điểm Hilbert) [1, Định lý 4.6] Cho một iđêan

I ⊂ A Nếu một đa thức f ∈ A thỏa mãn f (P ) = 0 với mọi P ∈ V (I), thì

fr ∈ I với một số nguyên r > 0nào đó.

Định lý không điểm Hilbert cho ta một mối quan hệ quan trọng giữa các đatạp afin trong An với các iđêan nguyên tố của vành đa thứcA Ta sẽ thấy rõ điều

đó thông qua hệ quả sau đây

Hệ quả 1.1.3 Nếu J là một iđêan căn trong A, thì I(V (J )) = J Khi đó có một tương ứng 1-1 giữa các iđêan căn và các tập đại số Qua tương ứng này các đa tạp afin tương ứng với các iđêan nguyên tố Hơn nữa, các iđêan cực đại tương ứng với các điểm đóng.

Dưới đây là một số ví dụ về tập đại số bất khả quy (hay đa tạp afin)

Ví dụ 1.1.4 (a) Tập An là bất khả quy vì nó tương ứng với iđêan 0, là nguyên

tố trongA

(b) Nếuf là một đa thức bất khả quy trong k[x, y]thì V (f ) là bất khả quy Tagọi đa tạp afinY := V (f )là một đường cong phẳng Nếu f có bậcdthì tanóiY là đường cong bậcd Tổng quát hơn, nếuf là một đa thức bất khả quytrongA = k[x1, , xn]thì ta cũng nhận được một đa tạp afin Y = V (f ),

được gọi là một siêu mặt.

(c) XétX là tập các ma trận cỡ3 × 3hạng1trên trườngk Khi đó,X sẽ là một

đa tạp afin trong A9 Thật vậy, một ma trậnP bất kì thuộcX sẽ có dạng

A6 là tập bất khả quy với tô pô Zariski nênX cũng sẽ

là tập bất khả quy Vì vậyX là một đa tạp

Định nghĩa 1.1.5 Số chiều của một tập đại sốX, kí hiệudim(X), là

dim(X) := sup{n|tồn tại một dãy Z0 ⊂ Z1 ⊂ ⊂ Zn

các tập con đóng bất khả quy của X}

Định nghĩa 1.1.6 NếuX ⊆ An là một đa tạp đại số thì vànhk[X] = A/I(X)

được gọi là vành tọa độ củaX

Mệnh đề 1.1.7 [2, Proposition 1.7] Chiều của một tập đại sốX ⊆ An bằng số chiều Krull của vành tọa độk[X].

Đa tạp xạ ảnh là tập con của không gian xạ ảnh, được định nghĩa tương tựnhư đa tạp afin

Định nghĩa 1.1.8 Một điểmP = (a0 : : an) ∈ Pn được gọi là một không

điểmcủa một đa thức thuần nhấtf ∈ S := k[x0, , xn]nếu

Các tậpV (T ) ⊆ Pn như vậy được gọi là các tập đại số (xạ ảnh)

Tương tự như các tập đại số trong không gian afin, các tập đại số xạ ảnh thoảmãn các tiên đề của tập đóng của một tô pô Tô pô này trên Pn được gọi là tô pôZariski, trong đó các tập mở là phần bù của các tập đại số

Định nghĩa 1.1.9 Một đa tạp đại số xạ ảnh (hay đa tạp xạ ảnh) là một tập đại

số bất khả quy của Pn

Tương tự như với trường hợp afin, số chiều của một tập đại số xạ ảnh là độdài lớn nhất các dãy tập đóng bất khả quy lồng nhau trong tập đại số đó

Với mỗi tập conX ⊂ Pn, xét iđêanI(X)sinh bởi các đa thức thuần nhất

{f ∈ S|f là thuần nhất và f (P ) = 0với mọi P ∈ Y }

IđêanI(X)là thuần nhất và được gọi là iđêan định nghĩa củaX Ta định nghĩavành tọa độ thuần nhất củaX là A(X) = S/I(X) Tương tự trường hợp afin,

ta có định lý không điểm xạ ảnh như sau

Định lý 1.1.10 (Định lý không điểm Hilbert xạ ảnh) Cho một iđêan thuần

nhất I ⊆ S := k[x0, , xn] Nếu một đa thức thuần nhất f ∈ S thỏa mãn

f (P ) = 0với mọiP ∈ V (I)trong Pn, thìfr ∈ I với một số nguyên r > 0nào đó.

Định nghĩa 1.1.11 Giả sửX là một đa tạp trong Pn Xét ánh xạ

h(a0, , an) 6= 0 và f (a0, , an) = g(a0, , an)/h(a0, , an) Ta nói f

là chính quy trênX nếu nó chính quy tại mọi điểm thuộcX

Nếu hàm f : X → k là chính quy tại Q = (a0 : : an) ∈ X thì giá trị

f (a0, , an) = g(a0, , an)/h(a0, , an)như trong định nghĩa trên không

phụ thuộc việc chọn toạ độ xạ ảnh (a0 : a1 : : an) của Q, do đó ta ký hiệu

f (Q) := f (a0, , an)

Ký hiệu O(X) là tập hợp tất cả các hàm chính quy trên X Với phép cộng

và nhân thông thường, O(X) là một vành Nếu P là một điểm của X, ta địnhnghĩa vành địa phương củaP trênX, kí hiệu làOX,P, là tập hợp gồm các mầmhàm của các vành chính quy trên X tại điểm P Nói cách khác, một phần tửcủaOX,P là một bộ< U, f > trong đóU là một tập con mở củaX chứa P, f

là một hàm chính quy trên U và ta đồng nhất hai cặp < U, f > và < V, g >

nếuf = g trên giaoU ∩ V Tập hợp OX,P thực sự là một vành địa phương vớiiđêan cực đại duy nhất gồm các hàm triệt tiêu tạiP

Tập hợp K(X) = ∪P ∈XOX,P trong đó ta đồng nhất < U, f >=< V, g >

nếu f = g trên giao U ∩ V Với phép cộng và nhân của các mầm hàm, tập

K(X)là một trường và được gọi là trường hàm của đa tạpX Các phần tử của

K(X)được gọi là các hàm hữu tỷ trênX

Định nghĩa 1.1.13 Cho X, Y là hai đa tạp xạ ảnh (hoặc X, Y là hai đa tạpafin) Một cấu xạ ϕ : X → Y là một ánh xạ liên tục đối với tô pô Zariskisao cho với mỗi tập mở V ⊆ Y và với mỗi hàm chính quy f : V → k, hàm

f ◦ ϕ : ϕ−1(V ) → k là chính quy

Hợp của hai cấu xạ cũng là một cấu xạ Đặc biệt, một cấu xạ ϕ : X → Y

là một đẳng cấu giữa hai đa tạp nếu nó có cấu xạ ngược ψ : Y → X với

ψ ◦ ϕ = idX vàϕ ◦ ψ = idY

Định nghĩa 1.1.14 Cho X, Y là các đa tạp xạ ảnh hoặc đa tạp afin Một ánh

xạ hữu tỷ ϕtừ X vàoY là một lớp tương đương gồm các cặp< U, ϕU >, với

U là một tập mở khác rỗng củaX và ϕU là một cấu xạ từU vàoY, và hai cặp

< U, ϕU >và < V, ϕV > là tương đương nếuϕU = ϕV trênU ∩ V, khi đó ta

kí hiệuϕ : X 99K Y Hơn nữa ánh xạ hữu tỷϕđược gọi là trội nếu với mỗi cặp

< U, ϕU > thì ảnh củaϕU là trù mật trong Y

Khác với cấu xạ giữa hai đa tạp, hợp của hai ánh xạ hữu tỷ chưa chắc đã làmột ánh xạ hữu tỷ Tuy nhiên nếu hai ánh xạ hữu tỷ là trội thì hợp của chúng sẽ

là một ánh xạ hữu tỷ Vì vậy chúng ta thường sẽ quan tâm đến các ánh xạ hữu

tỷ trội giữa hai đa tạp Khi đó ta có khái niệm sau

Định nghĩa 1.1.15 Một ánh xạ hữu tỷ trội ϕ : X 99K Y được gọi là một

ánh xạ song hữu tỷ nếu tồn tại một ánh xạ hữu tỷ trội ψ : Y 99K X sao cho

ψ ◦ ϕ : X 99K X và ϕ ◦ ψ : Y 99K Y là các ánh xạ đồng nhất trên các tập mở,trù mật củaX và Y Nếu tồn tại một ánh xạ song hữu tỷ từX vàoY thì ta nóihai đa tạpX vàY là tương đương song hữu tỷ.

1.2 Không gian tiếp xúc

Không gian tiếp xúc là một đối tượng quan trọng để tìm hiểu các tính chấthình học của một đa tạp Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và cáctính chất cơ bản của không gian tiếp xúc của các đa tạp Tài liệu tham khảochính của mục này là quyển sách [3]

Trước hết ta xét X là một siêu mặt trong không gian afin An, tức

X = V (f ) = {(x1, , xn) ∈An|f (x1, , xn) = 0},

trong đóf ∈ k[x1, , xn]là một đa thức bất khả quy

Định nghĩa 1.2.1 Cho P = (a1, , an) ∈ X Không gian tiếp xúc với siêumặtX tại điểmP được xác định bởi

TPX =

(

(x1 , xn) ∈An|

nX

TậpTPX là một tập con tuyến tính của không gian afin An vàP ∈ TPX

Định nghĩa 1.2.2 Điểm P ∈ X là trơn (hay chính quy) nếu ∂x∂f

i(P ) 6= 0 vớimộti nào đó Nếu trái lại, P được gọi là một điểm kì dị củaX Ta ký hiệu tậpcác điểm trơn trênX làXsmooth, tập các điểm kỳ dị là Xsing

Từ định nghĩa trên ta thấy ngay

• P là một điểm trơn của X khi và chỉ khiTPX là một siêu phẳng afin

• P là một điểm kì dị của X khi và chỉ khiTPX = An

• Xsmooth = X \ Xsing

Định nghĩa 1.2.3 Cho X là một đa tạp trong An Ta nói một điểm tổng quát

củaX thỏa mãn một tính chất Pnào đó nếu tập các điểm S thỏa mãn tính chất

(P ) = 0với mọi P ∈ X và với mọi i = 1, , n

Theo Định lý không điểm Hilbert 1.1.2, ∂f

Vìk là trường đóng đại số nên tồn tại các sốβj ∈ k sao choβjp = αj với mọi

nên f không là đa thức bất khả quy, trái với giả thiết ban đầu Tóm lại, tập

Xsmooth luôn không rỗng

Bây giờ ta sẽ định nghĩa không gian tiếp xúc đối với một đa tạp afin bất kỳ.Trước hết, với mỗi đa thứcf ∈ k[x1, , xn]và một điểmP = (a1, , an) ∈

An, thành phần tuyến tính củaf tạiP là

fP(1) :=

nX

Từ mệnh đề trên, ta thấy rằngdim X ≤ dim TPX với mọiP ∈ X.

Mệnh đề 1.2.9 Hàm X → N, P 7→ dim TPX là một hàm nửa liên tục trên trong tôpô Zariski, tức với mọir ∈ N thì tập

dim TPX = dim X với mọiP ∈ X0.

Chứng minh. Ký hiệu r = dim X Khi đó theo Mệnh đề 1.2.8, ta cóSr(X) =

X và Sr+1(X) 6= X VìSr+1(X) là đóng nên ta lấy X0 := X \ Sr+1(X) Tathấy rằng X0 là mở và khác rỗng vì nếu X0 = ∅ thì dim TPX 6= r với mọi

P ∈ X, điều này mâu thuẫn với giả thiếtdim X = r TậpX0 thỏa mãn yêu cầucủa mệnh đề

Bây giờ ta có thể đưa ra định nghĩa điểm trơn và điểm kì dị của một đa tạpafinX như sau

Định nghĩa 1.2.11 Một điểm P ∈ X được gọi là một điểm trơn của X nếu

dim TPX = dim X Ngược lại,P được gọi là một điểm kì dị củaV

Nếu X = V (f ) là một siêu mặt trong An thì định nghĩa trên tương đươngvới Định nghĩa 1.2.2 Thật vậy, ta có

Như ở phần trên, ta xem xét không gian tiếp xúcTPX như là một không gianafin con của An cho bởi các đa thức bậc 1 Mặt khác, trong Định nghĩa 1.2.5,nếu ta đặtx0i = xi− ai với mọii = 1, , nthì hệ phương trình

nX

Iđêan cực đại mP được xây dựng như sau Trước tiên, ta xét iđêan cực đại

MP ⊂ k[x1, , xn]tương ứng với điểmP ∈ An,

i=1

∂f

∂xi(0)xi ∈ (kn)∗

∈ mP/m2P.Vậy ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 1.2.13 Nếuf : X 99K Y là một ánh xạ song hữu tỷ, mà ở đó nó sẽ ánh

xạ một lân cận mở X0 của một điểm P ∈ X đẳng cấu với một lân cận mởY0

củaf (P ), thìTPX ∼= Tf (P )Y.

Định nghĩa 1.2.14 Nếu f : X → Y là một ánh xạ chính quy với f (P ) = Q

thì ánh xạf∗ : mQ/m2Q → mP/m2P sẽ cho ta một đồng cấu

df (P ) : TPX → TQY,

được gọi là vi phân củaf tạiP

Định nghĩa 1.2.15 Cho một đa tạp xạ ảnh X ⊆ Pn và một điểm P ∈ X.Lấy một điểm Q ∈ C(X) bất kỳ trong nón afin củaX sao cho P là lớp tươngđương của Q Không gian tiếp xúc xạ ảnh của X tạiP được định nghĩa là bao

xạ ảnh của không gian tiếp xúc afin của nón afinC(X)tại điểmQ Nếu khônggây nhầm lẫn, ta sẽ dùng ký hiệuTPX để chỉ không gian tiếp xúc xạ ảnh trongtrường hợpX là đa tạp xạ ảnh

Đa tạp cát tuyến và các tính chất cơ bản

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bảncủa đa tạp cát tuyến Trong phần đầu, chúng tôi xét đến một đối tượng tổng quáthơn, đó là hợp nối của các đa tạp Trong phần sau của chương, chúng tôi giớithiệu một trong những kết quả quan trọng trong việc nghiên cứu số chiều của

đa tạp cát tuyến, có tên là Bổ đề Terracini

Các khái niệm và kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu[4], [5], [6], [7], và [8]

2.1 Đa tạp nối của các đa tạp

Trong tiết này ta xét khái niệm hợp nối (join) của hai đa tạp xạ ảnh và một

số tính chất của chúng Đa tạp cát tuyến (secant variety) là trường hợp riêng củacác hợp nối

Trong không gian xạ ảnh Pn, qua hai điểm phân biệt P, Q luôn có duy nhấtmột đường thẳng, ta ký hiệu làhP, Qi Nếu P ≡ Q, ta ký hiệu hP, Qi = {P }.Với hai tập conX, Y ⊆ Pn, ta định nghĩa hợp nối giữaX, Y như sau

Định nghĩa 2.1.1 Hợp nối của hai tập X, Y là bao đóng Zariski của hợp các

22

đường thẳng nối các điểm củaX với các điểm của Y, cụ thể hơn, đó là tập

Hình 2.1: Hợp nối của một điểm và một đường thẳng trong P 2

Hợp nốiJ (X, Y ) là cả mặt phẳng xạ ảnh P2 Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh

P2 ⊆ J(X, Y )

Xét một điểm bất kìM ∈ P2 NếuM thuộc X hoặc Y thì M ∈ J (X, Y ) Giả

sử M nằm ngoài Y Khi đó đường thẳng qua P và M luôn cắt Y tại duy nhấtmột điểmQnênM ∈ hP, Qi ⊂ J (X, Y )

Chú ý 2.1.3. (a) Hoàn toàn tương tự, ta cũng có thể định nghĩa khái niệm hợpnối trong không gian afin

(b) NếuX, Y là hai đa tạp xạ ảnh thì hợp nối J (X, Y )cũng là một đa tạp xạảnh (xem [9, Proposition 6.13, Example 8.1])

Không gian afin An được xét như là một không gian tô pô với tô pô Zariski.Trên tập An = kn cũng vẫn có phép cộng do cấu trúc không gian véc tơ củakn

Do đó ta định nghĩa được tổng hai đa tạpC, D ⊆ An là

C + D := {P + Q : P ∈ C, Q ∈ D}

Qua ánh xạ tổng An ×An → An, (P, Q) → P + Q, ta thấy tậpC + D là baođóng Zariski của ảnh của tích DescartesC × D Ta có

dim(C + D) ≤ dim(C × D) = dim(C) + dim(D)

Mệnh đề quan trọng sau đây trong [4] cho ta quan hệ giữa nón afin của các

đa tạp và của hợp nối

Mệnh đề 2.1.4 Cho hai đa tạp xạ ảnhX, Y ⊆ Pn, ta có

θ(A) ∈ hP, Qi = {[λa0 + βb0 : : λan+ βbn] ∈ Pn : λ, β ∈ k}

Do đó toạ độ của điểmAcó dạng (γ(λa0 + βb0), , γ(λan + βbn)) ∈ An+1

vớiγ ∈ k Xét các điểmB = ((γλ)a0, , (γλ)an)vàC = ((γλ)b0, , (γλ)bn)

trong An+1 Ta cóB ∈ C(X),C ∈ C(Y ), vàA = B + C Do đó ta có

C



[

P ∈X,Q∈Y

hP, Qi



 ⊆ C(X) + C(Y )

Ta dễ dàng suy ra chiều ngược lại Vì vậy, theo Định nghĩa 2.1.1, ta có

C(J (X, Y )) = C



[

Mệnh đề trên dẫn đến so sánh giữa số chiều của đa tạp hợp nốiJ (X, Y ) với

số chiều của các đa tạp xạ ảnhX, Y ⊆ Pn như sau

Từ bổ đề trên, ta có thể định nghĩa hợp nối của ba đa tạpX, Y vàZ là

J (X, Y, Z) = J (J (X, Y ), Z)

Bằng quy nạp, ta có thể định nghĩa hợp nối của n đa tạp xạ ảnh trong Pn với

n > 1bất kỳ Nói riêng, ký hiệuJn(X) = J (X, , X

n

)cho hợp nối củanlần

đa tạpX

Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của hợp nối

Nếu X là một đa tạp xạ ảnh và P ∈ X, ta nói P là một đỉnh của X nếu

J (X, P ) = X Tập các đỉnh của X được kí hiệu làVert(X)

Mệnh đề 2.1.7 Cho một đa tạp xạ ảnhX ⊆ Pn Ta có các khẳng định sau

(a) Tập các đỉnhVert(X)là một không gian xạ ảnh con;

(b) codim(Vert(X), X) ≥ 2nếu X không là tuyến tính.

Chứng minh. (a) Để chứng minh Vert(X) là không gian con tuyến tính, ta sẽ

chứng minh J (Vert(X), Vert(X)) = Vert(X).Với hai điểm p, q bất kì thuộc

Vert(X), theo Bổ đề 2.1.6 ta có

J (X, J (p, q)) = J (J (X, p), q) = J (X, q) = X

Do đóJ (p, q) ⊆ Vert(X), dẫn đếnJ (Vert(X), Vert(X)) ⊆ Vert(X)

(b) Giả sửcodim(Vert(X), X) ≤ 1 Ta có

dim X − dim Vert(X) = codim(Vert(X), X) ≤ 1,

haydim Vert(X) ≥ dim X − 1

Nếu dim Vert(X) = dim X thì Vert(X) = X do X là bất khả quy, dẫn

đếnX là tuyến tính theo phần (a)

Nếu dim Vert(X) = dim X − 1thì ta lấy một điểmx ∈ X \ Vert(X) Khi

đóJ (x, Vert(X)) ⊆ Xvàdim J (x, Vert(X)) = dim X Dẫn đếnJ (x, Vert(X)) =

X do tính bất khả quy củaX Hơn nữa,J (x, Vert(X))là không gian con tuyếntính vì

J (J (x, Vert(X)), J (x, Vert(X))) = J (x, J (Vert(X), J (x, Vert(X))))

= J (x, J (x, J (Vert(X), Vert(X)))

= J (x, J (x, Vert(X)))

= J (x, x, Vert(X))

= J (x, Vert(X))

Do đó,X là cũng là không gian con tuyến tính

Mệnh đề 2.1.8 Giả sửX, Y là các đa tạp con của Pn, khi đó ta có các khẳng định sau:

(a) J (X, Y ) = X nếu và chỉ nếu Y ⊆ Vert(X),

(b) Nếudim(J (X, Y )) = dim X + 1thìY ⊆ Vert(J (X, Y )).

Chứng minh. (a) Hiển nhiên từ định nghĩa của tập đỉnh Vert(X)

(b) Giả sử dim(X) = m và dim(J (X, Y )) = m + 1 Theo phần (a), Y 6⊆Vert(X), nên có một điểm y ∈ Y, mà y /∈ Vert(X) Do đó J (X, y) 6= X

và dim J (X, y) = dim X + 1 = m + 1 = dim J (X, Y ) Suy ra J (X, y) =

Định lý sau đây cho một thông tin quan trọng về không gian tiếp xúc xạ ảnh

và tập các điểm kỳ dị của hợp nối

Định lý 2.1.10 Giả sửX, Y, Z là các đa tạp con của Pn Ta có các khẳng định sau:

(a) Nếux ∈ X thìTxJ (X, Y ) ⊇ TxJ (x, Y ) ⊇ J (x, Y ) ⊇ Y Đặc biệt, ta có

Do đó TwJ (X, Y, Z) chứa không gian tuyến tính hJ(X, Y, Z)i Mặt khác, vì

J (X, Y, Z)không là không gian tuyến tính nên

dim TwJ (X, Y, Z) ≥ dim hJ (X, Y, Z)i > dim J (X, Y, Z)

Vì vậy ta ców ∈ J (X, Y, Z)sing.

Hệ quả 2.1.11 ChoX là một đa tạp xạ ảnh và giả sửJr+1(X)không là không gian con tuyến tính vớir > 0nào đó Ta có

Jr(X) ⊆ Jr+1(X)sing

Chứng minh. Với z ∈ Jr+1(X), ta có TzJr+1(X) ⊇ J (z, hXi) ⊃ Jr+1(X)

VìJr+1(X)không là không gian con tuyến tính nênz ∈ Jr+1(X)sing

2.2 Đa tạp cát tuyến thứ s

Trong hình học, một đường cát tuyến (secant) của một đường cong là mộtđường thẳng cắt đường cong tại ít nhất hai điểm phân biệt Từ secant trong tiếng

Anh có gốc là từ La-tinh secare, nghĩa là cắt.

Hình 2.2: Đường cát tuyến của một đường tròn.

Trong hình học đại số, ta có khái niệm phức tạp hơn là đa tạp cát tuyến củamột đa tạpX ⊆ Pn, thường được kí hiệu làSect(X), định nghĩa là

Định nghĩa 2.2.1 Cho một đa tạp xạ ảnhX ⊂ Pn và một số nguyêns ≥ 1 Đa

tạp cát tuyến thứscủaX được định nghĩa là

Ví dụ 2.2.3 (a) NếuX ⊂ P2 là đường một đường conic thìσ2(X) =P2

Hình 2.3: Đường thẳng cắt đường conic tại hai điểm.

Thật vậy, để chứng minh σ2(X) = P2, ta sẽ chứng minh với mọi điểm

P ∈ P2 \ X, luôn tồn tại một đường thẳng đi qua P và cắtX tại hai điểm.Bây giờ ta giả sử rằng mọi đường thẳng đi qua P đều chỉ cắt X tại nhiềunhất một điểm Bằng cách chọn một cơ sở xạ ảnh trong P2phù hợp, ta có thểgiả sửP có tọa độ[1 : 0 : 0]và đường thẳng đi quaP có dạngλy + µz = 0,

ở đó[λ : µ] ∈ P1

Nếu đường conic không đi qua P thì phương trình của đường conic sẽ códạng

x2 + axy + bxz + cy2 + dyz + ez2 = 0,

vớia, b, c, d, e ∈ k.

Ta tham số hóa đường thẳngλy+µz = 0như sau[u : v] 7→ [u : −µv : λv].Khi đó, ta có

u2 + uv(bλ − aµ) + v2(cµ2 − dλµ + eµ2) = 0

Nếu v = 0 thìu2 = 0hayu = 0 Do đó v 6= 0 Sau khi chia cả hai vế củaphương trình cho v2, ta thu được phương trình mới là

Ta gọi X là đường bậc ba xoắn (twisted cubic curve) Tập hợp Y :=

S

P1,P2∈X

hP1, P2i không là tập con đóng trong P3

Bản thân X là một đa tạp với σ2(X) = P3 (xem Ví dụ 2.2.12 và Mệnh

đề 3.1.2 ở phần sau) Để chỉ ra tập Y không đóng ta chỉ cần chứng minh

Y 6= P3, hay cụ thể hơn, ta chứng minh[0 : 1 : 0 : 0] /∈ Y Thật vậy, nếutrái lại thì ta sẽ có biểu diễn sau

[0 : 1 : 0 : 0] = [αx3 + βu3 : αx2y + βu2v : αxy2 + βuv2 : αy3 + βv3]

Suy ra ta có hệ phương trình sau

αy3 + βv3 = 0

Từ hai phương trình cuối ta có thể đặt x = yt và u = vt với t 6= 0 Từphương trình đầu tiên ta sẽ có

0 = αx3 + βu3 = αx2x + βu2u = αx2yt + βu2vt = t(αx2y + βu2v)

Suy raαx2y + βu2v = 0, mâu thuẫn Do đó ta có điều phải chứng minh

Sau đây là một số tính chất quan trọng của các đa tạp cát tuyến.

Bổ đề 2.2.5 Cho một đa tạp xạ ảnhX ⊆ Pn.

(a) Ta có một dãy lồng nhau các đa tạp

X = σ1(X) ⊆ σ2(X) ⊆ ⊆ σk(X) ⊆ ⊆ Pn

(b) NếuX là một không gian xạ ảnh con thìσi(X) = X với mọii ≥ 1.

Chứng minh. Với mỗi i ≥ 1, ta có thể viết

Do đóhXi ⊆ Tzσi+1(X) Mặt khác ta lại cóσi(X) = σi+1(X)nên

vì nếuσi(X) = σi+1(X)vớiinào đó thì theo ý (a),σi(X) = σr(X) = Pn

Số chiều của σs(X)và chỉ số r nhỏ nhất sao cho σr(X) = Pn là những đốitượng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu Liên quan đến các số này

là khái niệm chiều kì vọng Trước hết, ta có mệnh đề sau.

Mệnh đề 2.2.7 Giả sửX ⊆ PN là một đa tạp và dimX = n Khi đó

dim (σs(X)) ≤ min{s.n + s − 1, N }

Chứng minh. Đa tạp cát tuyếnσs(X)là hợp nối củaX vàσs−1(X), tứcσs(X) =

J (X, σs−1(X)) Theo Hệ quả 2.1.5, suy ra

dim(σs(X)) ≤ n + dim(σs−1(X)) + 1

Cộng các vế tương ứng củas − 1bất đẳng thức trên ta có

dim(σs(X)) ≤ (s − 1)n + dim(σ1(X)) + s − 1

= (s − 1)n + n + s − 1

= ns + s − 1

Mặt khác,dim(σs(X)) ≤ dimPN = N Ta có điều phải chứng minh

Từ mệnh đề trên, ta có định nghĩa sau đây

Định nghĩa 2.2.8 (a) Ta gọi giá trịmin{s.n + s − 1, N }là chiều kì vọng của

σs(X), kí hiệu là expdimσs(X)

(b) Nếudim σs(X) 6= expdimσs(X)thì X được gọi là s-khuyết

Dựa vào Định nghĩa 2.2.8 và Mệnh đề 2.2.7, ta có thể suy ra ngay quan hệgiữa tính chất khuyết của các đa tạp xạ ảnh sau đây

Mệnh đề 2.2.9 Cho một đa tạp xạ ảnhX ⊆ PN Ta có các khẳng định sau: (a) NếuX làs-khuyết và σs+1(X) 6=PN thìX là (s + 1)-khuyết.

(b) NếuX không làs-khuyết vàσs(X) 6= PN thìX cũng không làj-khuyết với mọi j ≤ s − 1.

Chứng minh. (a) Ta códim σs+1(X) ≤ dim σs(X)+n+1 Vìσs(X)là khuyếtnên ta códim σs(X) < s.n + s − 1 Do đó