Sóng sốc phi cổ điển của định luật bảo toàn hàm thông lượng thừa nhận hai điểm uốn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ---HỒ ĐẮC NGHĨA SÓNG SỐC PHI CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN HÀM THÔNG LƯỢNG THỪA NHẬN HAI ĐIỂM UỐN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG Mã số ngành: 60.46.36 LU

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-HỒ ĐẮC NGHĨA

SÓNG SỐC PHI CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN HÀM THÔNG LƯỢNG THỪA NHẬN HAI ĐIỂM UỐN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG

Mã số ngành: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 7 năm 2007

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS MAI ĐỨC THÀNH

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂNTHẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày tháng năm 2007

o O o

-Tp HCM, ngày tháng năm 2007

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên : HỒ ĐẮC NGHĨA Phái : Nam

Ngày, tháng năm sinh: 20 - 06 - 1970 Nơi sinh: Tiền Giang

Chuyên ngành : Toán giải tích ứng dụng MSHV : 02405540

I TÊN ĐỀ TÀI

SÓNG SỐC PHI CỔ ĐIỂN CỦA ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN: HÀM THÔNG

LƯỢNG THỪA NHẬN HAI ĐIỂM UỐN

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS MAI ĐỨC THÀNH

(Học hàm, học vị, họ tên và chữ ký) QL CHUYÊN NGÀNH

TS Mai Đức Thành

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thôngqua

Ngày tháng năm 2007

LỜI CẢM TẠ

Lời đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đếnThầy hướng dẫn của tôi: TS MAI ĐỨC THÀNH, đã tận tình hướng dẫn, độngviên tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy đã đọc và cho ý kiến nhận xét sâu sắcvề luận văn của tôi

Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào Tạo Sau Đại Học, đặc biệt là cácthầy cô trong bộ môn Toán Ứng Dụng, trường Đại Học Bách Khoa TP Hồ ChíMinh, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập,nghiên cứu và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn đến các bạn cùng khoá học, nhữngthành viên trong gia đình của tôi đã giúp đỡ, động viên tôi rất nhiều để luậnvăn này được hoàn thành

TP HCM, tháng 07 năm 2007

HỒ ĐẮC NGHĨA

LỜI GIỚI THIỆU

Lý thuyết các nghiệm phi cổ điển của các hệ hyperbolic các định luật bảotoàn được LeFloch khởi xướng và đã được mở rộng nghiên cứu trong nhiều năm.Sốc phi cổ điển có thể xuất hiện khi hệ bị mất tính phi tuyến thực sự Một cáchvắn tắt, các sóng sốc phi cổ điển vi phạm tiêu chuẩn Oleinik [14] trong trườnghợp vô hướng và các bất đẳng thức sốc của Lax [6] và các điều kiện entropyLiu [13] với trường hợp các hệ hyperbolic các định luật bảo toàn Để chọn cácsóng sốc phi cổ điển, một cách chuẩn mực, ta thực hiện chiến lược đề xuất bởiAbeyaratne – Knowles [1, 2] và bởi Hayes và LeFloch [3, 4, 8] để mô tả toàn bộcác nghiệm phi cổ điển và sau đó sử dụng một hệ thức động lực học để xác địnhnghiệm vật lý tương ứng

Trong luận văn này, ta sẽ xét bài toán Riemann cho các định luật bảo toànvới hàm thông lượng có hai điểm uốn:

∂tu + ∂xf (u) = 0 u(x, 0) =



ul, nếu x < 0

ur, nếu x > 0

(1)

trong đó ul và ur là các hằng số

Hàm thông lượng f là một hàm số khả vi hai lần theo biến u ∈ R và được

giả thiết thoả mãn:

f00(u) > 0 với u ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞)

f00(u) < 0 với u ∈ (0, 1)

limx→±∞f0(u) = ±∞, lim

x→±∞f (u) = ±∞

(2)

Vậy: thông lượng f có hai điểm uốn tại u = 0 và u = 1 Việc lấy giá trị cụ thể

cho hai điểm uốn này không hạn chế phạm vi nghiên cứu được trình bày trong

luận văn Theo giả thiết, hàm f lồi trong các khoảng (−∞, 0) và (1, +∞) và lõm trong khoảng (0, 1).

Trong việc nghiên cứu các sốc phi cổ điển, chúng ta quan tâm đến việc tínhphi tuyến thực sự của hệ bị phá vỡ trên một đa tạp Trong nhiều trường hợp,

đa tạp này đơn giản là một điểm uốn của một hàm thông lượng theo các tọa độ

phi tuyến thực sự có thể xảy ra không chỉ ở trên một đa tạp, mà ở tại hai đatạp.

Trong phạm vi nghiên cứu thực hiện luận văn này ta chỉ xét giới hạn trongtrường hợp vô hướng mà chúng ta có một định luật bảo toàn đơn Hàm thônglượng sẽ có dạng áp suất lưu chất Van der Waals trong miền mà nó thừa nhậnhai điểm uốn Do vậy, chúng ta có thể có hai hàm động lực học, và chúng ta sẽxét khi chúng ta có thể dùng một trong hai hay cả hai Hơn nữa, do tiêu haoentropy chọn các sóng phi cổ điển tựa một quy tắc cân bằng diện tích, chúng

ta sẽ định nghĩa các hàm số động lực học dựa vào quy tắc cân bằng diện tíchđể xác định miền xác định và miền giá trị của chúng Tuy vậy, dể chọn mộtnghiệm duy nhất ta phải giới hạn miền giá trị của các hàm số động lực học saocho dây cung liên kết các trạng thái của mỗi sóng sốc phi cổ điển cắt đồ thị củahàm thông lượng ở một điểm duy nhất

Luận văn này được trình bày với cấu trúc gồm 3 chương như sau:

Chương 1: Trình bày các kiến thức tổng quan như: các khái niệm cơ bản về

tính hyperbolic, nghiệm yếu của hệ luật bảo toàn, nghiệm entropy,

Chương 2: Trình bày các tính chất cơ sở của hàm thông lượng f và tiến

hành khảo sát phương pháp xây dựng Oleinik cho các nghiệm entropy cổ điểnđối với trường hợp hàm thông lượng thừa nhận hai điểm uốn

Chương 3: Chỉ ra rằng nghiệm Riemann phi cổ điển thỏa mãn hệ thức động

lực học tồn tại và có thể xây dựng và mô tả bằng các công thức tường minh Hơnnữa, ta sẽ trình bày hai phương pháp xây dựng nghiệm Riemann phi cổ điển:

- Phương pháp xây dựng dựa vào các bước nhảy qua điểm uốn u = 0.

- Phương pháp xây dựng dựa vào các bước nhảy qua điểm uốn u = 1.

MỤC LỤC

1.1 Các khái niệm cơ bản và ví dụ 8

1.1.1 Tính hyperbolic 8

1.1.2 Nghiệm yếu của hệ luật bảo toàn 14

1.1.3 Nghiệm entropy 19

1.2 Các luật bảo toàn vô hướng 23

1.2.1 Sốc, điều kiện entropy 23

1.2.2 Công thức Lax-Oleinik 25

1.2.3 Tính duy nhất nghiệm entropy 32

1.2.4 Bài toán Riemann 33

1.3 Bài toán Riemann 34

1.3.1 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán Riemann 34

1.3.2 Hệ phương trình khí động học đẳng entropy 37

2 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG OLENIK 41 2.1 Các tính chất cơ sở 41

2.2 Phương pháp xây dựng Oleinik 45

3.1 Xây dựng nghiệm Riemann dựa vào bước nhảy qua điểm uốn u = 0 58

3.2 Xây dựng nghiệm Riemann dựa vào bước nhảy qua điểm uốn u = 1 70

KIẾN THỨC TỔNG QUAN

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ

1.1.1 Tính hyperbolic

Cho Ω là một tập mở của Rp và hàm trơn f : Ω −→ Rp Dạng tổng quát của hệluật bảo toàn một biến không gian là:

ut+ f (u)x = 0, x ∈ R, t > 0, (1.1)

trong đó u = (u1, , up)T : R × [0, ∞) −→ Ω Tập Ω được gọi là tập trạng thái (set

of states) và hàm f được gọi là hàm thông lượng (flux-function) Hơn nữa, ta nói

rằng hệ (1.1) được viết dưới dạng bảo toàn

Một cách hình thức, hệ (1.1) biểu thị sự bảo toàn của p đại lượng u1, , up

Thực vậy, giả sử I là một khoảng tuỳ ý của R Khi đó (1.1) kéo theo:

d dt

bZ

a

udx = f (u(a)) − f (u(b)).

Phương trình này có một ý nghĩa tự nhiên: biến phân theo thời gianR

là ma trận Jacobian của f

Định nghĩa 1.1 Hệ (1.1) được gọi là hyperbolic nếu ma trận A(u) thừa nhận

p giá trị riêng thực λ1(u) 6 6 λp(u) và p vectơ riêng tương ứng độc lập tuyến tính r1(u), , rp(u) :

A(u)rk = λkrk, k = 1, , p.

Khi đó cặp (λk, rk) được gọi là trường đặc trưng thứ k, k = 1, , p.

Định nghĩa 1.2 Hệ (1.1) được gọi là hyperbolic ngặt nếu ma trận A(u) thừa

nhận p giá trị riêng thực phân biệt λ1(u) < · · · < λp(u)

Giả sử hệ (1.1) là hyperbolic Vì một ma trận và chuyển vị của nó có cùng

tập các giá trị riêng, nên tồn tại các vectơ riêng lk ứng với các giá trị riêng λk

λj(li(u) · rj(u)) = li(u) · (A(u)rj(u)) = (li(u)A(u)) · rj(u) =

= λi(u)(li(u) · rj(u))

Vì λi 6= λj nên ta nhận được (1.2)

Ví dụ 1.1. Phương trình Burgers có dạng :

vớif là hàm lồi, trơn Sử dụng phép đổi biến:

vớiA = A(S)là hằng số vàγ > 1

Hệ(1.4) có dạng:

Hệ là hyperbolic nếup0(v) < 0

Ví dụ 1.3. Phương trình khí động học trong hệ toạ độ Lagrange:

∂tv − ∂xu = 0

∂tu + ∂xp = 0

∂te + ∂x(pu) = 0.

(1.5)

Ở đây, v = 1/ρlà dung tích riêng,ulà vận tốc, plà áp suất,là năng lượng nộitại riêng,e =  + u2/2là tổng năng lượng riêng Ta bổ sung hệ(1.5) một phươngtrình trạng thái dạng:

p = p(v, ).

Phương trình này phải thoả mãn một số điều kiện của nhiệt động học Trong đó,cho trước bất kỳ hai biến nhiệt động học (gọi là biến độc lập), ba biến còn lạiđều có thể biểu thị là hàm của chúng (biến phụ thuộc)

Các biến nhiệt động học thoả mãn định luật nhiệt động học thứ hai:

nên|Dθ| = T > 0 Do đó, trong trường hợp dòng trơn, ta có thể viết lại hệ(1.5)

một cách tương đương dưới dạng:

vt− ux = 0

ut+ px = 0

S = 0.

(1.7)

Bây giờ giả sử rằng p, vàT là các hàm cho trước củavvà S sao cho phươngtrình trạng thái trở thành:

(1.10)

Biến nhiệt động học:, ρ, v = 1/ρ, p, T, S tương ứng là năng lượng nội tại (internalenergy), độ trù mật (density), dung tích riêng (specific volume), áp suất, nhiệt độtuyệt đối, entropy;ulà vận tốc vàe =  + u2/2là tổng năng lượng (total energy).Giả sử cho trước phương trình trạng thái dưới dạng:

Tính chất(1.9) bây giờ trở thành:

1.1.2 Nghiệm yếu của hệ luật bảo toàn

Sự không tồn tại nghiệm trơn

Xét bài toán Cauchy đối với phương trình vô hướng:

ut+ a(u)ux= 0, x ∈ R, t > 0,

Đường đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng (1.12) được định nghĩa là

đường cong tích phân của phương trình vi phân:

dx

Định lí 1.1 Giả sử u là nghiệm trơn của (1.12) Khi đó các đường đặc trưng

(1.13) là các đường thẳng mà dọc theo đó hàm u nhận giá trị hằng số.

Chứng minh Xét một đường đặc trưng đi qua điểm (x0, 0), tức là nghiệm của bài

dt = a(u(x(t), t)) x(0) = x0

Nghiệm này tồn tại trên một khoảng [0, t0] nào đó Dọc theo đường cong này,

hàm u là hằng số Thật vậy:

d

dt u(x(t), t) = ut(x(t), t) + ux(x(t), t)

dx(t) dt

Xây dựng nghiệm bởi phương pháp đặc trưng: Đặt u(x, t) = u0(x0) Bây giờ, giả

sử rằng tồn tại hai điểm x1 < x2 sao cho:

a(u0(x1)) <

1

a(u0(x2)) = m2.

Khi đó các đường đặc trưng C1, C2 xuất phát từ (x1, 0), (x2, 0) với các độ dốc tương

ứng m1, m2 sẽ cắt nhau tại một điểm P nào đó.

Tại điểm P này, nghiệm u nhận cả hai giá trị u0(x1)và u0(x2)! Do đó, nghiệm

u không thể liên tục tại P Hiện tượng này không phụ thuộc vào tính trơn của

u0 và a Thực vậy, từ (1.14) ta suy ra rằng điều kiện để hai đường đặc trưng cắt

nhau là:

t[a(u0(x1)) − a(u0(x2))] = x2− x1 Vậy trừ phi hàm x 7→ a(u0(x)) là tăng, mà trong trường hợp này ta không có

nghiệm dương t nào, ta không thể xác định được nghiệm cổ điển u nào với tất cả t > 0 Tuy nhiên, nghiệm cổ điển có thể xây dựng bằng phương pháp đặc trưng đến một thời điểm lớn nhất T∗ xác định bởi:

min(α, 0) , α = minx∈R

d

dx a(u0(x)).

Ví dụ 1.5. Xét bài toán Cauchy cho phương trình Burgers(1.3) với dữ kiện đầu:

Tạit = 1các đường đặc trưng cắt nhau và nghiệm trở nên gián đoạn

Khái niệm nghiệm yếu

Xét bài toán Cauchy:

0 = −

Z ∞ 0

ZR

(ut+ f (u)x)ϕdxdt =

=

Z ∞ 0

ZR

(uϕt+ f (u)ϕx)dxdt +

ZR

u0(x)ϕ(x, 0)dx

Vì vậy nghiệm cổ điển u thoả đẳng thức vi tích phân:

Z ∞ 0

ZR

(uϕt+ f (u)ϕx)dxdt +

ZR

0 (D)p

Ta có thể viết:

0 =

ZD

(uϕt+ f (u)ϕx)dxdt =

=Z

(u−ν2+ f (u−ν1)ϕdt

=ZΣ

vì rằng nghiệm yếu mà trơn trong một miền thì cũng là nghiệm cổ điển trong

miền đó Ở đây ν = (ν1, ν2) là vectơ pháp tuyến đơn vị của Σ hướng từ D− vào

D+ và u− là giới hạn bên trái của u Tương tự, ta cũng có:

ZD

(uϕt+ f (u)ϕx)dxdt = −

ZΣ

(u+ν2+ f (u+ν1)ϕdt (1.19)

Cộng (1.18) và (1.19) theo từng vế, từ (1.17) ta được:

ZΣ

((u+− u−)ν2+ (f (u+− f (u−)ν1)ϕdt (1.20)

Hệ thức (1.20) đúng với bất kỳ hàm thử ϕ nào nên ta phải có:

(u+− u−)ν2+ (f (u+− f (u−)ν1 = 0 trên Σ (1.21)Bây giờ, giả sử rằng đường cong Σ được tham số hoá bởi:

Σ = {(x, t) : x = x(t), t > 0}, trong đó x = x(t) là hàm trơn Khi đó:

ν = (ν1, ν2) = (1 + s)1/2(1, −s), với s = ˙x(t)

Và do đó, hệ thức (1.21) trở thành:

−s(u+− u−) + f (u+) − f (u−) = 0 trên ΣKý hiệu:

[u] = u+− u−, [f (u)] = f (u+) − f (u−)Như vậy, ta vừa chứng minh được định lý sau:

Định lí 1.2 Cho hàm trơn u trong miền D ngoại trừ một đường cong Σ Khi đó

u là nghiệm yếu nếu và chỉ nếu:

( i) u là nghiệm cổ điển trong những miền mà nó trơn.

(ii) u thoả hệ thức:

dọc theo đường cong Σ Hệ thức (1.22) được gọi là hệ thức bước nhảy Rankine-Hugoniot.

Ví dụ 1.6. Xét phương trình Burgers:

Khái niệm entropy toán học

Phương trình (1.1) có thể viết lại dưới dạng phi bảo toàn:

ut+ A(u)ux= 0, A(u) = ∂f (u)

Nếu u là một nghiệm trơn của (1.25) và giả sử có các hàm trơn U, F : Ω −→ R

thoả mãn:

Khi đó nhân hai vế của (1.25) với DU (u) ta được:

DU (u)(ut+ A(u)ux) = 0hay:

Định nghĩa 1.4 Giả sử Ω là tập lồi Một hàm lồi, trơn U : Ω −→ R được gọi là entropy của hệ luật bảo toàn (1.1) nếu tồn tại một hàm trơn F : Ω −→ R thoả mãn hệ thức (1.26) Hàm F được gọi là thông lượng entropy Cặp (U, F ) được gọi là cặp entropy (lồi).

Ví dụ 1.7. Xét luật bảo toàn vô hướng:

U0(v)f0(v)dv

Ví dụ 1.8. Xét hệ đối xứng:

ut+ f (u)x = 0, Df (u) đối xứng.

Hệ là hyperbolic nhưng không nhất thiết là hyperbolic ngặt Do ma trận Jacobian

Df (u)là đối xứng nên nó phải trùng với ma trận Hessian của một hàm vô hướng

ψnào đó, và do vậy,f = ∇ψ Suy ra:

U (u) = |u|2/2, F (u) = ∇ψ(u) · u − ψ(u)

là một cặp entropy

Phương pháp triệt tiêu nhớt

Bây giờ ta xét hệ luật bảo toàn với nhớt:

ut+ f (u) =  ∂

2

u

trong đó, vế phải được xem như là nhớt (viscousity) của hệ Ta có kết quả sau về

triệt tiêu nhớt:

Định lí 1.3 Giả sử rằng hệ (1.1) thừa nhận một cặp entropy (U, F ) Hơn nữa,

giả sử rằng u là một dãy các hàm đủ trơn của (1.28) sao cho:

kukL∞ (R×[0,+∞)) 6 C,

u −→ u  −→ 0 h.k R × [0, +∞) trong đó C là hằng số không phụ thuộc  Khi đó u là nghiệm yếu của hệ luật bảo toàn (1.1) và thoả mãn điều kiện entropy sau đây:

Z +∞

−∞

(U (u)ϕt+ F (u)ϕx) dxdt > 0.

Khái niệm nghiệm entropy

Từ định lý trên, người ta đưa ra khái niệm nghiệm entropy sau:

Định nghĩa 1.5 Nghiệm yếu u được gọi là nghiệm entropy nếu với bất kỳ cặp

entropy (U, F ) nào và với bất kỳ hàm thử ϕ ∈ C∞

0 (R × (0, +∞)) nào, ta đều có:

Z ∞

0

ZR

(U (u)ϕt+ F (u)ϕx)dxdt +

ZR

U (u0(x))ϕ(x, 0)dx > 0.

Ta có kết quả sau: hàm u trơn ngoại trừ trên một đường cong là nghiệm yếu

nếu và chỉ nếu:

(i) u là nghiệm cổ điển trong những miền mà nó trơn.

(ii) u thoả điều kiện Rankine-Hugoniot

(iii) u thoả bất đẳng thức bước nhảy

−s[U (u)] + [F (u)] 6 0, trong đó s là độ dốc của đường cong gián đoạn của u.

Ví dụ 1.9. Xét phương trình Burgers với nhớt:

ut+ uux = uxx.

Cho(U, F )là một cặp entropy tuỳ ý, nhân hai vế của phương trình trên vớiU0(u)

ta có:

U (u)t+ F (u)x = U (u)xx− U00(u)u2x.

Do đó khi → 0ta nhận được:

U (u)t+ F (u)x6 0.

Ví dụ 1.10. Mở rộng vế phải: nhớt và độ mao dẫn (capillarity)

ut+ (u3)x = uxx+ δuxxx,  > 0, δ ∈ R

Sử dụngU (u) = u2ta có:

(u2)t+ (3u4/2)x = (u2)xx− 2u2x+ δ(2uuxx− u2x)x

= (u2)xx− 2u2x+ δ((u2)xx− 3u2x)x.

Cho, δ → 0trong đẳng thức trên, ta được:

(u2)t+ (3u4/2)x 6 0.

σ(s)ds, F (v, w) = −σ(w)v.

Mở rộng khái niệm entropy

Trong định nghĩa entropy, một cách tổng quát hơn ta có thể xét các hàm liên

tục Lipschitz địa phương U, F thoả mãn (1.27) hầu khắp Thật vậy, giả sử ta có một dãy các cặp entropy lồi, trơn (Un, Fn)sao cho:

Fn→ F, Un→ U đều trên mỗi tập bị chặn Khi đó, nếu u là một dãy các nghiệm của bài toán

(1.28), u

→ u trong L1

loc khi  → 0, ta có:

Z ZR×(0,+∞)

(Un(u)ϕt+ Fn(u)ϕx)dxdt > 0 với mỗi hàm thử ϕ > 0 Cho n → +∞ trong bất đẳng thức cuối cùng ta nhận

được bất đẳng thức cần chứng minh trong định lý 1.3

Như vậy, khái niệm entropy có thể được mở rộng đối với hàm liên tụcLipschitz địa phương

1.2 CÁC LUẬT BẢO TOÀN VÔ HƯỚNG

1.2.1 Sốc, điều kiện entropy

Xét luật bảo toàn vô hướng:

Với mỗi cặp entropy (U, F ) ta có:

Định nghĩa 1.6 Một sóng sốc là một nghiệm u của (1.29) thoả điều kiện (1.30)

và có dạng:

Định lí 1.4 (Tiêu chuẩn Oleinik) Sóng sốc (1.31) thoả mãn bất đẳng thức

entropy (1.30) nếu và chỉ nếu:

a(u−+ s(u+− u−))ds với a(u) = f0(u).

Bất đẳng thức entropy (1.30) tương đương với:

E(u , u ) = λ(U (u ) − U (u )) + F (u ) − F (u ) 6 0.

Hơn nữa, ta có:

Do U00(u)là tuỳ ý, bất đẳng thức cuối cùng và (1.32) là tương đương

Hệ quả 1.1 Nếu f là hàm lồi thì các bất đẳng thức entropy (1.30) tương đương

Công thức Hopf-Lax cho phương trình Hamilton-Jacobi

Xét bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong không gian n-chiều

sau đây:

ut+ H(Du) = 0, x ∈ Rn, t > 0,

Ta giả thiết rằng:

(i) Hàm Hamilton H là lồi và cưỡng ép:

lim

|p|→∞

H(p)

(ii) Hàm dữ kiện đầu g là liên tục Lipschitz.

Hàm liên hợp lồi (hay liên hợp Fenchel) của H được định nghĩa bởi:

H∗(q) = sup

n

{p · q − H(p)}, q ∈ Rn.

Định lí 1.5 Cho hàm H lồi, hữu hạn và thoả điều kiện cưỡng ép (1.34) Khi đó,

hàm liên hợp lồi H∗ cũng là hàm lồi, cưỡng ép và thoả mãn: H∗∗ = H

Công thức Hofl-Lax được định nghĩa bỡi:

ta có:

H∗



x − z t

t H

∗



y − z s



và đặt y = s/tx + (1 − s/t)w Khi đó:



+ sH∗



y − w s



+ g(w) = u(x, t)

do (1.39) Từ đó ta có:

miny∈R n

Định lí 1.6 Công thức (1.35) xác định một hàm Lipschitz thoả mãn phương

trình đạo hàm riêng (1.33) hầu khắp và thoả mãn dữ kiện đầu khắp nơi.

Chứng minh Hàm u như vậy là Lipschitz địa phương Hơn nữa, dễ dàng suy ra

rằng:

|u(x, t) − g(x)| 6 Ct.

Vậy u khả vi hầu khắp nơi theo định lý Rademacher.

Bây giờ, cố định bất kỳ q ∈ Rn

, h > 0 Sử dụng bổ đề 1.1 ta có:

q · Du(x, t) + u (x, t) 6 H∗(q).

Bất đẳng thức này đúng với mọi q cho nên:

u(x, t) − u(y, s) > tH∗



x − z t

w + f (w ) = 0.

Một cách hình thức, lấy đạo hàm theo x và đặt u = wx ta nhận được luật bảotoàn:

Đặt:

g(x) =

Z x 0



tf∗



x − y t



+ g(y)



(1.42)

Định lí 1.7 Giả sử f là hàm lồi ngặt, thuộc lớp C3, và g ∈ L∞ Khi đó:

(i) Với mỗi t > 0, tồn tại cho tất cả x trừ một số đếm được, một điểm y(x, t) sao

cho minimum trong công thức Hopf-Lax là đạt được tại đó:

miny∈R



tf∗



x − y t



+ g(y(x, t))

(ii) Ánh xạ x 7→ y(x, t) là không giảm.

(iii) Với mỗi t > 0, hàm u từ (1.42) xác định bởi công thức Lax-Oleinik:

u(x, t) = G



x − y(x, t) t

Như vậy, f ∈ C2 Hơn nữa:

(f∗)0(q) = G(q) + qG0(q) − f0(G(q))G0(q) = G(q) (1.44)Điều này dẫn đến:

(f∗)00(q) = G0(q) > 0 và vì vậy, hàm f∗ là lồi ngặt

Bây giờ, cố định t > 0, x1 < x2 Tồn tại y1 sao cho minimum đạt được cho

x1, t:

miny∈R



tf∗



x1− y t



+ g(y), ∀y < y1. (1.45)Thật vậy, biểu thị:



f∗



x1− y t



Nhân (1.46) với t, cộng g(y1) + g(y) vào hai vế, sau đó cộng kết quả thu được với(1.47) ta có (1.45).

Nhờ vào (1.45), ta định nghĩa y(x, t) là giá trị nhỏ nhất mà minimum đạt được Khi đó, hàm số x 7→ y(x, t) là không giảm và do đó, liên tục hầu khắp và

hơn thế khả vi hầu khắp ngoại trừ tại một số đếm được điểm Tại mỗi điểm liên

tục x, giá trị y(x, t) là điểm duy nhất mà minimum đạt được.

Bây giờ ta có:



+ g(y(z, t)) đạt được minimum tại z = x Do đó:

(f∗)0



x − y(x, t) t



= G



x − y(x, t) t



.

Định lí 1.8 Dưới giả thiết của định lý 1.7, hàm u xác định bởi công thức

Lax-Oleinik (1.43) là nghiệm yếu của bài toán Cauchy đối với luật bảo toàn (1.41).

Giả sử v là hàm thử, nhân hai vế của phương trình (1.49) với vx và lấy tíchphân, ta có:

0 =

Z ∞ 0

w(x, 0) = g(x) =

Z x 0

Thay đồng nhất thức này vào (1.50) và lưu ý rằng wx = u, ta nhận được đồng

nhất thức trong định nghĩa của nghiệm yếu

1.2.3 Tính duy nhất nghiệm entropy

Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu tính duy nhất nghiệm entropy thôngqua định lý cổ điển của Kruzkov Định lý này thiết lập một ước lượng về khoảng

cách theo chuẩn L1 của bất kỳ hai nghiệm entropy của luật bảo toàn (1.29)

Định lí 1.9 (Kruzkov) Giả sử f : R → R là liên tục Lipschitz địa phương Giả

sử u, v là nghiệm entropy của (1.29) và giả sử M, L là các hằng số sao cho:

Hệ quả 1.2 Giả sử f : R → R là liên tục Lipschitz địa phương Nếu u, v là

nghiệm entropy của (1.29) sao cho:

Từ đó suy ra bài toán Cauchy cho luật bảo toàn (1.29) với dữ kiện đầu u0 ∈ L∞

có nhiều nhất là một nghiệm.

1.2.4 Bài toán Riemann

Trong mục này ta sẽ khảo sát bài toán Riemann cho luật bảo toàn (1.29), trong

đó hàm thông lượng f là lồi ngặt (f00 > 0 ) hoặc lõm ngặt (f00 < 0)

Trước hết ta có nhận xét rằng nếu u(x, t) là nghiệm thì hàm u(λx, λt), t > 0

cũng là nghiệm Do vậy một cách tự nhiên, ta sẽ quy về xét nghiệm trơn từngmảnh tự đồng dạng, có dạng:

Để đơn giản, giả sử hàm f lồi ngặt Cho trước hai trạng thái u−< u+, khi đó

u , x > tf0(u ),

xác định một nghiệm trơn tự đồng dạng của luật bảo toàn (1.29) Nghiệm này

được gọi là sóng lan nối u− và u+

Tiếp theo ta xét bài toán Riemann, là bài toán Cauchy với dữ kiện đầu códạng:

u(x, 0) = u0(x) =

(

uL, x < 0

Giả sử cho đơn giản rằng hàm f là lồi Cho trước u−, tập tất cả các trạng thái

bên phải u+ có thể nối với u− bỡi một sốc là:

u+ ∈ (−∞, u−].

Tập tất cả các trạng thái bên phải u+ có thể nối với u− bỡi một sóng lan là:

u+∈ [u−, +∞).

Và như vậy ta đi đến định lý sau:

Định lí 1.10 (Bài toán Riemann đối với thông lượng lồi) Giả sử thông lượng f

là hàm lồi Cho trước dữ kiện Riemann u± Bài toán Riemann (1.29),(1.53) thừa nhận duy nhất một nghiệm entropy trong lớp các hàm trơn từng mảnh, được kết hợp bởi hữu hạn các sóng sốc và sóng lan, và được xác định như sau:

(i) Nếu uR> uL thì nghiệm u là một sóng lan đơn điệu.

(ii) Nếu uR< uL thì nghiệm u là một sóng sốc.

Ta cũng có kết quả tương tự đối với trường hợp thông lượng lõm

1.3 BÀI TOÁN RIEMANN

1.3.1 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán Riemann

Xét hệ luật bảo toàn:

u + f (u) = 0, x ∈ R, ; t > 0. (1.54)

Định nghĩa 1.7 Giả sử trường k là phi tuyến thực sự, ta nói rằng một sóng sốc

thoả các bất đẳng thức entropy Lax nếu:

λk(u+) < λ < λk+1(u+),

λk−1(u−) < λ < λk(u). (1.55)Liu đã dựa vào một tiêu chuẩn entropy cho phép giải quyết những hệ với cáctrường đặc trưng không nhất thiết là phi tuyến thực sự Tiêu chuẩn Liu là mộtmở rộng của tiêu chuẩn Oleinik đối với các hệ: Dọc theo đường cong Hugoniot

Hk(u−) điều kiện sau phải thoả mãn:

λ(u−, u+) 6 λ(u−, u), ∀u ở giữa u− và u+. (1.56)

Nếu trong bất đẳng thức trên ta thay dấu 6 bởi dấu <, thì bất đẳng thức nhận

được gọi là tiêu chuẩn ngặt của Liu Điều kiện (1.56) suy ra bất đẳng thức sốc :

λk(u+) < λ(u−, u+) < λk(u+). (1.57)

Nếu trường đặc trưng thứ k là phi tuyến tính thực sự, thì tiêu chuẩn Liu tương

đương với các bất đẳng thức sốc Lax Tuy vậy nếu trường đặc trưng không nhấtthiết là phi tuyến thực sự, người ta thường dùng tiêu chuẩn Liu thay cho các bấtđẳng thức sốc Lax để giải bài toán Riemann

Định lí 1.11 Nếu trường đặc trưng thứ k là phi tuyến thực sự thì các bất đẳng

thức sốc Lax sẽ tương ứng với phần s 6 0 của đường cong Hugoniot.

Nhắc lại rằng ta có điều kiện entropy ở phần trước Giả sử hệ (1.54) thừa

nhận một cập entropy lồi ngặt (U, F ) Khi đó, đối với một sóng sốc với vận tốc sốc λ, điều kiện entropy này trở thành:

−λ(u−, u+)(U (u+) − U (u−)) + F (u+) − F (u−) 6 0 (1.58)

Định lí 1.12 Giả sử trường đặc trưng thứ k là phi tuyến thực sự Dọc theo

đường cong Hugoniot H (U ), điều kiện entropy (1.58) tương ứng với phần s 6 0.

Như vậy từ hai kết quả trên ta thấy điều kiện entropy tương đương với cácbất đẳng thức sốc Lax nếu hệ thừa nhận một cặp entropy lỗi ngặt và trườngđặc trưng đang xét là phi tuyến thực sự Tuy nhiên không có một khẳng địnhchắc chắn nào đối với hệ tổng quát Trong việc giải quyết nhiều bài toán cụ thể,người ta thường dùng các bất đẳng thức sốc Lax.

Bây giờ ta trở lại việc giải bài toán Riemann cho hệ (1.54) là bài toán Cauchyvới dữ kiện đầu có dạng :

u(x, 0) =

(

uR, x < 0

uL, x > 0

Trong đó uL, uR là các trạng thái hằng và đủ gần nhau, tức là kuL− uRk đủ nhỏ

Giả sử rằng hệ (1.54) là hyperbolic ngặt Nếu trường đặc trưng thứ k là phi

tuyến thực sự ta có thể chuẩn hoá :

Dλk(u) · rk(u) = 1, lk(u) · rk(u) = 1.

Từ kết quả phần trước ta thấy rằng các đường cong Rk(uL) và Sk(uL)tiếp xúc với

nhau tại s = 0 Hơn thế ta có thể định nghĩa một hàm đủ trơn :

uk(s, u−) =

(

wk(s, u−), s > 0

νk(s, u−), s 6 0

Ta có định lý sau đây :

Định lí 1.13 Giả sử với mọi k ∈ {1, 2, , p}, trường đặc trưng thứ k hoặc là phi

tuyến thực sự, hoặc là suy biến tuyến tính Khi đó với mọi uL ∈ Ω tồn tại một lân cận của uL sao cho với mọi uR thuộc vào lân cận này, bài toán Riemann thừa nhận một nghiệm duy nhất trơn lớp các hàm được kết hợp tự nhiên nhất là p + 1 trạng thái hằng được tách nhau bởi sóng lan, sóng sốc thoả các bất đẳng thức Lax, hoặc là gián đoạn tiếp xúc

1.3.2 Hệ phương trình khí động học đẳng entropy

Nhắc lại rằng hệ phương trình khí động học đẳng entropy trong toạ độ Lagrange,còn được gọi là hệ –p có dạng:

trước Giả sử thêm rằng p00 > 0, khi đó hai trường đặc trưng là phi tuyến thực

sự Chú ý rằng λk và rk là các hàm chỉ phụ thuộc vào v.

Trước hết hãy xây dựng đường cong R1(w0) các trạng thái có thể nối với một

trạng thái cho trước w0 = (v0, u0) bởi một sóng 1-lan Đây chính là đường cong

tích phân của rl xuất phát từ w0 Như vậy:

v0(ξ) = 1, u0(ξ) =p

−p0(u(ξ)), v(λk(v0)) = v0, u(λk(v0)) = u0

Do v0(ξ) 6= 0, ta có thể xem v như là tham biến và vì vậy ta có:

cong 1-lan trong mặt phẳng (v, u) được cho bởi:

R1(v0, u0) = {(v, u) : u = u0+

Z v

v0p

−p0(y)dy, v > v0}

Dọc theo đường cong này ta có:

2 (w0) gồm các trạng thái bên trái mà có thể nối với

một trạng thái bên phải cho trước w0 trong mặt phẳng (v, u) được cho bởi:

Như vậy, đây là một đường cong mà u giảm và lồi như là một hàm của v.

Bây giờ ta xét đến các đường cong sốc Hệ thức Rankine-Hugoniot trongtrường hợp này cho ta:

H (v , u ) = {(v, u) : u − u = −s (v , v)(v − v )} (1.61)

H2(v0, u0) = {(v, u) : u − u0 = −s2(v0, v)(v − v0)} (1.62)Hơn nữa, các sóng sốc phải thoả các bất đẳng thức sốc Lax, mà trong trườnghợp này là :

λi(v) < s(v, v0) < λi(v0), i = 1, 2, trong đó, v0 ứng với trạng thái bên trái, v ứng với trạng thái bên phải.

Bây giờ ta hãy xét đường cong sốc S1(w0) gồm các trạng thái bên phải

w = (v, u) mà có thể được nối với một trạng thái bên trái cho trước w0 = (v0, u0)

bởi một sóng 1–sốc Thế thì, do p0 là hàm tăng nên điều kiện λ1(v) < λ1(v0) suyra:

v < v0.

Từ (1.61) và bất đẳng thức cuối cùng suy ra rằng đường cong 1–sốc (tiến) S1(w0)

xuất phát từ w0 (gồm các trạng thái bên phải w = (v, u) mà có thể nối với một trạng thái bên trái cho trước w0 = (v0, u0) được cho bởi:

S1(v0, u0) = {(v, u) : u − u0 = −s1(v0, v)(v − v0), v 6 vL}

Dọc theo đường cong này, có thể kiểm tra rằng u là một hàm tăng như là hàm của v.

Tương tự, đường cong 2-sốc lùi SB

2 xuất phát từ w0 (gồm các trạng thái bên

trái w = (v, u) mà có thể nối với một trạng thái bên phải cho trước w0 = (v0, w0)bởi một 2-sốc) được cho bởi:

S2B(v0, u0) = {(v, u) : u − u0 = −s2(v0, v)(v − v0), v 6 vL}

Dọc theo đường cong này, u là giảm như là hàm của v.

Như vậy ta định nghĩa các đường cong sóng:

W1(w0) = R1(w0) ∪ S1(w0),

WB(w0) = RB(w0) ∪ SB(w0)

Định lí 1.14 Cho trước hai trạng thái trái và phải wL, wR Đường cong sóng

W1(wL)là đơn điệu tăng như là một hàm u = u1(v) Đường cong sóng lùi WB

2 (wR)

là đơn điệu giảm như là một hàm u = u2(v) Bài toán Riemann như vậy thừa nhận một nghiệm duy nhất nếu hai đường cong này giao nhau