Phân tích khung phẳng liên hợp thép bê tông cốt thép liên kết nửa cứng chịu tải trọng tỉnh và động

- Nghiên cứu, áp dụng khái niệm hệ số ngàm-đầu mút và ma trận độ cứng hiệu chỉnh phần tử dầm-cột cứng thành phần tử dầm-cột nửa cứng đã được sử dụng cho khung thép phẳng để phân tích khu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

YZ

ĐỖ VIỆT HƯNG

PHÂN TÍCH KHUNG PHẲNG LIÊN HỢP THÉP – BÊ TÔNG CỐT THÉP LIÊN KẾT NỬA CỨNG CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH VÀ ĐỘNG

CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP MÃ SỐ NGÀNH : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP.HỒ CHÍ MINH – THÁNG 3.2007

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

YZ

ĐỖ VIỆT HƯNG

PHÂN TÍCH KHUNG PHẲNG LIÊN HỢP

THÉP – BÊ TÔNG CỐT THÉP LIÊN KẾT

NỬA CỨNG CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH VÀ ĐỘNG

CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

MÃ SỐ NGÀNH : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

TP.HỒ CHÍ MINH – THÁNG 3.2007

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại :

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày ………tháng ………năm 2007

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên : ĐỖ VIỆT HƯNG Phái: Nam

Ngày tháng năm sinh : 27/04/1978 Nơi sinh : Gia Lai

Chuyên ngành : XÂY DỰNG DD&CN MSHV : 02104547

I - TÊN ĐỀ TÀI :

PHÂN TÍCH KHUNG PHẲNG LIÊN HỢP THÉP – BÊ TÔNG CỐT THÉP LIÊN KẾT NỬA CỨNG CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH VÀ ĐỘNG

II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

- Trình bày về mô hình liên kết nửa cứng tuyến tính, Richard-Abbott, Eurocode 4, cách xác định độ cứng của liên kết

- Nghiên cứu, áp dụng khái niệm hệ số ngàm-đầu mút và ma trận độ cứng hiệu chỉnh phần tử dầm-cột cứng thành phần tử dầm-cột nửa cứng đã được sử dụng cho khung thép phẳng để phân tích khung liên hợp có liên kết nửa cứng Trình bày về lý thuyết động lực học kết cấu và lựa chọn phương pháp giải bài toán động lực học cho kết cấu khung phẳng liên hợp thép – bê tông cốt thép

- Xây dựng chương trình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab 7.0 Sử dụng chương trình để khảo sát các ví dụ đồng thời so sánh với các nghiên cứu đã có trước nhằm kiểm tra tính đúng đắn và hiệu quả của chương trình, từ đó rút ra kết luận và kiến nghị

V- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH BỘ MÔN QUẢN LÝ NGÀNH

PGS.TS BÙI CÔNG THÀNH

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

Ngày …… tháng…… năm 2007

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, các Thầy, Cô giảng dạy sau đại học Trường đại học Bách khoa Tp Hồ Chí Minh về những kiến thức mà tôi có được ngày hôm nay

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy PGS.TS Bùi Công Thành, người Thầy đã trực tiếp hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm và cho tôi những lời khuyên quý báu, những định hướng giúp tôi vượt qua khó khăn để hoàn thành luận văn này

Cám ơn cơ quan tôi đang công tác đã tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập

Cuối cùng, tôi xin gởi lòng biết ơn đến Cha, Mẹ, người thân và bạn bè tôi, những người luôn quan tâm và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Chương 1 TỔNG QUAN 4

1.1 Liên kết nửa cứng 4

1.2 Tình hình nghiên cứu kết cấu liên hợp thép - bê tông cốt thép 5

1.3 Sự cần thiết của việc nghiên cứu phản ứng động lực học của kết cấu thép - bê tông cốt thép liên hợp .7

1.4 Mục tiêu và phạm vi của đề tài 8

1.5 So sánh nội dung luận văn và một số công trình nghiên cứu trước đây về kết cấu khung liên hợp 9

Chương 2 MÔ HÌNH LIÊN KẾT NỬA CỨNG 10

2.1 Các mô hình tuyến tính .10

2.2 Mô hình 4 thông số Richard-Abbott 11

2.3 Mô hình liên kết nửa cứng Eurocode 12

2.3.1 Phân loại liên kết liên hợp 13

2.3.2 Phương pháp thành phần 15

2.3.3 Mô hình liên kết liên hợp nửa cứng theo tiêu chuẩn Eurocode 4 15

2.3.4 Lý tưởng hóa đường cong phi tuyến M-ϕ .16

2.4 Độ cứng của liên kết liên hợp: 17

2.4.1 Mô hình cơ bản 18

2.4.2 Độ cứng của thành phần liên hợp .18

2.4.2.1 Cốt thép gia cường 18

2.4.2.2 Chốt chống cắt 19

2.5 Đặc trưng cơ bản của tiết diện dầm liên hợp 19

2.5.1 Chiều rộng làm việc của tấm sàn 19

2.5.2 Mô men quán tính của tiết diện dầm liên hợp 20

2.6 Kết luận 21

Chương 3 PHÂN TÍCH KHUNG PHẲNG 22

3.1 Giới thiệu 22

3.2 Khái niệm hệ số ngàm-đầu mút 22

3.3 Phần tử dầm-cột nửa cứng 24

3.4 Ma trận độ cứng của phần tử nửa cứng 25

3.5 Phân tích khung phẳng với tải trọng động 26

3.5.1 Cơ sở lý thuyết phân tích động lực học kết cấu 26

3.5.2 Trường chuyển vị của phần tử nửa cứng 27

3.5.3 Xác định các ma trận tính chất kết cấu 29

3.5.3.1 Ma trận khối lượng tương thích 29

3.5.3.2 Ma trận cản 30

3.5.4 Phản ứng của hệ khung phẳng dưới tác dụng của tải trọng động 30

3.5.4.1 Dao động tự do 30

3.5.4.2 Tải trọng điều hòa 30

3.5.4.3 Tải trọng xung 31

3.5.5 Phương pháp tích phân số Newmark 31

3.6 Phân tích khung không xét phi tuyến hình học 32

3.7 Phân tích khung có xét phi tuyến hình học 33

3.7.1 Ma trận độ cứng xét đến ảnh hưởng bậc 2 của phần tử dầm-cột nửa cứng .33

3.7.2 Phân tích bậc 2 34

3.8 Sơ đồ thuật toán phân tích khung phẳng liên hợp 35

3.9 Kết luận 37

Chương 4 CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TOÁN 38

4.1 Giới thiệu 38

4.2 Môđun tính toán liên kết 38

4.3 Phân tích khung phẳng 40

4.3.1 Phân tích với tải trọng tĩnh 40

4.3.2 Phân tích với tải trọng động 45

Chương 5 KHẢO SÁT CÁC BÀI TOÁN VÍ DỤ .47

5.1 Tính toán liên kết liên hợp 47

5.2 Phân tích khung thép chịu tải trọng tĩnh 49

5.2.1 Phân tích khung thép liên kết cứng bậc nhất 49

5.2.2 Phân tích bậc hai khung thép phẳng liên kết nửa cứng 52

5.3 Phân tích khung phẳng liên hợp chịu tải trọng tĩnh 55

5.3.1 Khung 6 tầng 2 nhịp 55

5.3.2 Khung 2 tầng 2 nhịp 60

5.4 Khảo sát dao động tự do của khung phẳng 63

5.4.1 Dao động tự do của khung thép phẳng 63

5.4.2 Dao động tự do của khung liên hợp 66

5.4.3 Khảo sát sự hội tụ của bài toán dao động tự do 69

5.4.3.1 Khung liên kết cứng 69

5.4.3.2 Khung liên kết nửa cứng 74

5.4.4 Ảnh hưởng của tỉ số cản đến dao động tự do của khung phẳng .78

5.5 Phân tích khung liên hợp chịu tải trọng điều hòa 82

5.6 Phân tích khung liên hợp chịu tải trọng xung 86

Chương 6 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 90

6.1 Kết luận 90

6.2 Kiến nghị 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

PHỤ LỤC 94

1 composite.m Chuong trinh chinh - Composite 94

Phần A Tính toán liên kết 95

Phần A.1 Tính liên kết extended end-plate connections 95

2 Con1.m - tinh lien ket extended end-plate connections 95

Phần A.2 Tính liên kết partial-depth end-plate connections 108

3 Con2.m - tinh lien ket partial-depth end-plate connections 108

Phần B Tính toán khung phẳng 116

4 opendata.m - Nap du lieu bai toan tu mot file co san 116

5 newdata.m - tao mot bai toan moi 116

6 savedata_as.m - Luu toan bai toan va dat ten moi 116

7 savedata.m - luu du lieu cua bai toan dang thuc hien 117

8 frame.m - nhap so lieu khung 117

9 loaddata.m - nhap tai trong 121

10 dis_graphic.m - ve so do hinh hoc khung phang 124

11 loadvecto.m tinh tai nut khung theo he so ngam dau mut r 131

12 solvestatic.m - tinh noi luc khung voi tai trong tinh 132

13 stiff1.m - tinh do cung bac 1 khung co lien ket cung hoac nua cung 134

14 stiff2.m - tinh do cung bac 2 khung co lien ket cung hoac nua cung 134

15 sematrix.m - matran tinh momen 135

16 dynamic_com.m - tinh khung phang voi tai trong dong 136

17 rigid_dynamic.m - Tinh khung cung voi tai trong dong 139

18 semi_dynamic.m - Tinh khung nua cung voi tai trong dong 142

19 integration.m - Giai phuong trinh vi phan dao dong 146

20 rayleigh.m - thiet lap ma tran can tong the 147

21 vibration.m - tinh tan so va chu ky dao dong rieng 147

22 mass.m - thiet lap ma tran khoi luong tong the 147

23 ouput.m - xuat ket qua tinh toan 148

Chương 1 TỔNG QUAN

1.1 Liên kết nửa cứng

Liên kết đóng một vai trò quan trọng trong hệ thống kết cấu khung Liên

kết nửa cứng là loại liên kết mô phỏng gần đúng trạng thái làm việc thực của kết

cấu nhất Loại liên kết này diễn tả trạng thái làm việc của liên kết, tùy theo cách

cấu tạo nhưng đường cong quan hệ giữa mômen (M) và góc xoay (θ) của liên kết

nửa cứng luôn nằm giữa đường cong M-ϕ của hai loại liên kết thông thường là

khớp lý tưởng (không có ràng buộc góc xoay, mômen tại liên kết bằng 0) và liên

kết cứng tuyệt đối (không xoay, mômen ở dầm truyền hoàn toàn sang cột) Wilson

và Moore là những người đầu tiên đưa ra nghiên cứu về liên kết nửa cứng vào năm

1917 [2] Trong một thời gian dài sau đó, là rất nhiều những nghiên cứu tập trung

vào ứng xử của liên kết nửa cứng Có thể kể đến những khảo sát sau đây: G.R

Monforton và T.S Wu đưa ra cách phân tích khung có liên kết nửa cứng bằng cách

hiệu chỉnh ma trận độ cứng (1963) Frye và Morris (1975) đã đề xuất mô hình đa

thức cho một số loại liên kết trong thủ tục phân tích phi tuyến liên kết nhằm xác

định biến dạng khung dưới tác dụng của tải trọng, Lei Xu và Donale E.Grierson

(1992) giới thiệu phương pháp tự động hóa trên máy tính để thiết kế tối ưu khung

thép có xét đến ảnh hưởng của liên kết nửa cứng Liew J.Y.R và các cộng sự

(1997) đã tiến hành thí nghiệm khung không giằng có liên kết nửa cứng làm cơ sở

so sánh khi tiến hành phân tích dẻo bậc hai; Yosuk Kim và Wai - Fah Chen (1998)

đề nghị một phương pháp thực hành khác để thiết kế khung thép có liên kết nửa

cứng trên cơ sở quy phạm AISC-LRFD; G.C Clifton và J.W Butterworth (1999),

G.C Clifton, J.W Butterworth và M Pantke (2001) đã đề nghị các mô hình liên

kết nửa cứng trong hệ khung chống động đất Hệ khung thép liên kết nửa cứng

cũng đã được quy định trong quy phạm thiết kế của Mỹ AISC-ASD (AISC, 1989),

AISC-LRFD (1999), của châu Âu Eurocode 3

Trong phân tích khung phẳng, liên kết truyền nội lực từ dầm sang cột Khi

tác dụng lên liên kết một mô men M thì liên kết bị xoay đi một góc θr Góc xoay

biểu diễn sự thay đổi hình dạng ban đầu của liên kết dầm và cột

θ

M

Hình 1.1 Biến dạng xoay của liên kết

Đường cong quan hệ giữa mômen (M) và góc xoay (θ) của liên kết nửa

cứng là một đường cong phi tuyến, được mô phỏng thông qua một hàm số giữa mô

men tác dụng và biến dạng xoay Có rất nhiều mô hình về liên kết nửa cứng đã

được đề xuất, việc lựa chọn mô hình ứng xử của liên kết có ảnh hưởng rất lớn đến

kết quả tính toán

Ở Việt Nam trong khoảng thời gian gần đây, có rất nhiều những nghiên cứu

về liên kết nửa cứng Tác giả Vũ Quốc Anh (ĐH Kiến trúc Hà Nội) trình bày bài

báo “Stability analysis of steel frames with semi-rigid connections and semi-rigid

connections with rigidzones” (2001) Một số luận văn cao học về vấn đề liên kết

nửa cứng được thực hiện tại ĐH Bách khoa Tp.HCM trong những năm gần đây như:

- Trần Tuấn Kiệt: “Phân tích khung thép phẳng có liên kết nửa cứng bằng

phương pháp nâng cao” (2002)

- Nguyễn Trung: “Phân tích khung thép không gian có liên kết nửa cứng

bằng phương pháp nâng cao” (2003)

- Trần Chí Hoàng: “Phân tích thiết kế tối ưu khung thép phẳng có liên kết

nửa cứng với tiết diện chữ I” (2003)

- Bùi Lâm: “Phân tích phản ứng khung thép phẳng liên kết nửa cứng chịu

tải trọng động” (2004)…

1.2 Tình hình nghiên cứu kết cấu liên hợp thép - bê tông cốt thép

Kết cấu liên hợp thép - bê tông cốt thép gần đây đã được sử dụng rộng rãi

trong xây dựng các công trình cao tầng và ngành cầu đường trên thế giới Sự hình

thành kết cấu liên hợp dựa trên cơ sở kết hợp những ưu điểm vốn có của từng loại

vật liệu thép (bền, nhẹ, dễ lắp ráp, chịu kéo tốt, tốc độ thi công nhanh) và bê tông

(rẻ tiền, chắc nặng, cứng, có khả năng chịu nén lớn) [20] Ngoài việc sử dụng kết

cấu liên hợp thép - bê tông cốt thép liên hợp để tạo ra những công trình cao tầng,

những kết cấu khung nhà có nhịp rộng, loại kết cấu này còn rất thích hợp cho

những công trình xây dựng trong vùng động đất và có khả năng chống cháy tốt

[25]

Như vậy, kết cấu liên hợp là loại kết cấu có vị trí quan trọng trong ngành

công nghiệp xây dựng Ở Việt Nam, thiết kế kết cấu liên hợp là điều vẫn mới mẻ

đối với các kỹ sư vì chúng ta vẫn chưa có một quy trình phân tích hoàn chỉnh và

quy phạm xây dựng của Việt Nam vẫn chưa đề cập đến loại kết cấu này Để có thể

áp dụng loại kết cấu có nhiều ưu điểm này trong xây dựng công trình ở Việt Nam,

việc nghiên cứu về nó là điều rất cần thiết Kết cấu thép - bê tông cốt thép liên

hợp thật ra đã được sử dụng cách đây hàng trăm năm Vào năm 1894, những công

trình đầu tiên sử dụng loại kết cấu này là cầu Rock Rapids, bang Iowa và tòa nhà

Methodist ở Pittsburgh, USA Những cấu kiện dầm liên hợp đầu tiên được kiểm tra

vào năm 1922 ở Canada, chốt hàn chống cắt được thử nghiệm lần đầu tại trường

đại học Illinois vào năm 1954 [13]

Hình 1.2 Tòa nhà Millennium Tower, Vienna, Austria

(Công trình sử dụng kết cấu composite)

Hình 1.3 Cầu Rock Rapids - bang Iowa

(Một trong những công trình đầu tiên sử dụng kết cấu thép - bê tông cốt thép liên hợp)

Lý thuyết tính toán về kết cấu thép - bê tông cốt thép liên hợp cũng đã

được phát triển từ rất lâu Timoshenko (1925) sử dụng lý thuyết dầm Euler -

Bernoulli để phát triển cho dầm composite, trong đó chuyển vị ngang của hai thành

phần thép và bê tông được xem là như nhau Trong thập niên 90 và những năm gần

đây, có rất nhiều nghiên cứu về kết cấu liên hợp trên thế giới Một trong những

phân tích phi đàn hồi về hệ kết cấu liên hợp được trình bày sớm nhất bởi

Hasegawa và những người khác (1988) Trong mô hình nghiên cứu của Hasegawa,

kết cấu khung liên hợp được mô hình như là một công - xon có nhiều bậc tự do

trong đó trọng lượng kết cấu được tập trung tại các cao trình của các tầng nhà

Những đặc trưng kết cấu của các tầng nhà được xác định theo kết quả thực nghiệm

Kim và Lu (1992) đã hiệu chỉnh chương trình DRAIN-2D (viết bởi Kanaan

và Powell, 1973) để phân tích khung liên hợp 2 phương bao gồm các bộ phận cấu

thành là cột liên hợp gia cường bằng bê tông và dầm thép với sàn liên hợp

Hajjar và các cộng sự (1998) trình bày phương pháp phân tích một khung

liên hợp không giằng 4 tầng sử dụng ống thép nhồi bê tông chịu tải trọng gió và

trọng lực Họ đã sử dụng phần tử không có liên kết trượt (bond-slip) cho dầm và

phần tử có liên kết trượt cho cột Kết quả cho thấy, mặt dù đóng một vai trò quan

trọng trong cơ cấu truyền tải trọng ở liên kết dầm - cột nhưng liên kết trượt lại

không ảnh hưởng đến đáp ứng tải trọng - biến dạng tổng thể của khung [25]

L.X Fang, S.L Chan Y.L Young (1999) đã dùng phương pháp phân tích một

phần tử cho một cấu kiện (single element per member method) để phân tích khung

liên hợp có xét đến liên kết nửa cứng [16]

Liew và những người khác (2001) đã khảo sát ứng xử của khung thép

phẳng và khung thép không gian với dầm sàn liên hợp chịu đồng thời trọng lực và

tải trọng ngang Dầm liên hợp được xây dựng dựa trên mô hình mặt cắt hợp ứng

suất trong khi cột thép được xây dựng dựa trên mô hình khớp dẻo tập trung [25]

Ở Việt Nam, trong những năm gần đây cũng đã có một số tác giả khảo sát

về kết cấu liên hợp Các tác giả Nguyễn Văn Quang (1998), Trần Nhật Minh

(2002) (ĐH Xây dựng Hà Nội) đã có các luận văn cao học về hệ sàn thép - bê tông

cốt thép liên hợp Tại ĐH Bách khoa Tp.HCM cũng đã có các nghiên cứu về khung

liên hợp thép - bê tông cốt thép, đơn cử như luận văn cao học của các tác giả:

Lương Văn Hải (2002): “Phân tích phi tuyến khung composite có liên kết

nửa cứng” Trong luận văn này tác giả đã dùng mô hình Merchant - Rankin áp

dụng cho việc phân tích khung liên hợp có xét đến ảnh hưởng bậc hai

Chu Việt Cường (2003): “Phân tích nâng cao khung liên hợp thép - bê tông

cốt thép” Phương pháp phân tích khung là phương pháp “hiệu chỉnh khớp dẻo” đã

từng được áp dụng cho khung thép Từ kết quả của nghiên cứu lý thuyết tác giả đã

đưa ra chương trình tính có khả năng tính toán liên kết nửa cứng đối với kết cấu

liên hợp và phân tích khung phẳng liên hợp có tính đến các yếu tố phi tuyến

Thái Quốc Dũng (2004): “Thiết kế tối ưu kết cấu khung composite sử dụng

thuật giải di truyền” Tác giả dùng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích

khung phẳng Tuy nhiên, trong quá trình phân tích khung vẫn chưa xét đến liên kết

nửa cứng giữa dầm và cột

1.3 Sự cần thiết của việc nghiên cứu phản ứng động lực học của kết

cấu thép - bê tông cốt thép liên hợp

Trong thực tế, các kết cấu luôn phải chịu các loại tải trọng động như rung

động của máy móc, tải trọng gió, tải trọng động đất, tải trọng va đập của sóng biển

vào các dàn khoan Đặc biệt, tải trọng động đất luôn được đề cập đến trong thiết

kế các công trình cao tầng trên thế giới Việc nghiên cứu những ứng xử động học

của kết cấu công trình là việc làm mang tính thực tiễn và rất cần thiết

Những nghiên cứu về ứng xử động học của kết cấu liên hợp thường tập

trung vào phản ứng của khung liên hợp dưới tác động của tải trọng động đất

Mehany và Deierlein (2001) đã sử dụng mô hình được phát triển bởi El-Tawil và

Deierlein (2001) để đánh giá khả năng chịu động đất của khung thép - bê tông cốt

thép liên hợp thông qua việc đề xuất khái niệm chỉ số phá hủy do động đất [24],

[25] Giáo sư Roberto T.Leon (Viện kỹ thuật Georgia - Atlanta, USA) đã có bài

viết về thiết kế chống động đất cho khung liên hợp bán liên tục (composite

semi-continuos frames) Theo đó, ông nhấn mạnh đến những kỹ thuật phân tích nâng

cao, ảnh hưởng của sàn bê tông đến cường độ, độ cứng tổng thể và dao động tự do

của kết cấu Ngoài ra, còn có nhiều nghiên cứu thực nghiệm về ứng xử của các

liên kết dầm - cột của khung liên hợp trong quá trình chịu tải trọng động

Khảo sát về công trình chịu tải trọng động ở Việt Nam, theo tìm hiểu tại

ĐH Bách Khoa Tp.HCM thường là về kết cấu khung thép hay kết cấu khung bê

tông cốt thép Bùi Lâm (2004) đã khảo sát khung thép phẳng chịu tải trọng điều

hoà và tải trọng động đất [1] Phạm Quốc Lâm (2005) đã thực hiện luận văn cao

học với đề tài “Ảnh hưởng của liên kết nửa cứng đến phản ứng động lực học của

khung thép phẳng” Ảnh hưởng của độ mềm liên kết trong quá trình phân tích

khung được xem xét thông qua hệ số ngàm đầu mút Phi tuyến hình học được xét

đến thông qua hiệu ứng P - delta Luận văn chỉ xét đến tải trọng gió mô phỏng theo

phương pháp của Monte – Carlo Phương pháp giải hệ phương trình vi phân cân

bằng dao động là phương pháp tích phân số Newmark…[23] Theo nhận định chủ

quan của tác giả, hiện tại chỉ có nghiên cứu của tác giả Võ Thị Cẩm Giang (2006)

(“Phân tích động lực học khung phẳng liên hợp thép – bêtông cốt thép”, Luận văn

cao học, Trường Đại học Bách khoa Tp.HCM) là xem xét đến phản ứng động của

kết cấu khung thép - bê tông cốt thép liên hợp ở Việt Nam Trong luận văn này,

tác giả xét đến liên kết nửa cứng với các mô hình tuyến tính, Kishi-Chen, Eurocode

và chỉ khảo sát khung phẳng dao động tự do và dao động dưới tác dụng của tải

trọng xung dạng tam giác Do đó, để có thể khảo sát đầy đủ về kết cấu khung liên

hợp, cần thiết phải tìm hiểu về ứng xử của khung liên hợp trong quá trình chịu tải

trọng động

1.4 Mục tiêu và phạm vi của đề tài

Mục tiêu của luận văn này là khảo sát ứng xử của kết cấu khung phẳng

liên hợp thép – bê tông cốt thép chịu tải trọng tĩnh và động Đề tài tập trung vào

các vấn đề sau:

ƒ Mô hình liên kết: Trình bày về mô hình liên kết nửa cứng tuyến tính,

Richard-Abbott, Eurocode, cách xác định độ cứng của liên kết

ƒ Phân tích kết cấu: Áp dụng khái niệm hệ số ngàm-đầu mút và ma

trận độ cứng hiệu chỉnh phần tử dầm-cột cứng thành phần tử dầm-cột nửa cứng đã được sử dụng cho khung thép phẳng để phân tích khung liên hợp có liên kết nửa cứng Trình bày về lý thuyết động lực học kết

cấu và lựa chọn phương pháp giải bài toán động lực học cho kết cấu khung phẳng liên hợp thép – bê tông cốt thép

ƒ Chương trình ứng dụng: Chương trình sẽ được xây dựng bằng ngôn

ngữ lập trình Matlab 7.0 Sử dụng chương trình để khảo sát các ví dụ đồng thời so sánh với các nghiên cứu đã có trước nhằm kiểm tra tính đúng đắn và hiệu quả của chương trình

ƒ Kết luận và kiến nghị: Từ các kết quả đạt được, rút ra kết luận và

kiến nghị

1.5 So sánh nội dung luận văn và một số công trình nghiên cứu trước

đây về kết cấu khung liên hợp

Mô hình liên kết Tải trọng Liên

kết cứng

Liên kết nửa cứng

Tĩnh Động

phân tích

Lương Văn Hải

(2002) Dùng mô hình Merchant - Rankin 9 9 9

Chu Việt Cường

(2003)

Phương pháp

Thái Quốc Dũng

Võ Thị Cẩm Giang

(2006) Phương pháp độ cứng cát tuyến 9 9 9 9

Luận văn

(2007)

Phương pháp độ cứng cát tuyến 9 9 9 9 9 9 Trong đó, các mô hình liên kết nửa cứng được ký hiệu như sau:

1 Mô hình liên kết nửa cứng tuyến tính

2 Mô hình liên kết nửa cứng Eurocode

3 Mô hình liên kết nửa cứng Richard - Abbott

4 Mô hình liên kết nửa cứng Kishi Chen

Chương 2 MÔ HÌNH LIÊN KẾT NỬA CỨNG [2], [3], [8], [11], [20], [30]

Mô hình liên kết là yếu tố rất quan trọng trong việc nghiên cứu về sự tương

tác giữa ứng xử liên kết và ứng xử khung Có rất nhiều mô hình liên kết nửa cứng

như mô hình tuyến tính, mô hình đa thức, mô hình lũy thừa… Mặc dù mô hình tuyến

tính là mô hình đơn giản nhất và dễ sử dụng nhất, nhưng nó không mô tả ứng xử

thật của liên kết trong thực tế Trong phạm vi của luận văn sẽ sử dụng các mô hình

liên kết nửa cứng là mô hình tuyến tính (nhằm so sánh), mô hình 4 thông số của

Richard – Abbott và mô hình liên kết nửa cứng Eurocode của châu Âu để mô tả

quan hệ mô men và góc xoay Việc xây dựng liên kết liên hợp thường dựa trên cơ

sở những nút liên kết thép thông thường, liên kết nửa cứng ở kết cấu thép đã được

nghiên cứu và ứng dụng từ rất lâu, cũng như đã được đưa vào tiêu chuẩn xây dựng

ở một số quốc gia, từ đó xét đến tính nửa cứng của liên kết liên hợp Trước đây, khi

tính toán liên kết liên hợp thông thường không xét đến sự làm việc của tấm sàn bê

tông, do đó khi đổ bê tông người ta phải tạo một khoảng hở giữa sàn bê tông và

bản cánh cột tại nút liên kết theo đúng mô hình tính toán Trong tính toán hiện đại,

bản sàn bê tông được xem như là một thành phần của liên kết, đóng góp vào độ

cứng của liên kết Tính toán kết cấu liên hợp có xét đến liên kết nửa cứng có thể

làm giảm giá thành công trình hơn rất nhiều so với khi tính như liên kết cứng hay

khớp

Việc lựa chọn mô hình liên kết thường dựa trên các điều kiện:

ƒ Mô hình phải cho kết quả phân tích duy nhất đối với khung có liên kết

nửa cứng dưới tác dụng của tải trọng

ƒ Mô hình đơn giản và dễ sử dụng

ƒ Kết quả tính toán theo mô hình phải gần đúng về ứng xử của các loại

liên kết khác

ƒ Mô hình có thể mô tả được đường cong quan hệ (M-θ) xấp xỉ với đường

xây dựng từ dữ liệu thực nghiệm

Luận văn sẽ tập trung chủ yếu vào mô hình liên kết Eurocode, được đề cập

cụ thể trong tiêu chuẩn châu Âu Eurocode 4, phần 1

2.1 Các mô hình tuyến tính (Linear models) [2], [3]

ƒ Mô hình đơn tuyến (single linear model): Mô hình này do Rathbun

(1936), Moforton và Wu (1963), Lightfoot và LeMessurerier (1974) đề

nghị Theo đó, mô hình này sử dụng độ cứng khởi đầu Rki để mô tả ứng

xử của liên kết trong suốt quá trình chất tải, nên nó sẽ không còn đúng

nữa khi moment vượt quá giới hạn làm việc của liên kết

ƒ Mô hình song tuyến (bilinear model): do Tarpy và Cardinal (1981), Lui

và Chen (1983) đề nghị Mô hình này thể hiện ứng xử của liên kết tốt

hơn mô hình đơn tuyến Nó gồm 2 đường: đường thứ nhất có độ dốc là

độ cứng khởi đầu Rki, đường thứ hai có độ dốc nhỏ hơn bắt đầu từ một vị

trí moment MT chuyển tiếp nào đó

ki R

Hình 2.1 Các mô hình tuyến tính M- θr

ƒ Mô hình đa tuyến (Piecewise linear model) do Razzag, 1983; Vinnakoto,

1982 đề nghị Đường cong quan hệ phi tuyến M-θr được xấp xỉ bằng một

chuỗi các đoạn thẳng nên thể hiện tốt hơn ứng xử của liên kết so với mô

hình song tuyến

Mặc dù các mô hình tuyến tính này dễ sử dụng nhưng chúng cho kết quả

thiếu chính xác do các bước nhảy đột ngột về độ cứng tại các điểm chuyển tiếp,

điều này cũng gây khó khăn cho việc tính toán

2.2 Mô hình 4 thông số Richard-Abbott [2], [3]

Mô hình này do Richard và Abbott (1975) đề nghị trước tiên để mô tả

những quan hệ đàn-dẻo và ứng suất-biến dạng phi tuyến

p r 1

0

(R R ) M

Re : độ cứng khởi đầu của liên kết

Rp : độ cứng biến dạng-củng cố của liên kết

M0 : mômen tham chiếu

M : mômen ứng với góc xoay θr

r

p

R 1 1

0

M M

θ Góc xoay

Hình 2.2 Mô hình liên kết 4 thông số Richard-Abbott

Từ mô hình 4 thông số Richard - Abbott có thể thu được các mô hình liên

kết khác bằng cách thay đổi các thông số trong mô hình:

- Re = Rp, ta thu được mô hình tuyến tính

- Rp = 0, ta thu được mô hình 3 thông số Kishi-Chen

- n = ∞, ta thu được mô hình song tuyến tính

Tính toán theo mô hình 4 thông số Richard - Abbott có thể mô phỏng được

một số mô hình khác tuy nhiên cần phải có dữ liệu về thông số liên kết mới có thể

sử dụng được mô hình này

2.3 Mô hình liên kết nửa cứng Eurocode (semi-rigid composite

connections) [9], [10], [19]

Liên kết liên hợp có thể được định nghĩa như là một nút giữa các phần tử,

trong đó có một hay nhiều phần tử là một tiết diện liên hợp (thường là dầm) và cốt

thép liên kết các phần tử nhằm mục đích tăng cường độ bền, độ cứng và độ dẻo dai

Một liên kết composite điển hình gồm có các thành phần như sau:

1- Chốt chống cắt (Shear connector)

2- Cốt thép gia cường trong bản sàn (Reinforced bar)

3- Bản sàn liên hợp (Composite slab)

4- Bản thép hàn đầu dầm (Welded end plate)

5- Cột thép (Column)

6- Dầm (Beam)

7- Bulông (Bolt)

nối và gối đỡ góc và bản đệm

bản nối bụng dầm

có chiều cao thấp hơn chiều cao dầm

f/ Liên kết dùng bản e/ Liên kết dùng thép

d/ Liên kết dùng bản đệm và

c/ Liên kết dùng bản nối đầu dầmb/ Liên kết dùng thép góc

a/ Liên kết dùng đường hàn

Hình 2.4 Các kiểu liên kết liên hợp

Các kiểu liên kết liên hợp đã được nghiên cứu rộng rãi nhưng đa phần vẫn

tập trung vào kiểu liên kết giữa cột thép và dầm liên hợp sử dụng bản nối đơn giản

ở đầu dầm thép Trong luận văn này, cùng với việc phân tích khung phẳng liên

hợp, tác giả chỉ chú trọng vào kiểu liên kết thông dụng nhất trong kết cấu liên hợp

đó là kiểu liên kết giữa cột thép và dầm liên hợp sử dụng bản nối đầu dầm (hình

2.4c) Liên kết này bao gồm một bản nối (có thể bằng, dài hơn hay chỉ một phần

của chiều cao dầm hàn suốt vào đầu dầm) và bulông liên kết tại công trường

2.3.1 Phân loại liên kết liên hợp

Theo tiêu chuẩn Eurocode 3 và Eurocode 4, nút có thể được phân loại theo

3 đặc điểm sau:

Độ cứng xoay ban đầu Sj,ini: Một nút với độ cứng xoay rất nhỏ và vì thế

không có khả năng chịu mômen uốn được gọi là khớp Nút cứng là nút mà độ cứng

của nó dưới tác dụng uốn là vô cùng và vì thế đảm bảo được góc xoay liên tục Nút

nửa cứng là nút có độ cứng nằm giữa hai biên này

32

1M

Trong đó: EIb : Độ cứng chống uốn của dầm

Sj,ini : Độ cứng của liên kết

Lb : Chiều dài dầm

Khả năng chịu mômen Mj,Rd: trái ngược với nút loại khớp (không có khả

năng chịu mômen), một nút có độ bền tối đa lớn hơn độ bền tối đa của các thành

phần cấu tạo nên nút được gọi là nút có độ bền toàn phần (nút cứng – full strength

joint) Nút nửa cứng hay nút có cường độ một phần (partial strength joint) có độ

cứng nằm khoảng giữa độ cứng của hai loại nút trên

Khả năng xoay ϕCd: ứng xử giòn của kết cấu được biểu thị bởi sự xuất hiện

khe nứt ứng với góc xoay nhỏ, thường là chưa có biến dạng dẻo Ứng xử dẻo được

biểu thị bởi một đường cong phi tuyến rõ ràng giữa mômen và góc xoay với một

thềm chảy dẻo trước khi phá hoại Điều này thường chỉ ra sự xuất hiện của biến

dạng dẻo Hệ số dẻo là tỉ số giữa góc xoay cực hạn và góc xoay ở giới hạn đàn hồi

Khả năng chịu lực

Độ cứng xoay ban đầu

ϕ

M

Góc xoay cực hạn

Hình 2.6 Quan hệ mô men – góc xoay

2.3.2 Phương pháp thành phần

Eurocode 4 sử dụng phương pháp giải tích (phương pháp thành phần –

component method) để khảo sát ứng xử của nút nửa cứng Sự mô tả ứng xử xoay

của nút phải tính đến tất cả những nguyên nhân gây ra biến dạng của nút Hơn thế

nữa, các khả năng biến dạng dẻo cục bộ và mất ổn định phải được bao hàm trong

một mô hình Bằng cách chia nhỏ nút phức tạp hữu hạn thành các “thành phần”, sẽõ

biết được các đáp ứng phi tuyến của nút Các thành phần được biểu diễn bằng các

lò xo chuyển động với quan hệ phi tuyến lực – biến dạng Cuối cùng, ứng xử của

nút có thể biết được bằng cách lắp tất cả các thành phần có ảnh hưởng thành dạng

chính xác dựa vào mô hình thành phần Việc thực hiện theo phương pháp thành

phần bao gồm 3 bước:

- Nhận dạng các thành phần: xác định các thành phần cấu tạo chịu nén,

kéo hay cắt

- Biểu diễn các thành phần: xác định quan hệ giữa lực – biến dạng của

các thành phần riêng lẻ bằng thực nghiệm, mô phỏng phần tử hữu hạn

hay mô hình cơ học giải tích

- Lắp ráp các thành phần: lắp ráp các lò xo thành phần vào tổng thể theo

mô hình thành phần đã chọn

2.3.3 Mô hình liên kết liên hợp nửa cứng theo tiêu chuẩn Eurocode 4

Để xác định được đường cong quan hệ giữa mômen – góc xoay (M-ϕ

curves) và hình dung ra được những dữ liệu cần thiết nhập vào mô hình nút, tiêu

chuẩn Eurocode 4 sử dụng phương pháp giải tích Theo đó, bất kỳ một mô hình nút

nào cũng bao gồm 3 đường cong riêng biệt cho 3 vùng sau:

- Vùng liên kết bên trái

- Vùng liên kết bên phải

- Vùng bụng cột chịu cắt

Hình 2.6 Vùng liên kết ở liên kết liên hợp

Theo tiêu chuẩn Eurocode 3, một thành phần cơ bản của một nút là phần

đặc trưng của nút có góp phần chặt chẽ cho một hay nhiều thuộc tính của kết cấu

tùy thuộc vào loại tải trọng Cần phân biệt rõ ràng giữa các thành phần chịu tải kéo

(hay uốn), chịu nén và chịu lực cắt trong một nút Từ mô hình Innsbruck phức tạp,

tiêu chuẩn Eurocode 4 đã phát triển một mô hình đơn giản hơn, thuận lợi hơn cho

quá trình tính toán Trong mô hình này, để tính toán một liên kết liên hợp, ngoài

các thành phần cấu tạo liên kết thép còn xét đến ảnh hưởng của bản sàn bê tông

trong liên kết (cốt thép theo chiều dài trong sàn chịu kéo (longitudinal slab

reinforcement in tension), chốt chống cắt)

Mô hình lò xo Innsbruck

(phức tạp) Mô hình lò xo Eurocode (đơn giản)

Hình 2.7 Mô hình liên kết liên hợp

2.3.4 Lý tưởng hóa đường cong phi tuyến M-ϕ

Toàn bộ đường cong phi tuyến biểu diễn quan hệ giữa mômen và góc xoay

(M-ϕ curve) ở liên kết liên hợp nửa cứng bao gồm 3 phần

S

Góc xoay ϕ

Mômen

Hình 2.8 Đường cong phi tuyến M- ϕ theo Eurocode

Khi tải trọng tác dụng nằm trong đoạn từ 0 đến 2

3 Mj,Rd (Mj,Rd: khả năng chịu mômen của nút), đường cong M-ϕ được xem như là đàn hồi tuyến tính Độ

cứng tương ứng được gọi là độ cứng ban đầu Sj,ini Trong đoạn từ 2

3 Mj,Rd đến Mj,Rd

đường cong là phi tuyến Thềm chảy dẻo xuất hiện khi mômen ở nút đạt đến Mj,Rd

Điểm cuối của đường cong M-ϕ chỉ ra khả năng xoay tối đa của nút Theo sự biểu

diễn của tiêu chuẩn Eurocode 3 như trên thì tỷ số giữa độ cứng ban đầu và độ cứng

cát tuyến ở giao điểm giữa phần phi tuyến và thềm chảy dẻo là không đổi Đối với

liên kết liên hợp dùng bulông và bản nối đầu dầm thì tỷ số này là 3 Đối với liên

kết dùng bản đệm (liên kết hàn) thì có sự giảm dần độ cứng và tỷ số này là 2 Độ

cứng của nút trong đoạn phi tuyến của đồ thị được xác định theo công thức nội suy:

j,Sd j,Rd

S S

1,5M M

(2.2)

ψ = 2,7: nút liên kết bằng bu lông và bản nối đầu dầm

ψ = 1,7: nút liên kết bằng bản đệm và liên kết hàn

Trên thực tế, quan hệ mômen – góc xoay của một nút được thể hiện bằng

một đường cong phi tuyến Tuy nhiên, việc sử dụng những đường cong phi tuyến

như thế đòi hỏi những chương trình phân tích khung rất phức tạp Để đơn giản trong

tính toán, đường cong phi tuyến có thể được đơn giản hóa bằng những đường thẳng

Có các đường cong đơn giản là song tuyến tính hay tam tuyến tính Đơn giản nhất

là mô hình song tuyến tính

Hình 2.9 Đơn giản hóa đường cong mômen – góc xoay

Để sử dụng mô hình song tuyến tính, là mô hình đưa ra độ cứng lớn nhất,

nhiều nghiên cứu so sánh đã được tiến hành để xác định độ cứng lý tưởng hóa của

S

S =

Hệ số hiệu chỉnh độ cứng phụ thuộc vào loại liên kết:

Loại liên kết Giá trị η Bản đệm liên kết hàn 1,5 Bản nối kết hợp bu lông 2

2.4 Độ cứng của liên kết liên hợp:

Tính toán độ cứng của một liên kết liên hợp là một quá trình khá phức tạp

Phản ứng xoay của nút được xác định từ tính chất cơ học của những thành phần

khác nhau (bản nối, bản giằng, bản cánh cột, bulông v.v ) Thuận lợi của phương

pháp này là ứng xử của bất kỳ một nút nào cũng có thể được tính toán bằng cách

phân chia liên kết ra những thành phần của nó Dưới đây trình bày cách thức xác

định độ cứng của một nút liên hợp dùng bản nối đầu dầm (end-plate composite

connecton)

2.4.1 Mô hình cơ bản

Thủ tục để tính toán độ cứng xoay của liên kết bắt đầu từ độ cứng đàn hồi

của các thành phần của nó Độ cứng đàn hồi của mỗi thành phần được biểu diễn

bởi một lò xo với quan hệ lực – biến dạng được cho dưới đây:

=

Fi: nội lực của thành phần i

E: môđun đàn hồi của thép

ki: độ cứng của thành phần i

wi: biến dạng lò xo của thành phần i

Những thành phần này sau đó được kết hợp với nhau bằng một mô hình lò

xo đơn giản Độ cứng của một nút liên kết bằng bản nối đầu dầm (end-plate

connection) được tính toán thông qua độ cứng của các thành phần

Độ cứng của liên kết được tính bằng công thức:

j j,ini

Mj: mômen tác động lên nút

ϕj: góc xoay của liên kết

2.4.2 Độ cứng của thành phần liên hợp

Nhiều nghiên cứu đã xác định được các thành phần phụ có ảnh hưởng đáng

kể đến độ cứng của một liên kết liên hợp đó là:

- Cốt thép gia cường theo chiều dài

- Biến dạng của chốt chống cắt ở bề mặt giữa sàn bê tông và dầm thép

Tính toán cho các thành phần phụ này được trình bày dưới đây:

2.4.2.1 Cốt thép gia cường

Khi mômen tác động vào liên kết liên hợp, một khoảng hở sẽ xuất hiện

giữa sàn bê tông và bề mặt cột Khoảng hở này bằng với độ giãn dài của cốt thép

gia cường Hệ số độ cứng đối với cốt thép gia cường được tính như sau:

- Đối với dạng nút có liên kết ở cả hai bên và mômen cân bằng:

= r,s s 13

2A E k

= r,s s 13

Ar,s : Diện tích cốt thép nằm trong bề rộng

ảnh hưởng của sàn bê tông

Es : Môđun đàn hồi của cốt thép

Ea : Môđun đàn hồi của thép

hc : Chiều cao tiết diện cột thép

β : Hệ số chuyển đổi (xem 2.2.1)

2

K = (4,3 -8,9β β β β + 7,2)

2.4.2.2 Chốt chống cắt

Sự trượt bề mặt giữa sàn bê tông và dầm thép có ảnh hưởng quan trọng đến

độ cứng của liên kết liên hợp Ảnh hưởng của sự trượt đến độ cứng của liên kết có

thể được xác định bằng cách giảm hệ số độ cứng k13 của cốt thép gia cường theo hệ

số kr:

= +

r

s 13 sc

1

1 K

sc sc

s s

Nk

1.

hs: khoảng cách giữa cốt thép trong vùng nén và tâm vùng kéo

ds: khoảng cách giữa cốt thép vùng nén và tâm tiết diện dầm thép

ξ = a a 2

sc s

a a

1 N.k l.d

E I

2.5 Đặc trưng cơ bản của tiết diện dầm liên hợp

2.5.1 Chiều rộng làm việc của tấm sàn

Chiều rộng ảnh hưởng của bản bê tông beff được xác định như sau:

Phương của sàn vuông góc phương nhịp dầm: b b

b 0,5(b b ) Phương của sàn song song phương nhịp dầm: b 0,8b

b : khoảng cách giữa dầm đang xét đến 2 dầm bên cạnh (i=1,2)

L =0

0

4 3

2

L

4 3

1,5L và<= L +0,5L )

3 2

Hình 2.10 Xác định chiều rộng ảnh hưởng của bản sàn

2.5.2 Mô men quán tính của tiết diện dầm liên hợp

Tiết diện dầm liên hợp sẽ được quy đổi thành tiết diện thép tương đương,

mômen quán tính và diện tích tiết diện được tính theo 2 trường hợp:

Hình 2.11 Tiết diện dầm liên hợp

- Trường hợp bản bê tông chịu nén (tác động của mômen dương):

2 3

eff c 1

eff c 1

: mô đun tỉ lệ đối với tải trọng ngắn hạn

s

α

Loại bê tông αs αl

Để mô tả mối quan hệ phi tuyến giữa mômen-góc xoay của liên kết nửa

cứng tác giả khảo sát 3 mô hình liên kết nửa cứng là mô hình tuyến tính hóa,

Eurocode và Richard-Abbott Mô hình liên kết Richard-Abbott là phù hợp cho rất

nhiều loại liên kết Tuy nhiên, để sử dụng được mô hình này thì cần phải có cơ sở

dữ liệu liên kết Luận văn tập trung chủ yếu vào mô hình Eurocode, dữ liệu về liên

kết theo mô hình Eurocode có thể tính toán được thông qua cấu tạo của liên kết và

được tự động hóa thành một môđun tính toán trong chương trình được trình bày

trong chương 4

Chương 3 PHÂN TÍCH KHUNG PHẲNG [5], [6], [10], [12], [18], [29]

3.1 Giới thiệu

Trong việc phân tích và thiết kế kết cấu khung thép thực tế hiện nay, ứng

xử thực tế của các liên kết dầm-cột và dầm-dầm nhìn chung được đơn giản hóa

thành 2 trạng thái ứng xử lý tưởng là cứng tuyệt đối hay khớp lý tưởng Ở trường

hợp đầu xem chuyển vị và góc giữa dầm và cột là liên tục, đồng thời có sự truyền

momen hoàn toàn từ dầm vào cột Ở trường hợp thứ hai, ngược lại, không tồn tại

góc xoay; vì vậy, momen uốn không truyền từ dầm sang cột Mặc dù việc chấp

nhận những ứng xử lý tưởng của nút sẽ làm đơn giản quá trình phân tích và thiết

kế, nhưng nó không thể hiện được ứng xử thật của kết cấu Vì thế, những ứng xử

đã được dự đoán trước của các kết cấu lý tưởng có thể không phù hợp khi so sánh

với kết cấu thực Đó là bởi vì hầu hết những liên kết đã được sử dụng trong thực tế

hiện nay thực chất thể hiện ứng xử biến dạng nửa cứng, điều này đóng góp đáng

kể vào chuyển vị tổng thể của kết cấu và sự phân bố nội lực của phần tử Nhiều

nghiên cứu thực nghiệm về ứng xử của liên kết đã chỉ ra rõ ràng rằng liên kết khớp

cũng có độ cứng xoay trong khi liên kết cứng cũng có một độ mềm nhất định Việc

bỏ qua những ứng xử thật của liên kết có thể dẫn đến những dự đoán không thực tế

về đáp ứng và cường độ của kết cấu và vì thế dẫn đến việc gần đúng trong thiết

kế Trong thực tế, liên kết dầm-cột nên được nghiên cứu như là những liên kết nửa

cứng trong phân tích và thiết kế khung

Từ nhận xét kết cấu khung liên hợp là được phát triển từ kết cấu khung

thép, tác giả đã áp dụng một phương pháp phân tích khung thép có xét đến ảnh

hưởng bậc hai (P-Δ và P-δ) cho kết cấu khung phẳng liên hợp thép – bê tông cốt

thép dựa trên khái niệm hệ số ngàm-đầu mút (end-fixity factor) [18] Theo tiêu

chuẩn châu Âu Eurocode 4 về kết cấu liên hợp, việc tính toán một tiết diện liên

hợp sẽ được quy đổi về cách tính toán cho một tiết diện thép tương đương Đó cũng

là cơ sở để áp dụng phương pháp phân tích khung thép cho khung liên hợp thép-bê

tông cốt thép [10]

3.2 Khái niệm hệ số ngàm-đầu mút (end-fixity factor)

@

Rj αj j

φ

Hình 3.1 Định nghĩa hệ số ngàm-đầu mút r

Monforton và Wu (1963) [18], [29] đã đề xuất khái niệm “hệ số ngàm-đầu

mút” để phản ánh sự liên quan giữa độ cứng của phần tử dầm-cột và độ xoay của

lò xo ở liên kết:

j j j

1 r

3EI 1

R L

α

Trong đó:

Rj : Độ cứng lò xo liên kết ở đầu phần tử

rj : Hệ số ngàm-đầu mút, xác định độ cứng tương đối của liên kết so

với độ cứng phần tử và được hiểu như là tỉ số giữa góc xoay α ở đầu mút phần tử

với góc xoay φ của phần tử và liên kết do moment đơn vị đầu mút phần tử gây ra

EI/L : Độ cứng chống uốn của phần tử dầm-cột

Đối với liên kết mềm hay còn gọi là liên kết khớp, độ cứng xoay của liên

kết được lý tưởng hóa bằng 0 (Rj = 0) và vì thế giá trị của hệ số ngàm-đầu mút là 0

(rj = 0) Đối với liên kết giằng hoàn toàn (fully restrained) hay còn gọi là liên kết

cứng thì hệ số ngàm-đầu mút có giá trị là 1 vì độ cứng xoay được lấy là vô cùng

Một liên kết nửa cứng sẽ có giá trị hệ số ngàm-đầu mút nằm giữa 0 và 1 (0 < rj <

1) Những phần tử có trạng thái liên kết ở đầu mút khác nhau như khớp,

cứng-nửa cứng, khớp-cứng sẽ dễ dàng được mô hình bằng cách gán hệ số ngàm-đầu mút

ở hai đầu phân tử những giá trị thích hợp Vì vậy, phương pháp phân tích được đề

xuất là tổng quát bất chấp trạng thái xoay của đầu mút phần tử và có thể áp dụng

để phân tích khung với bất kỳ kiểu kết hợp nào của các loại liên kết (cứng, nửa

cứng hay khớp) Không thể thực hiện phương pháp này bằng cách đưa vào một

phần tử liên kết phụ thay thế cho hệ số ngàm-đầu mút để mô hình hóa phần tử nửa

cứng vì sẽ có những khó khăn khi độ cứng của liên kết tiến đến vô cùng

Hệ số ngàm-đầu mút cũng làm đơn giản thủ tục phân tích khung nửa cứng

Ma trận độ cứng, phản lực đầu mút, độ võng nhịp có thể được tính như một hàm

của hệ số ngàm-đầu mút Hệ số ngàm-đầu mút càng có giá trị hơn trong thiết kế vì

nó đưa ra ý nghĩa vật lý cho việc tăng thêm độ cứng có sẵn của một liên kết

Quan hệ giữa hệ số ngàm-đầu mút r và độ cứng liên kết là phi tuyến

Nhưng khi liên kết tương đối mềm ứng với giá trị hệ số ngàm-đầu mút r nằm trong

khoảng (0.0,0.5), thì quan hệ này gần như là tuyến tính Tuy nhiên, khi hệ số

ngàm-đầu mút r tiến đến 1 thì độ cứng tương ứng tăng lên rất lớn, và quan hệ này

trở nên phi tuyến rõ rệt Việc sử dụng hệ số ngàm-đầu mút r để mô tả ứng xử nửa

cứng sẽ có nhiều thuận lợi hơn so với độ cứng liên kết

Hình 3.2 Quan hệ giữa tỉ số độ cứng và hệ số ngàm-đầu mút [29]

Trong thực tế, một liên kết khớp luôn luôn có một độ cứng nhất định và

như vậy nó có thể tiếp nhận được một giá trị moment nào đó Vì vậy, việc tăng độ

cứng liên kết nhằm đưa liên kết đạt trạng thái cứng tuyệt đối là không hiệu quả và

không kinh tế Bởi vì điều này chỉ đem lại một sự thay đổi nhỏ ở hệ số ngàm-đầu

mút r, và như vậy hầu như không có ảnh hưởng đáng kể lên ứng xử của kết cấu

3.3 Phần tử dầm-cột nửa cứng

Trong phân tích thiết kế khung dựa vào trợ giúp của máy tính có nhiều

phương pháp để tính đến độ mềm của liên kết Trong luận văn này, phương pháp

áp dụng hệ số ngàm-đầu mút được sử dụng là mỗi liên kết dầm-cột được mô hình

như một lò xo xoay có chiều dài bằng 0 Trong mô hình phần tử dầm-cột nửa cứng,

mỗi phần tử dầm-cột nửa cứng bao gồm một phần tử dầm-cột có chiều dài hữu hạn

và một lò xo xoay có chiều dài bằng 0 ở mỗi đầu (zero-length rotational spring)

được biểu thị bằng ký tự @ Độ mềm của liên kết được mô hình thông qua các độ

cứng R1 và R2 của lò xo xoay ở hai đầu mỗi dầm Phương pháp này không đưa thêm

bất kỳ phần tử tuyến tính nào vào hệ kết cấu và có thể dễ dàng thực hiện trong

Để xét ảnh hưởng của liên kết nửa cứng dựa trên khái niệm hệ số

ngàm-đầu mút, cần chấp nhận các giả thiết sau:

ƒ Các phần tử phải có tiết diện lăng trụ và thẳng

ƒ Biến dạng dọc trục và biến dạng cắt được bỏ qua, chỉ xét đến ứng xử

giữa mômen và góc xoay của liên kết

ƒ Liên kết chỉ xoay quanh đầu mút của phần tử

ƒ Mặt cắt ngang phần tử sau khi chịu uốn vẫn phẳng

Vì hệ số ngàm-đầu mút r không nhạy đối với độ cứng của liên kết R do đó

chỉ cần quan hệ gần đúng giữa momen và góc xoay Phản lực hai đầu mút và độ

võng của một phần tử nửa cứng dưới tác dụng của các loại tải trọng được xác định

Bảng 3.1 Phản lực đầu mút của phần tử dầm-cột nửa cứng

3.4 Ma trận độ cứng của phần tử nửa cứng

Monforton và Wu (1963) [18] đã đề xuất cách xác định ma trận độ cứng

của phần tử dầm-cột thứ i với 2 liên kết nửa cứng ở 2 đầu có độ cứng lần lượt là R1

và R2 bằng cách sử dụng hệ số ngàm-đầu mút như sau:

[KiSR] : ma trận độ cứng của phần tử i kể đến tính nửa cứng ở đầu liên kết

[Si] : ma trận độ cứng phần tử có liên kết cứng ở 2 đầu

[Cie] : ma trận hiệu chỉnh độ cứng phần tử (Monforton và Wu, 1963)

Đối với phần tử dầm-cột phẳng có 6 bậc tự do, ma trận [Si] và [Cie] có dạng

như sau:

12EI 6EISYM

L L

4EIL

E : modul đàn hồi của phần tử

A : diện tích tiết diện phần tử

I : moment quán tính phần tử

r1, r2 : hệ số ngàm-đầu mút ở hai đầu phần tử

Với giá trị cụ thể của hệ số ngàm-đầu mút phản ánh độ cứng liên kết, xác

định được ma trận độ cứng phần tử dầm-cột nửa cứng thông qua phương trình (3.1)

3.5 Phân tích khung phẳng với tải trọng động [5], [6], [8], [11]

3.5.1 Cơ sở lý thuyết phân tích động lực học kết cấu

Các kết cấu thực tế khi chịu tải trọng hay chuyển vị cưỡng bức đều thể hiện

các ứng xử động học Theo định luật 2 của Newton, lực quán tính sinh ra sẽ bằng

khối lượng nhân với gia tốc Nếu tải trọng hay chuyển vị cưỡng bức được áp đặt

một cách chậm rãi thì có thể bỏ qua lực quán tính và xem xét bài toán như là một

trường hợp phân tích tĩnh Vì thế, phân tích động là trường hợp mở rộng của bài

toán tĩnh Theo các phương pháp lý thuyết đã được trình bày trong các tài liệu về

động lực học, phương trình vi phân cân bằng lực của hệ kết cấu nhiều bậc tự do có

cản là một hàm của thời gian có dạng tổng quát như sau:

(3.3)

F (t) F (t) F (t) F(t) Trong đó các véc tơ lực tác dụng lên hệ tại thời điểm t xác định như sau:

[ C(x(t),v(t)) ] là ma trận cản phi tuyến của hệ [ K(x(t),v(t)) ] là ma trận độ cứng phi tuyến của hệ Các véc tơ { } { } { } x(t) , v(t) , a(t) lần lượt là chuyển vị, vận tốc và gia tốc

của hệ tại thời điểm t Từ đó, viết lại phương trình (3.2) như sau:

[ ] M a(t) { } + [ C(x(t),v(t)) v(t) ] { } + [ K(x(t),v(t)) x(t) ] { } { } = F(t) (3.4) Giải bài toán động lực học của một hệ kết cấu tức là giải phương trình chủ

đạo tổng quát của hệ trong quá trình chuyển động dưới tác dụng của lực kích thích

ngoài (phương trình (3.4)) nhằm xác định chuyển vị, vận tốc và gia tốc của hệ Để

giải phương trình (3.4), cần xác định các ma trận tính chất kết cấu của hệ đó là các

ma trận cản, ma trận khối lượng Với ma trận độ cứng của phần tử dầm cột nửa

cứng đã được khảo sát ở trên, các yếu tố cần thiết để giải phương trình động lực

học (3.4) đã được xác định

3.5.2 Trường chuyển vị của phần tử nửa cứng [11]

θ

θ

θ

Hình 3.5 Biến dạng của phần tử thanh có liên kết nửa cứng

Trường chuyển vị của phần tử nửa cứng trong bài toán động lực học được

xác định từ các hàm dạng Hecmit bậc 3:

( ) ( ) { c }

: các hàm dạng Hecmit bậc 3

q (t) (t) u(t)

q (t) (t)

2 2t

0

M (t) R (t)

0

M (t) R

: véc tơ chuyển vị nút của lò xo liên kết

R1t, R2t : Độ cứng hai đầu liên kết ứng với các giá trị mô men M1(t), M2(t)

Đối với phần tử thanh có tiết diện không đổi, quan hệ giữa mô men hai đầu

phần tử và chuyển vị được xác định như sau:

x 0 ''

1

x L ''

R là tỉ số độ cứng dầm so với độ cứng liên kết

=

Chuyển vị xoay của liên kết lò xo có thể tính được:

B (t) u(t)

⎝ ⎠ trong đó [ ] I là ma trận đơn vị (3.9)

3.5.3 Xác định các ma trận tính chất kết cấu

3.5.3.1 Ma trận khối lượng tương thích

Xét phần tử thanh có chiều dài L, khối lượng trên một đơn vị chiều dài là

m , độ cứng chống uốn EI, liên kết hai đầu thanh là nửa cứng Theo M.S Filho và

các tác giả khác [11], ma trận khối lượng tương thích của phần tử thanh nửa cứng

có thể được xác định dựa theo hệ số ngàm đầu mút của phần tử nửa cứng như sau:

j

1 r

3EI 1

3.5.3.2 Ma trận cản [5], [6]

Ma trận cản điển hình phù hợp với các số liệu thực nghiệm đó là ma trận

cản Rayleigh được sử dụng trong luận văn:

Các hệ số a1 và a0 có thể được xác định từ tỉ số cản và ζi ζj tương ứng với

các mode dao động thứ i và thứ j:

i j 0

i

1

2 a

2 a

Trong phân tích các vấn đề thực hành, các mode dao động thứ i và thứ j

nên chọn là các mode có đóng góp nhiều vào dao động của hệ Thường chọn là các

mode ω = ωi và ω = ωj 2

3.5.4 Phản ứng của hệ khung phẳng dưới tác dụng của tải trọng động

Trong phân tích động lực học, thường xét hai dạng dao động của kết cấu là

dao động tự do (dao động do các tác nhân vận tốc và chuyển vị ban đầu) và dao

động cưỡng bức (tải trọng xung, điều hòa, nổ, động đất, gió, sóng biển… )

3.5.4.1 Dao động tự do

Trong bài toán dao động tự do, hệ kết cấu chỉ dao động từ các điều kiện

ban đầu của chuyển vị và vận tốc chứ không có lực kích thích Khi đó, nếu hệ là

tuyến tính thì vế phải của phương trình vi phân chủ đạo bằng không

3.5.4.2 Tải trọng điều hòa

Tải trọng điều hòa là một dạng tải trọng động thường hay gặp trong thực tế

(chẳng hạn như máy quay rôtơ đặt trên các công trình), véc tơ lực tác dụng lên hệ

trong phương trình vi phân chủ đạo (3.4) có dạng:

{ }

1 2

N

f f

Trong đó: fi là biên độ thứ i của lực kích thích

là tần số lực kích thích

ω

3.5.4.3 Tải trọng xung

Tải trọng xung là tải trọng tác dụng vào hệ kết cấu trong một khoảng thời

gian ngắn và đột ngột (ví dụ như tác dụng nổ, va chạm…), phản ứng cực đại của hệ

cũng đạt được trong thời gian rất ngắn

3.5.5 Phương pháp tích phân số Newmark giải phương trình vi phân

động lực học

Để khảo sát ứng xử động học của hệ kết cấu khung, cần giải hệ phương

trình vi phân bậc hai (3.4), được viết lại như sau:

[ ] M a { } + [ ] C v { } + [ ] K x { } { } = F (3.15)

[ ] [ ] [ ] M , C , K , F { }

Với: lần lượt là các ma trận khối lượng, ma trận

cản, ma trận độ cứng và véc tơ lực tổng thể của hệ

{ } { } { } a , v , x là các véc tơ gia tốc, vận tốc và chuyển vị

Newmark (1959) đã đề xuất một phương pháp hiện nay đã khá phổ biến

trong việc giải quyết các vấn đề động lực học kết cấu Phương pháp của Newmark

dựa trên phép nội suy quan hệ giữa chuyển vị, vận tốc và gia tốc giữa hai bước thời

gian n và n+1 Theo đó, vận tốc và chuyển vị tại bước thời gian thứ n+1 được xác

xn, vn, an: lần lượt là các véctơ chuyển vị, vận tốc và gia tốc tại thời điểm n

γ, β : các thông số định nghĩa của phương pháp Newmark

Các thông số γ, β xác định lượng gia tốc thêm vào biểu thức vận tốc và

chuyển vị tại thời điểm n+1 Trường hợp đặc biệt với β = 1

6

1 2 và γ = , được gọi là phương pháp gia tốc thay đổi tuyến tính Trường hợp đặc biệt với β = 1

4

1 2

và γ = được gọi là phương pháp gia tốc trung bình Trường hợp này đúng với giả thiết gia

tốc là hằng số trong khoảng thời gian [tn, tn+1] và gia tốc này bằng an an

2

+

+ 1 Viết lại (3.16), ta có:

(3.19)

Xác định được xn+1, dựa vào phương trình (3.16) tính được vận tốc vn+1và

gia tốc an+1

3.6 Phân tích khung không xét phi tuyến hình học (phân tích bậc 1)

Phân tích khung phẳng với liên kết nửa cứng được thực hiện trực tiếp bằng

phương pháp chuyển vị truyền thống Để kể đến ứng xử phi tuyến của liên kết, sử

dụng thủ tục lặp để tìm nghiệm Ở mỗi bước lặp, ma trận độ cứng phần tử được

hiệu chỉnh bằng cách sử dụng ma trận hiệu chỉnh với hệ số ngàm-đầu mút được cập

nhật Cũng tương tự như vậy, khi trên phần tử nửa cứng có tải trọng tác dụng thì tải

trọng nút tương đương (được quy đổi từ tải trọng phần tử) sẽ được cập nhật vì cũng

là hàm của hệ số ngàm-đầu mút Thủ tục lặp để giải bài toán phân tích bậc nhất

khung liên kết nửa cứng kể đến ứng xử phi tuyến của liên kết được mô tả như sau:

Bước 1: Đặt ra hằng số ε đủ bé cho tiêu chuẩn hội tụ Dữ liệu đầu vào, bao

gồm các thông số phi tuyến và độ cứng khởi đầu Re của liên kết Các thông số này

được lấy từ bảng dữ liệu liên kết Đặt chỉ số lặp k = 0 và gán độ cứng liên kết

Rij(k) = Re

Bước 2: Ứng với phần tử dầm-cột thứ i, cập nhật hệ số ngàm-đầu mút rij

thông qua phương trình (3.20) Xác định ma trận độ cứng phần tử nửa cứng KiSR

bằng phương trình (3.21) và tải trọng nút tương đương theo hệ số cập nhật rij

Bước 3: Thành lập ma trận độ cứng hệ từ các ma trận độ cứng phần tử và

giải tìm chuyển vị nút, nội lực phần tử, và moment liên kết Mij(k)

Bước 4: Tính góc xoay liên kết θr.ij(k) = Mij(k)/ Rij(k), và từ phương trình (2.10)

xác định được moment tương ứng M(θr.ij(k))

Bước 5: Kiểm tra sự hội tụ bằng cách so sánh moment Mij(k) (tìm được từ

phân tích) với moment M(θr.ij(k)) tính toán ở bước 4; Nếu (k) (k)

M − M( θ ) ≤ ε , thì dừng; Nếu không thì thực hiện bước 6

Bước 6: Cập nhật độ cứng cát tuyến liên kết: Rij(k) = M(θr.ij(k))/ θr.ij(k), tăng

chỉ số lặp k = k+1, và trở lại bước 2

(Trong đó, ký hiệu i là chỉ số chỉ phần tử nửa cứng thứ i, và ký hiệu j là chỉ số

chỉ một trong hai đầu mút của phần tử)

3.7 Phân tích khung có xét phi tuyến hình học (phân tích bậc 2)

Trong phân tích bậc 1, quan hệ cân bằng và động học của phân tích khung

được thiết lập không kể đến sự thay đổi hình học của kết cấu, quá trình phân tích

được gọi là phân tích bậc 1 (phân tích tuyến tính hình học) Ngược lại, nếu quan hệ

cân bằng và động học của phân tích khung được thiết lập để xét đến sự thay đổi

hình học của kết cấu, phân tích được xem là phân tích phi tuyến hình học hay còn

gọi là phân tích bậc 2 Ảnh hưởng bậc 2 (P-Δ) gây mất ổn định khung do làm tăng

biến dạng phần tử khung nhiều hơn dẫn đến gia tăng ứng suất trong phần tử Vì

vậy, phân tích bậc 2 là rất cần thiết cho việc khảo sát ổn định tổng thể kết cấu

khung Để tính đến ảnh hưởng phi tuyến hình học (ảnh hưởng bậc 2) trong phân

tích và thiết kế khung có liên kết nửa cứng, ma trận độ cứng hình học của kết cấu

sẽ được hiệu chỉnh Dưới đây sẽ trình bày cách xây dựng ma trận độ cứng hình học

của phần tử dầm-cột nửa cứng và phương pháp phân tích khung có liên kết nửa

cứng kể đến phi tuyến hình học (ảnh hưởng bậc 2) và phi tuyến liên kết (ứng xử

phi tuyến của liên kết nửa cứng)

3.7.1 Ma trận độ cứng xét đến ảnh hưởng bậc 2 của phần tử dầm-cột

nửa cứng [18], [29]

Khi phân tích và thiết kế kết cấu khung thép không xét tính nửa cứng, ma

trận độ cứng hình học (tính đến ảnh hưởng bậc 2) của phần tử dầm-cột 2 đầu liên

kết cứng có dạng là [ ] Gi :

Ma trận độ cứng hình học của phần tử dầm-cột nửa cứng được xác định

bằng cách xây dựng ma trận hiệu chỉnh Cig nhằm hiệu chỉnh lại ma trận độ cứng

hình học phần tử dầm-cột cứng tuyệt đối thành ma trận độ cứng hình học của phần

tử dầm-cột nửa cứng thông qua hệ số ngàm-đầu mút như sau:

: ma trận hiệu chỉnh độ cứng hình học

5(4 r r ) 4r

5(4 r r ) r

r1, r2 : hệ số ngàm-đầu mút hai đầu phần tử

L : chiều dài phần tử

Tìm được ma trận độ cứng hình học bậc 2, GiSR, ma trận độ cứng tổng thể

của phần tử dầm-cột nửa cứng i xét hoặc không xét ảnh hưởng phi tuyến hình học

sẽ được xác định như sau [18]:

Phương pháp phân tích bậc 2 được sử dụng trong luận văn này là phương

pháp “độ cứng cát tuyến” Trong phương pháp này kết cấu được phân tích trực tiếp

ở cấp tải trọng thực bằng thủ tục lặp cho tới khi đạt đến sự hội tụ của ảnh hưởng

bậc 2 Ma trận độ cứng phần tử được cập nhật sau mỗi vòng lặp dựa trên lực dọc

phần tử có được từ vòng lặp trước Sự hội tụ coi như xảy ra khi sự khác nhau về lực

dọc giữa hai vòng lặp liên tiếp đối với tất cả các phần tử là không đáng kể (nhỏ

hơn một trị số ε nào đó) Trong trường hợp chuyển vị không lớn, phương pháp độ

cứng cát tuyến cho thấy các ưu điểm là đơn giản, ổn định và hội tụ nhanh Như vậy

phương pháp độ cứng cát tuyến là một thủ tục lặp tương đối đơn giản nhưng rất

hiệu quả trong phân tích khung

Thủ tục lặp sử dụng phương pháp độ cứng cát tuyến để thực hiện phân tích

bậc 2 cho khung có liên kết nửa cứng có kể đến ứng xử phi tuyến của liên kết được

xây dựng thông qua sự hiệu chỉnh quá trình phân tích bậc nhất khung có liên kết

nửa cứng và được tiến hành như sau:

Bước 1: Đặt ra các hằng số ε1 và ε2 đủ bé cho tiêu chuẩn hội tụ, cung cấp

dữ liệu, và đọc các thông số phi tuyến, độ cứng khởi đầu Re của một liên kết cụ thể

nào đó trong cơ sở dữ liệu của liên kết Đặt chỉ số lặp k = 0, gán độ cứng liên kết

Rij(k)=Re và lực dọc phần tử Ni(k)=0

Bước 2: Cập nhật hệ số ngàm-đầu mút rij thông qua phương trình (3.20), và

sau đó xác định tải trọng nút tương đương theo hệ số rij vừa cập nhật Xác định ma

trận hiệu chỉnh Cie và Cig Suy ra ma trận độ cứng phần tử KiSR với rij cập nhật và

lực dọc Ni(k-1) từ vòng lặp trước

Bước 3: Thiết lập ma trận độ cứng hệ từ các ma trận độ cứng phần tử KiSR

và giải tìm chuyển vị nút, lực dọc phần tử Ni(k-1), và moment liên kết Mij(k)

Bước 4: Tính góc xoay liên kết θr.ij(k) = Mij(k)/Rij(k), xác định được

moment tương ứng M(θr.ij(k))

Bước 5: Kiểm tra sự hội tụ bằng cách so sánh moment liên kết Mij(k) (tìm

được từ phân tích) với moment M(θr.ij(k)) tính ở bước 4 và cũng so sánh lực dọc

phần tử Ni(k) với Ni(k-1) từ vòng lặp trước Nếu (k) (k)

M − M( θ ) ≤ ε , và

N − N − ≤ ε thì dừng, nếu không thì thực hiện tiếp bước 6

Bước 6: Cập nhật độ cứng cát tuyến liên kết: Rij(k) = M(θr.ij(k))/ θr.ij(k),

tăng chỉ số lặp k = k+1, và trở lại bước 2

(Trong đó, ký hiệu i là chỉ số phần tử nửa cứng, và ký hiệu j là chỉ số một

trong hai đầu mút của phần tử)

3.8 Sơ đồ thuật toán phân tích khung phẳng liên hợp