Xây dựng mô hình động lực học và mô phỏng số các hệ truyền động cơ khí dùng cơ cấu cam phẳng

Xây dựng mô hình động lực học và mô phỏng số các hệ truyền động cơ khí dùng cơ cấu cam phẳng Xây dựng mô hình động lực học và mô phỏng số các hệ truyền động cơ khí dùng cơ cấu cam phẳng Xây dựng mô hình động lực học và mô phỏng số các hệ truyền động cơ khí dùng cơ cấu cam phẳng luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

luËn v¨n th¹c sÜ khoa häc

ngµnh : c¬ häc kü thuËt

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN PHONG ĐIỀN

` Lời nói đầu

Phương pháp phần tử hữu hạn(FEM) đã được áp dụng rộng rãi từ những năm 1980 khi tốc độ tính toán của máy tính tăng lên nhanh chóng Phương pháp này giúp giải quyết nhiều nhiều bài toán kỹ thuật phức tạp Song với những mô hình phức tạp gồm hệ thống các vật rắn tuyệt đối và vật rắn có thể biến dạng liên kết với khớp lò xo, giảm chấn thì FEM gặp một số vấn đề khi biến đổi trực tiếp, quá trình tính toán thì quá lớn đòi hỏi phải có những máy tính hiệu năng cao Còn phương pháp hệ nhiều vật thì giải quyết bài toán với

sự xấp xỉ quá thô do chỉ xét những biến dạng lớn và chỉ dựa vào thuộc tính của vật và sự tương tác giữa các vật Do đó, phương pháp kết hợp giữa 2 phương pháp này – phương pháp phần tử hữu hạn rắn(Rigid Finite Element

pháp này đã và đang được áp dụng ở nhiều nước có nền khoa học tiên tiến Tuy nhiên đây là một cách tiếp cận hết sưc mới mẻ với nguồn tài liệu nghiên cứu, tài liệu tham khảo không nhiều, đặc biệt là tài liệu tiếng Việt nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu xót Vì vậy, tôi luôn mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô, các đồng nghiệp và những người quan tâm để tiếp tục đi sâu vào những vấn đề bỏ ngỏ

Tôi xin chân thành cảm ơn PGS Đinh Văn Phong đã tạo điều kiện và giúp đỡ trong quá trình làm luận văn Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các bạn và các đồng nghiệp đã luôn động viên và có những đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn

Luận văn thạc sĩ

Mục lục Chương 1: Mở đầu về phương pháp kết hợp giữa hệ nhiều vật (MBD) và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) – Rigid Finite Element Method(RFEM) 3

1.1 Lý do sử dụng phương pháp RFEM 3

1.2 Ý tưởng của phương pháp: 4

1.3 Các phương pháp chia hệ thành các phần tử rfes và sdes: 4

1.3.1 Phương thức chia tự nhiên( Natural division): 4

1.3.2 Phương thức chia ảo( Virtual division):Hình 1.2 5

1.3.3 Phương pháp kết hợp: 6

1.4 Hai phương pháp RFEM: 6

Chương 2: Tổng quan về FEM và một số khái niệm cơ bản liên quan đến MBD 8

2.1 Tổng quan về FEM: 8

2.1.1 Khái niệm cơ bản: 8

2.1.2 Tóm lược lịch sử của FEM 8

2.1.3 Các ứng dụng của FEM trong kỹ thuật 10

2.1.4 Các gói phần mềm FEM sẵn có trên thì trường hiện nay 10

2.2 Một số khái niệm cơ bản liên quan đến động lực học hệ nhiều vật 10

2.2.1 Biến đổi hệ tọa độ và phép biến đổi thuần nhất: 10

2.2.2 Toán tử Lagrange 13

2.2.3 Thế năng của trọng lực 13

2.2.4 Lực suy rộng: 14

Chương 3: Phương pháp RFE – Rigid Finite Element 15

3.1 Chia khâu Flexible Link thành các phần tử rắn rfes và phần tử lò xo giảm chấn sdes 15

3.2 Động năng của khâu Flexible: 22

3.3 Thế năng biến dạng và năng lượng hao tán của khâu p: 29

3.4 Tổng hợp lại các phương trình: 34

Chương 4: Phương pháp rigid finite element cải tiến.(Modification of Rigid Finite Element Method) 46

4.1 Tọa độ suy rộng(generalized coordinate) và ma trận biến đổi 46

4.2 Động năng của khâu Flexible và đạo hàm của nó: 48

4.3 Thế năng của khâu Flexible: 51

4.4 Tổng hợp lại các phương trình: 54

4.5 Mô hình tuyến tính: 56

Chương 5: Tính toán cho dầm cầu(Cantilever Beam) 64

5.1 Phương trình của dao động tự do của dầm 64

5.2 Phương pháp RFE cổ điển cho mô hình tuyến tính: 73

5 3 Phương pháp RFE cải tiến cho mô hình phi tuyến: 75

5.4 Phương pháp RFE cải tiến cho mô hình tuyến tính 78

Luận văn thạc sĩ

Chương 6: Một số phương pháp số sử dụng trong phân tích hệ RFEM 83

1 Khảo sát dao động tự do – dao động riêng của hệ tuyến tính: 83

6.1.1 Phương pháp đưa về dạng chuẩn(standard form) 85

6.1.2 Phương pháp lặp lũy thừa(power iteration) 86

6.1.3 Phương pháp dịch chuyển 86

6.1.4 Phương pháp Jacobi 86

6.2 Phương pháp tích phân trực tiếp để tính toán dao động cưỡng bức: 87

6.2.1 Phương pháp Newmark: 88

6.2.2 Phương pháp Wilson 93

6.3 Áp dụng các phương pháp số vào giải bài toán dầm ở chương 5 98

6.3.1 Khảo sát dao động tự do của dầm 98

6.3.2 Khảo sát dao động cưỡng bức của dầm: 102

Kết luận 103

Phụ lục chương trình Matlab: 104

TÀI LIỆU THAM KHẢO 108

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) ra đời cùng với sự phát triển mạnh

mẽ của máy tính cũng đã giúp chúng ta mô hình hóa gần đúng được nhiều hệ động lực và giải quyết được nhiều bài toán kỹ thuật phức tạp Song với những

hệ thống lớn gồm các vật rắn tuyệt đối, vật rắn biến dạng liên kết với nhau bởi các lò xo và giảm chấn, phương pháp này gặp nhiều khó khăn trong vấn đề biến đổi trực tiếp và quá trình tính toán lớn

Từ đó đặt ra yêu cầu phải tìm một phương pháp mô phỏng trung thực hơn chuyển động của hệ nhiều vật, đồng thời tận dụng được khả năng tính toán với hiệu năng rất lớn của máy tính Một trong những phương pháp đó là

“ phương pháp phần tử hữu hạn cứng” – Rigid Finite Element Method

Luận văn thạc sĩ

Chia khâu “flexible” – khâu biến dạng – thành các phần tử

cứng(RIGID) được nối với nhau bằng các phần tử lò xo và giảm chấn

Phương pháp có một số ưu điểm nổi bật Thứ nhất, đơn giản( ý tưởng

cơ bản của phương pháp là chia khâu FLEXIBLE thành các phần tử cứng

được nối với nhau bằng các phần tử lò xo và giảm chấn) Thứ hai, phương

pháp có cách tiếp cận thống nhất trong việc mô tả khâu “Rigid” và khâu

một cách hiệu quả Ưu điểm thứ tư là có thể áp dụng để khảo sát cả biến dạng nhỏ lẫn biến dạng lớn Cuối cùng là phương pháp này có thể áp dụng rộng rãi

và thành công trong các bài toán thực tế cũng như trong thiết kế công nghiệp

1.3.1 Phương thức chia tự nhiên( Natural division):

Trong phương pháp này, ta có thể tách biệt phần Rigid và phần Flexible của hệ (khối lượng và kích thước của phần Flexible có thể bỏ qua) Phần Rigid được xem như là vật rắn tuyệt đối – gọi là phân tử rfe( Rigid Finite Element), còn phần Flexible xem như là các phần tử lò xo và giảm chấn, gọi

máy công cụ, trong đó, các khối của máy xem như là các rfe còn các rãnh nối trượt xem như là các phần tử Flexible

Luận văn thạc sĩ

Hình 1.1 Chia máy công cụ thành các phần tử RFE và SDE

1.3.2 Phương thức chia ảo( Virtual division):Hình 1.2

Phương pháp này hay được sử dụng khi hệ là liên tục về vật liệu Trong

hệ này tính chất khối lượng, lò xo, giảm chấn được phân bố liên tục

Việc rời rạc hệ liên tục này được chia thành 2 bước Đầu tiên, hệ liên tục

này được chia thành các phần tử với kích thước hữu hạn, đặc tính của lò xo và giảm chấn được tập trung tại một điểm( đây là cách mà ta có phần tử sde) – bước này gọi là chia chính( primary division) Trong bước chia thứ hai, các rfe bị ngăn cách bởi các sde, hay nói cách khác hệ các rfe được kết nối với nhau bởi các sde(secondary division)

Phương pháp rời rạc này hay được sử dụng cho dầm và tấm

Luận văn thạc sĩ

Hình 1.2 Phương thức chia ảo của dầm và tấm thành các phần tử rfe và

sde

định các tham số của sde

(b) Chia bước thứ 2, tách các rfe rồi gắn với nhau bởi các sde

1.3.3 Phương pháp kết hợp:

Một phần của hệ sẽ được chia theo phương pháp chia tự nhiên, và phần còn lại chia theo phương thức chia ảo

1.4 Hai phương pháp RFEM:

Hiện nay có hai phương pháp RFEM là RFEM cổ điển(Classical Rigid Finite Element Method, ký hiệu là CRFEM) và RFEM cải tiến(Modification

Rigid Element Method, ký hiệu là MRFEM) Mỗi phương pháp đều có những

ưu điểm riêng

Luận văn thạc sĩ

Trong phương pháp RFEM, tất cả các chuyển vị(dịch chuyển) đều có thể

tính được, từ đó có thể phân tích tất cả các biến dạng có thể(uốn, xoắn, trượt hay dãn dài) Tất cả các chuyển vị này đều được so với hệ tọa độ gắn với rfe(0)

Phương pháp MRFEM hay được sử dụng để rời rạc hóa một dầm

Flexible với đặc tính flexible quan trọng nhất là uốn và xoắn Khác với phương pháp CRFEM, chuyển vị của mỗi phần tử rfe được so với với phần tử trước nó Phương pháp này thích hợp cho khảo sát các biến dạng uốn và xoắn Ngoài ra còn có một sự khác biệt quan trọng nữa là: trong công thức của

phương trình chuyển động của CRFEM, ma trận khối lượng của khâu

Flexible mà ma trận đường chéo, còn ma trận độ cứng và ma trận cản là ma trận dải băng(đối xứng) Còn trong công thức của phương pháp MRFEM, ma trận khối lượng là ma trận dạng dải băng, còn ma trận độ cứng và ma trận cản lại có dạng đường chéo

Luận văn thạc sĩ

Chương 2 : Tổng quan về FEM và một số khái niệm cơ

bản liên quan đến MBD

2.1 Tổng quan về FEM:

2.1.1 Khái niệm cơ bản:

PP phần tử hữu hạn FEM(Finite Element Method) hoặc FEA – Finite element application) dựa trên ý tưởng cơ bản là: xây dựng những vật thể từ

đơn giản và dễ kiểm soát hơn

2.1.2 Tóm lược lịch sử của FEM

Richard Courant (1942) Mặc dù hướng tiếp cận của những người đi tiên phong là khác nhau nhưng họ đều có một quan điểm chung, đó là chia những

Luận văn thạc sĩ

miền liên tục thành những miền con rời rạc Hrennikoff rời rạc những miền

trình vi phân từng phần elliptic, xuất hiện từ các bài toán về xoắn của phần tử thanh hình trụ

Sự đóng góp của Courant là rất có ý nghĩa, thu hút một số người nhanh chóng đưa ra kết quả cho phương trình vi phân từng phần elliptic được phát

Sự phát triển chính thức của FEM được bắt đầu vào nửa sau những năm

1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng, và

đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley trong những năm 1960 trong ngành xây

Finite element Method” và kể từ đó FEM được tổng quát hóa thành một ngành của toán ứng dụng, một mô hình số học cho các hệ thống tự nhiên, được ứng dụng rộng rãi trong kĩ thuật, ví dụ như điện từ học và động lực học

Luận văn thạc sĩ

2.1.3 Các ứng dụng của FEM trong kỹ thuật

Kỹ thuật cơ khí, hàng không, xây dựng, ôtô

Phân tích kết cấu – structure anlysis ( Động/tĩnh, tuyến tính/phi tuyến) Bài toán truyền nhiệt và dòng chảy chất lỏng

Trường điện từ

Cơ sinh học

2.1.4 Các gói phần mềm FEM sẵn có trên thì trường hiện nay

ANSYS ( Giải quyết các vấn đề chung)

ABAQUS ( Phân tích động lực học và phi tuyến)

LS-DYNA ( Crash/Impact analysis – Phân tích va chạm)

HYPERWORKS ( Pre/post processor, FEM+MBS, Tối ưu về hình dáng

2.2.1 Biến đổi hệ tọa độ và phép biến đổi thuần nhất:

Để mô tả hướng và vị trí của một vật trong không gian, thì các hệ tọa độ ( hay còn gọi là “hệ tham chiếu”) phải được xác định và các qui tắc biến đổi phải được thiết lập rõ ràng

Giả sử rằng có 2 hệ tọa độ {A} và {B} như trên hình vẽ Phương pháp

mô tả quan hệ giữa 2 hệ tọa độ được chỉ ra như sau:

A

X

Xˆ ;B ˆ , i =1,2,3

2 ,

1 ,

xB xB x rBorg

A A

A A

2 3 2 2 2 1

1 3 1 2 1

1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X R

A T B A T B A T B

A T B A T B A T B

A T B A T B A T B B

Với AˆT Bˆlà tích vô hướng của Aˆ và Bˆ

{B} so với hệ {A} Các cột và các hàng của nó là các vectơ trực giao, từ đó ta

có mối liên hệ sau:

T B A B

A B

Như vậy, vị trí của vật mà hệ tọa độ {B} được gắn với nó được xác định

A

của {B} so với {A} thì ta có quan hệ sau:

org B A B A B A

r r R

đọ của điểm P so với hệ {A}

Trong số 9 thành phần của ma trận quay R chỉ có 3 thành phần là độc lập bởi vì 6 thành phần còn lại là kết quả của tính trực giao của ma trận

Điều này có nghĩa là quan hệ về vị trí của các trục của hệ tọa độ {B} và {A} được mô tả chỉ nhờ 3 tham số Có rất nhiều cách chọn những tham số này, một trong những cách phương pháp phổ biến là phương pháp 3 góc quay ZYX của Euler:

2 2

1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3

1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3

1 1

1 1

2 2

2 2

3 3

3 3

1 1 2 2 3 3 ' '' ' ''

0 0

0 0 1

0

0 1 0 0

1 0 0

0 0

.

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

c c s

c s

s c c s s c c s s s s s

s s c s c c s s s c c c

c s

s c

c s

s c

c s

s c

R R R R R R

R A B B B B B

A

B

trong đó ký hiệu: sϕi = sin ϕi;cϕi = cos ϕi

Phép biến đổi thuần nhất(Homogenous transformation):

Phép biến đổi hệ tọa độ từ hệ tọa độ này sang hệ toạ độ khác theo công thức(2.4) có một bất lợi về mặt toán học là nó đòi hỏi 2 phép toán là phép nhân một ma trận với một vector và phép cộng 2 vector Vì thế trong kỹ thuật rôbốt và cơ cấu chấp hành, người ta hay sử dụng phép biến đổi thuần nhất Phép biến đổi này cho phép chỉ cần một phép toán là phép nhân ma trận với một vector

4 3

3

1

.10

r r

R r

B org B A A B

B A A B A

B

r R T

biến đổi tọa độ từ hệ {C} sang hệ {A} có dạng sau:

T T

r C A C B A C B C

A

=

2.2.2 T oán tử Lagrange

Để thiết lập phương trình chuyển động theo phương pháp biến đổi thuần nhất, người ta giả sử rằng chuyển động của một khâu được mô tả bởi các tham số độc lập là các thành phần của vector:

[ ]T

n

q q

q= 1, , với q klà các tọa độ suy rộng

Nếu biết động năng E và thế năng V của khâu, ta có thể lập phương trình chuyển động của khâu theo phương pháp của Lagrange:

;

k k

k k

Q q

V q

E q

E dt

d

=

∂

∂+

Những phương trình này có thể viết lại dưới dạng toán tử như sau:

n k k k q

q

E q

E dt

d E

, , 1

) (

r' = ',1, ',2, ',3

Luận văn thạc sĩ

năng của trọng lực xác định bởi biểu thức sau:

3 ,

. C

g m g x

khối tâm – là một thành phần của vector xác định vị trí của khối tâm trong hệ qui chiếu quán tính:

C C C

r = ,1, ,2, ,3

Nếu ta biêt ma trận biến đổi B từ hệ tọa độ địa phương sang hệ tổng thể thì vector của tọa độ của khối tâm trong hệ qui chiếu quán tính có thể viết như sau:

r B g m q

∂

∂

.

2.2.4 Lực suy rộng:

Khi ngoại lực và mômen tác động lên vật thì chúng phải được xét đến trong phương trình chuyển động theo phương pháp lực suy rộng Không giống như trong vector tọa độ, thành phần thứ tư của vector lực và mômen sẽ bằng không(zero):

P P P P

M M M M

Luận văn thạc sĩ

Chương 3 : Phương pháp RFE – Rigid Finite Element

lò xo giảm chấn sdes

Trước hết, ta xét trường hợp đơn giản nhất – Khâu P là:

- Một dầm hình lăng trụ

- Chiều dài L

chính giữa phần tử chiều dài Δp

m(p) và m(p) phần tử sdes được đánh số từ 1 -> m(p)

(b) chia thứ yếu(secondary division)

Phương pháp tính toán các thông số đặc trưng rfes và sdes được đề cập ở phần phụ lục

Tuy nhiên trong thực tế, các trường hợp thường gặp là “ Khâu p là một vật với dạng hình học phức tạp, ví dụ như: khâu p có thể là một dầm cong với tiết diện mặt cắt ngang thay đổi, hoặc là tấm, vỏ, hay là kết hợp của các dạng

Luận văn thạc sĩ

này Ta sẽ thảo luận trường hợp này sau mà khi đó khâu P được chia thành

tử rfe(p,kl) và rfe(p,kr)

Xét hệ được mô tả như hình 3.2, khâu thứ p được chia thành các phần tử rfes và sdes ở trạng thái không biến dạng Lúc này ,các phần tử của mô hình tính toán (rfes và sdes) ở vị trí tham chiếu- khi chưa đặt tải trọng ( ngoại lực, momen, và lực quán tính)

Giả sử rằng rfe(p,0) là gốc và sẽ có liên hệ về vị trí với các phần tử còn lại

Luận văn thạc sĩ

Ví trí của rfe(p,i) của khâu ở trạng thái không biến dạng so với rfe(p,0),

) ( 0 ) ( 0 0

i p E i p E E

0 p i

{p,0}

của rfe(p,i) Ngoài ra, nếu các trục của {p,i} và {p,0} là song song thì ma trận )

(

0 p i

Y

trùng với trục của hệ {p,i} khi khâu P ở trạng thái không biến dạng

Và các hệ tọa độ {p,i} này sẽ di chuyển cùng với rfe(p,i) khi khâu P ở

định bởi các tọa độ của rfe(p,i) - là các thành phần của vector:

i p

i p i

) ( 2

) ( 1 )

(

i p

i p

i p i

p

x x

x

3 ) ( 2 ) ( 1 )

Luận văn thạc sĩ

3 ) ( 2 ) (

1p i , p i , p i

x x x

là các tọa độ của khối tâm trong hệ E{p,i}, và ( )

1 ) ( 2 ) (

3p i ,ϕ p i ,ϕ p i

ϕ là 3 góc quay Euler ZYX trong hệ tọa độ tham chiếu E{p,i}

Mặt khác, vì các trục của hệ {p,i} được chọn theo trục quán tính chính trung tâm của rfe{p,i} Đặc tính khối lượng và quán tính của rfe được xác định bởi 4 tham số:

) ( ) ( ) (

i p i p i

+ +

−

=

) ( 1 ) ( 2 )

( 1 ) ( 2 )

( 2

) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )

( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3

) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 )

(

i p i p i

p i p i

p

i p i p i p i p i p i

p i p i p i p i p i p i p

i p i p i p i p i p i p i p i p i p i p i p i p i p i p i p i

p

c c s

c s

s c c s s c

c s s s c s

s s c s s c s c c s s s c c c R

) ( 2

) ( 1 )

(

i p

i p

i p i

p

x x

x

rfe{p,i} so với hệ E{p,i}

cos j p i

i p j

sin j p i

i p j

Ma trận biến đổi từ hệ tọa độ địa phương của rfe (p,i) về hệ rfe(p,0), kết hợp với (3.1) và (3.4), có dạng sau:

) ( ) ( 0 ) (

E i p

T T

biến dạng Điều này dẫn đến các di chuyển hay chuyển vị của các phần tử rfe

Các trục của hệ tọa độ này gọi là trục chính của sde, có nghĩa là các lực tác

phần tử nằm dọc theo trục này(có hướng theo hướng của lực tác dụng) Tương

tự, mômen tác dụng lên trục chính của sde sẽ làm cho sde chỉ quay quanh trục

dạng

được xác định nhờ vào ma trận biến đổi với các thành phần là hằng số:

) , ( ) , ( )

,

k E Y k E Y

) , ( ) , ( )

,

k p E Y k p E Y

Trong đó E ( ,k l)

YΘ , E ( ,k r)

Y s ,E ( ,k r)

sde(p,k) trong hệ tọa độ E{p,kl} và E{p,kr}

chuyển vị - xác định bằng các vector sau:

l

l l

k p

k p k

r

r r

dạng rfe - xác định bởi 2 vector trên, so với hệ tọa độ tham chiếu, có thể tính dựa vào công thức:

( ( , )) ( , ) ( , ) )

, ( ) ,

Y k k k

E

x s

R

( ( , )) ( , ) ( , ) )

, ( ) ,

Y k k k

p E

x s

R

sau:

[ ( , )] [ ( , ) ( , ) ( , )] [ ( , )] ( , ) )

,

Y T k E Y k p k E Y k p T k E Y k

s x

s R

Luận văn thạc sĩ

[ ( , )] [ ( , ) ( , ) ( , )] [ ( , )] ( , ) )

,

Y T k p E Y k p k E Y k T k E Y k

s x

s R

x s

I R

x s

I R

Y

r

l y y

C

Yj

Phương trình (3.11) có có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau:

[ ( , )] ( , ) ( , ) )

, (

2

Y

T k p k

y y

) , ( 2 ,

) ( 1 , ) , (

0 0

0 0

0 0

k Y

k p Y

k Y k p Y

C C

C C

Hàm hao tán của năng lượng tịnh tiến của sde (p,k) gây ra bởi dịch

[ ( , )] ( , ) ( ) )

(

2

Y T k p k

) , ( 2 ,

) , ( 1 , )

, (

0 0

0 0

0 0

k p Y

k p Y

k p Y k

p Y

D D

D

Luận văn thạc sĩ

trong hệ {p,k} như sau:

[ ( , )] ( , ) )

, ( l E k l T k l

Y k

[ ( , )] ( , ) )

, ( r E p k r T p k r

Y k

Nếu viết dưới dạng ma trận thì :

[ ] ( ) ( , )

, ) , ( )

(

2

j T k k

C

với ( ,r) ( ,l) ( ,k r)

Y k Y

) ( 2 ,

) ( 1 , )

(

0 0

0 0

0 0

k k

k k

C C

C C

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Tương tự, hàm năng lượng hao tán do chuyển vị xoay sinh ra của sde (p,k) có dạng sau:

[ ( )] ( ) ( ) )

) ( 2 ,

) ( 1 , )

(

0 0

0 0

0 0

k k

k k

D D

D D

ϕ ϕ

ϕ ϕ

3.2 Động năng của khâu Flexible:

Tọa độ suy rộng mô tả chuyển động của rfe(p,0) so với khâu đứng trước

biểu diễn như là các thành phần của vector:

~ ) ( 1 ) 0 , (

0 ,

~ , ,

~

n p p

p q q

0 , (

p n j

p j j p

T B

~ p

p p

q

q

) 0 , ( ) 1 ( ) 0 ,

B B

~

p p

, p−

p q

q và (p− 1 )

của hệ tọa độ suy rộng và ma trận biến đổi từ hệ tọa độ khâu p-1 trước khâu p

so với hệ tổng thể(Global system)

) 0 , ( 1 )

0 , (

) 1 (

) 0 , ( ) 0 , ( ), 0 , ( )

0 , ( 1 ), 0 , (

) 0 , ( ) 0 , ( 1 )

0 , ( 1 , 1

) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) 0 , (

~

)

~ (

) 0 ,

p p

p p p

p p

p p p

p p

p p p p

p p

p p

p p

q

e

e q

q A

A

A A

e q

A E

ε

(3.21)

Với ~ (p, 0 )

phần tử của chuỗi động học gắn vào rfe(p,0) Các vector của hệ tọa độ suy rộng và ma trận biến đổi về hệ tọa độ tổng thể có dạng sau:

) 0 , (

) 1 (

) (

) 0 , ( ) (

~

~

~

i p p p

i p

p i

p

q q q q

q

) ( ) 0 , ( ) 1 ( ) ( ) 0 , ( )

. p i p p p i

p i p

B B B B

B

B H B tr

( 1 )

p

J J

J h

3 ) ( 2 ) ( 1 )

( 2 )

p

J J

J h

3 ) ( 2 ) ( 1 )

( 3 )

p i

p

J J

J h

1p i ,J p i

3

i p

với hệ trục tọa độ của {p,i}

6 6

~

0 , 0

, 1 ,i = p− + p + = p +

Do đó ta có:

) ( ) ( )

~

) (

i p i p i p

p

a A

,

, , 1 , ) ( , )

i p j i p s T i p j s i p i p l i

(

) 0 , ( 1 )

0 , (

) 1 (

) 0 , ( ) 0 , ( ), 0 , ( )

0 , ( 1 ), 0 , (

) 0 , ( ) 0 , ( 1 )

0 , ( 1 , 1 )

0 ,

p

p p p

p p

p p p

p p

p p p p

p p p

q

e

e q

q A

A

A A

) ( ) 0 , (

) ( 1

) (

) 0 , (

) 1 (

) ( ) ( ), , ( )

( ) 0 , ( ), , ( )

( 1 ), , (

) ( ) ( ), 0 , ( )

( ) 0 , ( ), 0 , ( )

( 1 ), 0 , (

) ( ) ( 1 )

( ) 0 , ( 1 )

( 1 , 1

)

i p

i p p

i p p

i p p p

i p i p i p i

p p i p i

p p i p

i p i p p i

p p p i

p p p

i p i p p i

p p p i

p p p i

p q

e e e

q q q

A A

A

A A

A

A A

T B

) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0 , ( ) 0 , ( ) ( 0 ) ( 0

i p i p i

p E p p

i p i

T B q

B B

~ ( ) ( ) ( ))

( ) (

i p i p i

p i p i

q T T

Giả sử rằng ta chọn được hệ tọa độ suy rộng của các khâu 1 đến p-1 và

0

i p

i p j T i p

) ( , 0 ) ( ,

; 0 0 0

3 , 2 , 1

; 0 0 0

,

,

, ,

l R

l b

i p l

i p i

p

Luận văn thạc sĩ

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, 0

0 0

, 2 , 1 ,

2 , 1

, 3 , 1 , 3 , 2 , 1 , 3 , 1 , 3 , 2 , 1

, 3 , 1 , 3 , 2 , 1 , 3 , 1 , 3 , 2 , 1 ,

=

i p i p i

p i p

i p i p i p i p i p i

p i p i p i p i p

i p i p i p i p i p i

p i p i p i p i p i

p

c s c

c

c c s s s c

s s s c

s c c s s s

s c s c R

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,

, 2 , 1 ,

2 , 1 ,

2

, 3 , 2 , 1 , 3 , 2 , 1 , 3 , 2

, 3 , 2 , 1 , 3 , 2 , 1 , 3 , 2 ,

p i p i

p

i p i p i p i p i p i p i p i p

i p i p i p i p i p i p i p i p i

p

s c s

s c

s c c s c s s s

c c c c c s c s R

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

0 0

0

, 3 , 1 , 3 , 2 , 1 ,

3 , 1 , 3 , 2 , 1 , 3 , 2

, 3 , 1 , 3 , 2 , 1 , 3 , 1 , 3 , 2 , 1 ,

3 , 2 ,

p i p i p i p i p i

p i p i

p

s s c s c s

c c s s c

c

c s s s c c

c s s s s

c R

( )

( ) ( ) ( )

0 0

0

0 0

0

0 0

0

, ,

,

, 3

, 2

, 1

i p

i p

i p

i p

m H

m h

h h

Với H( )p,i =diag{h1( )p,i ,h2( )p,i ,h3( )p,i },ta có thể chứng minh rằng:

( ) ( )[ ]( ) ( ) ,

0 0

0

, , ,

, ,

i p j i p i

p

l

D T

, 0 , , , 0

T i p i p j i p T

i p j i p i p i p l i p

D tr

T B H T B

j l D

tr

T B H T B tr a

i p

j

T i p j i p i p i p l i p j

n

l

n p p

Luận văn thạc sĩ

Các kết quả đạt được sau khi tính vết của ma trận (, ,)

i p j

D được thể hiện trên bảng 3.1 Ta cũng để ý thấy rằng chỉ những phần tử của ( )

) )(

, (

i p i p i p

~ p i l

n p H B p p

B

0 , 0 , 0

 Một lưu ý rất quan trọng là : trong số 216 =6x6x6 phần tử do kết hợp của các chỉ số dưới l,s,j thì chỉ có 16 trường hợp có vết khác không Lưu ý đặc điểm này khi lập phương trình chuyển động của khâu

Flexible có thể giảm thiểu đáng kể các tính toán

0

) ( )

(

p m i

i p p

) 0 , (

) 1 (

) (

) 0 , ( ) (

~

~

~

p p p p

p p

q q q q

q

q q

q~( ) ~( ,1) ~( , ))

( )

( ) ( ) ( )

( ) (( )) ( )

,

~

~

0 ,

1 0

, 1

, 0

, , 1

,

, 0 , 0

, , 0 , 1 , 0 ,

, 1 0

, , 1 1

, 1

p p

p p p

p p

p p p p

p p p

p p

p p p p

p p p

p p

p p p p

p p p

p p p

q

e e e

q q q

A A

A

A A

A

A A

A E

p p p p

, 0 , 0

p p p T

p p p p

1 , ,

1

p p m p m p p

p p p T p p p p

i p p p p

,

0 0

0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

, , , ,

, , , ,

2 , 2 , , 2 ,

1 , 1 , , 1 ,

i p i p i p

p p p

p p p

p

p

p

A A

A A

− =

p m

i

i p p p

i

i p p p

e

0

, 0 , 0

( )

( )( )(( ))

( )( )

( )(( ( )))

, ,

2 , 2 ,

1 , 1 ,

i p i p

p p

p p

e





chéo Ta có được điều này vì các tọa độ mô tả chuyển động của mỗi rfe so với rfe(p,0) là độc lập

Thế năng của trọng lực của khâu Flexible p có thể được định nghĩa như sau:

( ) ∑( ) ( ) ( ) ( )

=

=

p m i

i p c i p i

p p

V

0

, , 3 ,

,

0 , 1

p p

p p p

p

g

g g g q

~ , ,

1 0

, , 3 , 1

p p

n j

m i

i p c i p j i p p

1

~ , ,

1 0

, , 3 , 0

m i

i p c i p j n i p p

p i p p p p

p

T p T

T

g g

g

( ) ( ( ) ( ) , ( ) , ) 1, ,6

3 ,

3.3 Thế năng biến dạng và năng lượng hao tán của khâu p:

Theo các quan hệ trình bày ở 3.1, ta xác định năng lượng biến dạng của

rfe(p,kr) như sau:

Luận văn thạc sĩ

( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )

, 2

1 2

Y

T k p k

C y

C y

, ,

, ,

,

r r

r r

l l

l l

r l

k p k E Y k T k p

E

Y

k p k E Y k T k E Y k p k k

p

x s

I R

x s

I R

y y

y

+

− Θ

−

+

− Θ

∆

Trước khi tính đạo hàm của thế năng của sde(p,k) đối với các tọa độ suy

toàn phương Giả sử ta có:

, 2

1

Cy y

V q

i q

y

q

y

, , 1 , =

Luận văn thạc sĩ

.

., ,

1 , 1

n j

n l

l j

il s q

a q

y A q

k p,

l

k p k Y k E

k p,

k p k Y k E

k p,

l

k p k p k p E Y k k Y k E Y k p

y C y

k p,

r

k k p k E Y k p k Y k p E Y k

y C y

3

1

, ,

, , ,

k i

3

1

, ,

, , ,

k i

3 , 2 , 1 ,

, 1

, , ,

1

,

k p i

k p

k i k

k

p

R R

( )

( )

( ) ( ) 5( , ),

3 , 2 , 1 ,

, 2

, , ,

2

,

k i

k p

k i k

k

p

R R

( )

( )

( ) ( ) 6( , ),

3 , 2 , 1 ,

, 3

, , ,

3

,

k p i

k p

k i k

k

p

R R

=

=

p K k

k p p

p

p s

v q

V

1

, ,

, ,

6 5 4

3 2 1

6 5 4 , , , ,

3 2 1

6 5 4

,

0 0

0 0





l p

k s

l p

k s k

l

V x

V v

k l l

.

~

, ,

1 ,

i p p

p p

p

s

v v

v

v q

Luận văn thạc sĩ

Áp dụng các bước tương tự như trên ta có thể lấy đạo hàm của năng

=

p

k k K

k

k p k Y p

i p j

p

i p

R R

, ,

W

, ,

r k p k x

W

, ,

,

~

, ,

1 ,

l p p

p p

p

s

w w

w

w q

k

k p l l

p

w w

Luận văn thạc sĩ

( )

( ) ( ) ( ) ( )

6 5 4

3 2 1

6 5 4 , , , ,

3 2 1

6 5 4

,

0 0

0 0

k p s

l p

k p s k

p

l

W x

W w

k p

y D

p

k

k k l D

y D G

∈

∆ +

∆ Θ

( )

,

, 0

, , 1

,

, 0 , 0 , , 0 , 1

, 0 ,

, 1 0

, , 1 1 , 1 1

p p p

p p

p p p p

p p p

p p

p p p p

p p p

p p p

p

A A

A

A A

A

A A

A A

A

( )

( ) ( ) ( ) 

( )

(

) ( 0 , 0 , ) ( 0 ,

) ( 1 1 ) ( 1 1

)

(

p p p p p p p

p p p

p p p

p p p p p p p p

Q w v g e

Q g

e

Q g e f

Luận văn thạc sĩ

( ) ( )p

p p p

p

A −1, −1, , , và ( ) (( )) ( )p

p p p p

p e e

(( )) ( )p p p p p

lực suy rộng trong phương trình ở trên có thể xác định theo công thức ở mục 2.2

0 , 1 , 0

p p P p

0 , 0 , ,

, 1 , ,

p i p P

p p P

i p p P i

p

P

Q Q

n j i p P i p j i p i p i

1 1, ,~ ,

, , , ,

0

,

,

p p

T T

n j i p P i p j n i p i p i

( )

( ) ( ( ) ( ) ( ) ~( )) .

6 , , 1 , , , , ,

,

j i p P i p j n i p i p i

0 , 1 , 0

p p M p

M

Q

Q Q

(3.63a)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

i p p M

i p p M i

p

M

Q Q

Q Q

, , ,

, 0 , ,

, 1 , ,

1

3

1

, 1 , , 2 , 1 , 3 , 3 , , 1 , 1 , 2 3

1

, 2 , , 3 , 1 , 1 ,

′

p n k

i p l k i p i p i

p l k i p i p l

i p l k i p i p i

1 1

~ , , 1

2 , 1 , 3 ,

3 , ,

1 , 1 , 2

3

1

, 2 , ,

3 , 1 , 1 ,

0

,

,

p p

p p

n k

i p l k n i p i p i

p l k n i p i p l

i p l k n i p i p i

p

p

M

b b M

b b M

b b M

′ +

1

3

1

, 1 , , 2 , 1 , 3 ,

3 , ,

1 , 1 , 2 3

1

, 2 , ,

3 , 1 , 1 ,

p l k n i p i p l

i p l k n i p i p i

i

i p p P p

; , ,

1

)

(j p i i= m p j=

có thể lớn Tuy nhiên, khi định nghĩa biểu thức của năng lượng biến dạng lò

xo của sdes bởi (3.11) và (3.15), người ta thường giả sử những biến dạng này

là nhỏ và quan hệ giữa lực và mômen ở một vế và dịch chuyển( gồm quay và tịnh tiến) của vế còn lại là tuyến tính Trong những nghiên cứu cơ bản cho phương pháp rfe, người ta hay áp dụng giả sử rằng các thành phần của vector tọa độ suy rộng ~ (p i)

Luận văn thạc sĩ

Sau đây, ta sẽ thiết lập phương trình chuyển động của khâu flexible p

dụng biến đổi thuần nhất( Homogenous transformation) Theo (2.23), ma trận

ma trận sau:

( )p i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p i p i p i p i p i p i

T T T T T T

0

0 1 0

0

0 0 1

0

0 0

,

1

i p

0 1 0 0

0 1 0

0 0 0 1

) ( 2 ,

2

i p i

0

1 0

0

0 0 1

0

0 0 0

1

) ( 3

0

0 0

0 0

0 0 0

1

) ( 1 ) ( 1

) ( 1 ) ( 1 ,

i p i

p i

p

c s

s c

0 0

0 0 1 0

0 0

) ( 2 )

(

2

) ( 2 )

p

i

p

c s

s c

0 1 0 0

0 0

0 0

) ( 3 ) ( 3

) ( 3 ) ( 3

, 6

i p i p

i p i

p

i

s c

( 3 )

( 1 ) (

2

) ( 2 ) ( 1 )

(

3

) ( 1 ) ( 2 ) ( 3

1 0

0 0

1 1

1

j

i p j j i

p i

p i

p

i p i p i

p

i p i

p i

p

i

p

q D I

x x x T

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ