Hình 12 chuyên đề 2 mặt nón mặt trụ mặt cầu

Cho hình nón đỉnh S, có chiều cao là a√ 2, đáy là đường tròn tâm O, bán kính bằng 2a, mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón và cắt đường tròn O theo dây cung AB, biết rằng tam giác OAB tù

2

MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

BÀI 1 MẶT NÓN, MẶT TRỤ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Mặt nón

Định nghĩa 1

Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại điểm O

và tạo với nhau một góc β với 0◦ < β < 90◦ Khi quay mặt phẳng (P )

xung quanh ∆ thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là

mặt nón tròn xoay đỉnh O

Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón

Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc β gọi

là góc ở đỉnh của mặt nón đó

Định nghĩa 2 Cho tam giác OIM vuông tại I Khi quay tam giác đó

xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OM I tạo thành một

hình gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón

Đường thẳng OI gọi là trục, O gọi là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM

gọi là đường sinh của hình nón

Hình tròn tâm I, bán kính r = IM gọi là đáy của hình nón

Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay

quanh OI được gọi là mặt xung quanh của hình nón đó

∆

O β d

Định nghĩa 3

Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón

tròn xoay, kể cả hình nón đó Người ta còn gọi tắt khối nón tròn xoay là

khối nón

Những điểm không thuộc khối nón được gọi là những điểm ngoài của khối

nón

Nhuỹng điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón ứng với khối

nón ấy được gọi là những điểm trong của khối nón

Ta gọi đỉnh, mặt, đáy, đường sinh của một hình nón theo thứ tự là

đỉnh, măt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng

h

r

I

O

M

Tính chất 1 Gọi h là chiều cao, l là độ dài đường sinh và r là bán kính đáy của hình nón, ta có:

 Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq = πrl.

 Thể tích của khối nón: V = 1

3Sh =

1

3πr

2h (S là diện tích đáy)

2 Mặt trụ

Định nghĩa 4

Trong mặt phẳng (P ) cho hai đường thẳng ∆ và l song song nhau, cách

nhau một khoảng r Khi quay (P ) quanh trục cố định ∆ thì đường thẳng

l sinh ra một mặt nón tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt

là mặt trụ

Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng l gọi là đường sinh và khoảng

cách r gọi là bán kính của mặt trụ

Định nghĩa 5 Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB thì đường

gấp khúc ABCD tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay

gọi tắt là hình trụ

Đường thẳng AB gọi là trục, đoạn thẳng CD gọi là đường sinh, độ dài

AB = CD gọi là chiều cao, hai hình tròn (A; AD) và (B; BC) gọi là hai

đáy của hình trụ

Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ là phần không gian giới hạn bởi hình

trụ tròn xoay, kể cả hình trụ

A

D

l

∆

r

Tính chất 2 Gọi h là chiều cao và r là bán kính đáy của hình trụ, ta có:

 Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh

 Thể tích khối trụ: V = Sh = πr2h (S là diện tích đáy)

B CÁC DẠNG TOÁN

{ DẠNG 1 Thiết diện qua trục hình trụ, hình nón

Phương pháp giải

 Thiết diện qua trục của hình trụ luôn là một hình chữ nhật nhận trục OO0 của hình trụ làm đường trung bình

A0 O0 B0

 Thiết diện qua trục của hình nón đỉnh S luôn là một tam giác cân đỉnh S

A O B

S

Ví dụ 1 Cho hình nón đỉnh S có thiết diện qua trục là một tam giác đều có cạnh bằng 4 Tính thể tích của khối nón đó

Ví dụ 2 Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông Tính tỉ số k (k < 1) của diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ đó

Ví dụ 3 Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân Tính diện tích của thiết diện đó biết thể tích khối nón là 18π√

2

{ DẠNG 2 Thiết diện không qua trục hình trụ, hình nón

Phương pháp giải

Ví dụ 4 Cho hình nón đỉnh S, có chiều cao là a√

2, đáy là đường tròn tâm O, bán kính bằng 2a, mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón và cắt đường tròn O theo dây cung AB, biết rằng tam giác OAB tù và có diện tích là a

2√ 7

2 , hãy tính góc tạo bởi mặt phẳng đó với mặt phẳng đáy hình nón

Ví dụ 5 Cho hình trụ có hai đáy là đường tròn (O) và (O0), bán kính đáy bằng 2a, chiều cao bằng 5a Mặt phẳng (α) song song với trục OO0 và cách trục một đoạn bằng a√

3, tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (α) và hình trụ

{ DẠNG 3 Góc và khoảng cách trong nón và trụ

Phương pháp giải

1 Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α)

A

O H

d

d0 ϕ α

B1 Xác định giao điểm O của d và (α)

B2 Trên d lấy điểm A khác O và các định H là hình chiếu của A lên (α) B3 Góc giữa d và (α) là góc ’AOH

2 Góc giữa hai mặt phẳng

I

c a

b α

β

B1 Xác định điểm I trên giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng

B2 Xác định a ⊂ (α), a⊥∆, b ⊂ (β), b⊥∆

B3 Góc giữa (α) và (β) là góc giữa a và b

3 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và d

B1 Xác định mặt phẳng (α) chứa ∆ và song song với d

B2 Xác định khoảng cách giữa d và (α) Đó chính là khoảng cách giữa ∆ và d

Ví dụ 6 Cho hình nón có đường cao h = 16, bán kính đáy r = 12 Tính diện tích thiết diện của khối nón khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua đỉnh của hình nón, biết khoảng cách từ tâm của đáy đến (α) bằng 8

Ví dụ 7 Cho hình nón có đường cao SO Gọi M , P là hai điểm trên đường tròn đáy Tính diện tích xung quanh của hình nón biết khoảng cách từ tâm của đáy đến M P bằng 5 và ’SM O = 30◦,

’

SM P = 60◦

Ví dụ 8 Cho hình nón có đường cao SO = 12, bán kính đáy r = 24 Tính diện tích thiết diện của khối nón khi cắt bởi mặt phẳng (α) biết góc giữa SO và mặt phẳng (α) bằng 60◦

Ví dụ 9 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

60◦ Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp ABCD

Ví dụ 10 Một hình trụ tròn xoay, bán kính đáy bằng R, trục OO0 = R√

3 Gọi hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường tròn (O) và (O0) sao cho AB = 2R Tính góc giữa đường thẳng AB

và OO0

Ví dụ 11 Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O0) Gọi A, B là hai điểm trên đường tròn (O0) Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết tam giác OAB đều cạnh a và góc giữa mặt phẳng (OAB) và mặt phẳng chứa (O0) bằng 60◦

Ví dụ 12 Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r Một hình vuông ABCD có hai cạnh

AB và CD là hai dây cung của hai đường tròn đáy (O) và (O0) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ABCD, biết rằng đường thẳng BC không phải là đường sinh của hình trụ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Mặt cầu

Định nghĩa 1

Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R

gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là S(O; R)

Khi đó, S(O; R) = {M |OM = R}

Với hai điểm C, D ∈ S(O; R) thì đoạn thẳng CD gọi là dây cung của mặt

cầu

Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính của mặt cầu Khi đó, độ dài đường

kính bằng 2R

R O

M

Định nghĩa 2 Cho mặt cầu tâm O bán kính R và A là một điểm bất kì trong không gian

 Nếu OA = R thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S(O; R)

 Nếu OA < R thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; R)

 Nếu OA > R thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R)

Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; R) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính R

Tính chất 1 Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P ) Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mặt phẳng (P ) Ta có:

 Nếu h > R thì mặt phẳng (P ) không cắt mặt cầu S(O; R)

 Nếu d = R thì mặt phẳng (P ) và mặt cầu S(O; R) có một điểm chung duy nhất Khi đó, ta nói mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R)

Điểm tiếp xúc gọi là tiếp điểm, (P ) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt cầu

 Nếu d < R thì mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu S(O; R) theo một đường tròn bán kính R0 =√

R2− d2 Đặc biệt, khi d = 0 thì tâm O thuộc mặt phẳng (P ), giao tuyến của (P ) và S(O; R) là đường tròn tâm O bán kính R Đường tròn này gọi là đường tròn lớn

4! Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) là (P ) vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

Tính chất 2 Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆ Gọi d là khoảng cách O đến đường thẳng ∆ Khi đó,

 d > R ⇔ ∆ không cắt mặt cầu S(O; R)

 d < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

 d = R ⇔ ∆ và mặt cầu S(O; R) tiếp xúc nhau Do đó, điều kiện cần và đủ để ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) là d = R

Định lí 1 Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A nằm ngoài mặt cầu Khi đó,

 Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu

BÀI 2 MẶT CẦU

 Tập hợp các tiếp tuyến này tạo thành một mặt nón đỉnh A.

 Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau

Định lí 2 Cho mặt cầu S(O; R) và điểm A nằm trên mặt cầu Khi đó,

 Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu

 Tất cả các tiếp tuyế này đều vuông góc với bán kính của mặt cầu tại A và nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A

4! Người ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đó đều nằm trên mặt cầu

Tính chất 3 Cho mặt cầu bán kính R Khi đó,

 Diện tích mặt cầu: S = 4πR2

 Thể tích khối cầu: V = 4

3πR

3

4!

 Diện tích S của mặt cầu bán kính R bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn của mặt cầu đó

 Thể tích V của khối cầu bán kính R bằng thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu và có chiều cao bằng bán kính của khối cầu đó

B CÁC DẠNG TOÁN

{ DẠNG 1 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy (hình chóp đều)

Phương pháp giải

1) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Xét hình chóp S.A1A2 An có cạnh bên SA1 vuông góc với đáy (A1A2 An) và đáy A1A2 An

nội tiếp được trong đường tròn tâm O Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp được xác định như sau

 Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy d (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy)

 Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh bện SA1 cắt d tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính R = IA1 = IA2 = = IAn = IS

2) Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều

Cho hình chóp đều S.A1A2 An có đáy là đa giác đều nôi tiếp đường tròn tâm O Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp được xác định như sau

 Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy d

 Trong mặt phẳng chứa d và một cạnh bên của hình chóp, chẳng hạn SA1, dựng đường thẳng trung trực của cạnh SA1 cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.A1A2 An, bán kính R = IA1 = IA2 = = IAn = IS

4! Tập hợp các điểm trong không gian nhìn hai điểm cho trước dưới một góc vuông là mặt cầu

có đường kính là đoạn thẳng nối hai điểm cho trước đó

Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B, DA ⊥ (ABC) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Biết AB = 3a, BC = 4a, DA = 5a

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh 2a Cạnh bên

SA ⊥ (ABCD), góc giữa SO và mặt phẳng (ABCD) bằng 45◦ Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

Ví dụ 3 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA = AB = a Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ví dụ 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a√

3 và cạnh bên bằng 2a Gọi

O là trọng tâm của tam giác ABC Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tính thể tích khối cầu và diện tích mặt cầu đó

{ DẠNG 2 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy (hình chóp khác)

Phương pháp giải Phương pháp :

- Xác định (∆1) là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

- Xác định (∆2) là trục đường tròn ngoại tiếp đa giác thuộc mặt bên vuông góc đáy

- Tìm tâm mặt cầu O là giao điểm của (∆1) và (∆2)

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD biết SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD biết ABCD là hình vuông cạnh a

Ví dụ 6 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Ví dụ 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông có cạnh bằng 6, mặt bên SAB là tam giác cân tại S, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và ’ASB = 120◦ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ví dụ 8 Cho hình chóp S.ABCD có 4SAB là tam giác đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có diện tích bằng √

3 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Biết ABCD là hình thang cân có AC = 3, AD =√

13

{ DẠNG 3 Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp, nội tiếp hình chóp

Phương pháp giải Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện, còn mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu

Khi mặt cầu nội tiếp (ngoại tiếp) hình đa diện, người ta cũng nói hình đa diện ngoại tiếp (nội tiếp) mặt cầu

Ví dụ 9 Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 cạnh a Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu trong các trường hợp sau đây:

a) Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương;

b) Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương;

c) Tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương

Ví dụ 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 có AA0 = a, AB = b, AD = c

a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp;

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên

Ví dụ 11 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc

α (0◦ < α < 90◦) Xác định tâm và tính theo a và α bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp đó

Ví dụ 12 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ’ASB = α Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp