Luận văn thạc sĩ Vật lý lý thuyết, Điện động lực học lượng tử, Phân kỳ hồng ngoại, Phân rã điện yếu, Photon

MỞ ĐẦU Trong lý thuyết trường lượng tử tồn tại hai loại phân kỳ khi tính các đại lượng quan sát dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho các quá trình vật lý cơ bản, và thường được b

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN THỊ NGỌC ANH

TÊN ĐỀ TÀI

KHỬ PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI TRONG QUÁ TRÌNH

PHÂN RÃ ĐIỆN YẾU Ở GẦN ĐÚNG MỘT PHOTON   e v%e 

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lý thuyết thuộc khoa Vật lý của trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, tôi

đã nhận được nhiều sự giúp đỡ của các Thầy, Cô giáo, cán bộ nhà trường Và dưới

sự hướng dẫn khoa học trực tiếp của GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn, tôi đã hoàn

thành bản luận văn này

Trước tiên, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS.TSKH Nguyễn Xuân

Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo, tạo mọi điều kiện, giúp đỡ tôi tận tình trong suốt

thời gian học tập và hoàn thành bản luận văn Sự hiểu biết sâu sắc về khoa học, cũng như kinh nghiệm của thầy chính là tiền đề giúp tôi đạt được những thành tựu

và kinh nghiệm quý báu

Tôi cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa đã dành sự quan tâm cho tôi trong thời gian học tập tại trường, tới Thầy, Cô, cũng như tập thể cán bộ

Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè, đồng nghiệp đã trực

tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học, cổ vũ, động viên tôi để tôi có thể hoàn thành bản luận văn

Qua đây tôi cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô ở Khoa Vật lý

đã dạy bảo, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn

Tôi xin trân trọng cảm ơn !

Hà Nội ngày 10 tháng 10 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Ngọc Anh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……….1

Chương 1: Quá trình phân rã muon  e  %e ……… 6

1.1 Yếu tố ma trận của quá trình……….7

1.2 Tốc độ phân rã điện yếu của qúa trình………13

Chương 2: Quá trình phân rã điện yếu muon ở gần đúng một photon   e  %e   ……… 15

2.1 Giản đồ Feynman……… 15

2.2 Yếu tố ma trận tương ứng……… 16

Chương 3 Phân kỳ hồng ngoại và các cách loại bỏ……….20

3.1 Phương pháp λmin……… 20

3.2 Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên………27

3.3 Sự tương thích giữa các phương pháp 33

KẾT LUẬN 36

TÀI LIỆU THAM KHẢO 38

PHỤ LỤC 39

Phụ lục A: Phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên 39

Phụ lục B: Các tọa độ cầu trong không gian n – 1 thứ nguyên 45

Phụ lục C: Bổ chính cho biên độ tán xạ ở trường ngoài 47

Phụ lục D: Tiết diện tán xạ 60

MỞ ĐẦU

Trong lý thuyết trường lượng tử tồn tại hai loại phân kỳ khi tính các đại lượng

quan sát dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho các quá trình vật lý cơ bản, và

thường được biểu diễn qua các tích phân   4

là phân kỳ hồng ngoại

Việc loại bỏ các loại phân kỳ này được tiến hành theo các phương pháp hoàn toàn khác nhau Đối với phân kỳ tử ngoại người ta thường dùng bốn cách khác nhau để thay đổi độ tụ của tích phân: i/ Phương pháp cắt xung lượng lớn khi

hướng ta tiến hành 2 1 2 2 1 2 2 1 2

     sau khi thu được kết quả cuối

cùng choM  ; iii/ Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên thay cho   4

Phân kỳ hồng ngoại xuất hiện khi các hạt tải tương tác giữa các hạt có khối lượng nghỉ bằng không Ví dụ, hạt tải tương tác điện từ là photon trong điện động

lực học lượng tử, hạt tải tương tác mạnh là gluon g trong sắc động học lượng tử, hạt tải tương tác hấp dẫn là graviton trong hấp dẫn lượng tử Phân kỳ hồng ngoại thường xuất hiện ở hàm Green và các quá trình tán xạ hay phân rã hạt có liên quan đến hạt tải tương tác có khối nghỉ bằng không Việc loại bỏ phân kỳ hồng ngoại liên quan đến photon người ta sử dụng hai phương pháp: Phương pháp min[7; 14] và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên

Quá trình phân rã muon     e   %e , xảy ra do tương tác yếu là một quá trình phân rã điển hình đã được thực nghiệm và lý thuyết nghiên cứu từ lâu Việc tính thêm sự đóng góp của tương tác điện từ vào quá trình này

e

      %  , có ý nghĩa xem xét quá trình phân rã với sự hấp thụ và bức xạ photon vì các hạt tham gia phân rã có mang điện tích Bài toán này có ý nghĩa trong việc xây dựng lý thuyết thống nhất điện yếu [2; 3; 12] Các lượng tử của trường điện từ là các photon cùng với khối lượng nghỉ bằng không, nên phân kỳ hồng ngoại [14], sẽ xuất hiện trong tất cả các quá trình vật lý mà ta xem xét

Mục đích chủ yếu của bản luận văn này là nghiên cứu các phương pháp khử phân kỳ hồng ngoại khác nhau ( phương pháp λmin và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ) qua quá trình phân rã điện yếu trong gần đúng một photon thực Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên thông thường được sử dụng để khử phân kỳ tử ngoại Trong bản luận văn này, chúng tôi đã áp dụng vào để khử phân kỳ hồng ngoại Nội dụng bản luận văn thạc sĩ bao gồm: Phần mở đầu, ba chương và phần kết luận, bốn phụ lục và phần tài liệu dẫn

Chương 1: Quá trình phân rã muon     e   %e 

Xuất phát từ Hamilton tương tác lý thuyết ( V – A ), bỏ qua tương tác điện từ và S - ma trận, chúng tôi nêu vắn tắt các yếu tố ma trận, tương ứng với quá trình phân rã muon kể trên, ở gần đúng bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số tương tác yếu G và giản đồ Feynman của quá trình trong mục 1.1 Trong

mục 1.2 là tính tốc độ phân rã điện yếu của quá trình Kết quả ta thu được biểu thức giải tích cho quá trình phân rã muon     e   %e 

Chương 2: Quá trình phân rã điện yếu muon ở gần đúng một photon

    e   %e   

Ngoài tương tác yếu, các hạt tham gia quá trình phân rã muon còn phải

kể thêm tương tác điện từ Trong bản luận văn, tương tác điện từ được chúng tôi tính toán ở bậc gần đúng thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, có nghĩa trong gần đúng một photon Giản đồ Feynman cho quá trình được nêu ở mục 2.1 Yếu tố ma trận tương ứng với giản đồ Feynman đã nêu được giới thiệu ở mục 2.2

Chương 3 Phân kỳ hồng ngoại và các cách loại bỏ

Tất cả các quá trình vật lý có hạt truyền tương tác với khối lượng nghỉ bằng không trong lý thuyết trường đều liên quan tới phân kỳ hồng ngoại Ngày nay,

để loại bỏ phân kỳ hồng ngoại người ta dùng các cách khác nhau Trong mục 3.1 chúng tôi giới thiệu phương pháp λmin Điều này có nghĩa, cho hạt tải tương tác một khối lượng tối thiểu λmin, phân kỳ hồng ngoại được loại bỏ Kết quả cuối cùng, chúng tôi cho khối lượng tối thiểu đó tiến tới không Còn việc vận dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên vào loại bỏ phân kỳ hồng ngoại được chúng tôi trình bày ở mục 3.2 Mục 3.3 dành cho việc so sánh và nêu lên sự tương thích giữa hai phương pháp đã nêu

Kết luận

Tóm tắt kết quả nhận được, đồng thời tiến hành so sánh các kết quả sau khi

khử phân kỳ bằng hai phương pháp khác nhau, và thảo luận hướng nghiên cứu bài toán này trong tương lai

Phần phụ lục

Phụ lục A: Qua ví dụ tương tác của trường vô hướng Lint  g3 ta minh họa

kỹ thuật điều chỉnh thứ nguyên trên ví dụ cụ thể là năng lượng riêng của hạt vô hướng Phụ lục B: Ta dẫn các tích phân cần thiết được tính trong tọa độ cầu của không gian (n – 1) chiều

Phụ lục C: Nghiên cứu bổ chính cho bài toán tán xạ trong gần đúng bậc nhất

liên quan đến các photon ảo và photon thực

Phụ lục D: Tìm tiết diện tán xạ vi phân trong vùng hồng ngoại Kết quả chứng tỏ rằng các phân kỳ hồng ngoại của các bổ chính bậc nhất cho bài toán tán xạ ở gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn bị triệt tiêu lẫn nhau

Trong bản luận văn này chúng ta sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h   c 1

và metric giả Euclide (metric Feynman), tất cả bốn thành phần vector 4-chiều ta

chọn là thực 0

( , )

A A Ar gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các chỉ số   (0,1,2,3), và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của vector 4-chiều, ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên

0 0

CHƯƠNG 1

Trong chương này, chúng tôi xem xét quá trình phân rã do tương tác yếu gây nên và tính tốc độ phân rã ở bậc thấp nhất của hằng số tương tác yếu G Với góc độ phương pháp luận, ta xét cụ thể quá trình phân rã hạt muon, mà nó đã được nghiên cứu rất kỹ cả lý thuyết lẫn thực nghiệm nhiều năm, và kết quả thu được phù hợp với

sơ đồ (V – A) Feynman- Gell-Man để cho tương tác yếu của các hạt tích điện [2] Quá trình phân rã diễn ra theo sơ đồ sau đây:

    e   %e 

(1.1) Trong đó :

1 1 Yếu tố ma trận của quá trình

Tất cả các quá trình có sự tham gia của tương tác yếu đều được mô tả bằng lý thuyết (V – A) tương tác giữa các dòng – dòng với hằng số tương tác chung G Cụ

thể trong lý thuyết (V – A) quá trình phân rã (1.1) được mô tả bởi Hamiltonien tương tác như sau:

Vì chúng tôi tạm bỏ qua tương tác điện từ, nên các toán tử trong l( )e , l( ) chỉ

tác dụng lên trạng thái electron (muon), và ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn

theo hằng số tương tác yếu G, nên yếu tố ma trận có thể viết dưới tích của hai thừa

loạn được trình bày ở (hình 1.1) Muon với xung lượng p và spin s, phân rã thành



 - nơtrino muy với xung lượng q 3, và spin s 3, %e- phản hạt nơtrino electron với

xung lượng q 2 , và spin s 2 và electron với xung lượng q 1 và spin s 1

Toán tử trường  ( ) x được xác định bằng [3]:

3 3

1 2

Trong đó: b : toán tử sinh hạt

b- : toán tử hủy hạt

Các toán tử này tuân theo các biểu thức phản giao hoán như các toán tử a + và a ( a +

và a là các toán tử sinh, hủy hạt fecmion ):

1/2 ( ' )

Sử dụng các biểu thức giao hoán (1.8) đối với các toán tử sinh, hủy để tính toán các yếu tố ma trận:

Thay phương trình (1.12), (1.13) vào phương trình (1.6) và lấy tích phân theo d 4 x ta

thu được biểu thức yếu tố S – ma trận ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với quá trình phân rã điện yếu biểu thức diễn tả tại hình 1.1 như sau:

Ta sẽ sử dụng biểu thức biên độ dời chuyển (1.26) để tính tốc độ phân rã cho quá

trình phân rã muon ở mục 2

1.2 Tốc độ phân rã điện yếu của quá trình

Công thức tổng quát để tính tốc độ phân rã có dạng [3]:

2 (4)

Trong đó E a là năng lượng của hạt ban đầu phân rã, E E1, 2 E n và p p1, 2, p nlà

năng lượng và xung lượng của các hạt sản phẩm của quá trình phân rã; p f , p i là tổng

xung lượng cuối và xung lượng đầu Lưu ý 3 

/

d p E là đại lượng bất biến

Lorentz Còn T fi chính là biên độ bất biến mà nó cần tính theo giản đồ Feynman

Với các kỹ thuật hiện nay các nơtrino chưa thể nào quan sát được Điều này có

nghĩa là chúng ta phải lấy tích phân theo các xung lượng của chúng là q 2 , và q 3

Áp dụng công thức tính tích phân sau đây cho (1.28):

rã     e  %e v gây nên bởi tương tác yếu là một giá trị hữu hạn

CHƯƠNG 2 QUÁ TRÌNH PHÂN RÃ ĐIỆN YẾU MUON

Ở GẦN ĐÚNG MỘT PHOTON

Phân kỳ hồng ngoại liên quan trực tiếp đến các trường mà lượng tử của nó có khối lượng nghỉ bằng không Ví dụ, như photon trong QED, graviton trong hấp dẫn lượng tử Các đặc trưng cho kỳ dị hồng ngoại xuất hiện không chỉ cho hàm Green,

mà còn ở các yếu tố ma trận, nếu chúng được xác định bằng các phương trình của lý thuyết trường lượng tử Khó khăn này chúng ta đã gặp phải ngay cả khi nghiên cứu các bài toán bức xạ, hấp thụ các photon với năng lượng nhỏ trong điện động lực học

cổ điển [5] Các kết quả nghiên cứu đã chứng minh rằng: Sự bức xạ hay hấp thụ một photon có xác suất lớn hơn sự bức xạ hay hấp thụ hai, hay một số lượng lớn các photon [1]

Trong chương này, tương tác điện từ được tính thêm ở bậc gần đúng thấp nhất của

lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, cụ thể ta sử dụng phép gần đúng một photon mềm Giản đồ Feynman cho quá trình được nêu ở mục 2.1 Yếu tố ma trận tương ứng với giản đồ đã nêu được giới thiệu ở mục 2.2

2.1 Giản đồ Feynman

Các hạt tham gia quá trình phân rã muon     e  %e v được xem xét ở chương 1 là hạt tích điện Chính vì vậy ta phải kể thêm phần đóng góp từ tương tác điện từ, tức là các hạt tích điện trong quá trình phân rã, đồng thời lại tham gia tương tác với trường bức xạ điện từ Hamintonien tương tác điện từ intem

H  J A , trong

đó dòng điện tích J( ) x  ie ( ) x   e( ) x  ie   ( ) x e x ( ). Việc kể thêm đóng góp của bức xạ hãm (bức xạ và hấp thụ photon) sẽ làm các biểu thức biên độ bất biến T của phép dời chuyển và biểu thức cho tốc độ phân rã xuất hiện một loạt phân

kỳ mới quen thuộc Phân kỳ này gọi là phân kỳ hồng ngoại [10,14] ở vùng năng xung lượng thấp Các photon thực cũng như hạt ảo có năng xung lượng rất nhỏ so

với năng xung lượng của hạt tham gia quá trình phân rã, thì người ta coi chúng là

photon ” mềm”

Việc tách phân kỳ hồng ngoại trong biểu thức của biên độ của phép dời

chuyển ở đây được tiến hành đồng thời bằng hai cách: phương pháp min[7, 14] và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên

Quá trình phân rã điện yếu, xảy ra đồng thời do hai tương tác: tương tác yếu

và tương tác điện từ Đây là bài toán rất phức tạp, trong giới hạn luận văn ở đây chúng tôi chỉ giới hạn tương tác điện yếu trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo hằng số tương tác yếu G, và gần đúng bậc nhất theo hằng số tương tác điện từ (e), và chỉ xem xét các photon thực “mềm”

Giản đồ Feynman tương ứng với phân rã điện yếu muon trong gần đúng bậc

nhất như đã trình bày, có thể biểu diễn trong (hình 2.1) Cụ thể, quá trình phân rã có thể viết như sau:

    e  %e v   (2.1)

2.2 Yếu tố ma trận tương ứng

Các photon thực được hấp thụ hay bức xạ đều liên quan tới dòng muon –

electron Biên độ dời chuyển tương ứng với hai giản đồ (hình 2.1) của quá trình

    là các vector phân cực của photon

Viết gọn lại dưới dạng:

p  m p  m , ta bỏ qua các giá trị ˆktrong tử số của (2.4),

và xét trong trường hợp photon “ mềm” :

J Biểu thức để cho em

J là dạng biểu thức duy nhất thỏa mãn phương

trình liên tục kJ = 0 có cực điểm tại k = 0, và nó là nguyên nhân của phân kỳ hồng

Tuy nhiên, từ điều kiện bảo toàn dòng k J   0, và như vậy J0 J z, ta có thể viết

pháp min[7, 14], và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên

CHƯƠNG 3 PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI VÀ CÁC CÁCH LOẠI BỎ

Tất cả các quá trình vật lý có hạt truyền tương tác với khối lượng nghỉ bằng không trong lý thuyết trường đều liên quan tới phân kỳ hồng ngoại Để loại bỏ phân

kỳ hồng ngoại, ngày nay, thông thường người ta dùng các cách loại bỏ khác nhau Trong mục 3.1 chúng tôi giới thiệu phương pháp min Điều này có nghĩa, cho hạt tải tương tác một khối lượng tối thiểu min, phân kỳ hồng ngoại được loại bỏ Kết quả cuối cùng chúng tôi cho khối lượng tối thiểu tiến tới khôngmin0 Vận dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên vào loại bỏ phân kỳ hồng ngoại cho quá trình

rã muon chúng tôi trình bày ở mục 3.2 Mục 3.3 dành cho việc so sánh và nêu lên sự tương thích giữa hai phương pháp đã nêu

3.1 Phương pháp min

Trong lý thuyết trường ( trong QED ) ta hay gặp phải các phân kỳ hồng ngoại (khi đó các tích phân sẽ không hội tụ ở các vùng năng lượng thấp) Muốn cho các tích phân hội tụ ta phải quy cho photon một khối lượng bổ trợ min nào đó, trong biểu thức dưới dấu tích phân ta sẽ thay tạm thời hàm truyền của photon

ở giới hạn dưới nào đấy khi kminvà trong kết quả cuối cùng ta cho min 0

Để tiện cho tiện thảo luận kết quả trong mục 3.3 ta viết lại công thức trong (2.15) và ký hiệu là (3.1) Tích phân chứa phân kỳ hồng ngoại có dạng:

Trong đó: R được xác định bởi điều kiện 2 2

0 k  , E p m , để cho gọn

ta viết  thay thế cho min và k0  k2  2 , pk  pk r r  Ek0 ,  là giới hạn

để cho tích phân (3.1) là phân kỳ hồng ngoại Nếu 2 2

Trong đó ta đã thay d   sin    d d Để tính tích phân (3.7), ta đặt:

r r

rr

2

d k I

2

1

t k

Sử dụng (3.11) và (3.10), suy ra:

2 0

x

m x x

2

ln 1

2

m x x

1 2

3.2 Phương pháp điều chỉnh thứ nguyên

Ta thấy rằng: Sự bảo toàn năng lượng và xung lượng đã đặt ra các liên kết khác nhau lên sự phụ thuộc năng lượng - góc của các photon mềm kết hợp với quá trình này

Cách mô tả phương pháp điều chỉnh thứ nguyên về việc lấy tích phân bức xạ hãm đã được các tác giả [5] trình bày hết sức trực tiếp :

Trước khi thảo luận các vấn đề này tỉ mỉ ta rút ra một số nhận xét: Ở đây có hai chiến lược khả dĩ trong việc thực hiện phép lấy tích phân, mà chúng đã được tổng quát hóa Trong hệ nghỉ của hạt phân rã, biểu thức dưới dấu tích phân bao gồm

sự đóng góp các photon mềm cho quá trình phân rã này, đã kéo theo các tích vô

hướng p 2 K, trong đó p 2 là xung lượng bốn chiều của hạt tích điện ở trạng thái cuối

Vì p 2 là vector bốn chiều nên p K2  p k2 trong đó k là véc tơ bốn chiều chỉ kéo theo các thành phần bốn chiều K Lúc đó ta có thể chọn hai cách tiếp cận khác nhau trong việc đưa vào các tọa độ cực:

Rõ ràng  là góc giữa p2 và K, khi đó là góc giữa p 2 và hình chiếu k của K trong

không gian con tương ứng với ba thứ nguyên không gian vật lý Cả hai cách tất nhiên là tương đương nhưng chúng ta có thể tìm thấy; thứ nhất phương trình (3.27) dẫn đến sự xem xét đơn giản Phương pháp thứ hai dựa trên phương trình (3.28) dẫn đến các phép lấy tích phân tương tự như kỹ thuật min đã làm (xem phần 2) và lúc

đó không có sự ưu việt lắm trong tính toán, nhưng có lợi trong việc lĩnh hội sự tương đương của nó với cách tính truyền thống

Trong khi tính tốc độ phân rã, hàm delta của định luật bảo toàn năng xung lượng được sử dụng để lấy tích phân trong không gian pha của các neutrino

Tích phân phân kỳ hồng ngoại có dạng :