Luận văn thạc sĩ Toán ứng dụng, Phương trình phi tuyến, Toán tử loại j, Phương trình toán tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNVŨ XUÂN QUỲNH PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU -LUẬN VĂN THẠC SĨ KH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ XUÂN QUỲNH

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH BROWDER TIKHONOV CHO PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN KHÔNG CHỈNH LOẠI J - ĐƠN ĐIỆU

-LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TS Nguyễn Bường

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn chân thành và sâu sắc tới GS TS Nguyễn Bường-Viện Công nghệthông tin-Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt nam, người đã tậntình hướng dẫn, chỉ bảo tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo công tác tại trườngĐại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà nội đã truyền đạt kiếnthức cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo Viện Công nghệ thôngtin, các bạn đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất

để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 2015

Học viên

Vũ Xuân Quỳnh

Mục lục

1.1 Không gian Banach 5

1.2 Bài toán đặt không chỉnh 8

1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh 8

1.2.2 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh 10

1.3 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu 12

1.3.1 Một số khái niệm 12

1.3.2 Phương trình với toán tử loại J-đơn điệu 16

2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov 19 2.1 Phương pháp Browder-Tikhonov với toán tử loại J-đơn điệu 19 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Newton-Kantorovich 37

Mở đầu

Trong các lớp bài toán nảy sinh từ khoa học, kỹ thuật và các nghànhkinh tế quốc dân tồn tại một lớp bài toán mà nghiệm không ổn định với dữkiện ban đầu Khi dữ kiện ban đầu thay đổi đi một chút phương trình cóthể không có nghiệm hoặc nếu có thì nghiệm tương ứng lại cách xa nghiệmchính xác rất nhiều Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh vàđặt ra yêu cầu tìm những phương pháp giải ổn định các bài toán này

Ta xét bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử

trong đó A là toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y.Khi đó bài toán này có thể hiệu chỉnh bằng phương pháp cực tiểu phiếmhàm làm trơn Tikhonov

Fδ,αh (x) = ||Ah(x) − fδ||2 + αΩ(x),

ở đây x ∈ D(Ah) = D(A), cùng với việc chọn tham số α = α(h, δ) thíchhợp, (Ah, fδ) là xấp xỉ của (A, f ), α > 0 là tham số hiệu chỉnh, Ω(x) làphiếm hàm ổn định Tuy nhiên khi bài toán là phi tuyến thì việc tìm phần

tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov trở nên khó khăn Do đó để giảiquyết bài toán trong trường hợp phi tuyến, khi A : X → X∗ là toán tửđơn điệu, trong [7] Browder đã đề xuất một dạng mới của phương pháphiệu chỉnh Tikhonov bằng cách sử dụng một toán tử có tính chất h-liêntục và đơn điệu mạnh Tiếp tục tư tưởng này, Alber [3] đã sử dụng ánh xạđối ngẫu tổng quát để hiệu chỉnh bài toán

Để tìm nghiệm cho bài toán (1), chúng tôi xem xét phương pháp hiệuchỉnh Browder-Tikhonov có dạng

A(x) + α(x − x+) = fδ, (2)

trong đó A : X → X là toán tử loại J-đơn điệu trong không gian Banach

X có tính chất xấp xỉ Khi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là liên tục yếutheo dãy và liên tục mạnh thì (2) có nghiệm duy nhất xδα hội tụ tới x0 lànghiệm của (1) Ta cũng chỉ ra được sự hội tụ này khi J không có tính liêntục yếu theo dãy nhưng được bổ sung thêm hai điều kiện

||A(x) − A(x0) − J∗A0(x0)∗J (x − x0)|| ≤ τ ||A(x) − A(x0)||, (3)trong đó x ∈ X, τ > 0, J∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X∗, x0 lànghiệm của (1) và tồn tại z ∈ X sao cho

A0(x0)z = x+− x0 (4)Cuối cùng, khi J không liên tục yếu theo dãy và không thỏa mãn hai điềukiện (3), (4) thì nghiệm hiệu chỉnh của phương pháp này vẫn hội tụ tớinghiệm của bài toán

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 giớithiệu về bài toán đặt không chỉnh, phương trình với toán tử loại J-đơnđiệu và một số khái niệm cơ bản dùng trong toàn bộ luận văn Chương 2trình bày về phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov cho phương trìnhphi tuyến không chỉnh với toán tử loại J-đơn điệu và phương pháp lặpNewton-Kantorovich kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh trên

Luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót Em rất mongnhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô Em xin chân thànhcảm ơn!

Chương 1

Khái niệm cơ bản

Chương này gồm ba mục Mục 1.1 trình bày khái niệm và một số ví

dụ về không gian Banach Mục 1.2 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh

và thuật toán hiệu chỉnh Trong mục 1.3, chúng tôi trình bày một số kháiniệm về giải tích hàm có liên quan tới luận văn và phương trình với toán

tử loại J-đơn điệu Các kiến thức được tham khảo từ các tài liệu [1], [4] và[7]

1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Cho(X, d)là một không gian metric Dãy {xn} ⊂ (X, d)

được gọi là dãy cơ bản nếu

a) Xác định dương: ∀x ∈ X, ||x|| ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x = 0;

b) Thuần nhất dương: ∀x ∈ X, ∀λ ∈ R thì ||λx|| = |λ|.||x||;

c) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X thì ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

Định nghĩa 1.3 Không gian Banach là không gian tuyến tính định chuẩnđầy đủ.

Ví dụ 1.1 Không gian Rn với chuẩn Euclid và khoảng cách được xác địnhnhư sau:

với x = (ξ1, ξ2, , ξn) ∈ Rn, y ∈Rn là không gian Banach

Ví dụ 1.2 Không gian các hàm thực liên tục C[a,b] với chuẩn và khoảngcách xác định như sau:

||x|| = max

a≤t≤b|x(t)|,d(x, y) = max

a≤t≤b|x(t) − y(t)|,

với x(t), y(t) ∈ C[a, b] là không gian Banach

Ví dụ 1.3 Không gian lp ( p ≥ 1), tập các dãy số η1, η2, , ηn, thỏamãn

∞

X

n=1

|ηn|p < ∞

là không gian Banach

Thật vậy, với x = (η1, η2, ), y = (ν1, ν2, ) ∈ lp (p ≥ 1) chuẩn vàkhoảng cách được xác định như sau:

Giả sử {xm}∞m=1 là dãy Cauchy trong lp, trong đó xm = (η1(m), η(m)2 , )

Do đó với mọi  > 0 ∃m0, ∀m ≥ m0, ∀r nguyên dương, ta có

||xm − xm+r|| ≤ 

trong đóx, y ∈ co.Cho{xk}là dãy Cauchy trongco, ở đâyxk = (µ(k)1 , µ(k)2 , ).Khi đó ∀ > 0 ∃k0, ∀k ≥ k0, ∀p nguyên dương thì ||xk − xk+p|| ≤  Vì

||xk|| = supn|µ(k)n | nên |µ(k)n − µ(k+p)n | ≤  ∀n Do đó khi n cố định thì

{µ(k)n } là dãy Cauchy, vì vậy tồn tại µ0n để limk→∞µ(k)n = µ0n Ta suy ra

1.2 Bài toán đặt không chỉnh

1.2.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

Cho phương trình toán tử

trong đó A : (X, d) → (Y, ρ)., X, Y là các không gian mêtric

Phương trình (1.1) là đặt chỉnh nếu:

• Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x(f ) ∈ X của (1.1);

• Nghiệm này là duy nhất;

• Nghiệm này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện (f, A)

Phương trình (1.1) được gọi là đặt không chỉnh nếu một trong ba điềukiện trên không được thỏa mãn, tức là,

• Phương trình (1.1) không có nghiệm;

• Phương trình (1.1) có nhiều hơn một nghiệm;

• Phương trình (1.1) có nghiệm x = x(f ) không phụ thuộc liên tục vào

dữ kiện bài toán

dt là các hàm liên tục Ta giả thiết nghiệm x(s) ∈ C[a, b] với

khoảng cách giữa hai hàm x1 và x2 trong lớp đó là

ρC[a,b](x1, x2) = max

s∈[a,b]|x1(s) − x2(s)|

Khoảng cách giữa hai hàm f1(t) và f2(t) trong L2[c, d] là

hZ b a

với hệ số (a0, a1, , an ) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an+ n, n ≥ 1 và

c0 = a0 Khi đó chuỗi Fourier tương ứng là

Ta thấy bài toán lại ổn định

Như vậy, một bài toán có thể là không chỉnh trên cặp không gian nàynhưng có thể là đặt chỉnh trong cặp không gian khác

1.2.2 Khái niệm về thuật toán hiệu chỉnh

Giả sử A−1 không liên tục và thay chof ta biết fδ : ||fδ− f || ≤ δ → 0.Bài toán đặt ra cần xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc tham số nào đótương thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ hội tụ tới nghiệm

x0

Định nghĩa 1.4 Toán tửR(fδ, α) phụ thuộc tham số α, tác động từ khônggian Banach Y vào không gian Banach X được gọi là một toán tử hiệuchỉnh cho phương trình (1.1), nếu:

• Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(fδ, α) xác định vớimọi α ∈ (0, α1) và với mọi fδ ∈ Y: ρY(fδ, f ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);

• Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ, δ) sao cho ∀ > 0 tồn tại δ() ≤

δ1: ∀fδ ∈ Y, ρY(fδ, f ) ≤ δ ≤ δ1 → ρX(xα, x0) ≤ , ở đây xα ∈R(fδ, α(fδ, δ))

Ví dụ 1.7

Bài toán tính gần đúng đạo hàm

Tính giá trị z = df (t)

dt , chỉ biết fδ(t) = f (t) + g(t), ở đây ||g(t)|| ≤ δ ∀t.Đạo hàm z được tính dựa vào tỉ sai phân

g(t + α) − g(t)

α

≤ 2δ

Vì chuỗi P∞

k=1akϕk(t0) hôị tụ, cho nên phần dư

P∞ k=n(δ)+1akϕk(t0) ... Nếu toán tử A định lý 1.8 J-đơn điệu chặt, phươngtrình tốn tử tương ứng có nghiệm

Chương sau chúng tơi trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình phi tuyến với tốn tử loại. .. thỏa mãn

với α > 0, I toán tử đơn vị X

Định lý 1.6 Nếu tốn tử A m-J-đơn điệu tốn tử J-đơn điệucực đại

Ta xét phương trình (1.1) với A toán tử J-đơn điệu

Định lý 1.7... f, Jxi ≥

Khi phương trình Ax = f có nghiệm x¯ với ||¯x|| ≤ r

Định nghĩa 1.21 Một điểm x0 ∈ X gọi nghiệm suy rộng củaphương trình (1.1) với A toán tử J-đơn điệu bất