Luận văn thạc sĩ Toán tổ hợp, Bài toán tổ hợp đếm, Phương pháp toán sơ cấp

Còn trong các kỳ thi Quốc gia và Quốc tế, các bài toán tổ hợp luôn có mặt và là một thử thách thực sự với các thí sinh, thậm chí quyết định thành tích đối với các đội tuyển dự thi.. Tron

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Lê Anh Vinh

Hà Nội – Năm 2014

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 2

1.1 Nhắc lại về tập hợp 2

1.2 Quy tắc cộng và quy tắc nhân 3

1.3 Giai thừa và hoán vị 5

1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp 5

1.5 Chỉnh hợp lặp, hoán vị lặp và tổ hợp lặp 6

1.5.1 Chỉnh hợp lặp 6

1.5.2 Hoán vị lặp 7

1.5.3 Tổ hợp lặp 8

CHƯƠNG 2 - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN 9

2.1 Một số bài toán đếm không lặp 9

2.1.1 Bài toán lập số 9

2.1.2 Bài toán chọn vật, chọn người, sắp xếp 17

2.1.3 Bài toán tương tự 26

2.2 Một số bài toán đếm có lặp 29

2.2.1 Bài toán lập số 29

2.2.2 Bài toán đếm sử dụng tổ hợp lặp 33

2.2.3 Bài toán đếm sử dụng chỉnh hợp lặp 37

2.2.4 Bài toán đếm sử dụng hoán vị lặp 37

2.2.5 Bài toán phân bố các đồ vật vào trong hộp 39

2.2.6 Bài toán tương tự 40

CHƯƠNG 3 - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP SỬ DỤNG PHÉP ĐẾM NÂNG CAO 42

3.1 Một số bài toán sử dụng nguyên lý bù trừ 42

3.1.1 Nguyên lý bù trừ 42

3.1.2 Các bài toán giải bằng phương pháp bù trừ 43

3.2 Một số bài toán giải bằng phương pháp song ánh 49

3.2.1 Phương pháp song ánh 49

3.2.2 Các bài toán tổ hợp giải bằng phương pháp song ánh 50

3.3 Một số bài toán giải bằng phương pháp hàm sinh 52

3.3.1 Bài toán chọn các phần tử riêng biệt 52

3.3.2 Bài toán chọn các phần tử có lặp 53

3.4 Một số bài toán giải bằng phương pháp hệ thức truy hồi 57

3.4.1 Khái niệm mở đầu và mô hình hóa bằng hệ thức truy hồi 57

3.4.2 Các bài toán tổ hợp giải bằng hệ thức truy hồi 57

3.4.3 Các bài toán tương tự 60

3.5 Bài toán giải bằng nguyên lí cực hạn - khả năng xảy ra nhiều nhất, ít nhất 60

3.6 Bài toán giải bằng phương pháp sắp xếp thứ tự 61

3.7 Bài toán giải bằng phương pháp liệt kê các trường hợp 62

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

1

MỞ ĐẦU

Toán học tổ hợp là một trong những lĩnh vực được nghiên cứu từ khá sớm Hiện nay trong giáo dục phổ thông, toán học tổ hợp là một trong những nội dung quan trọng, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học và cao đẳng ở nước ta Mặc dù ở mức độ không khó nhưng học sinh vẫn gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán này Còn trong các kỳ thi Quốc gia và Quốc tế, các bài toán tổ hợp luôn có mặt và là một thử thách thực sự với các thí sinh, thậm chí quyết định thành tích đối với các đội tuyển dự thi

Trong luận văn này đã đề cập đến một số bài toán tổ hợp trong toán học phổ thông, cụ thể là các bài toán tổ hợp sử dụng các phương pháp đếm

từ cơ bản đến nâng cao Đây có thể coi là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh THPT về chủ đề này

Luận văn gồm ba chương:

Chương 1- Cơ sở lý thuyết về tổ hợp

Chương 2- Một số bài toán tổ hợp cơ bản

Chương 3- Một số bài toán tổ hợp sử dụng phép đếm nâng cao

Do sự hạn chế về trình độ kiến thức và thời gian nên các bài toán tổ hợp trong luận văn còn ít, chưa có nhiều bài toán khó Ngoài ra khoá luận cũng không thể tránh khỏi những sai sót ở nhiều góc độ, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn

2

CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÍ THUYẾT VỀ TỔ HỢP

Chương này sẽ nhắc lại một số lý thuyết về tập hợp và hệ thống lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp như: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Các nội dung này cũng được giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông hệ cơ bản, nâng cao và hệ chuyên nghành toán

1.1 Nhắc lại về tập hợp

Tập hợp con

Định nghĩa: Cho tập hợp A Tập hợp B gọi là tập con của tập A khi

mọi phần tử của tập B đều thuộc A

cho với những phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau

Khi đó bộ sắp thứ tự m phần tử là một dãy hữu hạn m phần tử và hai

bộ sắp thứ tự a a1, 2, ,a m và b b1, 2, ,b m bằng nhau khi mọi phần tử tương ứng bằng nhau

Định nghĩa (Tài liệu chuẩn kiến thức 12)

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

Nếu , X Y là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì

Quy tắc nhân (Tài liệu chuẩn kiến thức 12)

Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiên hai công việc nhỏ là H1 và H2 Trong đó:

H k có thể làm bằng n k cách, sau khi đã hoàn thành công việc H k1

Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n n1 2 .n k cách

Biểu diễn dưới dạng tập hợp:

Nếu A A1, 2, ,A n là n tập hợp hữu hạnn1, khi đó số phần tử của tích

đề các các tập hợp này bằng tích của số các phần tử mọi tập thành phần

Để liên hệ với quy tắc nhân hãy nhớ là việc chọn một phần tử của tích đề các A1A2  A n được tiến hành bằng cách chọn lần lượt một phần tử

Kí hiệu: P n là số các hoán vị của n phần tử

P n n! 1.2  n 1  n

1.4 Chỉnh hợp, tổ hợp

Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n1) Kết quả của việc lấy k phần

tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

Giả sử tập A có n phần tử ( n  1) Mỗi tập con gồm k phần tử của

A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (1 k n )

Ngoài ra, mỗi chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử là một hàm từ tập r phần tử vào tập n phần tử Vì vậy số chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử

là nk

Định lý 1.5.1 Số các chỉnh hợp lặp chập r từ tập n phần tử bằng r

n

Chứng minh

7

Rõ ràng có n cách chọn một phần tử từ tập n phần tử cho mỗi một trong r vị trí của chỉnh hợp khi cho phép lặp Vì vậy theo quy tắc nhân, có

C      cách đặt nk phần tử loại k vào hoán vị

Theo quy tắc nhân tất cả các hoán vị có thể là:

8

1.5.3 Tổ hợp lặp

Một tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là một cách chọn không có thứ tự k phần tử có thể lặp lại của tập đã cho Như vậy một tổ hợp lặp kiểu này là một dãy không kể thứ tự gồm k thành phần lấy từ tập n phần tử Do

Mỗi dãy n  1 thanh và k ngôi sao ứng với một tổ hợp lặp chập k của

n phần tử Do đó mỗi dãy ứng với một cách chọn k chỗ cho k ngôi sao từ

9

CHƯƠNG 2 - MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN

Chương 1 đã trình bày lý thuyết cơ bản của toán tổ hợp Dựa trên cơ

sở lý thuyết đó trong chương này khóa luận sẽ tập trung trình bày một số bài toán tổ hợp cơ bản, phù hợp với học sinh THPT khi tham gia các kì thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học

2.1 Một số bài toán đếm không lặp

Trong các bài toán về phép đếm không lặp, mỗi phần tử cần đếm chỉ

có thể xuất hiện tối đa một lần Để giải các bài toán đếm không lặp người

ta sử dụng hai quy tắc chính của phép đếm là quy tắc cộng và quy tắc nhân, cũng như sử dụng hai phương pháp đếm trực tiếp hoặc đếm gián tiếp

2.1.1 Bài toán lập số

Bài 1:

Cho tập hợp các chữ số X  1, 2,,9 Từ tập hợp X có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số khác nhau từng đôi một

a Là số chẵn

Vậy có A74=840 số thỏa mãn bài toán

Trường hợp 2: Nếu a5 được chọn từ {2, 4, 6} thì a có 3 cách chọn 5

a1 được chọn từ tập X\{0, a5} nên a1 có 6 cách chọn

a a a2, 3, 4 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ X\{a a1, 5} do đó

nó là một chỉnh hợp 6 chập 3 Có A63 cách chọn

Vậy có 3.6.A63=2160 số thỏa mãn bài toán

Vậy số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ X là:

840+2160=3000 số

b) Vì n là số tiến nên a1 a2   a5 và do a1 0

nên 1 a1 a2   a5

Mỗi cách chọn ra 5 chữ số thì chỉ có 1 cách sắp xếp từ nhỏ đến lớn Vậy số các số cần tìm là số cách chọn ra 5 chữ số từ tập X \ {0} Vậy có C75=21 số thỏa mãn điều kiện

Bài 3:

Cho A0, 1, , 5, có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3

Giải:

11

Ta “dán” hai chữ số 2 và 3 thành một chữ số kép Có hai cách dán 23 hoặc 32 Bài toán trở thành: “Từ năm chữ số thuộc B={0;1; 4;5;số kép} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau”

Gọi số có năm chữ số được lập từ B là n=a a a a a , 1 2 3 4 5 a iB, a10

Có A số 85

Trường hợp 3: số có dạng a a1 2 a với 7 a16

a có 3 cách chọn là 7, 8, 9 1

13

a a a a a a2, 3, 4, 5, 6, 7 là một bộ 6 phần tử từ A\ {a }1 và có kể thứ tự các phần tử

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau trong đó mỗi số

có tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị

Giải:

Gọi số cần tìm là:

na a1 2 a6 , a10,a i1,2, ,9 , i1,6

Theo bài ra a3a4a5  8

Từ tập A1, 2,3, 4,5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm

5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1 và 5

Giải:

Trong 5 chữ số thì có 2 chữ số là 1 và 5 Ta chỉ cần chọn ra ba số thuộc tập hợp 2,3, 4, 6, 7 Số cách chọn là 3

5 10

C  Với 5 số được chọn ra có 5! cách thành lập số thỏa mãn

Giải:

Vì có 3 số lẻ nên có 6 „số kép‟ sau 13, 31, 15, 51, 35, 53 Bài toán trở thành

có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập B{0, 2, 4, 6,số kép}

Gọi A A A1, 2, 3lần lượt là tập hợp các số chẵn có 4 chữ số khác nhau được lập

từ tập Btrong đó „ số kép‟ đứng ở vị trí thứ nhất, thứ hai, thứ ba

Trường hợp 1 : số kép đứng ở vị trí thứ nhất

Ba chữ số còn lại được chọn từ tập 0, 2, 4, 6: Có 3

4

A cách chọn

Số d là ước của 360 phải có dạng d  2 3 5m n p với 0  m 3, 0  n 2, 0  p 1.

Vậy theo quy tắc nhân, ta có 3 1 2 1 1 1       24 ước tự nhiên của 360

Tổng quát hóa

Để tìm số các ước của số A ta thực hiện theo các bước sau :

Bước 1 : Phân tích A ra thành thừa số nguyên tố

3

1 2

1n 2n 3n n k.

k

A p p p p với p i  1,i 1,k và đôi một khác nhau

Bước 2 : Số d là ước của A phải có dạng

    

    

Mặt khác tập hợp AB là tập các ước nguyên dương của 5400 và 18000,

vì thế AB cũng là tập hợp của các ước dương của ước chung lớn nhất của

1000

200 5

a Chọn ra mỗi loại đúng 2 cây

b Chọn ra mỗi loại có ít nhất một cây

Vậy theo quy tắc nhân có 15.6.1=90 cách

b Gọi A là tập hợp cách chọn 6 cây trong 12 cây

18

Bài 14:

Một thầy giáo có 20 cuốn sách đôi một khác nhau Trong đó có 5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh A B C D E F, , , , , mỗi

em một cuốn sao cho sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba thể loại văn học, âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?

Giải:

Có C cách chọn 6 cuốn sách bất kỳ trong 12 cuốn trong đó 126

Có C C cách chọn 6 cuốn có 5 cuốn văn học 55 17

Có C C cách chọn 6 cuốn có 4 cuốn âm nhạc 44 82

Có C C cách chọn 6 cuốn có 3 cuốn hội họa 33 93

Vậy có C126 (C C +55 17 C C +44 82 C C33 93)=805 cách chọn thỏa mãn điều kiện

Với mỗi cách chọn ta có 6! Cách tặng

Vậy số cách tặng thỏa mãn là 805.6!=579600 cách

Chú ý: Đối với bài này ta có thể dùng cách phân chia trường hợp thỏa

mãn điều kiện (cách giải trực tiếp)

Có C C C cách chọn tổ 1 trong đó có 2 học sinh khối lớp 10, 3 học 52 4 53 1

sinh khối lớp 11, 1 học sinh khối lớp 12

Có C C C cách chọn tổ 1 trong đó có 2 học sinh khối lớp 10, 2 học 52 42 32

sinh khối lớp 11, 2 học sinh khối lớp 12

Có C C C cách chọn tổ 1 trong đó có 3 học sinh khối lớp 10, 2 học 53 42 13

sinh khối lớp 11, 1 học sinh khối lớp 12

Có C C C cách chọn tổ 1 trong đó có 3 học sinh khối lớp 10, 1 học 53 14 32

sinh khối lớp 11, 2 học sinh khối lớp 12

Vậy có C C C +52 4 53 1 C C C +52 42 32 C C C +53 42 13 C C C53 14 32= 600 cách chia tổ thỏa mãn đề bài

20

Bài 16:

Có n nam, n nữ Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a 2n người ngồi quanh một bàn tròn

b 2n người ngồi vào hai dãy ghế đối diện sao cho nam nữ ngồi đối diện

Có C cách chọn 4 viên không có màu vàng 54

Có C cách chọn 4 viên không có màu trắng 74

Có C cách chọn 4 viên không có màu đỏ 84

Trong C cách chọn 4 viên bi không có bi trắng có chứa 74 C cách chọn 4 54

viên chỉ có màu vàng

đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2

Giải:

Gọi A là tập hợp cách chọn đề có 3 câu dễ, 1 câu khó, 1 câu trung bình Gọi B là tập hợp cách chọn đề có 2 câu dễ, 2 câu khó, 1 câu trung bình Gọi C là tập hợp cách chọn đề có 2 câu dễ, 1 câu khó, 2 câu trung bình Gọi D là tập hợp cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài ra

Vậy có 56875 cách chọn đề kiểm tra thỏa mãn bài toán

Giải:

Gọi A là tập hợp mọi cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh

Gọi B là tập hợp cách chọn không thỏa mãn yêu cầu đề bài

Gọi C là tập hợp cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài

C cách chọn thỏa mãn bài toán

Tổng quát: Số cách cách chọn nhóm k bạn trong số n bạn vào một nhóm

sao cho có một bạn làm trưởng nhóm là k

Có bao nhiêu cách chọn một nhóm người trong số n người sao cho

có một người làm nhóm trưởng, một người là nhóm phó





 cách chọn một nhóm người trong số n người sao cho

có một người làm nhóm trưởng , một người là nhóm phó

Bài 25 : ( Hoán vị vòng quanh)

a Tính số hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau

b Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước : Anh 3 người, Nga

5 người, Mỹ 2 người, Pháp 3 người, Trung Quốc 4 người Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịnh thì ngồi cạnh nhau

Giải :

a Nếu sắp xếp một phần tử vào một vị trí nào đó (chú ý vị trí đầu tiên không đóng vai trò gì do đây là hoán vị theo đường tròn), thì n 1

25

phần tử còn lại được sắp xếp vào n 1 vị trí còn lại Số cách chọn đó

là n 1 !

Vậy số hoán vị vòng quanh của n là n 1 !

b Nếu một phái đoàn nào ngồi vào chỗ trước thì theo phần a bốn phái đoàn còn lại có 4! Cách sắp xếp

Như vậy có 24 cách sắp xếp các phái đoàn ngồi theo quốc gia mình Bây giờ ta xem có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho nội bộ từng phái đoàn

Từ giả thiết ta có

3! Cách sắp xếp cho phái đoàn Anh

5! Cách sắp xếp cho phái đoàn Nga

2! Cách sắp xếp cho phái đoàn Mỹ

3! Cách sắp xếp cho phái đoàn Pháp

4! Cách sắp xếp cho phái đoàn Trung Quốc

Theo quy tắc nhân số cách sắp xếp cho hội nghị là

4!3!5!2!3!4! 4976640

Chú ý : Ta có thể mở rộng phần 1 của bài 25 như sau :

Số cách sắp xếp m số khác nhau từ tập hợp n số 1; 2; ; nlên một đường tròn bằng

Bài 26: ( Bài toán vui)

Một cửa hàng có 10 lon nước giải khát đôi một khác nhau dùng để bày hàng Người ta xếp các lon đó thành hình quả núi, số lon từ hàng dưới cùng đến hàng trên cùng lần lượt là 4, 3, 2, 1 Hàng ngày người ta đổi vị trí các lon cho nhau sao cho không có hai ngày bày như nhau Hỏi bắt đầu từ ngày 1.1.2000 thì có thể tiến hành đến ngày nào ?

Giải :

Có 10 vị trí khác nhau, bày 10 lon nước giải khát đôi một khác nhau, vậy số cách bày là

10! 3628800 Vậy cần có 3628800 ngày để bày hết tất cả các cách

Do cứ 4 năm thì có một năm nhuận, nên số ngày của chu kì 4 năm là 365.4 1 1461   ngày

Ta thấy 3628800  2483.1461 1137 

Ta lại lưu ý rằng những năm chia hết cho 400 không phải năm nhuận như vậy không kể năm 2000, trong 2483 4 năm có thêm 24 năm chia hết cho 4

mà không phải năm nhuận

Vậy 3628800ngày  2483.4năm  1137 24   9935năm +66 ngày

Như vậy có thể bày tới ngày thứ 66 của năm 11936

Do năm này là năm nhuận nên 66  31 29 6  

Vậy ngày cuối cùng có thể bày là mồng 6 tháng 3 năm 11936

2.1.3 Bài toán tương tự

Bài 27: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số

nào lặp lại quá 1 lần

Bài 32: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được

lập từ tập E 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7sao cho một trong ba chữ số đầu tiên là 1

Bài 33: Có 20 học sinh (8 nữ trong đó có Lan, 12 nam trong đó có Nam và

Bài 34: Một hộp đựng 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ

đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4

a) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu cùng màu, 3 quả cầu cùng số

b) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu, 3 quả cầu khác màu và khác số?

Bài 35: Trong kỳ thi kết thúc môn toán học rời rạc có 10 câu hỏi Có bao

nhiêu cách gán điểm cho các câu hỏi nếu tổng số điểm là 100 và mỗi câu

hỏi ít nhất 5 điểm

28

Bài 36: Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế

Người ta muốn sắp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau:

a) Bất kỳ hai học sinh ngồi cùng nhau hoặc đối diện nhau đều không cùng giới tính

b) Bất kỳ hai học sinh ngồi đối diện nhau đều không cùng giới tính

Bài 37: Ở một trường tiểu học có 50 học sinh giỏi toàn diện, trong đó có 4

cặp anh em sinh đôi Cần chọn ra 3 học sinh trong 50 em nói trên đi dự trại

hè Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà trong nhóm 3 em được chọn không có cặp anh em sinh đôi nào

Bài 38: có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam Lập

một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách

Bài 39:Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng Người ta

chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ 3 màu

Bài 40 :Trong một lớp học có 7 nam sinh và 4 nữ sinh ưu tú ( trongđó có

nam sinh Cường và nữ sinh Hoa) Cần lập một ban cán sự lớp gồm 6 người với têu cầu có ít nhất 2 nữ, ngoài ra biết Cường và Hoa không thể làm việc cùng nhau trong ban cán sự

Bài 41: Đội dự tuyển bóng bàn có 10 , 7 nam trong đó có danh thủ nam là

Vũ Mạnh Cường và danh thủ nữ là Ngô Thị Thu Thuỷ Người ta cần lập một đội tuyển bóng bàn quốc gia từ đội dự tuyển nói trên Đội tuyển quốc gia có 3 nữ và 4 nam Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển quốc gia sao cho trong đội tuyển quốc gia có mặt chỉ một và một trong 2 danh thủ nói trên

Bài 42:Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1

đến 5 và 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4 Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu, vừa khác số

29

2.2 Một số bài toán đếm có lặp

Trong các bài toán đếm có lặp, mỗi phần tử cần đếm có thể xuất hiện nhiều lần Để giải các bài toán đếm có lặp, người ta thường quy về các bài toán đếm không lặp và sử dụng thêm một số kiến thức khác

Ta đã biết để một số có từ hai chữ số trở lên chia hết cho 4 thì điều kiện cần

và đủ là hai số cuối của số đó phải chia hết cho 4

Từ tập A có thể lập được các số sau chia hết cho 4:

30

Bước 3 chọn số hàng nghìn có 6 cách chọn

Theo quy tắc nhân số cách chọn là 9.6.6=324

Vậy có 324 số thỏa mãn bài toán

Bài 45:

Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số sao cho số 1 có mặt tối đa 5 lần, các số 2,3,4 có mặt tối đa 1 lần

Giải:

Vì các số 2, 3,4 có mặt tối đa 1 lần nên ta phải lập ra số có 6 chữ số từ

1; 2;3; 4nên số 1 phải có mặt tối thiểu 3 lần

Gọi A3 là tập hợp các số có 6 chữ số trong đó số 1 có mặt 3 lần Khi đó mỗi

10 720

A  cách chọn