Luận văn thạc sĩ Toán giải tích, Toán tử quạt, Nghiệm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC HOÀNG HẢI MINH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG ĐIỀU CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨNgành: Toán Giải tí

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

HOÀNG HẢI MINH

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG ĐIỀU CHỈNH

LUẬN VĂN THẠC SĨNgành: Toán Giải tích

Mã số: 60460102

Người hướng dẫn: TS Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thànhluận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trongkhoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội

đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thựchiện luận văn

Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015

Học viên

Hoảng Hải Minh

Mục lục

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Một số không gian và các kết quả liên quan 6

1.2 Toán tử quạt 7

1.2.1 Toán tử quạt 7

1.2.2 Xấp xỉ Yosida 9

1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach 10 1.4 Phương trình tiến hóa tuyến tính 10

1.5 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 20

Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình động học rừng điều chỉnh 33

2.1 Nghiệm địa phương 34

2.1.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương 35

2.1.2 Nghiệm địa phương không âm 36

2.2 Hệ động lực 38

2.2.1 Nghiệm toàn cục 38

2.2.2 Hàm Lyapunov 43

LỜI MỞ ĐẦU

Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng là một trong những chủ đề về môi trường đượcquan tâm nhất hiện nay Những vấn đề cơ bản trong nghiên cứu bảo tồn nguồn tàinguyên rừng được biết tới như: quy luật phát triển của mỗi cá thể cây, cây trongmột khu vực rừng, cây trong rừng và cả những hệ thống phức tạp bao gồm hệ thốngrừng và những hệ thống khác như đất, nước, thời tiết cùng với những tương tác giữacác hệ thống nêu trên,

Nhiều nhà khoa học trên thế giới đã nghiên cứu về các vấn đề trên và đạt đượcnhững kết quả quan trọng Vào năm 1972, D B Botkin trong [2] đã đưa ra mô hìnhtoán học cơ sở đầu tiên về sự phát triển của rừng Trong đó, Botkin đã nghiên cứumột khu vực khoảng (100m3 tới 300m3) rừng và đưa ra phương trình phát triển chomỗi cây cùng với sự tương tác giữa các cây trong khu vực Tiếp theo vào năm 1983,hai tác giả M.Ya Antonovsky và M D Korzukhin trong [1] đã đưa ra mô hình toánhọc về rừng trong đó quan tâm tới mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi Mô hình

đó sau này vào năm 1994 đã được các tác giả Yu A Kuznetsov, M Ya Antonovsky,

V N Biktashev và A Aponina trong [4] phát triển thành mô hình mô tả sự pháttriển của rừng thông qua mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi và quá trình táisinh

Cụ thể là, trong một miền hai chiều bị chặn Ω, ta xét một hệ rừng đơn loài vàgiả sử rằng các cây được chia thành hai lớp tuổi cây non và cây trưởng thành Có bayếu tố cấu thành của hệ rừng: cây non, cây trưởng thành và hạt giống trong khôngkhí Chúng tạo thành một mô hình động học thể hiện quá trình phát triển của hệrừng như sau:

của các cây non và các cây trưởng thành Phương trình thứ ba thể hiện động lực củacác hạt trong không khí; d > 0 là hằng số khuếch tán của hạt, và α > 0 và β > 0lần lượt là tỉ lệ hạt được tạo ra và số hạt rơi xuống đất Trong khi đó, 0 < δ ≤ 1 là

tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > 0 là tỉ lệ chết của cây non, phụ thuộc vào tỉ lệ cây trưởngthành v, f > 0 là tỉ lệ cây non phát triển thành cây trưởng thành, và h > 0 là tỉ lệchết của cây trưởng thành Hàm γ(v) xác định bởi γ(v) = a(v − b)2+ c, với a > 0,

b> 0 và c > 0 Với w, một số điều kiện biên được đặt trên biên ∂ Ω Các hàm giátrị ban đầu không âm u0(x) ≥ 0, v0 ≥ 0 và w0 ≥ 0 được lấy trong Ω

Mô hình (0.1) đã được một số tác giả nghiên cứu Với điều kiện biên Neumanhoặc Dirichlet đặt lên w, các tác giả L H Chuan, A Yagi và T Shirai trong [3] và[5] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực và chỉ ra sựtồn tại hàm Lyapunove cho hệ (0.1)

Tuy nhiên, mô hình trên có vẻ chưa đầy đủ Các nghiệm dừng u, v của bài toán(0.1) có giá hoàn toàn trong Ω Tuy nhiên đối với rừng tự nhiên do sự khuếch tán,mật độ hạt bên ngoài biên tự nhiên vẫn dương Một số kết quả tính toán cũng chỉ

ra một số nghiệm dừng của hệ (0.1) có mật độ cây ở miền bên ngoài biên của rừngdương

Hai tác giả A Yagi và M Primicerio vào năm 2014 trong [7] đã đưa ra hìnhđộng học rừng điều chỉnh sau:

Mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2) đã cải thiện hai khía cạnh Khía cạnhđầu tiên, mở rộng miền xác định w thành toàn không gian R2 vì w biểu thị mật độhạt trong không khí và hạt có thể phân tán xa hơn so với biên của Ω Một cách tựnhiên, ta không còn cần phải quan tâm tới các điều kiện biên trên w Khía cạnh

thứ hai, ta có ngưỡng w∗ Nếu w ≤ w∗ thì không có cây non mọc, tất nhiên khi đó

sẽ không có cây trưởng thành Điều đó khiến cho giá của các nghiệm dừng u, v làcompact

Nội dung của luận văn là trình bày lại một số kết quả nghiên cứu mô hình độnghọc rừng điều chỉnh (0.2) Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:

• Chương 1 của luận văn trình bày tóm tắt một số kết quả đã biết về các khônggian hàm, toán tử quạt, phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong khônggian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửatuyến tính, các định lý và kết quả cơ bản liên quan tới luận văn Chương nàyđược trình bày dựa trên tài liệu [6]

• Chương 2 của luận văn trước tiên trình bày về sự tồn tại duy nhất nghiệmđịa phương của (0.2), sau đó chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục của(0.2) Cuối chương là phần trình bày về hàm Lyapunov của hệ động lực sinhbởi (0.2) Chương này được trình bày dựa trên tài liệu [7]

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làmluận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mong nhận được sựgóp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảmơn!

Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015

Học viên

Hoàng Hải Minh

và đánh giá nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.

Cho X là không gian Banach với chuẩn k.k, [a, b] ⊂ R, với hai số mũ 0 < σ <

β ≤ 1, ta định nghĩa không gian hàm Holder liên tục có trọng

Fβ ,σ((a, b]; X ), 0 < σ < β ≤ 1,như sau:

Định nghĩa 1.1 Không gian Fβ ,σ((a, b]; X ) bao gồm các hàm liên tục trên (a, b] (hay [a, b] ) khi 0 < β < 1 (khi β = 1) thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) Với β < 1, (t − a)1−βF(t) có giới hạn khi t → a.

(2) F là hàm liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β +σ, cụ thể là

Ω là một miền lồi, bị chặn có biênC2 trong R2 Khi đó Hs(Ω) biểu thị không gianSobolev, chuẩn của nó được kí hiệu bởi k.kHs

Khi 0 ≤ s < 1, Hs(Ω) ⊂ Lp(Ω), trong đó 1p = 1−s2 , với phép nhúng liên tục

Khi s = 1, Hs1(Ω) ⊂ Lq(Ω) với mọi 2 ≤ q < ∞ và ước lượng

k.kLp ≤ C k.k1−

p q

H 1 k.k

p q

Định nghĩa 1.2 Cho X là một không gian Banach với chuẩn k.k Giả sử A là một

toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong X và phổ của A chứa trong một miền quạt mở, cụ thể là

σ (A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ | < ω} , 0 < ω ≤ π, (1.7)

đồng thời với mỗi giá trị chính quy λ của A, ta có ước lượng sau

(λ − A)−1 ≤ M

với hằng số M ≥ 1 Khi đó toán tử A được gọi là toán tử quạt trên X

Ký hiệu ωAlà góc nhỏ nhất thỏa mãn (1.7) và (1.8) Khi đó, ωA được gọi là góc của toán tử quạt A.

Trong luận văn này, ta luôn xét A là một toán tử quạt trong không gian Banach

X với góc 0 ≤ ωA< π

2 và ω là góc sao cho ωA < ω < π

2 Khi đó ta có

σ (A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ | < ω} , (1.9)và

Hàm e−tA là hàm hạn chế của e−zA trên (0, ∞), được xác định bởi công thức

Họ các toán tử e−tA được gọi là hàm mũ sinh bởi −A.

Mệnh đề 1.1 ([6], p.62) Với mọi φ sao cho 0 < φ < π

2 − ω, tồn tại một số mũ dương δφ > 0 và một hằng số Cφ > 0 sao cho

e−zA ≤ Cφe−δφ |z|, z ∈ Σφ− {0} Phần tiếp theo trình bày về lũy thừa của toán tử quạt

Với mỗi số phức z sao cho Rez > 0, ta định nghĩa

Định nghĩa At với t ∈ R như sau:

A1−θe−τAdτ ≤ Cθ

Z t

0 τθ −1dτ ≤ Cθtθ, 0 < t < ∞

(1.12)Mặt khác, với mọi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0,

tθAθe−tA hội tụ mạnh tới 0 trên X (1.13)Đồng thời, với mỗi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0 thì

t−θ e−tA− 1
A−θ hội tụ mạnh tới 0 trong X (1.14)

Định lý 1.1 ([6], p.102) Cho 0 < β ≤ 1 và U0∈D(Aβ) Khi đó, với mọi σ sao cho

Giả sử An là xấp xỉ Yosida của A Khi đó An là các toán tử quạt, đồng thời ta cóước lượng

Aθ

ne−tAn ≤ Ct−θ, 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞ (1.15)và

Aθ

ne−tAn → Aθe−tA trongL(X) 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞ (1.16)Phần tiếp theo, ta trình bày một số kết quả đã biết về phương trình vi phân tuyếntính cấp một trong không gian Banach

không gian Banach

Ta xét bài toán giá trị ban đầu

0 < t ≤ T,

trong không gian Banach X Ở đây, p, q ∈ C([0,T];X) được xác định bởi các hàmliên tục nhận giá trị trong X và u0∈ X là một giá trị ban đầu Với mỗi 0 < t ≤ T , taxét hàm

ϕ (s) = e

R t

s p(r)dru(s), 0 ≤ s ≤ t

Vì toán tử f 7→ ef là một ánh xạ khả vi Fréchet từ X vào chính nó và đạo hàm của

nó được xác định bởi công thức g 7→ efgtrên X , dẫn tới ϕ ∈C1((0,t]; X ) và

(eRstp(r)dru(s))0= eRstp(r)dr(−p(s)u0(s) = eRstp(r)drq(s)

Lấy tích phân kết quả trên [0, T ], ta có công thức

u(t) = eR0tp(r)dru0+

Z t 0

e

R t

s p(r)drq(s)ds, 0 ≤ t ≤ T (1.17)

Ta xét bài toán giá trị ban đầu

trong không gian Banach X Trong đó 0 < T < ∞ là thời gian cho trước, A là mộttoán tử quạt trong X với góc ωA< π

2.Hàm F ∈Fβ ,σ((0, T ]; X ) với 0 < σ < β ≤ 1 Giá trị ban đầu U0 được lấy trong

X

Ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của bài toán (1.18)

Định lý 1.2 ([6], p.124) Cho A thỏa mãn (1.9) và (1.10) Với mỗi hàm F ∈Fβ ,σ((0, T ]; X ), với 0 < σ < β ≤ 1 và với bất kỳ giá trị ban đầu U0 ∈ X, luôn tồn tại duy nhất một nghiệm U của (1.18) nằm trong không gian hàm

eτ AnF(τ)dτ

+ e−tAnetAnF(t)

= −AnUn(t) + F(t), 0 < t ≤ T

Do đó, với bất kỳ 0 < ε < T , lấy tích phân hai vế ta có

Un(t) = Un(ε) +

Z t ε

[F(τ) − AnUn(τ)] dτ, ε ≤ t ≤ T (1.22)

Tiếp theo ta sẽ đi xét sự hội tụ của AnUn(t) Với mục đích đó, ta viết

AnUn(t) = Ane−tAnU0+

Z t 0

Ane−(t−τ)An[F(τ) − F(t)] dτ + 1 − e−tAn
F(t),

trong đó

Z t 0

Ane−(t−τ)Andτ = 1 − e−tAn (1.23)

Do đó

kAnUn(t)k ≤ Ane−tAn kU0k +

Z t 0

Ane−(t−τ)An kF(τ) − F(t)k dτ+ 1 − e−tAn kF(t)k

τβ −σ −1kFkFβ ,σ.Suy ra

kAnUn(t)k ≤ Ct−1kU0k +

Z t 0

C(t − τ)−1(t − τ)στβ −σ −1kFkFβ ,σdτ+Ct−1+βkFkFβ ,σ

≤ Ct−1kU0k +CkFkFβ ,σ

Z t 0

(t − τ)σ −1τβ −σ −1dτ

+Ct−1+βkFkFβ ,σ

≤ Ct−1kU0k + tβ −1kFkFβ ,σ

, 0 < t ≤ T, (1.24)

hằng số C không phụ thuộc vào n Hơn nữa, từ (1.16) suy ra AnUn(t) hội tụ tới

W = Ae−tA+

Z t 0

[F(τ) − AU(τ)] dτ, ε ≤ t ≤ T

Suy ra U (t) khả vi với ε ≤ t ≤ T Vì ε > 0 tùy ý nên U (t) ∈C1((0, T ), X ) Hơn nữa,U(t) có đạo hàm tại t = 0 nên U liên tục tại t = 0 suy ra U (t) ∈C1([0, T ], X ).

Ta có

AU(t) = Ae−tAU0+

Z t 0

Ae−(t−τ)AF(τ)dτ

Do vậy

kAU(t)k ≤ Ct−1kU0k +

Z t 0

Ae−(t−τ2 )A e−(t−τ2 )A kF(τ)k dτ

Khi đó

t kAU(t)k ≤ C kU0k +C

Z t 0

2

t− τe

−ρ(t−τ2 )tβdτ,

mà t−τ2 e−ρ(t−τ2 )tβ bị chặn khi t → ∞ nên

t kAU(t)k ≤ C kU0k | + kFkFβ ,σ
, Ckhông phụ thuộc vào t

Từ đó ta có U (t) thỏa mãn (1.20) Đồng thời ta dễ dàng kiểm tra được U (0) = U0,suy ra U (t) là nghiệm của bài toán (1.18)

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh tính duy nhất của nghiệm U của (1.18) Thật vậy,giả sử có V (t) là nghiệm của bài toán (1.18) và thuộc không gian nghiệm (1.19).Khi đó, ta có

dV

dτ (τ) = F(τ) − AV (τ),và

e−(t−τ)AF(τ)dτ, ε < t ≤ T

Cho ε → 0 , ta thu được

V(t) = e−tAU0+

Z t 0

e−(t−τ)AF(τ)dτ, 0 < t ≤ T

Suy ra V (t) = U (t) với mọi 0 < t ≤ T

Khi giá trị ban đầu U0 thuộc D(Aβ), ta có thể chứng minh được tính chất tốthơn của nghiệm.

Định lý 1.3 ([6], p.126) Cho F ∈Fβ ,σ((0, T ]; X ) với 0 < σ < β ≤ 1, và cho U0∈D(Aβ) Khi đó, nghiệm U của (1.18) có các tính chất sau:

Aβ[U (t) −U0] = Aβ



e−tAU0+

Z t 0

e−(t−τ)AF(τ)dτ −U0



= e−tA− 1
AβU0+

Z t 0

Aβe−(t−τ)AF(τ)dτ

= e−tA− 1
AβU0+

Z t 0

Aβe−(t−τ)A[F(τ) − F(t)] dτ

+

Z t 0

Ae−(t−τ)AF(τ)dτAβ −1F(t)

= e−tA− 1
AβU0+

Z t 0

Aβe−(t−τ)A kF(τ) − F(t)k dτ

≤

Z t 0

(t − τ)σ −βτβ −σ −1dτ ωF(t)

kết hợp với (1.11), ước lượng (1.27) được chứng minh.

Tiếp theo, ta sẽ đi chứng minh (1.26) Tương tự trên có

AU(t) = Ae−tAU0+

Z t 0

Mặt khác, ta có

I2(t) − I2(s) =

Z t 0

Ae−(t−τ)A[F(τ) − F(t)] dτ −

Z s 0

Ae−(s−τ)A[F(τ) − F(s)] dτ

=

Z t s

Ae−(t−τ)A[F(τ) − F(t)] dτ +

Z s 0

Ae−(t−τ)A[F(τ) − F(t)] dτ

−

Z s 0

Ae−(s−τ)A[F(τ) − F(s)] dτ

=

Z t s

Ae−(t−τ)A[F(τ) − F(t)] dτ +

Z s 0

Ae−(t−τ)A[F(τ) − F(s)] dτ

+

Z s 0

Ae−(t−τ)A[F(s) − F(t)] dτ −

Z s 0

Ae−(s−τ)A[F(τ) − F(s)] dτ

=

Z t s

Ae−(t−τ)A[F(τ) − F(t)] dτ

+e−(t−s)A− 1

Z s 0

Ae−(s−τ)A[F(τ) − F(s)] dτ

+

Z s 0

Ae−(t−τ)A kF(τ) − F(t)k dτ

≤

Z t s

Ae−ρAdρ

Z s o

Ae−(s−τ)A[F(τ) − F(s)] dτ

=

Z t−s 0

Z s o

A2e−(ρ+s−τ)A[F(τ) − F(s)] dτdρ

≤

Z t−s 0

Z s o

A2e−(ρ+s−τ)A kF(τ) − F(s)k dτdρ

≤

Z t−s 0

Z s o

C(ρ + s − τ)−2(s − τ)στβ −σ −1ωF(s)dτdρ

Z s o

(ρ + s − τ)−2(s − τ)στβ −σ −1dτdρ

= (t − s)

Z t−s 0

(s − τ)σ −1(t − τ)−1τβ −σ −1dτ

Đặt τ = s − x ta được

I= (t − s)

Z s 0

(t − s + x)−1xσ −1(s − x)β −σ −1dx

= (t − s)

Z s

s 2

(t − s + x)−1x−1xσ(s − x)β −σ −1dx

≤ 2s−1(t − s)

Z s

s 2

(t − s + x)−1xσ(s − x)β −σ −1dx

≤ 2s−1(t − s)σ

Z s

s 2

h(t − s + x)1−σxσ(t − s + x)−1i(s − x)β −σ −1dx

Do vậy

H≤ 2(t − s)σs−1

Z s 0

(s − x)β −σ −1dx

Mặt khác

(t − s)

Z s 2

(t − s + τ)−1τσ −1dτ

≤ (t − s)21−β +σsβ −σ −1

Z ∞ 0

(t − s + τ)−1τσ −1dτ

= 21−β +σπsin(σ π) (t − s)

σ21−β +σ vì B(σ , 1 − σ ) = π

sin(σ π) Khi đó

!#,

= 1 − e−tA
[F(t) − F(s)] −e−(t−s)A− 1e−sAF(s)

= 1 − e−tA
[F(t) − F(s)] −e−(t−s)A− 1A−σAσe−sAF(s)

dt ∈Fβ ,σ((0, T ] ; X ) Hơn nữa

kAUkFβ ,σ ≤ kI1kF β ,σ + kI2kF β ,σ + kI3kF β ,σ,trong đó

kI2k ≤

Z t 0

Ae−(t−τ)A kF(τ) − F(t)k dτ

≤ C(t − τ)−1τβ −σ −1(t − τ)σkFkFβ ,σdτ

≤ CkFkF β ,σ

Z t 0

C(t − τ)σ −1τβ −σ −1dτ

≤ CB(σ , β − σ )tβ −1kFkFβ ,σ

≤ Ctβ −1kFkFβ ,σ,

kI2(t) − I2(s)k ≤ C(t − s)σsβ −σ −1kFkFβ ,σ,suy ra

kI2kF β ,σ ≤ CkFkF β ,σ.Khi đó

dU

dt F β ,σ

+ kAU kF β ,σ ≤ C AβU0 + kFkF β ,σ

i

Phần tiếp theo, ta trình bày các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương,nghiệm toàn cục và đánh giá tiên nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Cho X là một không gian Banach với chuẩn k.k Ta xét bài toán Cauchy chophương trình nửa tuyến tính như sau

trong X Trong đó, A là một toán tử quạt trên X thỏa mãn (1.9) và (1.10), F là mộttoán tử phi tuyến đi từ D(Aη) vào X , với

Giả sử rằng F thỏa mãn điều kiện Lipschitz

kF(U) − F(V )k ≤ ϕ(kUk + kV k) [kAη(U −V )k + (kAηU k+ kAηV k) kU −V )k] ,

(1.31)trong đó U,V ∈ D(Aη) và ϕ(.) là một hàm liên tục tăng Từ (1.31), ta có F thỏamãn ước lượng sau

kF(U)k ≤ ψ(kUk)(kAηU k+ 1), U ∈D(Aη), (1.32)với ψ(ξ ) = kF(0)k+ϕ(ξ )(ξ +1) Hàm G(t) được cho trong không gianFβ ,σ((0, T ]; X ),

0 < σ < β Giá trị ban đầu U0 được lấy trongD(Aβ)

Ta sẽ chứng minh (1.29) có duy nhất một nghiệm đại phương

Định lý 1.4 ([6], p.188) Cho A là toán tử quạt thỏa mãn (1.9), (1.10) và F thỏa

mãn (1.31), (1.30) Khi đó, với mỗi hàm G ∈Fβ ,σ((0, T ]; X ), 0 < σ < β ≤ 1 − η,

và bất kỳ U0 ∈ X, (1.29) có duy nhất một nghiệm địa phương U thuộc không gian hàm

U ∈C([0,TG,U0]; X ) ∩C1((0, TG,U0]; X ), AU ∈C((0,TG,U0]; X ), (1.33)

trong đó TG,U0 > 0 chỉ phụ thuộc vào kGkF β ,σ và kU0k Hơn nữa, U thỏa mãn ước lượng

kU(t)k + t dU

dt (t) + t kAU (t)k ≤ CG,U0, 0 ≤ t ≤ TG,U0, (1.34)

với hằng số CG,U0 > 0 phụ thuộc vào kGkF β ,σ và kU0k.

kU(t)k ≤ C2, 0 ≤ t ≤ S, (1.36)với Ci > 0 (i = 1, 2) sẽ được xác định sau.

Ta cóK(S) là tập con đóng khác rỗng của X(S) Thật vậy, giả sử Un ∈K(S) và

Un → U0 Ta sẽ chứng minh U0 ∈K(S) Từ điều giả sử ta có

tηkAηUn(t)k ≤ C1 ⇒ tηkAηU0(t)k ≤ C1,và

kUn(t)k ≤ C2 ⇒ kU0(t)k ≤ C2,nên U0(t) ∈K(S)

Với U ∈K(S), ta xác định hàm

{ΦU} (t) = e−tAU0+

Z t 0

e−(t−s)A[F(U (s)) + G(s)]ds, 0 ≤ t ≤ S (1.37)

Mục tiêu của ta là chỉ ra Φ là một ánh xạ co từ K(S) vào chính nó khi S đủ nhỏ,đồng thời điểm bất động của Φ là nghiệm của (1.29) Để đạt được mục tiêu trên, ta

sẽ chia việc chứng minh thành các bước Trong suốt quá trình chứng minh, CG,U0

là hằng số phổ dụng được xác định trong từng lần xuất hiện bởi các hằng số trong(1.9), (1.10), (1.31), (1.30), bởi hàm ϕ(.), bởi các chuẩn kGkF β ,σ và kU0k

Bước 1. Ta sẽ đi chứng minh Φ là một ánh xạ từ K(S) vào chính nó Với U ∈K(S), dựa vào (1.32) ta có

kF(U)k ≤ ψ(kUk)(kAηU k+ 1) ≤ ψ(C2)(C1t−η+ 1), 0 < t ≤ S (1.38)

Với mỗi θ ∈ [0, 1), Aθ là toán tử bị chặn nên Aθ là toán tử đóng Khi đó

Aθ{ΦU} (t) ≤ Aθe−tA kU0k +

Z t 0

Aθe−(t−s)A [kF((U (s))k + kG(s)k] ds,

suy ra

tθ Aθ{ΦU} (t) ≤ tθ Aθe−tA kU0k + tθ

Z t 0

Aθe−(t−s)A [kF((U (s))k + kG(s)k] ds

≤ tθ Aθe−tA kU0k + tθ

Z t 0

Aθe−(t−s)A kF((U(s))k ds

+ tθ

Z t 0

Aθe−(t−s)A kG(s)k ds

≤ AθkU0k + tθ

Z t 0

(t − s)−θψ (C2)(C1s−η+ 1)ds

+ tθ

Z t 0

(t − s)−θsβ −1kGkFβ ,σds

≤ AθkU0k + Aθψ (C2)tθ

Z t 0

(t − s)−θ(C1s−η+ 1)ds

+ AθtθkGkFβ ,σ

Z t 0

(t − s)−θsβ −1ds

≤ AθkU0k + AθB(1 − θ , β )kGkF β ,σtβ+ Aθψ (C2)C1B(1 − θ , 1 − η)t1−η+ B(1 − θ , 1)t (1.39)

Ở đây, B(p, q) là hàm Beta và Aξ được xác định bởi

Với 0 < s < t ≤ S, theo tính chất của nửa nhóm thì

{ΦU} (t) = e−(t−s)Ae−sAU0+

Z t s

e−(t−τ)A[F(U (τ)) + G(τ)] dτ

+ e−(t−s)A

Z s 0

e−(s−τ)A[F(U (τ)) + G(τ)] dτ