Định lý giới hạn trung tâm và những ứng dụng trong xác suất thông kê

Hồ Chí Minh TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA --- NGUYỄN ĐÌNH UÔNG ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG XÁC SUẤT-THỐNG KÊ Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG Đại Học Quốc Gia

Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

NGUYỄN ĐÌNH UÔNG

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM VÀ NHỮNG

ỨNG DỤNG TRONG XÁC SUẤT-THỐNG KÊ

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG

Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

NGUYỄN ĐÌNH UÔNG

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM VÀ NHỮNG

ỨNG DỤNG TRONG XÁC SUẤT-THỐNG KÊ

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2006

Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

NGUYỄN ĐÌNH UÔNG

ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM VÀ NHỮNG

ỨNG DỤNG TRONG XÁC SUẤT-THỐNG KÊ

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HÒAN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày…… tháng ……năm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

Tp.HCM, ngày 03 tháng 12 năm 2006

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: NGUYỄN ĐÌNH UƠNG Phái: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 18 -03 – 1979 Nơi sinh: Thái Bình

Chuyên ngành: Toán giải tích ứng dụng MSHV: 02405544

I- TÊN ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG

TRONG XÁC SUẤT-THỐNG KÊ

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Tóm tắt những khái niệm cơ bản trong Giải tích thực

- Chứng minh Các luật số lớn và Định lý giới hạn trung tâm

- Dựa trên Định lý giới hạn trung tâm tìm hiểu các ứng dụng

- Xây dựng thuật toán và mô hình Định lý giới hạn trung tâm bằng Maple

- Nhận xét, đánh giá khả năng áp dụng và hướng phát triển đề tài

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 03 – 07 – 2006

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 03 – 12 – 2006

V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS ĐẬU THẾ CẤP

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CN BỘ MÔN

QL CHUYÊN NGÀNH

PGS TS ĐẬU THẾ CẤP PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua

năm 2006

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời chân thành cảm ơn đến Phòng đào tạo sau đại học và Bộ môn Toán ứng dụng đã tổ chức lớp Cao học Toán giải tích ứng dụng để chúng em có điều kiện được học tập

Em xin cảm ơn chân thành đến các Thầy trong bộ môn Toán ứng dụng đã giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho chúng em trong hai năm học vừa qua Với lòng biết ơn sâu sắc Em xin gửi đến Thầy PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP đã tận tình hướng dẫn để Em hoàn thành bản luận văn này

Xin cảm ơn chân thành đến các bạn học cùng lớp và các bạn bè đồng nghiệp đã có những giúp đỡ quí báu trong học tập và nhất là trong thời gian thực hiện luận văn

Cuối cùng là lòng biết ơn sâu sắc đến Bố mẹ và toàn thể Gia đình đã tạo điều kiện cho Con học tập trong thời gian qua

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Luận văn gồm có 3 chương

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Chương này gồm các khái niệm, định lý

được sử dụng trong chương 2

Chương 2 Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm Chương này trình bày

chứng minh các luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm tổng quát

Chương 3 Ứng dụng của định lý giới hạn trung tâm Chương này trình bày

các ứng dụng của các định lý giới hạn (là định lý giới hạn trung tâm hoặc các hệ quả của nó) trong xác suất và trong thống kê Ở đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ khá tiêu biểu cho việc vận dụng lý thuyết và thực tế Chúng tôi cũng chỉ rõ cơ sở lý thuyết để xây dựng các thuật toán trong ước lượng và kiểm định giả thuyết trong thống kê Cuối cùng là phần kết luận, nhận xét và hướng phát triển của đề tài

MỤC LỤC

trang

Bìa i

Công trình ii

Nhiệm vụ luận văn iii

Lời cám ơn iv

Tóm tắt v

Mục lục vi

Lời nói đầu 1

Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 2

§1 Độ đo 2

1 σ-đại số 2

2 Độ đo 2

3 Độ đo Borel và Lebesgue 3

4 Tích của các độ đo Độ đo trên n 4

5 Hàm đo được Hàm đơn giản 4

§2 Tích phân 5

1 Tích phân hàm đơn giản không âm 5

2 Tích phân và hàm khả tích 6

3 Định lý Fubini 7

4 Các loại hội tụ 7

§3 Không gian các hàm khả tích 8

1 Không gian Lp 8

2 Bất đẳng thức Chebyshev 8

3 Không gian l p 8

4 Không gian L và l2 2 9

§4 Độ đo Radon 9

1 Độ đo có dấu Độ đo phức 9

2 Độ đo Radon 10

§5 Giải tích Fourier 11

1 Hình xuyến T 11 n 2 Biến đổi Fourier 12

3 Giải tích Fourier của độ đo 12

Chương 2 Luật số lớn và Định lý giới hạn trung tâm 14

§1 Các khái niệm cơ bản 14

§2 Luật số lớn 21

§3 Định lý giới hạn trung tâm 25

Chương 3 Ứng dụng của Định lý giới hạn trung tâm 28

§1 Các ứng dụng trong xác suất 28

1 Bất đẳng thức Chebyshev 28

2 Định lý Chebyshev 29

3 Định lý giới hạn trung tâm Liapounov 30

§2 Các ứng dụng trong thống kê 36

1 Phân phối của tỉ lệ mẫu 36

2 Phân phối của trung bình mẫu 36

§3 Mô hình định lý giới hạn trung tâm 41

Kết luận-hướng phát triển 47

Tài liệu tham khảo 48

Lời nói đầu

Trong hoạt động thực tiễn của mình, con người có bắt buộc phải tiếp xúc và

xử lý rất nhiều những hiện tượng ngẫu nhiên, là những hiện tưọng không thể biết trước Một lĩnh vực của Toán học có tên là “Lý thuyết Xác suất” đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật và các quy tắc tính toán các hiện tượng ngẫu nhiên

Ngày nay Lý thuyết Xác suất đã trở thành một ngành Toán học lớn, chiếm vị trí quan trọng cả về lý thuyết lẫn ứng dụng Một mặt Lý thuyết Xác suất là một ngành Toán học có tầm lý thuyết ở trình độ cao, mặt khác nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành Khoa học Kỹ thuật và cả Khoa học Xã hội và Nhân văn Đặc biệt Lý thuyết Xác suất gắn liền với khoa học Thống kê, một khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức và phân tích dữ liệu, thông tin định lượng Trong Xác suất -Thống kê ứng dụng thì theo kinh nghiệm quan sát phân phối chuẩn và tìm cách xấp xỉ phân phối chuẩn là cực kỳ thường gặp Cơ sở để giải thích cho những điều này chính là Các luật

số lớn và Các định lý giới hạn mà đỉnh cao là “Định lý giới hạn trung tâm” Đây là một định lý nổi tiếng và có vai trò hết sức quan trọng Định lý cho kết quả về sự hội tụ yếu của một dãy các biến ngẫu nhiên Trong trường hợp đơn giản nhất, với các biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối đồng nhất có cùng kỳ vọng, phương sai thì Định lý giới hạn trung tâm đã được chứng minh trong nhiều giáo trình Xác suất-Thống kê dưới tên gọi là định lý Chebyshev Nhưng trong trường hợp tổng quát việc chứng minh đòi hỏi rất nhiều kiến thức bổ trợ nên chỉ được trình bày trong một số sách chuyên sâu về Lý thuyết Xác suất

Luận văn của chúng tôi trình bày một cách chứng minh của Định lý giới hạn trung tâm tổng quát dựa vào những thành tựu của lý thuyết độ đo và giải tích Fourier Phần Lý thuyết Xác suất trình bày ở đây có thể coi như một ngành hẹp của giải tích Fourier Hiện nay Định lý giới hạn trung tâm đã có một số cách chứng minh khác nhau (Xem các tài liệu tham khảo [5] trang 69, [6] trang 367) Một phần quan trọng khác của luận văn là nêu các ứng dụng của Định lý Giới hạn trung tâm trong Xác suất

- Thống kê.

Chương 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

§1 ĐỘ ĐO

1 σ-đại số

Cho X là một tập khác rỗng Một họ A các tập con của X gọi là một σ-đại số

nếu thỏa mãn các điều kiện

Cho ξ là một họ các tập con của X Khi đó giao của tất cả các σ-đại số của X chứa ξ là một σ-đại số, ký hiệu là A( )ξ Vì (X)P là một σ-đại số chứa ξ nên A( )ξ

tồn tại, nó là σ-đại số nhỏ nhất chứa ξ nên cũng gọi là σ-đại số sinh bởi ξ

σ-đại số A gọi là miền của độ đo μ

Tập X cùng một σ-đại số Atrên X gọi là một không gian đo được, ký hiệu là

(X, A) Một không gian đo được cùng với một độ đo μ trên nó gọi là một không gian

độ đo, ký hiệu là (X, A,μ) hoặc X

Độ đo μ trên X gọi là hữu hạn nếu (X)μ < ∞ độ đo , μ gọi là σ-hữu hạn nếu

tồn tại dãy { }Xn ⊂ A sao cho μ( )Xn < ∞ với mọi n và n

Định lý 1 Cho (X, A,μ) là một không gian độ đo Khi đó

a) (Tính chất đơn điệu) Nếu E, F∈A, E⊂F thì (E)μ ⊂ μ(F);

b) (Tính chất cộng tính dưới ) Nếu { }Ej 1∞ ⊂ A thì j j

1 1

Với một độ đo μ bất kỳ trên (X, A), ký hiệu N là các tập con có độ đo 0 của

A(gọi là các tập không) Ký hiệu A là họ các tập con của X có dạng A B∪ trong đó

A∈ A và B E⊂ với E ∈ A Khi đó Alà một σ-đại số chứa A Trên Ađịnh nghĩa

Khi đó μ là một độ đo đủ trên A, μ( )A = μ(A) với mọi A∈ A Độ đo μ gọi

là bổ sung đủ của độ đo μ

Cho X là một không gian tôpô Gọi ξ là họ các tập con mở của X Khi đó ta gọi σ-đại số sinh bởi ξ là σ-đại số Borel của X, ký hiệu là B Độ đo trên một X σ-đại

số Borel gọi là độ đo Borel

Trên \ tồn tại duy nhất một độ đo Borel μ bất biến với phép tịnh tiến sao cho

nếu x E∈ nếu x E∈ c

[ ]

( 0,1) 1

μ = Bổ sung đủ của μ gọi là độ đo Lebesgue trên \ , ký hiệu là m Miền của

độ đo m ký hiệu là L

4 Tích của các độ đo Độ đo trên n

Cho (X ,j Aj, ), j 1, ,nμj = là các không gian độ đo Ký hiệu A1⊗ ⊗ Anhay

Độ đo μ gọi là tích của các độ đo μ1, ,μn, ký hiệu là μ × ×μ1 n

Xét trường hợp đặc biệt Xj = và μ = với mọi j= 1,…,n ta có độ đo j m

m m× × trên σ-đại số L⊗ ⊗ L (n lần) của n Bổ sung đủ của độ đo này gọi là

độ đo Lebesgue trên \ , ký hiệu là mn n (hoặc m); miền của độ đo này ký hiệu là L n

(hoặc L)

Nếu A∈B thì A gọi là tập Borel (trong không gian tôpô X) X

Nếu A∈L thì A gọi là tập đo được Lebesgue, n m (A) gọi là độ đo Lebesgue n

của A

5 Hàm đo được Hàm đơn giản

Cho hai không gian đo được (X, )A và (Y,V) Ánh xạ f : X→ gọi là đo Y

được (hay (A, - đo được) nếu V) f (E)−1 ∈ A với mọi E ∈ V

Hàm f trên không gian (X, )A gọi là A - đo được nếu nó là ánh xạ (A,B -đo )

được Hàm f : n → gọi là đo được Lebesgue nếu nó là (L,B )-đo được; gọi là đo

được Borel nếu nó là (B B -đo được n, )

Cho tập con E của (X, )A Ta gọi hàm χ xác định bởi Ε

( )

E

1x0

⎧

χ = ⎨

⎩

là hàm đặc trưng của E

Dễ dàng thấy rằng χ đo được nếu và chỉ nếu E ∈ A Ε

Hàm đo được f trên (X, )A gọi là hàm đơn giản nếu f chỉ nhận hữu hạn giá trị

f= ∑ a χ Cách biểu diễn như vậy gọi là cách biểu diễn tiêu chuẩn của hàm đơn giản f

Nếu f và g là các hàm đơn giản thì f+g và f.g cũng là hàm đơn giản

§2 TÍCH PHÂN

1 Tích phân hàm đơn giản không âm

Cho không gian độ đo (X,A,μ) Ký hiệu L+ là tập các hàm đo được không

âm trên X Nếu ϕ là hàm đơn giản, ϕ có biểu diễn tiêu chuẩn là n j Ej

∫ nếu ϕ là hàm của biến x

Định lý 2 Cho ϕ và ψ là các hàm đơn giản thuộc L+ thì

Tích phân ∫fdμ còn ký hiệu là f∫ hoặc f (x)d (x)∫ μ

tích nếu và chỉ nếu f∫ < ∞ Tập các hàm khả tích ký hiệu là L1 hoặc L (X)1 , hoặc

1

L ( ).μ

Một tính chất P(x) gọi là đúng hầu khắp nơi (h.k.n) x X∈ nếu tồn tại tập

E∈ A có độ đo không sao cho

3 Định lý Fubini

Cho hai không gian độ đo (X, ,μA )và (Y, ,V ν) Với mọi E⊂ × và X Y

x X, y Y∈ ∈ ta gọi x-lát cắt Ex và y-lát cắt E của E là y

( )

x

E = y Y x, y∈ ∈E ; E = x X x, y∈ ∈E Nếu f là một hàm trên X Y× thì ta gọi x-lát cắt fxvà y-lát cắt y

Cho không gian độ đo (X, ,μA ), dãy hàm { }fn và hàm f trên X

Dãy { }f gọi là hội tụ hầu khắp nơi đến f nếu tập n

nếu E hữu hạn nếu E vô hạn,

hội tụ trong L là hội tụ theo chuẩn 1 1

Nếu { }fn là dãy các hàm đo được trên X thì ta nói { }fn hội tụ đến f theo độ đo

p p p

⎩thì ta ký hiệu L X, ,p( A μ) là l p(A) Đặt biệt nếu A= N thì l p( )N ký hiệu là l p Với mọi x∈l p, đặt x(n) x= n Khi đó có thể viết x=( )xn

Dễ thấy x ∈l p nếu và chỉ nếu

1 p p n p

Cho (X,A)là một không gian đo được Ta gọi độ đo có dấu trên A là một

hàm :ν A→ thỏa mãn các điều kiện

ν ≥ với mọi F∈A, F⊂E; gọi là tập âm nếu ν( )F < với mọi F0 ∈A, F⊂E;

gọi là tập không nếu ν( )F = với mọi F0 ∈A, F⊂E

Khi đó tồn tại tập dương P và tập âm N sao cho P∪ =N X, P∩ = ∅ Nếu cặp P’, N

N’ cũng có tính chất đó thì P P ' N N 'Δ = Δ là tập không theo ν

Cặp (P, N) thỏa mãn định lý 9 gọi là một phân tích Hahn của ν Với mọi

E∈ A đặt

Các độ đo ν ν ν gọi lần lượt là biến phân dương, biến phân âm và biến +, ,−

phân toàn phần của ν

Ta có ν = ν −ν , tức là (E)+ − ν = ν+(E)−ν−(E) với mọi E∈ A

Độ đo ν gọi là hữu hạn hay σ-hữu hạn nếu các độ đo và ν+ ν có tính chất −

Ta gọi một độ đo Radon có dấu trên X là một độ đo Borel có dấu mà biến

phân dương và biến phân âm của nó đều là độ đo Radon

Ta gọi một độ đo Radon phức là một độ đo Borel phức mà phần thực và phần

ảo của nó đều là độ đo Radon có dấu

Ký hiệu tập các độ đo Radon phức trên X là M(X) Với mỗi μ ∈M(X) ta định nghĩa

(X)

μ = μ ,

ở đây μ là biến phân toàn phần của μ

nếu μ là độ đo Radon Hơn nữa M(X) là một không gian định chuẩn với chuẩn

μ μ

Định lý 11 Giả sử μ μ ∈n, M( ) và đặt F (x)n = μn( (−∞, x , F(x)] ) = μ −∞( ( , x ] ) Khi đó nếu supn μ < ∞ và n F (x)n →F(x)với mọi x mà F liên tục thì μ → μ n

§5 GIẢI TÍCH FOURIER

1 Hình xuyến T n

Hàm f trên \ gọi là tuần hoàn (chu kỳ 1) nếu f(x+k) = f(x) với mọi n k∈ Z n

Hàm tuần hoàn được xác định khi biết thu hẹp của nó trên hình lập phương đơn vị

Vì vậy trên T có một độ đo cảm sinh bởi độ đo Lebesgue trên Q Ta sẽ n

thường xuyên xét T là một không gian độ đo với độ đo nói trên n

Định lý 12 Nếu ϕ là một hàm đo được trên \ (trên n T ) sao cho (x y)n ϕ + =

(x) (y)

ϕ ϕ và ϕ = thì tồn tại 1 ξ ∈ n (ξ ∈ Z sao cho n) ϕ(x) e= 2 ix.π ξ

2 Biến đổi Fourier

Với mọi f∈L (2 T ta định nghĩa biến đổi Fourier của f là f ∈ln) 2(Z ) xác định n

bởi

n

2 iK.x K

f ( ) a e

−π ξ

−

ξ =

Xét không gian các độ đo Radon phức M( )n Nhúng L1( )n vào M( )n

bằng cách đồng nhất f∈ với độ đo dL1 μ =fdm (tức độ đo

b) Với mọi hàm h đo được Borel và bị chặn ta có

h d( * )μ ν = h(x y)d (x)d (y);+ μ ν

c) *μ ν ≤ μ ν ;

d) Nếu dμ =fdmvà dν =gdm thì d(μ ν =* ) (f *g)dm

f * (x)μ =∫f (x y)d (y)− μ tồn tại với h.k.n x, f *μ ∈ và Lp f *μ ≤p f p μ (Ở đây L p

và h.k.n theo độ đo Lebesgue)

Chương 2

LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Độ đo P trên tập Ω gọi là độ đo xác suất nếu P( ) 1Ω = Nếu P là độ đo xác suất thì không gian độ đo ( , , P)Ω B gọi là một không gian xác suất

Cho ( , , P)Ω B là một không gian xác suất Khi đó các tập con B -đo được của

Ω gọi là các biến cố Với mọi A ∈B, P(A) gọi là xác suất của biến cố A Một hàm X

đo được trên Ω gọi là một biến ngẫu nhiên Hội tụ h.k.n theo P gọi là hội tụ hầu chắc

chắn Hội tụ theo P gọi là hội tụ theo xác suất

Nếu X là một biến ngẫu nhiên và X L∈ p =L ( , P)p Ω thì X gọi là có mômen cấp

p hữu hạn

Cho biến ngẫu nhiên X Ta gọi kỳ vọng của X là

( )

E X =∫XdP Điều kiện để X có kỳ vọng là X L∈ 1

Cho X L∈ Ta gọi phương sai của X là số 2

X L∈ đều có phương sai

Ta cũng thấy rằng σ( )X đo khoảng cách giữa X và trung bình (kỳ vọng) của X Cho (Ω B, , P) là một không gian xác suất, (Ω B là một không gian đo ', ')

được, :ϕ Ω → Ω là một ánh xạ ' (B B - đo được Với mọi E, ') ∈B đặt '

P Eϕ =P ϕ− E

Bổ đề 1 Pϕ là một độ đo trên Ω , gọi là độ đo ngược cảm sinh bởi P

Chứng minh Ta có Pϕ( )∅ =P(ϕ ∅ =−1( ) ) P( )∅ = Nếu 0 { }Ai 1∞ là dãy các tập rời nhau trong 'B thì { 1( ) }

1 i 1

i 1

Vậy Pϕ là độ đo trên 'B

Từ đó, do tính chất tuyến tính đẳng thức đúng với các hàm đơn giản trên 'Ω Vì các hàm đo được là giới hạn của một dãy các hàm đơn giản nên đẳng thức đúng cho trường hợp tổng quát

Nếu X là một biến ngẫu nhiên trên Ω , thì PXlà một độ đo xác suất Borel trên

, được gọi là phân phối của X Hàm

F t =P −∞, t =P X t<

gọi là hàm phân phối của X

Tổng quát, nếu X , ,X1 n là những biến ngẫu nhiên trên Ω , thì có thể xét

X X,Y

Các trường hợp còn lại hoàn toàn tương tự

Nếu { }Xα là một họ các biến ngẫu nhiên sao cho PXα =P ,Xβ ∀α β thì các biến ,ngẫu nhiên Xα được gọi là cùng phân phối Trong trường hợp này, kỳ vọng E X( ) và phương sai σ2( )X của các Xα là độc lập với α

Cho không gian xác suất (Ω B, , P) và biến cố E sao cho P E( )> Khi đó hàm 0

là một độ đo xác suất trên Ω , gọi là xác suất có điều kiện trên E, P F là xác suất của E( )

biến cố F khi biến cố E đã xảy ra

Nếu P FE( )=P F( ) thì xác suất của F không phụ thuộc vào E xảy ra hoặc không xảy ra, ta nói F là độc lập với E Điều đó cũng tương đương với

P E∩F =P E P F Như vậy F độc lập đối với E thì E cũng độc lập đối với F Điều này cũng có nghĩa cả khi P E( )= 0

Họ các biến cố { }Eα α∈A gọi là độc lập nếu

N 1

P Eα ∩ ∩ Eα =∏P Eαvới mọi α1, ,α ∈n A,n∈ N

Chú ý rằng tính độc lập ở đây chặt chẽ hơn tính đôi một độc lập của các biến

Họ các biến ngẫu nhiên { }Xα α∈A gọi là độc lập trên Ω nếu họ các biến cố

{Xα∈Bα}=X−α1( )Bα là độc lập với mọi tập Borel Bαtrong

Để kiểm tra điều này, với mọi α1, ,α ∈ , ta viết n A Xj =Xαj Khi đó

n X 1 n

j X j 1

n

j 1

j k j,k

2 j j 2 j j

( 1 n )( ) ( )

n 1

n

X j 1

k

k 0

n!

x 1 xk! n k !