Nghiên cứu ứng dụng chuỗi fuorier để khảo sát sự phân bố tải trọng của kết cấu nhịp cầu dầm đơn giản

Khi có hai dầm chủ thì sự phân bố tải trọng lên các dầm có thể xác định theo nguyên tắc đòn bẩy quen thuộc, còn khi nhiều dầm chủ tạo thành hệ siêu tĩnh thì việc phân bố tải trọng phụ th

PHẠM MẠNH HƯNG

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG CHUỖI FUORIER ĐỂ KHẢO SÁT SỰ PHÂN BỐ TẢI TRỌNG CỦA KẾT CẤU NHỊP CẦU

DẦM GIẢN ĐƠN

Chuyên ngành : Cầu , Tuynen và các công trình xây dựng khác

trên đường ô tô và đường sắt

Mã số ngành : 2.15.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 01 năm 2007

TÓM TẮT

Theo qui trình AASHTO LRFD 1998, các công thức để xác định hệ số phân bố tải trọng chỉ thích hợp đối với các trường hợp:

- Có chiều rộng mặt cầu không đổi

- Số lượng dầm lớn hơn hoặc bằng 4

- Các dầm đặt song song và có độ cứng gần như nhau

- Phần hẫng của đường xe chạy không vượt qúa 910mm

- Tiết diện ngang phù hợp với bảng cho sẵn

Do vậy đối với các loại cầu không thuộc phạm vi trên thì các công thức xác định hệ số phân bố tải trọng sẽ không phù hợp Và để xác định hệ số phân bố tải trọng thì có rất nhiều phương pháp gần đúng như :

- Phương pháp chuyển vị và phương pháp lực cổ điển

- Phương pháp sai phân hữu hạn

- Phương pháp phần tử hữu hạn

- Phương pháp bản gập

- Phương pháp dải băng hữu hạn

- Phương pháp tương tự mạng dầm

- Phương pháp chuỗi hoặc các phương pháp điều hòa khác

- Phương pháp đường chảy dẻo

Trong nghiên cứu này sẽ trình bày cách xác định hệ số phân bố tải trọng bằng phương pháp chuỗi điều hòa và tổng quan về sự phát triển các công thức xác định hệ số phân bố tải trọng theo qui trình AASHTO 1998 Hệ số phân bố tải trọng nhận được sẽ được so sánh với hệ số phân bố tải trọng theo qui trình AASHTO 1998 và phương pháp phân tích phần tử hữu hạn sử dụng chương trình Midas

ABSTRACT

To be able to use the live load in the American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO) speccifications 1998, however, the following conditions must first be met:

- Deck width = costant

- No.beam >= 4

- Beams are parallel

- Beam have same stiffness

- Roadway portion of overhang <=910mm

- Cross section is similar to cases coverd

The other bridges are not scope of above, the live load distribution factor are not suitable to determine A lot of method of analysis may be used for determining the live load distribution factor as acceptable in the Spec are:

- Classical force and displacement method

- Finite difference method

- Finite element method

- Folded plate method

- Finite strip method

- Grillage analogy method

- Series or other harmonic methods

- Yield line method

This research will present calculating the live load distribution factor by the harmonic decomposition approach and display the background of the live load distribution factor in AASHTO Live load distribution factors derived from the harmonic decomposition approach are compared with the 1998 AASHTO Speccification fomulas and the finite element method using Midas program

Trang

Chương 1 : Tổng Quan 1

1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu 1

1.2 Phạm vi nghiên cứu 2

1.3 Tổng quan các phương pháp 2

1.4 Các nhóm phương pháp tính toán sự phân bố tải trọng 3

1.4.1 Nhóm thứ nhất 4

1.4.2 Nhóm thứ hai 4

1.4.3 Nhóm thứ ba 4

1.4.4 Nhóm thứ tư 5

1.5 Phương pháp đòn bẩy 5

1.6 Phương pháp nén lệch tâm tổng quát 7

1.7 Phương pháp dầm liên tục trên các gối đàn hồi 11

1.8 Các phương pháp mạng dầm 16

1.9 Phương pháp Homberg 21

1.10 Phương pháp phần tử hữu hạn 25

1.11 Cầu dầm - bản 25

1.11.1 Lí tưởng hoá kết cấu và mô hình hoá 29

1.11.2 Phương pháp dầm đơn 31

1.11.3 Phương pháp Courbon 32

1.11.4 Theo phương pháp Hendry-Jaeger 33

1.11.5 Phương pháp Morice-Little 34

Chương 2 : Nghiên Cứu Tìm Hiểu Ưùng Dụng Chuỗi Fuorier Cho Kỹ Thuật 36 2.1 Chuỗi Fuorier 36

2.1.1 Định nghĩa 36

2.2.2 Điều kiện để khai triển thành chuỗi Fourier 36

2.1.3 Khai triển một hàm số bất kỳ thành chuỗi Fuorier 37

2.2 Phản ứng với tải trọng chu kỳ có thể khai triển thành chuỗi Fuorier 37

Chương 3 : Nghiên Cứu Thiết Lập Công Thức Tính Bằng Phương Pháp Chuỗi Điều Hòa 40 3.1 Thiết lập hàm tải trọng 40

3.2 Thiết lập các phương trình chuyển vị 42

Chương 4 : Tính toán và so sánh kết qủa 48 4.1 Tính toán hệ số phân bố tải trọng theo qui trình AASHTO LRFD 1998 48

Fuorier

4.4 Bảng tổng hợp và so sánh kết qủa tính toán 75

Chương 5 : Kết luận 76

5.1 Các kết luận về những kết quả nghiên cứu được 76

5.2 Kiến nghị những vấn đề còn phải tiếp tục nghiên cứu giải quyết 77

Tài liệu tham khảo 78

Phụ lục 80

Phụ lục A : Phân Tích Bằng Phương Pháp Chuỗi Điều Hòa 80 Phụ lục B : Kết Qủa Nội Lực Phân Tích Theo Midas 84 Tóm tắt lý lịch khoa học 118

Chương 1 TỔNG QUAN

1.1 Đặt vấn đề nghiên cứu

Để đánh giá khả năng mang tải hay sử dụng tải trọng để tính toán công trình cầu, chúng ta cần giá trị nội lực lớn nhất để tính toán Đặc biệt là tải trọng

do hoạt tải tác dụng, vì thế nếu tính toán hay ước lượng không chính xác hệ số phân bố tải trọng có thể dẫn đến tình trạng không an toàn cho công trình hoặc qúa an toàn, không kinh tế Tuy nhiên để tính chính xác hệ số phân bố tải trọng trong công trình cầu chúng ta có thể sử dụng các chương trình ứng dụng máy tính như Sap, Midas Nhưng làm thế nào để kiểm tra sơ bộ lại kết qủa tính toán có chính xác hay không (do chúng ta có thể đã nhập sai số liệu hoặc điều kiện bài toán chưa hợp lý ) thì có thể sử dụng các công thức thực nghiệm theo qui trình AASHTO Ngoài các công thức theo qui trình AASHTO có thể sử dụng bất cứ phương pháp phân tích kết cấu nào thỏa mãn các yêu cầu về điều kiện cân bằng và tính tương hợp, sử dụng được mối liên hệ ứng suất – biến dạng cho loại vật liệu đang xét, chúng bao gồm các phương pháp như sau :

- Phương pháp chuyển vị và phương pháp lực cổ điển

- Phương pháp sai phân hữu hạn

- Phương pháp phần tử hữu hạn

- Phương pháp bản gập

- Phương pháp dải băng hữu hạn

- Phương pháp tương tự mạng dầm

- Phương pháp chuỗi hoặc các phương pháp điều hòa khác

- Phương pháp đường chảy dẻo

Theo danh sách được đề cập trên thì tôi thấy phương pháp chuỗi hoặc các phương pháp điều hoà thì ít được đề cập đến, vì thế tôi sẽ sử dụng phương pháp này để nghiên cứu sự phân bố tải trọng trong cầu do hoạt tải xe gây ra, để từ đó có thể so sánh và đánh giá kết qủa thu được với công thức thực nghiệm trong qui

trình AASHTO LRFD 1998 và kết qủa tính toán chính xác bằng các chương trình máy tính

1.2 Phạm vi nghiên cứu

Thời gian thực hiện đề tài ngắn, nên không thể vận dụng được nhiều phương pháp để phân tích, đánh giá hệ số phân bố tải trọng bằng nhiều phương pháp khác nhau Vì thế đề tài chỉ nghiên cứu hệ số phân bố moment trong công trình cầu bằng phương pháp chuỗi điều hòa

1.3 Tổng quan các phương pháp

Như chúng ta đã biết kết cấu cầu làm việc do sự kết hợp của nhiều bộ phận, bộ phận chịu lực chính thường là dầm, vòm hay giàn có chiều dài là chiều dài nhịp cầu Tuỳ theo đặc điểm cấu tạo và chiều rộng cầu trên mặt cắt ngang có thể có số lượng dầm chủ hay giàn chủ nhiều, ít khác nhau Kết cấu nhịp một dầm chủ điển hình là tiết diện hộp một ngăn Loại hai dầm chủ được dùng phổ biến trong các cầu dầm bêtông cốt thép đổ tại chỗ, hoặc cầu dầm thép khi mặt cầu qúa rộng để có thể bố trí hai dầm chủ hoặc một dầm dọc phụ nằm giữa cầu, và đặc biệt là các cầu giàn, cầu vòm, cầu treo đường xe chạy dưới , trong đó hai giàn chủ đặt hai bên lề đỡ mặt đường xe chạy Khi chiều rộng mặt cầu lớn để giảm nhịp của bản mặt cầu, đồng thời tạo cho hệ thành siêu tĩnh, có độ dư thừa, trên mặt cắt ngang thường bố trí nhiều dầm chủ

Khi có một dầm chủ thì dầm luôn chịu toàn bộ tĩnh và hoạt tải Khi có hai dầm chủ thì sự phân bố tải trọng lên các dầm có thể xác định theo nguyên tắc đòn bẩy quen thuộc, còn khi nhiều dầm chủ tạo thành hệ siêu tĩnh thì việc phân bố tải trọng phụ thuộc vào nhiều tham số như chiều dài nhịp, kích thước và độ cứng các bộ phận như dầm dọc, dầm ngang và bản mặt cầu

Đã có nhiều công trình nghiên cứu về sự phân bố tải trọng áp dụng cho các trường hợp khác nhau từ đơn giản đến chính xác

Hầu hết các phương pháp giới thiệu đều dựa trên ba nguyên lí : cân bằng tương thích, và vật liệu được coi là đàn hồi tuyến tính Mục đích của các phương pháp này là xác định sự phân bố tải trọng trên cơ sở độ cứng tương đối của các bộ

phận khác nhau Các phương pháp đi từ đơn giản ( đòn bẩy, nén lệch tâm, gối tựa đàn hồi) đến chính xác (mạng dầm, dải hữu hạn, phần tử hữu hạn) Điều kiện cân bằng được dùng cho mọi phương pháp và mọi phương pháp đều cố đạt được kết qủa thực tế về tính chất làm việc của kết cấu Vì vật liệu được coi là đàn hồi tuyến tính, các phương pháp này không đề cập đến các tính chất sau chảy dẻo

Dựa vào các mô hình tính giả định để phân loại các phương pháp tính toán sự phân bố tải trọng

Nếu lời giải đơn giản thì kết qủa thô nhưng chấp nhận được

Kết cấu cầu là một hệ thống không gian phức tạp Việc tính toán chính xác gặp rất nhiều khó khăn và trong nhiều trường hợp thì lời giải chính xác này chưa chắc đã có ý nghĩa

Trong nhiều trường hợp việc đơn giản hóa mô hình tính tuy rằng cho ra kết qủa gần đúng nhưng độ chính xác vẫn có thể chấp nhận được trong các tính toán

Như trên đã trình bày lời giải của lý thuyết phân bố tải trọng được dựa trên

3 nguyên tắc:

- Cân bằng lực ⇒Σngoại lực =Σnội lực

- Tính tương thích ⇒ chuyển vị các phần tử kê cạnh bằng nhau

- Vật liệu làm việc trong vùng đàn hồi tuyến tính

1.4 Các nhóm phương pháp tính toán sự phân bố tải trọng Theo [8] thì có thể chia thành các nhóm sau :

1.4.1 Nhóm thứ nhất

Tất cả các phương pháp nhóm này đều giả thiết kết cấu nhịp cầu là một hệ thanh Do đó có thể sử dụng các kết qủa của môn” Cơ học xây dựng hệ thanh “ để tính toán sự phân bố tải trọng Giả thiết các sườn dọc của vòm, dầm dọc của kết cấu nhịp cong hay thẳng đều được coi là các thanh dọc Giả thiết các sườn ngang hay sườn chéo là các thanh ngang hay thanh chéo Các phần bản được coi như chỉ chịu lực cục bộ và truyền lên các thanh giả định đỡ nó

1.4.2 Nhóm thứ hai

Đặc điểm của các phương pháp thuộc nhóm này là giả thuyết : coi kết cấu nhịp như hệ thống các thanh thành mỏng có mặt cắt kín hoặc mặt cắt hở Do đó người ta áp dụng các kết qủa nghiên cứu của lý thuyết thanh thành mỏng để đưa

ra các công thức tính toán nội lực

1.4.3 Nhóm thứ ba

Nhóm này gồm những phương pháp dựa trên giả thiết coi kết cấu nhịp là một dạng bản hay hệ thống bản ( bản phẳng, bản chéo, bản có sườn vv .) Các công thức tính toán đều rút ra từ lý thuyết tính toán các loại bản và vỏ Điển hình trong các nhóm này là :

Phương pháp bản có sườn trực giao

Phương pháp bản chéo hoặc bản thẳng, không có sườn

Phương pháp của tác giả U-lix-ki

Các phương pháp này đưa ra những số liệu khá phù hợp với số liệu thí nghiệm Tuy nhiên các công thức để xác định hệ số phân bố tải trọng rất phức tạp và hạn chế tính toán trong nhiều trường hợp Và mắc phải một số khuyết điểm :

- Trong tính toán không gian của kết cấu nhịp không làm đến cùng và không mở rộng đến bản phần xe chạy; điều này lại tính riêng theo phương pháp gần đúng

- Sự hạn chế tỷ số của các kích thước chính để lập ra bảng và không có khả năng tính toán độ cứng của các liên kết tương hỗ của các cấu kiện lắp ghép có kết cấu khác nhau

- Không có chỉ dẫn sử dụng thích hợp trị số độ cứng chống uốn tương đối mà phụ thuộc vào người thiết kế

1.4.4 Nhóm thứ tư

Trong nhóm này, kết cấu nhịp được mô hình hoá với rất ít giả thiết nghĩa là mô hình rất gần giống kết cấu thực Đó là phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phân dải hữu hạn, phương pháp phần tử biên…dùng để tính toán nội lực và chuyển vị của kết cấu Các phương pháp này đều rất phức tạp và chính xác cao, có khả năng xét được cả tính chất phi tuyến của vật liệu và sự có mặt của cốt thép trong bê tông Để sử dụng các phương pháp này đều phải có máy tính điện tử

Trong thực tế thiết kế cầu ở Việt Nam theo qui trình trước đây, các phương pháp nhóm 1 được sử dụng rộng rãi ở mọi nơi và trong nhiều trường hợp đã đảm bảo đủ mức độ chính xác thực tế Các nhóm phương pháp khác nói chung có thể chính xác hơn nhưng muốn áp dụng phải có máy tính điện tử thích hợp hoặc các bảng tra đặc biệt

1.5 Phương pháp đòn bẩy

Nếu kết cấu nhịp chỉ có 2 hay 3 dầm chính hoặc có nhiều dầm chủ nhưng độ cứng của liên kết nói chung với nhau là nhỏ so với độ cứng dầm dọc chủ, có thể giả thiết kết cấu ngang là dầm đơn giản hoặc dầm hẫng gối chốt lên dầm dọc chủ và bị cắt rời trên các dầm dọc chủ đó Như vậy khi đặt tải lên đoạn kết cấu ngang gối lên 2 dầm dọc chủ nào thì chỉ 2 dầm dọc chủ đó tham gia chịu lực theo nguyên tắc đòn bẩy nghĩa là theo nguyên tắc tính phản lực gối của dầm giản đơn (là dầm ngang)

Sơ đồ tính tốn theo phương pháp địn bẩy

Theo hình vẽ trên, phản lực gối A của dầm ngang tức là lực tác dụng lên dầm chủ A có đường ảnh hưởng RA Khi đặt các lực Pi lên đường ảnh hưởng đó ta được trị số của RA :

i i

yi : tọa độ đường ảnh hưởng phản lực RA tại các vị trí đặt tải

Đặt g=∑y i là hệ số phân bố ngang nghĩa là hệ số phân phối của các lực Pi

theo hướng ngang cho dầm A phải chịu

Tuy nhiên để thuận tiện cho tính toán nội lực lớn nhất tại mặt cắt nào đó của dầm dọc chủ khi xét đến hệ số phân bố ngang của các hoạt tải đối với dầm nên công thức xác định hệ số phân bố ngang sẽ là :

( +μ : hệ số xung kích của tải trọng

n: hệ số tải trọng

Công thức (4) xét q là tải trọng tương đương của một đoàn xe, nhưng công thức (2) lại xét P là lực của một hàng bánh xe Do đó phải thay q bằng q/2 trong công thức (4) hoặc là phải thêm hệ số 1/2 vào vế phải của công thức (2)

Tuy nhiên việc xác định sự phân bố ngang của hoạt tải thông qua hệ số phân bố ngang sẽ tính được theo phương pháp đòn bẩy chỉ thích hợp khi cầu có 2 hoặc 3 dầm chủ Đối với cầu có nhiều dầm chủ thì giả thiết của phương pháp này không phù hợp với sự làm việc thực của kết cấu nhịp, nên không áp dụng được 1.6 Phương pháp nén lệch tâm tổng quát

Khi tính toán kết cấu nhịp BTCT của cầu vượt và cầu cạn có thể chấp nhận giả thiết rằng, sự phân bố ứng lực (tải trọng thẳng đứng, moment xuắn) giữa các dầm (bản) xảy ra chỉ tại mặt cắt ngang, tại đó lực tập trung đặt lên

Điều này có nghĩa rằng các dầm (bản) dường như được chia cắt bằng các khe hở dọc trên suốt chiều dài dầm (bản), ngoại trừ mặt cắt ngang có đặt tải trọng

Khi di chuyển lực đơn vị dọc theo mặt cắt ngang và xác định với mỗi vị trí đặt tải lực truyền lên từng dầm bản, có thể bằng cách như vậy xác định được đường ảnh hưởng của các ứng lực này

Sau khi chất tải, các đường ảnh hưởng bằng hoạt tải có thể tính các hệ số phân bố ngang

Việc chấp nhận giả thiết của phương pháp hệ số phân bố ngang cho phép thay việc tính kết cấu không gian phức tạp bằng việc xác định khá đơn giản hệ số phân bố ngang ở một số mặt cắt ngang rồi tính rồi tính kết cấu 1D

Phương pháp nén lệch tâm tổng quát cho phép xét một loạt những đặc điểm của dầm (mà pp NLT truyền thống chưa xét đến), đó là : độ cứng chống xoắn, điều kiện kê dầm khác nhau …

Để thiết lập công thức ta xét một mặt cắt ngang của kết cấu nhịp có các dầm có đặc điểm khác nhau Chọn một điểm O tuỳ ý làm gốc toạ độ, tải trọng ngoài P tác dụng ở trên mặt cầu Dưới tác dụng của P, mặt cắt ngang sẽ lún xuống và xoay, do đó sẽ có một lực Hi và moment xoắn Hki truyền cho mỗi dầm

Nếu tách một dầm ra khỏi KCN: dưới tác dụng của lực H*i =1 nó bị võng một đoạn Ki, còn khi tác dụng moment xoắn H*ki =1, dầm bị xoay trong mp ngang một góc Πi

XÁC ĐỊNH HSPBN

+ Xác định vị trí y trọng tâm mc ngang KCN đối với điểm O:

Gọi ai là khoảng cách từ O đến dầm i Chuyển lực P đến vị trí trọng tâm, theo điều kiện cân bằng có :

P H

j i

K

K H

H =

Thay (3) vào (2), biểu thức (1) ta có :

P K

H

n

j

Py K

a K

H

n

i j

K K

P H

1

Moment xoắn T tác dụng tại trọng tâm của kết cấu nhip là:

T a H

j

j j

i

i i n kn j

kj i ki

a

K H a

K H a

K H H

j i j i

K a

K a H

j

j j kj j

K

a H

i

i j kj i j

j i

j

j j kj i

K

a H K a

K a K

a H

kj

K a

T H

1

2

)

1(

(14)

Thay (14) vào (12), lực Hj truyền lên dầm j do moment T đặt tại trọng tâm:

∑

=

+Π

j j

K

a K

Ta H

1

2

)

1(

j n

j j

K

a K

Ta K

K

P H

1

2 1

)

1(

Phương pháp nén lệch tâm tổng quát cho phép tính kết cấu nhịp thẳng, xiên, cong với điều kiện là hệ kết cấu ngang rất cứng (0,1<I/It<10 và I/Ip<20) Chẳng hạn có ít nhất là 3 dầm ngang trong một nhịp, các dầm ngang đều cao ít nhất 0,6 chiều cao dầm chủ, tỷ số giữa chiều rộng kết cấu nhịp với chiều dài nhịp không lơn hơn 0,5(B/L<0.5)

Khi các dầm chủ có cùng độ cứng, tung độ đường ảnh hưởng để xác định hệ số phân bố tải trọng theo phương pháp nén lệch tâm được tính theo công thức có dạng sau :

i trai

i

a

ea n y

i phai

i

a

ea n y

Trong đó :

n: số lượng dầm chủ trong mặt cắt ngang kết cấu nhịp

e: Khoảng cách từ điểm đặt lực đơn vị P =1 ( từ vị trí tung độ cần tính) đến trục giữa của mặt cắt ngang nhịp Khi tính ytrái và yphải thì lấy e=ai/2

ai : Khoảng cách giữa các đôi dầm đối xứng nhau thứ j

m: Số lượng các đôi dầm đối xứng nhau

Công thức tổng quát xác định hệ số phân bố ngang vẫn sẽ là :

g= ∑y i

21

1.7 Phương pháp dầm liên tục trên các gối đàn hồi

Trong trường hợp mà kết cấu ngang của kết cấu nhịp không đủ cứng như ở các nhịp cầu không có dầm ngang thì ảnh hưởng áp lực lên các dầm chủ sẽ được tính theo phương pháp dầm liên tục trên các gối đàn hồi

Giả thiết kết cấu ngang được coi như một dầm liên tục trên các gối đàn hồi, bởi vì gối đàn hồi ở đây chính là các dầm chủ cho nên hệ số đàn hồi của các gối đó được xác định căn cứ vào độ võng của các dầm chủ.Đường ảnh hưởng áp lực lên các dầm chủ được tính và vẽ như đường ảnh hưởng của các phản lực gối đàn hồi của dầm liên tục Có thể dùng phương pháp thông số ban đầu hoặc phương trình 5 moment để lập ra các công thức tính toán

Kết qủa phản lực gối đàn hồi thứ n do tải trọng đơn vị P=1 đặt tại gối thứ i gây ra là :

)(

3

2 2

1 0 i iα iα iα

P i

3

2 2 1 0 B B α B α B α

d D

Tung độ ở đầu công xon của đường ảnh hưởng phản lực gối là :

M n k P n P

R . = .0 + .0Trong đó :

2 2 1

0 C α C α C α

α : hệ số phụ thuộc tỉ số độ cứng của dầm chính và kết cấu ngang

p I E

d

n∇

=

3

αI’: độ cứng tính dải dọc cầu của kết cấu ngang

I’=I/a ( tỷ số giữa moment quán tính của một dầm ngang với khoảng cách giữa các dầm ngang) Đối với cầu không có dầm ngang I’ chính là moment quán tính của phần bản mặt cầu có mặt cắt hình chữ nhật và rộng 1m

p: độ võng dầm chủ do tải trọng p=1 T/m phân bố đều theo nhịp dầm chủ, nhưng chưa kể đến sự phân bố đàn hồi của kết cấu ngang

Ai, Bi, Ci: các hệ số phụ thuộc vào số lượng nhịp của dầm ngang liên tục và phụ thuộc vào số hiệu gối đàn hồi

Trong thực tế tính toán đã có sẵn các bảng tra ra các tung độ Rn.i và tuỳ theo giá trị của hệ số α và số nhịp của dầm ngang liên tục

Nếu số lượng nhịp của dầm ngang nhiều hơn 8 thì ảnh hưởng của các nhịp tiếp theo là nhỏ và có thể bỏ qua Sau khi đã vẽ được các đường ảnh hưởng áp lực lên dầm chủ thì việc đặt tải trọng và tính toán hệ số phân bố ngang tương tự như khi dùng các phương pháp đỏn bẩy và phương pháp nén lệch tâm Sau khi xác định hệ số α xuất phát từ độ võng ∇p ở giữa nhịp dầm dọc và xác định hệ số phân bố ngang của của các lực đối với các dầm dọc đang xét bằng phương pháp đã nêu, có thể giả thiết rằng g (hệ số phân bố ngang) trên các gối dầm dọc phải được xác định theo phương pháp đòn bẩy Sự thay đổi g trên đoạn giữa gối và điểm giữa của dầm dọc phải theo qui luật đường cong nào đó, tuy vậy để dễ dàng tìm g đối với lực đặt tại bất cứ tiết diện nào của dầm dọc, có thể dùng qui luật thay đổi theo hình sau:

Ở đây các nhánh của đường cong thay bằng những đường thẳng Để dễ dàng vẽ các đường ảnh hưởng của áp lực gối người ta lập bảng tra cho trị số P

Trong đa số các cầu ô tô hiện đại kiểu dầm, với một vài dầm ngang trong khẩu độ Hệ số α ít khi vượt trị số 0,05 Đối với cấu kiện của kết cấu nhịp có rất

ít dầm ngang, hay không có cái nào khi mà vai trò phân bố áp lực của kết cấu chỉ

do bản phần xe chạy đảm nhận, hệ số α sẽ thay đổi từ 1,0 đến 1,5

Khi có dầm ngang cứng và đặt dày, hệ số α thay đổi trong phạm vi 0<α <0,005 Trong trường hợp này các đường ảnh hưởng của áp lực gối gần như là đường thẳng, khi α → 0, phương pháp gối đàn hồi trở thành phương pháp nén lệch tâm

Tương tự như các phương pháp trước khi khi đã có đường ảnh hưởng áp lực gối hệ số phân bố ngang sẽ được xác định theo công thức :

1.8 Các phương pháp mạng dầm

Khi tính toán theo phương pháp mạng dầm ta xem kết cấu nhịp của dầm như một mạng dầm nghĩa là như một hệ dầm ngang và dầm dọc giao nhau Bản của phần xe chạy được đưa vào trong thành phần của tiết diện dầm Tải trọng phân bố giữa các cấu kiện của kết cấu nhịp tùy theo độ cứng của dầm ngang và dầm dọc của mạng, số lượng của chúng, khoảng cách đặt chúng và độ lớn của nhịp

Vì phương pháp dầm đơn của AASHTO và phương pháp đòn bẩy là các phương pháp gần đúng, để có kết qủa chính xác và tin cậy hơn Có thể dùng các phương pháp mạng dầm để phân tích chính xác hơn nhằm :

- Tránh các hệ số phân bố đơn giản dựa trên phương pháp dầm đơn

- Xét đến ảnh hưởng của sự thay đổi các tham số đến ứng xử của hệ ( tính liên tục, tính chất vật liệu, vết nứt và chuyển vị gối)

- Nhiều mô hình chính xác hơn đã được phát triển trong qúa trình thiết kế để có thể xác định chính xác các ứng xử trong toàn hệ

Một trong các mô hình toán học tốt nhất cho bản mặt cầu là mô hình tấm mỏng của Timoshenko và Woinowsky 1959, Ugural 1981

D

x p y

w y

x

w x

∂

∂

∂+

∂

∂

=

∇Trong đó :

w : chuyển vị thẳng đứng

x : tọa độ ngang

y : toạ độ đứng

p : tải trọng thẳng đứng

D : độ cứng của tấm

v : hệ số poisson

t : chiều dày tấm

E : môđun đàn hồi

Phương trình trên dùng cho bản thẳng hướng Có nhiều dạng thích hợp cho tấm thể hiện tính trực hướng, do cốt thép theo phương dọc và ngang khác nhau Phương trình trên dựa trên các giả thiết cơ bản : vật liệu là đàn hồi tuyến tính, tiết

diện biến dạng phẳng, bản đẳng hướng, bỏ qua ứng suất thẳng đứng do tải trọng và biến dạng nhỏ so với kích thước tấm

Lời giải tường minh của phương trình chỉ giới hạn trong vài ttrường hợp trên cơ sở đơn giản hoá các điều kiện biên và tải trọng Có cả lời giải dùng cho hệ có dầm đỡ Như vậy đã dùng kỹ thuật xấp xỉ hoặc phương pháp số để giải phương trình, phương pháp phổ biến nhất gồm phương pháp mạng, phần tử hữu hạn, và dải hữu hạn

Theo phương trình trên, khi xét số hạng đầu tiên và bỏ qua các số hạng ngang, phương trình trở thành :

D

x p x

)(

4 4

x EI

x w

w x

w

4

4 4

4

∂

∂+

a) Mô hình mạng; b) Các phần tử giao nhau liên tục;

c) Các phần tử giao nhau có độ xoay liên tục; d) Độ tự do trong mô hình mạng

Tại các điểm giao nhau của dầm chỉ có, chỉ có lực tương giữa các phần tử là lực thẳng đứng Loại liên kết này làm đơn giản mô hình mặt cầu, là bản liên tục Trong bản liên tục hiện tượng xoay do uốn của phương này tạo xoắn của phương vuông góc với nó Xét điểm nút của của mạng như hình ( c ), ở đây nút là liên tục xoay theo mọi phương, tức là chuyển vị thẳng đứng và hai chuyển vị xoay Loại liên kết này, kết hợp với phần tử có cả độ cứng chống uốn và xoắn, nó giống bản liền khối và do đó mô hình sát thực hơn Loại mô hình này gọi là mạng

Mô hình mạng phổ biến từ những năm 1960 cùng với sự tiến bộ của máy tính kỹ thuật số Vì đã hiểu rõ phương pháp phân tích theo độ cứng ( hoặc phương pháp chuyển vị), các nhà nghiên cứu tìm biện pháp thích hợp để mô phỏng tính liền khối của các phần tử khung Và mô hình mạng là một biện pháp.Tuy nhiên độ cứng phần tử trong mô hình mạng chỉ đúng khi bản liền khối chịu một loại tải trọng, khi đó chuyển vị chuyển vị của bản liền khối mô tả bằng trình như trên Lí

do của sự khác nhau :

- Chuyển vị trong mạng có khuynh hướng bất thường ( không trơn chu ) so với bản liền khối

- Moment trong mạng là hàm số của độ cong dọc theo dầm

Trong tấm moment là hàm số của độ cong theo hai phương vuông góc do hiệu ứng Poisson Do ảnh hưởng này nhỏ, và phương pháp mạng tỏ ra là phương pháp thích hợp

Theo Hambly (1961) đã soạn thảo ra phương pháp mô hình mạng và đã kiến nghị :

- Tổng số các phần tử có thể thay đổi rộng rãi, có thể là một phần tử theo phương dọc nếu cầu hẹp và ứng xử giống nhau như dầm hoặc có thể mô hình hoá thành một số phần tử dầm kết hợp với các phần tử bản khi mặt cầu rộng

- Các phần tử không cần đặt hơn đến ba lần chiều dày bản

- Khoảng cách của các phần tử ngang cần đủ nhỏ để phân bố ảnh hưởng tải trọng tập trung của bánh xe và phản lực Ở lân cận các tải trọng tập trung, khoảng cách có thể giảm để tăng độ chính xác

Tính chất tiết diện ngang của phần tử thường dựa trên tiết diện nguyên hoặc tiết diện không nứt và được tính toán cho một đơn vị chiều dài Các tính chất này được nhân với khoảng cách từ tim đến tim của phần tử để được tính chất phần tử, sau đây gọi là chiều dài tuỳ thuộc Yêu cầu có hai tính chất cho mô hình mạng : moment quán tính uốn và hằng số xoắn Moment quán tính của phần tử bản được xác định bằng :

1.9 Phương pháp Homberg

Đây là một trong những phương pháp đã ứng dụng các hàm lượng giác để xác định hệ số phân bố tải trọng Khi tính toán cầu có tiết diện ngang nhịp yếu ta dùng phương pháp của Homberg và Weinmeister Trong đó coi kết cấu nhịp là một hệ dầm, gồm có dầm chính và dầm ngang Dầm ngang làm việc như các dầm liên tục đặt trên các gối tựa đàn hồi (dầm chính) Khi đó độ cứng của kết cấu nhịp xét trên 1m dài cũng tính tương tự như trong phương pháp dầm liên tục trên các gối tựa đàn hồi Khi trong kết cấu nhịp có dầm ngang thì I’=I/a (trong đó a là khoảng cách giữa các dầm ngang)

Trong kết cấu nhịp không có dầm ngang, thì I’ là moment quán tính của bản mặt cầu trên 1m rộng

Phản lực gối của các dầm ngang qui ước liên tục đặt cách nhau 1m được xác định theo bảng tra sẵn tuỳ thuốc độ cứng của hệ :

I

I l

3

8

'α

= (1) Trong đó z : trị số nghịch đảo của hệ số α tính theo phương pháp dầm liên tục trên các gối tựa đàn hồi

Trong phương pháp của Homberg và Weinmeister có đề xuất các công thức mặt ảnh hưởng của nội lực M và Q cũng như độ võng của các dầm chính

Để lấy riêng, ta tách dầm chính đang xét ra khỏi kết cấu còn lại Nội lực trong dầm bằng tổng nội lực trong các dầm giản đơn thông thường, không liên kết với phần còn lại của hệ, cộng với nội lực gây ra bởi các lực tương hỗ giữa dầm đó đối với cả hệ dầm Tất nhiên nếu tải trọng không đặt trên dầm ngang đang xét thì số hạng thứ nhất của tổng sẽ không có

Cho rằng lực dầm ngang tác dụng lên dầm dọc (các lực nút) biến đổi theo chiều dài nhịp l theo đường hình sinns – sin n x

l

π Đường đó được chọn sao cho tổng của tất cả các lực nút bằng đơn vị ( tức bằng tải trọng tác dụng ) ứng với bất kỳ vị trí nào của tải trọng đơn vị

Khi tìm được tải trọng bằng 1 trên các dầm ngang đặt tại những điểm có :

1sin x=

l

tức là tại điểm giữa nhịp đối với sin x=1

l

nπ , tại 1/4 nhịp đối với x

l

π2sin và tại

1/6 nhịp đối với x

l

π3sin , thì các lục nút sẽ bằng :

k

C1 = 1 và C ii =B kk −1 (2)

Trong đó :

i: gối của rầm ngang trên đó có lực bằng 1

k: gối khác bất kỳ cũng của dầm ngang đó

Bik và Bkk : các phản lực gối, tra bảng phụ lục, ứng với độ cứng z(n) của hệ với số nửa bước sóng khác nhau của biểu đồ hình sinus

z n

l

z : xác định theo (1)

n: số nửa bước sóng

Nếu tải trọng bằng 1, đứng ở tiết diện (u) của dầm (k) thì các lực nút tác dụng lên dầm i sẽ là :

) ( ,ku 2 sin sin ik n

l n x l

n l

Còn moment và lực cắt sẽ là :

) ( 2

2

0 , ,ku ix ku 2 1 sin sin ik n

l n x l

n n

l M

π ∑+

) (

0 , ,ku ix ku 2 1cos sin ik n

l n x l

n n Q

π ∑+

Các biểu thức (5) và (6) là phương trình của mặt ảnh hưởng K, M và Q V.M Pankơratov (Viện thiết kế đường Liên bang) đề nghị đặt tải lên kết cấu nhịp với các dải tải trọng đơn vị bằng 0,5ktđ, trong đó ktđ là tải trọng tương đương tương ứng Muốn vậy ta tính diện tích của mặt ảnh hưởng M và Q bằng các mặt phẳng đi qua các dầm chính như bảng sau:

Nội lực Tiết diện Công thức tính diện tích mặt ảnh hưởng của M và Q

2 2

037,0

0267,0707

,0

432

−

= ) 1 ( 3

2

sin

4 2

) (

n ik

xC l

l x l

πPhản

lực gối

2

016,0

4

2l + l C ik n= + C ik n=

πl/2

) 2 ( 2

1

8l − C ik n=

πl/4 22 [0,027 ( 1 ) 0,135 ( 3 )]

32l + l C ik n= − C ik n=

π3l/4 22 [1,21 ( 1 ) 0,023 ( 3 )]

x

})

13

(cos3

1.3cos31

)12

(cos2

1.2cos21

)1(cos

cos{

22

) 3 (

) 2 (

) 1 ( 2

n ik

n ik

n ik

C x l

x l

C x l

x l

C x l

x l

l l x

ππ

ππ

ππ

π

Khi dùng các công thức này trước hết ta tính độ cứng của hệ dầm đối với các số nửa bước sóng n=1, 2, 3 Sau đó tìm phản lực gối của dầm ngang liên tục thep các bảng tra và từ đó tính các trị số Cik(n) Biết Cik có thể tính các tung độ đ.a.h Mix và Qix tại tiết diện đang xét của dầm chính theo bảng trên Các tung độ này sẽ cấu tạo nên đ.a.h để sau đó được xếp tải với các lực tập trung 0,5Ktđ và đoàn người

Số hạng đầu trong công thức sẽ bằng 0, nếu tải trọng không đặt đúng dầm đang xét

Trong các công thức tiếp theo Homberg đã nghiên cứu hệ dầm đã tính cả độ cứng xoắn của tất cả các dầm và còn phát triển phương pháp tính cho những hệ với các dầm có độ cứng thay đổi và cho cả các loại dầm liên tục Để tính toán đã lập ra các bảng biểu phụ Tuy nhiên phải thấy rằng tính toán không không

gian theo phương pháp này rất phức tạp và dễ sai xót Khi dùng máy tính điện tử có thể dùng các phương pháp tính toán không gian chính xác cho phép tính được các trị số M và Q chính xác hơn

1.10 Phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn là một trong những phương pháp số mạnh nhất và hiện đại nhất trong thiết kế công trình Nó có thể mô phỏng bất ký kết cấu nào cần thiết Ví dụ phương pháp phần tử hữu hạn có thể thích hợp với phương trình

) (

) (

4 4

x EI

x w dx

y

D

x p y

w y

x

w x

w

4 2 2

4 4

4

∂

∂+

∂

∂

∂+

1.11 Cầu dầm - bản

Cầu dầm - bản là các loại cầu thông dụng nhất Chúng được làm bằng một vài vật liệu như sau :

Vật liệu dầm Vật liệu bản

Thép Bêtông lắp ghép Thép Gỗ Bêtông đổ tại chỗ Bêtông đổ tại chỗ

Bêtông lắp ghép Bêtông đổ tại chỗ Bêtông lắp ghép Bêtông lắp ghép Gỗ Gỗ

Sơ đồ cầu dầm - bản :

Đối với cầu dầm – bản, nhiệm vụ chính của bản là tạo mặt cầu xe chạy và truyền tải trọng lên các dầm Sự truyền tải trọng thể hiện trên hình (b) Tải trọng gây cho hệ bản dầm bị võng như hình (c) Theo giả thiết tuyến tính, tải trọng lên mỗi dầm tỷ lệ với chuyển vị Rõ ràng dầm gần vị trí tác dụng tải trọng trong tất cả các dầm phải bằng tải trọng tác dụng Tải trọng mỗi dầm chịu là hàm số của độ cứng tương đối của các bộ phận của hệ dầm bản Hai bộ phận chính là bản và dầm, các bộ phận khác là khung ngang, dầm ngang và gối Ở đây chỉ xét đến bản và dầm, vì các bộ phận khác ảnh hưởng ở mức độ ít hơn

Aûnh hưởng của độ cứng tương đối được thể hiện bằng cách so sánh hai hệ dầm bản trên hình (d) và (e) Hệ trên hình (d) có bản tương đối mềm so với dầm nên độ võng lớn tại điểm dưới tải trọng, còn độ võng của các dầm khác tương đối nhỏ hơn Bây giờ xét hệ trên hình (e) trong đó bản cứng hơn trường hợp trước, tải trọng phân bố lên các dầm đều nhau hơn, do đó tải trọng lên mỗi dầm nhỏ hơn trên hình (d)

Mục đích của phân tích kết cấu là xác định sự phân bố nội lực trong hệ Phương pháp nào cũng thể hiện độ cứng tương đối của bản và dầm

Xét một dầm giản đơn Giả sử dầm đủ điều kiện để phân tích dẻo Vì là dầm giản đơn hệ được coi là không dư thừa Giả thiết dầm có tải trọng bị oằn và mất khả năng chịu lực, sau đó bất kỳ tải trọng chất thêm nào cũng do các dầm bên cạnh chịu Nếu tiếp tục tăng tải trọng thì các dầm bên cạnh cũng bị oằn và tải trọng chất thêm sẽ do các dầm chưa oằn chịu Nếu bản có khả năng truyền tải

trọng phụ thêm, thì qúa trình tiếp diễn đến khi tất cả các dầm đều đạt trạng thái chảy dẻo và hình thành cơ cấuchuyển động ở mỗi dầm Tuy nhiên dầm có thể bị phá hoại không dẻo, ví dụ do mỏi hay mất ổn định, và trạng thái giới hạn đang xét quan hệ tới khả năng làm việc của cầu và là tải trọng sử dụng không hệ số Cả hai lí do trên đều quan trọng, do đó thường dùng mô hình đàn hồi tuyến tính để có sự phân bố tương đối hợp lí cho nội lực trong các trạng thái giới hạn cường độ, sử dụng và mỏi

Sau đây là một vài phương pháp dựa trên phân tích đàn hồi tuyến tính được dùng trong thực tế và có thể dùng để tính hiệu ứng tải trọng cho mọi trạng thái giới hạn

1.11.1 Lí tưởng hoá kết cấu và mô hình hoá

Xét hệ dầm bản như hình (a) Hệ có thể mô hình hoá thành hệ 1, 1.5, 2, 2.5 hoặc ba chiều Hệ một chiều thể hiện trên hình (b) Hệ một dầm đơn có thể mô hình hóa như vậy

Vấn đề là tải trọng được phân bố lên các dầm thế nào Trước đây thường áp dụng phương pháp xác định theo kinh nghiệm chuyển từ hệ 3D sang hệ 1D Tóm lại là tải trọng phân bố lên dầm được nhân với một hệ số phụ thuộc vào độ cứng tương đối của bản và dầm Phương pháp này gọi là phương pháp dầm đơn vì chỉ có một dầm chủ được coi như đại diện cho toàn cầu chịu tài như một dầm đơn

Mô hình 2D trên hình ( c ), trong hệ này đã loại bỏ kích thước theo chiều đứng Mô hình gồm bản mỏng và dầm được xem như nằm trong mặt phẳng của bản Một mô hình 2D khác là một khung phẳng thể hiện trên hình (e) Thông thường tải trọng phân bố lên khung bằng một hệ số phân bố theo phương pháp dầm đơn

Trong hệ 1.5D hệ số phân bố được thiết lập trên cơ sở hệ 2D nhưng tác động của dầm được thiết lập trên cơ sở hệ 1D

Hệ 3D trình bày trên hình (d), ở đậy thể hiện kích thước cả ba chiều Các bộ phận thứ yếu như khung ngang, dầm ngang …cũng được xét đến, mô hình này chính xác nhất, đòi hỏi thời gian và máy tính

Hệ 2.5 D được dùng cho dầm đơn kết hợp với các bộ phận khác và hệ phụ Hệ như vậy thể hiện trên hình (f) trong đó một dầm hộp cong và trụ được mô hình với khung không gian

1.11.2 Phương pháp dầm đơn

Khi tính hệ số phân bố tải trọng bằng mô hình không gian, hệ số phân bố tải trọng được xác lập bằng cách phân tích hệ bằng phương pháp chính xác để xác định nội lực trong các dầm Moment max được xác định theo phương pháp giải tích hoặc phương pháp số được ký hiệu Mchính xác Tiếp theo lấy tải trọng đó tác dụng lên một dầm giản đơn và tính toán theo hệ 1D Moment max nhận được ký hiệu là Mdầm Hệ số phân bố tải trọng sẽ được xác định như sau:

D

S

g =

Trong đó

S: Khoảng cách giữa các dầm

D: Hằng số phụ thuộc vào loại cầu, số làn xe chất tải

Tuy công thức trên là công thức đơn giản và dễ dùng, nhưng không luôn luôn chính xác khi tải trọng tác dụng lên dầm trong toàn hệ Sau đó để chính xác hoá phương pháp và đã được sửa đổi đưa vào trong tiêu chuẩn AASHTO LRFD

1998

1.11.3 Phương pháp Courbon

Theo phương pháp của Courbon thì phản lực Ri là hệ số phân bố tải trọng cho dầm i Phản lực Ri cho hệ số phân bố tải trọng cho dầm i và được tính toán như sau :

Trong đó :

P : Hoạt tải bánh xe

Ii : Moment quán tính của dầm dọc i

di : Khoảng cách từ dầm I tới trục của cầu

e : Độ lệch tâm của hoạt tải

Phương pháp này thích hợp khi các dầm dọc được đối xứng trên mặt cắt ngang, và tỉ lệ của chiều dài nhịp và chiều rộng cầu thoả ( 2<L/B<4)

1.11.4 Theo phương pháp Hendry-Jaeger

Hendry và Jaegar cho rằng các dầm ngang khi phân tích được thay thế bởi độ cứng phân bố trung bình liên tục Hệ số phân bố tải trọng có mối liên hệ hệ thống bản mặt cầu, phụ thuộc vào ba thông số không thứ nguyên sau :

Trong đó :

n : Số dầm ngang

h : Khoảng cách giữa các dầm dọc

EI, CJ : Độ cứng chống uốn và xoắn của dầm

EI1, EI2 : Độ cứng chống uốn của dầm trong và dầm ngoài

Thông số A là một hàm của tỉ lệ giữa nhịp với khoảng cách của các dầm dọc và tỉ lệ của độ cứng theo phương ngang và phương dọc Thông số F được xác định thông qua độ cứng chống xoắn theo phương dọc cầu

Dựa vào thông số A hệ số phân bố tải trọng m0 và m∞ được xác định từ biểu đồ Hệ số phân bố tải trọng tương ứng giá trị thông số F có thể được xác định bằng cách nội suy sau :

1.11.5 Phương pháp Morice-Little

Morice và Little đã áp dụng lý thuyết tấm đối với hệ thống cầu bêtông Đặc tính uốn của cầu bản xác định dựa theo thông số θ, được xác định dựa theo phương trình :

Trong đó :

i : moment tương đương của bản theo phương dọc trên đơn vị bề rộng = I/p

I : Moment quán tính của dầm dọc

p : Chiều dài nhịp

j : moment tương đương của bản theo phương ngang trên đơn vị bề rộng = J/q

J : Moment quán tính của dầm ngang

q : Chiều dài dầm ngang

Đặc tính xoắn của bản mặt cầu được xác định thông số α như sau :

i0 : Độ cứng chống xoắn đơn vị theo phương dọc cầu =I0/p

I0 : Độ cứng chống xoắn theo phương dọc cầu

j0 : Độ cứng chống xoắn đơn vị theo phương ngang cầu =J0/q

J0 : Độ cứng chống xoắn theo phương ngang cầu

E, G : Mođun đàn hồi và mođun độ cứng của bản mặt cầu

Dựa vào thông số α hệ số phân bố tải trọng m0 và m1 được xác định từ biểu đồ Hệ số phân bố tải trọng tương ứng giá trị thông số θ có thể được xác định bằng cách nội suy sau: