Nghiên cứu bài toán động học của robot tự hành di chuyển trên mặt phẳng

Nghiên cứu bài toán động học của robot tự hành di chuyển trên mặt phẳng Nghiên cứu bài toán động học của robot tự hành di chuyển trên mặt phẳng Nghiên cứu bài toán động học của robot tự hành di chuyển trên mặt phẳng luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

Nguyễn Tiến Dũng

Người hướng dẫn khoa học: TS nguyễn Trọng doanh

Hà nội 2009

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng, số liệu và những kết quả thực nghiệm được nghiên cứu trong luận văn là hoàn toàn thực tế khách quan Những kết quả tương tự chưa từng được sử dụng để bảo vệ một học vị nào

Tác giả luận văn

Nguyễn Tiến Dũng

L ỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn TS.Nguyễn Trọng Doanh đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này Những lời hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy đã giúp tôi rất nhiều trong quá trình làm luận văn

Xin cảm ơn toàn thể các thầy cô Bộ môn Công nghệ chế tạo máy đóng góp ý và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn

Cuối cùng xin cảm ơn các thầy, các bạn đồng nghiệp của khoa Cơ khí

trường Cao đẳng Công nghiệp Sao Đỏ đã cổ vũ động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Hà Nội, tháng 11 năm 2009

Tác giả

Nguy ễn Tiến Dũng

M ỤC LỤC

M ỤC LỤC 3

DANH M ỤC CÁC HÌNH VẼ 6

TÓM T ẮT NỘI DUNG LUẬN VĂN 9

THESIS SUMMARY 10

L ỜI MỞ ĐẦU 11

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MOBILE ROBOT 13

1.1 Gi ới thiệu 13

1.2 M ột số ứng dụng của mobile robot 14

1.3 Các lo ại chuyển động của mobile robot 18

1.3.1 Robot di động bằng chân (legged mobile robot) 18

1.3.2 Robot di chuy ển bằng xích (tracked mobile robot) 21

1.3.3 Robot di chuy ển bằng bánh lăn (wheeled mobile robot) 22

1.3.4 Các lo ại bánh lăn dùng cho mobile robot 23

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ ĐỘNG HỌC VẬT RẮN 27

2.1 V ị trí và hướng của vật rắn trong không gian 27

2.1.1 H ệ tọa độ vật 27

2.1.2 Ma tr ận côsin chỉ hướng 28

2.1.3 Ý nghĩa của ma trận côsin chỉ hướng 30

2.2 Mô t ả tối thiểu của hướng 31

2.2.1 Góc Euler 32

2.2.2 Góc YPR 34

2.4 T ọa độ thuần nhất và các ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất 36

2.4.1 Tọa độ thuần nhất 36

2.4.2 Ma tr ận biến đổi tọa độ thuần nhất 37

2.4.3 Ma tr ận Denavit-Hartenberg 39

2.5 V ận tốc của điểm trong hệ tọa độ động 41

CHƯƠNG 3: ĐỘNG HỌC MOBILE ROBOT DI CHUYỂN TRÊN MẶT PH ẲNG 43

3.1 M ở đầu 43

3.2 Các gi ả thiết 43

3.3 V ị trí của mobile robot 44

3.4 Liên k ết động học bánh lăn 45

3.4.1 Bánh lăn cố định 46

3.4.2 Bánh lái đúng tâm 49

3.4.3 Bánh lái lệch tâm 49

3.4.4 Bánh lăn kiểu Thụy Điển 51

3.5 Phương trình ràng buộc và phân loại động học mobile robot 52

3.6 B ậc di động và bậc lái 57

3.7 B ậc di chuyển (degree of maneuverability) 60

3.8 B ậc tự do (degree of freedom) 61

3.9 Các ví d ụ 62

3.10 Phương trình động học mobile robot 67

CHƯƠNG 4: ĐỘNG LỰC HỌC MOBILE ROBOT DI CHUYỂN TRÊN MẶT PH ẲNG 68

4.1 Gi ới thiệu 68

4.2 Phương trình Lagrange dạng nhân tử 68

4.3 Phương trình chuyển động của mobile robot phẳng 69

4.4 Ví d ụ 71

CHƯƠNG 5: GIẢI BÀI TOÁN CỤC BỘ TRÁNH VẬT CẢN CHO MOBILE ROBOT 73

5.1 Gi ới thiệu 73

5.2 V ị trí của robot trong mặt phẳng 74

5.2.1 Mô hình kết cấu 74

5.2.2 V ị trị của robot trong mặt phẳng 75

5.3 Gi ải bài toán tìm đường cục bộ cho mobile robot 76

5.3.1 Bài toán tìm đường cục bộ cho robot 76

5.3.2 Phương pháp dẫn hướng thích nghi 77

5.4 Chương trình điều khiển 80

CHƯƠNG 6: PHẦN CỨNG ĐIỀU KHIỂN MÔ HÌNH MOBILE ROBOT 82

6.1 Sơ đồ điều khiển mobile robot 82

6.2 Các sensor s ử dụng trong robot 83

6.2.1 Sensor hồng ngoại 83

6.2.2 Sensor siêu âm 84

6.2.3 Sensor la bàn 87

6.3 Ph ần cứng điều khiển robot 89

6.3.1 Mạch điều khiển trung tâm 89

6.3.2 M ạch công suất điều khiển động cơ DC 91

K ẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 93

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 95

PH Ụ LỤC 96

DANH M ỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Robot hàn KUKA và robot song song SIG Demaurex 13

Hình 1.2 Mobile Robot Sojourner © NASA/JPL 14

Hình 1.3 Robot Pioneer © Wide World Photos 15

Hình 1.4 Robot MBARI’s ALTEX AUV Todd Walsh © 2001 MBARI 15

Hình 1.5 Robot Plustech (http://www.plustech.fi) © Plustech 16

Hình 1.6 Robot SWISSLOG ©Swisslog 17

Hình 1.7 Robot Roboxe do hãng EPFL Th ụy Sĩ sản xuất 18

Hình 1.8 Robot lau nhà RC 3000 18

Hình 1.9 Robot Raiberd hopper 19

Hình 1.10 Robot Sony SDR-4X II 20

Hình 1.11 Chú chó thông minh AIBO của hãng Sony 20

Hình 1.12 Robot Lauron II c ủa trường đại học Karlsruhe, Đức 21

Hình 1.13 Robot Nanokhod và robot Lunokhod 21

Hình 1.14 Robot không gian Rocky 1 (hình a) và robot ph ẳng (hình b) 22

Hình 1.15 Bánh lăn kiểu bình thường (conventional wheel) 23

Hình 1.16 Bánh lăn cố định (fixed standard wheel) 23

Hình 1.17 Bánh lái đúng tâm (centered orientable wheel) 24

Hình 1.18 Bánh lái l ệch tâm (off-centered orientable wheel) 24

Hình 1.19 Bánh lăn kiểu Thụy Điển 25

Hình 1.20 Bánh lăn Thụy Điển 90 o và 45 o 25

Hình 1.21 Robot Uranus 26

Hình 2.1 V ị trí của vật rắn trong không gian 27

Hình 2.2 Quy ước chiều quay 29

Hình 2.3 Phép quay quanh tr ục y 0 và z 0 29

Hình 2.4 Bi ểu diễn điểm P trong hai hệ toạ độ 30

Hình 2.5 S ự hình thành góc quay Euler 32

Hình 2.6 Phép quay RPY 34

Hình 2.7 Bi ểu diễn điểm P trong hệ toạ độ 36

Hình 2.8 Kh ảo sát chuyển động của điểm P 37

Hình 2.9 Biểu diễn các thông số động học theo quy tắc Denavit-Hartenberg 39 Hình 2.10 Bi ểu diễn vận tốc của điểm Q trong hệ toạ độ 41

Hình 3.1 Bánh lăn chuyển động trong mặt phẳng 44

Hình 3.2 V ị trí của robot trong mặt phẳng 44

Hình 3.3 Bánh xe lăn trên mặt phẳng 46

Hình 3.4 Bánh lăn cố định và các thông số hình học 46

Hình 3.5 Bánh lái đúng tâm và các thông số hình học 49

Hình 3.6 Bánh lái l ệch tâm và các thông số hình học 50

Hình 3.7 Bánh lăn kiểu Thụy Điển và các thông số hình học 51

Hình 3.8 C ấu tạo bánh lăn kiểu Thụy Điển 51

Hình 3.9 Vận tốc của điểm tiếp xúc giữa bánh lăn kiểu Thụy Điển và nền 52

Hình 3.10 Xe Ackerman và xe đạp 56

Hình 3.11 Pygmalion robot và Piaggio minitransporter 56

Hình 3.12 Robot b ị suy biến 57

Hình 3.13 Robot có 3 bánh lăn kiểu Thụy Điển 59

Hình 3.14 Năm kiểu cơ bản của xe 3 bánh 61

Hình 4.1 Các thông s ố hình học của mobile robot 71

Hình 5.1 Mô hình k ết cấu của robot 74

Hình 5.2 V ị trí của robot trong mặt phẳng 75

Hình 5.3 Không gian làm vi ệc của robot tự hành 77

Hình 5.4 Các tình hu ống phát hiện vật cản 78

Hình 5.5 Lưu đồ thuật toán của robot 800

Hình 6.1 Sơ đồ khối điều khiển mobile robot 82

Hình 6.2 Photo sensor E3F2-DS30B4 83

Hình 6.3 Sơ đồ mạch của E3F2-DS30B4 84

Hình 6.4 Sensor siêu âm Devantech SRF04 85

Hình 6.5 Gi ản đồ xung thu phát siêu âm SRF04 87

Hình 6.6 Sensor la bàn 87

Hình 6.7 Kh ối nguồn dung ICLm2576 90

Hinh 6.8 Sơ đồ mạch nạp cho chip AVR qua công LPT 90

Hình 6.9 Sơ đồ mạch trung tâm 91

Hình 6.10 Sơ đồ khối của IC MC33887 92

Hình 6.11 M ạch điều khiển động cơ dùng IC MC33887 92

TÓM T ẮT NỘI DUNG LUẬN VĂN

Tên đề tài: “ NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN ĐỘNG HỌC CỦA ROBOT

dụng các sensor siêu âm và sensor la bàn

Với mục đích đã được trình bày như trên nội dung của luận văn đã thực hiện được những vấn đề như sau:

Phần đầu của luận văn, trình bày phương pháp phân tích động học và động lực học của mobile robot di chuyển bằng bánh xe Phần này bao gồm các chương 1, 2, 3, và 4

- Chương 1: Giới thiệu chung về các loại mobile robot

- Chương 2: Trình bày cơ sở lý thuyết về động học vật rắn

- Chương 3: Nêu lên phương pháp phân tích động học và phân loại mobile robot phẳng dựa trên hai khái niệm bậc di động và bậc lái

- Chương 4: Thiết lập phương trình động lực học của mobile robot

dựa trên phương trình Lagrange

Phần thứ hai của luận văn gồm các chương 5 và 6 giới thiệu về bài toán tìm đường cục bộ tránh vật cản cho robot trên cơ sở ứng dụng các sensor hồng ngoại, sensor siêu âm, và sensor la bàn

- Chương 5: Mô tả chi tiết việc giải bài toán tìm đường cục bộ của mobile robot bằng việc sử dụng kỹ thuật dẫn hướng thích nghi

- Chương 6: Giới thiệu phần cứng điều khiển của mô hình mobile robot

THESIS SUMMARY

Title: “ A study on the kinetic mathematical problems

of plane self –propelled mobile”

The study aims at studying the methods of kinetic calculating and constructing the motion equation of wheeled plane mobile robot These are very essential for solving problems in positioning and control

Concurrently, the study has found out the solutions to the mathematical problem of determining the path to its next way points or goals of mobile robot using technique of direction guiding based on supersonic sensors and compass sensor …

To reach the aims, the study is designed with:

Part 1: Presenting the methods of kinetics and dynamics analyzing of

wheeled mobile robots The part is designed with 4 parts 1,2,3,4

Chapter 1: Introduction of mobile robot

Chapter 2: Theory of kinematics of solid body

Chapter 3: The chapter refers to methods of kinematics analyzing,

classification of mobile robots based on the concepts of mobile degree and drive degree

Chapter 4: The chapter focuses on constructing the kinematics

equation of mobile robot based on Lagrange equation

Part 2 is designed with chapters 5 and 6 presenting the mathematic

problems of determining the path out of barrier based on the application of infrared sensors, supersonic sensors and compass sensors

Chapter 5: Presents the detail solutions of path determining

determining mathematic problems by using direction guiding techniques

Chapter 6: The chapter introduces the control hardware of mobile

robot model

LỜI MỞ ĐẦU

Một cách tổng quát có thể phân chia robot làm hai loại chính đó là mobile robot (robot tự hành) và manipulator (tay máy) Thông thường các tay máy được cố định trong các dây chuyền sản xuất Ngược lại, mobile robot có

khả năng di chuyển, không cố định ở một vị trí nhất định Nhờ vậy mà không gian hoạt động của mobile robot rất lớn

Nếu như tay máy đã được nghiên cứu và ứng dụng cách đây nhiều thập kỷ thì mobile robot mới thực sự phát triển mạnh khoảng một thập kỷ gần đây Các nghiên cứu đại thể được chia làm hai lĩnh vực đó là tìm đường và điều khiển chuyển động Với mục đích đi sâu nghiên cứu về lĩnh vực mobile robot còn mới mẻ này, luận văn trình bày phương pháp tính toán động học và thiết lập phương trình chuyển động của robot di động bằng bánh lăn trên mặt phẳng

Những kết quả này rất cần thiết để giải quyết vấn đề định vị và điểu khiển Đồng thời, luận văn đưa ra lời giải của bài toán tìm đường cục bộ cho mobile robot bằng việc sử dụng kỹ thuật dẫn hướng thích nghi trên cơ sở ứng dụng các sensor siêu âm và sensor la bàn

Với mục đích đã trình bày ở trên, luận văn có hai phần Phần đầu của luận văn, trình bày phương pháp phân tích động học và động lực học mobile robot

di chuyển bằng bánh xe Phần này bao gồm các chương 1, 2, 3, và 4

- Chương 1: Giới thiệu chung về các loại mobile robot

- Chương 2: Trình bày cơ sở lý thuyết về động học vật rắn

- Chương 3: Nêu lên phương pháp phân tích động học và phân loại mobile robot phẳng dựa trên hai khái niệm bậc di động và bậc lái

- Chương 4: Thiết lập phương trình động lực học của mobile robot dựa trên phương trình Lagrange

Phần thứ hai của luận văn gồm các chương 5 và 6 giới thiệu về bài toán tìm đường cục bộ tránh vật cản cho robot trên cơ sở ứng dụng các sensor hồng ngoại, sensor siêu âm, và sensor la bàn

- Chương 5: Mô tả chi tiết việc giải bài toán tìm đường cục bộ của mobile robot bằng việc sử dụng kỹ thuật dẫn hướng thích nghi

- Chương 6: Giới thiệu phần cứng điều khiển của mô hình mobile robot

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MOBILE ROBOT

1.1 Giới thiệu

Hình 1.1 Robot hàn KUKA và robot song song SIG Demaurex

Ngày nay, robot đã đạt được những thành tựu to lớn trong sản xuất công nghiệp Tay máy (manipulator) là ngành công nghiệp trị giá 2 tỷ USD và ngày càng phát triển mạnh Tay máy có thể di chuyển với tốc độ và độ chính xác cao để thực hiện những động tác lặp đi lặp lại như hàn hay sơn (hình 1.1) Trong công nghiệp điện tử, các tay máy đặt các linh kiện với độ siêu chính xác, tạo nên các thiết bị tinh vi như điện thoại di động hay máy tính

Tuy nhiên, với những thành công đó, các tay máy thương mại đều có chung nhược điểm là thiếu sự di động Các tay máy cố định chỉ hoạt động trong một không gian bị giới hạn quanh vị trí của nó Ngược lại, mobile robot

có thể di chuyển, do đó tạo nên không gian hoạt động rất lớn Chương này sẽ giới thiệu một số ứng dụng của mobile robot và các loại chuyển động của mobile robot

1.2 Một số ứng dụng của mobile robot

Các nơi con người không có khả năng đến được như sao Hỏa, người ta phải dùng robot tự hành với cấu trúc đặc biệt như robot Sojourner (hình 1.2) được sử dụng trong nhiệm vụ tìm kiếm sự sống trên sao Hỏa năm 1997 Robot này hầu như hoàn toàn được điều khiển từ xa từ trái đất Tuy nhiên,

robot có một số sensor được trang bị trên nó giúp nó có thể di chuyển một cách khá độc lập

Hình 1.2 Mobile Robot Sojourner © NASA/JPL Trong môi trường nguy hiểm và các môi trường khó có thể tới được thậm chí ở ngay cả trên trái đất, các mobile robot được nghiên cứu và sử dụng

để thay thế con người ví dụ như hình 1.3 là robot Pioneer, được thiết kế để dò tìm và kiểm tra nồng độ phóng xạ trong thảm họa Chernobyl Hình 1.4 là robot MBARI’s ALTEX AUV hoạt động ở dưới đáy biển

Hình 1.3 Robot Pioneer © Wide World Photos

Hình 1.4 Robot MBARI’s ALTEX AUV Todd Walsh © 2001 MBARI

Trong một số trường hợp, vì sự phức tạp trong cấu tạo của robot thường khiến con người không thể điều khiển robot trực tiếp hoạt động của

nó Con người chỉ đưa ra các chỉ dẫn về vị trí và hoạt động cần thiết, còn robot sẽ tự điều chỉnh hoạt động của mình dựa trên điều khiển của con người

để di chuyển và hoạt động chính xác

Ví dụ như robot đi bộ Plustech (hình 1.5) được thiết kế để di chuyển các thành gỗ sau khi khai thác ra khỏi rừng Robot sẽ tự điều chỉnh các tọa độ hoạt động của chân robot trong khi người điều khiển chỉ phải đưa ra hướng đi cho robot

Hình 1.5 Robot Plustech (http://www.plustech.fi) © Plustech

Hình 1.6 Robot SWISSLOG ©Swisslog Trong công nghiệp, mobile robot được sử dụng chủ yếu để di chuyển các thiết bị Hình 1.1 là robot dẫn đường mới nhất SWISSLOG được sử dụng

để chuyển các linh kiện ô tô từ trung tâm lắp ráp này sang trung tâm khác Robot được dẫn hướng bởi các đường dây điện đặt ở dưới sàn Hiện nay, có hàng ngàn robot SWISSLOG đang phục vụ trong công nghiệp thậm chí trong

cả bệnh viện

Mobile robot không chỉ được ứng dụng trong công nghiệp, quân sự mà còn được sử dụng trong đời sống hàng ngày Hình 1.7 là robot hướng dẫn du lịch Roboxes Robot này đã hoạt động trong suốt 5 tháng tại triển lãm EXPO.02 Thụy Sĩ, đã phục vụ hàng ngàn lượt khách Hình 1.8 là robot lau nhà RC 3000 được phát triển và bán bởi Alfred Kärcher GmbH & Co., Germany Robot RC 3000 có khả năng tự nhận biết khu vực chưa được quét dọn dựa trên sensor trang bị trên nó Các sensor quang trang bị trên robot sẽ

tự động đo độ bẩn của sàn nhà và đưa ra chế độ làm việc cho robot

Hình 1.7 Robot Roboxe do hãng EPFL Thụy Sĩ sản xuất

Hình 1.8 Robot lau nhà RC 3000

1.3 Các loại chuyển động của mobile robot

1.3.1 Robot di động bằng chân (legged mobile robot)

Các robot di động bằng chân cho phép rời rạc hoá việc tiếp xúc với mặt đất theo các điểm, làm cho loại robot này có ưu thế trên các địa hình phức tạp,

gồ ghề và không liên tục Đồng thời, bằng cách thay đổi chiều dài hiệu dụng của các chân cho phù hợp với môi trường nên robot di chuyển rất “êm” Tùy thuộc vào số chân mà người ta phân chia thành các loại robot một chân, hai

chân (biped), bốn chân (quadruped), sáu chân (hexapod) Ví dụ như trên các hình 1.9, 1.10, 1.11, 1.12

Tuy có ưu điểm nêu trên, nhưng loại robot này khó điều khiển và khó chế tạo

Hình 1.9 Robot Raiberd hopper

Hình 1.10 Robot Sony SDR-4X II

Hình 1.11 Chú chó thông minh AIBO của hãng Sony

Hình 1.12 Robot Lauron II của trường đại học Karlsruhe, Đức

1.3.2 Robot di chuyển bằng xích (tracked mobile robot)

Loại robot này rất phù hợp khi di chuyển trên các địa hình phức tạp Robot hoạt động như xe tank, để đổi hướng, nó thay đổi tốc độ quay của 2 bánh xích Tuy nhiên do chuyển động bằng xích khi đổi hướng sẽ xảy ra hiện tượng trượt do đó khó điều khiển chính xác Một vấn đề nữa là loại robot này rất dễ làm hỏng bề mặt của nền, đặc biệt là khi chuyển hướng

Hình 1.13 Robot Nanokhod và robot Lunokhod

1.3.3 Robot di c huyển bằng bánh lăn (wheeled mobile robot)

Phần lớn mobile robot dùng bánh lăn để di chuyển, do bánh lăn dễ điều khiển, ổn định và chuyển động nhanh hơn so với xích hay là chân Trong luận văn này chỉ tập trung nghiên cứu loại robot này Do đó từ các chương sau, để thuận tiện, khi nhắc đến mobile robot tức là wheeled mobile robot Bên cạnh những ưu điểm nêu trên, mobile robot di chuyển bằng bánh lăn có một số nhược điểm như chỉ phù hợp với địa hình có bề mặt nhẵn và cứng, với bề mặt mềm robot rất dễ bị xa lầy Tùy thuộc vào địa hình mobile robot hoạt động

mà phân ra làm hai loại :

• Mobile robot thường (ordinary mobile robot) là loại robot có cấu trúc đơn giản, chỉ thích hợp di chuyển trên bề mặt phẳng (hình 1.13b)

• Mobile robot địa hình (articulated all-terrain rover) là lớp robot có hệ thống chuyển động phức tạp, có khả năng di chuyển trên các địa hình không bằng phẳng Ví dụ robot Sojourner (hình 1.2) hay robot Rocky 1 (hình1.14)

a b

Hình 1.14 Robot không gian Rocky 1 (hình a) và robot phẳng (hình b)

1.3.4 Các loại bánh lăn dùng cho mobile robot

Có rất nhiều loại bánh lăn dùng cho mobile robot nhưng được dùng nhiều nhất là bánh lăn kiểu bình thường (conventional wheel hay standard wheel) và bánh lăn kiểu Thụy Điển (Swedish wheel)

Bánh lăn kiểu bình thường có cấu tạo giống loại bánh xe thường thấy trong các phương tiện giao thông hiện nay

Hình 1.15 Bánh lăn kiểu bình thường (conventional wheel)

Tùy thuộc vào vị trí của bánh lăn trên robot mà có các kiểu sau:

• Bánh lăn cố định (fixed standard wheel): trục quay của bánh lăn được

cố định trên thân robot (hình 1.16)

Hình 1.16 Bánh lăn cố định (fixed standard wheel)

• Bánh lái đúng tâm (centered orientable wheel): ngoài chuyển động quay quanh trục, bánh lăn có thể thay đổi hướng nhờ góc quay β quay

trục lái đi qua tâm bánh (hình 1.17)

Hình 1.17 Bánh lái đúng tâm (centered orientable wheel)

• Bánh lái lệch tâm (off-centered orientable wheel): bánh lăn có thể thay đổi hướng nhờ góc quay β quay trục lái không đi qua tâm bánh lăn (hình1.18)

Hình 1.18 Bánh lái lệch tâm (off-centered orientable wheel)

1.3.4.2 Bánh lăn kiểu Thụy Điển (Swedish wheel)

Đây là loại bánh lăn có thể di chuyển theo bất kỳ phương nào, được phát minh bởi Bengt Ilon kỹ sư người Thụy Điển vào năm 1973

Bánh lăn Thụy Điển có kết cấu giống bánh lăn thường, tuy nhiên bên ngoài có

gắn các con lăn (hình 1.19)

Hình 1.19 Bánh lăn kiểu Thụy Điển

Trục quay của con lăn thông thường có góc nghiêng 45o hoặc 90o so với mặt phẳng bánh lăn

Hình 1.20 Bánh lăn Thụy Điển 90o và 45o

Hình 1.21 Robot Uranus Hình 1.21 là mobile robot Uranus được lắp 4 bánh lăn kiểu Thụy Điển Robot này có thể chuyển động lên, xuống giống như loại robot lắp 4 bánh lăn

cố định Ngoài ra, robot còn có thể chuyển động sang ngang bằng cách quay các cặp bánh lăn kiểu Thụy Điển ngược chiều nhau

3 ) 0 ( 2 ) 0 (

cố định Ox0y0z0 được xác định bởi vị trí của hệ quy chiếu Axyz đối với hệ quy chiếu Ox0y0z0, tức là được xác định bởi vị trí của điểm A và hướng của

hệ tọa độ Axyz so với hệ tọa độ Ox0y0z0

Vị trí của điểm A được xác định thông qua véc tơ :

ezeye

x

rA (A0)1(0) (A0)2(0) (A0)3(0)



++

Để định hướng hệ tọa độ Axyz so với hệ tọa độ Ox0y0z0, người ta dùng khái niệm ma trận côsin chỉ hướng

3 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( 2 1 ) 0 ( 2

3 ) 0 ( 1 2 ) 0 ( 1 1 ) 0 ( 1

e.ee.ee.e

e.ee.ee.e

e.ee.ee.e

là ma trận côsin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ qui chiếu Ox0y0z0

Nếu ký hiệu aij =e(i0).ej =cos(e(i0),ej) (i,j=1,2,3) (2.3) thì ma trận côsin chỉ hướng có dạng:

23 22 21

13 12 11

aaa

aaa

aaa

Từ định nghĩa trên trong hệ quy chiếu Ox0y0z0 ta có các hệ thức liên hệ:

) 0 ( 3 31 ) 0 ( 2 21 ) 0 ( 1 11



++

=

) 0 ( 3 32 ) 0 ( 2 22 ) 0 ( 1 12



++

) 0 ( 3 33 ) 0 ( 2 23 ) 0 ( 1 13

11 1

aa

12 2

aa

13 3

aa

a

e

thì ma trận côsin chỉ hướng (2.4) có dạng :

Ma trận côsin chỉ hướng R còn được gọi là ma trận quay của vật rắn

Hình 2.2 Quy ước chiều quay Quy ước hướng quay dương là hướng quay ngược chiều kim đồng hồ như hình 2.2 Các phép quay quanh trục x,y,z của hệ tọa độ vuông góc Oxyz được gọi là phép quay cơ bản

Ma trận quay của phép quay quanh trục xomột góc ϕ :

ϕ

−ϕ

cossin

0

sincos

0

00

1

e.ee.ee.e

e.ee.ee.e

e.ee.ee.e)(

3 ) 0 ( 3 2 ) 0 ( 3 1 ) 0 ( 3

3 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( 2 1 ) 0 ( 2

3 ) 0 ( 1 2 ) 0 ( 1 1 ) 0 ( 1 0

2.1.3 Ý nghĩa của ma trận côsin chỉ hướng

Ma trận quay không chỉ dùng để biểu diễn định hướng của một hệ tọa

độ so với một hệ tọa độ khác mà còn được dùng để biến đổi tọa độ

Hình 2.4 Biểu diễn điểm P trong hai hệ toạ độ Xét hai hệ quy chiếu Ox0y0z0 và Oxyz có cùng gốc O P là điểm bất kỳ

trong không gian.Vị trí của điểm P được xác định bởi véctơ OP rP

= Tọa độ của điểm P trong hệ quy chiếu Oxyz là xp,yp,zp , tọa độ của P trong hệ quy

chiếu Ox0y0z0 là ( 0 )

p ) 0 ( p ) 0 (

x Ta có hệ thức sau :

) 0 ( 3 ) 0 ( ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( 1 ) 0 (

=

3 2

)(a11e1(0) a21e(20) a31e3(0) y a12e1(0) a22e(20) a32e3(0)x

+ )

eaeaea(

zp 131(0) 23(20) 333(0)

++

(2.10)

2 p 23 p 22 p 21 )

0 ( 1 p 13 p 12 p 11



) 0 ( 3 p 33 p 32 p

a

++

so sánh các biểu thức (2.9) và (2.10) ta suy ra hệ phương trình :

p p

p

p p

p

p p

P P P

zyxaaa

aaa

aaaz

y

x

33 32 31

23 22 21

13 12 11

) 0 (

) 0 (

) 0 (

(2.12)

Ma trận cô sin chỉ hướng R biến đổi các tọa độ của điểm P bất kỳ thuộc

hệ quy chiếu động Oxyz sang tọa độ của điểm P đó trong hệ quy chiếu cố định Ox0y0z0

Tóm lại, ma trận quay R có 3 ý nghĩa tương đương nhau:

• Biểu diễn hướng giữa 2 hệ tọa độ, trong đó các cột của ma trận là côsin

chỉ phương giữa các trục của hệ mới so với hệ gốc

• Biểu diễn sự chuyển đổi tọa độ của một véctơ giữa 2 hệ tọa độ có gốc trùng nhau

• Là toán tử biểu diễn phép quay của một véctơ trong cùng một hệ tọa độ

2.2 Mô tả tối thiểu của hướng

Ma trận quay dùng để mô tả hướng của vật có 9 thành phần, nhưng các thành phần này không hoàn toàn độc lập với nhau Do ma trận quay là ma trận trực giao nên có 6 điều kiện ràng buộc Như vậy, để mô tả phép quay ( định hướng) chỉ cần dùng 3 tham số độc lập Việc dùng 3 tham số độc lập để mô tả hướng được gọi là sự mô tả tối thiểu Có thể dùng các bộ ba tham số khác nhau, nhưng thường dùng nhất là góc Euler và góc RPY

2.2.1 Góc Euler

Góc Euler được hình thành bằng cách tổ hợp các thành phần của ma trận quay trong hệ tọa độ hiện thời Tùy theo kiểu tổ hợp ma trận quay, có 12

bộ góc Euler khác nhau Sau đây là một kiểu, gọi là kiểu ZYX

Giả sử ( ϕ θ ψ ) là một tổ hợp của góc Euler Phép quay tương ứng với

nó được hình thành theo thứ tự sau :

Hình 2.5 Sự hình thành góc quay Euler

• Quay hệ tọa độ một góc ϕ quanh z, tương ứng ma trận quay

R(z,ϕ)

• Quay tiếp hệ tọa độ hiện thời góc θ quanh y’, tương ứng R(y’,θ)

• Quay tiếp hệ tọa độ hiện thời góc ψ quanh z’’, tương ứng

R(z’’,ψ)

Hướng của hệ tọa độ cuối cùng là kết quả của sự tổ hợp các phép quay trong hệ tọa độ hiện thời Ở phép quay Euler nếu thực hiện thứ tự ngược lại (ψ→φ→ϕ) cũng cho kết quả như nhau

"

(),'y(),

θ ψ

θ

θ ϕ ψ ϕ ψ θ ϕ ψ

θ ϕ

θ ϕ ψ ϕ ψ θ ϕ ψ

θ ϕ

CS

SC

S

SSCCSCSC

CS

SCCSSCCC

CC

23 22 21

13 12 11

rrr

rrr

rrr

với giả thiết r13 ≠0 và r33 ≠ 0 và góc θ nằm trong khoảng (0,π) Ta có:

)r,r2tan

=ϕ

)r,rr(2tan

a 132 + 232 33

=

),(2tan r32 r31

=ψ

Nếu chọn θ trong khoảng (-π,0)

)r,r(2tan

a − 23 −13

=ϕ

)r,rr(2tan

a − 132 + 232 33

=

),(2tan r32 r31

=ψ

2.2.2 Góc YPR

Khác với góc Euler, góc YPR (Yaw-Pitch-Roll) được hình thành bằng cách tổ hợp các phép quay thành phần trong hệ tọa độ cố định

Hình 2.6 Phép quay RPY Đầu tiên, hai hệ tọa độ XAYAZA và XBYBZB trùng nhau Phép quay tương ứng với góc RPY được thực hiện theo trình tự sau :

• Quay hệ tọa độ XBYBZB một góc α quanh trục XA Phép quay này

được mô tả bằng ma trận quay R(x,α)

• Quay tiếp hệ tọa độ XBYBZB một góc β quanh trục YA, tương ứng với

ma trận quay R(y,β)

• Quay tiếp hệ tọa độ XBYBZB một góc γ quanh trục ZA, tương ứng với

ma trận quay R(z,γ)

Ma trận quay tổng hợp là tích của các ma trận quay thành phần Chú ý

rằng các phép quay được thực hiện theo hệ tọa độ ban đầu

=

α β α

β β

α γ α β γ β

γ β

γ

α γ α β γ α γ α β γ β γ

CCS

CS

SCCSSC

SC

S

SSCSCCSSSCCC

),x(),y(),z(

23 22 21

13 12 11

rrr

rrr

rrr

Với θ nằm trong khoảng (-π/2,π/2) Khi đó ta có lời giải sau [7]

)r,r2tan

=γ

)rr,r(2tan

=

)r,r2tan

=α

Với θ nằm trong khoảng (π/2,3π/2)

)r,r(2tan

=γ

)rr,r(2tan

a − 31 − 322 + 332

=

)r,r(2tan

=α

2.4 Tọa độ thuần nhất và các ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất

Hình 2.7 Biểu diễn điểm P trong hệ toạ độ

Vị trí của điểm P ở trong hệ tọa độ 3 chiều Oxyz được xác định bởi véctơ sau:

3 2

ex

1zyx

2.4.2 Ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất

Xét vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định Ox0y0z0 Lấy một điểm A nào đó của vật rắn B và gắn chặt vào vật rắn hệ qui chiếu Axyz Lấy P

là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B

Hình 2.8 Khảo sát chuyển động của điểm P Trong hệ tọa độ Ox0y0z0 ta có

AP A

33 32 31

23 22 21

13 12 11

) 0 ( A

) 0 ( A

) 0 ( A

) 0 ( P

) 0 ( P

) 0 ( P

sss

rrr

rrr

rrr

zyx

zrrr

yrrr

xrrr

1z

y

x

z y x

) 0 ( A 33 32 31

) 0 ( A 23 22 21

) 0 ( A 13 12 11

) 0 ( P

) 0 ( P

) 0 ( P

zrrr

yrrr

xrrr

) 0 ( A 33 32 31

) 0 ( A 23 22 21

) 0 ( A 13 12 11

được gọi là ma trận chuyển tọa độ thuần nhất của điểm P từ hệ Axyz sang hệ

Ox0y0z0

Các ma trận quay cơ bản trong mục ma trận côsin chỉ hướng mở rộng

ra trong hệ tọa độ thuần nhất bốn chiều dạng như sau

ϕ

−ϕ

=ϕ

=ϕ

10

00

0cossin

0

0sincos

0

00

01),x(Rot)

(x

−

ψψ

=ψ

=ψ

1000

0cos0sin

0010

0sin0cos

),y(Rot)

θ

−θ

=θ

=θ

100

0

010

0

00cossin

00sincos

),z(Rot)

(z