Bài toán mô hình xác định các thông số đất nền từ dữ liệu hiện trường

- Sử dụng các phương pháp trên để giải một số ví dụ xác định các thông đất nền từ dữ liệu đo đạc được tại hiện trường trong một số trường hợp bài toán phẳng, đàn hồi.. Trên cơ sở bài toá

- -

NGUYỄN NGỌC QUYẾT

BÀI TOÁN MÔ HÌNH XÁC ĐỊNH CÁC THÔNG SỐ ĐẤT NỀN TỪ DỮ LIỆU HIỆN TRƯỜNG

CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP Mã ngành : 23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SỸ

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán Bộ Hướng Dẫn Khoa Học: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

Cán Bộ Chấm Nhận Xét 1:

Cán Bộ Chấm Nhận Xét 2:

Luận văn Thạc sỹ được bảo vệ tại:

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SỸ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, Ngày …….tháng……năm 2006

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: Nguyễn Ngọc Quyết Phái: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 08 – 01 -1976 Nơi sinh: Nghệ An Chuyên ngành: Xây dựng dân dụng và công nghiệp MSHV: XDDD13.020

I- TÊN ĐỀ TÀI:

‘’BÀI TOÁN MÔ HÌNH XÁC ĐỊNH CÁC THÔNG SỐ ĐẤT NỀN TỪ DỮ LIỆU HIỆN TRƯỜNG’’

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Nghiên cứu các phương pháp phân tích ngược : Tối ưu, Lọc Kalman – Phần tử

Hữu hạn

- Sử dụng các phương pháp trên để giải một số ví dụ xác định các thông đất nền từ dữ liệu đo đạc được tại hiện trường trong một số trường hợp bài toán phẳng, đàn hồi

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 07 – 07 – 2005

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 07 – 12 – 2005

V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : PGS.TS Nguyễn Thị Hiền Lương

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CN BỘ MÔN

QL CHUYÊN NGÀNH

PGS.TS Nguyễn Thị Hiền Lương

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chuyên ngành thông qua

Ngày tháng năm 200

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Thị Hiền Lương, người đã tận tình hướng dẫn để em có thể thực hiện và hoàn thành Luận án này

Em xin cảm ơn quý Thầy Cô trong Khoa Kỹ thuật Xây dựng, trường Đại học Bách Khoa đã truyền đạt những kiến thức khoa học quí giá trong suốt thời gian em học tại trường

Em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Kỹ thuật Công trình và Ban giám hiệu Trường Đại học Bán công Tôn Đức Thắng đã khuyến khích, ủng hộ để em có thể hoàn thành khoá học

Con xin thành kính cảm ơn Ba Má, các Anh Chị trong gia đình đã hỗ trợ, động viên con trong suốt quá trình đi học Và cuối cùng xin gởi lời cảm ơn đến vợ của tôi, người đã luôn chia sẻ những khó khăn cùng tôi trong suốt thời gian tôi học cao hoc

TP HCM, ngày 1 /12/05

NGUYỄN NGỌC QUYẾT

Luận văn này thiết lập bài toán mô hình để xác định các thông số đất nền từ dữ liệu đo đạc được ở hiện trường Mô hình nền được khảo sát là môi trường vật liệu đàn hồi tuyến tính, đẳng hướng, hai chiều Phân tích thuận bài toán được tiến hành theo phương pháp Phần tử Hữu hạn (PTHH) Trên cơ sở bài toán mô hình đưa ra, luận văn đề xuất giải pháp phân tích ngược giúp cho việc xác định các thông số của nền Hai phương pháp phân tích ngược được đề

nghị sử dụng: phương pháp kết hợp Lọc Kalman – PTHH và phương pháp Tối

ưu

Mức độ chính xác và hiệu quả của các phương pháp này được kiểm tra qua một số ví dụ xác định các hằng số đàn hồi Kết quả cho thấy cả hai phương pháp trên có thể ứng dụng để phân tích ngược xác định các thông số của nền đất, sử dụng các thông tin đo đạc tại hiện trường

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN 4

TÓM TẮT 5

MỤC LỤC 6

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN 10

1.1 KHÁI NIỆM BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG CƠ HỌC 11

1.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯỢC 11

1.3 PHÂN TÍCH NGƯỢC ĐỂ XÁC ĐỊNH THÔNG SỐ (BACK ANALYSIS FOR PARAMETER IDENTIFICATION) 12

1.4 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN NGƯỢC Ở VIỆT NAM 14

1.5 MỤC TIÊU ĐỀ TÀI 15

CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN THUẬN 17

2.1 BÀI TOÁN BIẾN DẠNG PHẲNG TRONG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 18

2.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 18

2.2.1 Các phương trình cân bằng 18

2.2.2 Các phương trình vật lý 19

2.2.3 Các phương trình biến dạng 20

2.2.4 Điều kiện biên 21

2.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (PTHH) 21

2.3.1 Khái niệm 21

a Ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử 24

b Ma trận cứng tổng thể và vector tải tổng thể 25

2.4 GIẢI BÀI TOÁN BIẾN DẠNG PHẲNG BẰNG PTHH 26

2.4.1 Các hàm dạng 26

2.4.2 Ma trận độ cứng phần tử 28

2.4.3 Vector tải phần tử 29

2.4.4 Lập trình giải bài toán biến dạng phẳng 30

CHƯƠNG III: PHÂN TÍCH NGƯỢC DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU 31

3.1 THIẾT LẬP BÀI TOÁN TỐI ƯU 32

3.2 PHÂN TÍCH SỐ BÀI TOÁN 33

3.2.1 Phân tích bài toán tối ưu không ràng buộc 33

3.2.2 Phân tích bài toán tối ưu với ràng buộc đơn giản 34

CHƯƠNG IV: PHÂN TÍCH NGƯỢC DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP LỌC KALMAN – PTHH 36

4.1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ 37

4.1.1 Kỳ vọng và phương sai 37

4.1.2 Quy luật phân phối bình thường hay phân phối Gauss 38

4.2 ƯỚC LƯỢNG NGẪU NHIÊN 39

4.2.1 Mô hình không gian trạng thái (state-space models) 39

4.2.2 Bài toán thiết kế người quan sát (observer design problem) 41

4.2.3 Độ nhiễu đo đạc và độ nhiễu quá trình 42

4.3 PHƯƠNG PHÁP LỌC KALMAN 43

4.3.1 Lọc Kalman rời rạc (discrete Kalman filter –DKF) 43

a Quá trình ước lượng 43

b Cơ sở tính toán của phương pháp lọc 44

c Các đặc trưng xác suất của phương pháp lọc 46

d Thuật giải lọc Kalman rời rạc 46

4.3.2 Phương pháp lọc Kalman mở rộng (Extended Kalman Filter – EKF) 49

a Quá trình ước lượng 49

b Cơ sở tính toán của bộ lọc 50

4.4 PHÂN TÍCH NGƯỢC DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP LỌC KALMAN - PTHH 54

4.4.1 Phương trình trạng thái 54

4.4.2 Phương trình quan sát 54

a Trường hợp sử dụng Lọc Kalman mở rộng – PTHH 55

b Trường hợp sử dụng Lọc Kalman – PTHH 57

CHƯƠNG V: ỨNG DỤNG XÁC ĐỊNH CÁC THÔNG SỐ ĐẤT NỀN TỪ DỮ LIỆU HIỆN TRƯỜNG 59

5.1 VÍ DỤ 1 60

5.2 VÍ DỤ 2 62

5.3 VÍ DỤ 3 65

5.4 VÍ DỤ 4 67

5.5 VÍ DỤ 5 69

5.7.1 Ảnh hưởng của chuyển vị đứng điểm 1 74

5.7.2 Ảnh hưởng của chuyển vị đứng điểm 6 74

5.7.2 Nhận xét 76

CHƯƠNG VI: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 77

6.1 KẾT LUẬN 78

6.2 KIẾN NGHỊ 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

PHẦN PHỤ LỤC 85

TÓM TẮT LÝ LỊCH 125

Chöông 1

CHÖÔNG I TOÅNG QUAN

1.1 KHÁI NIỆM BÀI TOÁN NGƯỢC TRONG CƠ HỌC

Xét một hệ cơ học S (System) chịu tác động của các thông số đầu vào I

(Input) Dưới tác động của I, hệ S có phản ứng U (Output) – là kết quả đầu ra

(hình 1.1)

Hình 1.1: Mô hình hoạt động của hệ cơ học

Đối với bài toán thuận, có I và S, yêu cầu xác định U Ngược lại, trong

bài toán ngược, (1) ta có I và U, yêu cầu tìm S; (2) có S và U, yêu cầu tìm I;

hoặc (3) có được một phần thông tin về I, S, U, yêu cầu tìm các thông tin còn

lại

Có thể hiểu đơn giản rằng, U là chuyển vị, biến dạng, ứng suất, tần số

dao động…, I là tải trọng, S là điều kiện biên, cấu hình hình học, đặc trưng vật

liệu… của hệ cơ học [1]

Có rất nhiều bài toán ngược trong khắp thế giới của chúng ta, trong đó

chúng ta phải dự đoán nguyên nhân từ những kết quả quan sát được [2]

1.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯỢC

Phân tích ngược (back analysis) là quy trình để giải bài toán ngược Các

quy trình phân tích ngược được sử dụng trong cơ học có thể được chia thành

hai loại: các giải pháp trực tiếp và các giải pháp ngược [7]

Chương 1

Giải pháp trực tiếp (direct approach) dùng các giá trị thử của các thông số

chưa biết là dữ liệu nhập, cho đến khi sai khác kết quả giữa đo đạc và tính

toán là cực tiểu Phương pháp Tối ưu thường được sử dụng ở giải pháp này [7],

[11], [12], [16]

Ở giải pháp ngược (inverse approach), hệ thống các phương trình chủ đạo

của bài toán được viết lại ở dạng mà các thông số là các ẩn số, các chuyển vị

hoặc ứng suất là dữ liệu nhập Tiêu biểu trong nhóm này là thuật giải lọc

Kalman với rất nhiều ứng dụng để giải bài toán xác định thông số [2], [4]-[6],

[8], [11], [22]

1.3 PHÂN TÍCH NGƯỢC ĐỂ XÁC ĐỊNH THÔNG SỐ (BACK ANALYSIS

FOR PARAMETER IDENTIFICATION)

Một trong những bài toán ngược trong cơ học là bài toán xác định các

thông số của hệ cơ học, tức là đi tìm S Sự phát triển gần đây của kỹ thuật tối

ưu cùng với các phương pháp số đã cung cấp công cụ hữu dụng để giải quyết

bài toán xác định thông số một cách có hệ thống Chính vì thế việc sử dụng

các kỹ thuật này trở nên thường xuyên hơn trong các lĩnh vực cơ học, đặc biệt

là lĩnh vực cơ học đất và nền móng công trình [3]

Cecilia lacono [4] đã ứng dụng quy trình phân tích ngược dựa trên

phương pháp lọc Kalman để xác định các thông số của mô hình phá huỷ trong

môi trường liên tục Courage [5] giải quyết bài toán ước lượng các thông số cơ

học của vật liệu composit bằng cách sử dụng kỹ thuật nhận dạng hệ thống và

phương pháp phần tử hữu hạn Utani [6] đã đưa ra mô hình phân tích xác định

các thông số phân bố bằng cách sử dụng phương pháp phần tử biên kết hợp lọc

Kalman Các tác giả đã sử dụng mô hình này để giải quyết hai bài toán: (1)

nhận dạng các thông số của nguồn nhiệt tập trung trong trường dẫn nhiệt ở

trạng thái bền (concentrated heat source in steady-state thermal conduction

field); (2) nhận dạng các đặc trưng vật liệu và ước lượng các giá trị biên chưa

biết trong trường đàn hồi, đẳng hướng hai chiều (two dimentional isotropic

elastostatics field) Tanaka [2] nghiên cứu ứng dụng phương pháp phần tử biên

vào một số bài toán ngược trong cơ học kỹ thuật kết hợp lý thuyết lọc Kalman

như: phân tích đàn hồi - động để khảo sát khuyết tật; dự đoán đồ thị ăn mòn

của vật liệu chịu lửa trong lò hơi; ứng dụng điều khiển nhiệt độ

Trong lĩnh vực cơ học đất và nền móng công trình, việc xác định các

thông số đất nền từ dữ liệu hiện trường là rất quan trọng để tìm hiểu ứng xử

của cấu trúc nền đất Thông thường, các thông số được rút ra từ thiết bị đo đạc,

quan trắc hiện trường có độ tin cậy hơn những thí nghiệm trong phòng, vì rằng

các thí nghiệm trong phòng đã không thể hiện được ảnh hưởng bởi cấu trúc vĩ

mô và sự không đồng nhất của đất Ngay cả khi lấy được mẫu đại diện thì sự

xáo trộn gây ra trong quá trình lấy mẫu và sự giải phóng áp lực sẽ ảnh hưởng

đến chất lượng các thông số cần xác định Swoboda [7] nghiên cứu và ứng

dụng việc xác định các thông số đàn hồi của đất, đá trong khi đào đường hầm

nhờ kết quả đo đạc chuyển vị ngang và đứng tại hiện trường Ledesma [3]

nghiên cứu xác định các thông số trong địa kỹ thuật sử dụng giải pháp khả

năng cực đại (maximum likelihood approach), trong đó các tác giả đã đề ra

giải pháp tổng quát để phân tích bài toán ngược trong địa kỹ thuật Giải pháp

này cho phép sử dụng những chỉ dẫn thông tin ban đầu dựa trên các thông số

(ví dụ như từ kết quả thí nghiệm trong phòng thí nghiệm) trong quá trình nhận

Chương 1

dạng một cách có hệ thống Murakami [8] sử dụng lý thuyết lọc Kalman để dự

đoán độ lún và áp lực nước lỗ rỗng Arai [9] đã tiến hành so sánh hai phương

pháp, phương pháp tĩnh và phương pháp thống kê trong khi phân tích ngược

bài toán cố kết đàn hồi qua nhiều ví dụ tính toán Kim [10] phân tích ngược

các thí nghiệm trên mô hình để dự đoán ứng xử của cọc đơn chịu tải ngang

trong đất cát, trong đó đã xem xét đến các yếu tố như sự không đồng nhất của

nền đất, điều kiện ràng buộc đầu cọc, vận tốc tải ngang, trọng lượng, và chiều

dài cọc trong đất Các ảnh hưởng này được đo đạc từ thí nghiệm mô hình, sau

đó so sánh với kết quả của phương pháp phân tích số

1.4 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN NGƯỢC Ở VIỆT NAM

Ở Việt nam, gần đây cũng đã có một số tác giả nghiên cứu bài toán

ngược và có một số ứng dụng nhất định trong thực tế

Nguyễn Thị Hiền Lương [12] đã đề xuất cách xác định các đặc trưng

của đất nền trên cơ sở số liệu thu được trong quá trình đào hầm bằng kỹ thuật

phân tích ngược

Nguyễn Tiến Khiêm [13] đã giới thiệu khái quát bài toán chẩn đoán kỹ

thuật, là một bài toán ngược trong cơ học Ngoài ra tác giả cũng nêu một số

ứng dụng vào chẩn đoán kỹ thuật thực tế: hiệu chỉnh mô hình, kiểm định chất

lượng công trình mới xây dựng, đánh giá trạng thái kỹ thuật các công trình

biển Đến năm 2002, Nguyễn Tiến Khiêm và các tác giả [14] đã ứng dụng

Quy trình công nghệ chẩn đoán kỹ thuật công trình được nghiên cứu ở Viện cơ

học vào thực tế đánh giá hiện trạng các công trình DKI sau sửa chữa gia cố

Dương Khuê Anh và Vũ Mạnh Lãng [15] đã nghiên cứu chẩn đoán kỹ

thuật cầu bêtông cốt thép theo phương pháp thống kê Các tác giả đã đề xuất

giải pháp thu thập thông tin cần thiết về công trình đang tồn tại (ví dụ các hư

hỏng và khuyết tật) và dùng kỹ thuật thống kê để đánh giá trạng thái kỹ thuật

của công trình từ những thông tin thu thập được này

1.5 MỤC TIÊU ĐỀ TÀI

Như ta đã biết, khó khăn lớn nhất trong khi phân tích ứng xử của đất

nền là ước lượng các thông số của nền đất Các thí nghiệm trong phòng và thí

nghiệm tại hiện trường trước khi xây dựng có những giới hạn riêng của nó Để

bổ sung cho những giới hạn này, các phương pháp quan sát đã được áp dụng

rộng rãi, trong đó các thông số đất nền được ước lượng từ dữ liệu đo đạc thu

được ở hiện trường trong giai đoạn xây dựng Quy trình truyền thống để ước

lượng là [16]:

(1) Giả thiết các giá trị của các thông số;

(2) Tính toán các chuyển vị bằng một phương pháp phù hợp (ví dụ như

phương pháp PTHH);

(3) So sánh chuyển vị đo đạc được với chuyển vị theo tính toán ở bước (2);

(4) Lặp lại (1) đến (3) cho đến khi các sai khác giữa kết quả tính toán và

kết quả đo đạc đủ nhỏ

Sử dụng cách thức trên gặp nhiều khó khăn khi số các thông số gia tăng,

ví dụ như trong trường hợp nền nhiều lớp

Chương 1

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu một số giải pháp hiệu quả để xác

định các thông số của nền đất từ dữ liệu đo đạc được ở hiện trường, trong một

số bài toán phẳng Mô hình nền đưa ra là môi trường vật liệu đàn hồi tuyến

tính, đẳng hướng được đặc trưng bằng hai thông số: mođul đàn hồi Young và

hệ số Poisson

Trên cơ sở bài toán mô hình đưa ra, đề tài nghiên cứu hai phương pháp

phân tích ngược:

- Phân tích ngược dựa trên phương pháp Tối ưu (Optimization

techniques)

- Phân tích ngược dựa trên phương pháp kết hợp Lọc Kalman – PTHH

(Kalman Filter – FEM techniques)

Mức độ chính xác và hiệu quả của các phương pháp này được kiểm tra

qua một số ví dụ xác định các thông số của nền

CHƯƠNG II

CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA BÀI TOÁN THUẬN

Chương 2

Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

2.1 BÀI TOÁN BIẾN DẠNG PHẲNG TRONG LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI,

[17]

Khi bài toán có dạng lăng trụ dài và có mặt cắt ngang không đổi, chịu

tải trọng vuông góc với trục z và phân bố đều theo chiều dài thì ta có thể xem

chuyển vị dọc trục w = 0 và do đó suy ra:

0

z

w z

ε = ∂ =

∂ Với bài toán biến dạng phẳng, người ta thường đưa về khảo sát một

phần vật thể giữa hai mặt cắt có bề dày bằng đơn vị (hình 2.1)

1

x

y

Hình 2.1 Ví dụ bài toán biến dạng phẳng

2.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN, [17]

2.2.1 Các phương trình cân bằng

Xét một phân tố vật liệu đồng chất, đẳng hướng (hình 2.2) Bằng cách

sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học, bỏ qua các vô cùng bé bậc cao,

cuối cùng ta có:

0

xy x

trong đó gx, gy là các lực khối theo phương x và y

Hình 2.2 Phân tố ứng suất trong bài toán phẳng

2.2.2 Các phương trình vật lý

Các phương trình vật lý thể hiện mối quan hệ giữa ứng suất và biến

dạng Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng thì hệ các phương

trình vật lý có dạng:

ơÛ đây [ ] σ = { σ σ τx y xy}Tlà vector ứng suất và [ ] ε = { ε ε γx y xy}T là vector biến

dạng Đối với bài toán biến dạng phẳng, ma trận đặc trưng vật liệu [D] bằng:

τ yτ

ν ν

ν ν ν

ν ν

Ở đây E và ν lần lượt là module đàn hồi và hệ số Poisson

Hoặc nếu biểu diễn [D] theo hai hằng số Lame λ , μ thì:

E G

0 0 0

μ μ μ

2.2.3 Các phương trình biến dạng (phương trình Cauchy)

Các phương trình biến dạng thể hiện mối quan hệ giữa biến dạng và

chuyển vị:

x y xy

u x v y

u v

y x

ε ε γ

ơÛ đây u và v lần lượt là chuyển vị theo phương x và phương y

Kết hợp các phương trình (2.1), (2.2), (2.3) và (2.7) chúng ta có tám ẩn

số (ba ứng suất, ba biến dạng và hai chuyển vị) và tám phương trình (hai

phương trình cân bằng, ba phương trình vật lý, và ba phương trình biến dạng)

2.2.4 Điều kiện biên

Trường ứng suất phải thoả mãn điều kiện biên tĩnh học:

p là vector tải trọng bề mặt, (nx, ny) là cosin chỉ phương của

vector pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài mặt biên Còn trường chuyển vị phải

thoả mãn điều kiện chuyển vị trên biên động học:

PTHH là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần

đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó Tuy nhiên, PTHH

không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng

miền con Ve, thuộc miền V Do đó phương pháp này rất thích hợp cho các bài

toán vật lý và kỹ thuật, trong đó hàm cần tìm được xác định trên những miền

Chương 2

Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

phức tạp gồm nhiều miền nhỏ có đặc tính hình học và vật lý khác nhau, chịu

những điều kiện biên khác nhau

Trong phương pháp PTHH, miền V được chia thành một số hữu hạn các

miền con, gọi là phần tử Các phần tử này nối kết lại với nhau bằng các điểm

định trước trên biên phần tử , gọi là nút (hình 2.3) Trong phạm vi mỗi phần tử,

đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ trong dạng một hàm đơn giản, gọi là hàm

xấp xỉ và các hàm xấp xỉ này, được biểu diễn qua giá trị của hàm (và có khi có

cả đạo hàm của nó) tại các điểm nút trên phần tử Các giá trị này, được gọi là

các bậc tự do của phần tử và xem như là ẩn số cần tìm của bài toán

Hình 2.3 Rời rạc vùng liên tục thành các vùng con

Với PTHH, người ta có thể phân tích bài toán theo ba loại mô hình sau:

- Mô hình tương thích: Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm

xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố chuyển vị trong các phần tử

Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở của

nguyên lý thế năng toàn phần dừng, hay nguyên lý biến phân Lagrange

- Mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố ứng

suất hay nội lực trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương

trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng hay

nguyên lý biến phân về ứng suất

- Mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai đại

lượng độc lập Các hàm xấp xỉ biểu diễn dạng phân bố gần đúng của cả

ứng suất và chuyển vị trong phần tử

2.3.2 Qui trình phân tích kết cấu bằng PTHH

Bước 1: Rời rạc hoá miền khảo sát

Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve, hay các phần tử, có

dạng hình học thích hợp Với bài toán cụ thể, số phần tử, dạng hình học của

phần tử và kích thước của phần tử phải được xác định trước Số điểm nút của

phần tử phụ thuộc vào bậc của hàm xấp xỉ định chọn

Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp

Vì đại lượng cần tìm là chưa biết, nên ta giả thiết dạng xấp xỉ của nó

sao cho đơn giản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phải thoả mãn các

tiêu chuẩn hội tụ, và thường chọn ở dạng đa thức Sau đó biểu diễn hàm xấp xỉ

theo tập hợp giá trị và có thể cả đạo hàm của nó tại các nút phần tử {q}e

Bước 3: Xây dựng phương trình phần tử, hay thiết lập ma trận độ cứng phần tử

[K]e và vector tải phần {P}e

Có nhiều cách thiết lập: trực tiếp, hoặc sử dụng nguyên lý biến phân,

hoặc các phương pháp biến phân, Kết quả nhận được có thể biểu diễn một

cách hình thức như một phương trình phần tử: [K]e{q}e={P}e

Chương 2

Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

Bước 4: Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình tương thích mà kết quả

là hệ thống phương trình:

⎡ ⎤ =

Trong đó, có thể gọi: ⎡ ⎤ K là ma trận độ cứng tổng thể; { } q là vector

chuyển vị nút tổng thể; { } P là vector tải tổng thể

Áp đặt các điều kiện biên của bài toán, ta nhận được hệ phương trình

Bước 5: Giải hệ phương trình đại số (2.12)

Kết quả là tìm được các chuyển vị của các nút

Bước 6: Hoàn thiện

Từ kết quả trên, tiếp tục tìm ứng suất, chuyển vị hay biến dạng của tất

cả các phần tử

2.3.3 Các phương trình cơ bản

a Ma trận độ cứng phần tử và vector tải phần tử

Khi giải bài toán theo mô hình tương thích, đại lượng cơ bản cần tìm là

chuyển vị Chuyển vị được xấp xỉ hoá và nội suy theo vector chuyển vị nút

phần tử {q}e:

Với [N] là ma trận các hàm dạng

Theo (2.5), biến dạng của một điểm trong phần tử sẽ là:

Với [ ] [ ][ ] B = ∂ N là ma trận tính biến dạng

Theo (2.3), ứng suất tại một điểm trong phần tử, trong trường hợp vật

liệu tuân theo định luật Hooke:

Thay (2.14) vào (2.15):

Với [ ] [ ][ ] T = D B ma trận tính ứng suất phần tử

Thế năng toàn phần của phần tử:

b Ma trận cứng tổng thể và vector tải tổng thể

Giả sử vật thể (miền V) được chia thành NE phần tử (miền con Ve) bởi

R điểm nút Thế năng toàn phần của hệ:

1 2

Chương 2

Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

trong đó { } q - vector chuyển vị nút tổng thể Giữa vector chuyển vị nút phần tử

và vector chuyển vị nút tổng thể có quan hệ:

với [ ] L e - ma trận định vị của phần tử

Áp dụng nguyên lý thế năng toàn phần dừng, ta có điều kiện cân bằng

của toàn hệ tại tất cả các điểm nút:

2.4 GIẢI BÀI TOÁN BIẾN DẠNG PHẲNG BẰNG PTHH, [18]

2.4.1 Các hàm dạng

Xét bài toán phẳng với phần tử tam giác có 3 điểm nút 1,2,3 (hình 2.4)

Mỗi nút có hai bậc tự do là hai thành phần chuyển vị của nút theo phương x và

y

Vector chuyển vị nút của phần tử:

{ } { 1 1 2 2 3 3} { 1 2 3 4 5 6}

T e

(x2,y2)(x3,y3)

Hình 2.4 Phần tử tam giác và các chuyển vị nút

Vector chuyển vị của một điểm nút có toạ độ (x,y) thuộc phần tử gồm 2 thành

phần chuyển vị được xem là hàm xấp xỉ tuyến tính sau:

Theo tư tưởng cơ bản của PTHH với mô hình tương thích, bằng việc

thực hiện đồng nhất chuyển vị nút với giá trị của hàm chuyển vị đã được xấp

xỉ hoá thành các hàm tuyến tính tại các nút phần tử, ta có thể biểu diễn vector

thông số { } a theo vector chuyển vị nút phần tử { } q e

Từ (2.28), (2.29) và (2.32) ta có:

1 1 3

2 2 4

3 3 5

6

, , ,

2.4.2 Ma trận độ cứng phần tử

Ma trận độ cứng phần tử xác định theo (2.20):

e

T e

(2.41)

2.4.3 Vector tải phần tử

Vector tải phần tử được xác định theo (2.21):

1 x

Hình 2.5 Lực mặt phân bố đều

Chương 2

Cơ sở lý thuyết của bài toán thuận

• Khi lực mặt phân bố dạng tam giác trên biên 1-2 của phần tử

1

Hình 2.6 Lực mặt phân bố dạng tam giác x

2.4.4 Lập trình giải bài toán biến dạng phẳng

Sử dụng lý thuyết đã trình bày ở trên kết hợp với ngôn ngữ Matlab để viết

chương trình (có kế thừa) phục vụ phân tích bài toán biến dạng phẳng Các

hàm chính dùng để giải bài toán bao gồm:

- Hàm xác định ma trận đặc trưng vật liệu [D]

- Hàm xác định ma trận độ cứng phần tử [K]e

- Hàm ghép nối các Ke thành ma trận độ cứng tổng thể [K]

- Hàm khử điều kiện biên của [K]

Mức độ chính xác của lời giải viết bằng Matlab được kiểm chứng lại bằng

chương trình SAP2000

CHƯƠNG III PHÂN TÍCH NGƯỢC DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU

Chương 3

Phân tích ngược dựa trên phương pháp Tối ưu

3.1 THIẾT LẬP BÀI TOÁN TỐI ƯU

Xem xét bài toán ngược xác định các thông số môđun đàn hồi Ei và hệ

số Poisson νi (i=1,…,n với n là số các lớp đất khác nhau) trong trường hợp

biến dạng phẳng

Gọi u là vector chuyển vị tính toán được theo mô hình bài toán thuận

(chương 2), u* là chuyển vị đo đạc được ở hiện trường

Nếu ta chấp nhận giả thiết rằng các đại lượng đo đạc được có trọng số

bằng nhau, không phụ thuộc vào chất lượng và mức độ tin cậy của việc đo đạc

cũng như vị trí điểm đo, thì vector các thông số đất nền x có thể được xác định

bằng cách cực tiểu hoá tổng bình phương các sai số giữa các đại lượng tính

toán theo mô hình bài toán thuận u và các đại lượng đo đạc u* Vậy bài toán

có thể được biểu diễn ở dạng tối ưu như sau

Hàm mục tiêu:

- x = [E1, ν1,…, Ei , νi, , En, νn]T là vector các thông số đất nền cần xác

định

3.2 PHÂN TÍCH SỐ BÀI TOÁN

3.2.1 Phân tích bài toán tối ưu không ràng buộc [1]

Hàm mục tiêu J(x) trên là một hàm phi tuyến bậc cao theo x Bởi vậy

để tìm x trực tiếp thường là không thể được Hầu hết các phương pháp tối ưu

đều sử dụng giải pháp lặp để phát sinh một chuỗi các điểm x1, x2, x3,… (chỉ số

viết nhỏ ở dưới ký hiệu cho số bước lặp) hội tụ về điểm x* là lời giải của bài

toán

Nếu J(x) là trơn hay có đạo hàm, ở điểm x bất kỳ vector đạo hàm riêng

bậc nhất, hay còn gọi là vector gradient có thể được viết như sau:

Có hai nhóm phương pháp để giải bài toán tối ưu không ràng buộc:

nhóm các thuật giải tìm kiếm trực tiếp và nhóm các thuật giải dựa trên

gradient

Các thuật giải tìm kiếm trực tiếp chỉ sử dụng giá trị của hàm, trong khi

các thuật giải dựa trên gradient sử dụng giá trị của hàm và cả của đạo hàm

riêng khi tìm kiếm Các phương pháp dựa trên gradient thường hiệu quả hơn

các phương pháp tìm kiếm trực tiếp vì rằng gradient được sử dụng để chỉ dẫn

hướng tìm kiếm Chính vì vậy, phương pháp gradient được ưa dùng hơn, miễn

là có thể tính toán được các đạo hàm riêng Tuy nhiên, nếu không thể tính

Chương 3

Phân tích ngược dựa trên phương pháp Tối ưu

hoặc quá khó khăn để tính đạo hàm riêng của hàm mục tiêu, thì các phương

pháp tìm kiếm trực tiếp lại tỏ ra hữu dụng

Một phương pháp được đề nghị trong luận văn để giải bài toán trên là

phương pháp gradient liên hợp (conjugate gradient method) của Fletcher và

Reeves Hướng tìm kiếm được đề nghị trong phương pháp này là:

α

−

− +

k

(3.5)

ở đây D0 = −∇ J ( ) x0

Lưu đồ thuật giải được trình bày trên hình 3.1

3.2.2 Phân tích bài toán tối ưu với ràng buộc đơn giản, [16]

Có nhiều cách thức khác nhau để xử lý bài toán tối ưu có ràng buộc Trong

bài toán đang xét, ta chỉ có các ràng buộc đơn giản theo (3.2) và (3.3) Để xử

lý các ràng buộc này, ta vẫn sử dụng phương pháp gradient liên hợp trên, với

một số bổ sung nhỏ như sau:

- Khi chọn vector giá trị đầu x0, ta chọn sao tất cả các giá trị xi thành

phần trong x0 đều thoả mãn ràng buộc (3.2) và (3.3)

- Ở vòng lặp thứ k, ta có vector cập nhật xk+1 = xk + αkD theo (3.5) Nếu

bất kỳ thành phần xi nào trong xk+1 vi phạm ràng buộc (3.2) hoặc (3.3),

thì thay thế thành phần xi này bằng giá trị biên để tính toán cho vòng

lặp thứ k+1

∇

2 1

Chương 4

Phân tích ngược dựa trên phương pháp kết hợp Lọc Kalman – PTHH

CHƯƠNG IV PHÂN TÍCH NGƯỢC DỰA TRÊN PHƯƠNG

PHÁP KẾT HỢP LỌC KALMAN – PTHH

4.1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ, [19]

4.1.1 Kỳ vọng và phương sai

Với n mẫu của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, giá trị trung bình của mẫu

Trong trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x1, x2 … xk

với các xác suất p1, p2 pk thì giá trị trung bình của mẫu hay giá trị kỳ vọng

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, nếu X có hàm mật độ phân phối là

fX(x) thì giá trị kỳ vọng được định nghĩa như sau:

( ) X( )

E X +∞xf x dx

−∞

Ý nghĩa của giá trị kỳ vọng: kỳ vọng là trung bình theo xác suất Nói

một cách khác, kỳ vọng là giá trị về mặt xác suất mà biến ngẫu nhiên có khả

năng nhận giá trị đó nhiều hơn

Phương sai là giá trị kỳ vọng của bình phương độ lệch giữa X và E(X):

Ý nghĩa của phương sai: phương sai nói lên độ phân tán của biến ngẫu

nhiên X quanh giá trị kỳ vọng E(X)

Chương 4

Phân tích ngược dựa trên phương pháp kết hợp Lọc Kalman – PTHH

Độ lệch chuẩn, tính bằng căn bậc hai của phương sai cũng là một đại

lượng thống kê quan trọng trong đo đạc, nó có cùng đơn vị với biến ngẫu

nhiên X Độ lệch chuẩn cho bởi:

( )

X D X

4.1.2 Quy luật phân phối bình thường hay phân phối Gauss

Phân phối bình thường hay phân phối Gauss đã trở nên thông dụng khi

mô hình hoá các hệ thống ngẫu nhiên bởi nhiều lý do Nhiều quá trình ngẫu

nhiên xảy ra trong tự nhiên có dạng phân phân phối bình thường, hoặc rất gần

với nó Dưới một số điều kiện có mức độ nào đó, người ta có thể chứng minh

rằng một tổng của các biến ngẫu nhiên với bất kỳ dạng phân phối nào thì đều

tiệm cận đến phân phối bình thường

Quá trình X được gọi là tuân theo quy luật phân phối bình thường

( 2)

,

X ∼N μ σ , nếu quá trình ngẫu nhiên X có kỳ vọng μ , phương sai σ2 và hàm

mật độ xác suất cho bởi:

2 2

1 2 2

12

x

X

μ σ

Hàm tuyến tính của một quá trình (biến) ngẫu nhiên phân phối bình

thường cũng là một quá trình ngẫu nhiên phân phối bình thường Đặc biệt nếu

( ) ( ( ))

2

2 2

1 2

1 2

a Y

a

μ σ

1 2

fX(x)

Hình 4.1 Hàm phân phối xác suất bình thường

4.2 ƯỚC LƯỢNG NGẪU NHIÊN, [19]

4.2.1 Mô hình không gian trạng thái (State-Space Models)

Xem xét một quá trình động được mô tả bằng một phương trình sai

phân bậc n ở dạng:

yi+1=a0,iyi+…+an-1,iyi-n+1+ui, i ≥ 0

Chương 4

Phân tích ngược dựa trên phương pháp kết hợp Lọc Kalman – PTHH

ở đây {ui} là một quá trình nhiễu ngẫu nhiên trắng (có nghĩa nó không tương

quan với bất kỳ biến ngẫu nhiên nào) có giá trị kỳ vọng bằng không với độ

tương quan:

E(ui,uj)=Ru=Qiδij

Và các giá trị đầu {y0,y-1,…,y-n+1} là các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng bằng

không, với ma trận phương sai n×n đã biết:

P0=E(y-j,y-k), j,k ∈ {0,n-1}

Ta cũng giả sử rằng:

E(ui,yi)=0 với –n+1 ≤ j ≤ 0 và i ≥ 0,

để đảm bảo rằng:

E(ui,yi )= 0, i ≥ j ≥ 0

Nói một cách khác, độ nhiễu độc lập về mặt thống kê với quá trình được ước

lượng Phương trình sai phân có thể viết lại: