524 câu trắc nghiệm vận dụng cao môn Toán ôn thi THPT - Tài liệu Việt Nam

Tìm tất cả các giá trị 0 thực của tham số m để phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân biệt. Hướng dẫn giải[r]

Mục lục

Chương 1 Lượng giác   2 

Chương 2 Tổ hợp   17 

Chương 3 Dãy số   30 

Chương 4 Giới hạn   39 

Chương 5 Đạo hàm   45 

Chương 6 Phép biến hình   58 

Chương 7 Quan hệ song song   59 

Chương 8 Quan hệ vuông góc   61 

Chương 9 Ứng dụng đạo hàm – khảo sát hàm số   85 

Chương 10 Mũ – Logarit   141 

Chương 11. Nguyên hàm – tích phân   170 

Chương 12 Số phức  201 

Chương 13 Khối đa diện   221 

Chương 14. Khối tròn xoay   245 

Chương 15 Không gian Oxyz   287   

Chương 1 Lượng giác

Câu 1: Hàm số tan cot 1 1

Hàm số xác định khi và chỉ khi sin 0

Câu 2: Tìm tập xác định D của hàm số 5 2 cot2 sin cot

Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời

Kết quả được đáp án A là hàm số chẳn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ

    Vậy y sin 2x không chẵn, không lẻ

Câu 4: Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017được cho bởi một hàm số

178

y  t  , với t Z và 0 t 365 Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có

nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?

Với k  0 t 149 tức rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4

có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0 t 365 thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28ngày)

Câu 5: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h(mét) của mực nước trong

kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức 3cos 12

nước của kênh cao nhất khi:

A t13(giờ) B t14(giờ) C t15(giờ) D t16(giờ)

Ta có

2

1 tancot 2

2 tan

x x

Ta có 2cos sin 2cos 1 2 sin

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 2 2

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin4xcos4xsin cosx x là

Ta có ysin4xcos4xsin cosx x   y 1 2sin2xcos2xsin cosx x

Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysinx cosxcosx sinx là

A 0 B 2 C 42 D 6

Lời giải Chọn A

Ta có sinx cosxcosx sinx 2 sin cosx x sin cosx x

     tan tanx ztan tany ztan tanx y 1

Ta thấy tan tan ; tan tan ; tan tanx z y z x y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn thức,

tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:

1 1 tan tan x y1 1 tan tan y z1 1 tan tan z x

2 2 2 1.tan tan 1.tan ta

    tương đương với phương trình

A cotx 3 B cot 3x 3 C tanx 3 D tan 3x 3

3

x x

 

sin 4sin 2 3 3 sin 2sin cos 2 4sin 2 cos 3 3

sin sin 3 sin 2sin 3 2sin

3 3 3tan 3 3 3 tan 3 3cos cos cos3

Điều kiện của phương trình sin 2x0,sin3x0,cos2x0

Phương trình tương đương 2cot 2xtan 2x3cot 3x

sin 2 0cos 2 sin 2 cos3

2cos 2 sin 2 3cos3 1 3cos 4 3cos3

sin 2 cos 2 sin 3 sin 4 sin 3

sin 3 3sin 3 cos4 3cos3 sin 4 sin 3 3sin

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu 13: Giải phương trình

2

4cos cos3

Câu 14: Giải phương trình

2

4cos cos3

Ta có 2sin 2 cos 2  2 sin 2  1 cos 2 3

       nên có 2 giá trị nguyên

Câu 16: Phương trình cos sin cos 2

 

2

Đặt sin 2x t t  0;1 Khi đó ta có phương trình3t2  4t 4 0 1 

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình 1 có nghiệm

Câu 19: Cho phương trình: sin cos x x  sin x  cos x m   0, trong đó m là tham số thực Để phương trình

có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:

m s

Câu 20: Cho phương trình: 4 sin 4xcos4x 8 sin6xcos6x4 sin 42 xm trong đó m là tham số Để

phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

Đặtsin 22 xt t  0;1  Khi đó phương trình trở thành16t212t m  4 0 * 

 * vô nghiệm khi và chỉ khi:

Đặtsin 2x t t    1;1 .Khi đó phương trình trở thành: 3t28mt 4 0 * 

Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình * có nghiệmt  1;1

TH1:  * có 1 nghiệm         

1 8

1 8

 Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m phải

thỏa mãn điều kiện:

Phương trình (*)vô nghiệm:

    có nghiệm, tham số a phải

thỏa điều kiện:

4.cos 2 sin 2

62cos 2

2

a x

Điều kiện của phương trình cosx0,cos2x0, tan2x1

Phương trình tương đương

Vậyphương trình đã cho có nghiệm khi a 1,a  3

Câu 25: Tìm m để phương trình cosx1 cos 2 x m cosxmsin2x có đúng 2 nghiệm ;2

Ta có cosx1 cos 2 x m cosxmsin2x

cosx 1 cos 2 x mcosx m1 cosx1 cosx

x   nên 0cosx1 Do đó cosx  (loại) 12

Vậy để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm ;

2 2

x   khi và chỉ khi 0cosx   1 0 m 1

Câu 27: Tìm m để phương trình 2sinx m cosx 1 m có nghiệm ;

Vậy để yêu cầu bài toán xảy ra thì  2 2m    6 1 m 3

Câu 28: Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2x 3 sin 2x 3 sinxcosx2 Mệnh đề nào sau

Phương trình 1cos 2 3sin 2 3sin 1cos 1

sin 1sin 0

Điều kiện: 1 2sin 2 x0

Phương trình tương đương 5 sin 2sin sin 2 sin 3 cos3 3 cos2

1 2sin 2

x x

1cos

2

3cos 2 ( )

x

x x

Đặt X là các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán



A { các số tự nhiên không vượt quá 2011 chữ số và chia hết cho 9}

Với mỗi số thuộc A có m chữ số (m2008) thì ta có thể bổ sung thêm 2011 m số 0 vào phía trước thì số có được không đổi khi chia cho 9 Do đó ta xét các số thuộc A có dạng

Để lập số của thuộc tập A1 ta thực hiện liên tiếp hai bước sau

Bước 1: Lập một dãy gồm 2010 chữ số thuộc tập 0,1, 2 ,8 và tổng các chữ số chia hết cho 9 

Câu 34: Từ các số 1,2,3, 4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa

điều kiện: sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị

Với mỗi bộ như vậy ta có 3! cách chọn a b c, , và 3! cách chọn d e f, ,

Do đó có: 3.3!.3! 108 số thỏa yêu cầu bài toán

Câu 35: Có m nam và n nữ Có bao nhiêu cách chọn ra k người trong đó có ít nhất a nam và ít nhất b

nữ (k m n a b k a b , ;   ; , 1) với S1 là số cách chọn có ít hơn a nam, S2 là số cách chọn có ít hơn b nữ

A Số cách chọn thoả mãn điều kiện bài toán là: k 2( 1 2)

Số cách chọn k người trong m n người là:  k

Khi đó số đường chéo là:

n n

+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi n đỉnh là 2

Câu 39: Trong mặt phẳng cho n điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường

thẳng nối hai điểm bất kì, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc Qua mỗi diểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi 2 trong n1

điểm còn lại Số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là bao nhiêu?

( 1)( 2) 1 2

Gọi n điểm đã cho là A A1, 2, ,A Xét một điểm cố định, khi đó có n 2

C giao điểm (tính cả những giao điểm trùng nhau)

Ta chia các điểm trùng nhau thành 3 loại:

* Qua một điểm có 2

1

( 1)( 2)2

* Qua A A A có 3 đường thẳng cùng vuông góc với 1, 2, 3 A A và 3 đường thẳng này song song với 4 5

nhau, nên ta mất 3 giao điểm, do đó trong TH này ta phải loại đi: 3C n3

* Trong mỗi tam giác thì ba đường cao chỉ có một giao điểm, nên ta mất 2 điểm cho mỗi tam giác,

do đó trường hợp này ta phải trừ đi 2C n3

Vậy số giao điểm nhiều nhất có được là: 2 2 3

( 1)( 2) 1 2

+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi n đỉnh là 2

+ Tính (CALC) lần lượt với X 18 (không thoả); với X 16 (không thoả); với X 15 (thoả),

với X 14 (không thoả)

Câu 42: Cho đa giác đều n đỉnh, n  và n3 Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo

Vì số hạng thứ ba của khai triển trên ứng với k2 nên số hạng thứ ba của khai triển là C n2.2 n2x n6

Mà số hạng thứ ba của khai triển không chứa x nên n   6 0 n 6

Số hạng thứ 2 của khai triển  330

1 x là C x130 330x3 Khi đó ta có C62.24 30.x3 x 2

Câu 44: Trong khai triển 1xn biết tổng các hệ số 1 2 3 n1 126

a a

n

n

a a

n n

a a

a     Tìm hệ số lớn nhất?

n

a a

Câu 50: Giải bóng chuyền VTV Cup có 12 đội tham gia trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội củaViệt

nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng đấu A , B ,C mỗi bảng 4 đội Xác suất để 3 đội Việt nam nằm ở 3 bảng đấu là

C C



Lời giải Chọn B

+ Số phần tử không gian mẫu:   4 4 4

(bốc 3 đội NN từ 9 đội NN vào bảng A – bốc 3 đội NN từ 6 đội NN còn lại vào bảng B – bốc 3 đội NN

từ 3 đội NN còn lại vào bảng C – hoán vị 3 bảng – bốc 1 đội VN vào mỗi vị trí còn lại của 3 bảng)

Xác suất của biến cố A là       93 63 33 93 63

.3!.3! 6 3!

Câu 51: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt Chọn ngẫu nhiên một số từ S Xác

suất chọn được số lớn hơn 2500 là

Số có 4 chữ số có dạng: abcd

Số phần tử của không gian mẫu: n S 9.9.8.7 4536

Gọi A : “ tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt và lớn hơn 2500.”

TH1 a2

Chọn a: có 7 cách chọn

Câu 52: Cho đa giác đều 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh

được chọn tạo thành tam giác đều là

Số phần tử không gian mẫu:   3

12 220

n  C 

(chọn 3 đỉnh bất kì từ 12 đỉnh của đa giác ta được một tam giác)

Gọi A : “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều ”

(Chia 12 đỉnh thành 3 phần Mỗi phần gồm 4 đỉnh liên tiếp nhau Mỗi đỉnh của tam giác đều ứng với một phần ở trên.Chỉ cần chọn 1 đỉnh thì 2 đỉnh còn lại xác định là duy nhất)

Ta có:   1

4 4

n A C  Khi đó:       4 1

Câu 53: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt Chọn ngẫu nhiên một số từ S Xác

suất chọn được số lớn hơn 2500 là

Số có 4 chữ số có dạng: abcd

Số phần tử của không gian mẫu: n S 9.9.8.7 4536

Gọi A : “ tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt và lớn hơn 2500.”

Vậy trường hợp này có: 1.1.7.7 49 (số)

Câu 54: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số 1, 2 ,3, 4 ,5,6,7,

8,9 Chọn ngẫu nhiên một số từ S Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là

Số phần tử không gian mẫu:   6

Câu 55: Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11 Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ Gọi P là xác

suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ Khi đó P bằng:

6 11

Câu 56: Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là x , y và

0, 6 (với x y ) Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả

ba cầu thủ đều ghi ban là 0,336 Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn

A P C( ) 0, 452 B P C( ) 0, 435 C P C( ) 0, 4525 D P C( ) 0, 4245

Lời giải Chọn A

Gọi A i là biến cố “người thứ i ghi bàn” với i1, 2,3

Ta có các A độc lập với nhau và i P A 1 x P A,  2 y P A,  3 0,6

Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”

B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”

C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”

Câu 57: Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án

đúng Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1

A P A( ) 0, 7124 B P A( ) 0, 7759 C P A( ) 0, 7336 D P A( ) 0, 783

Lời giải Chọn B

Ta cĩ xác suất để học sinh trả lời câu đúng là 1

4 và xác suất trả lời câu sai là

3

4

Gọi x là số câu trả lời đúng, khi đĩ số câu trả lời sai là 10 x

Số điểm học sinh này đạt được là: 4x2(10x) 6 x20

Nên học sinh này nhận điểm dưới 1 khi 6 20 1 21

6

Mà x nguyên nên x nhận các giá trị: 0,1, 2,3

Gọi A i (i0,1, 2,3) là biến cố: “Học sinh trả lời đúng i câu”

A là biến cố: “ Học sinh nhận điểm dưới 1”

Suy ra: A A 0 A1 A2A3 và P A( )P A( )0 P A( )1 P A( )2 P A( )3

Mà:

10 10

10 3

10 0

00,0

sốchữ

n

01

01

00,0

sốchữ

B

2

)1(

2

)2)(

1(

213

212

n

n

u u

Câu 63: Cho dãy số  u n với 1

1

122

1222

Thật vậy, ta chứng minh được u n n  * bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với n 1 u1 Vậy 1  * đúng với n1

+ Giả sử  * đúng với mọi n k k    , ta có: * u k  Ta đi chứng minh k  * cũng đúng với

Ta có:

1

2 1

3 2 1

213

212

n

n

u u

n

 



Lời giải Chọn C

Câu 69: Cho dãy số  u n với 1

1

122

Ta có:

1

2 1

3 2 1

1222

12

n n

u u

u       B  1 1 1

2

n n

n n

Ta có:

1 1 2

2 3

1

12

2

2

n n

u u u u u

Thật vậy, ta chứng minh được u n n  * bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với n 1 u1 Vậy 1  * đúng với n 1

+ Giả sử  * đúng với mọi n k k    , ta có: * u k  Ta đi chứng minh k  * cũng đúng với

Câu 74: Cho dãy số u n (un) có

    Vậy dãy số trên không phải cấp số cộng

Câu 75: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25

Tìm 2 góc còn lại?

A 65 ,90  B 75 ,80  C 60 ,95  D 60 ,90 

Lời giải Chọn D

Ta có: 8 26 1 7 26 1 7 26 11

u   u d   d  d

Câu 79: Cho cấp số cộng  u n có: u1 0,1;d 0,1 Số hạng thứ7 của cấp số cộng này là:

A 1,6 B 6 C 0,5 D 0,6

Lời giải Chọn C

Gọi d là công sai của cấp số đã cho

Câu 82: Cho cấp số nhân  u n với 1 1; 1

10

u   q

Số 10310

Ta có

1 1

Ta có

1 1

2 12

b b

k

 Tìm limu với n n 1n 2n 2011n

A  B  C 3 D 1.

Lời giải Chọn C

Ta có au0bv0 n au bv n,   suy ra a u u(  0)b v v(  0) 0 do đó tồn tại k nguyên dương sao

Ta có:

1 1

1 1

0 1

1 1

 Nếu m n , ta có:

1 1

x

3x 5sin 2x cos xlim

3x 5sin 2x cos x 6x 10sin 2x cos 2x 6x 10sin 2x cos 2x

10sin 2x cos 2xlim

2 , 0 11

A f x  liên tục trên  B f x  liên tục trên \ 0 

C f x  liên tục trên \ 1  D f x  liên tục trên \ 0;1 

Lời giải Chọn A

 liên tục trên khoảng  0;1  2

Với x0 ta có f x xsinx liên tục trên khoảng ;0  3

Vậy hàm số liên tục tại x0  4

Từ  1 ,  2 ,  3 và  4 suy ra hàm số liên tục trên 

Câu 100: Cho hàm số   tan , 0 2 ,

Câu 101: Cho hàm số  

2 3

, 12

, 0 11

A f x  liên tục trên  B f x  liên tục trên \ 0 

C f x  liên tục trên \ 1  D f x  liên tục trên \ 0;1 

Lời giải Chọn A

 liên tục trên khoảng  0;1  2

Với x0 ta có f x xsinx liên tục trên khoảng ;0  3

Vậy hàm số liên tục tại x0  4

Từ  1 ,  2 ,  3 và  4 suy ra hàm số liên tục trên 

343

Ta có:

3ʹ(0) 4 2

f E g

Chứng minh bằng quy nạp   1 sin  1

n n

Tiếp tuyến với ( )C tại M là

 2  0 0

0 0

22

x x

x

 

x A

Nếu I là giao hai tiệm cận, thì I có tọa độ I 2; 1 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên tiệm cận đứng x  2 suy ra H( 2; 2 x0 3)

0 0

y  x x có đồ thị là  C Tìm những điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ

được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số và trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

 

Lời giải Chọn B

Xét điểm M m( ; 0)Ox

Cách 1: Đường thẳng d đi qua M , hệ số góc k có phương trình: yk x m(  )

d là tiếp tuyến của  C hệ     





3 2

 2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi:

Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  1 có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài toán

Giả sử tiếp tuyến  d của  C tại M x y( ;0 0) ( ) C cắt Ox tại ,A Oy tại B sao cho OA4OB

Do OAB vuông tại O nên tan 1

4

OB A OA

253

Ta có M(0;1m) là giao điểm của (C m) với trục tung

2

y  x  m y  m