Giải tích hóa phổ tần số của xung điện áp và dòng điện với độ chính xác cao

Chính sự tương tự đó đã cho phép mô phỏng sét trong phòng thí nghiệm để nghiên cứu những quy luật của nó, các mối liên hệ giữa các thông số trong biểu thức toán học của sét, từ đó chúng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

NGUYỄN THỊ NGỌC THẢO

ĐỀ TÀI:

GIẢI TÍCH HÓA PHỔ TẦN SỐ CỦA XUNG

ĐIỆN ÁP VÀ DÒNG ĐIỆN VỚI ĐỘ

CHÍNH XÁC CAO

LUẬN VĂN CAO HỌC

CHUYÊN NGÀNH: MẠNG VÀ HỆ THỐNG ĐIỆN

NĂM 2004

GIỚI THIỆU TỔNG QUAN

F G Để đáp ứng nhu cầu phát triển nền kinh tế quốc dân, từng bước thực hiện tốt nhiệm vụ công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, trước tiên phải giải quyết tốt vấn đề về năng lượng, trong đó điện năng đóng vai trò hết sức quan trọng trong quá trình phát triển kinh tế đất nước Chính vì vậy cần xây dựng một hệ thống điện đảm bảo an toàn, hoàn chỉnh từ nguồn đến tải, đảm bảo yêu cầu cấp điện liên tục , có khả năng truyền tải điện đến mọi nơi trên toàn đất nước

Một trong những nguyên nhân gây rối loạn sự vận hành của hệ thống điện là quá điện áp khí quyển gây nên bởi sét đánh trực tiếp vào các phần tử của hệ thống điện hoặc vùng lân cận với những xung điện áp rất cao, có thể lên đến hàng triệu vôn trong thời gian không quá vài trăm micro giây Nguyên nhân thứ hai đó là quá điện áp nội bộ xảy ra khi thao tác, đóng cắt các phần tử của hệ thống điện hoặc các sự cố đứt dây, chạm đất, ngắn mạch … với điện áp tăng rất nhiều lần trị số định mức Những hiện tượng này sẽ gây nên phá hủy cách điện của các phần tử trong hệ thống điện, do đó ảnh hưởng đến chất lượng điện năng cung cấp cho các phụ tải, ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ thống, gây nên những thiệt hại về mặt kinh tế Từ những vấn đề bức xúc nêu trên, với mong muốn hạn chế những thiệt hại về mặt kinh tế do sự cố gây nên Vấn đề đặt ra là làm sao để hạn chế và giảm đến mức tối thiểu những thiệt hại đó, do vậy chúng ta cần nghiên cứu rõ hơn về các dạng sóng xung và mức độ ảnh hưởng của nó lên các thiết bị điện để từ đó ta có thể chế tạo những thiết bị, những vật liệu với độ tin cậy cao hơn

Những năm qua, ngành chế tạo thiết bị và vật liệu điện nước ta có những thành tích đáng khích lệ góp phần quan trọng trong công cuộc điện khí hóa đất nước nâng cao đời sống nhân dân, giảm chi phí nhập khẩu Sản phẩm tạo trong nước bao gồm đủ loại như máy biến áp, cầu dao … Tuy nhiên, để đảm bảo độ tin cậy của các sản phẩm thì cần phải có những cuộc thử nghiệm nhằm đáp ứng những yêu cầu an toàn trong vận hành của các thiết bị

Trong xu hướng hoà nhập thị trường trong nước với thị trường quốc tế, chất lượng sản phẩm nội địa trong đó có ngành điện cần được nâng lên ngang tầm với thế giới Việc xây dựng tiêu chuẩn có nhiều thay đổi khác hẳn quan điềm trước đây cho rằng không nên đưa ra những yêu cầu kỹ thuật mà các cơ sở trong nước chưa đạt tới, không nêu những hạng mục thử nghiệm Ngày nay, nhiều tiêu chuẩn Việt Nam ngành điện được xây dựng trên cơ sở hoàn toàn tương đương với tiêu chuẩn IEC

Trước yêu cầu cải thiện sản phẩm với chất lượng cao đáp ứng yêu cầu của thị trường, ngành thiết bị cũng như ngành vật liệu điện luôn luôn đổi mới nhằm cải thiện,nâng cao chất lượng sản phẩm Theo yêu cầu trong vận hành, ngoài điện áp lưới điện, các thiết bị cũng như vật liệu điện còn phải chịu tác động của xung điện áp truyền tới do thao tác đóng cắt lưới điện gây ra và xung điện áp sét do quá áp khí quyển gây ra Đặc điểm của xung là thời gian đầu sóng rất ngắn tức tốc độ tăng điện áp rất cao dễ dàng gây chọc thủng cách điện của thiết bị và vật liệu điện Đứng trước tình hình đó việc ra đời của các công cụ thử nghiệm là một tất yếu, nó giúp chúng ta biết được khả năng chịu tác động nhiệt điện động của thiết bị để từ đó đưa vào sử dụng một cách hợp lý cũng như tìm ra phương pháp cải tiến chất lượng sản phẩm

Như chúng ta đã biết sét thực chất là một dạng phóng điện tia lửa trong không khí với khoảng cách rất lớn Chiều dài trung bình của khe sét khoảng 3÷5km, phần lớn chiều dài của nó phát triển trong các đám mây dông Quá trình phóng điện của sét tương tự như quá trình phóng điện tia lửa trong điện trường rất không đồng nhất với khoảng cách phóng điện lớn Chính sự tương tự đó đã cho phép mô phỏng sét trong phòng thí nghiệm để nghiên cứu những quy luật của nó, các mối liên hệ giữa các thông số trong biểu thức toán học của sét, từ đó chúng ta có thể nghiên cứu những biện pháp bảo vệ chống sét đặc biệt là chế tạo ra các thiết bị đo lường xung điện áp và xung dòng với độ chính xác cao Mục đích nghiên cứu các thông số của xung sét và phổ tần số của nó nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu chế tạo các thiết bị đo lường với mục đích kiểm tra thử nghiệm các thiết bị điện thường xuyên chịu tác động của quá điện áp nội bộ và quá điện áp khí quyển

Hiện nay trên thế giới có rất nhiều thiết bị đo lường cao áp với độ chính xác cao đặc biệt là thiết bị sử dụng kỹ thuật số và chương trình hóa phép đo Do đó, với trình độ tiến bộ khoa học kỹ thuật hiện nay chúng ta phải từng bước nâng cao độ chính xác cho phù hợp với thiết bị hiện hành Chẳng hạn như các thiết bị thử nghiệm và đo lường trong phòng thí nghiệm, các trung tâm định chuẩn, đo lường chất lượng Các thiết bị dùng nghiên cứu và đặc biệt là các thiết bị chỉnh định và kiểm tra các thiết bị khác hoặc các thiết bị mẫu

Theo tiêu chuẩn đo lường trên thế giới hiện nay như IEC60-2, IEC60-4 và tiêu chuẩn đo lường của các nước liên xô cũ GOST-1762 thì sai số cho phép đo giá trị biên độ của xung cao áp là 3% và sai số thời gian là 10% Hiện nay các giá trị này dù vẫn được sử dụng nhưng với tiến bộ của khoa học kỹ thuật và công nghệ, các thiết bị đo lường, ghi nhận tín hiệu như đồng hồ tự ghi, dao động ký kỹ thuật số v.v … ngày càng có độ chính xác cao và do đó tiêu chuẩn IEC cần được

thay đổi theo chiều hướng có độ chính xác cao hơn, chính vì vậy việc nâng cao độ chính xác trong đo lường là cần thiết

Luận án giải quyết một phần trong các vấn đề làm sao để nâng cao độ chính xác trong đo lường xung sét cũng như xác định các thông số liên quan trong biểu thức giải tích của dạng xung sét từ đó có thể nghiên cứu tiếp đến đặc tính tần số của xung sét và đưa ra biểu thức đơn giản để dự đoán phổ tần của các dạng sóng sét chuẩn, sau đó tổng hợp để tìm ra giới hạn của các khoảng tần số ứng với từng dạng sóng chuẩn cụ thể

Nội dung luận án gồm 5 chương:

Chương 1 : Giới thiệu các phương pháp tính để giải bài toán xác định

nghiệm gần đúng của một hàm bất kỳ và các phương pháp nội suy

Chương 2 : Giải tích hóa quan hệ thông số thời gian của xung sét dạng

chuẩn

Chương 3 : Biểu thức tính nhanh phổ tần số của xung sét dạng chuẩn

Chương 4 : Các kết quả và chương trình lập trình phục vụ quá trình nghiên

cứu

Chương 5 : Tổng kết

CHƯƠNG I :

GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA MỘT HÀM BẤT KỲ & CÁC

PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY

I MỞ ĐẦU :

Để phục vụ tốt trong quá trình tính toán các thông số của luận văn chúng ta sẽ tìm hiểu lại các hương pháp tính toán nhằm mục đích vận dụng vào các phép toán cụ thể để khảo sát và tính toán các thông số của xung dòng điện sét, Các thông số của xung dòng điện sét thường quan hệ với nhau bằng một hàm toán học phức tạp,dạng siêu việt cho nên cần phải nghiên cứu một số phương pháp giải gần đúng để tính toán các thông số đó

Việc xác định nghiệm của một phương trình thường được tiến hành giải bằng phương pháp chính xác Tuy nhiên, trong các bài toán kỹ thuật, việc xác định chính xác nghiệm của một phương trình rất khó khăn vì số liệu thu thập được không đầy đủ hoặc không chính xác Bằng các phương pháp tính toán có sai số sẽ giải quyết được vấn đề vừa nêu trên, với số lượng phép tính lớn ta sẽ kết hợp các phương pháp tính với lập trình bằng ngôn ngữ máy tíng ta sẽ xác định được gần đúng nghiệm phương trình với độ chính xác cao

Quá trình tính toán tích phân của hàm toán học phức tạp khó có thể tính toán trực tiếp được nên cần phải có một công cụ tính toán gần đúng để phục vụ trong quá trình nghiên cứu và đảm bảo sai số theo yêu cầu Ngoài ra, trong nội dung luận văn sẽ tính toán và thiết lập đa thức nội suy tổng quát nhằm đơn giản hóa các phương trình siêu việt phức tạp, cũng như đưa được các mối quan hệ các thông số của xung sét về dạng quen thuộc phục vụ tốt cho quá trình nghiên cứu và cho những ai quan tâm đến vấn đề mối quan hệ giữa các thông số sóng

II GIỚI THIỆU CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA HÀM SỐ F(X)= 0 BẤT KỲ

II.1 Phương Pháp Lặp Newton

II.1.1 Mô Tả Phương Pháp

Phương pháp newton là tìm cách thay phương trình phi tuyến đối với x bằng một phương trình gần đúng đối với x

Công thức taylor cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm dến cấp n+1 tại x0

và ở lân cận x0

Ta khai triển hàm f(x) = 0 theo chuỗi taylor :

n

x x x

f x x x f x x x f x

n

1 1 0 0

2 0 0

0 0

! 1

''

! 2

++

− + +

− +

− +

=

C = x0 + θ(x-x0) 0 < θ < 1

Công thức này có giá trị lân cận tại xo

C là một số trung gian giữa x0 và x

Giả sử f(x) =0 có nghiệm thực phân li trong khoảng [a,b],và có f’≠0 tại x thuộc [a,b], đạo hàm cấp hai f’’(x) tại x thuộc [a,b] Ta chọn x0∈[a,b] rồi khai triển taylor bậc nhất của f tại x0 :

f(x)=f(x0) + (x-x0)f’(x0) +1/2(x-x0)2 f’’(c) c=x0 + θ(x-x0)

Bỏ qua số hạng cuối cùng ta được phương trình : f(x0) +(x-x0)f’(x0) = 0

Gọi x1 là nghiệm gần đúng phương trình

x1 =x0 –f(x0)/f’(x0) Từ x1 ta tính một cách tương tự ta được x2, x3,…và một cách tổng quát khi ta biết được xn ta tính được xn+1 theo công thức:

xn+1 =xn –f(xn)/f’(xn)

x0 chọn trước thuộc [a,b]

Và xem xn là gía trị gần đúng của nghiệm phương trình

Nhận xét: ta thấy phương pháp newton thuộc phương pháp lặp với hàm lặp :

ϕ(x) =x –f(x)/f’(x) về mặt hình học thì f(x0) là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm y=f(x) tại x0 xét một trường hợp cụ thể

Ta vẽ đồ thị hình bên AB cắt trục hoành tại M có hoành độ chính là nghiệm Để tính gần đúng nghiệm ta thay một cách gần đúng cung AB bởi tiếp tuyến tại B,

B có hoành độ x0, tiếp tuyến này cắt trục hoành tại P, P có hoành độ x1 và ta xem x1

là giá trị gần đúng của nghiệm phương trình

Để tính x1 ta viết phương trình tiếp tuyến tại B với x0 = b ta có :

Y – f(x0) = f’(x0)(X-x0) Tại P ta có X = x1, Y = 0, nên ta có :

II.1.2 Sự Hội Tụ Và Sai Số

Mục đích của ta là đi tìm nghiệm gần đúng α Điều đó thực hiện bằng phương pháp newton nếu xn Ỉα khi nỈ∝ ta có kết quả không chứng minh sau

Giả sử [a,b] là khoảng phân li nghiệmα của f(x) = 0 f có đạo hàm f’, f’’ với f và f’ liên tục trên [a,b], f’ và f’’ không đổi dấu trong (a,b) xấp xỉ đầu x0 chọn là a hay b sao cho f’’(x0) cùng dấu với f(x0) khi đó xn hội tụ về α khi nỈ∝ , cụ thể hơn

ta có xn đơn điệu tăng tới α nếu f’,f’’< 0, xn đơn điệu giảm tới α nếu f’,f’’ >0

Dừng lại ở bước tính thứ n xác định ta được xn và xem xn là giá trị gần đúng của α

Về sai số ta có :

( )

m

x f

II.2 Phương Pháp Dây Cung :

Giả thiết hàm số y=f(x):[a,b]Ỉ R, f liên tục

• f(a).f(b)<0

• ∃! ξ∈ (a,b) : f(ξ) = 0

Xét đồ thị hàm số y= f(x) giả sử f(a)< 0và f(b) > 0 các điểm của đồ thị A và

B được nối với nhau bằng dây cung AB Lấy hoành độ x1 của giao điểm giữa dây cung AB và trục 0x là giá trị gần đúng của nghiệm cần tìm :

( ) ( ) b f a f

a f a b a

Trong đó x1 thuộc khoảng (a,b)

Giả sử f(x1)<0,khi đó khoảng mới hẹp hơn có thể là (x1,b).Nối các điểm A1 và B,ta được giao điểm của dây cung ở bước thứ hai theo công thức

1 1 1

x f b f

x f x b a

Các bước tiến hành như sau:

2.1 Tìm hoành độ giao điểm của AB

( ) ( ) b f a f

a f a b a c

• nếu f(c).f(a) > 0 thì đặt : a1= c =c1; b1 = b

1.3 Bài toán trở lại giả thiết đầu với (a,b) thay bởi (a1,b1) Khi đó thì f(a).f(b)<0 lặp lại bước 2

1.4 Cứ như thế, sau khi kiểm tra điều kiện bước 2 cuối cùng ta tìm được nghiệm của phương trình :

ξ∈[an,bn]⊂ [an-1,bn-1] ⊂ … ⊂ [a,b]

Đặt

) ( ) (

) ( ) (

n n

n n n n n

a f b f

a f b b f a c

−

−

=

• Dãy số { an } tăng và bị chặn trên bởi b, khi đó an Ỉ a,

• Dãy số { bn } giảm và bị chặn dưới bởi a, khi đó bn Ỉ b’.

Ta cần chứng minh: cn tiến đến ξ

Có các trường hợp:

• Sau một số lần lặp n ta tìm được cn sau cho :

F(cn) = 0, suy ra ξ = cn là nghiệm phương trình

• Giả sử trường hợp đầu không xảy ra như vậy hoặc {an} có vô hạn giá

trị khác nhau hoặc { bn } có vô hạn giá trị khác nhau

Giả sử {an} có vô hạn giá trị khác nhau, như vậy ta có thể chọn được

một dãy con { an} để f(ank+1 ).f(cnk)>0 suy ra : ank+1 = cnk

Ta có :

0 ) ( ).

(

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

, , ,

, ,

, , , , , 1

a f b f

a f b b f a a

a f b f

b f b b f a a c

nk nk

nk nk nk nk nk n

Suy ra:

• f(a,) = 0: chứng minh xong

• a, = b, : xem tiếp:

ta có : f(a,)cùng dấu với f(a)

f(b,) cùng dấu với f(b)

vậy : f(a,) f(b) ≤ 0

[f(a,)]2 ≤ 0

f(a,) = f(b) = 0

ξ = a, = b,

vậy {bn} và {an} cùng hội tụ về ξ

II.3 Phương Pháp Chia Đôi Khoảng Nghiệm :

Phương trình f(x) = 0 nếu tồn tại nghiệm duy nhất trong khoảng [a,b] thì

f(a).f(b) < 0

Lần lượt chia đôi khoảng [a,b] và tiếp tục kiểm tra điều kiện trên đến khi

⏐ xn+1 -xn⏐≤ α ta tìm được nghiệm gần đúng với độ chính xác đã cho

c = +

3.2 Xác định f(c)

• Nếu f(c) = 0 thì c là nghiệm

• Nếu f(a).f(c) < 0 thì đặt a1= a, b1= c

• Nếu f(b).f(c) < 0 thì đặt : a1 =c ; b1 = b

3.3 Bài toán trở lại bước 2 với (a,b) thay bởi (a1,b1) Cứ như thế cho đến khi tìm được [an , bn] kiểm tra thoả điều kiện về sai số:

bn - an = (b-a)/2n ≤ ε tìm nghiệm ξ ∈ ( (bn + an –ε)/2 ; (bn +an+ε)/2)

III CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN GẦN ĐÚNG

Như chúng ta đã biết công thức Newton-Lebnitz cho cách tính tích phân xác định của các hàm số khả tích miễn là biết nguyên hàm của các hàm số đó Tuy nhiên chúng ta đã biết có nhiều hàm số sơ cấp nhưng không thể biểu diễn nguyên hàm của chúng dưới dạng các hàm số sơ cấp, ngay cả khi có thể biểu diễn được nguyên hàm dưới dạng các hàm số sơ cấp người ta cũng tìm cách tính gần đúng tích phân xác định miễn là đạt độ chính xác thích hợp và cách tính đơn giản Ơû đây ta giới thiệu công thức hình thang

Ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia xi:

a = x0 < x1 < x2 ……< xn.

xi = a + ih; h = (b – a)/n; I = 0,1,2……n

Đặt yi = f(xi), ta có :

∫ ∫ ∫ ∫

−

+ + +

=

b

a

x x

x x

x x

n

n

dx x f dx

x f dx x f dx

) ( )

( )

(

x

x

x x

dx x P dx

1 ( )

2 ( ) (

1 0

0 0

1 0 0 2 0 1

0

0 0 1

1

0

y y h

y y

h y

t t y h dt y t y h dx

= Δ

+

= Δ +

x x

y y h dx x

Vậy :

2 )

b

a

T h y y y y y y I

dx x f

Công thức trên được gọi là công thức hình thang

• Đánh giá sai số:

Người ta chứng minh được :

b x a x f M

a b h M I

) ( 12' 2

• Sơ đồ tóm tắt công thức hình thang:

Phương án1: cho trước số khoảng chia n

1 Xét tích phân = ∫b

a

dx x f

2 Aán định số khoảng chia n

3 Chia [a,b] thành n phần bằng nhau Tính:

) (

2 , 1 , 0 ,

i i

i

x f y

n i

hi a x n

a b h

=

= +

5 Kết quả : I ≈ It

Phương án 2: cho trước sai số

1 Xét tích phân = ∫

b a

dx x f

2 Aán định sai số ε

3 Sử dụng công thức tính sai số để xác định khoảng chia n sao cho sai số nhỏ hơn sai số cho phép

4 Tính như 3 của phương án 1

5 Tính như 4 của phương án 1

6 Kết quả I ≈ It với sai số I − IT < ε

III.2 Tính Tích Phân Bằng Công Thức Simpson

Ta chia [a,b] thành 2n đoạn con bằng nhau bời các điểm chia xi :

=

b

a

x x

x x

x x

n

n

dx x f dx

x f dx x f dx

) (

) ( )

( )

(

x

x

x x

dx x P dx

( 3

) 2

1 ( )

) 2 3

( 2

1 2

( ) 2

1 (

2 1 0

0 0

1 0 0 2 2 3 0 2 0 2

0

0 2 0

0 2

1

0

y y y h

y y

h y

t t y t t y h dt y t

y t y h dx

x

x

+ +

=

Δ +

= Δ

− +

Δ +

= Δ

− + Δ +

2

0

2 1 0

x x

y y y h dx x

(

) 4

( ) 4

( 3 )

n y y y

y y y y y y h dx x

Vậy :

2 1 2 4 2 2 (

) 4 3 4 2 ( ) 2 1 4 0

( 3 )

(

n y n y n y y

y y y y y b

a

h T I dx x f

C ông thức trên được gọi là công thức simpson

• Đánh giá sai số:

Người ta chứng minh được :

b x a x IV f M

a b h

M S

) (

4 180

• Sơ đồ tóm tắt công thức simpson:

Phương án1: cho trước số khoảng chia 2n

1 Xét tích phân = b ∫

a f x dx

2 Aán định số khoảng chia 2n

3 Chia [a,b] thành n phần bằng nhau Tính:

) (

2

2 , 1 , 0 , 2

i x f i y

n i

hi a i x n

a b h

=

= +

2 Aán định sai số ε

3 Sử dụng công thức tính sai số để xác định khoảng chia 2n sao cho sai số nhỏ hơn sai số cho phép

4 Tính như 3 của phương án 1

5 Tính như 4 của phương án 1

6 Kết quả I ≈ Is với sai số − < ε

T I

IV ĐA THỨC NỘI SUY

Cho bảng giá trị với n+1 cặp điểm (xi,yi) như sau:

x x0 x1 x2 x3 xn

y y0 y1 y2 y3 yn

Chọn xây dựng một đa thức bậc n:

pn(x) = a0 + a1x + a1xn+1 + +an-1xn-1 + anxn Sao cho Pn(x) trùng với f(x) tại các nút xi, nghĩa là :

pn(xI) = yi, i = 0,1, ,n

Đa thức Pn(x) gọi là đa thức nội suy của hàm f(x) các cặp điểm (xi,yi) gọi là các điểm nội suy

IV.1 Đa Thức Nội Suy Langrange

Đa thức nội suy có dạng tổng quát:

n

0

) ( )

(

) ) (

1 )(

1 ) (

0 (

) ) (

1 )(

1 ) (

0

( )

(

n i x i x i x i x i x x i x

n x i x x i x x x x x

− +

i j khi j

x

1 )

(

Ta gọi đó là công thức lagrange cơ bản

Như vậy, đa thức Pn(x) vừa là một đa thức bậc n vừa thoả mãn điều kiện nội suy

IV.2 Đa Thức Nội Suy Newton

Để xây dựng đa thức nội suy, đầu tiên, ta đưa vào khái niệm tỉ hiệu

Tỉ hiệu cấp một của y tại xi, xj là:

) (

) (

] ,

[

j x i x j y i y j x

]) [

] [

( ] , ,

[

k x i x

k

x j

x j

y j

x i

x i y k x j x

) 0 (

)]

0 ( ) ( [ ] 0 , [

x x

x n P x n

P x

) 1 (

]) 1 , 0 [ ] 0 , [ ( ] 1 , 0 , [

x x

x x n P x x n

P x

x x

Pn(x) = Pn(x0) + (x – x0)Pn[x,x0]

Pn[x,x0] = Pn[x0,x1] + (x – x1)Pn[x,x0,x1]

Pn[x,x0,x1] = Pn[x0,x1,x2] + (x – x2)Pn[x,x0,x1,x2]

IV.3 Đa Thức Nội Suy Theo Phương Pháp Bình Phương Bé Nhất

Không như hai phương pháp đầu (Lagrange, Newton) hạn chế số bậc của đa thức là n, phương pháp bình phương cực tiểu có thể xây dựng được đa thức nội suy có bậc tuỳ ý đối với n+1 cặp điểm nội suy (xi,yi) Và do đó khi số bậc của đa thức nội suy càng lớn thì sai số càng giảm

Một cách tổng quát, ta cần xây dựng một đa thức nội suy có bậc m như sau :

y = a1xm + a2xm-1 + +amx + am+1

Khi đó :

yi - a1xm - a2xm-1 - - amx - am+1 = εi , i = 1, 2 ,n là các sai số tại xi , do đó :

S = Σ( yi - a1xm - a2xm-1 - - amx - am+1 )2 là tổng bình phương các sai số Mục đích của phương pháp này là xác định các hệ số a1, a2, , am , am+1 sao cho S là bé nhất Như vậy a1, a2, , am , am+1 là nghiệm của hệ phương trình :

0 2

0 1

+

− + + +

+

= + +

− + +

+

= +

+

− + +

+

i y

m i x

m i x a

m i

x m a

m i

x m a

m i

x m

a

i

y i x

m i x a i

x m

a i

x m

a i

x m

a

i y

m i x a i

x m a i x m a n m

a

2 2

1

2 1

1 1

1 1

3 1

2 1

1

2 1 1

Giải hệ trên ta được các hệ số a1, , am+1 chính là các hệ số của phương trình đa thức nội suy cần xây dựng

IV.4 Sự Duy Nhất Của Đa Thức Nội Suy

có thì chỉ có một mà thôi

f(x) lúc đó :

Pn(xi) = yi, qn(xi) = yi

Vậy hiệu pn(x) - qn(x) là một đa thức có bậc ≤ n lại bị triệt tiêu tại n+1 giá trị khác nhau xi, i = 0, 1, , n (vì pn(xi) – qn(xi) = yi – yi = 0)

Do đó pn(x) - qn(x) phải đồng nhất không, nghĩa là pn(x) ≡ qn(x)

Đa thức nội suy có thể được xây dựng nhiều cách, nhưng vì nó có tính duy nhất nên tất cả các dạng của nó đều có thể quy về nhau được

V NHẬN XÉT

Các phương pháp vừa nêu trên tính gần đúng nghiệm của phương trình phi tuyến , tính gần đúng tích phân xác định, và nội suy đa thức với sai số cho phép Trong luận văn này sử dụng phương pháp chia đôi khoảng nghiệm, phương pháp này cho kết quả có sai số rất bé và thuật toán đơn giản Ngoài ra, sử dụng phương pháp simpson để phục vụ cho công việc tính gần đúng tích phân xác định Để đưa các mối quan hệ giữa các thông số sóng sét về dạng gần gũi phục vụ cho việc nghiên cứu và cho những ai quan tâm đến vấn đề này, phương pháp bình phương cực tiểu được sử dụng trong luận văn vì tính tổng quát và độ chính xác của nó

Như chúng ta đã biết biểu thức toán học của dạng xung dòng điện sét không chu kỳ đã được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực điện kỹ thuật điện áp cao có dạng:

0

τ τ

t t

e e I t i

Với I0 : biên đô dòng điện sét có thứ nguyên dòng điện

τ1 ; τ2 các hằng số thời gian với τ1 > τ2

I.2 Xác lập mối quan hệ các thông số thời gian

Ta tính đạo hàm i’(t):

0

2 2

1

t t

t t

e e

I e

e I t i

1

τ τ

t t

e e

I t i

Thời gian đầu sóng là thời gian dòng điện sét đạt giá trị cực đai ta cho i’(t) = 0

2

1 1

t t

e e

I t i

0 2

1 1

τ τ

t t

e e

2 1

2 1

1

τ τ

t t

e e

−

−

= Lấy logarit 2 vế và biến đổi ta được :

2 1

2 1

1 ln 1

τ τ

t t

e e

1 ln

2 1

τ τ

τ τ

t t

e e

−

−

+

= +

⇒

2 2 1

1

1 ln

1 ln

τ τ τ τ

t t

−

=

−

⇒

2 1 2

1

ln 1 ln ) 1 1 (

τ τ τ

2 1

2 1

1 2

ln 1

1

ln

τ

τ τ τ

τ τ τ τ

τ τ

2

1 ln τ

τ τ τ

τ τ

1

0

ds ds s

T

e e I e

e I t I

1 τ 0 5 τ τ

T T T

T

e e e

e

Đặt x = τ2 /τ1 với 0< x <1 khi đó

1

ln ln

1 1

1 ln

1 ln

1

1 2 1 2 2

x x x x

x x

Tds

τ

τ τ τ τ

τ

1

ln 1

ln

1

1 2 1 2 1

x x

Tds

τ

τ τ τ τ

τ τ

Thay vào phương trình trên ta được :

ln 1

ln

5

x x

x x x

x K x

x Kx

e e

e e

0 5

.

ln 1 ln 1

ln 1

x x x

x K x

x Kx

e e

e e

0 5

0 5

.

1 1

1

1 − − − − x− + −x =

k x x x

kx

x x

x x

Đặt M = K-1, ta có:

0 5 0 5

.

1 1

Mx x

x

x x x

x

Phương trình trên là phương trình siêu việt trong đó K là hằng số và x là nghiệm số nằm trong khoảng 0 < x < 1 Để giải phương trình này nhằm xác định các thông số dạng sóng ta phải tiến hành khảo sát hàm số f(x) =

x x

k x

x

x

kx

x x

x

x − − − − − + 1−

1 1

1

I.3 Khảo sát hàm số f(x):

Khai triển hàm f(x) dưới dạng khác:

x x x

x k x x x x

x kx

e e

e e

x

f = − − − − − + 1−

ln 1

ln 1

ln 1

ln

5 0 5

0 )

1 ln 1

ln 1

ln 1

e e

e e

x f

x x

x k x x x x

x kx x x

Aùp dụng quy tắc vô cùng bé ta có:

Khi x Ỉ 1 thì (1-x) Ỉ 0 Aùp dụng quy tắc vô cùng bé :

Ln[1-(1-x)] ~ [-(1-x)]

K x

x kx

1

1 lim

Tương tự :

K x

x kx

1

3 lim

1 1

)]

1 ( 1 ln[

1 1

)]

1 ( 1 ln[

Từ các kết quả trên ta được:

=>A = e-k – 0.5e-1 – e-k + 0.5e-1 = 0

I.3.2 Tìm giới hạn của f(x) khi x Ỉ 0 :

Đặt :

4 3 2 1

1 ln 1

ln 1

ln 1

e e

e e

x f

x x

x k x x x x

x kx x x

1 lim 1

ln lim ] ln [ lim

1

ln lim ln

lim

2 0 0

0

0 1

1 1

x x

x

x

x x K B

B e

x x

x

x

x x kx x

LnB1 = 0 Ỉ B1 = 1

Tương tự như trên ta tính cho các số hạng còn lại của biểu thức giới hạn trên

ta được kết quả

5 0 5

0 ln 1

ln lim 5 0 ln ln

] 5 0 [ lim

2 0

2

1 ln

0 2

x x B

e B

x

x x x x

0 ] [ lim ] [

0 1

x e x B

0 ] 5 0 [ lim ] 5 0 [

1

0 1

x x

B

Từ các kết quả trên ta được:

5 0 5 0 1 ) ( lim

I.4 Khảo sát đạo hàm f’(x):

Lấy đạo hàm f(x) ta được :

x x x

x k

x x x x

x k

e x

x x x x

e x

x x x x K

e x

x x x e

x

x x x K x f

ln 2

1 ln 2

1 ln 2

) 1 (

ln ) 1 ( 1 5 0 )

1 (

ln ) 1 ( 1

) 1 (

ln ) 1 ( 5 0 )

1 (

ln ) 1 ( ) ( '

Vì f’(x) không xác định tại x =1 và x = 0 nên ta xét giới hạn của nó :

I.4.1 Tìm giới hạn của f’(x) khi x Ỉ 1:

Tương tự cách tìm giới hạn của f(x), ta dùng quy tắc L’hospital

x k

x x x x

klx

x x

e x

x x x

e x

x x x x K

e x

x x x e

x

x x x K x

f C

1 ln 2 1

ln 2

1 ln 2

1 2

1 1

) 1 (

ln ) 1 ( 1 5 0 )

1 (

ln ) 1 ( 1

) 1 (

ln ) 1 ( 5 0 )

1 (

ln ) 1 ( lim ) ( '

4 3 2 1

− +

x x K

C

e x

x x K C

x x

x x k x

1

ln lim )

1 (

ln 1

ln lim ln

ln

) 1 (

ln 1

lim

1 2

1 1

1 ln 2 0

1

Aùp dụng quy tắc L’hospital:

k

x x

x x

x

Ke C

K K

C

K K

C

x K

x K

=

2 1

) 2

1 ln(

ln ln

2 lim ln ln ln

1

) ln 1 ( lim 2 2

1 lim ln ln ln

1 1

1

1 1

1 1

1 1

2

Tương tự ta có :

1 2

1 2

1 1 2

1 1

1 2

4 1

ln ) 2

1 ln(

5 0 ln ln

1 2 lim ln 5 0 ln ln

1

) ln 1 ( lim 2

2

1 lim

ln 5 0 ln ln

=

e C

e C

C

x x

C

x x

x x

x

x x x

x x x

x x

x

Ke C

K K

C

K x

x k

C

x

x K x

x x x x

K C

=

⇒

− +

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +

=

∗

2 1

) ( lim 2 lim ln ln ln

1

lim 2

2

ln 1 1 lim ln 1 ln ln ln

1

ln lim )

1 (

ln ) 1 ( ln lim

1 lim ln ln ln

3

1 1 1 3

1 1 1

3

1 2

1 1

3

1 4

1 1 4

1 1 1

4

1 2

1 1

4

4 1

1 2 lim ln 5 0 ln ln

1

lim 2

2

ln 1 1 lim ln 1 ln 5 0 ln ln

1

ln lim )

1 (

ln ) 1 ( ln lim 1 lim ln 5 0 ln ln

=

⇒

− +

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +

=

∗

e C C

x

x C

x

x x

x x x x

C

x x

x x x

x x

I.4.2 Tìm giới hạn của f’(x) khi x Ỉ 0

x x x

x k

x x x x

x x x

x kx

x x

Ke e

x

x x x

x k

e ke

x

x e

x k x

f D

1 ln ) 1 ( 1

ln 2 1

1

1 ln 1

ln 1

ln

0 0

5 0 )

1 (

ln 1

5 0 1

ln 1

lim ) ( ' lim

K D e

e x

K D

x x kx x

x x kx x

0

1 ln

1 1

1 ) ( lim

1 lim

ln

ln 1

ln 2 0 2

x x x x

x kx

x

x D

0 )

1 (

x

K D

0 ] 5 0 [

) 1 (

ln

ln ) 1 ( 2 0

x

x x D

I.5 Điều kiện tồn tại sóng xung cao áp và dòng cao :

Vì xỈ 1 thì f(x) Ỉ 0 và khi xỈ 0 thì f(x)Ỉ 0.5 như vậy để tồn tại nghiệm

duy nhất x thì trong khoảng x ∈ (0,1) giá trị f’(x) phải đổi dấu

g(k) là hàm đồng biến trong khoảng (1,+∞)

Giải phương trình tìm ra nghiệm k :

g(K) = 0.5e-1 – Ke-k

Dùng phương pháp chia đôi khoảng nghệm với thuật toán lập trình matlab tìm

được nghiệm duy nhất của phương trình(chương trình matlab xem chương IV phần

I.1)

K = 2.67834663

I.6 Kết luận :

Từ những kết quảkhảo sát ở trên ta thấy rằng biểu thức dạng sóng

0

τ τ

t t

e e I t i

Chỉ được sử dụng khi tỉ số giữa thời gian Ts và Tds thoả mãn điều kiện

k > 2.67834663

II XÁC ĐỊNH THÔNG SỐ SÓNG XUNG SÉT

Trong nội dung luận văn này ta tiến hành khảo sát 10 dạng sóng xung sét

chuẩn tiêu biểu để từ đó ta sử dụng khảo sát phổ tần số của chúng đồng thời tìm ra

quy luật chung nhất để đưa ra biểu thức tính phổ nhanh tiện lợi cho việc khảo sát và

nghiên cứu sóng xung sét sau này

Khảo sát xung dòng 8/20(μs)±10%

Ta có : Tds = 7.2 ÷ 8.8 (μs)

Ts = 18 ÷ 22 (μs) Hay ta có biểu thức Tds và Ts lại như sau :

Tdsi = Tdsmin + nΔTds = 7.2 + 0.05n với ΔTds = 0.05

Tsi = Tsmin + nΔTs = 7.2 + 0.2n với ΔTs = 0.2 Trong đó n = 0 ÷ 32

m = 0 ÷ 20 Theo điều kiện tồn tại sóng dòng thì K > 2.67834663

Nghĩa là :

n m

n m

n

m T

T K

ds s

66959 0 42 6

1339173

0 2841 19 2 0 18

6783663

2 05 0 2 7

2 0 18

Kết hợp với điều kiện m,n,x,K ta giải phương trình siêu việt sau bằng chương

trình matlab để tìm sóng có thực :

0 5 0 5

.

1 1

Mx x x

x x x

Từ đó ta xác định được thông số τ1, τ2 phục vụ cho công việc nghiên cứu sau

này

Tương tự như dạng sóng 8/20, ta tiến hành khảo sát cho các dạng sóng khác

Sau đây là thông số của một số dạng sóng, mỗi dạng ta chọn 5 sóng tiêu biểu

với cách chọn ngẫu nhiên (kết quả từ chương trình matlab chương IV phần I.2) :

Bảng 3-2 : Dạng Sóng 1.2/50(μs)

Bảng 3-7 : Dạng Sóng 4000/7500(μs)

4/10.8 4.760540831783 3.393194792600 4/11 5.511495265698 2.994212181429

4.1/11 4.437626864070 3.795772034246

III XÁC ĐỊNH MỐI LIÊN HỆ TOÁN HỌC CỦA CÁC THÔNG SỐ THEO MỘT HÀM GẦN ĐÚNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY

Theo lý thuyết đã nghiên cứu ở chương I, để xác định hàm toán học thể hiện mối liên hệ giữa hai thông số ta tiến hành phép nội suy để tìm hàm gần đúng sao cho sai số giữa thông số đầu và thông số xác định theo hàm là bé nhất Để phép nội suy mang tính tổng quát ta tiến hành nội suy theo phương pháp bình phương cực tiểu

Như ở phần đầu ta đã xác định mối quan hệ giữa các thông số dạng sóng khá phức tạp với hàm siêu việt, với hàm số như vậy khá khó khăn cho việc xác định thông số một cách nhanh chóng bằng cách tính tay thông thường mà cần phải thông qua chương trình máy tính Do đó, trong luận văn này từ việc lập trình tìm ra các thông số người viết còn muốn đem lại một kết quả rất tiện lợi cho những ai quan tâm đến vấn đề thông số sóng xung cao áp đó là việc tìm ra các hàm toán học gần đúng xác định mối liên quan giữa các thông số sóng xung cao áp

Ta có phương trình sau:

0 5 0 5

.

1 1

Mx

x

x

x x x

x

Trong đó :

1

2τ

Nội suy tìm mối liên hệ gần đúng giữa các thông số thời gian của dạng sóng 8/20 thông qua một hàm toán học: (kết quả từ chương trình matlab chương IV phần I.3)

Đồ thị biểu diễn mối liên hệ x = f(M) và đồ thị biểu diễn quan hệ lnx = f(lnM) có sự tương đồng từ đó ta có thể nhận thấy rằng hàm nội suy có dạng sau :

Lnx = a0 + a1lnM + a2 (lnM)2 + a3(lnM)3 + + an(lnM)n

Hệ số đa thức nội suy đối với dạng sóng 8/20:

Từ phương trình trên ta xác định lại giá trị x, τ1, τ2 và tiến hành kiểm tra Δx,

Δτ1,Δτ2 qua đó ta thấy được sai số của Δx theo x, Δτ1 theo x và Δτ2 theo x biểu thị

trong bảng số liệu phần IV chương IV

Ta có đồ thị thể hiện đường nội suy và đường gốc

-1.4

-1.2

-1 -0.8

Đường sai số Δx theo x, Δτ1 theo x và Δτ2 theo x

Khảo sát dạng sóng 4/10

Nội suy tìm mối liên hệ gần đúng giữa các thông số thời gian của dạng sóng 4/10 thông qua một hàm toán học: (kết quả từ chương trình matlab chương IV phần I.3)

Đồ thị biểu diễn mối liên hệ x = f(M) và đồ thị biểu diễn quan hệ lnx = f(lnM) có sự tương đồng từ đó ta có thể nhận thấy rằng hàm nội suy có dạng sau :

Lnx = a0 + a1lnM + a2 (lnM)2 + a3(lnM)3 + + an(lnM)n

Hệ số đa thức nội suy của dạng sóng 4/10

-0.6

-0.4

-0.2

0 DUONG NOI S UY B A C 7 V A DUONG GOC DA NG S ONG 4/10(us )

truc LnM

Từ phương trình trên ta xác định lại giá trị x, τ1, τ2 và tiến hành kiểm tra Δx,

Δτ1,Δτ2 qua đó ta thấy được sai số của Δx theo x, Δτ1 theo x và Δτ2 theo x biểu thị

trong bảng số liệu phần V chương IV

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -4

-3 -2 -1 0 1 2 3

CHƯƠNG III :

BIỂU THỨC TÍNH NHANH PHỔ TẦN SỐ CỦA

XUNG SÉT DẠNG CHUẨN

I SƠ LƯỢC VỀ BIẾN ĐỔI FOURIER THUẬN VÀ NGƯỢC

I.1 Lý Thuyết Chung Về Chuỗi Fourier

I.1.1 Định Nghĩa :

Lấy hàm f(x) xác định trong khoảng (-L,L) và ngoài khoảng này f(x+2L) = f(x), giả sử rằng f(x) có chu kỳ tuần hoàn là 2L Chuỗi fourier tương ứng với f(x) như sau:

∑∞

=

+ +

1

x n n L x n

L L n

dx L

x n x f L b

dx L

x n x f L a

π

π

sin ) ( 1

cos ) ( 1

Nếu f(x) có chu kỳ là 2L thì các hệ số an và bn có thể được xác định bằng :

L c L c n

dx L

x n x f L b

dx L

x n x f L a

2 2

sin ) ( 1

cos ) ( 1

π π

Trong đó c là số thực , n = 1,2,3 … Để xác định a0 ta chọn n=0 :

+

= c L

L c

x f L a

2

0 1 ( )

I.1.2 Chuỗi Fourier Của Hàm Liên Tục

Định lý : Lấy hàm f(x) liên tục trong khoảng đóng (-L,L) và hoặc là không

có cực trị trong khoảng đó hoặc là có một số hửu hạn thì chuỗi fourier của hàm này hội tụ đến bất kỳ điểm nào trong khoảng đó

I.1.3 Chuỗi Fourier Của Hàm Không Liên Tục

Điều kiện Dirchlet: giả sử rằng:

• f(x) xác định và đơn trị ngoại trừ một số hữu hạn điểm trong (-L.L)

• f(x) tuần hoàn bên ngoài (-L,L) với chu kỳ 2L

• f(x) và f’(x) liên tục trong khoảng (-L,L)

Thì chuỗi fourier hội tụ đến :

• f(x) nếu x là điểm liên tục

• [f(x+)+f(x-)]/2 nếu x là điểm không liên tục

Trong định lý này f(x+) và f(x-) là các giới hạn phải và giới hạn trái của f(x) tại x và được biểu diễn lim ( )

I.1.4 Các Hàm Chẵn Và Lẽ

Một hàm f(x) được gọi là hàm lẽ nếu f(-x) = -f(x)

Một hàm f(x) được gọi là hàm chẵn nếu f(-x) = f(x)

Dựa vào tính chất trên ta áp dụng vào biểu thức an, bn ta sẽ có kết quả đơn giản

Nếu f(x) là hàm lẽ:

L x n L

n

n

dx x

f b

a

πsin ) (

02

Nếu f(x) là hàm chẵn:

L x n L

n

n

dx x

f a

b

πcos ) (

02

I.1.5 Vi Phân Và Tích Phân Chuỗi Fourier

Vi phân và tích phân chuỗi fourier có thể hiệu chỉnh bằng cách sử dụng các định lý tổng quát cho các chuôi vô hạn Tuy nhiên phải nhấn mạnh các định lý này chỉ cung cấp điều kiện đủ không phải điều kiện cần Định lý sau có ích cho tích phân:

Định lý : chuỗi fourier tương ứng với f(x) có thể được lấy tích phân từng số hạng từ a đến x và chuỗi kết quả sẽ hội tụ đều đến ∫f(u)du từ a đến x với f(x) liên tục trong khoảng –L ≤ x ≤ L và cả a, x nằm trong khoảng này

I.1.6 Ký Hiệu Phức Cho Chuỗi Fourier

eiθ = cosθ + isinθ

e -iθ = cosθ - isinθ

Chuỗi fourier cho f(x) có thể viết dưới dạng sau:

ne c x

f ( ) π / Trong đó

n f x e dx c

:

/ 2

I.2 Biến Đổi Fourier Thuận Và Ngược

I.2 1 Biến Đổi Fourier Thuận :

Một hàm f(t) thoả các điều kiện Dirichlet trong miền thời gian có biến đổi fourier trong miền tần số như sau:

F ( ω ) jωt ( )

Trong đó :

t : thời gian

ω : tần số Có thể viết lại công thức trên dưới dạng khác như sau:

F(jω) = a(ω) + jb(ω) Từ đó xác định biên độ và pha của hàm biến đổi fourier như sau:

) (

) ( )

(

) ( ) ( )

ω

ω ω

ϕ

ω ω

ω

a

b arctag

b a

j F

Tính theo hệ số tương đối được xác định như sau :

0 0

) (

) ( )

j F

j F F

Hay có thể viết gọn lại như sau:

) 0 (

) ( ) (0

F

j F

F ω = ω Dạng đặc tính biến đổi fourier thường có dạng chung sau đây:

F0(ω)

1

ω Qua biến đổi fourier thuận này thấy rằng hàm biến đổi chỉ phụ thuộc vào tần số ω mà không phụ thuộc vào thời gian t, do đó đây là nhược điểm của biến đổi fourier thuận Để khắc phục nhược điểm này người ta dùng biến đổi fourier ngược

I.2.2 Biến Đổi Fourier Ngược:

Một hàm f(t) có thể tìm được từ F(jω) qua biến đổi ngược fourier như sau:

f ω jωt

1 ) ( Trong đó :

t : thời gian

ω :tần số góc

Hàm f(t) viết dưới dạng phụ thuộc tần số :

F(ω) = F(jω ) ejω = A(ω)cos(ωt ) + B(ω)sin(ωt ) Các hàm A(ω ), B(ω) được xác định như sau:

dt t f A

) ( ) (

) ( ) ( ω ω

) ( )

(

) ( )

F

ω

ω ω

II BIẾN ĐỔI FOURIER XUNG ĐIỆN ÁP SÉT

II.1 Mở Đầu :

Ưùng dụng lý thuyết fourier trình bày ở trên, tác động của hàm điện áp f(t) không liên tục có thể được thay thế bởi những số hạng vô hạn của các dao động điện áp sin và không sin dạng: