Nhận dạng dòng từ hóa và dòng sự cố trong máy biến áp dùng phép biến đổi wavelet

Wavelet là cơ sở khai triển toán học mới để biểu diễn hàm, là kỹ thuật mới để phân tích hệ trục thời gian – tần số của tín hiệu.. 2.2 Hoàn cảnh lịch sử 2.2.1 Trước 1930 Trước năm 1930,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-o0o -

PHẠM THỊ MINH THÁI

NHẬN DẠNG DÒNG TỪ HOÁ VÀ DÒNG SỰ CỐ

TRONG MÁY BIẾN ÁP DÙNG PHÉP

BIẾN ĐỔI WAVELET

CHUYÊN NGÀNH : MẠNG & HỆ THỐNG ĐIỆN

MÃ SỐ NGÀNH : 2.06.07

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH 07 - 2004

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TIẾN SĨ NGUYỄN HOÀNG VIỆT

Cán bộ chấm nhận xét 1:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cộng Hòa Xã Hội Chủ Nghĩa Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên : Phạm Thị Minh Thái Phái : Nữ

Ngày tháng năm sinh: 18 - 12 - 1979 Nơi Sinh : Phú Yên Chuyên Ngành : Mạng Và Hệ Thống Điện

Mã Số : 2.06.07

I Tên đề tài : NHẬN DẠNG DÒNG TỪ HOÁ VÀ DÒNG SỰ CỐ TRONG MÁY BIẾN ÁP DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

II Nhiệm vụ và nội dung :

1 Tìm hiểu dòng từ hoá tăng vọt và dòng sự cố trong máy biến áp

2 Tìm hiểu lý thuyết Wavelet và ứng dụng của Wavelet trong hệ thống điện

3 Ứng dụng phép biến đổi Wavelet vào bài toán nhận dạng dòng từ hoá và dòng sự cố trong MBA

III Ngày giao nhiệm vụ : 09 – 02 – 2004

IV Ngày hoàn thành : 09 – 07 – 2004

V Họ và tên CB hướng dẫn : Tiến Sĩ NGUYỄN HOÀNG VIỆT

Cán Bộ Hướng Dẫn Chủ Nhiệm Ngành Bộ Môn Quản Lý Ngành

- - - Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được hội đồng chuyên ngành thông qua

Khoa Quản Lý Ngành

LỜI CẢM ƠNTrước hết, tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nguyễn Hoàng Việt, người đã tận tình trực tiếp hướng dẫn tôi thực hiện hoàn thành luận án tốt nghiệp này

Xin chân thành cám ơn đến tất cả quí Thầy, Cô Trừơng Đại Học Bách Khoa đã trang bị cho tôi một khối lượng kiến thức rất bổ ích, đặc biệt xin chân thành biết ơn các Thầy Cô của Bộ môn Hệ Thống Điện đã tạo điều kiện thuận lợi và hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong quá trình học tập, công tác cũng như trong thời gian làm luận án này

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành nhất đến bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã giúp đỡ cho tôi rất nhiều, đã tạo cho tôi niềm tin và nỗ lực cố gắng để hoàn thành luận án này

TP.Hồ Chí Minh , tháng 07 năm 2004

Người thực hiện Phạm Thị Minh Thái

Trong quá trình vận hành hệ thống điện, chúng ta có thể gặp tình trạng sự cố, chế độ làm việc không bình thường của các phần tử Phần lớn các sự cố thường kèm theo hiện tượng quá độ, dòng sự cố tăng rất cao, áp giảm thấp Các hiện tượng không bình thường này cần phải được phát hiện và tác động kịp thời để khôi phục lại tình trạng vận hành ổn định của hệ thống

Việc ứng dụng rộng rãi các máy biến áp (MBA) cỡ lớn thì yêu cầu nhanh và tin cậy đối với bảo vệ rơle của MBA ngày càng trở nên quan trọng Cho đến nay, vấn đề chính mà các thiết bị bảo vệ MBA quan tâm là làm thế nào để xác định chính xác dòng từ hóa nhảy vọt trong MBA

Đối với bảo vệ MBA, cần đảm bảo độ tin cậy và tính ổn định, tác động đúng của các thiết bị bảo vệ trong trường hợp dòng điện tăng vọt khi đóng MBA không tải, dòng điện này có trị số lớn nhưng không phải là dòng điện sự cố Do đó để tránh việc tác động nhầm của bảo vệ khi xuất hiện dòng từ hóa nhảy vọt, ta phải phân biệt được dòng điện từ hoá tăng vọt và dòng sự cố để đưa tín hiệu điều khiển tác động đến máy cắt

Mặc dù dòng điện tăng từ hóa và dòng ngắn mạch bên trong máy biến áp đều có giá trị đỉnh lớn, tuy nhiên thành phần họa tần trong hai dòng quá độ này khác nhau Trong luận văn này, đưa ra một phương pháp mới để nhận biết được thành phần dòng từ hóa nhảy vọt trong MBA, và phân biệt giữa dòng sự cố và dòng từ hoá, đó là ứng dụng phép biến đổi wavelet, dựa trên nguyên tắc ràng buộc cơ bản đó là thành phần họa tần bậc hai Họa tần bậc hai được xem là thành phần điển hình của dòng từ hóa nhảy vọt

Biến đổi wavelet (WT) đóng vai trò quan trọng trong quá trình phát triển của biến đổi Fourier, tạo được sự chú ý và sử dụng thành công trong nhiều ứng dụng của các thập niên qua Ứng dụng của wavelet trong hệ thống điện cũng đang được chú ý những năm gần đây Trong luận văn này chủ yếu giới thiệu biến đổi wavelet trong bảo vệ hệ thống điện nhằm mục đích phát hiện dòng từ hóa nhảy vọt trong MBA, phân biệt với dòng sự cố, từ đó đảm bảo các bảo vệ không bị tác động nhầm

MỤC LỤC

Chương 1

LÝ THUYẾT VỀ DÒNG TỪ HÓA VÀ DÒNG SỰ CỐ TRONG MÁY BIẾN ÁP

Chương 2

GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT WAVELET

2.5 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete Wavelet Transform - DWT) 43

2.7 Sự phân tách nhiều mức (Multiple-Level Decomposition) 45 2.8 Sự tái tạo lại tín hiệu của Wavelet (Signal Wavelet Reconstruction)46

Chương 3

GIỚI THIỆU CÁC CÔNG CỤ THỰC HIỆN

3.3 Chương trình EMTP 57

Chương 4

THỰC HIỆN MÔ PHỎNG DÒNG ĐIỆN TRÊN EMTP

Chương 5

ÁP DỤNG KỸ THUẬT WAVELET VÀO BÀI TOÁN NHẬN DẠNG

5.3 Các trường hợp mô phỏng và thực hiện phương pháp nhận

Chương 6

Phần phụ lục

Tài liệu tham khảo

LÝ THUYẾT VỀ DÒNG TỪ HÓA VÀ DÒNG SỰ CỐ

TRONG MÁY BIẾN ÁP

1 DÒNG TỪ HOÁ TRONG MÁY BIẾN ÁP

1.1 Khái niệm dòng từ hóa

Dòng điện từ hoá tăng vọt là dòng điện xuất hiện vào thời điểm đóng máy biến áp không tải Hiện tượng này là hiện tượng quá độ trong máy biến áp (MBA), do đó rất khó nhận biết và phân tích chính xác được Tuỳ thuộc vào thời điểm đóng MBA, dòng điện từ hóa sẽ có giá trị rất lớn (gấp nhiều lần dòng định mức), dễ nhầm lẫn với dòng ngắn mạch, có thể gây hiện tượng cắt nhầm của máy cắt hay rơle

Dòng điện từ hoá tăng vọt phụ thuộc vào điều kiện vận hành của MBA, góc pha điện áp đóng cắt ban đầu và từ dư trong lõi từ MBA

Nguyên nhân làm cho dòng từ hoá có giá trị cao là do sự sai lệch giữa từ dư trong lõi từ của máy biến áp và từ thông xác lập tức thời tại thời điểm đóng nguồn điện áp vào máy biến áp

1.2 Đặc điểm dòng từ hoá

Dòng từ hóa có đặc điểm là xảy ra trong thời điểm quá độ với khoảng thời gian ngắn và sẽ tắt nhanh Ngược lại dòng ngắn mạch sẽ xảy ra tại thời điểm sự cố và nó duy trì trong khoảng thời gian dài đến khi nào ta cắt được sự cố ngắn mạch ra khỏi hệ thống

Dòng từ hoá tỉ lệ và cùng pha với từ thông, giá trị thực sự của dòng từ hoá tùy thuộc vào cảm kháng cuộn dây và sẽ rất lớn khi lõi bão hòa Đồng thời phụ thuộc rất nhiều vào giá trị điện áp ban đầu đặt vào dây quấn và từ dư trong các trụ từ của các pha dây quấn máy biến áp Sự thay đổi điện áp càng lớn thì sự sai lệch giữa từ dư trong trụ từ và từ thông xác lập tức thời tại thời điểm đóng máy biến áp vào nguồn càng lớn Do đó, giá trị đỉnh dòng từ hoá tăng vọt tương ứng sẽ càng cao Như vậy những góc pha điện áp ban đầu gần 0° hay 180°sẽ có dòng xung kích lớn hơn nhiều so với những góc pha điện áp ban đầu lân cận 90° hay 270°

Giá trị từ dư phụ thuộc vào đường cong từ trễ của vật liệu sắt từ và tổn hao trong lõi thép Với các máy biến áp thông thường, giá trị từ dư cực đại có thể bằng 80 - 90% từ thông cực đại khi máy vận hành định mức

Dạng sóng của dòng từ hóa máy biến áp chứa tỉ lệ họa tần tăng khi mật độ từ thông đỉnh tăng tới bão hòa Phân tích dạng sóng từ hóa ta nhận thấy thành phần họa tần bậc 2 chiếm phần lớn Phân tích trong các trường hợp với kích cỡ máy biến áp khác nhau thấy rằng thành phần này không nhỏ hơn 35%

Đối với hệ thống điện, hiện tượng dòng từ hoá tăng vọt có thể làm cho rơle tác động nhầm dẫn đến hệ thống vận hành sai, mất ổn định, … Chính vì vậy cần quan tâm đến việc phân tích và thiết kế cũng như trong khi vận hành và bảo vệ

1.3 Dòng từ hoá trong MBA

Khảo sát hiện tượng dòng từ hoá tăng vọt trong MBA xảy ra khi đóng MBA vào lưới điện lúc không tải

Xét quan hệ giữa dòng từ hoá im , từ thông φ, và đặc tính phi tuyến và từ trễ (hysteresis) của lõi thép MBA có ảnh hưởng lớn đến dòng quá độ khi mô phỏng chính xác mô hình MBA Qua một số nghiên cứu của nhiều tác giả cho thấy, ảnh hưởng của từ dư trong chu kỳ đầu tiên khi đóng MBA là lớn nhất, giá trị dòng tăng vọt là lớn nhất và giảm dần trong các chu kỳ sau, đến chu kỳ thứ 10 thì gần như bằng phẳng Trong bài này, chỉ tiến hành mô phỏng lấy kết quả khảo sát trong 3 chu kỳ đầu

Khi MBA làm việc không tải, dòng điện không tải Io rất nhỏ và không vượt quá 10% Iđm Nhưng trong quá trình quá độ khi đóng MBA không tải vào lưới điện thì

Io tăng gấp nhiều lần dòng điện định mức

MBA được mô hình như là cuộn kháng ở trạng thái xác lập, từ thông cảm ứng trong lõi tỷ lệ với dòng từ hoá và lệch 90o với điện áp đưa vào

Xem xét mô hình MBA có lõi sắt từ sau:

Hình 1.1 Sơ đồ đóng MBA vào lưới điện lúc không tải

Giả sử đóng MBA vào nguồn điện áp hình sin, ta có phương trình cân bằng sức điện động:

d w r i ) t sin(

Trong đó ψ - góc pha của điện áp lúc đóng mạch

Quan hệ giữa φ và Io trong MBA là quan hệ của đường cong từ hoá, để việc tính toán được đơn giản, ta giả thiết rằng từ thông tỉ lệ với dòng điện io, nghĩa là :

r ) t sin(

w

U

1

1 1

=

• Thành phần xác lập của từ thông :

(ω + ψ)φ

=

2 t

2 1 1

m 1 1 m

L r

w

U L ω +

= φ

• Thành phần từ thông tự do :

1

e cos ψ ± φ −φ

=

Theo các biểu thức (3), (4), (6) ta được :

t L r dư m

1

e ) cos

( ) t cos( ω + ψ + φ ψ ± φ −φ

−

=

Từ biểu thức (7) ta thấy rằng:

- Điều kiện thuận lợi nhất khi đóng máy biến áp không tải vào lưới điện xảy ra lúc

2 t

m ω + π = φ ω φ

−

=

Nghĩa là trạng thái xác lập được thành lập ngay và không xảy ra quá trình quá độ

Sự biến thiên của từ thông φ = f(t) lúc đóng mạch với điều kiện thuận lợi nhất

- Ngược lại điều kiện bất lợi nhất xảy ra nếu khi đóng mạch ψ = 0 (điện áp lúc đó bằng không) và φdư có dấu dương Lúc đó :

t L r dư m

1

e ) (

t cos ω + φ + φ −φ

−

=

Và đường biểu diễn tương ứng trình bày ở hình 2 Từ hình 2 ta thấy rằng từ thông

φ sẽ đạt tới trị số cực đại ở thời gian nửa chu kỳ sau khi đóng mạch, nghĩa là khi

ωt ≈ π

Hình1 2 Sự biến thiên của từ thông φ = f(t) lúc đó đóng mạch với điều kiện

không thuận lợi nhất

Vì r1 << ωL1, nên :

1 e

1 1

1

L

r t L

Vì thời gian quá độ rất ngắn (6 ÷ 8s) nên dòng điện quá độ không nguy hiểm đối với MBA, nhưng có thể làm cho rơle bảo vệ tác động, cắt MBA ra khỏi lưới điện,

vì vậy cần phải chú ý để tính toán và chỉnh định rơle cho đúng

Đặc tính φ-i, φ-t, i-t được biểu diễn ở hình vẽ 3, mô tả mối quan hệ giữa sự biến thiên của từ thông khi có từ dư theo thời gian, và mối quan hệ giữa từ thông φ và dòng điện từ hoá tăng vọt i

Hình 1.3 Các đặc tính φ-i, φ-t và i-t

1.4 Khảo sát các trường hợp đóng MBA không tải

1.4.1 Máy biến áp một pha

Máy biến áp một pha khi khảo sát hiện tượng từ hoá tăng vọt trong trường hợp

đóng MBA không tải, phía thứ cấp của máy biến áp đang hở mạch và không tham

gia vào quá trình xảy ra ở phía sơ cấp, mô hình như sau:

Hình 1.4 Mạch tương đương của máy biến áp một pha

ƒ R : điện trở nối tiếp của sơ cấp máy biến áp, gồm điện trở nguồn và điện trở cuộn sơ cấp máy biến áp

ƒ X: điện kháng nối tiếp của sơ cấp máy biến áp, gồm điện cảm nguồn và điện cảm cuộn sơ cấp máy biến áp

ƒ Xm : điện kháng từ hoá máy biến áp

Phương trình điện áp mô tả mạch như sau:

( )

dt

tdwdt

)t(

diL)t(Ri)t(

ƒ w1 : số vòng dây sơ cấp máy biến áp

ƒ i(t) : dòng điện xung kích bên sơ cấp của máy biến áp

ƒ w1

dt

dφ : sức điện động cảm ứng trong dây quấn sơ cấp máy biến áp

1.4.2 Máy biến áp ba pha

Với các máy biến áp ba pha thông thường, các kiểu đấu dây khác nhau có ảnh hưởng đến mô tả toán học trong các pha dây quấn Do đó cần phân biệt các trường hợp đấu dây khác nhau để thành lập mô hình toán được chính xác

Mô hình MBA được mô phỏng trên EMTP, dùng các cuộn kháng phi tuyến để mô tả nhánh từ hoá, chức năng của mỗi phần tử được trình bày trong phần phụ lục

a Trường hợp Y-Y, trung tính sơ cấp nối đất trực tiếp

Trong trường hợp này các pha được xét riêng biệt như ba máy biến áp một pha Các điện áp của các pha dây quấn không ảnh hưởng lẫn nhau, do đó các dòng điện pha dây quấn cũng không phụ thuộc nhau:

Hình 5 - Mạch tương đương của máy biến áp ba pha Y-Y,

trung tính sơ cấp nối đất trực tiếp

Các phương trình mô tả mạch:

( )dt

t d w dt

) t ( di L ) t ( Ri ) t (

1

A 1 A

A

φ + +

=

( )dt

t d w dt

) t ( di L ) t ( Ri ) t (

1

B 1 B

B

φ + +

( )dt

t d w dt

) t(

di L ) t ( Ri ) t(

1

C 1 C

C

φ + +

=

b Trường hợp Y-Y, trung tính sơ cấp cách ly

Hình 6: Mạch tương đương của máy biến áp ba pha Y-Y,

trung tính sơ cấp cách ly

Trong trường hợp này chỉ có hai phương trình điện áp cho hai mạch vòng qua các pha dây quấn và một phương trình cân bằng dòng pha tại điểm trung tính

Các phương trình mô tả mạch:

dt

) (

d w dt

) i i(

d L )}

t ( i ) t ( i { R ) t ( v

B A

B

φ

− φ +

− +

d w dt

) i i(

d L )}

t ( i ) t ( i { R ) t ( v

)

t(

1 B C 1 B

C B

C

φ

− φ +

− +

−

=

iA + iB + iC = 0

c Trường hợp Y-Y, trung tính sơ cấp nối đất qua tổng trở

Hình 7- Mạch tương đương của máy biến áp ba phaY-Y,

trung tính sơ cấp nối đất qua tổng trở

Tổng trở nối đất là: ZN = RN + jωLN

Các phương trình mô tả mạch:

dt

) (

d w dt

) i i(

d L )}

t ( i ) t ( i { R ) t ( v

B A

dt

) (

d w dt

) i i(

d L )}

t ( i ) t ( i { R ) t ( v

)

t(

1 B C 1 B

C B

C

φ

− φ +

− +

{

R

N C B A N

N

+ + +

+ +

=

( )dt

t d w dt

) t(

di L ) t ( i R ) t ( v

1 N

A

φ + +

=

−

d Trường hợp Y-D, trung tính sơ cấp nối đất trực tiếp

Xét pha A, dòng điện pha A gồm hai thành phần: thành phần từ hoá imA và thành phần cân bằng với dòng tải iD chạy bên phía thứ cấp

Các phương trình cân bằng có dạng:

Dòng iD được tính từ mạch thứ cấp, theo phương trình cân bằng giữa điện áp cảm ứng và các điện áp rơi trên các tổng trở pha thứ cấp

dt

t d w dt

t i w

w t i d L t i w

w t i R

t

D mA

D mA

A

φ

1 1

2

1 1

2 1

] [

]

+ +

w t i d L t i w t i R

]

+ +

+

⋅

Hình 1.8 - Mạch tương đương của máy biến áp ba phaY-D,

trung tính sơ cấp nối đất trực tiếp

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

dt

t d w dt

t i w

w t i d L t i w

w t i R

t

D mC

D mC

C

φ

1 1

2

1 1

2 1

] [

]

+ +

t di L t

i

D

φφ

φ + +

− +

= 3 2 3 2 2

0

e Trường hợp Y-D, trung tính sơ cấp cách ly

Các phương trình mô tả mạch:

Hình1.9 Mạch tương đương của máy biến áp ba phaY-D,

trung tính sơ cấp cách ly

dt

dwdt

iidLtitiRtvt

1 mA mB 1 mA

mB 1 A

B

φ

−φ+

−+

iidLtitiRtvt

1 mB mC 1 mB

mC 1 B

C

φ

−φ+

−+

−

=

−

D 2

1 mC mB

w

w3iii

dt

dwdt

tdiL3tiR

3

2 D

2 D

2

φ+φ+φ

−+

=

f Trường hợp Y-D, trung tính sơ cấp nối đất qua tổng trở

Các phương trình mô tả mạch:

g Trường hợp D –Y

Trong trường hợp này các dòng pha dây quấn độc lập với nhau và được xác định từ các điện áp dây tương ứng Dây quấn thứ cấp không tham gia vào các quá trình biến đổi phía sơ cấp và do đó không cần xét đến

Hình 1.10 Mạch tương đương của máy biến áp ba phaY-D,

trung tính sơ cấp nối đất qua tổng trở.

dt

d w dt

i i d L t i t i R t v t

1 mA mB 1 mA

mB 1 A

B

φ

− φ +

− +

i i d L t i t i R t v t

1 mB mC 1 mB

mC 1 B

C

φ

− φ +

− +

w 3 i i i d L i w

w 3 i i i R v

D 1

2 mC mB mA

N D 1

2 mC mB mA N N

) (

) (

+ + + +

+ + +

dt

d w dt

i w

w t i d L i w

w t i R t v t

1

D 1

2 mA

1 D 1

2 mA

1 N

A

φ +

+ +

+

=

−

] [

] [

2 D

dt

t di L 3 t i R 3

0 = + − φ + φ + φ

Các phương trình mô tả:

Các dòng điện dây được tính trên cơ sở các dòng pha qua dây quấn:

2 DÒNG SỰ CỐ BÊN TRONG MÁY BIẾN ÁP

Sự cố bên trong MBA bao gồm các dạng như:

- Chạm đất một pha cuộn dây nối sao có trung tính nối đất trực tiếp hoặc nối đất qua tổng trở

- Sự cố bên trong cuộn tam giác MBA

- Ngắn mạch giữa các pha trong MBA ba pha

- Chạm giữa các vòng dây bên trong MBA

mC mB

i = −

mA mB

B i i

i = −

mB mC

t di L t i R t v t

vA B 1 mA 1 mA 1 A

( )− ( )= ( )+ ( )+ φ ( )⋅

dt

t d w dt

t di L t i R t v t

1 mB

1 mB 1 C

B

( )− ( )= ( )+ ( )+ φ ( )⋅

dt

t d w dt

t di L t i R t v t

1 mC

1 mC 1 A

C

(19)

Hình 1.11 Mạch tương đương của máy biến áp ba pha D-Y.

Tuy nhiên trong luận văn này chỉ khảo sát một số dạng sự cố trong MBA cho một số trường hợp tiêu biểu Ở đây, do thời gian thực hiện đề tài quá ngắn, do đó chỉ mô phỏng minh họa trường hợp sự cố một pha chạm đất, hai pha chạm nhau chạm

đất, và ba pha chạm đất đối với MBA nối Y-Y

Mô hình dòng sự cố phía trong MBA được thực hiện tương tự như mô phỏng dòng từ hoá tăng vọt

GIỚI THIỆU VỀ WAVELETS

2.1 Tổng quan về Wavelet

Wavelet có nghĩa là “sóng nhỏ”hoặc có thể hiểu là những tín hiệu có dao động nhỏ, đây là thuật ngữ khoa học, qua quá trình nghiên cứu và tìm hiểu, ý nghĩa chính xác của nó thể hiện về mặt toán học, do đó tốt nhất ta vẫn gọi tên là

“Wavelet”

Hiện nay, Wavelet là một trong những đề tài được quan tâm của nhiều nhà toán học và kỹ thuật trên thế giới Wavelet là công cụ tổng quát, mang ý nghĩa toán học và có khả năng áp dụng thực tế rất lớn

Wavelet là cơ sở khai triển toán học mới để biểu diễn hàm, là kỹ thuật mới để phân tích hệ trục thời gian – tần số của tín hiệu Quá trình xấp xỉ tín hiệu dùng phương pháp xếp chồng được sử dụng vào trước thập niên 1800, khi Joseph Fourier khám phá ra nguyên lý xếp chồng dạng sin và cosin để biểu diễn hàm

Tuy nhiên, đối với phân tích Wavelet, thang tỷ lệ (scale) và thuật toán đa phân giải (multi-resolution) đóng vai trò đặc biệt quan trọng đối với xử lý dữ liệu

Wavelet đã đưa ra được mức phân giải tốt theo thời gian lẫn tần số Nghĩa là, nếu

chúng ta quan sát tập dữ liệu qua cửa sổ (window) lớn thì ta sẽ nhận thấy được đặc tính thô (gross), còn nếu ta quan sát qua của sổ nhỏ thì ta sẽ được những đặc tính tinh (small) Vì vậy, để dễ hình dung, ta có thể nói rằng kỹ thuật này cho

phép chúng ta nhìn thấy được “khu rừng” và “từng thân cây” ở trong nó Đặc điểm này rất quan trọng đối với việc giải tích tín hiệu không dừng (nonstationary signal analysis)

Trong quá trình xử lý tín hiệu, họ đã nghiên cứu các phép phân tích Fourier dựa

vào hàm nguyên mẫu đơn, và các hệ số tỷ lệ (scales) và dịch chuyển (shifts) Sự

biến thiên của hàm số mũ phức trong biến đổi Fourier được thay thế bằng các toán tử tỷ lệ và khái niệm về tỷ lệ trong miền tần số Nền tảng toán học chính trong quá trình xây dựng phép biến đổi là kỹ thuật đa phân giải (multiresolution) và dãy bộ lọc (filter banks)

Tập hợp các sóng ngắn wavelet được dùng để xấp xỉ một tín hiệu, mỗi phần tử trong tập wavelet được xây dựng từ một hàm đơn điệu, hàm wavelet gốc, được gọi là hàm wavelet mẫu Mỗi phần tử của tập wavelet là một hàm wavelet mẫu được co giãn (scaled) và dịch chuyển (translated)

Lý thuyết wavelet có thể được dùng trong nhiều lĩnh vực và nhiều ứng dụng như: giải tích ảnh (image analysis), hệ thống thông tin, hệ thống rada, âm học khí (air-acoustics), cơ sở lý thuyết toán học, hệ thống điều khiển, xử lý tín hiệu

2.2 Hoàn cảnh lịch sử

2.2.1 Trước 1930

Trước năm 1930, Joseph Fourier cùng với thuyết của ông về phân tích trong miền tần số dựa trên cơ sở toán học đã dẫn dắt đến sự ra đời và phát triển Wavelet như là sự kế thừa và phát triển phép biến đổi Fourier Ông khẳng định rằng bất kỳ hàm số có chu kỳ tuần hoàn 2 π đều được biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi các số hạng Fourier

∑∞

=

+ +

1

0 a cos kx b sin kx a

Các hệ số a0 , ak và bk được tính như sau:

∫π

π

= 20

Lý thuyết Fourier đóng vai trò rất quan trọng và cần thiết trong vấn đề đánh giá phân tích các hàm toán học Sau 1807, từ sự bùng nổ của ý nghĩa hàm số, sự hội tụ của chuỗi Fourier, hệ thống trực giao, các nhà toán học đã đưa ra các khái

niệm từ phân tích tần số (frequence analysis) đến phân tích tỷ lệ (scale analysis)

Nghĩa là, phân tích hàm số f(x) bằng cách tạo nên cấu trúc toán học có thể thay đổi thang tỷ lệ Xây dựng một hàm số, dịch chuyển nó bởi một hệ số dịch chuyển, và thay đổi tỷ lệ của nó Cấu trúc này được áp dụng để xấp xỉ một tín hiệu

Đề cập đến vấn đề Wavelet đầu tiên chính là A.Haar Tuy nhiên, các hàm Wavelet Haar không có tính chất vi phân liên tục, do đó còn giới hạn trong việc ứng dụng chúng

2.2.2 Vào thập niên 30

Vào những năm 30, một vài nhóm làm việc độc lập nhau, nghiên cứu sự biểu diễn của hàm số dùng các hàm cơ sở thay đổi tỷ lệ được Hàm đó được gọi là hàm cơ sở Haar Nhà vật lý Paul Levy đã khám phá ra sự chuyển động Brownian, một loại tín hiệu ngẫu nhiên Ông đã tìm thấy sự phát triển cao hơn của hàm Haar so với hàm cơ sở Fourier trong việc nghiên cứu những chi tiết phức tạp nhỏ trong chuyển động Brownian

Một nghiên cứu khác trong những năm 30 đó là nỗ lực nghiên cứu của Littlewood Paley và Stain về việc tính toán năng lượng của hàm số f(x):

( )

∫π

= 20

2 dx x f 2

1 energy

Kết quả tính toán có sự sai lệch nếu như năng lượng được tập trung xung quanh một vài điểm hoặc phân bố trên khoảng thời gian rộng Kết quả này lào náo động các nhà khoa học thời bấy giờ bởi vì điều này có nghĩa là năng lượng không thể được bảo toàn Các nhà nghiên cứu đã khám phá ra được một hàm số có thể thay đổi thang tỷ lệ và có thể bảo toàn năng lượng khi tính toán hàm năng lượng Công việc này đã giúp cho David Marr với thuật toán hiệu quả trong xử lý ảnh dùng Wavelet vào đầu thập niên 1980

2.2.3 Từ 1960 – 1980

Giữa những năm 1960-1980, hai nhà toán học Guido Weiss và Ronald R.Coifman đã nghiên cứu các thành phần đơn giản nhất của một không gian hàm, gọi là

atoms, với mục đích tìm những atom cho một hàm chung, và tìm ra luật hội tụ cho

phép tái cấu trúc tất cả các thành phần thuộc không gian hàm số dùng những atom này Năm 1980, Grossman và Morlet, một nhà vật lý và một kỹ sư, đã mở rộng khái niệm Wavelet trong vật lý lượng tử Hai nhà nghiên cứu này đã đưa ra một cách nhìn về Wavelet dựa vào khả năng trực giác tự nhiên

2.2.4 Sau 1980

Vào năm 1985, Stephane Mallat đã đưa ra một ứng dụng về Wavelet trong lĩnh vực xử lý ảnh Ông đã tìm ra được mối quan hệ giữa bộ lọc gương cầu phương (Quadrature Mirror Filter), giải thuật hình tháp, và cơsở Wavelet trực chuẩn Góp một phần đáng kể vào kết quả này, Y.Meyer đã xây dựng nên Wavelet đầu tiên rất quan trọng Không giống như Wavelet Haar, Wavelet Meyer có tính vi phân liên tục Hai năm sau, Ingrid Daubechies sử dụng thuyết của Mallat để xây dựng một tập các hàm cơ sở Wavelet trực chuẩn, và đã trở thành nền tảng, cơ sở cho các ứng dụng Wavelet ngày nay

2.3 Phân tích Fourier

2.3.1 Phép biến đổi Fourier (Fourier Transforms - FT)

Phép biến đổi Fourier là một công cụ rất mạnh được sử dụng phổ biến trong phân tích tín hiệu Qua phép biến đổi, các thành phần tần số không thấy được trong miền thời gian có thể được hiển thị rõ ràng trong miền tần số Tuy nhiên khi chuyển tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số thì các thông tin về miền thời gian lại hoàn toàn bị mất Do đó biến đổi Fourier truyền thống không thích hợp dể phân tích các tín hiệu không dừng (nonstationary)

Hình 2.1 - Phép biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier (FT) của một tín hiệu x(t) được định nghĩa là:

Với ω = 2πf là tần số của tín hiệu

Tích phân này lấy trong toàn miền thời gian của tín hiệu f(t) với hàm mũ cơ số e Những kết quả của biến đổi là những hệ số Fourier F(ω) (được gọi là phổ tần số của f(t)) mà khi nhân với 1 sóng hình sin với tần số tương ứng, sẽ cho ra các thành phần hình sin của tín hiệu nguyên mẫu

Phân tích Fourier

Các thành phần hình sin có tần số khác nhau

Hình 2.2 - Phép biến đổi Fourier của tín hiệu có chu kỳ

Phép biến đổi Fourier chuyển tín hiệu từ miền thời gian t sang miền tần số ω (hay f) X(ω) được gọi là phổ tần số của tín hiệu x(t), bao gồm tất cả các thành phần tần số có trong tín hiệu x(t)

Như vậy, ta thấy rằng FT cho chúng ta biết được tổng các thành phần tần số có trong tín hiệu, chúng ta không thể biết được các thành phần tần số xuất hiện ở những thời điểm nào trong tín hiệu Bất kỳ một sự thay đổi đột biến biên độ nào của tín hiệu trong miền thời gian đều được trãi rộng trên khắp trục tần số trong biến đổi Fourier, và thời điểm đột biến của tín hiệu bị mất hoàn toàn

Xét ví dụ biến đổi Fourier của một hàm xung x(t) xuất hiện tại thời điểm t = 0 cho kết quả là một phổ X(ω) = 1 trên toàn trục ω, không có một thông tin nào về thời điểm xuất hiện của xung δ(t)

Hình 2.3 - FT của xung Dirac

Nếu một tín hiệu không thay đổi nhiều trên toàn miền thời gian thì có thể sử dụng được phép biến đổi Fourier này, nhưng đa số những tín hiệu trong thực tế đều chứa đựng nhiều đặc tính động như ở trạng thái quá độ, các thay đổi đột ngột, sự trôi (drift)… Những đặc tính này thường là phần quan trọng nhất của tín hiệu, nhưng biến đổi Fourier thì chưa mô tả đầy đủ đặc tính này

Độ phân giải thời gian tần số và nguyên lý bất định

Khi phân tích các loại tín hiệu không dừng (nonstationary), chúng ta không những chỉ cần các thông tin về tần số của tín hiệu mà còn cần biết thời gian xuất hiện các tần số đó, tức có thể biểu diễn tín hiệu trên cả hai trục thời gian và tần số (theo trục thứ 3 là biên độ) Như vậy, một phép phân tích (biến đổi) được gọi là

thích hợp với tín hiệu không dừng phải đồng thời tính định vị thời gian và tính

định vị tần số Tính định vị của một phép phân tích lệ thuộc vào tính định vị của

các hàm cơ sở của phép phân tích đó Do đó các hàm cơ sở được sử dụng để phân tích tín hiệu không dừng phải định vị tốt trong thời gian và tần số

Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa tính định vị của một hàm cơ sở, nhưng tất cả đều liên quan đến việc "trải rộng" hàm theo thời gian và tần số Ví dụ, cho một hàm cơ bản f(t) có phổ là F(ω), ta có thể xác định các khoảng It và Iω chứa 90% năng lượng của các hàm miền thời gian và tần số tập trung quanh trọng tâm của

|f(t)|2 và |F(ω)|2 Khối (It x Iω) được gọi là một viên ngói trong mặt phẳng thời gian - tần số, như mô tả trên hình 4.3 Viên ngói này chính là định vị của hàm cơ sở f(t) theo thời gian và tần số

Hình 2.4 Viên ngói định vị thời gian - tần số của hàm cơ sở f(t), nơi chứa 90% năng lượng của các hàm miền thời gian và miền tần số (F(ω))

Bây giờ ta xét đến các phép toán cơ bản trên hàm cơ sở và ảnh hưởng của chúng lên viên ngói định vị

• Dịch hàm một khoảng τ theo thời gian làm viên ngói cũng bị dịch đi một

khoảng τ theo trục thời gian

• Biến điệu (nhân) hàm bởi j o t

eω làm viên ngói dịch chuyển một knoảng ωo theo trục tần số (hình 2.5a)

• Nhân tỉ lệ (scaling) hàm bởi một hệ số a, tức f’(t) = f(at) , ta được một vỉên ngói mới xác định bởi I’t = (l/a)It và I’ω = aIω (theo tính chất củ a biến đổi Fourier) Như vậy cả hình dạng và vị trí của viên ngói đều bị ảnh hưởng (hình 2.5b)

Hình 2.5 Các phép toán cơ bản trên hàm1 cơ sở làm ảnh hưởng lên viên ngói thời gian - tần số.(a) Dịch thời gian một khoảng τ của f ta

được f’ và biến điệu f bằng e jωo tcho ra f’’ (b) Nhân tỉ lệ f bởi a = 1/3, f’(t) = f(at)

Như vậy thao tác dịch và biến điệu hàm cơ sở không làm thay đổi kích thước của viên ngói, chỉ làm viên ngói tịnh tiến theo theo trục thời gian và tần số Nếu ta chọn các giá trị τ và ω thích hợp thì toàn bộ mặt phẳng thời gian - tần số có thể được bao phủ hoàn toàn Trong khi đó phép nhân tỉ lệ làm thay đổi độ rộng của viên ngói theo thời gian và tần số, It và Iω nhưng tích của chúng không thay đổi

Ta thấy rõ ràng tính định vị của một hàm cơ sở theo thời gian - tần số càng tốt nếu kích thước của viên ngói, lt và Iω càng nhỏ Nếu It càng nhỏ thì hàm định vị càng tốt theo thời gian Tương tự, Iω càng nhỏ thì tính vị tần số càng tốt Kích thước của viên ngói định vị của từng hàm cơ sở quy định nên độ nét của sự phân tích theo thời gian - tần số, kích thước này càng nhỏ thì độ nét của phép phân tích

càng lớn Độ nét này còn được gọi là độ phân giải theo thời gian và tần số Độ

phân giải thời gian càng tốt nếu độ rộng thời gian It của các hàm cơ sở càng nhỏ Trong khi đó độ phân giải tần số càng tốt nếu độ rộng tần số ω càng nhỏ Tuy nhiên chúng ta không thể cùng một lúc đạt đươc độ phân giải tôát trong cả hai miền thời gian và tần số vì chúng tuân theo nguyên lý bất định sau đây

Nguyên lý bất định

Cho một hàm cơ sở f(t) có phổ là F(ω) tập trung quanh gốc thới gian và tần số Độ rộng thời gian Δt và độ rộng tần số Δω của f(t) được định nghĩa:

Đẳng thức chỉ xảy ra với tín hiệu Gauss:

2

) (t e t

π

α −

=

Nguyên lý bất định cho thấy rằng trong phân tích tín hiệu chúng ta không thể xác

định chính xác tần số nào xảy ra ở thời điểm nào, mà chỉ có thể biết được khoảng

tần số nào xảy ra ở một khoảng thời gian nào mà thôi, tức không thể xác định một

điểm mà chỉ có thể xác định được một viên ngói trong mặt phẳng thời gian - tần số như trên

Nguyên lý đặt ra một điểm chặn trên cho độ phân giải tối đa theo thời gian và tần số của bất kỳ một phép biến đổi tuyến tính nào Không thể đạt được độ phân giải tốt trên cả hai miền thời gian và tần số Nếu tăng độ phân giải tần số tốt thì độ phân giải thời gian sẽ giảm, và ngược lại Chỉ có thể đạt được độ phân giải tối ưu nếu sử dụng các hàm Gauss làm các hàm cơ sở của phép biến đổi

2.3.2 Biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transforms - STFT)

Để khắc phục nhược điểm này, Dennis Gabor (1946) đã sử dụng một cách linh hoạt biến đổi Fourier để phân chia tín hiệu ra thành từng đoạn đủ nhỏ theo thời gian, thì tín hiệu trong mỗi đoạn có thể xem là tín hiệu dừng; và do đó có thể lấy biến đổi Fourier trên từng đoạn tín hiệu này Như vậy, phép biến đổi vừa có tính định vị theo tần số do tính chất của biến đổi Fourier, vừa có tính định vị theo thời gian do được tính trong từng khoảng thời gian ngắn Đây là nguyên lý của biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT), hay còn gọi là biến đổi Fourier cửa sổ hóa

(Windowed Fourier Transform)

Trong STFT, tín hiệu f(t) đầu tiên được nhân với một hàm cửa sổ w(t - τ) để lấy được tín hiệu trong một khoảng thời gian ngắn xung quanh thời điểm τ Sau đó, phép biến đổi Fourier bình thường được tính trên đoạn tín hiệu này Kết quả, ta được một hàm hai biến STFTf(ω,τ) xác định bởi:

STFT tại thời điểm τ là biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) nhân với phiên bản dịch

một khoảng τ theo thời gian w(t-τ) của cửa sổ cơ bản tập trung quanh τ Đây là

phổ cục bộ của f(t) xung quanh thời diểm τ do cửa sổ tương đối ngắn làm triệt tiêu tín hiệu ngoài vùng lân cận xung quanh τ Do đó, STFT có tính định vị theo thời gian Cửa sổ phân tích càng hẹp thì sự định vị này (hay độ phân giải theo thời gian) càng tốt

Hình 2.6 Biến đổi Fourier trong thời gian ngắn (STFT)

STFT thể hiện mối quan hệ giữa thời gian và tần số của tín hiệu Nó cung cấp thông tin về thời gian và tần số xuất hiện sự kiện Tuy nhiên, độ chính xác của thông tin này có hạn, và phụ thuộc thuộc vào kích thước cửa sổ

Khuyết điểm chính của STFT là khi đã chọn hàm cửa sổ phân tích thì độ phân giải thời gian - tần số không thay đổi trên khắp mặt phẳng thời gian - tần số Trong khi đó, các tín hiệu không dừng thường gặp trong thực tế đều gồm một số thành phần tần số thấp khá ổn định (gần tuần hoàn, quasi-stationary) trong khoảng thời gian dài và các burst tần số cao tồn tại trong một khoảng thời gian ngắn Nếu chọn cửa sổ rộng để phân tích các thành phần ổn định với độ phân giải tần số tốt thì không phân tích được các burst với độ phân giải thời gian tốt Ngược lại, nếu chọn cửa sổ hẹp để phân giải tốt các burst về thời gian thì độ phân giải tần số lại xấu đi Mâu thuẫn này không thể giải quyết được trong STFT

2.3.4 Biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transforms - FFT)

Biến đổi Fourier nhanh thực chất là biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform - DFT), chính là xấp xỉ một hàm số bằng cách lấy mẫu tại một số giá trị tần số nhất định

Giả sử tín hiệu được lấy mẫu tại N điểm với chu kỳ lấy mẫu là T, khi biến đổi sang miền tần số bằng FFT N điểm, các tần số được lấy mẫu là:

N

k

2 k

π

=

ω , với k = 0, 1, …, N-1

Các thành phần tần số thực tương ứng sẽ là:

T

k N

k NT

k

2

k = π = Ω

Theo trên ta thấy, nếu tín hiệu chỉ có một thành phần tần số là

T

π, như vậy trong kết quả của FFT – N điểm trên ta chỉ có được một vị trí mang thông tin về tần số này (nếu N chẵn), các vị trí khác mang thông tin về các tần số từ zero đến cận tần số lấy mẫu, và do đó hình ảnh về phổ tín hiệu không được rõ lắm Phương pháp này không cải thiện độ phân giải của phổ tần số mà chỉ cho chúng ta hình ảnh rõ ràng hơn về phổ tần số đã phân tích

Tóm lại, lý thuyết Fourier là một trong những kết quả tốt nhất của phép phân tích hiện đại và đóng vai trò quan trọng về mặt lý thuyết của nhiều ngành khoa học Nó thường được sử dụng trong phân tích tín hiệu Tuy nhiên, phân tích Fourier không giải bài toán với thời gian thay đổi hoặc tín hiệu không ổn định Do đó cần có một phương pháp phân tích có thể đáp ứng cả trong miền thời gian lẫn tần số

2.4 Biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier

Để khắc phục khuyết điểm của biến đổi Fourier, người ta đã cải tiến phép biến đổi Fourier truyền thống theo hướng thực hiện biến đổi Fourier trên từng phần nhỏ của tín hiệu, tạo nên phép biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT Tuy nhiên STFT vẫn còn có khuyết điểm là không thích hợp dể phân tích các tín hiệu không dừng thường gặp trong thực tế Phép biến đổi Wavelet được phát triển như một công cụ thay thế STFT trong phân tích tín hiệu không dừng

Hình 2.7 Phép biến đổi wavelet

Những điểm khác nhau của biến đổi Wavelet với biến đổi Fourier là các riêng

các hàm wavelet được khoanh vùng trong không gian (localized in space) Đặc

tính này cùng với đặc tính định vị trong miền tần số của Wavelet tạo điều kiện tốt

miền Wavelet Sự rời rạc hoá này lần lượt được ứng dụng và cho kết quả tốt trong một số lĩnh vực như: nén dữ liệu, phát hiện các tính chất của ảnh, hay loại nhiễu, rada …

Để thấy sự khác nhau giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet, xem mức độ bao phủ mặt phẳng của hàm cơ sở trong miền thời gian – tần số được biểu diễn ở các hình sau

Hình 2.8 - Biến đổi Fourier STFT hay biến đổi Fourier cửa sổ hoá, sử dụng chỉ một cửa sổ duy nhất dạng hình vuông, cửa sổ này sẽ cắt tín hiệu hình sin, cosin để vừa với chiều rộng cửa sổ Cửa sổ này được dùng cho tất cả các thành phần tần số trong biến đổi Fourier STFT, do đó thuật toán phân tích giống nhau cho tất cả các

vị trí trong mặt phẳng thời gian – tần số

Hình 2.8 Biểu diễn các hàm cơ sở Fourier, viên ngói (ô) thời gian – tần số và mặt

độ bao phủ trong mặt phẳng thời gian – tần số

Đối với Wavelet thì thuận lợi hơn, đó là cửa sổ thay đổi được Để tách biệt các tín hiệu không liên tục, sẽ có một số hàm cơ sở ngắn, tại cùng thời điểm, để có được phân tích tần số chi tiết, sẽ có một số hàm cơ sở dài Để đạt được điều này, có những hàm cơ sở chứa thành phần tần số cao và thành phần tần số thấp Khác với biến đổi Fourier chỉ có một tập hàm cơ sở như hàm sin, cosin, biến đổi Wavelet có tập vô hạn các hàm cơ sở

Phân tích Wavelet có thể đáp ứng trong miền thời gian lẫn tần số, vì vậy thích hợp

để phân tích tín hiệu không ổn định Biến đổi wavelet trực chuẩn có thể được xem như một phép phân tích đa phân giải của tín hiệu, các đặc tính tốt của tính hiệu được phân tích với độ phân giải tốt, các tín hiệu kém được phân tích với độ phân giải kém Biến đổi wavelet trực chuẩn thích hợp để phân tích tín hiệu ứng dụng trong phân tích mẫu và trong bài toán nhận dạng

Hình 2.9 Biểu diễn mức độ bao phủ trong mặt phẳng thời gian – tần số với

Wavelet mẫu là Daubechies

Hình 2.10 Rời rạc hóa mặt phẳng thời gian tần số bằng các viên ngói định vị trong CWT và các hàm wavelet tương ứng (với trường hợp hàm Morlet wavelet)

Hình 2.11 So sánh các phép biến đổi tín hiệu

2.4.1 Cơ sở lý thuyết wavelet - Phép co giãn và dịch chuyển

• Phép co giãn và dịch chuyển

Cho f(x) là hàm giá trị thực bất kỳ xác định trên R Một hàm fab(x) được định nghĩa như sau:

b x f ) x (

fab , a≠0

Trong đó : a : là hệ số co giãn; b: hệ số dịch chuyển

Hàm fab(x) chính là hàm f(x) được co giãn với hệ số a và được dịch chuyển với hệ số b Đối với hàm số f(t) = sint, t là biến thời gian, tuần hoàn có chu kỳ T, thực hiện phép co giãn và phép dịch chuyển cũng tương tự

Hàm f có chu kỳ T là tuần hoàn nếu : f(t+T) = f(t), ∀t∈R

Ví dụ : Hàm sint có chu kỳ 2 π, sin2 πt có chu kỳ là 1 Tổng quát, hàm f(t) có chu kỳ T thì hàm co giãn sẽ là ⎟

t f ) t (

fa có chu kỳ là aT, chu kỳ không thay đổi trong phép dịch chuyển,

a

b t sin ) t (

fab = − có chu kỳ 2 πa

• Tích trong (tích vô hướng)

Tích trong cuả hai vectơ đơn vị có n chiều trong không gian Euclic Rn là cos góc giữa hai vectơ Nếu u và v là hai vectơ đơn vị trong Rn, θ (radian) là góc giữa u và v, thì tích trong <u,v> được xác định như sau:

< u , v >= cos θ

Có thể xem cosθ là khoảng cách giữa hai vectơ u và v, có giá trị lớn nhất là 1 Đặt ψ là hàm phẳng và khoanh vùng, nghiã là ψ có đạo hàm trên mọi cấp và tồn tại N, C và γ sao cho với α≤N:

) x ( c ) x (

Trong đó: cjk =∫ ( x ) ϕjk( x ) dx

• Cơ sở lý thuyết wavelet

Wavelet là hàm được tạo ra từ một hàm w(x) được gọi là wavelet giải tích (hay wavelet mẫu) Hàm w(x) được xác định với biến thực x và có thể mang giá trị phức Nói cách khác, hàm w(x) là một hàm từ R→C, có tiêu chuẩn giới hạn L2 , chuẩn w , được định nghĩa :

K dx ) x ( w

w thay cho w(x)2 Bình phương của chuẩn L2 , 2

w , được gọi là hàm năng lượng của hàm w Giả sử

w =1 bằng cách chuẩn hóa hàm w vơí hệ số w

dx ) xˆ ( w)

trong đó w)là biến đổi Fourier của w

Nếu tồn tại tích phân, thì từ điều kiện tương thích trên suy ra :

Hàm sin không thỏa mãn điều kiện trên, và không có chuẩn L2 Do đó:

2

2 2

2

1 cos xdx xdx

Hàm wavelet được tạo bằng cách dịch chuyển và co giãn hàm wavelet mẫu w(x):

Trong đó :

a

1 là hệ số nhân để bảo toàn trong chuẩn L2, có nghĩa là mỗi hàm wab

có chuẩn 1 nếu w có chuẩn 1

Một số hàm có thể được biểu diễn là sự kết hợp tuyến tính của các hàm wavelet Nghĩa là các hàm được biểu diễn như sự kết hợp tuyến tính hữu hạn phép dịch chuyển và co giãn của một hàm wavelet đơn Biểu diễn wavelet trong nhiều trường hợp có hiệu quả hơn chuỗi Fourier truyền thống, như tín hiệu không ổn định, thay đổi theo thời gian hoặc không gian Đồng thời, wavelet linh hoạt hơn,

do đó chúng ta có thể chọn wavelet mẫu thích hợp để phân tích tín hiệu

• Các khả năng của biến đổi Wavelet

Ưu điểm chính của Wavelets là khả năng thực hiện phân tích cục bộ, nghĩa là phân tích một vùng được địa phương hóa của một tín hiệu lớn

Xem xét một tín hiệu hình sin với một bất liên tục nhỏ Một tín hiệu như vậy dễ dàng có thể được tạo ra trong thế giới thực tế, có thể bằng một dao động công suất hoặc một công tắc nhiễu

Hình 2.12 Một tín hiệu hình sin với một bất liên tục nhỏ

Hình vẽ những hệ số Fourier (dùng lệnh FFT cung cấp) của tín hiệu này không cho thấy cái gì đặc biệt quan tâm: một phổ phẳng với hai đỉnh biểu diễn một tần số đơn Tuy nhiên, hình vẽ những hệ số Wavelets rõ ràng cho thấy vị trí chính xác theo thời gian của tính không liên tục

Hình 2.13 Biến đổi Fourier và Wavelets của tín hiệu hình 2.12

Biến đổi Waveles có khả năng tìm ra những khía cạnh của dữ liệu mà kỹ thuật phân tích tín hiệu khác còn thiếu, là những khuynh hướng, những điểm gãy, những tính không liên tục trong những đạo hàm bậc cao, Xa hơn nữa, vì nó chu cấp cho một cảnh quan khác nhau của dữ liệu hơn những điều mà được giới thiệu bởi các kỹ thuật truyền thống, biến đổi Wavelets có thể dùng để nén và lọc nhiễu mà không làm giảm đáng kể chất lượng tín hiệu

2.4.2 Cơ bản về biến đổi Wavelets

Một wavelet là một sóng tồn tại trong khoảng thời gian có h và có giá trị trung bình bằng không

So sánh Wavelets với những sóng hình sin, là cơ sở của Biến đổi Fourier Những hình sin không có giới hạn về thời gian - chúng mở rộng từ trừ đến cộng vô hạn Và trong khi những hình sin là mịn và có thể đoán trước, các Wavelets có khuynh hướng bất thường và không cân đối

Hình 2.14 So sánh sóng sin và một wavelet

Biến đổi Fourier chia một tín hiệu vào trong những sóng hình sin của nhiều tần số Tương tự, biến đổi Wavelets chia tín hiệu vào trong những phần dịch và co dãn của Wavelets nguyên bản hay Wavelets mẹ (mother Wavelets)

Chỉ cần xem những hình ảnh của Wavelets và những sóng hình sin, có thể nhìn thấy trực giác rằng tín hiệu với hình dạng thay đổi thì có thể được phân tích tốt hơn với một Wavelets bất thường so với một hình sin mịn Nó cũng cho cảm giác là những đặc tính địa phương có thể được mô tả tốt hơn với Wavelets

2.4.3 Biến đổi wavelet liên tục (CWT)

Biến đổi wavelet liên tục (CWT) được định nghĩa là tổng trong miền thời gian của tín hiệu được nhân bởi các phiên bản dịch chuyển (position) và co giãn của hàm Wavelet ψ :

∞

− ψ

= f t scale , position t, dt position

, scale C

Kết quả của CWT là nhiều hệ số Wavelet C, các hệ số này là một hàm của độ

co giãn và vị trí Việc nhân mỗi hệ số bởi những Wavelet được co giãn và dịch chuyển cho ta các Wavelet liên tục của tín hiệu ban đầu

Hình 2.15 Minh hoạ phép biến đổi Wavelet

Cho hàm g theo thời gian t, xét phép co giãn của g bởi hệ số a : ga(t) = g(t/a) và phép dịch chuyển bởi hệ số b : gb(t) = g(t-b)

Nếu g được dịch chuyển, sau đó được co giãn , trở thành: gab(t) = g((t-b)/a)

Nếu g được co giãn sau đó dịch chuyển, trở thành: gab(t) = g(t/a-b)

Sự co giãn

Lấy ví dụ về sự co giãn và dịch chuyển của hàm tuần hoàn sin như sau

Hệ số co giãn, thường được ký hiệu là a Nếu tín hiệu là sóng hình sin thì hệ số

co giãn rất dễ nhận thấy như sau:

Hình 2.16 Sự co giãn của sóng sin

Hệ số co giãn này có ý nghĩa tương tự đối với Wavelet, hệ số co giãn nhỏ hơn thì Wavelet bị nén nhiều hơn

Hình 2.17 Sự co giãn của một Wavelet

Sự dịch chuyển

Việc dịch một Wavelet đơn giản có nghĩa làm trễ (hoặc sớm ) sự bắt đầu của nó.Về mặt toán học là làm trễ hàm f(t) đi một hệ số K được biểu diễn bởi f(t-K)

2.4.4 Phân tích đa phân giải (MRA-Multiresolution Analysis)

Cách giải được mô tả dưới dạng hàm trong L2(R) ở những mức giải khác nhau bằng phép chiếu hàm vào không gian con của L2(R) theo thứ tự tăng dần

Không gian con được tạo ra bởi hàm, mà hàm này đã được co giãn và dịch chuyển theo một tỷ lệ từ hàm φ ( x ) ở những mức khác nhau

MRA là một dãy tăng dần quá trình xấp xỉ các không gian con trong L2(R) :

{ }0 V V V L 2 ( R )

1 0

• g ∈ Vj ⇔ g2∈ Vj+1 trong đó g2 là phép co giãn của g được cho bởi g2(x) = g(2x)

• {φ ( x − k )}k∈Z là một cơ sở trực chuẩn cho V0 Trong đó, φ được gọi là hàm

=

cho một vài ak , ta gọi là đồng nhất tỉ lệ

Ta có thể thấy ak thoả mãn ∑ak = 2 và ∑aka n+k = 2 δ( )k , 0 Trong trường hợp đặc biệt :

Hình 2.19 Hàm ban đầu và hàm xấp xỉ Hình 2.20 Hàm ban đầu và hàm xấp xỉ ở

mức cao

2.4.5 Các bước thực hiện biến đổi Wavelet liên tục

Biến đổi Wavelet liên tục là tổng cả miền thời gian cuả tín hiệu nhân với những phiên bản được dịch và co giãn của Wavelet Quá trình này tạo ra những hệ số Wavelet là một hàm của co giãn và vị trí

Có năm bước dễ dàng tạo ra một CWT:

▶ Lấy một Wavelet và so sánh nó với một đoạn ở vị trí bắt đầu của tín hiệu nguyên bản

▶ Tính toán hệ số C, đặc trưng cho sự tương quan giữa Wavelet với đoạn này của tín hiệu Hệ số C càng cao, hai tín hiệu càng giống nhau càng nhiều hơn Chú ý rằng những kết quả sẽ phụ thuộc vào Wavelet mà bạn đã chọn

▶ Chuyển Wavelet sang bên phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi bao trùm toàn bộ tín hiệu