Vậy tổng hợp các dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số bằng phương pháp Frexnen đồng nghĩa với việc cộng các số phức biểu diễn của các dao động đó... Xác định thời điểm đầu tiên[r]
Trang 1
A Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương
Xét hai dao động điều hòa cùng phương dao động
A1 = A2 = a có dạng
Dao động tổng hợp x = x1
Áp dụng công thức lượng giác cosa
ta có
Như vậy dao động tổng hợp là một dao động điều hòa cùng tần số
có pha ban đầu sẽ là
Chú ý thường trong biểu thức dao động điều hòa pha ban đầu thường được viết
dưới dạng có giá trị nhỏ hơn
viết là ( – ) (ví dụ
B Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
Xét hai dao động điều hòa cùng phương
Dao động tổng hợp của hai dao động là x
Để tổng hợp hai dao động ta áp dụng
hình chiếu của chuyển động tròn đều xuống trục ox
Phương pháp giản đồ vecto:
Một dao động điều hòa đư
: Gốc tại O
Phương: hợp với Ox một góc
Độ dài bằng A hay tỉ lệ với A
-Biểu diễn x1 = A
2
1
x x
2 cos
2 2 1
a x
2 cos
2 2 1
a
A
2
1
cos
2
1
cos
2
1
có
A
0 ( ) ,
1 1 1
t ox
A
A A
A
Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ
Xét hai dao động điều hòa cùng phương dao động, cùng tần số, cùng biên độ
1 + x2 = acos(t + 1) + acos(t + 2)
Áp dụng công thức lượng giác cosa + cosb =
Như vậy dao động tổng hợp là một dao động điều hòa cùng tần số
có pha ban đầu sẽ là:
Chú ý thường trong biểu thức dao động điều hòa pha ban đầu thường được viết
dưới dạng có giá trị nhỏ hơn nên nếu như < thì pha ban đầu có thể là
thì có thể là ) Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:
Xét hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:
Dao động tổng hợp của hai dao động là x = x1 + x2
Để tổng hợp hai dao động ta áp dụng tính chất mối liên hệ giữa dao động điều hòa và
hình chiếu của chuyển động tròn đều xuống trục ox
ản đồ vecto:
được thay thế bằng một vecto hay:
ợp với Ox một góc ằng A hay tỉ lệ với A
= A1cos(t + 1) bằng véc tơ
; x2 = A2cos(t + 2) bằng véc tơ
) cos(
) cos(
2
1
t a
t a
2 cos 2 cos
2 ab ab
2 cos 2 1
t
2
1
0 2
1
2
1
6
7 2
1
6
5
cos(
cos(
2 2
1 1
t A
x
t A
x
A
x cos(
) 0
Tổng hợp các dao
điều hòa
cùng biên độ:
cùng biên độ
Như vậy dao động tổng hợp là một dao động điều hòa cùng tần số, có biên độ
Chú ý thường trong biểu thức dao động điều hòa pha ban đầu thường được viết
thì pha ban đầu có thể là
tính chất mối liên hệ giữa dao động điều hòa và
)
)
2
1
t
A
) cos(
1
2
1
A
2
A
A
y
o động
Trang 2;
cả hai véc tơ quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi bằng
- Hình chiếu của điểm đầu Véc tơ mô tả dao động tổng hợp x là một dao động điều hòa x = Acos(t + )
-Độ lệch pha hai dao động:
Xét hai dao động điều hòa:
Độ lệch pha giữa hai dao động:
Nếu: : dao động 1 sớm pha hơn dao động 2
: dao động 1 trễ pha hơn dao động 2 : Hai dao động cùng pha
: Hai dao động ngược pha :Hai dao động vuông pha
- Nếu = k2 hai dao động cùng pha biên độ dao động tổng hợp đạt cực đại A
= A1 + A2
- Nếu = (2k+1) hai dao động ngược pha biên độ dao động tổng hợp cực tiểu A=A1– A2
- Nếu hai dao động vuông pha biên độ dao động tổng hợp
Như vậy biên độ dao động tổng hợp ’
C Phương pháp giải quyết các bài toán về tổng hợp dao động:
1.Tổng hợp hai dao động nhờ giản đồ véc tơ:
Giả sử một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
Dao động tổng hợp
Cho vecto A1 và A2 quay theo chiều dương lương giác với tốc độ góc thì vecto tổng
A có độ dài không đổi cũng quay xung quanh O với tốc độ góc và hình chiếu của nó xuống Ox cũng biểu diễn dao động điều hòa
Vi vậy tổng hơp hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số là một dao động điều hòa cùng phương cùng tần số
) 0 ( ) ,
2 2 2
t ox
A
A A
A
2
A
A12 A22 2A1.A2.cos
A
2 2 1 1
2 2 1 1
cos cos
sin sin
tan
A A
A A
) cos(
)
1
x
2
2 1
2 1
0; K2
,(2 1)
, (2 1)
2 1
2
2
2
A
2 1 2
) cos(
)
1
x
2
x
1 1 1
2 2
2
2 1 2
x
) cos(
x
2 2 1
1cos A cos
A
A x A y A1sin1A2sin2
2 2
y
x A A
A A A12 A22 2A1A2cos
Trang 3Pha ban đầu :
Lưu ý:bien độ dao động tổng hợp phu thuộc vào
Các trường hợp đặc biệt:
Hai dao động cùng pha:
Hai dao động có biên độ bằng nhau: và
Tổng quát
2.Tổng hợp hai dao động nhờ số phức:
A Cơ sở lý thuyết:
+Dao động điều hoà x = Acos(t + ) có thể được biểu diễn bằng vectơ quay có độ
dài tỉ lệ với biên độ A và tạo với trục hoành một góc bằng góc pha ban đầu Hoặc cũng
có thể biểu diễn bằng số phức dưới dạng: z = a + bi.Trong tọa độ cực: z =A(sin +i cos) (với môđun: A= ) hay Z = Aej(t + ).
+Vì các dao động có cùng tần số góc nên thường viết quy ước z = Ae J,
Trong các máy tính CASIO fx- 570ES, ESPlus kí hiệu dưới dạng là: r (ta hiểu là:
A )
+Đặc biệt giác số trong phạm vi: -1800< < 1800 hay -< < rất phù hợp với bài toán tổng hợp dao động trên Vậy tổng hợp các dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số
bằng phương pháp Frexnen đồng nghĩa với việc cộng các số phức biểu diễn của các dao
động đó
B Giải pháp thực hiện phép công và trừ số phức:
Cộng các số phức:
5/ Một số bài tập tổng hợp:
Câu 1 Cho hai dao động điều hoà cùng phương x1=2cos (4t + )cm và x2=2cos(4t +
)cm Với 0 Biết phương trình dao động tổng hợp x = 2 cos (4t + )cm Pha ban đầu là
-Câu 2 Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng 100 (g), độ cứng lò xo 102
N/m dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề liền nhau (vị trí cân bằng
2 2 1 1
2 2 1 1
cos cos
sin sin
tan
A A
A A
A
A x
y
0 K, 2
Amax A1 A2
,(2 1)
2 ) 1 2 ( , 2
2 2
A
2 cos
2 1
A A
2
2
3
3 A A1
2 A A1
3
2
A
A
max
A
a b
1
6
1
2
3
6
6
Trang 4hai vật đều ở gốc tọa độ) theo các phương trình x1 = 6cos( t- ) cm, x2 = 6 cos( t-)cm Xác định thời điểm đầu tiên khoảng cách giữa hai vật đạt giá trị cực đại?
A (3/40)s B (1/40)s C (1/60)s D (1/30)
s
Câu 3: Cho 3 dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x1=2Acos(10 t+ /6), x2=2Acos(10 t+5 /6) và x3=A(10 t- /2) (với x tính bằng m, t tính bằng s) Phương trình tổng hợp của ba dao động trên là
A x=Acos(10 t+ /2) cm B x=Acos(10 t- /2) cm
C x=Acos(10 t+5 /2) cm D x=Acos(10 t-5 /2) cm
Câu 4: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có
Tại thời điểm các giá trị li độ cm, , cm Tại thời điểm
các giá trị li độ = −20cm, = 0cm, = 60cm Biên độ dao động tổng hợp là
Câu 5: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số x1, x2,
x3
Biết x12 = 4 cos(5t – 3π/4) cm; x23 = 3cos(5t)cm; x13 = 5 sin(5t - π/2) cm Phương trình của x2 là
A x2 = 2 cos(5t - π/4)cm B x2 = 2 cos(5t + π/4)cm
C x2 = 4 cos(5t + π/4)cm C x2 = 4 cos(5t - π/4)cm
Câu 6: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có
phương trình là x1, x2, x3
độ của dao động x1 đạt giá trị cực đại thì li độ của dao động x3 là:
cm
Câu 7 Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hoà cùng pha, cùng tần số có phương
trình lần lượt là: x1 = A1cos(2 t + ) cm; x2 = A2cos(2 t)cm; x3 = A3cos(2 t - )cm.Tại thời điểm t1 các giá trị ly độ x1 = - 20cm, x2 = 80cm, x3 = -40cm, thời điểm t2 = t1 + T/4 các giá trị ly độ x1 = - 20 cm, x2 = 0cm,x3 = 40 cm Tìm phương trình của dao động tổng hợp
A x2 = 40cos(2πt - π/3)cm B x2 = 40 cos(2π t + π/4)cm
C x2 = 4cos(2π t + π/3)cm C x2 = 4 cos(2π t - π/4)cm
Câu 8: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số x1, x2,
x3 Với x12 = x1 + x 2 ; x23 = x2 + x 3 ; x13 = x1 + x 3; x=x1 + x2 + x3 Biết: x12=6cos(πt+ π/6)cm ; x23=6cos(πt +2π/3)cm; x13=6 cos(πt + 5π/12) cm Tìm x biết x2=x12+x32
cm
Câu 9: Ba dao động điều hào cùng phương cùng tấn số x1; x2 và x3, có dao động tổng hợp
Phương trình dao động thành phần thứ 2 là
2
) 2 / cos(
1
1 A t
x x2 A2cos(t) x3 A3cos(t /2)
1
2
3 40
2
12
x 6cos( t )cm
6
x23 6cos( t )cm
3
x13 6 2 cos( t )cm
4
2 3
3
2 2
2
12 2 cos(2 / 3)
x t cm x232 3 cos(2t5 / 6) cm
31 2 cos(2 )
x t cm
Trang 5A cos ( t + ) cm B cos ( t - ) cm
Hướng dẫn chi tiết:
Câu 1 Do A1=A2=2 nên
Từ (1) và (2) φ1 = - và φ2 = Chọn D
Câu 2 GIẢI:
* Khoảng cách: x = x1 – x2 = Acos(wt + )
x1 = x2 + x vẽ giản đồ
A = 6 cm ; = - /4 x = 6 cos(wt – /4)
* Khoảng cách giữa 2 vật cực đại khi xmax cos(wt – /4) = 1
10t – /4 = k t = 1/40 + k/10
Thời điểm đầu tiên: k = 0 t = 1/40s Chọn B
Câu 3 HD: Sử dụng phương pháp giản đồ vectơ ta có
A
0
Từ đó suy ra ATT = =A; Pha ban đầu tan = nên = /2.Vậy chọn A
Câu 4
Giải 1: x1 và x2 vuông pha nên:
X2 và x3 vuông pha nên:
Tại t 2
Tại t 1
.Chọn A Giải 2:
2
2
1
th
0
3 6
2
6
2
1sin 1 2sin 2 3sin 3
x
A A A A
y
A A co A co A co
x y
y
A
1
2 2
3 2
1
x x
1
2
2
20
2 2
3 2
3
30
x x
A
A1
A2
Trang 6* Tại thời điểm t2: A1 = 20cm Tương tự A3 = 60cm
* Tại thời điểm t1: A2 = 30cm
A3 = 60cm
* Vẽ giản đồ A = 50cm Chọn A
Câu 5 Giải 1:
Theo bài ra ta có hệ:
Câu 6: Giải:
- Ta thấy x3 sớm pha hơn x1 góc x1 max thì x3=0 Chọn A
Câu 7 Giải: Cách làm nhanh nhất dùng máy tính fx 570 ES
Sau khoảng thì gian T/4 thì góc quét của mỗi dao động là /2 nên x1 và x’1 vuông pha
Do đó A12 = x12 + x’12 = (- 20)2 + (- 20 )2 suy ra A1 = 40cm
Tương tự có: A2 = 80cm ; A3 = 80cm
Dùng máy tính tính dao động tổng hợp ! x = x1 + x2 + x3
Thao tác bấm máy: 40 120 + 80 0 +80 -120 = 40 -60
Kết quả cho ta có: A = 40cm và φ = π/3.Vậy phương trình tổng hợp là: x = 40cos(2 πt
-π/3) cm
Chọn A
Câu 8 Giải:
* Phương trình của dao động tổng hợp là:
* Tương tự ta có:
1
A A
2 1 2 1
1
x
A
2
1
2
3
30 3
15
1
3
4
3
4
2
2
4
12 13 23 1
3
2
3
6 cos
6 0
2
6 cos
3
x x x
Trang 7* Theo bài x2=x12+x32 và x=x1 + x2 + x3 = x1 + x3 x1x3=0
Chọn B
Câu 9 Giải:: x12 = x1 + x2 x23 = x2 + x3
= > x12 + x23 = 2x2 + x1 +x2 = > x2 = (x12 + x23 - x13 ) / 2
Thay số: x2 = (2 (/3) + 2 (5/6) - 2 )/2= /2 chọn D
Giải 2::x12 + x23 – x13 = 2x2
1 3
x x
5
12 4
12 2 cos(2 / 3)
x t cm x232 3 cos(2t5 / 6) cm x312 cos(2t)cm
co s( t )
2 3 2
2