Đáp án HSG Toán học lớp 9 huyện Ninh Giang, Hải Dương 2013-2014 - Học Toàn Tập

[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN

MÔN TOÁNLỚP 9 THCS NĂM HỌC 2013 – 2014

Lưu ý: Thí sinh làm theo các khác đúng vẫn cho điểm tối đa Điểm bài thi làm tròn đến 0,25 điểm

Câu 1

2,0

điểm

a)

1điểm

3x 10xy 3y

3x x 3y y x 3y

x 3y 3x y

0, 5

0,5

b)

1,5

điểm

A



* Xét trường hợp x > 3 ta có:

2

A

x 3

x 3

x 3 2 x 3 x 3



     

*Xét trường hợp x 3 ta có

x 3 2 x 3 3 x A

2 3 x x 3 3 x

x 3 x 3 2 3 x

3 x 2 3 x x 3

x 3 3 x

3 x

      



     

      



     

  



Kết luận Vậy với x 3 ; x3 thì

2

A

x 3







0,25

0,5

0, 5

0,25

Câu 2

2,0

điểm

a)

1.0 điểm

ĐK x, y, z 1

4

 Cộng từng vế ta có :

2x 2y 2z 4x 1 4y 1 4z 1 4x 4y 4z 2 4x 1 2 4y 1 2 4z 1 0 4x 1 1 4y 1 1 4z 1 1 0 (*)

Vì 4x 1 1 0; 4y 1 1 0; 4z 1 1 0

4x 1 1 0

1 Nên (*) xay ra 4y 1 1 0 x y z

2 4z 1 1 0

       

         

         

        

   



       

   



Kết luận : vậy x y z 1

2

  

0,25

0, 5

0,25

b)

1,0

ĐK :

2 2 2

3x 5x 1 0

x 2 0

x x 1 0

   



 



   



(*)

PT 3x 5x 1 3 x x 1 x 3x 4 x 2 0

0

x 3x 4 x 2 3x 5x 1 3 x x 1

x 3x 4 x 2 3x 5x 1 3 x x 1

           

   

    

   

    

Vì

x 3x 4 x 2 3x 5x 1 3 x x 1



   

nên x 2   0 x 2 Thử lai thấy x=2 thỏa mãn DDK (*) vậy x= 2 là nghiệm của phương trình

0,25

0,25

0,25

0,25

Câu 3

2,0

điểm

a)

1.0 điểm

   

6x 2xy y 10 6x 2xy y 3 7

y 3 2x 1 7

  

x,y là số nguyên nên y 3và 2x 1  là số nguyên Vì vậy y+3 ; 2x-1 là ước của 7

Ta có các trường hợp sau:

1)





























2

4 7

1 2

1 3

y

x x

y

2)



























4

1 1

1 2

7 3

y

x x

y

3)



































4

3 7

1 2

1 3

y

x x

y

4)

































10

0 1

1 2

7 3

y

x x

y

Kết luận       x;y 4;2,1;4, 3;4 ; 0;10 

0.25

0,5

0,25

b)

1.0 điểm

* Nếu x =0 hoặc y= 0 thì 1xy 1 là số hữu tỉ

*Nếu x, y đều khác 0

2

2

xy

2

1 xy y 1 y 1

 

       

  là số hữu tỉ

Vậy x và y là các số hữu tỉ và thoả mãn đẳng thức x3  y3  2 xy thì 1  xy là một số hữu tỉ

0,25

0, 5

0,25đ

Câu 4

2,5

điểm

O

N

M

D

C

B A

1)a

0,75

Tam giác ABC nội tiếp (O) có AB là đường kính Tam giác ABC vuông tai C Tam giác ABM vuông tại B, BC là đường cao

   không đổi ( The hệ thức lượng trong tam giác vuông)

0,25

0, 5

1)b

0,75

Áp dụng hệ thức lượng trong tam các tam giác vuông AMB, ANB AMN ta có

2 2

3 3

0,25

0,5

A

D E

ABC cân tại A có góc BAC = 20 0

nên ABC = ACB = 800 Trên cạnh AC lấy D sao cho ABD = 600, khi đó DBC = 200

nên BDC = 800

 BDC cân tại B  BD = BC = a

BDC ABC ( g – g)  DC BC

BC  AC  DC =

2

a b

 AD = b -

2

a b

0,25

0,25

BDE vuông có EBD = 600 nên BE = 1

2 BD =

1

2a và DE = BD

3

2 = a.

3

2 ;

AE = b - 1

2a

Áp dung định lý Pi-ta-go trong tg vuông ADE có :

AD2 = AE2 + DE2  (b -

2

a

b )

2

= (b - 1

2a)

2

+ (a 3

2 )

2

 b2 - 2a2 +

4 2

a

b = b

2

- ab +

2

4

a

+

2

3 4

a

 a42

b = 3a

2

–ab

 a4 = 3a2b2 - ab3  a4 + ab3 = 3a2b2  a3 + b3 = 3ab2

0,25

0,25

Câu 5

1,0

điểm

* Nếu y = 0 thì P = 0

*Nếu y0 thì P0

* Nếu x,y trái dấu thì P < 0 Do đó để tìm GTLN của P ta chỉ cần xét trường hợp x, y cùng dấu

- Xét x0;y0 thì không thỏa mãn Đ K xxy1

- Xét x;y > 0

4

       

4

y

x

   

Ta có

2

y

y

x



       

Áp dụng bất dẳng thức cô si cho hai số dương ta có

2

   dấu bằng xảy ra khi 1 2 1 1

4

t

      

Với 1 15 15.4 15

4 16 16 4

t

t

    Dấu bằng xảy ra khi 1 4

4

t  x y

Do đó 1 17 4

vậy GTLN của P bằng 4

17 khi x=4y

0,25

0,25

0,25

0,25

Hết