Tìm
Trang 1PHÒNG GD ĐT
HUYỆN AN PHÚ
ĐỀ CHÍNH THỨC
Số báo danh:
Phòng:
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2018-2019
Khóa ngày 19-01-2019
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (4,0 điểm)
Chứng minh rằng 3 + 5 + 3 − 5 = 10
Câu 2: (4,0 điểm)
Tìm các số 𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒; 𝑓; 𝑔 tại bảy đỉnh ở
hình vẽ bên sao cho tổng các số ghi ở hai đỉnh liền kề là
số được ghi trên mỗi cạnh tương ứng
Câu 3: (4,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 cho ba điểm
𝐴 𝑚; 0 ; 𝐵 0; 𝑛 với 𝑚 > 0; 𝑛 > 0 và 𝐶(3; 2)
a Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 𝐴𝐵
b Tìm hệ thức liên hệ giữa 𝑚, 𝑛 sao cho ba điểm 𝐴; 𝐵; 𝐶 thẳng hàng
c Tìm 𝑚; 𝑛 sao cho diện tích tam giác 𝑂𝐴𝐵 có diện tích nhỏ nhất
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho hai số 𝑎 > 𝑏 > 0 thỏa 𝑎2 + 𝑏2 = 5
2𝑎𝑏 Hãy tính
𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
Câu 5: (4,0 điểm)
Cho hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐴𝐶 = 20; 𝐵𝐴𝐷 = 600 𝑁 là một điểm nằm trên cạnh 𝐶𝐷; gọi 𝑃; 𝑄 lần lượt là hình chiếu vuông góc của 𝑁 lên 𝐵𝐷 và 𝐴𝐶
a Tính diện tích hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷
b Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn 𝑃𝑄
- Hết -
Chú ý: Đề thi có 01 trang, thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài, giám thị coi thi không giải thích gì thêm./
Trang 2PHÒNG GD ĐT
AN PHÚ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Khóa ngày 19/01/2019
MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM
I- YÊU CẦU
- Tổ chấm trong quá trình thảo luận đáp án có thể phân điểm chi tiết trong từng câu đến
0,25 đ
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
II- NỘI DUNG CHI TIẾT
Câu 1
4,0 đ 3 + 5 + 3 − 5 = 1
2 6 + 2 5 + 6 − 2 5
= 2
2 5 + 2 5 + 1 + 5 − 2 5 + 1
= 2
2 5 + 1
2
+ 5 − 1 2
= 2
2 5 + 1 + 5 − 1
= 10 Vậy 3 + 5 + 3 − 5 = 10
4,0 đ
Câu 2 Theo đề bài ta có hệ
𝑎 + 𝑏 = 2
𝑏 + 𝑐 = −8
𝑐 + 𝑑 = 13
𝑑 + 𝑒 = 7
𝑒 + 𝑓 = −5
𝑓 + 𝑔 = −9
𝑔 + 𝑎 = −4
Cộng trừ hai vế của các phương trình ta được
𝑎 + 𝑏 − 𝑏 + 𝑐 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑑 + 𝑒 + 𝑒 + 𝑓 − 𝑓 + 𝑔
+ 𝑔 + 𝑎 = 2 + 8 + 13 − 7 − 5 + 9 − 4
⟺ 2𝑎 = 16 ⟹ 𝑎 = 8 Khi đó 𝑏 = −6; 𝑐 = −2; 𝑑 = 15; 𝑒 = −8; 𝑓 = 3; 𝑔 = −12
Các số cần tìm là (8; −6; −2; 15; −8; 3; −12)
4,0 đ
Câu 3a 𝐴 𝑚; 0 ; 𝐵 0; 𝑛 với 𝑚 > 0; 𝑛 > 0 và 𝐶(3; 2)
Phương trình đường thẳng 𝐴𝐵 có dạng 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
đường thẳng qua 𝐴 𝑚; 0 ⟹ 0 = 𝑎 𝑚 + 𝑏
đường thẳng qua 𝐵 0; 𝑛 ⟹ 𝑛 = 𝑎 0 + 𝑏
⟹ 𝑏 = 𝑛; 𝑎 = − 𝑏
𝑚 = −
𝑛 𝑚 Vậy phương trình đường thẳng 𝐴𝐵: 𝑦 = −𝑚𝑛 𝑥 + 𝑛
⟺ 𝑦𝑛 = −𝑚𝑥 + 1 ⟺ 𝑚𝑥 +𝑦𝑛 = 1
2,0 đ
Trang 3Câu
3b
𝐴; 𝐵; 𝐶 thẳng hàng khi đường thẳng 𝐴𝐵 qua 𝐶(3; 2)
𝑚+
2
𝑛 = 1 ⟺ 3𝑛 + 2𝑚 = 𝑛𝑚
Vế trái là số dương nên 𝑚 > 3; 𝑛 > 2
1,0 điểm
Câu 3c Diện tích tam giác 𝑂𝐴𝐵 là 𝑆 =1
2𝑚 𝑛 Mặt khác 1 = 3
𝑚 +2
𝑛 ≥ 2 3
𝑚 2
𝑛 = 2 6
𝑚𝑛 ⟺ 𝑚𝑛 ≥ 2 6 ⟺ 𝑚𝑛 ≥ 24
Vậy 𝑆 =12𝑚𝑛 ≥ 12 dấu bằng xảy ra khi
3
𝑚 =
2
𝑛;
3
𝑚+
2
𝑛 = 1 ⟹ 𝑚 = 6; 𝑛 = 4 diện tích nhỏ nhất của tam giác 𝑂𝐴𝐵 bằng 12 khi 𝑚 = 6; 𝑛 = 4
1,0 điểm
Câu 4 Cho hai số 𝑎 > 𝑏 > 0 thỏa 𝑎2 + 𝑏2 =5
2𝑎𝑏 Hãy tính 𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏
2
=𝑎
2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 =
5
2 𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏 5
2 𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏
=9 1
Do 𝑎 > 𝑏 > 0 nên 𝑎+𝑏𝑎−𝑏 2 = 9 ⟹ 𝑎+𝑏𝑎−𝑏 = 3
4,0 đ
Câu 5
4,0 đ
Tam giác 𝐴𝐵𝐷 đều có đường cao
𝐴𝑂 =1
2𝐴𝐶 = 10
Độ dài cạnh của tam giác 𝐴𝐵𝐷 là
𝐴𝐵 = 𝐵𝐷 = 2𝐴𝑂
3 =
20
3=
20 3 3 Vậy diện tích hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 là
𝑆 =1
2𝐴𝐶 𝐵𝐷 =
1
2.
20.20 3
200 3
3
2,0 đ
Dễ thấy 𝑂𝑃𝑁𝑄 là hình chữ nhật nên 𝑂𝑁 = 𝑃𝑄 Do 𝑂 và 𝐶𝐷 cố định,
𝑃𝑄 ngắn nhất khi 𝑂𝑁 ngắn nhất, khi đó 𝑂𝑁 vuông góc 𝐶𝐷
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 𝑂𝐶𝐷 ta được
1
𝑂𝑁2 = 1
𝑂𝐷2 + 1
𝑂𝐶2 = 1
10 3
2 + 1
102 = 4
100=
1
25⟹ 𝑂𝑁 = 5 Vậy độ dài ngắn nhất của đoạn 𝑃𝑄 là 5
2,0 điểm
P
Q O
B
D N