Tổng hợp những bài toán Số học hay ôn thi học sinh giỏi quốc gia VMO 2020 - phần 1

b) Một số chính phương. Số tự nhiên n được gọi là đẹp nếu thỏa mãn các tính chất sau: i) n là số chính phương không chia hết cho 3. b) Tìm tất cả các số đẹp.[r]

Bài 1

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( ; )p q sao cho 11p17p chia hết cho 1

3 q 1?

p 



Bài 2

Tìm tất cả các hàm số * *

f   thỏa mãn: n f m( ) | ( )f n nf m( ) với mọi *

m n  

Bài 3

Cho dãy số  a n được xác định như sau:

1 2 2

a a











với mọi n  *

Chứng minh rằng với mọi n  và 3 n  chia hết cho 8 thì 3 a chia hết cho n 5

Bài 4

Cho dãy số  a n được xác định như sau: 0 1

a a a







với mọi n 1.

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k thì a2k1 có ít nhất ba ước nguyên tố

Bài 5

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y p trong đó ; ;  p là số nguyên tố thỏa mãn:

2

x p







Bài 6

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( ; )p q thỏa mãn: 2

19

p q  pq 

Bài 7

Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên n thỏa mãn 2n3n chia hết cho n ?

Bài 8

Tìm tất cả các số hữu tỉ dương m n p, , sao cho m 1 , n 1 , p 1

   là các số nguyên?

CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC HƯỚNG TỚI VMO 2020 – Phần 1

Giải các phương trình nghiệm nguyên dương:

a) 3x5y z2

b) x 5 4y 2013 z

Bài 10

Số nguyên dương n được gọi là hoàn hảo nếu tồn tại các số nguyên dương a b c d, , , sao cho:

2

n

c d







a) Chứng minh rằng có vô hạn số hoàn hảo

b) Số 2019 có là số hoàn hảo không?

Bài 11

Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ n với tính chất hai bất kì ,a b của n ( , ) 1a b  thì a b 1 cũng là ước của n

Bài 12

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( ; )p q thỏa mãn 2 2

15

p  pqq là

a) Một số lũy thừa của 17

b) Một số chính phương

Bài 13

Số tự nhiên n được gọi là đẹp nếu thỏa mãn các tính chất sau:

i) n là số chính phương không chia hết cho 3

ii) Với mỗi ước m 15 của n thì m 15 là lũy thừa của một số nguyên tố nào đó a) Chứng minh rằng nếu n là số lẽ và có ước nguyên tố là p thì p 7

b) Tìm tất cả các số đẹp

Bài 14

Tìm tất cả các nguyên dương n sao cho (n n2)(n4) có nhiều nhất 15 ước dương?

Bài 15

Gọi ( )d n là số ước dương n Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn:

( 1) ( ) ( 1) 8

d n d n d n 

Bài 16

Tìm tất cả các số tự nhiên , ,m n k thỏa mãn: 5m7n k3

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương m n sao cho ;  ! ! n.

m  n m b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a b sao cho a;   và (b a b )ab a b b a

Bài 18

Tìm số nguyên dương a n, sao cho a n22n199 là một số chính phương

Bài 19

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, đều tồn tại duy nhất một cặp số ( ; )a b sao cho:

1

2

n a b  a b   a

Bài 20

a) Tìm số nguyên dương x và số nguyên tố p sao cho x 1  1 !.

p   p b) Tìm tất cả cặp số nguyên dương ,m n sao cho 5m3m và 5n 3n cùng chia hết chomn