Tuyển tập Đề thi tuyển chọn đội tuyển dự thi VMO cả nước năm 2019

đó không được điểm. – Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. b) KN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam gi[r]

Bài 3: (5.0 điểm) Cho tứ giác ABCD khơng phải là hình thang, nội tiếp đường trịn

( )O AC cắt BD tại G K là điểm di động trên đoạn OG Đường trịn ngoại tiếp tam giác KAD và đường trịn ngoại tiếp tam giác KBC cắt nhau tại điểm thứ hai L Đường trịn ngoại tiếp tam giác KAB và đường trịn ngoại tiếp tam giác KCD cắt nhau tại điểm thứ hai I Chứng minh rằng khi K di động thì đường thẳng LI luơn đi qua một điểm cố định hoặc song song với một đường

thẳng cố định

Bài 4: (5.0 điểm) Cho số nguyên dương n3,n6 và một bảng n n ơ vuơng, ban đầu các ơ trong bảng đều đánh số 0 Mỗi lượt chơi, người chơi chọn một bảng con gồm (n1) ( n1) ơ vuơng, sau đĩ cộng hoặc trừ tất cả các số trong bảng con này với 1 (cùng một lượt chơi, cĩ thể cĩ số cộng 1, cĩ số trừ 1) Liệu cĩ thể sau một số hữu hạn lượt chơi thì các ơ trong bảng chứa đầy đủ các số nguyên dương từ 1 đến n2 khơng?

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẢNG A VÀ ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA

giới hạn hữu hạn limx2n   b 0; 2

2 2

1.5

Tứ giác HADN nội tiếp nên MH MN MA MD

Tứ giác ALKD nội tiếp nên ML MK MA MD

Suy ra MH MN ML MK , do đó tứ giác NHLK nội tiếp

(5.0 đ) Gọi , , , a b c d là số lần mà bảng con n1  n1 ở góc trái trên,

phải trên, phải dưới và trái dưới được chọn sau tất cả các lượt chơi Khi đó các ô ở góc trái trên, phải trên, phải dưới và trái dưới

sẽ đánh số , , ,a b c d ; n  ô ở dòng 1 mà không phải ô góc sẽ 2

đánh số a b ; n  ô ở cột 1 mà không phải ô góc sẽ đánh số 2

ad; n  ô ở cột n mà không phải ô góc sẽ đánh số b2 c; n  2

ô ở dòng n mà không phải ô góc sẽ đánh số c d ; n 22 ô còn lại ở bảng con n2  n2 chính giữa sẽ đánh số a b c d  

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Bài 1: (5.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn  O , ABAC

M là điểm chính giữa của cung trịn BC khơng chứa A J là trung điểm BC

K là hình chiếu vuơng gĩc của M trên CA BK cắt AJ tại X CX cắt JK tại

L Đường thẳng qua J và vuơng gĩc với MK , cắt AL tại T JK cắt AB tại I Chứng minh rằng CT vuơng gĩc với IM

Bài 2: (5.0 điểm) Cĩ bao nhiêu số nguyên dương n khơng vượt quá 2019 mà 2n

Bài 4: (5.0 điểm) Với n  , gọi 2 f n là số các hốn vị của tập   1; 2; 3; ; n mà 

khơng cĩ số k nào đứng liền trước số k  với mọi 1 k1; 2; 3; ;n1 Chứng minh rằng:

HƯỚNG DẪN CHẤM

1

(5.0đ) Gọi S là giao điểm của AL và BC

Xét tam giác AJC với các đường đồng quy AS JK CX, , và các điểm

19k 19k k

19k

n

1.0

Phân tích n theo hệ cơ số 19:

0

.19

m i i i

1 i i

2018

0

1 2018

1

1 ! 2017 !1

1 ! 2017 !

i i

i

P i P

4

(5.0đ)

a

(2.0đ)

– Xét một hoán vị bất kỳ của 1; 2; 3; ; n thỏa mãn đề bài, và: 

+) Nếu không tồn tại k để , , k n k  liên tiếp theo thứ tự đó 1

thì có thể bỏ n đi để được một hoán vị của

1; 2; 3; ;n 1 thỏa mãn

0.5

+ Nếu tồn tại k để , , k n k  liên tiếp theo thứ tự đó thì có 1

thể bỏ cả n và k  đi, đồng thời giảm đi 1 ở tất cả các 1

số từ k  đến 2 n  (1 kn2 thì không cần làm bước này), khi đó sẽ được một hoán vị của 1; 2; 3; ;n 2thỏa mãn

0.5

+ Từ một hoán vị của 1; 2; 3; ;n 2 thỏa mãn thì có thể tạo ra n  hoán vị của 2 1; 2; 3; ; n thỏa mãn bằng cách: với mỗi k 1,n2, tăng thêm 1 ở tất cả các số từ k  1đến n  (2 kn2 thì không cần làm bước này), sau đó chèn ,n k  vào vị trí liền sau k Sẽ có tổng cộng 1

k n n k

1.0

–––––––––– HẾT ––––––––––

Lưu ý khi chấm bài:

– Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó – Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm – Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai

đó không được điểm

– Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯNG YÊN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH

GIỎI CẤP QUỐC GIA NĂM 2019

Mơn: TỐN, bài thi thứ nhất

Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân nội tiếp đường trịn  O

Gọi I là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC Điểm E đối xứng với B qua

IC , F đối xứng với C qua IB Gọi M là trung điểm của cung BAC của đường

trịn O Đường thẳng MI cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác BIC tại N (khác

I ) Đường thẳng AI cắt  O tại điểm thứ hai D (khác A ), đường thẳng qua I

vuơng gĩc với AD cắt BC tại K Chứng minh rằng

a) EFOI

b) KN là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp tam giác BIC

Câu 4 (4,0 điểm) Cho các số nguyên dương a a1, 2, ,a2018 Xét tập

2018 1 k 1 1 k 2 1 k 2018; i , 1, , 2018

Chứng minh rằng tích của tất cả các phần tử thuộc S2018là một số chính phương

Câu V (4,0 điểm) Cho đa giác lồi P Bạn An muốn ghi vào mỗi đỉnh của P một số

nguyên dương sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:

i) Trong các số được ghi, cĩ ít nhất một số chẵn;

ii) Tổng của ba số được ghi ở ba đỉnh liên tiếp tùy ý là một số lẻ

Chứng minh rằng bạn An cĩ thể thực hiện được cách ghi như trên khi và chỉ

khi số đỉnh của P chia hết cho 3

––––––––––––––––– Hết –––––––––––––––––

Vì các vế của (4), (5), (6) đều dương Nhân vế với vế các bất đẳng

thức đó với nhau, rồi chia cả 2 vế của bất đẳng thức thu được cho

abc a b b c c a   ta được (3), do đó có (2), suy ra P 3 Dấu

bằng xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng xảy ra đồng thời ở (1), (4), (5)

và (6), khi đó abc. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3

Lại có u n(an q 1) 2an(q1)

Từ đây suy ra

2 2

2 2

2

( 1)2

Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn  O Gọi

I là tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC Điểm E đối xứng với

B qua IC , F đối xứng với C qua IB Gọi M là trung điểm của cung BAC của đường tròn O Đường thẳng MI cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác BIC tại N (khác I ) Đường thẳng AI cắt  O

tại điểm thứ hai D (khác A ), đường thẳng qua I vuông góc với

AD cắt BC tại K Chứng minh rằng

a) EFOI

b) KN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC

Sử dụng bổ đề: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O Gọi I là

tâm đường tròn nội tiếp tam

giác đó Gọi P là giao điểm

thứ hai, khác A của đường

thẳng AI và đường tròn

 O Khi đó P là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác BIC

a) Gọi Q là giao điểm thứ

hai khác C của đường

(do tam giác BCE cân tại C và QC là phân giác trong của góc BCE

), suy ra OQI  FBE nên BEF đồng dạng QIOsuy ra

1,0 đ

b) Không mất tính tổng quát, giả sử ABAC , khi đó K nằm trên

tia đối của tia BC Theo bổ đề D là tâm đường tròn ngoại tiếp

BIC

 , ta kí hiệu đường tròn này là  D Có KIAD nên KI là

tiếp tuyến của đường tròn D Gọi L là giao điểm thứ hai (khác

D ) của KD và đường tròn O Ta có 2

1,0 đ

Suy ra KIL đồng dạng với KDI KLI KID900 (4)

I là tâm đường tròn nội tiếp ABC nên AI là phân giác trong của góc BAC Do đó D là trung điểm cung BC không chứa điểm A

của ( )O , kết hợp M là trung điểm cung BAC của ( ) O

suy ra DM là đường kính của đường tròn ( ) O nên ta có

cũng có điều phải chứng minh

1,0 đ

Cho đa giác lồi P Bạn An muốn ghi vào mỗi đỉnh của P một số

nguyên dương sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:

i) Trong các số được ghi, có ít nhất một số chẵn;

ii) Tổng của ba số được ghi ở ba đỉnh liên tiếp tùy ý là một số lẻ

Chứng minh rằng bạn An có thể thực hiện được cách ghi như

trên khi và chỉ khi số đỉnh của P chia hết cho 3

 Điều kiện cần: Giả sử bạn An đã thực hiện được cách ghi thỏa

mãn đề bài Xuất phát từ một đỉnh nào đó, lần lượt, theo chiều

kim đồng hồ, kí hiệu các đỉnh của P là A A1, 2, ,A n Với mỗi

1, 2, , 

i n , kí hiệu a ilà số được bạn An ghi vào đỉnh A i

Theo i), trong các số a a1, 2, ,a ncó ít nhất một số chẵn Không mất

tính tổng quát, có thể giả sử a chẵn 1,0 đ

Trong phần trình bày sau đây ta coi các chỉ số nk, 1kn, và

chỉ số k là một (các chỉ số được xét theo modulo n )

 Nhận xét: Với mọi i j, 1; 2; 3; ;n, nếu j i chia hết cho 3 thì

+ Nếu n 3k 2,k 

    Trong trường hợp này vì a1chẵn nên theo nhận xét thì a3k1 cũng là số chẵn, lại có a3k1a3k2a1 là số lẻ, suy ra a3k2 là số lẻ Do đó theo nhận xét, a2là số lẻ, suy ra

của P là A A1, 2, ,A3k

Xét cách ghi số như sau của bạn An: Với mỗi i1; 2; 3; ; 3k, ghi vào đỉnh A i một số nguyên dương lẻ nếu i 2 (mod 3) và ghi vào đỉnh A i một số nguyên dương chẵn trong trường hợp còn lại

Rõ ràng cách ghi như trên thỏa mãn điều kiện i) của đề bài

1,0 đ

Do n 0 (mod 3) nên trong ba đỉnh liên tiếp tùy ý của P luôn có

một đỉnh có chỉ số chia hết cho 3 dư 1, một đỉnh có chỉ số chia cho 3

dư 2 và một đỉnh có chỉ số chia hết cho 3 Vì thế, với cách ghi số nêu trên ta luôn có tổng của ba số được ghi ở 3 đỉnh liên tiếp của

P là một số lẻ (do bằng tổng của một số lẻ và hai số chẵn) Vì vậy cách ghi số như trên thỏa mãn điều kiện ii) của đề bài

1,0 đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu 3 (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, ngoại tiếp đường trịn (I) Gọi

D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (I) với BC, CA, AB

a) Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC Chứng minh rằng SI  AD b) Gọi X là giao điểm khác A của hai đường trịn (ABE) và (ACF), Y là giao điểm khác B của hai đường trịn (BAD) và (BCF), Z là giao điểm khác C của hai đường trịn (CAD) và (CBE) Chứng minh rằng AX, BY, CZ đồng quy

Câu 4 (3 điểm) Với mỗi tập A gồm n điểm phân biệt trong mặt phẳng n 2, kí hiệu T A là tập hợp các vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối đều thuộc   A Hãy

xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của T A (Kí hiệu   T A là số  phần tử của tập hợp T A )  

Câu 5 (3 điểm) Cho p là số nguyên tố lẻ, k là số nguyên dương

Đặt S(p, k) =

1 1

p k i

i





 Chứng minh rằng

a) S(p,k)  -1 (mod p)  k chia hết cho p – 1

b) S(p,k)  0 (mod p)  k khơng chia hết cho p – 1

Phương trình đầu tương đương y2y x2x2x x 0.

Coi đây là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x, ta có:

1 2

.2

Với y1  x, thay vào phương trình thứ hai, vô nghiệm

Với y12x, thay vào phương trình thứ hai được 2 1 2 (*)

x x

Câu 3 (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi

D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (I) với BC, CA, AB

a) Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC Chứng minh rằng SI  AD b) Gọi X là giao điểm khác A của hai đường tròn (ABE) và (ACF), Y là giao điểm khác B của hai đường tròn (BAD) và (BCF), Z là giao điểm khác C của hai đường tròn (CAD) và (CBE) Chứng minh rằng AX, BY, CZ đồng quy

a) Gọi G là giao điểm của AD và (I)

Khi đó tứ giác GEDF điều hoà

Do đó tiếp tuyến tại D, G của (I) và

1,5

1,5 1,5

Câu 4 (4 điểm) Với mỗi tập A gồm n điểm phân biệt trong mặt phẳng n 2, kí hiệu T A là tập hợp các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều thuộc   A Hãy

xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của T A (Kí hiệu   T A là số  phần tử của tập hợp T A )  

Số đoạn thẳng với hai đầu mút khác nhau thuộc A là  1

  2 1

Ta chứng minh tồn tại cấu hình sao cho T A  n2 n1

Xét n điểm A1, A2, …, An sao cho A1, A2, A3, …, An  d và thoả mãn điều

p k i

i





 Chứng minh rằng

a) S(p,k)  -1 (mod p)  k chia hết cho p – 1

b) S(p,k)  0 (mod p)  k không chia hết cho p – 1

(mod ) ( , ) ( , )(mod )

Ta có phương trình xr  1 (mod p) có không quá r nghiệm

Mà r  {1, 2, …, p – 2} nên tồn tại a  {1, 2, …, p – 1} sao cho 1(mod )

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 04/10/2018 (Ngày thi thứ nhất)

Câu 1 (4,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

2 2

22

Câu 3 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn ( ). O Gọi

H là trực tâm của tam giác ABC

a) Gọi ,I K lần lượt là trung điểm của AB AC, ; B C1, 1 lần lượt là chân đường cao

kẻ từ ,B C của tam giác ABC Đường thẳng IK cắt B C1 1 tại ,U đường thẳng

OH cắt IK tại V Chứng minh rằng V là trực tâm tam giác AHU

b) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AH , T là giao điểm của tiếp tuyến tại

A của đường tròn ( )O với đường thẳng BC P là hình chiếu vuông góc của ,

O trên đường thẳng TM Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng MP

nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC

 (Chú ý: Đường tròn Euler của tam giác ABC là đường tròn qua 9 điểm gồm trung

điểm các cạnh, chân đường cao và trung điểm của các đoạn thẳng nối các đỉnh với

trực tâm tam giác ABC )

Do đó

(t/m) Vậy hệ phương trình có nghiệm x y là ; 

Chứng minh rằng dãy ( )b n xác định bởi b n a1a2 a n,  n *

có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

t t

2 2

12

Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn ( ) O Gọi

H là trực tâm của tam giác ABC

a) Gọi ,I K lần lượt là trung điểm của AB AC và, B C1, 1 lần lượt là chân đường cao kẻ từ ,B C của tam giác ABC Đường thẳng IK .cắt B C1 1 tại U đường thẳng OH cắt IK tại , V Chứng minh

rằng V là trực tâm tam giác AHU

3,0

Ta có nên ta chỉ cần chứng minh hay

Ta có nằm trên đường tròn Euler (E) của tam giác ABC

Do đó

1,5

Suy ra có cùng phương tích với đường tròn đường kính AH

và đường tròn đường kính OA, nên AU vuông góc với đường nối tâm của hai đường tròn

1,5

V O

U

C 1

B 1

K I

H

C B

hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng TM Chứng minh .

rằng trung điểm của đoạn thẳng MP nằm trên đường tròn Euler

của tam giác ABC

 (Chú ý: Đường tròn Euler của tam giác ABC là đường tròn

qua 9 điểm gồm trung điểm các cạnh, chân đường cao và trung

điểm của các đoạn thẳng nối các đỉnh với trực tâm tam giác ABC

)

3,0

Ta có và nên AMOD là hình bình hành, suy ra , do đó vuông góc Lại có AH vuông góc DT nên M là trực tâm tam giác TAD

Gọi TM cắt AD tại N, khi đó MN vuông góc ND suy ra N nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC

Thử lại và kết luận hàm số thỏa mãn bài toán

Với mỗi cố định, cho đủ lớn ta suy ra Từ đây suy

ra với mọi số nguyên dương Điều này kéo theo

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu 2 (2.0 điểm) Trong mặt phẳng, cho đường trịn  O và hai điểm , B C cố định

nằm trên đường trịn đĩ sao cho BC khơng là đường kính Xét một điểm A di

chuyển trên  O sao cho AB AC và A khơng trùng với , B C Gọi D và E

lần lượt là giao điểm của đường thẳng BC với đường phân giác trong và đường

phân giác ngồi của gĩc BAC Gọi I là trung điểm của DE Đường thẳng đi

qua trực tâm của tam giác ABC và vuơng gĩc với AI , cắt các đường thẳng AD

và AE tương ứng tại M và N Chứng minh rằng đường thẳng MN luơn đi

Với  x x    , x x    là phần nguyên của x

Câu 4 (7.0 điểm) Cho BP 1 1 và với mỗi số k*,k2, gọi BP k là tích các  

ước nguyên tố của k Hãy chỉ ra với mỗi số nguyên dương N , ta xây dựng