Giới thiệu phương pháp giải bài toán tổ hợp trong Gặp gỡ toán học

Khi nhấn một công tắc thì tất cả các bóng đèn nối với công tắc đó đều thay đổi trạng thái (bật thành tắt và ngược lại). a) Với m  n , chứng minh rằng có thể qui định trạng thái ban đ[r]

Bài viết 1

VỀ BÀI TỔ HỢP ĐỀ OLYMPIC GGTH – KHỐI 12 1) Bài toán mở đầu

Vừa rồi, trong đề thi GGTH khối 12, có bài toán rất thú vị như sau:

Cho bảng ô vuông 2018 2019 mà ban đầu có một số ô được tô màu Chứng minh có thể tô màu thêm không quá 4036 ô của bảng để số ô được tô màu trên mỗi hàng là lẻ và số ô được tô màu trên mỗi cột là số chẵn

Bài toán phát biểu đơn giản nhưng đã là một thử thách lớn với các thí sinh tại kỳ thi Đây cũng là bài T30 trên tạp chí Pi, số thứ 2 năm 2017, nhưng đến giờ tạp chí vẫn chưa đưa ra lời giải Dưới đây là một hướng giải theo mô hình graph:

Ta nhận xét rằng câu hỏi ở đề bài tương đương với “số ô không được tô màu ở mỗi hàng và mỗi cột của bảng là số chẵn”, và có thể tổng quát thành bảng kích thước m n tùy ý Khi đó, ta sẽ chứng minh rằng có thể tô màu thêm không quá mn1 ô để có được kết quả như trên

Đặt C { ,C C1 2,,C n} là tập hợp các cột và R{ ,R R1 2,,R m} là tập hợp các hàng Xét graph lưỡng phân G mà tập đỉnh được chia thành hai phần ,C R và cạnh nối từ R đến i C j nếu tại vị trí

ô ( , )i j ở hàng thứ i, cột thứ j , là ô được tô màu

Ta sẽ chỉ ra rằng có thể bổ sung thêm một số cạnh vào G để cho graph bù G của nó có bậc có tất

cả các đỉnh đều chẵn (vì graph bù đại diện cho các ô không được tô màu) Để có sự phân biệt, ta gọi các cạnh của graph G ban đầu (tương ứng với các ô đã được tô màu trước) là “cạnh chính”, còn các cạnh cần bổ sung thêm vào là “cạnh phụ”

Trước hết, ta bổ sung tất cả các cạnh phụ vào graph G để được graph lưỡng phân đầy đủ Khi đó, graph G sẽ có bậc của tất cả các đỉnh là 0 (là số chẵn) Tiếp đến, ta sẽ tiến hành loại bỏ các chu trình có trong G ra bằng cách xóa các cạnh phụ Rõ ràng chu trình trong graph lưỡng phân luôn

có có độ dài chẵn, và khi ta xóa đi một chu trình, bậc mỗi đỉnh liên quan sẽ giảm đi đúng 2 đơn

vị (đồng nghĩa với bậc mỗi đỉnh đó của graph bù G tăng lên 2 đơn vị)

(trong hình trên, C R C R C tạo thành chu trình)

R 2

R 1

C 2

C 1

Sau khi xóa hết tất cả các chu trình của các cạnh phụ đi, graph bù G mới vẫn có bậc mỗi đỉnh đều chẵn Bên cạnh đó, trong graph G có số đỉnh là mn, và vì không có chu trình nên số cạnh phụ

sẽ không vượt quá mn1 (bổ đề sẽ được chứng minh cuối bài)

Điều này chứng tỏ graph mới thỏa mãn đề bài, nói cách khác, tồn tại cách tô màu thỏa mãn

Để kết thúc bài toán, ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề Graph G( , )V E có V n và E  thì phải tồn tại chu trình n

Khẳng định này có thể chứng minh bằng các lập luận về tree và thành phần liên thông Tuy nhiên,

ta có thể chứng minh trực tiếp bằng quy nạp như sau

Với n 3, khẳng định là hiển nhiên

Giả sử nó đúng với graph G có V n Ta xét graph G có V   và n 1 E  n 1 Khi đó, nếu có một đỉnh có bậc 1 thì loại nó ra, graph còn lại có số đỉnh là n và số cạn n nên có chu trình Suy ra, ta chỉ cần xét graph có bậc tất cả các đỉnh 2

Xét đường đi dài nhất L( ,v v1 2,,v k) trong G Lại xét tiếp đỉnh v , ta thấy rằng 1 degv 1 2 nên còn phải nối thêm được một đỉnh v0v2 nào đó Rõ ràng nếu v0 thì độ dài của đường đi sẽ L

dài hơn, mâu thuẫn Do đó v0 nên tạo thành chu trình L

Theo nguyên lý quy nạp, bổ đề được chứng minh  2) Các bài toán liên quan trong các đề thi

Việc mô hình hóa sự liên hệ trên bảng thành graph là không mới Gần đây, ta thấy có các bài như thế trong các đề thi, chẳng hạn như:

Bài 1 (VMO 2017) Bảng ô vuông ABCD kích thước 2017 2017 gồm 20172 ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được tô bởi một trong ba màu: đen, trắng, xám Một cách tô màu được gọi là

AC được tô cùng màu đen hoặc cùng màu trắng Người ta điền vào mỗi ô xám số 0, mỗi ô trắng một số nguyên dương và mỗi ô đen một số nguyên âm Một cách điền số như vậy được gọi là k 

cân đối (với k nguyên dương) nếu thỏa mãn điều kiện sau:

 Mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền cùng một số nguyên thuộc đoạn [k k, ]

 Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được điền trên hàng đó và tập các số nguyên dương được điền trên cột đó không giao nhau; nếu một hàng

và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền trên hàng đó và tập các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau

Tìm giá trị nhỏ nhất của k để với mọi cách tô màu đối xứng, luôn tồn tại cách điền số k cân đối Bài toán này đã quen thuộc ở trong nhiều tài liệu, chẳng hạn Kỷ yếu GGTH 2017, nên ở đây ta xét bài toán khác trong đề thi của trường Đông của chuyên ĐH Vinh

Bài 2 (Trường Đông Vinh 2018) Cho m bóng đèn và n công tắc trong đó m2,n2 Mỗi công tắc nối với ít nhất một bóng đèn và mỗi bóng đèn nối với đúng hai công tắc Ban đầu mỗi bóng đèn ở trạng thái bật hoặc tắt Khi nhấn một công tắc thì tất cả các bóng đèn nối với công tắc đó đều thay đổi trạng thái (bật thành tắt và ngược lại)

a) Với mn, chứng minh rằng có thể qui định trạng thái ban đầu của các bóng đèn sao cho với mọi cách nhấn công tắc, luôn tồn tại bóng đèn bật

b) Với mn, chứng minh rằng có thể qui định trạng thái ban đầu của các bóng đèn sao cho với mọi cách nhấn công tắc, luôn tồn tại cả bóng đèn bật và bóng đèn tắt

Lời giải

Xét đồ thị G trong đó: mỗi đỉnh là một công tắc, mỗi cạnh nối hai đỉnh là một bóng đèn nối với hai công tắc tương ứng Chú ý rằng có thể có nhiều hơn một cạnh nối hai đỉnh Từ giả thiết G có

n đỉnh và m cạnh, ngoài ra deg( )x 1 với mọi đỉnh x Ta tô màu trắng cho cạnh ứng với đèn

bật, và tô màu đen cho cạnh ứng với đèn tắt

a) Ta chứng minh qui nạp theo n rằng G có chu trình Dễ dàng kiểm tra với n 2

Xét trường hợp n 3 Nếu tồn tại đỉnh x với deg( )x 1 thì xóa x cùng với cạnh nối x Đồ thị

còn lại có n 1 đỉnh và n 1 cạnh, theo qui nạp, đồ thị còn lại có chu trình

Nếu deg( )x 2 với mọi đỉnh x Ta xét đỉnh x bất kì, tồn tại đỉnh 1 x nối 2 x bởi một cạnh 1 c Do 1

2

deg(x  nên tồn tại đỉnh ) 2 x nối 3 x bởi cạnh 2 c2 c1 Lập luận tương tự, do số đỉnh là hữu hạn, nên tồn tại một đường đi x x1 2 x j mà x j x i trong đó i Đồ thị có chu trình j

Quay lại bài toán, tô màu trắng cho 1 cạnh của chu trình và tô màu đen cho các cạnh còn lại của chu trình đó Mỗi khi nhấn một công tắc, có 0 hoặc 2 cạnh của chu trình đổi màu Suy ra số cạnh

trắng trong chu trình luôn lẻ và khác 0 Do đó luôn tồn tại bóng đèn bật

b) Ta chứng minh quy nạp theo n rằng đồ thị có ít nhất hai chu trình Cách chứng minh bằng quy

nạp tương tự như ở bài toán ban đầu Dễ kiểm tra với n 2

Xét trường hợp n 3 Nếu tồn tại đỉnh x với deg( )x 1 thì xóa x cùng với cạnh nối x Đồ thị

còn lại có n 1 đỉnh và m 1 cạnh Vì m  1 n 1 nên theo đồ thị còn lại có hai chu trình Nếu deg( )x  2, x; theo a, tồn tại chu trình C có dạng 1 x x1 2 x x với các đỉnh phân biệt k 1

Nếu deg( )x  với i 2 i1,k thì các đỉnh ngoài C không nối với các đỉnh của 1 C Xóa các đỉnh 1

và các cạnh của C Đồ thị còn lại có 1 nk đỉnh và mk cạnh Do m  k n k nên đồ thị còn lại có ít nhất 2 đỉnh và tồn tại chu trình C theo quy nạp

Nếu với i nào đó mà deg( )x  thì tồn tại đỉnh i 3 y sao cho 1 y nối 1 x bởi cạnh i c không thuộc 0

1

C Do deg( )y  nên tồn tại đỉnh 1 2 y nối 2 y bởi cạnh 1 c1c0 Lập luận tương tự, do số đỉnh là hữu hạn nên tồn tại đường đi x y y i 1 2 y trong đó s y thuộc s C hoặc 1 y s y r với r Trong cả s hai trường hợp ta đều có thêm một chu trình C 2

Giả sử C và 1 C có 2 p cạnh chung và một số cạnh riêng Tô đen cho p cạnh chung, tô đen cho các cạnh còn lại của C1, tô trắng cho các cạnh còn lại của C 2

 Trường hợp 1: với p lẻ thì ta đổi một cạnh riêng của C sang màu trắng 1

 Trường hợp 2: với p chẵn thì ta đổi một cạnh riêng của C sang màu trắng, đổi một cạnh 1

riêng của C sang màu đen 2

Trong cả hai trường hợp số cạnh trắng trong C và số cạnh đen trong 1 C đều lẻ Lập luận tương 2

tự (a), số cạnh trắng trong C và số cạnh đen trong 1 C luông lẻ và khác 0 Do đó luôn tồn tại cả 2

bóng đèn bật và bóng đèn tắt



Tiếp theo là một bài khác sử dụng thuật toán chứ không dùng graph, nhưng vẫn có tư tưởng sử dụng “chu trình” trên bảng ô vuông tương tự như trên, tức là một dãy các ô liên tiếp trên bảng mà

ô liền sau sẽ cùng hàng/cột với ô liền trước; ngoài ra ô cuối cùng sẽ trùng với ô đầu tiên Chẳng hạn ta có ví dụ trong hình bên dưới (dãy các ô như thế này cũng chính là chu trình trong graph ta

đã đề cập ở các bài toán trên):

Bài 3 Cho n  và xét một bảng ô vuông n n mà một số ô vuông trên đó được điền các số nguyên sao cho tổng các số trên mỗi hàng, tổng các số trên mỗi cột đều chia hết cho 2019.Chứng minh rằng với mọi cách điền như trên, có thể thay các số trên bảng bởi các bội của 2019 sao cho:

i) Chênh lệch giữa số ban đầu và số được thay là nhỏ hơn 2019 đơn vị;

ii) Tổng các số trên mỗi hàng, tổng các số trên mỗi cột đều được giữ nguyên

Lời giải

Đối với các số trên bảng đã chia hết cho 2019, ta sẽ giữ nguyên chúng; khi đó các ràng buộc vẫn được thỏa mãn; vậy nên chỉ cần quan tâm các số không chia hết cho 2019

Ta sẽ giải quyết bài này bằng thuật toán như sau (chỉ xét các số không chia hết cho 2019):

 Đầu tiên chọn số a bất kỳ trên bảng 1

 Tiếp theo, chọn số a bất kỳ cùng hàng với 2 a (số 1 a tồn tại vì tổng các số trên hàng chứa 2

1

a chia hết cho 2019); lại chọn số a bất kỳ cùng cột với 3 a (tương tự thì 2 a cũng tồn tại) 3

 Cứ tiếp tục quá trình này cho đến khi thu được số a cùng hàng hoặc cùng cột với số k a t

nào đó mà 1 t k2 Khi đó, dễ thấy rằng tập hợp C{ ,a a t t2,,a k} phải có chẵn phần

tử vì vị trí của các số này tạo thành một chu trình khép kín

 Với mỗi số a với i i{ ,t t 1, , }k , đặt d i( ) là khoảng cách từ a đến bội của i 2019 gần

nó nhất Giả sử d là GTNN của các số d i( ) ở trên, ta tiến hành thay a bởi m a là bội của m

2019 sao cho a ma m d 2019 Ta có thể giả sử a ma m d  (tức là ta đã giảm số 0

m

a đi d đơn vị) Ta tiến hành thay các số còn lại trong C bởi quy tắc sau: nếu im chẵn, thay a i a id ; còn nếu im lẻ, thay a i a id

Khi đó, số lượng các số được tăng lên d đơn vị và các số giảm đi d đơn vị là bằng nhau nên điều kiện ii) được thỏa mãn Ngoài ra, mỗi số a iC mà 2019ka i 2019(k1) sẽ được thay bởi số a với 2019 i ka i 2019(k1) nên điều kiện i) sẽ không bị ảnh hưởng Sau quá trình trên, ta nhận thấy rằng: tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột không đổi; còn số lượng

số không chia hết cho 2019 giảm đi ít nhất 1 Lặp lại thuật toán trên nhiều lần với các số còn lại không chia hết cho 2019 cho đến khi toàn bộ các số trên bảng đều được thay bởi bội của 2019 Vậy bằng cách áp dụng thuật toán trên, ta đã chỉ ra được rằng tồn tại cách thay số thỏa mãn đề bài

Cuối cùng là một bài rất thú vị của đề Olympic toàn Nga năm 1963 xin dành cho bạn đọc

Bài 4 (All Xoviet Union MO 1962) Với m n,   , xét các số nguyên dương  A{ ,a a1 2,,a m}

và B{ ,b b1 2,, }b n sao cho

a A b B



  Chứng minh rằng có thể điền lên bảng ô vuông kích thước m n không quá mn1 số thực (mỗi số một ô) sao cho tổng các số trên mỗi hàng chính

là các số thuộc tập A , còn tổng các số trên mỗi cột chính là các số thuộc tập B

  và xét hai trường hợp nếu x y

và x y