Một bài toán tới chuỗi bài toán đẹp trong hình học phẳng

Sau đó nhận thấy tiềm năng khai thác của nó tôi đã rất hứng thú, các bài toán trong bài viết tìm tòi xoay quanh bài toán gốc, chúng bổ trợ lẫn nhau tạo ra một chuỗi bài toán thú vị.. Bài[r]

Một bài toán tới chuỗi bài toán đẹp

Lời nói đầu Dạo gần đây có nhiều thời gian rảnh, tôi đã để ý và hứng

thú với một bài toán đẹp Sau đó nhận thấy tiềm năng khai thác của nó tôi

đã rất hứng thú, các bài toán trong bài viết tìm tòi xoay quanh bài toán gốc, chúng bổ trợ lẫn nhau tạo ra một chuỗi bài toán thú vị

Bài toán 1(lovely kitty) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) P, Q là hai điểm liên hợp đẳng giác ứng với tam giác ABC AP cắt (O)tại điểm thứ hai

P0 T đối xứng P qua BC S thuộc (O) sao cho AS vuông BC P0S cắt BC tại

R Chứng minh rằng QS vuông góc RT

Lời giải 1(Nguyễn Đắc Quán) Gọi D là hình chiếu của P lênBC Điều phải chứng minh tương đương với ∠QS A=∠P SD Gọi AP∩BC=U và AQ∩

(O)=Q06=A

Ta có: 4PBP0 ∼ 4BQQ0(g.g) Do đó: P P0.QQ0 =P0B.Q0B

Để ý rằng 4RBP0 ∼ 4BSQ(g.g) suy ra: RP0.Q0S = P P0.QQ0 =P0B.Q0B suy ra:4RP0P ∼ 4QQ0S(c.g.c)suy ra: ∠P RD=∠AU C−∠RPU=∠ASQ0 −∠QSQ0 =

∠QS A Do đó ta có điều phải chứng minh

Nhận xét Đây là 1 lời giải đẹp vì khai thác được tính chất đồng dạng của

hai điểm đẳng giác vốn ít liên hệ Ngoài lời giải trên còn 1 lời giải khác của

anh An Chu rất đẹp Xin giới thiệu bạn đọc.

Lời giải 2(An Chu).

Bổ đề Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E là hai điểm liên hợp đẳng giác ứng với tam giác ABC AD cắt (O) tại M, ME cắt BC tại

P, khi đó DP ËAE

Chứng minh. AE cắt BC tại Q, cắt (O)tại N, khi đó

∠B AM=∠C AN⇒M NËBC

Bằng biến đổi góc chỉ ra được

∠MDC=∠NCE, ∠NCQ=∠M AC

Từ đó 4MDCv4NCE, 4M ACv4NCQ (g.g), chú ý PQËM N thu được

M A

MD = M A

NC · NC

MD = MC

NQ · N E

MC = N E

NQ = ME

MP Theo định lý Thales đảo ta có DP ËAE

Quay trở lại bài toán Kéo dài AQ cắt(O) tạiQ0, P0Q cắt BC tại D, P0S cắt

P T tại E

Theo bổ đề P DËAQ,chú ý P, T đối xứng qua BC và P TËAS ta có

∠DT P=∠DP T=∠S AQ0=1

2sđ SQÙ 0 = 1

2(sđ QÛ 0SB−sđ ÙSB)=∠P0RC

Mặt khác P T⊥RC nên P0R⊥DT dẫn đến E là trực tâm tam giác DRT suy

ra DE⊥RT

Chú ý ASËP E, P DËAQ, bằng định lý Thales ta có

P0E

P0S = P

0P

P0A = P

0D

P0Q ⇒QSËDE

Bởi vậyQS⊥RT

Tiếp tục là khai thác thú vị của bạn Hà Huy Khôi cho bài toán 1.

Bài toán 2(Hà Huy Khôi) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có trực tâm

H P, Q là 2 điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác ABC Gọi P0 đối xứng P quaBC Đường thẳng qua H⊥ AP cắtBCtại E Chứng minh rằngQE⊥HP0

Lời giải Gọi AH cắt BC, (O) tại I, D AP cắt BC, (O)tại J, P a AQ cắt(O) tai Qa Kẻ tia AxkBC

Ta có: JB

JC = A(BC, J x)=H(CB, E I)= EC

EB :

IC

IB (chiếu trực giao)

EB = JB

JC.

IC

IB =(AB

AC.

PaB

PaC).

IC

IB =(AB

IB .

IC

AC).

PaB

PaC =(DC

D I.

D I

DB).

QaC

QaB = DC

DB.

QaC

QaB

⇒E, Qa, D (bổ đề cát tuyến đảo)

Gọi Q0 đối xứng Q qua BC thì áp dụng bài toán 1 ta có ngayQ0E⊥P D Qua phép đối xứng trục BC thì suy ra QE⊥P0H

Nhận xét Bài toán này là một bổ đề do bạn Khôi tìm tòi trong quá trình

giải bài toán 3 tiếp theo do tôi đề nghị Kết quả của bài toán 2 cũng rất

hay và đáng lưu ý

Bài toán 3(Nguyễn Duy Khương) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có trực tâm H, tâm nội tiếp I (I) tiếp xúc BC tại D Gọi (D, D I) cắt BC tại S, T Gọi K là hình chiếu H lên A I Chứng minh rằng H, K , S, T đồng viên

Lời giải (Hà Huy Khôi) Để bảo lưu lời văn của tác giả lời giải xin lưu

ý độc giả kí hiệu (X, Y , Z, T)c yc tức là X , Y , Z, T đồng viên

Gọi I’ đối xứng I qua BC thì I I0 là đường kính của (D) Gọi HK cắt BC tại

E

Từ bổ đề, nếu cho P=Q=I thì ta thu được ngay H I0⊥E I

⇒GọiH I0cắtI E tại J thì ∠I J I0 =90◦ ⇒(I, I0, J, S, T)c yc Đồng thời, ∠H J I=

∠HK I =90◦⇒(H, K , I, J)c yc

⇒EH.EK =E I.E J=ES.ET ⇒(H, K , S, T)c yc.

Nhận xét Ban đầu tôi sáng tác bài toán bằng cách đặc biệt hóa bài toán

giác ABC tiếp xúc BC tại K Phân giác ngoài góc BHC cắt BC tại D E là trung điểm I H Chứng minh D I vuông góc EK

Lời giải(Nguyễn Duy Khương) Gọi H M là phân giác trong góc BHC với M∈BC ta có: ∠H MB=∠HCB+∠BHC

2 =90◦−∠B+90◦−∠A

2 =∠C+∠A

2 suy ra:H MkA I do đó HD⊥A I tại R Lấy I0 đối xứng I qua BC Ta cần chỉ ra rằng I0H vuông I D Gọi H0 là trực tâm tam giác I I0D Gọi (K ; K I)∩BC=S, T

và J là hình chiếu của I0 lên I D Ta cần có: D J.D I=DH.DR=DS.DT hay là

ta quy về chứng minh nội dung bài toán 3 Từ đây H, H0, J, I0 thẳng hàng

Do đó: K E⊥I D

Nhận xét Bài toán cuối là một ứng dụng rất hay của tính chất từ bài

toán 3 Thú vị như thể bài toán số 4 được sinh ra để dùng bài toán 3.

1 cho tâm nội tiếp và có 1 lời giải khá dài Lời giải của bạn Khôi vận dụng rất đẹp bài toán 2 Ngoài lời giải đẹp trên các bạn cũng có thể tham khảo lời giải của Eugeo Synthesis 32

Bài toán 4 Cho tam giác ABC, trực tâm H, đường tròn (I) nội tiếp tam

Kết thúc bài viết xin cảm ơn bài toán đẹp đã tạo rất nhiều cảm hứng

cho mình của my lovelykitty, bài viết như một món quà tặng em Ngoài ra xin cảm ơn các anh, các bạn An Chu, Nguyễn Đắc Quán,Hà Huy Khôi, Eugeo Synthesis 32 đã hộ trợ rất nhiều cho tôi trong quá trình hoàn thiện

bài viết