MỤC LỤC.. Cho lăng trụ ABC.. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trên các đoạn thẳng BH và HF lần lượt lấy hai điểm M , N sao cho BM = CN.. Cho trước p là một số nguyên tố l[r]
Trang 1MỤC LỤC
3 TST Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa ngày 1 năm học 2019-2020 7
4 TST Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa ngày 2 năm học 2019-2020 8
MỤC LỤC
Trang 223 TST Khánh Hòa ngày 2 năm học 2019-2020 27
MỤC LỤC
Trang 346 TST Quảng Bình ngày 1 năm học 2019-2020 50
55 Trường Đông Toán học Bắc Trung Bộ ngày 1 năm học 2019-2020 59
56 Trường Đông Toán học Bắc Trung Bộ ngày 2 năm học 2019-2020 60
57 Trường Đông Toán Học Nam Trung Bộ năm học 2019-2020 61
MỤC LỤC
Trang 4MỤC LỤC
Trang 5TUYỂN TẬP ĐỀ THI TST CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ, ĐẠI HỌC 2019-2020
BÀI 1 TST ĐẠI HỌC VINH NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Với mỗi n∈ N∗, xét hàm số fn(x) =x2n+sin 2x với x ∈R.
1 Chứng minh rằng hàm fn(x)đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm xn duy nhất
2 Gọi un là giá trị nhỏ nhất của hàm fn(x) Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn hữuhạn
Bài 2 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P(x)thoả mãn P(1) = 1
2 và
xP(x)P(1−x) ≤ x5,với mọi số thực x
Bài 3 Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc cạnh BC) Đườngtròn(I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Gọi M là trungđiểm AH, đường thẳng DM cắt(I)tại điểm thứ hai là P
1 Gọi T là giao điểm của EF và BC Chứng minh rằng÷TPD =90◦
2 Đường thẳng đi qua I và vuông góc với MD cắt BC tại N Kẻ hai tiếp tuyến NR, NS đếnđường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (R, S là tiếp điểm) Chứng minh rằng các điểm R,
P, D, S cùng nằm trên một đường tròn
Bài 4 Có 16 học sinh tham gia làm một bài thi trắc nghiệm Đề thi chung cho tất cả học sinh
và có n câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời Sau khi thi xong, thầy giáo nhận thấy vớimỗi câu hỏi, mỗi học sinh chọn đúng 1 phương án trả lời và hai học sinh bất kì có nhiều nhất
1 câu hỏi có phương án trả lời giống nhau
1 Với n =2, hãy chỉ ra một số ví dụ về phương án trả lời câu hỏi của 16 học sinh
2 Chứng minh rằng n ≤5
MỤC LỤC
Trang 6BÀI 2 TST ĐẠI HỌC VINH NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Tìm tất cả các hàm số f : (0;+∞) → (0;+∞)thỏa mãn
f (f(xy) +2xy) = 3x f(y) +3y f(x), (1)với mọi x, y∈ (0;+∞)
Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn(O)có các đường cao BE, CFcắt nhau tại H Gọi I là trung điểm của BC Tia I H cắt(O) tại T Trên đường thẳng EF lấyđiểm D sao cho HD k BC
1 Chứng minh rằng DT tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF
2 Gọi M, N lần lượt là giao điểm của EF với các đường tròn (IBT), (ICT) thỏa mãn Mkhác phía E đối với F và N khác phía F đối với E Gọi P là giao điểm thứ hai của AH với(O) Chứng minh rằng BM, CN, TP đồng quy
Bài 3 Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương(x; y; z)thoả mãn 1+2x =3y+2·4z
MỤC LỤC
Trang 7BÀI 3 TST CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NGÀY 1 NĂM HỌC
xn + 8(n+1)2, ∀n≥1
Tìm số hạng tổng quát của dãy(xn), từ đó tìm α để dãy(xn)có giới hạn hữu hạn
Bài 2 Tìm tất cả các cặp đa thức(P, Q)với hệ số thực thỏa mãn:
P(x+Q(y)) =Q(x+P(y))với mọi số thực x và y
Bài 3 Cho tam giác ABC có AC> AB Trên các cạnh AB , AC lần lượt lấy hai điểm P , Q saocho PQ song song với BC Gọi O là giao điểm của hai đoạn thẳng BQ và CP Gọi A0 là điểmđối xứng của A qua BC Đoạn A0Ocắt đường tròn ngoại tiếp(C)của tam giác APQ tại S
1 Gọi X là giao điểm thứ hai của đường thẳng qua A và song song với BC và đường tròn(C) Chứng minh ba điểm X , O , A0thẳng hàng
2 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCS tiếp xúc với đường tròn(C)
Bài 4 Một điểm M thực hiện các lần di chuyển trên mặt phẳng tọa độ bắt đầu từ điểm O(0; 0).Mỗi lần di chuyển sẽ đến một điểm có toạ độ là số hữu tỉ và cách điểm trước đó đúng 1 đơnvị
1 Chứng tỏ rằng điểm M có thể di chuyển đến điểm có tọa độ 1
5;
1613
2 Điểm M có thể di chuyển đến điểm có tọa độ
1
2019;
12020
không? Tại sao?
MỤC LỤC
Trang 8BÀI 4 TST CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NGÀY 2 NĂM HỌC
2019-2020
Bài 1 Tìm tất cả các hàm số f : R→R, liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện:
f(xy) + f(x+y) = f(xy+x) + f(y)với mọi số thực x và y
Bài 2 Cho đường tròn(O; R)và một điểm I cố định, khác O ở trong đường tròn đó, đườngthẳng qua I vuông góc với OI cắt đường tròn tại C và D; A là một điểm nằm trên đường tròn,tia đối xứng với tia I A qua đường thẳng CD cắt đường tròn tại B Gọi M là trung điểm củaAB
1 Chứng minh đường thẳng AB đi qua một điểm cố định L khi A thay đổi trên đườngtròn(O; R)
2 Gọi N, P là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn(O; R); điểm N nằm trêncung ˙ADB Đường thẳng CN và DP cắt nhau ở Q Chứng minh rằng các điểm Q, N lầnlượt là tâm của đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác CMD
Bài 3 Tìm bộ ba các số nguyên dương(p, n, k)thỏa mãn p là số nguyên tố Fermat và
pn+n= (n+1)k(số nguyên tố Fermat là số nguyên tố có dạng 22x+1 với x là số tự nhiên)
MỤC LỤC
Trang 9BÀI 5 TST BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Cho các số thực x, y∈ (1, 2) Chứng minh rằng:
Bài 3 Cho x, y là các số nguyên dương Nếu với mọi số nguyên dương n ta đều có xϕ( n )−1chia hết cho(ny)2+1 thì x = 1 (với ϕ(n)là số các ước nguyên dương nhỏ hơn n và nguyên
Trang 10BÀI 6 TST HẢI PHÒNG NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Tìm tất cả các hàm số f : R→R sao cho
Tìm a để dãy(un)có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó
Bài 3 Cho một dãy gồm 100 ô vuông Trong mỗi ô vuông ta điền một trong bốn chữ chữ số
2, 0, 1, 9 Hỏi có bao nhiêu cách điền sao cho tổng các số trong 100 ô vuông là một số chia hếtcho 4
Bài 4 Cho ABC là tam giác nhọn(AB < AC) ngoại tiếp đường tròn(I) D, E, F lần lượt làcác tiếp điểm của đường tròn(I) với BC, CA, AB AD cắt đường tròn(I)tại Q(Q 6= D) Tiếptuyến tại Q của đường tròn(I)cắt EF tại S
1 Chứng minh bốn điểm S, D, B, C thẳng hàng và theo thứ tự lập thành hàng điểm điềuhoà
2 Gọi K là giao điểm của EF và DI AK cắt BC tại M Kẻ CH⊥ AB(H ∈ AB) Chứng minh
MHtiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác SHD
MỤC LỤC
Trang 11BÀI 7 TST HẢI PHÒNG, NGÀY 2, NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Xác định các đa thức P(x), Q(x)hệ số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau(i) Q(x)khác đa thức không và deg Q(x) <2
(ii) P(x3−1) −x3P(x−1)[P(x+1) +4] = x6Q(x), ∀x ∈R.
Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC); các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H.Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AH, BC lần lượt tại L và G Gọi M là trung điểm củaBC; AM cắt GH tại I; LI cắt AG tại K
1 Chứng minh bốn điểm E, K, F, I cùng thuộc một đường tròn
2 Đường tròn ngoại tiếp tam giác LID cắt GH tại J (J 6= I) Chứng minh J nằm trên đườngtrung trực của LD
Bài 3
1 Tìm tất cả các số tự nhiên a thoả mãn 3a+1 và 4a+1 đều là những số chính phương
2 Chứng minh nếu số tự nhiên a thoả mãn 3a+1 và 4a+1 đều là những số chính phươngthì a(a−4) 13
Bài 4
Cho X là một bát giác đều tâm O Gọi A là tập tất cả các đỉnh
của X và các giao điểm của hai đường chéo bất kì của X Gọi B
là tập 8 điểm thuộc A không trùng O và gần O nhất (hình vẽ)
Gọi Y là tập tất cả các cạnh của X và các đoạn thẳng nối hai
điểm thuộc A kề nhau trên một đường chéo bất kì của X Mỗi
điểm thuộc A được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ Có
tất cả 26 điểm đỏ Biết rằng O được tô đỏ, hai trong số những
điểm đỏ là đỉnh của X, ba trong số những điểm đỏ thuộc B
Các đoạn thẳng thuộc Y được tô màu theo quy tắc: nếu đoạn
thẳng có hai đầu mút đỏ thì nó được tô màu đỏ, nếu hai đầu
mút xanh thì nó được tô màu xanh, nếu một đầu mút đỏ và
một đầu mút xanh thì nó được tô màu vàng Biết rằng có 20
đoạn thẳng trong Y màu vàng Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng
trong Y màu xanh?
O
MỤC LỤC
Trang 12BÀI 8 TST HÀ TĨNH NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Cho các dãy số (un); (vn) (n = 1, 2, ) thỏa mãn lim unn = 2; lim vnn = 3; với mọi
1 Chứng minh K, H, P thẳng hàng
2 Chứng minh AQ=BP
Bài 4 Cho bảng ô vuông 2019×2019, ta điền vào các ô vuông đơn vị của bảng các số 0, 1 xen
kẻ nhau Biết bốn ô vuông ở bốn góc của bảng đều được điền số 1 Tìm số k nhỏ nhất các hìnhchữ L (hình vuông 2×2 bỏ đi một ô vuông bất kỳ) sao cho có thể phủ tất cả các ô vuông chứa
số 1 bởi k hình chữ L không chồng lên nhau
MỤC LỤC
Trang 13BÀI 9 TST HÀ TĨNH NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Cho đa thức f(x) = x3+14x2−2x+1
1 Chứng minh rằng với x, y nguyên dương thì f(x) − f(y)chia hết cho 101 khi và chỉ khi
1 Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC đi qua trung điểm AQ
2 Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ nằm trên đường tròn ngoạitiếp tam giác DBC
Bài 3 Cho một số viên bi có khối lượng khác nhau đôi một và một cái cân thăng bằng Biếtrằng chiếc cân này không cho phép đo chính xác khối lượng của viên bi mà mỗi lần cân chỉcho phép so sánh khối lượng của hai viên bi bất kỳ Mục tiêu cuối cùng là có thể sắp xếp cácviên bi này theo thứ tự khối lượng tăng dần bằng một số lần cân hữu hạn
1 Chứng minh rằng với 4 viên bi bất kỳ thì chỉ cần sử dụng 5 lần cân
2 Chứng minh rằng với 2n viên bi bất kỳ thì chỉ cần sử dụng(n−1)2n +1 lần cân (n=2,3, )
MỤC LỤC
Trang 14BÀI 10 TST PHÚ THỌ NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1
1 Cho hàm số f(x)liên tục trênR Chứng minh rằng hàm số f2(x)liên tục trênR.
2 Tồn tại hay không hàm số f(x)gián đoạn tại mọi x ∈R mà hàm số f2(x)liên tục tại mọi
x ∈R?
Bài 2 Cho các số nguyên dương k, n (k <n) và bảng ô vuông 2×nnhư hình vẽ
Tính số cách chọn k ô vuông sao cho không có hai ô vuông nào chung đỉnh
Bài 3 Cho ba số thực a, b, c khác 0, đôi một phân biệt và thỏa mãn
Bài 4 Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên(m; n; k)thỏa mãn 5m+7n =k3
MỤC LỤC
Trang 15BÀI 11 TST PHÚ THỌ NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Cho tam giác ABC có AB = AC > BC và I là tâm đường tròn nội tiếp Gọi D là giaođiểm của BI và AC, J là điểm đối xứng của I qua AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDJ cắtđoạn thẳng AI tại E
a) Chứng minh rằng ED song song với I J
b) Chứng minh rằng AE
AI ≥
8
9.Bài 2 Có một nhóm người mà trong đó, mỗi cặp không quen nhau có đúng hai người quenchung, còn mỗi cặp quen nhau thì không có người quen chung Chứng minh rằng số ngườiquen của mỗi người là như nhau
Bài 3 Tìm tất cả các hàm số f :R→R thỏa mãn
f(y)cos(x−y) ≤ f(x), ∀x, y ∈R.
MỤC LỤC
Trang 16BÀI 12 TST QUẢNG TRỊ NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Giải hệ phương trình
q2x(x−y) +
q2y(4y−x) = x+2y(x+2y+3)p5−2y+ (3x−4−9)√
Bài 3 Cho đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB và AC của tam giác ABC lần lượt tại
B và C Đường thẳng (d) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E Đường thẳng (d) cắtđường thẳng tròn(O) tại(P) và(Q) Đường thẳng đi qua D và song song với AC cắt BC tại
M, đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BC tại N
1 Chứng minh rằng bốn điểm M, N, Q và P nằm trên một đường tròn
2 Chứng minh rằng đường tròn đi qua bốn điểm M, N, Q, P tiếp xúc với đường thẳngDM
Bài 4 Cho bảng kẻ ô vuông 2019 hàng và 2019 cột, trong mỗi ô vuông ta ghi số 1 hoặc số−1.Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k để ta có thể chọn được k hàng và k cột sao chotổng của k2số tại các ô giao của k hàng và k cột được chọn có giá trị tuyệt đối lớn hơn 1000
MỤC LỤC
Trang 17BÀI 13 TST QUẢNG TRỊ NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Với các số thực dương x, y, z cho trước, hãy xác định hằng số C nhỏ nhất (phụ thuộc x,
y, z), sao cho với mọi n nguyên dương, ta luôn có
Bài 4 Cho dãy số a1, a2, , an, với ai ∈ {−1, 1} ∀i = 1, n Kí hiệu F là thuật toán đổi dấu một
số các số hạng liền nhau của dãy Hỏi phải sử dụng thuật toán F ít nhất bao nhiêu lần, sao cho
ta có thể chuyển dãy ban đầu về dãy gồm toàn những số 1, bất kể giá trị ban đầu của các sốhạng a1, a2, , an?
MỤC LỤC
Trang 18BÀI 14 TST THÀNH PHỐ HCM NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020
2 Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn a2+b2+c2+d2 =1 Chứng minh rằng
TH cắt O tại điểm D thuộc cũng nhỏ BC Gọi L là trung điểm của HT
1 Chứng minh các điểm A, L, O, K, D cùng nằm trên một đường tròn
2 Gọi P là giao điểm thứ hai của AO với O Đường thẳng đi qua H và song song với BCcắt đường thẳng PD tại X Chứng minh XA là tiếp tuyến của đường tròn O
Bài 4 Cho đa thức hệ số thực P(x)có bậc 2019 và hệ số bậc cao nhất bằng 1 Biết rằng P(x)cóđúng 2019 nghiệm thực phân biệt không phải là số nguyên Giả sử mỗi đa thức P(2x2−4x)
và P(4x−2x2)đều có đúng 2692 nghiệm thực phân biệt
1 Hỏi có bao nhiêu nghiệm của P(x)thuộc khoảng(−2; 2)?
2 Chứng minh rằng tồn tại 3 đa thức cùng bậc A(x), B(x), C(x) có hệ số thực sao cho
A(x)B(x)C(x) = P(x),∀x∈ R và B(x) 6= A(x)C(x),∀x∈ (−1; 1)
MỤC LỤC
Trang 19BÀI 15 TST THÀNH PHỐ HCM NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1
a) Cho đa thức hai biến P(x, y)với hệ số thực Chứng minh rằng tồn tại các đa thức một biến
S(x), T(x)với hệ số thực sao cho
CFtại I, AI cắt BC tại D, IB cắt DF tại M và IC cắt DE tại N
a) Tia O0I cắt đường tròn(O)tại R Chứng minh rằng AR, MN, BC đồng quy
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên(O) thì đường phân giác trong và đường cao quađỉnh I của tam giác I MN lần lượt đi qua các điểm cố định
Bài 4 Số nguyên dương n được gọi là số “đẹp ”nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:(i) n là số chính phương không chia hết cho 3
(ii) Với mỗi ước m≥15 của n thì m+15= pk với p nguyên tố và k∈ N
a) Chứng minh rằng nếu n là số “đẹp ”và có ước nguyên tố lẻ p thì p=7
b) Tìm tất cả các số “đẹp ”(chú ý n=1 là số “đẹp ”)
MỤC LỤC
Trang 20BÀI 16 TST PTNK NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Số thực α được gọi là điểm tụ của dãy số(un) nếu tồn tại một dãy con của(un)hội tụ
đến α.
1 Hãy chỉ ra một dãy số có vô hạn điểm tụ
2 Chứng minh rằng nếu một dãy số có mọi dãy con hội tụ thì nó cũng hội tụ
3 Gọi S là tập hợp tất cả các số chính phương dương Dãy số(an)xác định bởi
ak Xét tính hội tụ của các dãy số của(an)và(bn)
Bài 2 Tìm tất cả các hợp số dương n sao cho n·σ(n) ≡2 (mod ϕ(n)), trong đó kí hiệu σ(n),
ϕ(n)là hàm tổng các ước của n và hàm Euler
Bài 3 Tìm tất cả các hàm số f : R→R thỏa mãn
f (f(x) +y) + f(x)f (f(y)) = x f(y) +x+yvới mọi số thực x, y
Bài 4 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp trong đường tròn(O)với BC cố định và A thayđổi trên cung lớn BC Các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC,
CA, AB tại D, E, F Gọi L, M, N lần lượt là giao điểm khác A, B, C của các cặp đường tròn(ABE),(ACF);(BCF),(BAD);(CAD),(CBE)
a) Chứng minh rằng AL luôn đi qua điểm cố định khi A thay đổi
b) Gọi K, I, J lần lượt là trung điểm của AD, BE, CF Chứng minh rằng KL, I M, JN đồng quy
MỤC LỤC
Trang 21BÀI 17 TST PTNK - NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 8 a2+b2+c2
=9(ab+bc+ca) Tìm giá trịlớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= a+b
i) m f(m) +n f(n) +2m f(n)là số chính phương với mọi m, n;
ii) f(mn) = f(m)f(n)với mọi m, n nguyên dương;
iii) Với mọi số nguyên tố p, f(p)không chia hết cho p2
Bài 3 Một trường phổ thông có n học sinh Các học sinh tham gia vào tổng cộng m câu lạc
bộ là A1, A2, , Am
a) Chứng minh rằng nếu mỗi câu lạc bộ có 4 học sinh và hai học sinh bất kỳ tham gia chungnhất một câu lạc bộ thì m ≤ n(n−1)
12 .b) Giả sử tồn tại k>0 sao cho hai câu lạc bộ bất kỳ có chung nhau k thành viên và tồn tại mộtcâu lạc bộ At có k thành viên Chứng minh rằng m≤n
Bài 4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O) Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với cáccạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Gọi J là tâm bàng tiếp góc A của tam giác ABC và H làhình chiếu của D lên EF
a) Chứng minh rằng giao điểm của AH, JD thì thuộc đường thẳng OI
b) Giả sử DH cắt lại(I) ở K và IK cắt lại đường tròn ngoại tiếp(IEF)ở L Chứng minh rằng
AD, LH cắt nhau tại một điểm nằm trên(IEF)
MỤC LỤC
Trang 22BÀI 18 TST BẮC GIANG NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Tìm các hàm số liên tục f : R→R thỏa mãn
Bài 4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O) và H là trực tâm tam giác ABC Gọi M làđiểm chính giữa cung˙BHCcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC BM giao AC tại E, CMgiao AB tại F Kẻ phân giác trong AD của góc÷BAC Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tamgiác AFE
a) Chứng minh TD ⊥BC
b) Chứng minh rằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF bằng OD
Bài 5 Tìm tất cả các số nguyên dương n > 1 có tính chất: nếu a, b là các ước nguyên dươngcủa n và(a, b) =1 thì a+b−1 cũng là ước của n
MỤC LỤC
Trang 23BÀI 19 TST GIA LAI NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Xét g(x) = a2020x2020+a2019x2019+ · · · +a1x+a0là một đa thức bậc 2020 bất kỳ nhận
x =2020 làm nghiệm và giả sử rằng g(x) = (xư2020) f (x)với
f (x) = b2019x2019+b2018x2018+ · · · +b1x+b0.Đặt A=max{|a0|;|a1|; ;|a2020|}và B =max{|b0|;|b1|; ;|b2019|} Chứng minh A≥B.Bài 2 Cho tam giác ABC nhọn Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho
BM = CN Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giácAMNtại hai điểm A và K
a) Chứng minh rằng K là điểm chính giữa của cung BAC của đường tròn ngoại tiếp∆ABC.b) Gọi I và J lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABN và ACM Chứng minhrằng bốn điểm A, K, I, J cùng nằm trên một đường tròn
Bài 3 Cho trước số abcde f có sáu chữ số Chứng minh rằng ta có thể sắp xếp lại các chữ số của
số đã cho sao cho hiệu giữa tổng ba chữ số đầu tiên và ba chữ số cuối cùng nằm giữa 0 và 9 (tức
là sắp xếp lại các chữ số của số đã cho thành số xyztuv sao cho 0≤x+y+zưtưuưv ≤9).Bài 4 Tìm tất cả hàm số f :N→N thoả mãn f(0) =1 và
Trang 24BÀI 20 TST HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Cho dãy số {xn}n≥1 thỏa mãn x1 = 2019, xn+ 1 = 1+lnxn(x
2
n+3)3x2+1 , ∀n ≥ 1 Chứngminh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Bài 2
a) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O) Xét đường tròn(O0)tiếp xúc với các cạnh AB,
AClần lượt tại P, Q và tiếp xúc trong với đường tròn(O)tại S Gọi D là giao điểm của AS
Xi∩Xj = ∅, ∀(i; j), 1≤ i 6= j ≤ k Với hai đoạn AB và CD, ta gọi AB cắt ngang CD nếu tồn tại
một điểm I khác A, B, C và D mà I thuộc cả hai đoạn AB và CD.
Cho S là tập hợp tất cả các đoạn thẳng là các đường chéo của đa giác lồi 2019 cạnh Phânhoạch S thành k tập khác rỗng S1, S2, · · ·, Sk sao cho với mọi cặp chỉ số (i; j), 1 ≤ i, j ≤ k,
i 6= j, tồn tại ít nhất một đoạn trong Si và một đoạn trong Sjcắt ngang nhau Tìm giá trị lớnnhất của k
MỤC LỤC
Trang 25BÀI 21 TST BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Giải phương trình x3−x2−10x−2 =√3
APB = ÷APC Gọi R, Q lần lượt là điểm đối xứng của P qua AB, AC Giả sử đường tròn qua
ba điểm A, P, H cắt BC tại điểm T (T không trùng H) Chứng minh rằng T, R, Q thẳng hàng.Bài 4 Cho bảng ô vuông kích thước 2019×2019 Tô đen S ô vuông của bảng sao cho không
có 4 ô đen nào tạo thành 4 góc của một hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh của bảng ôvuông Chứng minh rằng S≤95266
MỤC LỤC
Trang 26BÀI 22 TST KHÁNH HÒA NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Giải hệ phương trình
Bài 5 Cho tam giác ABC nhọn không cân có đường trung tuyến AM và đường phân giáctrong AD Qua điểm N thuộc đoạn AD (N không trùng với A và D), kẻ NP vuông góc với AB(P thuộc cạnh AB) Đường thẳng qua P vuông góc với AD cắt đoạn thẳng AM tại Q Chứngminh rằng QN vuông góc với BC
Bài 6 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=xyz(x+y+z) Chứng minhrằng
12x+1+
12y+1+
12z+1 ≥1.
MỤC LỤC
Trang 27BÀI 23 TST KHÁNH HÒA NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Tìm tất cả các hàm số f : R→R thỏa mãn điều kiện
f (x− f(y)) =3 f(x) −2x− f(y),∀x, y∈ R. (1)
Bài 2 Cho dãy các đa thức Pn(x)xác định bởi
P1(x) = x2−1, P2(x) =2x3−2x, Pn+ 1(x)Pn− 1(x) = [Pn(x)]2− (x2−1)2, ∀n≥2
1 Gọi an là tổng các giá trị tuyệt đối của hệ số của Pn(x) Chứng minh an + 1=2an+an − 1
2 Tìm lũy thừa lớn nhất của 2 sao cho lũy thừa này chia hết cho an
2 Cho n(n ≥ 4) số thực đôi một khác nhau a1, a2, , an Xét các hoán vị của n số này là
Bài 4 Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn(O), có các đường cao AD, BE,
CF Gọi M là trung điểm của cạnh BC và I là giao điểm của EF với BC
1 Đường cao AD cắt đường tròn (O) tại L Chứng minh rằng bốn điểm A, I, L, M cùngthuộc một đường tròn
2 Qua D kẻ đường thẳng song song với EF, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại R, S.Chứng minh rằng DM·DI =DR·DS
MỤC LỤC
Trang 28BÀI 24 TST THANH HÓA NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Với mỗi số thực a, xét dãy số(un)xác định bởi:
Bài 4 Một cuộc thi đấu của các cặp đôi được tổ chức như sau: Mỗi đấu thủ có thể thi đấu chomột hoặc hai cặp Hai cặp bất kỳ có thể thi đấu với nhau nhiều nhất là 1 trận, nhưng nếu haicặp nào có cầu thủ chung thì sẽ không đấu với nhau Cho tập hợp S = {6, 12, 18, 24}, hãy tìm
số lượng bé nhất các đẩu thủ để trong cuộc thi đấu này người ta có thể sắp xếp các đấu thủtheo cặp và tham gia cuộc thi thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(i) Số trận đấu mà mỗi đấ thủ tham gia phải là một trong các số a thuộc tập S;
(ii) Với mọi số b thuộc tập S cho trước, có thể tìm được ít nhất một đấu thủ đã tham gia đúng
btrận đấu
MỤC LỤC
Trang 29BÀI 25 TST THANH HÓA NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Cho p > 0, q > 0, p+q = 1 và dãy an không âm, thỏa mãn an+ 2 ≤ pan + 1+qan,
n∈ N∗ Chứng minh rằng dãy{an}có giới hạn và tìm giới hạn đó
Bài 2 Tìm tất cả các hàm f :R+ −→R+thỏa mãn
x f x2 f(f(y)) + f(y f(x)) = f(xy)ff x2+ f f y2 (1)
với mọi x, y là các số thực dương
Bài 3 Cho đa thức P(x) = 4x2+5x+1−a, với x ∈R và a là số nguyên cho trước Đặt
P2(x) = P(P(x)) =4(P(x))2+5P(x) +1−a, Pk + 1(x) = P(Pk(x)),∀k∈ N, k >1.Chứng minh rằng nếu tồn tại số nguyên n sao cho n = P101(n) thì a là một số chính phươnglẻ
Bài 4 Cho o là số nguyên tố sao cho p≡1 (mod 4) Hãy tính
trong đób clà kí hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá số thực a
Bài 5 Cho m, n (m>n>4) là các số nguyên dương và A là một tập hợp con có đúng n phần
tử của tập hợp S= {1; 2; 3; ; m} Chứng minh rằng nếu
m> (n−1)n
2
+n3
+n4
thì ta luôn chọn được n phần tử đôi một phân biệt x1, x2, , xn ∈ S sao cho các tập hợp
Ai = {x+y+xi | x ∈ A, y∈ A}, i=1, n thỏa mãn Aj∩Ak = ∅với mọi j6=k, j, k=1, n
MỤC LỤC
Trang 30BÀI 26 TST QUẢNG NAM NĂM HỌC 2019-2020
Bài 1 Giải phương trình x3−2x−3 =p33 (x+1)
Bài 2 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì phương trình
xn+xn−1+ · · · +x =2luôn có một nghiệm dương duy nhất Ký hiệu nghiệm dương đó là xn, chứng minh rằng dãy
số(xn)có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Bài 3 Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M di động trêncạnh BC (M 6= B, M 6= C) Gọi(X), (Y)lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác MAB
và MAC Lấy điểm S thuộc(X)sao cho MS song song với AB; lấy điểm T thuộc(Y)sao cho
MTsong song với AC
1 Chứng minh rằng các điểm A, O, T, S nằm trên một đường tròn
2 Gọi E là giao điểm khác A của(X) và AC, F là giao điểm khác A của (Y) và AB Cácđường thẳng BE và CF cắt nhau tại N Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua O khi
và chỉ khi AM đi qua tâm đường tròn Euler của tam giác ABC
Bài 4 Cho p là một số nguyên tố, p > 2 và các số nguyên a1; a2; ; ap theo thứ tự đó lậpthành một cấp số cộng có công sai không chia hết cho p Chứng minh rằng tồn tại một chỉ số
kthuộc tập{1; 2; ; p}sao cho a1a2· · ·ap+akchia hết cho p2
Bài 5 Tìm tất cả các đa thức P(x)hệ số thực thỏa mãn điều kiện
[P(x)]3−3[P(x)]2 =P(x3) −3P(−x)với mọi x∈ R.
Bài 6 Tìm tất cả các số tự nhiên n với n≥2 sao cho trên mặt phẳng tồn tại n điểm phân biệt,mỗi điểm được gán một số thực dương mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong chúngbằng tổng hai số được gán ở hai điểm đó
Bài 7 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx=3 Chứng minh rằng
x3+y3+z3+7xyz≥10
MỤC LỤC