Một số tính chất số học của hệ số Nhị thức

K¸t qu£ r§t m¤nh sau cõa Jacopsthal, l  mð rëng ành lþ Wolstenholm, tæi ÷a ra v  khæng chùng minh... Cho sè nguy¶n tè p.[r]

MËT SÈ TNH CH‡T SÈ HÅC CÕA CC

H› SÈ NHÀ THÙC

Ng y 11 th¡ng 5 n«m 2017

Tâm t­t nëi dung

Ð trong b i vi¸t n y, tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc bê trñ, c¡c k¸t qu£ sì c§p v  cìb£n nh§t v· chõ · "T½nh ch§t sè håc cõa c¡c h» sè nhà thùc" v  câ mët sè b i tªp ºminh ho¤

∗ nguyensongminh@gmail.com

Möc löc

1.1 Khai triºn Newton v  c¡c h» sè nhà thùc 6

1.2 Nhâm ìn và v  nghàch £o modulo 8

1.3 ành lþ Fermat-Euler v  ành lþ Wilson 9

1.4 ành gi¡ p-adic 9

1.5 ành lþ Lucas 12

1.6 ành lþ Wolstenholm 12

Mð ¦u

C¡c h» sè nhà thùc l  c¡c h» sè sau khai triºn cõa a thùc (x + 1)n, mët khai triºn cì b£n

ð ¤i sè sì c§p Vi»c ph¡t hi»n v  t¼m hiºu c¡c t½nh ch§t sè håc thó và cõa c¡c h» sè nhàthùc, v¼ th¸ r§t tü nhi¶n v  câ làch sû d i l¥u trong Sè Håc C¡c k¸t qu£ kinh iºn v· chõ

· n y, tho¤t nh¼n r§t sì c§p v  t÷ðng chøng ch¿ µp ³ nh÷ng thi¸u húu döng trong To¡nHåc hi»n ¤i Tuy nhi¶n tr¶n thüc t¸, vi»c t¼m hiºu v· c¡c t½nh ch§t sè håc cõa c¡c h» sènhà thùc v¨n ÷ñc ti¸p töc v  ph¡t triºn Cæng vi»c n y em ¸n nhúng k¸t qu£ ¦y þ ngh¾atrong Sè Håc, ngo i ra cán câ nhúng âng gâp r§t húu ½ch cho Tê Hñp, X¡c Su§t, Gi£i T½chp-adic hay nhúng l¾nh vüc cõa ¤i sè hi»n ¤i nh÷ ¤i Sè Hopf, ¤i Sè Steenrod

1 C¡c ki¸n thùc cì b£n

Ð möc n y, tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð º b¤n åc l  håc sinh d¹ d ng ti¸p cªn chõ

· Nh÷ng tr÷îc ti¶n, b¤n åc h¢y chó þ ¸n c¡c kþ hi»u v  quy ÷îc d÷îi ¥y

C¡c quy ÷îc v  kþ hi»u

Suèt b i vi¸t n y, tæi sû döng c¡c kþ hi»u vîi þ ngh¾a ÷ñc quy ÷îc thèng nh§t nh÷ sau:

• gcd(a; b): ×îc sè chung lîn nh§t cõa a; b ∈ Z

• lcm(a; b): Bëi sè chung lîn nh§t cõa a; b ∈ Z

• m - a: Sè nguy¶n a khæng chia h¸t cho sè nguy¶n m (vîi m 6= 0)

• bxc: Sè nguy¶n lîn nh§t khæng v÷ñt qu¡ sè thüc x (ph¦n nguy¶n cõa x)

• ordm(a): C§p cõa sè nguy¶n a theo mod m (vîi m ∈ Z∗ v  gcd(a; m) = 1), i·u n y

câ ngh¾a ordm(a) l  sè nguy¶n d÷ìng k nhä nh§t tho£ m¢n ak≡ 1m

1.1 Khai triºn Newton v  c¡c h» sè nhà thùc

Vîi n

k



l  sè c¡c tªp con câ k ph¦n tû cõa mët tªp câ n ph¦n tû, ta câ khai triºn sau

ành lþ 1.1 (Khai triºn Newton) Cho n l  sè nguy¶n d÷ìng, khi â ta câ khai triºn

(x + y)n=n

0

+n1



xyn−1+ +

n

(x + 1)n =n

0

+n1



x + +

n

1 Vîi k ∈ N, n ∈ Z+ v  k ≤ n ta câ

nk



=

n

n − k



3 Vîi c¡c sè tü nhi¶n k; n b§t ký ta câ

nk

+

n

4 Vîi c¡c sè tü nhi¶n m; n; k khi â

nk

m0

+

n

k − 1

m1

+ +n

0

mk



k



5 Vîi c¡c sè tü nhi¶n m; n; k tho£ m ≥ n ≥ k, khi â

nk

mn

C¡c ¯ng thùc tr¶n câ thº chùng minh r§t ìn gi£n b¬ng ph²p ¸m, cho n¶n tæi khæng tr¼nh

b y chùng minh ð ¥y Thay cho vi»c â, tæi ÷a ra v  chùng minh chi ti¸t mët ành lþ li¶nquan ¸n t½nh ch§t sè håc cõa h» sè nhà thùc

ành lþ 1.2 Sè nguy¶n d÷ìng p > 1 l  sè nguy¶n tè khi v  ch¿ khi

p |pk



∀ k = 1; p − 1Chùng minh Ta chia v§n · c¦n quan t¥m, l m hai ph¦n

1 N¸u p l  mët sè nguy¶n tè, khi â tø cæng thùc t½nh p

v  khi k = 1; p − 1 th¼ k! còng vîi (p − k)! l  t½ch c¡c sè nguy¶n d÷ìng b² hìn p, chon¶n

gcd (k!; p) = gcd ((p − k)!; p) = 1

Tø (∗), ta câ

p |pk

V¼ p∗ l  mët sè nguy¶n tè, cán (p∗− 1)! l  t½ch c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡

p∗ cho n¶n çng d÷ ph½a tr¶n khæng thº x£y ¸n Vªy, gi£ thi¸t ph£n chùng l  khængthº x£y ra

1.2 Nhâm ìn và v  nghàch £o modulo

Vîi m ∈ Z∗ v  a l  sè nguy¶n tho£ m¢n gcd(a; m) = 1, theo ành lþ B²zout s³ tçn t¤i c¡c

sè nguy¶n k v  l sao cho

ka + lm = 1L§y çng d÷ theo mod m, ta th§y s³ tçn t¤i a0 = k sao cho aa0≡ 1m Ta công d¹ d ng kiºmchùng r¬ng gcd(a0; m) = gcd(k; m) = 1 Nh÷ vªy, ta câ ành lþ sau ¥y

ành lþ 1.3 Cho m l  sè nguy¶n kh¡c 0, khi â vîi a l  mët sè nguy¶n nguy¶n tè còngnhau vîi m s³ luæn tçn t¤i sè nguy¶n a0 nguy¶n tè còng nhau vîi m tho£ m¢n

aa0 m≡ 1

Sè nguy¶n a0 ð trong ành lþ tr¶n cán gåi l  nghàch £o cõa a theo mod m T§t nhi¶n,n¸u a0 l  mët nghàch £o cõa a theo mod m th¼ s³ câ væ sè c¡c nghàch £o nh÷ th¸ v  måinghàch £o cõa a theo mod m lóc â ·u câ d¤ng a0+ tmvîi t ∈ Z C¡c nghàch £o modulo

câ þ ngh¾a quan trång khi chóng ta xû lþ ng÷ñc c¡c t½ch çng d÷, hay nâi kh¡c i l  c¡cph÷ìng tr¼nh d¤ng

ax≡ bmB¥y gií, n¸u ta x²t tr÷íng hñp m > 0 v  tªp hñp c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡ m

v  nguy¶n tè còng nhau vîi m l 

Rm =r ∈ Z+: r ≤ m; gcd(r; m) = 1 V· b£n ch§t, Rm ch½nh l  tªp hñp t§t c£ c¡c sè d÷ câ thº khi ta l§y mët sè nguy¶n a nguy¶n

tè còng nhau vîi m em chia cho m

Vîi a; b ∈ Rm, th¼ rã r ng gcd(ab; m) = 1 n¶n sè d÷ cõa ab khi chia m s³ thuëc Rm Do

â tr¶n Rm, n¸u ta ành ngh¾a ph²p to¡n hai ngæi ◦ bði quy t­c cho t÷ìng ùng mët c°p(a; b) ∈ R2

m vîi a ◦ b ∈ Rm l  sè d÷ khi chia m cõa ab Ta d¹ d ng kiºm tra c°p (Rm, ◦)s³t¤o th nh mët nhâm giao ho¡n vîi ìn và l  1, tùc l  câ c¡c kh¯ng ành sau

Nh¥n vîi nghàch £o mod m cõa Q

r∈R m

r, v  chó þ r¬ng a ◦ b≡ ab ∀ a; b ∈ Z chóng ta s³ câm

÷ñc ành lþ nêi ti¸ng trong Sè Håc sì c§p sau ¥y

ành lþ 1.4 (ành lþ Euler) Cho m ∈ Z+, a ∈ Z vîi gcd(a; m) = 1, ϕ(m) l  sè c¡c sènguy¶n d÷ìng khæng v÷ñt qu¡ m v  nguy¶n tè còng nhau vîi m, khi â

aϕ(m) m≡ 1Trong tr÷íng hñp m = p ∈ P, ta câ ϕ(p) = p − 1, ta câ ành lþ quen thuëc sau

ành lþ 1.5 (ành lþ Fermat) Cho sè nguy¶n tè p v  sè nguy¶n a tho£ gcd(a; m) = 1, khi

â s³ x£y ¸n çng d÷ thùc

ap−1≡ 1pN¸u p l  sè nguy¶n tè, theo ành lþ v· nghich £o modulo vîi méi r ∈ Rp s³ tçn t¤i duynh§t r0 ∈ Rp sao cho rr0≡ 1p Rã r ng, ch¿ câ hai sè r ∈ Rp câ nghàch £o mod p l  ch½nh

nâ, â l  r1 = 1 v  r2 = p − 1 Tø â Rp = {1; 2; ; p − 1} \ {1; p − 1} ÷ñc chia l m c¡cc°p ríi nhau (r; r0) sao cho rr0≡ 1p L§y t½ch t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa Rp º câ ành lþ sau

ành lþ 1.6 (ành lþ Wilson) Cho p l  mët sè nguy¶n tè, khi â

k∈Z +

pλk

k Ð biºu di¹n §y, vîi méi nh¥n tû nguy¶n tè pk s³ ùng vîi

duy nh§t mët sè tü nhi¶n λk l  bªc cõa pk ð biºu di¹n â Nâi mët c¡ch kh¡c, vîi mët sènguy¶n tè p cho tr÷îc chóng ta x¡c ành ÷ñc mët h m ìn trà vp : Z+ → N bði quy t­c

vp(n) = λtrong â λ l  bªc cõa p trong biºu di¹n cõa n ra thøa sè nguy¶n tè V· b£n ch§t,

vp(n) = 0n¸u gcd(n; p) = 1, cán vp(n) = λ ∈ Z+ n¸u nh÷ pλ | n v  p1+λ

- n º th¡c triºn

h m n y tø N l¶n Z, ta ch¿ c¦n quy ÷îc vp(0) = +∞v  vp(−n) = vp(n)n¸u n ∈ Z+ Chóng

ta d¹ d ng kiºm tra ÷ñc c¡c t½nh ch§t cì b£n sau cõa h m vp

1 Vîi k ∈ N, th¼ vp(a) = k khi v  ch¿ khi a = pkq trong â gcd(p; q) = 1

2 Vîi c¡c sè nguy¶n a; b b§t ký, a | b th¼ vp(a) ≤ vp(b)

3 Vîi c¡c sè nguy¶n a; b b§t ký ta câ vp(ab) = vp(a) + vp(b)

4 Vîi sè nguy¶n a v  sè tü nhi¶n m b§t ký ta câ vp(am) = mvp(a)

5 Vîi c¡c sè nguy¶n a; b b§t ký, khi â

vp(a + b) ≥ min {vp(a); vp(b)}

v  khi vp(a) < vp(b) th¼ vp(a + b) = vp(a)

H m vp ho n to n câ thº th¡c triºn l¶n Q, nhí vi»c vi¸t méi sè húu t r nh÷ gi¡ trà cõa mëtph¥n sè ð d¤ng a

b trong â a ∈ Z, b ∈ Z∗ còng vîi quy t­c

vpab



= vp(a) − vp(b)

Vîi ngæn ngú ành gi¡ p-adic, ành lþ µp ³ cõa Legendre d÷îi ¥y, s³ gióp ½ch cho chóng

ta r§t nhi·u trong c¡c b i to¡n v· t½nh ch§t Sè Håc cõa c¡c h» sè nhà thùc

ành lþ 1.7 (Legendre) Vîi n l  mët sè nguy¶n d÷ìng v  p l  sè nguy¶n tè, gi£ sû k l  sè

tü nhi¶n tho£ m¢n pk ≤ n < pk+1 khi â

vp(n!) = n

p

+ n

p2

+ + n

pi+1





= np

+ n

p2

+ + n

pk



Tø ành lþ Legendre, n¸u ta vi¸t sè nguy¶n d÷ìng n = (am a1a0)p (theo cì sè p) ta s³ câ

ành lþ 1.8 Vîi p l  sè nguy¶n tè v  n l  mët sè nguy¶n d÷ìng, gi£ sû n = (am a1a0)pkhi â ta s³ câ

p2

+ + n

k! (n − k)!



= vp(n!) − vp(k!) − vp((n − k)!)chóng ta l¤i câ ÷ñc ành lþ r§t húu döng sau ¥y

ành lþ 1.9 Vîi p l  sè nguy¶n tè v  n l  mët sè nguy¶n d÷ìng tho£ m¢n pm ≤ n < pm+1

vîi m ∈ N, gi£ sû k ∈ N tho£ k ≤ n khi â

vp

nk

aij



xjpi

!

C¡c mð rëng cõa ành lþ n y, xin xem ð b i b¡o "Lucas' theorem: its generalizations,extensions and applications (18782014)" d¨n link ð cuèi b i vi¸t n y

1.6 ành lþ Wolstenholm

Trong c¡c t i li»u v· Sè Håc, c¡c ph¡t biºu trong c¡c ành lþ tø 1.11 ¸n 1.14 m  tæi tr¼nh

b y d÷îi ¥y ·u câ t¶n gåi chung l  ành lþ Wolstenholm

ành lþ 1.11 Cho p ∈ P v  p > 3, khi â

Dòng ch½nh suy luªn tr¶n, ta công câ kh¯ng ành sau

ành lþ 1.12 Cho p ∈ P v  p > 3, khi â

Tø ành lþ 1.11 ð ph¦n tr¶n, ta câ ngay a1

p 2

≡ 0v  º þX

≡ 0v  tø (∗) ta câ ÷ñc i·u c¦n chùng minh 

ành lþ 1.14 Cho p ∈ P v  p > 3, khi â vîi a; b ∈ Z+ th¼

apbp



p 3

≡ab



Chùng minh Gi£ sû câ a gâi kµo, méi gâi l  mët lo¤i kh¡c nhau v  méi gâi câ p chi¸c Tac¦n l§y ra bp c¡i kµo tø a gâi â, khi â sè c¡ch l§y kµo s³ l 

apbp

ka



(Ch¿ sè ki trong têng tr¶n, ch½nh l  sè kµo l§y ra tø gâi thù i)

ka



m  trong â câ nhi·u nh§t hai ch¿ sè ki tho£ 1 ≤ ki ≤ p − 1

â công l  sè c¡ch l§y kµo, m  khæng câ qu¡ hai lo¤i kµo ÷ñc l§y ra vîi sè kµo (ki) kh¡c 0ho°c p Ta s³ x²t sè c¡ch l§y kµo kiºu â

V¼ têng sè kµo ÷ñc l§y l  bëi sè cõa p (l  bp), n¶n khæng thº câ óng mët lo¤i kµo vîi sèkµo ÷ñc l§y kh¡c 0 v  p Vªy câ hai kh£ n«ng l§y kµo, m  khæng câ qu¡ hai lo¤i kµo ÷ñcl§y ra vîi sè kµo kh¡c 0 ho°c p nh÷ sau

• N¸u câ óng hai lo¤i kµo vîi sè kµo ÷ñc l§y kh¡c 0 v  p, têng sè kµo hai lo¤i â ph£i

l  p do sè kµo méi lo¤i cán l¤i l  0 ho°c p (tèng sè l  bp) Sè c¡ch l§y kµo kiºu n y l 

a2

a − 2

b − 1

 2pp



− 2



= 2a2

• N¸u khæng câ lo¤i kµo n o câ sè kµo ÷ñc l§y ra kh¡c 0 v  p, th¼ méi gâi trong a gâi

â ho°c l  chån t§t ho°c khæng ÷ñc chån Vªy sè c¡ch ch½nh l  sè c¡ch chån b gâi kµo

tø a gâi kµo, l a

b



K¸t qu£ r§t m¤nh sau cõa Jacopsthal, l  mð rëng ành lþ Wolstenholm, tæi ÷a ra v  khængchùng minh B¤n åc câ thº t¼m hiºu chùng minh cõa nâ ð b i "Arithmetic Properties

of Binomial Coefficients" ÷ñc d¨n link cuèi b i vi¸t n y

ành lþ 1.15 Cho sè nguy¶n tè p > 5 v  hai sè nguy¶n d÷ìng a; b, khi â

apbp



p m

≡ab

2 Mët sè b i to¡n minh håa

Sau ¥y, l  mët sè b i to¡n minh ho¤ cho chõ ·

B i to¡n 1 (Kvant) Cho c¡c sè nguy¶n d÷ìng m; n nguy¶n tè còng nhau, khi â m

n

s³chia h¸t cho m

Líi gi£i Ta câ ¯ng thùc sau

nmn



= mm − 1

n − 1



T÷ìng tü líi gi£i b i to¡n tr¶n ¥y, ta câ líi gi£i cho b i to¡n ìn gi£n sau

B i to¡n 2 Chùng minh r¬ng n¸u m l  sè nguy¶n d÷ìng th¼

(m + 1) |2m

m

.Líi gi£i Ta câ ¯ng thùc sau

Do â, (2m+1)2m

m

s³ chia h¸t cho m+1 Nh÷ng gcd(2m+1; m+1) = gcd(m; m+1) = 1cho n¶n 2m

m

s³ chia h¸t cho m + 1



Tø b i to¡n vøa gi£i quy¸t, ta th§y gi¡ trà cõa Cm = 1

m + 1

2mm

s³ l  mët sè nguy¶n X²tv· b£n ch§t tê hñp, th¼ nâ l  sè Catalan thù m, tùc l  sè c¥y nhà ph¥n ¦y õ câ m + 1 l¡

V  i·u â, công câ thº coi l  c¡ch chùng minh thù hai cho b i to¡n tr¶n

B i to¡n 3 Chùng minh r¬ng n¸u p l  sè nguy¶n tè v  k = 0; p − 1 th¼

p − 1k



p

≡ (−1)k

Líi gi£i Ta câ bi¸n êi sau



Ba b i to¡n ¦u ti¶n ð tr¶n ·u l  c¡c b i to¡n ìn gi£n, tæi ÷a ra vøa º khði ëng vøa

º l m c¡c bê · cho c¡c b i to¡n phùc t¤p hìn ph½a sau

B i to¡n 4 (Kvant) Cho a; b; n l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng tho£ m¢n 1 < a; b < n Chùngminh r¬ng

gcdn

a

,nb



> 1

Líi gi£i Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta gi£ sû a ≤ b, º þ ¯ng thùc sau

na



nb

 =

 ba

, cho n¶n tø ¯ng thùc tr¶n ta th§y ph¥n sè

na



nb



B i to¡n 5 (John Berman) Cho p ∈ P v  p > 2, a l  sè nguy¶n tho£ ordp(a) = 3 Chùngminh r¬ng

Líi gi£i Tø b i to¡n 3 v  ¯ng thùc pp − 1



xk v  p | p

k

n¶n P (x) s³ câ mët nh¥n

tû l  a thùc p∗(x) = (x2+ x + 1) p tø â nhí p | (a2+ a + 1) ta câ

P (a) = (a + 1)p − ap− 1p

2

B i to¡n 6 (AMM) Cho sè nguy¶n tè p v  sè nguy¶n d÷ìng n Gi£ sû trong h» cì sè p ta

câ biºu di¹n n = (n0n1 nm)p Chùng minh r¬ng, trong c¡c sèn

0



; n1

n + 1 − (1 + n0) (1 + n1) (1 + nm) Líi gi£i V· b£n ch§t b i to¡n, ta c¦n chùng tä trong c¡c sè n

0



;n1

nk

km

, (∗)

Bði v¼ ni < p, cho n¶n p - ni

ki

vîi måi ki ∈ N v  ki ≤ ni Cán vîi ki ∈ N v  ki > ni th¼s³ x£y ¸n vi»c p | ni

1 + ni c¡ch chån Nguy¶n lþ nh¥n cho ta sè c¡c h» sèn

k

khæng chia h¸t cho p l (1 + n0) (1 + n1) (1 + nm)



B i to¡n 7 Cho tr÷îc sè nguy¶n d÷ìng n, t¼m gcdn



; ;

n



; ;

n



; ;

n

pl  mët ÷îc nguy¶n tè b§t ký cõa v¸ tr¡i hay v¸ ph£i cõa ¯ng thùc (∗) th¼ p ≤ n + 1 Lóc

â ta gi£ sû r ∈ Z+ tho£

pr ≤ n + 1 < pr+1

Rã r ng vp(lcm (1; 2; ; n; n + 1)) = r, v  vîi m ≤ n + 1 ta l¤i câ

vp

mk

Ta câ p l  ÷îc nguy¶n tè chung cõa n + 1; k + 1 v  n − k + 1, i·u â l  khæng thº bði

(n − k + 1) + (k + 1) − (n + 1) = 1

Vªy, n¸u l l  bªc cõa p trong ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè cõa v¸ tr¡i cõa (∗) th¼ l ≤ r

i·u â k¸t hñp vîi pr l  ÷îc cõa (n + 1)

n

n

P

k=0

nk

2

n

 Cho n¶n cæng vi»c quy v· chùng tä

3

-

1 +4n2n

ni



= 1 n¸u ni = 0, n¶n n¸u gåi k l  sè c¡c sè 1 ð biºu di¹n (∗), ta câ

k ch®n v  theo ành lþ Lucas ta câ



1 +4n2n



3

≡ 1 + 2k
3

≡ 2 Tùc l  trong tr÷ínghñp n y 1 +4n

2n

khæng thº l  bëi sè cõa 3

• N¸u câ mët sè ni = 1, ta gi£ sû j l  ch¿ sè lîn nh§t sao cho nj = 2 Khi §y trong biºudi¹n tam ph¥n cõa 4n th¼ Nj = 1, tø âNj

nj



= 0 v  theo ành lþ Lucas l¤i câ

1 +4n2n

B i to¡n 10 (VMO 2017) Chùng minh r¬ng:

1008

X

k=1

k2017k

Tø (1) v  (2) ta câ i·u c¦n chùng minh

2 Ta s®n câ nhúng i·u hiºn nhi¶n l  2017 | (22016− 1), v 

2017 |2017

k



∀ k ∈ Z+, k < 2017V¼ th¸ m  b i to¡n quy v· vi»c kh¯ng ành

k2017

2017k

2017

!

= −32

2016

X

k=1

2016 k−1

2 Do h > 1 n¶n nâ câ ÷îc nguy¶n tè, gi£ sû p l  ÷îc nguy¶n tè lîn nh§t cõa h Gåi T

l  chu ký nhä nh§t ùng vîi n õ lîn, ta vi¸t T = pmT0 (trong â gcd(T0; p) = 1) theo

ành lþ Lucas câ

2nn

Vªy m = 0, gií n¸u p l´ v  T vi¸t theo h» cì sè p câ r chú sè th¼ vîi sè nguy¶n d÷ìng

R õ lîn (R > r) th¼ l¤i theo ành lþ Lucas s³ câ

21

2TT

KT



(b i to¡n 2), d¨n ¸n i·u væ lþ l  1≡ 0p

Vªy p = 2 tùc l  h = 2k (k ∈ Z+), l¤i v¼ T l´ v  t÷ìng tü lþ luªn tr¶n chån K sao cho

n



≡ 2 (mod 4) Tø â, k = 1tùc h = 2

Vîi h = 2, th¼ rã r ng 2n

n



B i to¡n 12 (Iran TST 2012) T¼m c¡c sè nguy¶n d÷ìng n ≥ 2 sao cho vîi måi k; l tho£

0 ≤ k; l ≤ n th¼

k + l≡2 n

k

+nl

k + l≡ k2 m+ lm≡2 n

k

+nl

Ta th§y r¬ng trong çng d÷ tr¶n, k¸t qu£ ch¿ phö thuëc km; lm, do â n¸u tçn t¤i ch¿ sè

i < mn o â tho£ ni = 0 th¼ ta chån ki = li = lm = 1 v  km = 0lóc â s³ khæng x£y ra (∗).Vªy, n0 = n1 = = nm−1 = 1, l¤i câ nm = 0 do

0 + 1≡2 n

0

+n1



2

≡ n + 1Vªy ta câ n = (111 10)2 = 2m+2− 2

Ng÷ñc l¤i n¸u m = 2m+2 − 2, lóc â do ni = 1 ∀ n = 0; m − 1, cho n¶n vîi ki; li ∈ {0; 1}tuý þ ta luæn câ

nm

km

+nm

lm



= (1 − km) + (1 − lm)≡ k2 m+ lm

Tø â, x£y ra (∗)

B i to¡n 13 (IMO Shortlist 2007) Cho sè nguy¶n d÷ìng k ≥ 2, chùng minh r¬ng

P (x) = x3Q(x) + Cx

Trong â

C = 2 2k− 1
!!

2 k−1X

i=1

12i − 1 = 2

k 2k− 1
!!

2 k−1X

i=1

1(2i − 1) (2k− 2i + 1)

Chóng ta º þ r¬ng trong nhâm ìn và R2 k gçm t§t c£ c¡c sè l´ b² hìn 2k, n¸u ta kþ hi»u

i=1

1(2i − 1) (2k− 2i + 1)

2 k

≡ −

2 k−1X

i·u n y cho ta v2(C) = k + k − 1 = 2k − 1, cho n¶n

m − 2n

 n

Líi gi£i Gi£ sû m l  sè nguy¶n d÷ìng tho£ y¶u c¦u, ta x²t ba tr÷íng hñp

1 N¸u m l  mët hñp sè ch®n, lóc â vi¸t m = 2k v  vîi n = k s³ th§y khæng tho£ m¢n

2 N¸u m l  mët hñp sè l´, ta vi¸t m = p(2k + 1) trong â p l  ÷îc nguy¶n tè cõa

m (t§t nhi¶n p l´) cán k l  mët sè nguy¶n d÷ìng Chån n = pk, õ tho£ iºu ki»nm

2 Do

n

m − 2n

 n n¶n 1

n

n

m − 2n



∈ Z, nh÷ng

1n

n