Tài liệu ôn thi học kì 2 lớp 10

PHƯƠNG PHÁP GIẢI Thực chất bất ñẳng thức Cauchy Schwarz là hệ quả trực tiếp của bất ñẳng thức Bunhiacôpski mà ở ñây dễ dàng hình dung, tạm gọi là bất ñẳng thức cộng mẫu số... Bất ñẳng

 Không có qui tắc chia hai về bất ñẳng thức cùng chiều

 Ta chỉ nhân hai vế bất ñẳng thức khi biết chúng dương

4

Chủđề

• Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay ñổi nhưng có tổng không ñổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

② Với n số a1, a2, a3, …, an không âm, ta có: 1 2 3

 D Dạng tổng quát: ạng tổng quát: ạng tổng quát:

Cho 2n số thực tùy ý a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn,khi ñó:

 Hệ quả: H ệ quả: ệ quả:

Hướng 4 Biến ñổi vế trái hoặc vế phải thành vế còn lại

Chú ý: Với các hướng 1 và hướng 2 công việc thường là biến ñổi A B – thành tổng các ñại lượng không âm Và với các bất ñẳng thức A B – ≥ 0 chúng ta cần chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào ?

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.1 Cho , , , a b c d là các số thực Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

+

>

+

a a

, với , , a b c > 0 ⑥ a4+ b4+ c4 ≥ abc , với a b c + + = 1

1.5 Cho , , , a b c d > 0 Chứng minh rằng: nếu a < 1

1.6 Cho , , ∈ℝ a b c Chứng minh a3+ b3 ≥ a b b a ab a b2 + 2 = ( + ) (4) Áp dụng bất ñẳng thức (4) ñể chứng minh các bất ñẳng thức sau:

2

a b c

② 3 13 + 3 31 + 3 13 ≤ 1

③ 3 13 3 13 3 13 1

a b b c c a , với , , a b c > 0 và abc = 1

⑤ 34 ( a3+ b3) +3 4 ( b3+ c3) +34 ( c3+ a3) ≥ 2( a b c + + ) , , , a b c ≥ 0

1.7 Cho , , , ∈ℝ a b x y Chứng minh bất ñẳng thức sau (BðT Min-côp-xki):

( )2 ( )2

2+ 2 + 2+ 2 ≥ + + +

Áp dụng (5):

① Cho , a b ≥ 0 thỏa a b + = 1 Chứng minh: 1 + a2 + 1 + b2 ≥ 5

② Tìm GTNN của 2 2

b a , với , a b ≠ 0

③ Cho , , x y z > 0 thỏa x y z + + = 1 Chứng minh: 2 2 2

82

Dạng2 ChứngminhBĐTdựavàoBĐTCauchy(AM-GM)



A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Các dạng của bất ñẳng thức Cauchy (AM-GM):

• Với , x y ≥ 0 thì

2 2

2 2

 + ≥







①

② Dấu “=” xảy ra khi x = y

• Với , ∈ℝ x y thì

2

2

2

  + 

≥





x y

xy

③

④

Dấu “=” xảy ra khi x = y

• Với , , x y z ≥ 0 thì

3 3 3

3

 + + ≥



  + + 

≥



x y z

xyz

⑤

⑥ Dấu “=” khi x = y = z

B BÀI TẬP MẪU

Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại:

VD 1.2 Cho , , a b c > 0 Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

① ( a b + )2 ≥ 4 ab ② 2 ( a2+ b2) ≥ ( a b + )2 ③ 1 1 + ≥ 4

+

+ +

Loại 2: Tách cặp nghịch đảo

VD 1.3 Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

① a b + ≥ 2 ( ∀ , > 0 )

a b

2 + ≥ ∀ >

x

x x

③ 2 3 ( 2 )

2 + − 2 ≥ ∀ >

x

x

3

a

Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM):

Dạng 1: ( + )   1 1 +   ≥ 4 1 1 + ≥ 4 (1)

+

x y x y x y Dấu “=” xảy ra khi x = y

Dạng 2: ( + + )   1 1 1 + +   ≥ 9 1 1 1 + + ≥ 9 (2)

+ +

x y z x y z x y z Dấu “=” xảy ra khi x=y=z

VD 1.4 Cho , a b > 0 Chứng minh 1 1 + ≥ 4

+

a b a b (1) Áp dụng bất ñẳng thức (1) ñể chứng minh các bất ñẳng thức sau:

① 1 1 1 + + ≥ 2   1 + 1 + 1   ( ∀ , , > 0 )

a b b c c a a b c b c a c a b ( ∀ a b c , , > 0 )

Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy: VD 1.5 Cho , , a b c > 0 Chứng minh bất ñẳng thức (BðT Nesbit) sau: 3 2 + + ≥ + + + a b c b c c a a b HD: ðặt + =   + =   + =  b c x c a y a b z

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại:

1.8 Cho , , a b c > 0 Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

a

a a

1.9 Cho , , a b c > 0 Chứng minh các bất ñẳng thức sau:

2 2 1

① 1 1 1 + + ≥ 2   1 + 1 + 1  

2

+ +

a b b c c a

2 a b c a + + + + 2 b c a b + + + + 2 c ≤ với

1 1 1

4

a b c

1.13 Cho , , a b c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi

Chứng minh rằng: 1 + 1 + 1 ≥ 2   1 1 1 + +  

1.14 Cho , , a b c > 0 Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 9

+ +

các bất ñẳng thức sau:

① 2 + 2 + 2 ≥ 9 ( ∀ , , > 0 )

② ( 2 2 2) 1 1 1 3 ( ) ( , , 0 )

2

a b b c c a

1 + 1 + 1 4 ≤ ∀ > > > + + =

④ 2 1 2 1 2 1 9 ( , , 0 )

⑤ 2 12 2 + 1 + 1 + 1 ≥ 30 ( ∀ , , > 0 )

Loại 4: Đặt ẩn phụ để áp dụng BĐT Cauchy:

1.15 Cho x > 2014 Chứng minh bất ñẳng thức sau:

+

2013 0

2014 0







1.16 Cho , , x y z > 0 Chứng minh bất ñẳng thức sau:

3

2 + + + + 2 + + + + 2 ≤ 4

x y z x y z x y z HD: ðặt

= + + >





= + + >





= + + >



Dạng3 ChứngminhBĐTdựavàoBĐTCauchySchwarz



A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Thực chất bất ñẳng thức Cauchy Schwarz là hệ quả trực tiếp của bất ñẳng thức Bunhiacôpski mà

ở ñây dễ dàng hình dung, tạm gọi là bất ñẳng thức cộng mẫu số

1. Cho a b , ∈ ℝ và x y , > 0 Áp dụng BðT Bunhiacôpski cho bộ hai số:    ,   

x y ; ( x , y )

ta ñược:

+

Bunhiac ki

2. Cho a b c , , ∈ ℝ và x y z , , > 0 Áp dụng BðT Bunhiacôpski cho bộ ba số:    , ,   

x y z ;

( x , y , z ta ñược: )

.

    + + + + ≥  + +          Bunhiac ki a b c a b c x y z x y z x y z x y z 2 2 2 ( + + )2 ⇔ + + ≥ + + a b c a b c x y z x y z (2) B BÀI TẬP MẪU VD 1.6 Chứng minh: 2 2 2 2 + + + + ≥ + + + a b c a b c b c c a a b , với , , a b c > 0

VD 1.7 Với , , a b c ≥ 0 và a b c + + = 3 Chứng minh rằng:

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.17 Chứng minh: ① 1 2 + 2 + 2 ≥ + + + a b c b c c a a b , với , , a b c > 0

2

b c c a a b , với , , a b c > 0

2

b c c a a b , với , , ∈ ℝ a b c

④

9 4

+ +

a b c

b c c a a c , với , , a b c > 0

⑤ 2 2 2 2 2 2 1

a b b c c a , với , , a b c > 0 và a b c + + = 3

1.18 Với , , a b c là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

a b c

b c a c a b a b c

⇔ x = y = ±

Ta có: 4 x − 5 y = 15 4

5 3

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

4. u  − v  ≤ u v  +  ≤ u  + v  , dấu “=” xảy ra khi u v cùng hướng   ,

5. u v w  +  +  ≤ u  + v  + w  , dấu “=” xảy ra khi u v w cùng hướng    , ,

1

⇒ b  = y +

y

VD 1.14 Chứng minh rằng với mọi x , y , z ta có:

x + xy y + + y + yz z + + z + zx x + ≥ x y z + +

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

VD 1.15 ① Chứng minh rằng với mọi số thực a , b ta có a b ± ≥ a − b

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.22 Với các số , , a b c tùy ý Chứng minh rằng:

1.24 Chứng minh rằng: x + x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ

Áp dụng: Chứng minh rằng x + x2 − + x 1 xác ñịnh với mọi ∀ ∈ ℝ x

• Phương pháp chung ñể tính tổng hữu hạn Sn = a1+ a2 + a3+ …+ a là cố gắng biểu diễn nmỗi nhân tử a của k S dưới dạng hiệu 2 số hạng liên tiếp nhau n ak = mk – m Khi ñó: k+1

( 1– 2) ( 2 – 3) ( – +1) 1– +1

• Phương pháp chung ñể tính tích hữu hạn Pn = a a a1 .2 3.… a là cố gắng biểu diễn mỗi nhân n

tử a của k P dưới dạng thương 2 số hạng liên tiếp nhau n

1 +

k k

m a

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.26 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

Vậy, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: VT 2 = ⇔ x − = 1 0 ⇔ x = 1

Vậy, phương trình có nghiệm x = 1

x y

x y

x y

x y xy

VD 1.23 Giải phương trình sau: x − 4 + 6 − x = x2− 10 x + 27

VD 1.24 Giải phương trình sau: x2+ x − + 1 x2− x + = 1 x2− + x 2

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.28 Giải các phương trình sau:

TN1.16 Cho hai số thực , a b sao cho a b > Bất ñẳng thức nào sau ñây không ñúng?

TN1.18 Cho , , , a b c d là các số thực trong ñó , a c ≠ 0 Nghiệm của phương trình ax b + = 0 nhỏ hơn

nghiệm của phương trình cx d + = 0 khi và chỉ khi

a P

a Bất ñẳng thức nào sau ñây ñúng với mọi a ?

TN1.29 Cho a 0 > Nếu x a < thì bất ñẳng thức nào sau ñây luôn ñúng?

Kí hiệu: min f x ( ) = m khi x = x0

• Chú ý: - Biểu thức có thể không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất

- Biểu thức có thể có cả hai giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Tóm t Tóm tắt lí thuyế ắt lí thuyế ắt lí thuyếtttt

Phương pháp gi Phương pháp giải toán ải toán

VD 1.2

VD 1.3

VD 1.4

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Dạng2 DùngBĐTCauchy



A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

H

Hệ quả: ệ quả: ệ quả:

• Nếu , x y > có S 0 = x + y không ñổi thì P = xy lớn nhất khi x = y

• Nếu , x y > có P 0 = xy không ñổi thì S = x + y nhỏ nhất khi x = y

VD 1.10

2201

x K

x

− , với x > 2

VD 1.11

① y = x − + 1 5 − x ② y = 1 2 − x + x + 8

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.3 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

x y

Giải : Từ giả thiết, ta có 8 3 5 3 7 5 11

a b

VD 1.14

① P = 2 x + y , biết x2+ y2 = 5 ② P = 4 x + 2 y , biết 2 x2+ 3 y2 = 6

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

a b

a b

a b c

a b c

Dấu '' '' = xảy ra khi và chỉ khi ( x + 2 )( − − x 5 ) ≥ 0 ⇔ − ≤ 5 x ≤ − 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 , khi − ≤ 5 x ≤ − 2

② Ta có B = x − 3 + x − + 1 x + + 1 x + 3 = 3 − x + x + 3 1 + − x + x + 1

≥ ( 3 − x ) ( + x + 3 ) + ( 1 − x ) ( + x + 1 ) = 6 2 8 + =

Dấu '' '' = xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 8 , khi x = 0

VD 1.16

① P = 5 + x − 2019 ② P = x − 2019 + x − 2020

VD 1.17

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.9 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

① P = x + + 1 2 x + 5 + 3 x − 18 ② Q = x + 2 + x + + 1 2 x − 5

③ Q = x − + 1 y − 2 + z − 3 với x + y + z = 2014

3. AB + BC ≥ AC , dấu “=” xảy ra khi B nằm giữa A và C

4. u
− v
≤ u
+ v
≤ u
+ v
, dấu “=” xảy ra khi u v

, cùng hướng

5. u
+ v
+ w
≤ u
+ v
+ w
, dấu “=” xảy ra khi u v w


, , cùng hướng

VD 1.20

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

1.10 Tìm GTLN, GTNN:

① Tìm GTNN: P = x2− 2 ax + 2 a2 + x2− 2 bx + 2 b2 , a < 0, b > 0

② Tìm GTNN: P = a2− 6 a + 13 + a2+ 2 a + 2

③ Tìm GTLN: P = x2+ 10 x + 26 + x2+ 4 x + 4

BÀI T BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2: GTLN ẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2: GTLN ẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2: GTLN9999GTNN GTNN GTNN

f x

x

= + Mệnh ñề nào sau ñây là ñúng ?

A f x ( ) có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1

B. f x ( ) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1

C f x ( ) có giá trị nhỏ nhất là 1 , giá trị lớn nhất bằng 2

D f x ( ) không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

TN1.3 Với giá trị nào của a thì hệ phương trình 1

C có giá trị nhỏ nhất khi a = b D không có giá trị nhỏ nhất

TN1.6 Cho x2+ y2 = , gọi S x y 1 = + Khi ñó ta có

A S ≤ − 2 B. S ≥ 2 C. − 2 ≤ S ≤ 2 D − ≤ 1 S ≤ 1

TN1.7 Cho x y , là hai số thực thay ñổi sao cho x + y = 2 Gọi 2 2

m = x + y Khi ñó ta có:

A giá trị nhỏ nhất của m là 2 B giá trị nhỏ nhất của m là 4

C giá trị lớn nhất của m là 2 D giá trị lớn nhất của m là 4

TN1.8 Với mỗi x > 2 , trong các biểu thức: 2

TN1.11 Giá trị nhỏ nhất củabiểu thức x2− 6 x với x ∈ ℝ là:

TN1.14 Cho biểu thức f x ( ) = 1 − x2 Kết luận nào sau ñây ñúng?

A Hàm số f x ( ) chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất

B Hàm số f x ( ) chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất

x

= + với x > 0 là

A 1 B 2 C 3 D 2 2

TN1.21 ð iền số thích hợp vào chỗ chấm ñể ñược mệnh ñề ñúng

A Giá trị lớn nhất của hàm số y = x − + 1 3 − x với 1 ≤ x ≤ 3 là… …………

B Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x2− 5 x + 1 là ………

① Nếu , a b là hai số cùng dấu thì a b 2

b + a ≥ ② Nếu , a b là hai số trái dấu thì a b 2

a

a

+

≥ +

2

3 2 2

a a

+

>

+

, với a ∈ ℝ

1.31 Cho các số thực , , x y z > 0 Chứng minh: 16 xyz x ( + y + z ) ≤ 33( x + y ) (4 y + z ) (4 z + x )4

1.32 Cho các số dương , , a b c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

A I và II B II và III C I và III D I, II và III

TN1.28 Bất ñẳng thức nào sau ñây sai?

A 2

2

3 2 2

a a

+

≤ +

a a

A Chỉ I B Chỉ II C Chỉ III D I và III

TN1.30 Cho , , a b c là 3 số không âm Xét bất ñẳng thức nào sau ñây ñúng?

TN1.32 Cho , , a b c dương Bất ñẳng thức nào ñúng?

Phương pháp gi Phương pháp giải toán ải toán

x x

+

< +

−

① Tìm ñiều kiện của bất phương trình ñã cho

② Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn ñiều kiện ñó

2.2 Tìm tập hợp tất cả cả giá trị của x thỏa mãn ñiều kiện bất phương trình: 3 − + x x − ≥ − 5 10 Từ

ñó suy ra rằng bất phương trình ñã cho vô nghiệm

2.3 Tìm ñiều kiện của mỗi bất phương trình sau:

2 0 1

x x

Dạng2 Bấtphươngtrìnhtươngđương



A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Bấtphươngtrìnhtươngđương:

 Hai BPT tương ñương nhau khi chúng có chung tập nghiệm

 Hai BPT cùng vô nghiệm thì tương ñương nhau

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

2.8 Các cặp bất phương trình sau ñây tương ñương không ? Vì sao ?

- Bước 1 ðặt ñiều kiện cho bất phương trình có nghĩa (nếu có)

- Bước 2 Chuyển vế và giải

- Bước 3 Giao nghiệm với ñiều kiện ñược tập nghiệm S

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.10 Giải các bất phương trình sau:

- Bước 1 ðặt ñiều kiện cho hệ bất phương trình có nghĩa (nếu có)

- Bước 2 Giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu ñược

- Bước 3 Giao nghiệm với ñiều kiện ñược tập nghiệm S



 +

2

x x

C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

2.12 Giải các hệ bất phương trình sau:

x x

x x